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!第"#卷第$期郑州大学学报!理学版"%&’("#)&($!*#$+年,月-./012340&56278.!)9:.;<7.=>."?9@.*#$+收稿日期!*#$AB#,B #D 基金项目!国家自然科学基金项目!$$$A$*#*".作者简介!李军!$D++&"’男’江西赣州人’博士研究生’主要从事代数群研究’=B I 97’(W 7I ’11"#DKR 90&&.<&I .线性代数幺半群中极大子群的[:A>群结构李!军!广州大学数学与信息科学学院!广东广州"$###C "摘要!研究了线性代数幺半群的单位群与核中的极大子群间的Y1R ’群结构联系.利用半群理论中幂等元的权重’给出了Y1R ’群的阶的特征刻画.关键词!代数群#代数幺半群#Y1R ’群#极大子群中图分类号!g$"*.,文献标志码!F 文章编号!$CA$B C+H$!*#$+"#$B ##+*B #H "’(!$#($,A#"V W .7N N 2.$CA$B C+H$(*#$A#,+)*引言代数幺半群理论主要是由T 5:<09和b 1221@在近三十多年来系统的建立和发展起来的一个重要且独立的数学分支*$\*+.一个线性代数幺半群是指一个具有含幺半群结构’且乘法映射是代数簇之态射的仿射代数簇.文献*,+证明了一个线性代数幺半群的核!即极小理想"一定存在.文献*H \C +系统地研究了核的结构问题.文献*A +利用代数幺半群中非单位元部分的信息来研究这个代数幺半群的单位群的结构信息’得到了单位群可解的充分必要条件及Y1R ’群的结构刻画.文献*++针对带零元素的不可约代数幺半群’利用幂等元的左!或右"中心化子构造了一类可解代数子群.对于有限群’文献*D +将子群的/B 完备的条件互相结合’研究了有限群的可解性.为了进一步探索代数幺半群中极大子群的可解性’需深入研究相应的Y1R ’群的阶的刻画.本文在文献*A +的思想基础上’利用半群理论的格林关系及幂等元的权重’研究了代数闭域上的不可约线性代数幺半群中核的极大子群的可解性对整体结构的影响’给出了线性代数Y1R ’群的阶的特征刻画.所得结论对文献*++中相应定理进行了推广.+*预备知识本文所讨论的代数幺半群均是在代数闭域上的不可约线性代数幺半群.令%为一个固定的代数闭域’若3为一个正整数’则03!%"表示在%上的所有3U3矩阵全体’&<3!%"表示在%上的所有3U3可逆矩阵全体8若E 是一个集合’则E 表示集合E 中元素的个数8令0为%上的一个不可约线性代数幺半群’(!0"表示0中的所有幂等元构成的集合8若+’9!(!0"’+,9’有+969+6+’则记+_98(!0"的子集,+$_+*_/_+#-’称为(!0"中的一条链8若(!0"中的一条链不包含在其他链中’称它为(!0"的一条极大链8若E 00’E 表示E 在0中的/9@7N M7闭包.给定(!0"的一条链2’那么对于任意的+!2’令H I E !+"6,)!E )+6+)+-’H B E !+"6,)!E +)6+)+-’H E !+"6H I E !+"5H BE !+"8进而令H I E !2"65+!2H I E !+"’H B E !2"65+!2HB E !+"’H E !2"6H I E !2"5H BE !2"8若T 为0的代数子幺半群’T C表示T 的单位分支’&!T "表示T 的单位群8令&6&!0"表示0的单位群’则(!第$期李!军$线性代数幺半群中极大子群的Y1R ’群结构&I +6,2!&2+6+-C ’&B +6,2!&+26+-C ’&+6&I +5&B+8!!令R 为&中一极大环面’:!&"6T &!R "A H &!R "表示&的Y1R ’群.:!&"是一个有限群’并且&是可解群’当且仅当:!&"6$8若+!(!0"’用‘+表示在格林关系下关于+在0中的‘S 类’称‘+5(!R "为+在0中的权重’记为V 0!+"8令L +表示0中包含+的极大子群’那么L +就是+0+的单位群80作为半群有一个最小理想’称为0的核’记作%+I !0"8若+!(!%+I !0""’则称+为0中的极小幂等元’那么L +6+0+8以下为本文证明中需用到的基本引理.引理+*$+!设0是一个带#的不可约代数幺半群’其单位群为&’R 为&的极大环面8那么R 的维数等于(!R "中极大链的长度.