梯形辅助线专题练习

初中数学：梯形的五种常用辅助线添加方法，17道例题详解培优几何口诀：梯形问题如何巧转换，平移腰，平移对角线，做一高或两高，两腰延长三角形。

如果出现有中点，细心连上中位线。

上述方法不凑效，过腰中点全等造。

通常情况下，和梯形有关的几何题，辅助线的添加方法，有如上表格里的五种：①平移腰，转化为三角形或者平行四边形；②平移对角线转化为三角形或者平行四边形；③延长两腰，转为三角形；④做高或者双高，转化为直角三角形或者矩形；⑤中位线与腰中点的连线。

在这五大类中，还有细分的一些小类。

请大家细心的看下面的例题，一共举例了17道例题，经典考试题型，有详细解题步骤。

后面，还有8道练习题。

过瘾吧？那就疯狂点赞吧。

例1、有一个角是90°，通常根据题意，平移一腰，则出现直角三角形，用解直角三角形的思路，即可。

例2、平移一腰，得到一个三角形，通过三角形的三边关系定理。

两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围。

例3、平移两腰的经典考试题型。

平移两腰，在梯形的中间得出一个三角形。

例4、平移对角线，得出一个平行四边形，再转化成一个三角形来解决问题。

例5，也是平移对角线，得到一个平行四边形和三角形，通过线段的转化，符合勾股定理，得出角度等于90°。

例6，平移对角线，得出平行四边形，还有等底等高三角形面积相等。

此题非常巧妙。

例7，延长两腰，相交得出一个三角形。

再利用原梯形的上底下底平行的关系，得出结论。

例8、这是一道证明四边形是等腰梯形的经典考试题型，不可错过的好题。

请看详细解题推理步骤。

例9，连接对角线，也是解决梯形问题里一个辅助线添加方法。

这题简单，但是这个BD的连接，是解题的关键。

例10，做梯形的一条高。

证明四边形是等腰梯形。

请看详细解题步骤，学会类似方法，举一反三。

例11、梯形做双高，得到一个矩形，和两个直角三角形，问题迎刃而解。

例12、这道题很新颖，求证两线段的大小关系。

做双高，得到两个直角三角形和一个矩形，通过线段大小关系，结合勾股定理，顺利得证。

2019-2020年八年级数学下册专题讲解+课后训练：梯形的辅助线课后练习及详解题一：(1)如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，腰AB= 4，两底之差为2，求另一腰CD的长；(2)在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∠B=60°，AD=8，BC=14，求梯形ABCD的周长；(3)如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，DC=AD=BC，且对角线AC垂直于腰BC，求这个梯形各内角的度数；(4)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B+∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，则EF= ．题二：(1)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=30°，∠C=60°，E、F、M、N分别为AB、CD、BC、DA的中点，已知BC=7，MN=3，则EF= ；(2)如图，在梯形ABCD中，AD=DC，AB=DC，∠D=120°，对角线CA平分∠BCD，且梯形的周长为20，则梯形ABCD的面积为；(3)如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB= 4，BC=7，求∠B的度数；(4)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD=3，BC=7，E在BC上，CE=2，则DE= ．题三：已知：等腰梯形的上底是2cm，腰长是4cm，一个底角是60°，则等腰梯形的下底是cm．题四：已知：等腰梯形的一个底角等于60°，它的两底分别为4cm和7cm，则它的周长为cm．题五：如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AC⊥BD，且AD= 4，BC=8，求AC的长．题六：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，若AD=3，BC=7，求梯形ABCD 面积的最大值．题七：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，点F是CD的中点，且AF ⊥AB，若AD=2.7，AF=4，AB=6，求CE的长．题八：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A+∠B=90°，CD=5，AB=11，点M、N分别为AB、CD的中点，求线段MN的长．题九：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB= 4，AD=3，BC=5，点M是边CD的中点，连接AM、BM．求△ABM的面积．题十：如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC(AD＜BC)，∠B=90°，AB=AD+BC．点E 是CD的中点，点F是AB上的点，∠ADF= 45°，FE=a，梯形ABCD的面积为m．(1)求证：BF=BC；(2)求△DEF的面积(用含a、m的代数式表示)．题十一：以线段a=16，b=13为梯形的两底，c=10，d=6为腰画梯形，这样的梯形() A．只能画出一个B．能画出2个C．能画出无数个D．不能画出题十二：以线段a=5，b=10，c=15，d=20做梯形四边形，这样的梯形(不全等的)() A．至少能做3个B．恰好能做2个C．仅仅只能做1个D．一个也不能做梯形的辅助线课后练习参考答案题一：(1)2；(2)34；(3)60°，60°，120°，120°；(4)1．详解：(1)过D作DE⊥BC于E，∵AB⊥BC，DE⊥BC，AD∥BC，∴四边形ADEB是个矩形，∴AB=DE= 4，CE=BC AD=2，Rt△DEC中，CD===2；；(2)过A、D点作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，∵AB=CD，∠B=∠C，AE=DF，∴△ABE≌△DCF，∴BE=CF，∵AD=8，BC=14，BE=CF=3，又∵在Rt△ABE中，∠B=60°，∴AB=2BE=6，∴梯形ABCD的周长为8+14+6+6=34；(3)如图所示，过点C作CE∥AD，又DC∥AE，∴四边形AECD为平行四边形，又DC=AD=BC，∴四边形AECD为菱形，∴AE=CE=BC，∴∠EAC=∠ECA，∠CEB=∠B，∵∠B+∠CAB=90°，即3∠CAE=90°，∴∠CAE=30°，∴∠B=60°=∠DAB，∠D=∠DCB=120°；(4)过点E作AB、CD的平行线，与BC分别交于G，H，∵∠B+∠C=90°，∴∠EGH=∠B，∠EHG=∠C，∴∠EGH+∠EHG=90°，∴四边形ABGE和四边形CDEH都是平行四边形，△EGH为直角三角形，∵E、F分别是AD、BC的中点，∴BG=CH=0.5，GH=2，根据直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半知，EF=GH=1，∴EF=1．