梯形辅助线的添加方法 辅导
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初二数学教案:有关作梯形的辅助线常用方法以下是查字典数学网为您举荐的有关作梯形的辅助线常用方法,期望本篇文章对您学习有所关心。
有关作梯形的辅助线常用方法教学目标1、进一步把握梯形的判定和性质;2、初步把握梯形中常见的辅助线的添加方法;教学重点辅助线的添加方法教学难点辅助线的添加方法教学过程设计思路由于在解决梯形的问题时,经常要通过对梯形的分割拼接或图形变换,将问题转化为三角形或平行四边形的问题来解决,因此在学习梯形时,应把握作梯形的辅助线的常用方法。
【方法1】平移梯形的一腰从梯形的一个顶点,作一腰的平行线,把梯形分成一个平行四边形和一个三角形.例1、已知梯形ABCD中,AD//BC,AD=5cm,BC=8cm,AB=7cm,求另一腰CD的取值范畴.解:如图2,过D点作DE//AB,交BC于E点.∵AD//BC,DE//AB,四边形ABED是平行四边形DE=AB=7cm,BE=AD=5cm,CE=BC-BE=8cm-5cm=3cm∵在△DEC中,DE-EC4cm【方法2】作高法从同一底的两个端点分别作梯形的高,把梯形分成一个矩形和两个直角三角形.例2、在等腰梯形ABCD中,AD//BC,AB=CD,ABC=60,AD=3cm,BC=5cm,求:(1)腰AB的长;(2)梯形ABCD的面积.解:作AEBC于E,DFBC于F,又∵AD∥BC,四边形AEFD是矩形,EF=AD=3cm∵AB=DC∵在Rt△ABE中,B=60,BE=1cmAB=2BE=2cm,【方法3】延长腰延长梯形的两腰交于一点,得到两个三角形.例3、已知:梯形ABCD中,AD//BC,C,求证:四边形ABCD是等腰梯形.证明:如图,分别延长BA、CD,设它们交于E点.∵在△EBC中,C,EB=EC∵AD∥BC,EAD=B,EDA=C,而C,在△EAD中,EAD=EDAEA=EDAB=DC,即四边形ABCD是等腰梯形.【方法4】平移对角线过底的一端作对角线的平行线,从而借助所得的平行四边形或三角形来研究梯形例4、已知:梯形ABCD中,AD//BC,AD=1,BC=4,BD=3,AC=4,求梯形ABCD的面积.解:如图,作DE∥AC,交BC的延长线于E点.∵AD∥BC 四边形ACED是平行四边形BE=BC+CE=BC+AD=4+1=5,DE=AC=4∵在△DBE中,BD=3,DE=4,BE=5BDE=90.作DHBC于H,则【方法5】以梯形一腰的中点为对称中心作某部分图形的对称图形.例5、已知:梯形ABCD中,AD//BC,E为DC中点,EFAB于F点,AB=3cm,EF=5cm,求梯形ABCD的面积.解:如图,过E点作MN∥AB,分别交AD的延长线于M点,交BC 于N点.∵DE=EC,AD∥BC△DEM≌△CNE四边形ABNM是平行四边形∵EFAB,S梯形ABCD=S□ABNM=ABEF=15cm2.例6、已知:如图13,在梯形ABCD中,AD//BC,ABBC,E是CD 中点,试问:线段AE和BE之间有如何样的大小关系?解:AE=BE,理由如下:延长AE,与BC延长线交于点F.∵DE=CE,AED=CEF,DAE=F△ADE≌△FCEAE=EF∵ABBC,BE=AE.通过平移腰,得到两腰、上下底的差为边的三角形.板书:通过作高,得到以上下底的差、腰、高为三边的直角三角形.板书:得到含梯形的底和两角的三角形.板书:课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也专门难做到恰如其分。
梯形常用辅助线的做法常见的梯形辅助线基本图形如下:1.平移梯形一腰或两腰,把梯形的腰、两底角等转移到一个三角形中,同时还得到平行四边形.【例1】已知:如图,在梯形ABCD中,.求证:.分析:平移一腰BC到DE,将题中已知条件转化在同一等腰三角形中解决,即AB=2CD.证明:过D作 ,交AB于E.∵ AB平行于CD,且 ,∴四边形是菱形.∴又∴为等边三角形.∴又 ,∴∴.【例2】如图,在梯形ABCD 中,AD∥BC , E、F 分别是AD 、BC 的中点,若 .AD = 7 ,BC = 15 ,求EF .分析:由条件 ,我们通过平移AB 、DC ;构造直角三角形MEN ,使EF 恰好是△MEN 的中线.解:过E 作EM∥AB ,EN ∥DC ,分别交BC 于M 、N ,∵ ,∴∴是直角三角形,∵ , ,∴ .∵、分别是、的中点,∴为的中点,∴ .变式:如图1,梯形ABCD的上底AB=3,下底CD=8,腰AD=4,求另一腰BC的取值范围。