引理-*$+!设’(&#&/是一个不可约代数群的满同态’T 6!%+I !’""C 8那么:!&"6:!T "3:!&/"8!!引理/*$+!设0为一个不可约代数幺半群’&为它的单位群’R 是&中的一个极大环面’那么对于任意的+!(!0"’有:!&"6V 0!+"3:!H &!+""8!!引理7*设0为一个不可约代数幺半群’&为它的单位群’2是(!0"的一条极大链’2/62x ,$-’+为2/中的极大元.那么(:!H I &!2""6:!H IL +!2/""’:!H B &!2""6:!H B L +!2/""8!!证明!由对称性’只需证H I&!2"的情况.定义’(H I&!2"#L +()Z #)+8显然’是一个不可约代数群同态8现在证明’!H I &!2""6H I L +!2/"8事实上’对于任意的)!H I&!2"’有’!)"6)+6+)+!L +8对于任意的9!2/’!)+"96)969)969!)+"98因此)!H IL +!2/"8另一方面’对于任意的*!H I L +!2/"’*!L +’并且对于所有的F !2/’都有*F 6F*F8由于L +6H I&!+"+’存在2!H I &!+"’使得*62+8因此!2+"F 6F !2+"F ’从而2F 6F2F ’得到2!H I&!2"8所以’*62+!’!H I &!2""8进而’’!H I &!2""6H IL +!2/"8显然’%+I !’"6,)!H I&!2")+6+-6,)!&)+6+-8则!%+I !’""C 6&I +8下面证明&I +是可解的’从而:!&I+"6$8令0$6&I +’R $为&I +的一个极大环面8则(!R $"6,$’+-’+是R $中的零元素8因此根据引理$’得>7I R $6$8不妨设0$是某一个03!%"中的闭子幺半群8那么对于任意的2!&*6!&I +’&I+"’>1:!2"6$8从而&*在0$中是闭的8由+!R $’得R $=&*8因此&*一定是一个幂幺群’进而也是可解的8这就证明了&I+是可解的.因此由引理*得:!H I &!2""6:!H I L +!2/""3:!&I +"6:!H IL +!2/""8-*极大子群中[:A>群的阶关系定理+!设0为一个不可约代数幺半群’&为它的单位群’2是(!0"中的一条极大链.对于任意的+!(!0"’2+为(!+0+"的一条极大链.那么:!H I &!2""6:!H I L +!2+""6:!H B L +!2+""6:!H B &!2""8特别地’:!H I &!2""6:!H B&!2""6:!L 9"’其中9为0的任意极小幂等元.证明!令26,+-_+-7$_/_+$_+#-’L +"为在0中包含+"的极大子群’L /+"为在+"7$0+"7$中包含+"的极大子群’"6$’/’-8由于L /+"6&!+"+"7$0+"7$+""6&!+"0+""’得到L +"6L /+"8令0"6+"0+"’&"6&!0""6L +"’2"6,+-_+-7$_/_+"-’"6$’/’-.重复运用引理H 得:!H I &!2""6:!H I &$!2$""6/6:!H I&-!+-""8,+郑州大学学报!理学版"第"#卷由于+-是0的极小幂等元’有+-0+-6&-6L +-’从而H I&-!+-"6,)!+-0+-)+-6+-)+--6+-0+-6L +-8因此:!H I&!2""6:!L +-"8对于0中任意的极小幂等元9’存在)!&’使得96)+-)7$’易证L 96)L +-)7$’所以:!L 9"6:!L +-"6:!H I &!2""8对H B &!2"同理可证:!H B&!2""6:!L 9"8因此’:!H I&!2""6:!H B&!2""6:!L 9"8定理证毕.根据定理$’可以直接得到下面的推论.推论+!设0为一个不可约代数幺半群’&为它的单位群8那么对于(!0"中任意一条极大链2’以下条件等价(!$"H I&!2"是可解的8!*"H B &!2"是可解的8!,"H I L +!2+"是可解的’其中+!(!0"’2+为(!+0+"的一条极大链8!H "H B L +!2+"是可解的’其中+!(!0"’2+为(!+0+"的一条极大链8!""L 9是可解的’其中9是0中的一个极小幂等元.下面’我们利用幂等元的权重’给出了代数幺半群0中单位群&的Y1R ’群阶的刻画.