题二：(1)4；(2)12；(3)60°；(4)5．详解：(1)过点N分别作NG∥AB，NH∥CD，得平行四边形ABGN和平行四边形DCHN，∴∠NGM+∠NHM=∠B+∠C=90°，GH=BC AD，MG=MH，∴GH=2MN=6，∴AD=76=1，∴EF= 4；(2)∵在梯形ABCD中，AB=DC，∴梯形ABCD是等腰梯形，∴∠D+∠DCB=180°，∵∠D=120°，∴∠B=∠DCB=60°，∵对角线CA平分∠BCD，∴∠ACB=30°，∵AD=DC，∴∠DAC=∠ACD=30°，∴∠BAC=90°，∴BC=2AB，∵梯形的周长为AD+DC+BC+AB=5AB=20，∴AB= 4，∴AC=4，BC=8，过点A作AE⊥BC于点E，∵AB= 4，AC=4，BC=8，∴AE=2，∴梯形ABCD的面积为(4+8)×2×=12；(3)过点A作AE∥DC交BC于E，∵AD∥BC，∴四边形AECD是平行四边形，∴EC=AD=3，DC=AE，∴BE=BC CE=73= 4，∴CD=AB= 4，∴AE=AB=BE= 4，∴△ABE是等边三角形，∴∠B=60°；(4)过D作DF∥AC交BC的延长线于F，∵AD∥BC，∴四边形ACFD是平行四边形，∴CF=AD=3，∵BC=7，∴BF=BC+CF=7+3=10，∵CE=2，∴BE=72=5，EF=2+3=5，∴BE=EF，又∵AC⊥BD，DF∥AC，∴∠BDF=90°，∴DE=BF=5．题三：6cm．详解：过D作DE∥AB交BC于E，∵DE∥AB，AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形，∴AD=BE=2cm，DE=AB=4cm，∠DEC=∠B=60°，AB=DE=DC，∴△DEC是等边三角形，∴EC=CD= 4cm，∴BC= 4cm+2cm=6cm．题四：17cm．详解：过上底顶点D作DE∥AB交BC于E，则四边形ABED是平行四边形，∴DE=AB，AD=BE，∵梯形的一个底角是60°，∴∠C=60°，又∵腰长AB=CD=DE，∴△CDE是等边三角形，∴CD=CE=BC BE=74=3cm，∴它的周长为3+7+3+4=17cm．题五：．详解：过D作DE∥AC交BC的延长线于E，∵AD∥BC，AB=CD，∴四边形ABCD是等腰梯形，∴ADEC是平行四边形，∴AD=CE，AC=DE，即可得出BE=BC+CE=BC+AD=12，又∵AC=BD，∴BD=ED，∴△BDE为等腰直角三角形，∴AC=BD=．题六：25．详解：过D作DE∥AC交BC延长线于E，∵AD∥BC，DE∥AC，∴四边形ACED是平行四边形，∴AD=CE，∴根据等底等高的三角形面积相等得出△ADC的面积等于△DCE的面积，即梯形ABCD的面积等于△BDE的面积，∵AC⊥BD，DE∥AC，∴∠BDE=90°，BE=3+7=10，∴此时△BDE的边BE边上的高越大，它的面积就越大，即当高是BE时最大，即梯形的最大面积是×10××10=25．题七：2.3．详解：延长AF、BC交于点G，∵AD∥BC，∴∠D=∠FCG，∠DAF=∠G，又DF=CF，∴△AFD≌△GFC，∴AG=2AF=8，CG=AD=2.7，∵AF⊥AB，AB=6，∴BG=10，∴BC=BG CG=7.3，∵AE=BE，∴∠BAE=∠B，∴∠EAG=∠AGE，∴AE=GE，∴BE=BG=5，∴CE=BC BE=2.3．题八：3．详解：如图，过D作DE∥BC，DF∥MN，∵在梯形ABCD中，AB∥CD，DE∥BC，∴CD=BE=5，AE=AB BE=115=6，∵M为AB的中点，∴MB=AM=AB=×11=5.5，ME=MB BE=5.55=0.5，∵N为DC的中点，∴DN=DC=×5=2.5，在四边形DFMN中，DC∥AB，DF∥MN，∴FM=DN=2.5，∴FE=FM+ME=2.5+0.5=3=AE，∴F为AE的中点，又∵DE∥BC，∴∠B=∠AED，∵∠A+∠B=90°，∴∠A+∠AED=90°，∴∠ADE=90°，即△ADE是直角三角形，∴DF=MN=AE=×6=3．题九：8．详解：延长AM交BC的延长线于点N，∵AD∥BC，∴∠DAM=∠N，∠D=∠MCN，∵点M是边CD的中点，∴DM=CM，∴△ADM≌△NCM(AAS)，∴CN=AD=3，AM=MN=AN，∴BN=BC+CN=5+3=8，∵∠ABC=90°，∴S△ABN=×AB•BN=×4×8=16，∴S△ABM=S△ABN=8，即△ABM的面积为8．题十：见详解．详解：(1)∵四边形ABCD是直角梯形，∴∠A=90°，∵∠ADF=45°，∴∠AFD= 45°，∴AD=AF，∵AB=AF+BF，AB=AD+BC，∴BF=BC；(2)连接FC，设AD=AF=x，BC=BF=y，连接CF，作DH⊥BC于H，易证四边形ABHD为矩形、△CDF为直角三角形，又∵E是CD中点，∴CD=2EF=2a，由勾股定理得x2+y2=2a2…①，由直角梯形的面积公式可得：(x+y)2=2m…②，由②①，得xy=m a2，∵S△DFC=S梯形ABCD S△AFD S△BFC=(x+y)2 x2 y2 = xy，∴S△DEF=S△DFC=m a2．题十一：D．详解：如图，过点B作BE∥AD，则出现平行四边形ABED和一个△BEC，∵AB=13，CD=16，AD=10，BC=6∴CE=3，BE=10，∵3+6＜10，∴BE，CE，BC不能构成三角形∴这样的梯形一个也不能作．故选D．题十二：C．详解：作DE∥AB，则DE=AB，①当a=5为上底，b=10为下底，c、d为腰时，105=5，与15，20不能构成三角形，故不满足题意；②当a=5为上底，b=15为下底，b、d为腰时，155=10，与10，20不能构成三角形，故不满足题意；③当a=5为上底，d=20为下底，b、c为腰时，205=15，与10，15可以构成三角形，故满足题意；④当b=10为上底，c=15为下底，a、d为腰时，1510=5，与5，20不能构成三角形，故不满足题意；⑤当b=10为上底，d=20为下底，a、c为腰时，2010=10，与5，15不能构成三角形，故不满足题意；⑥当c=15为上底，d=20 为下底，a、b为腰时，2015=5，与5，10不能构成三角形，故不满足题意；综上可得只有当a=5为上底，d=20为下底，b、c为腰时，满足题意，即以线段a=5，b=10，c=15，d=20做梯形四边形，这样的梯形(不全等的)只能做一个．故选C．.。