图1析解:过点B作BM//AD交CD于点M,则梯形ABCD转化为△BCM和平行四边形ABMD。
在△BCM中,BM=AD=4,CM=CD-DM=CD-AB=8-3=5,所以BC的取值范围是:5-4<BC<5+4,即1<BC<9。
2.延长梯形的两腰,使它们交于一点,可得到两个相似三角形或等腰三角形、直角三角形等进一步解决问题.【例3】.如图,在梯形中, , ,梯形的面积与梯形的面积相等.求证: .分析:条件是两个梯形的面积相等,而结论是三线段长的平方关系,如果延长两腰交于一点,就可得到三个相似的三角形,再利用相似三角形的面积比与相似比的关系变形就可得出结论.证明:延长、使它们相交于点,∵ ,∴∴.同理,∵故得∴变式1:如图5,在梯形ABCD中,AD//BC,∠B=50°,∠C=80°,AD=2,BC=5,求CD 的长。
图5析解:延长BA、CD交于点E。
全等梯形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案解析)梯形是一种四边形,其中两条边是平行而另外两条边不平行。
在解决全等梯形问题时,我们可以使用一些辅助线的方法来简化问题并找到解答。
以下是常见的8种辅助线的作法,每种方法都附有答案解析。
1. 垂直辅助线法:垂直辅助线法是最基本的辅助线作法之一,它通过引入垂直辅助线来将梯形划分为上下两个小三角形或小梯形,并利用全等三角形的性质来解题。
2. 高度辅助线法:高度辅助线法通过引入高度辅助线来找到梯形的高,并利用相似三角形的性质来解题。
3. 中位线辅助线法:中位线辅助线法通过引入中位线辅助线来将梯形划分为两个全等的平行四边形,并利用平行四边形的性质来解题。
4. 对角线辅助线法:对角线辅助线法通过引入对角线辅助线来将梯形划分为两个全等的三角形,并利用全等三角形的性质来解题。
5. 平行边辅助线法:平行边辅助线法通过引入平行边辅助线来将梯形划分为两个全等的梯形,并利用梯形的性质来解题。
6. 外接圆辅助线法:外接圆辅助线法通过引入外接圆辅助线来找到梯形的外接圆,并利用外接圆的性质来解题。
7. 中心对称辅助线法:中心对称辅助线法通过引入中心对称辅助线来将梯形划分为两个全等的三角形,并利用全等三角形的性质来解题。
8. 连接线辅助线法:连接线辅助线法通过引入连接线辅助线来划分梯形并利用形成的图形的性质来解题。
这些辅助线的作法可以帮助我们在解决全等梯形问题时更简单而有条理地进行推导和解答。
通过灵活运用这些方法,我们可以提高解决问题的效率和准确性。
请注意:本文档中的答案解析仅供参考,具体解答的正确性应根据实际情况进行确认。
梯形常见辅助线作法(教案)一、教学目标:1. 知识与技能:(1)理解梯形的概念及其性质;(2)学会使用常见辅助线作法,将梯形转化为熟悉的三角形或平行四边形;(3)掌握梯形面积的计算方法。
2. 过程与方法:(1)通过观察、操作、思考,培养学生的空间观念和几何思维;(2)学会运用转化思想,将梯形问题转化为解决三角形或平行四边形的问题;(3)培养学生的合作交流能力,提高解决问题的策略。
3. 情感态度与价值观:(1)激发学生对几何图形的兴趣,培养其对数学的热爱;(2)培养学生勇于探索、积极思考的科学精神;(3)培养学生合作、交流的良好品质。
二、教学内容:1. 梯形的概念及其性质;2. 常见辅助线作法:(1)画出梯形的对角线;(2)过梯形一腰的顶点作另一腰的平行线;(3)过梯形一腰的顶点作底边的垂线。
三、教学重点与难点:1. 教学重点:(1)梯形的性质;(2)常见辅助线作法;(3)梯形面积的计算方法。
2. 教学难点:(1)常见辅助线作法的灵活运用;(2)梯形面积的计算方法。
四、教学准备:1. 教具:黑板、粉笔、梯形模型、三角板、直尺、圆规;2. 学具:学生用书、练习本、铅笔、橡皮、剪刀、胶水。
五、教学过程:1. 导入新课:(1)教师出示梯形模型,引导学生观察、思考梯形的特征;(2)学生分享观察到的梯形性质;(3)教师总结梯形的概念及其性质。
2. 探究常见辅助线作法:(1)教师引导学生思考如何将梯形转化为熟悉的三角形或平行四边形;(2)学生尝试使用直尺、圆规等工具,探索常见辅助线作法;(3)教师演示常见辅助线作法,并讲解步骤及原理。