定理-!设0为一个不可约代数幺半群’&为它的单位群’R 是&中的一个极大环面8令26,+-_+-7$_/_+$_$-为(!0"中的一条极大链.那么:!&"6V 0!+$"3V +$0+$!+*"3/3V +-7$0+-7$!+-"3:!L +-"’其中(V +"0+"!+"?$"为幂等元+"?$在幺半群+"0+"中的权重8特别地’若0含有零元素’则:!&"6V 0!+$"3V +$0+$!+*"3/3V +-7$0+-7$!+-"8!!证明!对于幂等元+$’构造映射’(H &!+$"#L +$’2Z #2+$6+$28它是一个满的代数群同态’且%+I !’"C6&+$8由引理*’得:!H &!+$""6:!L +$"3:!&+$"8类似于引理H 的证明’下面证明&+$是可解的’从而:!&+$"6$8令0$6&+$’R $为&+$的一个极大环面8则(!R $"6,$’+$-’+$是R $中的零元素8因此根据引理$’得>7I R $6$8不妨设0$是某一个03!%"中的闭子幺半群8那么对于任意的2!&*6!&+$’&+$"’>1:!2"6$8从而&*在0$中是闭的8由+$!R $’得R $=&*8因此&*只能是一个幂幺群’进而也是可解的8这就证明了&+$是可解的.因此得到:!H &!+$""6:!L +$"3:!&+$"6:!L +$"8!!由引理,’得:!&"6V 0!+$"3:!H &!+$""6V 0!+$"3:!L +$"’容易验证’在0与+$0+$中包含+*的极大子群是相等的8因此考虑代数幺半群+$0+$’其单位群为L +$’类似可得:!L +$"6V +$0+$!+*"3:!L +*"8重复以上过程’即有结论:!&"6V 0!+$"3V +$0+$!+*"3/3V +-7$0+-7$!+-"3:!L +-"’若0含有零元素#’则+-6#’:!L +-"6,#-.因此’:!&"6V 0!+$"3V +$0+$!+*"3/3V +-7$0+-7$!+-"8**例+*令060H !%"’那么&6&<H !%"为0的单位群’所有的H 阶可逆对角矩阵全体构成了&的极大环面.令3$6$####$####$#####’3*6$####$##########’3,6$###############’3H 6)8那么26,#_3,_3*_3$_$-为(!0"的一条极大链’且3"R 为L 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几类变换半群结构性质的研究几类变换半群结构性质的研究一、引言在数学领域中，变换半群是一种重要的代数结构。
它由非空集合与自身上的一个二元变换组成，满足封闭性、结合律以及存在单位元等性质。
变换半群的研究对于理解和解决各种实际问题有着重要意义。
本文将探讨几类变换半群的结构性质。
二、正则变换半群正则变换半群是指其上的每个元素都是单射、满射且有逆元的变换半群。
对于任意元素a和b，存在一个变换f，使得fa=b，且对于每个元素x，存在一个变换g，使得gf=x。
正则变换半群的研究是很有意义的，因为它与一些几何和拓扑结构紧密相关。
例如，对于一个形状变换半群，其上的每个元素都是一种形状到另一种形状的连续变换，而正则变换半群的结构性质可以帮助我们更好地理解这种变换之间的关系。
三、满足条件的变换半群除了正则变换半群，还可以研究满足其他条件的变换半群。
例如，如果一个变换半群上的所有变换都是保序的，则称之为保序变换半群。
保序变换半群的研究对于解决一些偏序关系相关的问题非常重要。
另外，对于一个变换半群来说，如果它是可逆的，则称之为可逆变换半群。
可逆变换半群的研究可以用于解决一些反问题，即通过已知的变换推导出原始的状态。
这些满足条件的变换半群的结构性质都具有一定的特殊性，研究它们可以深化我们对变换半群的理解。
四、变换半群的等价关系在研究变换半群的结构性质时，一个重要的问题是如何确定两个变换半群是否等价。
一个变换半群的等价关系可以看作是一种变换半群与另一个变换半群之间的一种映射关系。
通过建立一种合适的映射关系，我们可以比较两个变换半群的结构性质，并判断它们是否相似。
等价关系的研究可以帮助我们寻找变换半群的特殊性质，发现其中的规律和定律。
五、应用领域变换半群的研究在多个领域中具有重要应用价值。