梯形辅助线专题训练题1、 如图，已知在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠D=60°， ∠C=45°，AB=2，AD=4，求梯形ABCD 的面积．解：作AE 、BF 垂直于DC ，垂足分别为E 、F ∴AE ∥BF ∵AB ∥DC ，∴四边形ABFE 是平行四边形，∴EF=AB=2∵∠D=60°，AD=4 ∴DE=2，∴AE=22DE -AD =32 ∴BF=AE=32。

∵∠C=45°∴CF=BF=32。

∴CD=DE+EF+CF=4+32 S 梯形ABCD =21（AB+CD ）•AE=3662、在梯形ABCD 中，AD//BC ，AB=DC=AD=2， BC=4，求∠B 的度数及AC 的长。

解：过A 点作AE ∥DC 交BC 于点E ， ∵AD ∥BC ，∴四边形AECD 是平行四边形． ∴AD=EC ，AE=DC ， ∵AB=DC=AD=2，BC=4， ∴AE=BE=EC=AB ，∴△BAC 是直角三角形，△ABE 是等边三角形， ∴∠BAC=90°，∠B=60°． 在Rt △ABC 中， AC=22AB -B C =222-4=32，∴∠B=60°，AC=32．3、如图所示，已知等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝60°，AD ＝2，BC ＝8，求等腰梯形的周长。

解：过点A 作AE ⊥BC ，过点D 作DF ⊥BC ，∵AD=EF=2，又BE=CF ∴BE=CF=（8-2）÷2=3 ∵∠B=60°， ∴∠BAE=30°， ∴AB=6∵梯形ABCD 是等腰梯形 ∴AB=CD=6∴周长为6+6+2+8=224、 如图所示，AB ∥CD ，AE ⊥DC ，AE ＝12，BD ＝20，AC ＝15，求梯形ABCD 的面积。