3. 实践操作:(1)学生分组合作,利用辅助线作法,将梯形转化为三角形或平行四边形;(2)教师巡回指导,解答学生疑问;(3)学生展示转化后的图形,并说明转化过程。
4. 面积计算:(1)教师引导学生思考如何计算梯形面积;(2)学生运用转化后的图形,运用三角形或平行四边形的面积计算方法,计算梯形面积;(3)教师总结梯形面积的计算方法。
数学篇梯形作为一种比较特殊的四边形,其特点就是只有一组对边是平行的.因此,解答梯形问题的基本思路是通过添加辅助线来“搭桥”,对梯形进行割补、拼接,将其转化为熟悉的基本图形来解答.合理、巧妙地添加辅助线,不仅可以极大地降低解题难度,而且可以提高同学们思维的灵活性和创造性.一、平移一(两)腰平移腰即从梯形的一个顶点作一腰的平行线,把梯形转化为一个三角形和一个平行四边形;或利用梯形中的某个特殊点,过此点作两腰的平行线,把两腰转化到同一个三角形中,进而为解题创造条件.例1如图1,在梯形ABCD 中,AD //BC ,∠B +∠C =90°,AD =10,BC =30,E 、F 分别是AD 、BC 的中点,连接EF ,求EF 的长.图1图2解:过E 作EG //AB 交BC 于G ,过E 作EH //CD 交BC 于点H ,如图2所示.∵AD //BC ,∴四边形ABGE 是平行四边形,∴AE =BG ,同理可得DE =CH ,∴BG +CH =AE +DE =AD =10,又∵BC =30,∴GH =BC -BG -CH =20,又∵E 、F 分别是AD 、BC 的中点,∴BF =CF ,且AE =DE ,又∵AE =BG ,DE =CH ,∴GF =FH ,即F 为GH 的中点,在Rt△EGH 中GH =20,F 是GH 的中点,由直角三角形中线与斜边关系可知,EF =12CH =10,即EF =10.评注:平移梯形的一腰或两腰,可把梯形转化成三角形和平行四边形,从而把相对分散的条件集中到一个图形中以方便解题.二、平移对角线平移对角线即过梯形上底的一个端点作梯形一条对角线的平行线,将梯形转化为一个平行四边形和几个三角形.当题目中有梯形的对角线相等或互相垂直时,可以平移对角线把两条对角线、上下底之和放在一个三角形中,就会出现等腰三角形、直角三角形等特殊三角形,然后利用特殊三角形的性质来解答此类问题.例2如图3,在等腰梯形ABCD 中,AD //BC ,AD =3,BC =7,BD =52,求证:AC ⊥BD.图3图4证明:过点C 作CE //BD 交AD 延长线于学思导引27数学篇学思导引E,如图4所示.∵AD//BC,∴四边形BCED为平行四边形,∴DE=BC且BD=CE,又∵AD=3,BC=7,∴AE=AD+DE=AD+BC=3+7=10,∵ABCD为等腰梯形,∴AC=BD,又∵BD=CE且BD=52,∴AC=CE=BD=52,在△ACE中,AC2+CE2=(52)2+(52)2=100,AE2=102=100,即AC2+CE2=AE2,所以,△ACE是以∠C为直角的直角三角形,即AC⊥BD.评注:过梯形的一个顶点平移对角线,把两条对角线转移到同一个三角形中,若对角线相等,则这个三角形是等腰三角形;若对角线垂直,则这个三角形是直角三角形;若对角线相等又垂直,则这个三角形是等腰直角三角形.这些结论可以为解题创造有利条件.三、延长两腰延长两腰即延长梯形的两腰使其交于一点,化梯形为两个(相似的)三角形.如果是等腰梯形,则得到两个分别以梯形两底为底的等腰三角形.延长两腰可以将梯形转化为多个三角形,从而借助三角形的性质定理等知识要点,为解题铺平道路.例3如图5所示,四边形ABCD中,AD不平行于BC,AC=BD,AD=BC.判断四边形ABCD的形状,并证明你的结论.图5图6解:四边形ABCD为等腰梯形,证明如下.延长AD、BC交于E,如图6所示.在△ABD和△BAC中,有ìíîïïBD=AC,AD=BC,AB=AB,∴△ABD≌△BAC,∴∠BAD=∠ABC,在△EAB中,∵∠BAD=∠ABC,∴△EAB为等腰三角形,即AE=BE,又∵AD=BC,∴DE=CE,∴DE AE=CE BE,即AB//CD,又∵AD=BC,∴四边形ABCD为等腰梯形.评注:预测四边形形状后根据需要寻找条件即可.此题要灵活运用三角形全等、对应线段成比例、平行线的判定等知识点.四、作对角线作对角线即连接对角线将梯形转化为三角形,再利用三角形的一些性质与规律去解答四边形的问题.