在图像处理中，我们可以将图像中的变换建模为一个变换半群，通过研究其结构性质来设计和优化图像处理算法。
在密码学中，变换半群可以用于构建加密算法，通过研究其结构性质来提高密码算法的安全性。
第8章_群和半群群和半群第8章半群和群群和半群8.1 半群和独异点半群和独异点的定义子半群和子独异点半群同态和独异点同态群和半群8.1.1 半群和独异点的定义代数系统A=S,*,若*是满足结合律的二元运算，则A称为半群。
若*同时满足交换律，则称为阿贝尔半群。
存在幺元的半群称为独异点，也称(含)幺半群，单位半群。
若*同时满足交换律，则称为阿贝尔独异点。
群和半群例∑+, 是最典型的半群，只满足结合律∑*, 是最典型的独异点，只满足结合律，有幺元,εN,+,0是独异点，可交换独异点SS, ,1S是独异点，不满足交换律，部分元素有逆元群和半群b) 设S={a,b},*定义如右表：即a,b都是右零元∵ x,y,z S ① __y S ∴运算封闭② __(y*z)=__z=z*aba ba ab b(__y)*z=z∴结合律成立∴〈S,*〉是一半群，该半群称为二元素右零半群群和半群半群的性质:1.独异点运算表中任何两行或两列均不相同证明：设独异点S,*的幺元为e, a,b S,若a b ∵a*e b*e, S,*运算表中a,b两行不同，由a,b任意性，运算表中任两行不同∵ e*a e*b, S,*运算表中a,b两列不同，由a,b任意性，运算表中任两列不同.群和半群2.有限半群一定含有幂等元证明：设〈S,*〉是半群,S是有限集，需证a S,有a*a=a b S,因为运算封闭，b2=b*b S, b3,b4。
S S有限i,j∈N+,ji 有bi=bj bi =bj =bj- i*bi 令p=j-i bi =bj =bp*bi(1)当q≥i ,bq=bpq b又∵p≥1 ∴ k ∈N+ 有kp≥i由(1)bkp=bp*bkp=bp*(bp*bkp)k个= bp*(bp*(bp*bkp))=...= bp*。
bp* bkp =bkp*bkp ∴令a=bkp S 则a*a=a ∴ a是幂等元.群和半群8.1.2 子半群和子独异点设S,*为半群，T为S的非空子集。
《抽象代数》课程思政教学大纲一、课程信息课程名称：抽象代数Abstract Algebra课程代码：06S1114B课程类别：专业核心课程/必修课适用专业：数学与应用数学课程学时：64学时课程学分：4学分修读学期：第5学期先修课程：高等代数1、高等代数2二、课程目标抽象代数以群、环、域等代数系统为其基本内容。
它对高等代数中出现的数域、多项式、矩阵、线性空间等概念进一步概括，具有抽象的特点，适宜于培养学生抽象思维和逻辑推理的能力。
它不仅是将来学习代数的一个入门，而且与其它学科，如几何、拓扑、泛函和有限数学等有密切联系。
抽象代数主要讲授群、环、域的基本概念、基本理论、基本性质等。
群方面介绍变换群、置换群、循环群、正规子群、商群、群同态、n元交错群等；环方面介绍模n剩余类环、多项式环、理想、商环、同态及同构等。
域方面介绍域的基本定理、基本性质。
先修课程为高等代数等课程。
（一）具体目标通过本课程的学习，使学生达到以下目标：1.深刻理解群(半群、子群)、环(子环、理想)、域等基本概念；熟练掌握一些群(循环群、置换群、变换群、一般线性群等)，环(整环、除环、模n剩余类环、多项式环等)，域(有理分式域等)的概念以及相关概念(运算与运算律、等价关系与集合的分类、群的同态与同构、环的同态与同构、正规子群与商群、理想与商环、环的特征、单位群等)。
【支撑毕业要求指标点3.1、3.2、3.3】2.准确计算群、环、域中零元及单位元、元素的逆、元素的阶，环中的可逆元和零因子；正确写出子群的陪集，商群、商环中的元素表达式；精确确定循环群的生成元及子群、模n剩余类环的子环和理想、代数元的极小多项式等。
【支撑毕业要求指标点3.1、3.3、7.1】3.熟练应用群的同构对阶数较小的群进行同构分类；熟练应用群(环、域)的有关结果(凯莱定理、同态基本定理、同构定理等)证明群(环、域)中的有关结论。
【支撑毕业要求指标点3.1、3.3、7.1】4.了解抽象代数发展的历史脉络以及它与一些著名的初等代数、古典数论等问题之间的联系，熟练掌握抽象代数独特的处理问题的思想方法，能够把这种思想方法运用到中学数学教学之中；具备团队合作精神和一定的创新能力。