解：如图，过点A 作AF ∥BD 交CD 的延长线于F ． ∵AB ∥CD ，∴四边形ABDF 是平行四边形． ∵AF=BD=15，FD=AB ， 在Rt △AEF 和Rt △AEC 中， ∵AE=12，∴根据勾股定理，得：EF= 22AE -AF =9，CE= 22AE -AC =16． ∴FC=EF+EC=9+16=25， ∵FC=FD+CD=AB+CD ， ∴S 梯形ABCD =21（AB+CD ）•AE=21×25×12=150．5、 如图所示，在等腰梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，对角线AC 与BD 互相垂直，且AD ＝30，BC ＝70，求BD 的长.解：过点D 作DE ∥AC 交BC 的延长线于点E ， ∵AD ∥BC （已知），即AD ∥CE ， ∴四边形ACED 是平行四边形，∴CE=AD= 30，AC=DE ，BE=BC+CE=100 在等腰梯形ABCD 中，AC=DB ， ∴DB=DE （等量代换）， ∵AC ⊥BD ，AC ∥DE ， ∴DB ⊥DE ，∴△BDE 是等腰直角三角形，作DF ⊥BC 于F ， 则DF=21 BE=50，S 梯形ABCD =21（AD+BC ）•DF=21（30+70）×50=250．6、 如图所示，已知等腰梯形的锐角等于60°，它的两底分别为15cm 和49cm ，求它的腰长.解：分别过点C ，D 作CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，则四边形EFDC 为矩形，△ACE ≌△BDF ， ∵CD=15cm ，AB=49cm ∴AE=17cm ，∵CE ⊥AB ，∠A=60°， ∴∠ACE=30°， ∴AC=34cm ， 故腰长为34cm ．7、 如图所示，已知等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥BD ，AD ＋BC ＝10，DE ⊥BC 于E ，求DE 的长.解：过点D 作DK ∥AC ，交BC 的延长线于K ， ∵AD ∥BC ，∴四边形ACKD 是平行四边形， ∴CK=AD ，AC=DK ， ∵AC ⊥BD ， ∴BD ⊥DK ，∵四边形ABCD 是等腰梯形， ∴BD=AC=DK ， ∵DE ⊥BC ， ∴BE=KE ， ∴DE=21 BK=21（BC+CK ）=21（BC+AD ）=21×10=5．8、已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，∠BAD 、∠CDA 的平分线AE 、DF 分别交直线BC 于点E 、F ．求证： CE=BF ．证明：在梯形ABCD 中，AB=DC ， ∴∠ABC=∠DCB ，∠BAD=∠CDA ．∵AE 、DF 分别为∠BAD 与∠CDA 的平分线，∴∠BAE=21∠BAD ，∠CDF=21∠CDA ．∴∠BAE=∠CDF ．∴△ABE ≌△DCF ． ∴BE=CF ．∴BE-BC=CF-BC ．即BF=CE ．9、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ， BD=CD, ∠BDC ＝90°，AD=3，BC=8．求AB 的长．解：作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 于F ． ∴AE ∥DF ，∠AEF=90°， ∵AD ∥BC ，∴四边形AEFD 是矩形． ∴EF=AD=3，AE=DF ．∵BD=CD ，∠BDC=90°，∴△BDC 是等腰直角三角形， ∵DF ⊥BC ，∴DF 是△BDC 的BC 边上的中线． ∴DF=21BC=BF=4．∴AE=4，BE=BF-EF=4-3=1． 在Rt △ABE 中，AB 2=AE 2+BE 2，∴AB=2214+=17．10、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝90°， ∠C ＝45°，DE=EC ，AB=4,AD=2，求BE 的长．11、已知：如图，梯形ABCD 中，DC ∥AB ，AD=BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，∠COD=60°，若CD=3，AB=8，求梯形ABCD 的高．解：过点C 作CE ∥DB ，交AB 的延长线于点E ，过点C 作CH ⊥AE 于点H ．∴∠ACE=∠COD=60°又∵DC ∥AB ，∴四边形DCEB 为平行四边形 ∴BD=CE ，BE=DC=3，AE=AB+BE=8+3=11 又∵DC ∥AB ，AD=BC ，∴DB=AC=CE ∴△ACE 为等边三角形∴AC=AE=11，∠CAB=60°。

例谈梯形中的常用辅助线在解（证）有关梯形的问题时，常常要添作辅助线，把梯形问题转化为三角形或平行四边形问题。

本文举例谈谈梯形中的常用辅助线，以帮助同学们更好地理解和运用。

一、平移1、平移一腰：从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形转化为一个三角形和一个平行四边形。

［例1］如图1，梯形ABCD 的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC 的取值范围。

2、平移两腰：利用梯形中的某个特殊点，过此点作两腰的平行线，把两腰转化到同一个三角形中。

［例2］如图2，在梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B ＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连接EF ，求EF 的长。

3、平移对角线：过梯形的一个顶点作对角线的平行线，将已知条件转化到一个三角形中。

［例3］如图3，在等腰梯形ABCD 中，AD//BC ，AD=3，BC=7，BD=25，求证：AC ⊥BD 。

【变式1】（平移对角线）已知梯形ABCD 的面积是32，两底与高的和为16，如果其中一条对角线与两底垂直，则另一条对角线长为_____________［例4］如图4，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AC=15cm ，BD=20cm ，高DH=12cm ，求梯形ABCD 的面积。

二、延长即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。

［例5］如图5，在梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD 的长。

【变式2】如图所示，四边形ABCD 中，AD 不平行于BC ，AC ＝BD ，AD ＝BC. 判断四边形ABCD 的形状，并证明你的结论.【变式3】（延长两腰）如图，在梯形中，，，、为、的中点。

三、作对角线即通过作对角线，使梯形转化为三角形。

［例6］如图6，在直角梯形ABCD 中，AD//BC ，AB ⊥AD ，BC=CD ，BE ⊥CD 于点E ，求证：AD=DE 。

［例4］如图4，在梯形ABCD 中，AD //BC ，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD 的长。

［例3］如图3，在等腰梯形ABCD 中，AD //BC ，AD=3，BC=7，BD=25，求证：AC ⊥BD 。

［例2］如图2，在梯形ABCD 中，AD //BC ，∠B ＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连接EF ，求EF 的长。