尤其在特殊梯形中,将没有画出的对角线作出来,再利用特殊梯形对角线的性质(如等腰梯形对角线相等),将题目中的条件进行转化,可以实现有效解题.例4如图7,在直角梯形ABCD中,AD//BC,AB⊥AD,BC=CD,BE⊥CD于点E,求证:AD=DE.图7图8解:连接BD,如图8所示.∵AB⊥AD,∴∠BAD=90°,∵BE⊥CD,∴∠BED=90°,∵AD//BC,∴∠1=∠3,∵BC=CD,∴∠2=∠3,∴∠1=∠2,在△DBE和△DBA中,28数学篇学思导引有ìíîïï∠1=∠2,∠BAD =∠BED BD =BD ,,∴△DBE ≌△DBA ,∴AD =DE .评注:在直角梯形中连接对角线往往可以构造直角三角形,然后利用直角三角形与全等三角形的知识来证明.五、连接顶点和一腰中点并延长连接梯形上底一端点和一腰的中点,并延长与下底延长线相交,从而将梯形割补成几个三角形.这样作辅助线可以充分利用梯形中的平行和等量关系,将上下底之和统一到一段线段上来,再结合三角形全等和其他特殊三角形的性质使问题得到解答.例5如图9,在直角梯形ABCD 中,AD //BC ,E 是DC 的中点,连接AE 和BE ,求证:∠AEB =2∠CBE.1234图9图10证明:延长AE 、BC 交于F ,如图10所示,∵四边形ABCD 为直角梯形,且AD //BC ,∴AB ⊥BC ,∴△ABF 为以∠ABF 为直角的直角三角形.∵AD //BC ,∴∠1=∠2,又∵E 是DC 的中点,∴DE =CE ,在△ADE 和△FCE 中,有ìíîïï∠1=∠2,∠3=∠4,DE =CE ,∴△ADE ≌△FCE ,∴AE =EF ,即E 是AF 的中点,又∵△ABF 是直角三角形,∴BE =12AF =EF ,∴△BEF 是等腰三角形,∴∠F =∠CBE ,∴∠AEB =∠F +∠CBE =2∠CBE ,即∠AEB =2∠CBE .评注:在梯形中,只要有腰上的中点,可过中点构造全等三角形,从而把上下底之和与另一条腰集中在一个三角形中,而这个三角形又是一个特殊三角形,问题就简单了.在解答有关梯形的证明题和计算题时,辅助线的作法并不是单一的,有时可同时作两种或两种以上的辅助线,但目的是一致的,就是在梯形中构造三角形、平行四边形,再运用三角形、平行四边形的相关知识来解题.同学们要结合已知条件添加合适的辅助线,以探求简捷的解题方法.《〈圆〉拓展精练》参考答案1.D ;2.A ;3.C ;4.A ;5.23-π;6.6cm ;7.相离;8.30°或150°;9.100或700;10.(1)证明略;(2)S 阴影部分=S △OAC -S 扇形AOE =12×3×33-60π×32360=32π.11.(1)证明略;(2)解:由题意知方程x 2+(m -2)x +m +1=0有两个相等的实数根,∴Δ=(m -2)2-4(m +1)=0,∴m =0或8,当m =0时,方程为x 2-2x +1=0,解得x 1=x 2=1,∴CE =1.当m =8时,方程为x 2+6x +9=0,解得x 1=x 2=-3(不符合题意舍去).∴CE =1.综上所述,CE =1.29。
梯形中添加辅助线的六种常用技巧Prepared on 22 November 2020梯形中添加辅助线的六种常用技巧浙江唐伟锋梯形是不同于平行四边形的一类特殊四边形,解决梯形问题的基本思路是通过添加辅助线,将梯形进行割补、拼接转化为三角形、平行四边形问题进行解决。
一般而言,梯形中添加辅助线的常用技巧主要有以下几种——一、平移一腰从梯形的一个顶点作一腰的平行线,将梯形转化为平行四边形和三角形,从而利用平行四边形的性质,将分散的条件集中到三角形中去,使问题顺利得解。
例1、如图①,梯形ABCD中AD∥BC,AD=2cm,BC=7cm,AB=4cm,求CD的取值范围。
解:过点D作DE∥AB交BC于E,∵AD∥BC,DE∥AB∴四边形ABED是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)∴DE=AB=4cm,BE=AD=2cm∴EC=BC-BE=7-2=5cm在△DEC中,EC-DE<CD<EC+DE(三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边)∴1cm<CD<9cm。
二、延长两腰将梯形的两腰延长,使之交于一点,把梯形转化为大、小两个三角形,从而利用特殊三角形的有关性质解决梯形问题。