［例1］如图1，梯形ABCD 的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC 的取值范围。

梯形中的常用辅助线在解（证）有关梯形的问题时，常常要添作辅助线，把梯形问题转化为三角形或平行四边形问题。

本文举例谈谈梯形中的常用辅助线，以帮助同学们更好地理解和运用。

一、平移 1、平移一腰：从梯形的一个顶点 作一腰的平行线，把梯形转化为一个 三角形和一个平行四边形。

（如下图）2、平移两腰：利用梯形中的某个 特殊点，过此点作两腰的平行线，把 两腰转化到同一个三角形中。

3、平移对角线：过梯形的一个 顶点作对角线的平行线，将已知条件 转化到一个三角形中。

二、延长即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。

三、作对角线即通过作对角线，使梯形转化为 三角形。

图1图2图3 图4 ［例5］如图5，在直角梯形ABCD 中，AD //BC ，AB ⊥AD ，BC=CD ，BE ⊥CD 于点E ，求证：AD=DE 。

图5（2）证明:△AB F 的面积等于梯形ABCD 的面积。

（3）证明：△AB E 的面积等于梯形ABCD 的面积的一半。

［例10］如图10。

在梯形ABCD 中，AD ∥BC ， ∠BAD=900，E 是DC 上的中点，连接AE 和BE 。

求(1)∠AEB=2∠CBE 。

［例9］如图9，在梯形ABCD 中，AD //BC ，E 、F 分别是BD 、AC 的中点，求证：（1）EF //AD ；（2）)AD BC (21EF -=［例8］如图8，在梯形ABCD 中，AB //DC ，O 是BC 的中点，∠AOD=90°，求证：AB ＋CD=AD 。

(完整版)梯形中的辅助线专题训练介绍本文档旨在提供有关梯形中辅助线的专题训练。

梯形是一种四边形，其两边平行，另外两边不平行。

使用辅助线可以帮助我们解决梯形相关问题，提高解题效率。

问题1已知梯形ABCD，边AB平行于边CD，辅助线EF与边AB和边CD相交于点E和点F。

如果边AE的长度为6，边BC的长度为9，边DE的长度为3，求辅助线EF的长度。

解答1由于辅助线EF与边AB平行，所以我们可以利用相似三角形的性质来解决这个问题。

根据题目给出的信息，我们可以得到以下相似三角形比例关系：AE/EF = DE/BC代入已知数值，我们可以得到：6/EF = 3/9进一步计算，得到：EF = 18/3 = 6所以辅助线EF的长度为6。

问题2已知梯形PQRS，边PQ平行于边RS，辅助线TU与边PQ和边RS相交于点T和点U。

如果已知边PT的长度为12，边QT的长度为8，边QU的长度为10，求辅助线TU的长度。

解答2同样地，由于辅助线TU与边PQ平行，我们可以利用相似三角形的性质来解决这个问题。

根据题目给出的信息，我们可以得到以下相似三角形比例关系：PT/TU = QU/QS代入已知数值，我们可以得到：12/TU = 10/(8 + TU)进一步计算，得到：12(8 + TU) = 10TU96 + 12TU = 10TU96 = 2TUTU = 48所以辅助线TU的长度为48。

结论辅助线在解决梯形相关问题时起着关键的作用。

通过合理运用相似三角形的性质，我们可以快速求解辅助线的长度，并解决梯形中的各类问题。

这里提供的两个专题训练问题是基于辅助线与边平行的情况，但在实际应用中，辅助线也可以与其他线段相交。

在解题过程中，要善于分析问题，并运用恰当的方程和几何关系，以达到高效解题的目的。

梯形中常见的辅助线内容基本要求略高要求较高要求梯形会识别梯形、等腰梯形：了解等腰梯形的性质和判定.掌握梯形的槪念，会用等腰梯形的性质和判定解决简单问题.例我们可以看到，梯形本身的性质并不多，所以实际解梯形的问题时，往往通过添加辅助线将梯形分成三角形或平行四边形，三角形是最简单的直线形，而平行四边形具有很好的对称性质•下而给出几个常见的添加辅助线的方法.1.作梯形的高：一般是过梯形的一个顶点作高，英好处是将梯形分成一个直角三角形和一个直角梯形，从而可以用勾股;4^理，如果过梯形的两个顶点分别作高•则会出现矩形•2.过梯形的一个顶点作另一腰的平行线：这样便将梯形分成了一个平行四边形和一个三角形，这样做的好处是可以将两条腰拉到同一个三角形中，并且三角形的另一条边恰好是梯形的两底之差，从而将问题集中到三角形中•3.延长梯形的两腰交于一点：这样做可以同样地使问题转化为三角形的问题.4.过梯形一腰的中点作另一腰的平行线：可以将梯形等积变换成一个平行四边形.5.连接梯形一个顶点和另一腰上的中点并延长交另一底边：可以将梯形等积变换成一个三角形.常见的辅助线添加方式如下:梯形中的辅助线较多，其实质是采用割补法将梯形问题划归为三角形、平行四边形问题处理.解题时要根据题目的条件和结论来确总作哪种辅助线.常见辅助线1.梯形问题通常是通过分割和拼接转化为三角形或平行四边形，英分割拼接的方法有如下几种（如图）:1,把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（图1所示）:【答案】（1）作一腰的平行线； （2）作另一底边的垂线： （3）作对角线的平行线:（4）交于一点：（5）对称中心： （6）对称轴.【例1】 等腰梯形ABCD 中，AD//BC,若AD=3, AB=4・ BC=7,则ZB= 【答案】60° 如图，直角梯形ABCD 中，AB//CD. CB 丄AB, △ABD 是等边三角形，若AB=2,则BC=在梯形ABCD 中，AD//BC. AD=5, BC=7.若E 为DC 的中点，対线交BC 的延长线于F 点，则BF= •梯形ABCD 中.AD//BC,若对角线AC 丄BD ■且AC=5cm. BD=12cm,则梯形的而积等于（（1）平移一腰，即从梯形的一个顶点（2）从同一底的两端. ,把梯形分成一个矩形和两个宜角三角形（图2所示）;（3）平移对角线，即过底的一端图2，可以借助新得的平行四边形或三角形来研究梯形（图3所示）:（4）延长梯形的两腰.图3,得到两个三角形，如果梯形是等腰梯形，则得到两个等腰三角形（图4所示）:（5）以梯形一腰的中点为.图4,作某图形的中心对称图形（图5、图6所（6）以梯形一腰为.图5 图6,作梯形的轴对称图形（图7所【例2】【答案】 73【例3】【答案】 12 【例4】 A. 30cw- B. 60CW' C- 90cm~2D- } 69 cm-【例10】如图，等腰梯形ABCD 中，AB//CD.对角线AC 平分Z BAD, ZB=60。

梯形的辅助线课后练习主讲教师：傲德题一：(1)如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，腰AB= 4，两底之差为2，求另一腰CD的长；(2)在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∠B=60°，AD=8，BC=14，求梯形ABCD的周长；(3)如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，DC=AD=BC，且对角线AC垂直于腰BC，求这个梯形各内角的度数；(4)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B+∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，则EF= ．(1)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=30°，∠C=60°，E、F、M、N分别为AB、CD、BC、DA的中点，已知BC=7，MN=3，则EF= ；(2)如图，在梯形ABCD中，AD=DC，AB=DC，∠D=120°，对角线CA平分∠BCD，且梯形的周长为20，则梯形ABCD的面积为；(3)如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB= 4，BC=7，求∠B的度数；(4)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD=3，BC=7，E在BC上，CE=2，则DE= ．题二：已知：等腰梯形的上底是2cm，腰长是4cm，一个底角是60°，则等腰梯形的下底是cm．题三：已知：等腰梯形的一个底角等于60°，它的两底分别为4cm和7cm，则它的周长为cm．题四：如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AC⊥BD，且AD= 4，BC=8，求AC的长．题五：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，若AD=3，BC=7，求梯形ABCD面积的最大值．题六：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，点F是CD的中点，且AF⊥AB，若AD=2.7，AF=4，AB=6，求CE的长．题七：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A+∠B=90°，CD=5，AB=11，点M、N分别为AB、CD的中点，求线段MN的长．题八：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB= 4，AD=3，BC=5，点M是边CD 的中点，连接AM、BM．求△ABM的面积．题九：如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC(AD＜BC)，∠B=90°，AB=AD+BC．点E是CD 的中点，点F是AB上的点，∠ADF= 45°，FE=a，梯形ABCD的面积为m．(1)求证：BF=BC；(2)求△DEF的面积(用含a、m的代数式表示)．题十：以线段a=16，b=13为梯形的两底，c=10，d=6为腰画梯形，这样的梯形() A．只能画出一个B．能画出2个C．能画出无数个D．不能画出题十一：以线段a=5，b=10，c=15，d=20做梯形四边形，这样的梯形(不全等的)() A．至少能做3个B．恰好能做2个C．仅仅只能做1个D．一个也不能做梯形的辅助线课后练习参考答案题一：(2)34；(3)60°，60°，120°，120°；(4)1．详解：(1)过D作DE⊥BC于E，∵AB⊥BC，DE⊥BC，AD∥BC，∴四边形ADEB是个矩形，∴AB=DE= 4，CE=BC-AD=2，Rt△DEC中，CD；(2)过A、D点作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，∵AB=CD，∠B=∠C，AE=DF，∴△ABE≌△DCF，∴BE=CF，∵AD=8，BC=14，BE=CF=3，又∵在Rt△ABE中，∠B=60°，∴AB=2BE=6，∴梯形ABCD的周长为8+14+6+6=34；(3)如图所示，过点C作CE∥AD，又DC∥AE，∴四边形AECD为平行四边形，又DC=AD=BC，∴四边形AECD为菱形，∴AE=CE=BC，∴∠EAC=∠ECA，∠CEB=∠B，∵∠B+∠CAB=90°，即3∠CAE=90°，∴∠CAE=30°，∴∠B=60°=∠DAB，∠D=∠DCB=120°；(4)过点E作AB、CD的平行线，与BC分别交于G，H，∵∠B+∠C=90°，∴∠EGH=∠B，∠EHG=∠C，∴∠EGH+∠EHG=90°，∴四边形ABGE和四边形CDEH都是平行四边形，△EGH为直角三角形，∵E、F分别是AD、BC的中点，∴BG=CH=0.5，GH=2，根据直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半知，EF=12GH=1，∴EF=1．题二： (1)4；；(3)60°；(4)5．详解：(1)过点N 分别作NG ∥AB ，NH ∥CD ，得平行四边形ABGN 和平行四边形DCHN ，∴∠NGM +∠NHM =∠B +∠C =90°，GH =BC -AD ，MG =MH ，∴GH =2MN =6，∴AD =7-6=1，∴EF = 4；(2)∵在梯形ABCD 中，AB =DC ，∴梯形ABCD 是等腰梯形，∴∠D +∠DCB =180°，∵∠D =120°，∴∠B =∠DCB =60°，∵对角线CA 平分∠BCD ，∴∠ACB =30°，∵AD =DC ，∴∠DAC =∠ACD =30°，∴∠BAC =90°，∴BC =2AB ，∵梯形的周长为AD +DC +BC +AB =5AB =20，∴AB = 4，∴AC =4BC =8，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，∵AB = 4，AC ，BC =8，∴AE ，∴梯形ABCD 的面积为(4+8)×12(3)过点A 作AE ∥DC 交BC 于E ，∵AD ∥BC ，∴四边形AECD 是平行四边形，∴EC =AD =3，DC =AE ，∴BE =BC -CE =7-3= 4，∴CD =AB = 4，∴AE =AB =BE = 4，∴△ABE 是等边三角形，∴∠B =60°；(4)过D 作DF ∥AC 交BC 的延长线于F ，∵AD ∥BC ，∴四边形ACFD 是平行四边形，∴CF =AD =3，∵BC =7，∴BF =BC +CF =7+3=10，∵CE =2，∴BE =7-2=5，EF =2+3=5，∴BE =EF ，又∵AC ⊥BD ，DF ∥AC ，∴∠BDF =90°，∴DE =12BF =5．题三： 6cm ．详解：过D 作DE ∥AB 交BC 于E ，∵DE ∥AB ，AD ∥BC ，∴四边形ABED是平行四边形，∴AD=BE=2cm，DE=AB=4cm，∠DEC=∠B=60°，AB=DE=DC，∴△DEC是等边三角形，∴EC=CD= 4cm，∴BC= 4cm+2cm=6cm．题四：17cm．详解：过上底顶点D作DE∥AB交BC于E，则四边形ABED是平行四边形，∴DE=AB，AD=BE，∵梯形的一个底角是60°，∴∠C=60°，又∵腰长AB=CD=DE，∴△CDE是等边三角形，∴CD=CE=BC-BE=7-4=3cm，∴它的周长为3+7+3+4=17cm．题五：详解：过D作DE∥AC交BC的延长线于E，∵AD∥BC，AB=CD，∴四边形ABCD是等腰梯形，∴ADEC是平行四边形，∴AD=CE，AC=DE，即可得出BE=BC+CE=BC+AD=12，又∵AC=BD，∴BD=ED，∴△BDE为等腰直角三角形，∴AC=BD=题六：25．详解：过D作DE∥AC交BC延长线于E，∵AD∥BC，DE∥AC，∴四边形ACED是平行四边形，∴AD=CE，∴根据等底等高的三角形面积相等得出△ADC的面积等于△DCE的面积，即梯形ABCD的面积等于△BDE的面积，∵AC⊥BD，DE∥AC，∴∠BDE=90°，BE=3+7=10，∴此时△BDE的边BE边上的高越大，它的面积就越大，即当高是12BE时最大，即梯形的最大面积是12×10×12×10=25．题七： 2.3．详解：延长AF、BC交于点G，∵AD∥BC，∴∠D=∠FCG，∠DAF=∠G，又DF=CF，∴△AFD≌△GFC，∴AG=2AF=8，CG=AD=2.7，∵AF⊥AB，AB=6，∴BG=10，∴BC=BG-CG=7.3，∵AE=BE，∴∠BAE=∠B，∴∠EAG=∠AGE，∴AE=GE，∴BE=12BG=5，∴CE=BC-BE=2.3．题八：3．详解：如图，过D作DE∥BC，DF∥MN，∵在梯形ABCD中，AB∥CD，DE∥BC，∴CD=BE=5，AE=AB-BE=11-5=6，∵M为AB的中点，∴MB=AM=12AB=12×11=5.5，ME=MB-BE=5.5-5=0.5，∵N为DC的中点，∴DN=12DC=12×5=2.5，在四边形DFMN中，DC∥AB，DF∥MN，∴FM=DN=2.5，∴FE=FM+ME=2.5+0.5=3=12AE，∴F为AE的中点，又∵DE∥BC，∴∠B=∠AED，∵∠A+∠B=90°，∴∠A+∠AED=90°，∴∠ADE=90°，即△ADE是直角三角形，∴DF=MN=12AE=12×6=3．题九：8．详解：延长AM交BC的延长线于点N，∵AD∥BC，∴∠DAM=∠N，∠D=∠MCN，∵点M是边CD的中点，∴DM=CM，∴△ADM≌△NCM(AAS)，∴CN=AD=3，AM=MN=12AN，∴BN=BC+CN=5+3=8，∵∠ABC=90°，∴S△ABN=12×AB•BN=12×4×8=16，∴S△ABM=12S△ABN=8，即△ABM的面积为8．题十：见详解．详解：(1)∵四边形ABCD是直角梯形，∴∠A=90°，∵∠ADF=45°，∴∠AFD= 45°，∴AD=AF，∵AB=AF+BF，AB=AD+BC，∴BF=BC；(2)连接FC，设AD=AF=x，BC=BF=y，连接CF，作DH⊥BC于H，易证四边形ABHD为矩形、△CDF为直角三角形，又∵E是CD中点，∴CD=2EF=2a，由勾股定理得x2+y2=2a2…①，由直角梯形的面积公式可得：(x+y)2=2m…②，由②-①，得xy=m-a2，∵S△DFC=S梯形ABCD-S△AFD-S△BFC=12(x+y)2 -12x2 -12y2 = xy，∴S△DEF=12S△DFC=12m-12a2．题十一：D．详解：如图，过点B作BE∥AD，则出现平行四边形ABED和一个△BEC，∵AB=13，CD=16，AD=10，BC=6∴CE=3，BE=10，∵3+6＜10，∴BE，CE，BC不能构成三角形∴这样的梯形一个也不能作．故选D．题十二：C．详解：作DE∥AB，则DE=AB，①当a=5为上底，b=10为下底，c、d为腰时，10-5=5，与15，20不能构成三角形，故不满足题意；②当a=5为上底，b=15为下底，b、d为腰时，15-5=10，与10，20不能构成三角形，故不满足题意；③当a=5为上底，d=20为下底，b、c为腰时，20-5=15，与10，15可以构成三角形，故满足题意；④当b=10为上底，c=15为下底，a、d为腰时，15-10=5，与5，20不能构成三角形，故不满足题意；⑤当b=10为上底，d=20为下底，a、c为腰时，20-10=10，与5，15不能构成三角形，故不满足题意；⑥当c=15为上底，d=20 为下底，a、b为腰时，20-15=5，与5，10不能构成三角形，故不满足题意；综上可得只有当a=5为上底，d=20为下底，b、c为腰时，满足题意，即以线段a=5，b=10，c=15，d=20做梯形四边形，这样的梯形(不全等的)只能做一个．故选C．。