例2、如图②,已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠C,求证:梯形ABCD是等腰梯形。
证明:延长BA、CD,使它们交于E点,∵AD∥BC∴∠EAD=∠B,∠EDA=∠C(两直线平行,同位角相等)又∵B=∠C∴∠EAD=∠EDA∴EA=ED,EB=EC(等角对等边)∴AB=DC∴梯形ABCD是等腰梯形(两腰相等的梯形是等腰梯形)。
三、平移对角线从梯形上底的一个顶点向梯形外作一对角线的平行线,与下底延长线相交构成平行四边形和一特殊三角形(直角三角形、等腰三角形等)。
例3、如图③,已知梯形ABCD中,AD=1.5cm,B C=3.5cm,对角线AC⊥BD,且BD=3cm,AC=4cm,求梯形ABCD的面积。
解:过点D作DE∥AC交BC延长线于E∵AD∥BC,DE∥AC∴四边形ACED是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)∴CE=AD=1.5cm,DE=AC=4cm∵AC ⊥BD∴DE ⊥BD∴S 梯形ABCD =111()()222AD BC h CE BC h BE h +⨯=+⨯=⨯(h 为梯形的高) 211346cm 22BD DE =⨯=⨯⨯= 。
5.方茴说:"那时候我们不说爱,爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。
我们只说喜欢,就算喜欢也是偷偷摸摸的。
"6.方茴说:"我觉得之所以说相见不如怀念,是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛,而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。
"7.在村头有一截巨大的雷击木,直径十几米,此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光,变得普普通通了。
1."噢,居然有土龙肉,给我一块!"2.拎着骨棒与阔剑也快步向自家中走去。
浅析梯形的辅助线宣威市羊场镇初级中学 张荣芝梯形的问题可通过添加辅助线化归成我们熟悉的平行四边形和三角形,添辅助线可达到集中已知条件或构造基本图形等目的。
这种化归的思想是数学中研究问题的重要方法.下面我们来看看几种在梯形中常见的添辅助线的方法.(一)与腰有关的辅助线例1、已知:在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB=CD ,AD=4,BC=12,∠C=60°,求AB 的长.(1)梯形内平移一腰(也就是我们常说的作腰的平行线) 解:方法一(平移腰) 过点D 作DE ∥AB 交BC 于E ∵AD ∥BCC5.方茴说:"那时候我们不说爱,爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。
我们只说喜欢,就算喜欢也是偷偷摸摸的。
"6.方茴说:"我觉得之所以说相见不如怀念,是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛,而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。
"7.在村头有一截巨大的雷击木,直径十几米,此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光,变得普普通通了。
1."噢,居然有土龙肉,给我一块!"2.老人们都笑了,自巨石上起身。
而那些身材健壮如虎的成年人则是一阵笑骂,数落着自己的孩子,拎着骨棒与阔剑也快步向自家中走去。
∴四边形ABED 是平行四边形 ∴AD=BE=4 ∴EC=BC-BE=8 ∵AB=CD∴DE=DC ∴∠C=60° ∴EC=DE=DE=8 ∴AB=8 (2)梯形外平移一腰解:方法二过点C 作CE ∥AB 交AD 的延长线于E ∵AD ∥BC∴四边形ABCE 是平行四边形 ∴AB=CE ∵AB=CD ∴CD=CE∵AD ∥BC ,∠C=60°∴∠CDE=60° △CDE 是等边三角形 ∵AD=4,BC=125.方茴说:"那时候我们不说爱,爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。