八年级数学秋季班第7讲梯形进阶之梯形辅助线大揭秘拔高练习（北师版）试卷简介:本测试卷共8道题，全面考察梯形辅助线的做法，分三个板块，第一板块：梯形辅助线复习，共有9中辅助线的做法；第二板块：梯形辅助线的应用，充分考察等腰梯形和直角梯形的知识；第三板块：梯形动点问题，是中考题的常考题型和重难点、学习建议:先充分的了解梯形各种辅助线的做法和原理一、单选题(共1道，每道10分)1.（2011安徽）如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=，CD=，点P 在四边形ABCD的边上，若P到BD的距离为，则点P的个数为( )A.1B.2C.3D.4答案：B解题思路：解：当点P在BD的左端，即AB和AD上运动时，P到BD的最小距离为0，P 到BD的最大距离为当点P运动到A点的时候，此时由AB=AD=，得：△ABD为等腰直角三角形，从而A到BD的距离为等腰三角形斜边上的高，为2∵∴存在两个点当点P在BD的右端，即AB在DC和BC上运动时，P到BD的最小距离为0，P到BD的最大距离为当点P运动到点C的位置，即点C到BD的距离，如图，即CE的长∵∠ADB=45°，∠ADC=90°∴∠CDB=45°∴△CDE为等腰直角三角形从而CE=∵∴此时不存在符合要求的点Ｐ综上：点Ｐ的个数为２，Ｂ选项正确易错点：分类讨论时忘记一种情况试题难度：三颗星知识点：直角梯形二、填空题(共3道，每道10分)1.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD⊥DC，BD=DC，CE平分∠BCD，交AB于点E，交BD于点H，EN∥DC交BD于点N．下列结论：①BH=DH；②③其中正确的是（）答案：②③解题思路：过H做HG⊥BC于点G，CE平分∠BCD，BD⊥CD，△CGH≌△CDH，∴DH=GH, CG=CD∵在△BGH中，∴BH>GH，∴BH>DH∴①不对∵∠ECB+∠BEH=90°，∠DCE+∠DHC=90°CE平分∠BCD∴∠BEH=∠CHD=∠BHE∴BE=BH又∠EBN=∠BEN=∠CBD=∠BHG=45°∴△BEN≌BHG（ASA）∴设EN=x，则HG=x∴HD=HG=x，BH=x∴CD=BD=BH+HD=（+1）x∴②正确，CH=(1+)EH③△ENH和△EBH同高，高都等于E到BH的距离，底不同。