梯形中常用添加辅助线的方法1.作高:过梯形的顶点作底边上的高线,把梯形问题转化为矩形或直角三角形来解决;例1、已知等腰梯形的上底长为5cm,腰长为7 cm,下底角为600,求这个梯形的周长和面积。
练习:在梯形ABCD中,AB=CD,AD∥BC。
求证:AC2=AB2+BC·AD。
2.平移腰:通过平移梯形的一腰或两腰,使梯形问题转化为平行四边形或三角形来解决;例2、在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B+∠C=900,E、F分别是AD和BC边上的中点,求证:EF=(BC-AD)/2。
练习:在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=800,∠C=500,求证:AB=BC-AD。
3.延长两腰:延长梯形的两腰相交于一点,使梯形问题转化为三角形来解决;例3、等腰梯形ABCD,AD∥BC,∠B=600,AD=15,AB=45,求BC的长。
练习:梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠C。
求证:AB=CD。
4.平移对角线:平移其中的一条对角线,使梯形问题转化为直角三角形来解决,此法适合于已知对角线互相垂直的问题;例4、等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AD=BC,且AC⊥BD,CH是高,求证:AB+CD=2CH。
练习:在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,对角线AC、BD互相垂直,GD⊥BC于G,EF是中位线。
求证:EF=DG。
5.连对角线:连结对角线,将梯形问题转化为平行四边形或三角形来解决;例5、梯形ABCD中,AD=BC,AB∥CD,延长AB到E,使BE=DC,连结AC、CE,求证:AC=CE。
6.取腰的中点:有一腰的中点时,往往取另一腰的中点构成梯形的中位线;例6、梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD+BC,M为CD的中点。
求证:AM、BM平∠分DAB、∠CBA。
7.连结上底与一腰中点并延长与下底的延长线相交,借助于得到的三角形解决梯形问题;例7、梯形ABCD中,AB∥CD,E是腰AD的中点,且AB+CD=BC。
梯形中常见辅助线的作法梯形是一种特殊的四边形,它是平行四边形和三角形的“综 合 ”。
可以通过适当地添加辅助线,构造三角形、平行四边形,再运用三角形、平行四边形的相关知识去解决梯形问题。
下面就梯形中辅助线的常见添加方法举例说明,希望对同学们有所帮助。
一、平移对角线:平移一条对角线,使之经过梯形的另一个顶点。
例1 如图,在等腰梯形ABCD 中,AB ∥CD,AC ⊥BD,梯形的高CF 为10,求梯形ABCD 的面积。
分析:由于等腰梯形ABCD 的对角线AC ⊥BD 且AC=BD ,所以我们可以平移一对角线构造一等腰直角三角形,通过验证发现梯形的面积与这个三角形的面积相等,因此只需求出三角形的面积即可。
二、平移一腰或两腰:平移一腰,使之经过梯形的另一个顶点或另条腰的中点;或者同时移动两腰使它们交于一点。
例2 如图,等腰梯形ABCD 两底之差等于一腰的长,那么这个梯形较小的一个内角是( ) A.9O ° B.6O ° C.45° D.30°例3 如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC .AD<BC ,E 、F 分别为AD 、BC 的中点,且EF ⊥BC 。
求证:∠B=∠C 。
三、延长两腰:将梯形两腰延长相交构造三角形。
例4 在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠ABC=∠BCD=60°,AD+BC=30,BD 平分∠ABC ,求梯形的周长。
四、作梯形的高:过梯上底的两个端点分别作梯形的高。
例5 已知等腰梯形的一个内角为60°,它的上底是3cm ,腰长是4cm ,则下底是 。
例6、如图3,在梯形ABCD 中,已知AD ∥BC ,BC=BD ,AD=AB=4cm ,∠A=1200,求梯形ABCD 的面积。
图3BC五、连结上底的一端点与一腰的中点,延长交下底的延长线于一点。
例7、如图5,在梯形ABCD 中, AD ∥BC ,M 、N 分别为AB 、DC 的中点。