八年级数学梯形进阶之梯形辅助线大揭秘(四边
形性质探索)拔高练习
试卷简介:本试卷为卢老师八年级秋季线下班第七讲测试题，第七讲为梯形进阶之梯形辅助线大揭秘，全面考察同学们梯形常见辅助线的添加，以及添加的原理。

学习建议:先熟悉一下梯形常规辅助线的添加方法：一平移：.平移一腰，平移两腰，平移对角线；二延长，延长两腰；三做高，做单高，做双高。

一、单选题(共1道，每道100分)
1.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，且AC⊥BD，AF是梯形的高，梯形面积是49cm²，则AF=（）
A.5
B.6
C.7
D.8
答案：C
E
解题思路：过点D作DE∥AC交BC的延长线于点
则四边形ACED为平行四边形，从而AC=DE，AC∥DE，AD=CE∵四边形ABCD为等腰梯形ABCD∴AC=BD∴BD=DE∵AC⊥BD∴BD⊥DE∴△BDE为等腰直角三角形∵AD=CE∴△ABD的面积=△DCE的面积∵梯形ABCD面积是49cm²∴△BDE的面积是49cm²即
∴BD=DE=7∵AF为梯形的高∴AF为等腰直角△BDE
的高线∴AF=7
易错点：辅助线的添加
试题难度：四颗星知识点：等腰梯形的性质
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