高中数学人教版选修2-1课后训练：1-1-2、3 四种命题及其间的相互关系 含解析

第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系A级基础巩固一、选择题1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A．若一个数是负数，则它的平方不是正数B．若一个数的平方是正数，则它是负数C．若一个数不是负数，则它的平方不是正数D．若一个数的平方不是正数，则它不是负数解析：将原命题的条件和结论互换位置即得逆命题，则原命题的逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”．答案：B2．命题“若a∉A，则b∈B”的否命题是()A．若a∉A，则b∉B B．若a∈A，则b∉BC．若b∈B，则a∉A D．若b∉B，则a∉A解析：命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”．注意“∈”与“∉”互为否定形式．答案：B3．命题“若函数f(x)＝log a x(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数，则log a2＜0”的逆否命题是()A．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数B．若log a2＜0，则函数f(x)＝log a x(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数C．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数D．若log a2＜0，则函数f(x)＝log a x(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数解析：命题“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”．注意“是”的否定为“不是”，“＜”的否定为“≥”．答案：A4．下列四个命题中，真命题为()①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则关于x的方程x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．A．①②B．②③C．①③D．③④答案：C5．与命题“在等差数列{a n}中，若m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q”为互逆命题的是()A．在等差数列{a n}中，若m＋n≠p＋q，则a m＋a n≠a p＋a qB．在等差数列{a n}中，若a m＋a n＝a p＋a q，则m＋n＝p＋qC．在等差数列{a n}中，若a m＋a n≠a p＋a q，则m＋n≠p＋qD．在等差数列{a n}中，若m＋n≠p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q答案：B二、填空题6．命题“各位数字之和是3的倍数的正整数可以被9整除”，在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中假命题是__________________，真命题________________________________．答案：原命题、逆否命题；逆命题、否命题．7．下列命题：①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；④“若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题．其中是真命题的是________(填序号)．解析：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“x、y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；④“若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题是“若a＞b，则ac2＞bc2”，是假命题．所以真命题是①②③.答案：①②③8．有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的否命题；②“若x＞y，则x2＞y2”的逆否命题；③“对顶角相等”的逆命题．其中真命题的个数是________．答案：1三、解答题9．判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．解：因为m>0，所以12m>0，所以12m＋4>0.所以方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0.所以原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真命题．又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真命题．10．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．(1)写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论；(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．解：(1)逆命题：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0，真命题．假设a＋b<0，则a<－b，b<－a.因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，所以f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．这与题设矛盾，所以逆命题为真命题．(2)逆否命题：若f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，则a＋b<0，真命题．因为原命题与其逆否命题等价，所以可证明原命题为真命题．因为a＋b≥0，所以a≥－b，b≥－a.又因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)．所以f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，即原命题为真命题．所以逆否命题为真命题．B 级 能力提升1．(2014·陕西卷)原命题为“若a n ＋a n ＋12<a n ，n ∈N ＋，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题、否命题、逆否命题的真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真、真、真B ．假、假、真C ．真、真、假D ．假、假、假 解析：a n ＋a n ＋12<a n ⇔a n ＋1<a n ⇔{a n }为递减数列．原命题与其逆命题都是真命题，所以其否命题和逆否命题也都是真命题．答案：A2．给出命题：若f (x )是幂函数，则它的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，有________个是真命题．解析：原命题为真，逆命题为假，故由四种命题的真假关系知，这3个命题中有1个是真命题．答案：13．证明：已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a 、b ∈R ，若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0.证明：法一：原命题的逆否命题为“已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ， 若a ＋b <0，则f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )．”若a ＋b <0，则a <－b ，b <－a ，又因为f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )．所以f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，即逆否命题为真命题．所以原命题为真命题．法二：假设a ＋b <0，则a <－b ，b <－a ，又因为f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)．所以f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．这与已知条件f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)相矛盾．因此假设不成立，故a＋b≥0.。

数学·选修2－1(人教A版)常用逻辑用语1．1 命题及其关系1.1.2 四种命题的相互关系课时训练一、选择题1．下列命题中，正确的个数是( )①“若x2＋y2＝0，则x，y全为0”的否命题；②“全等三角形是相似三角形”的逆命题；③“圆内接四边形对角互补”的逆否命题．A. 3个 B．2个 C．1个 D. 0个答案：B2．若命题p的逆命题是q，q的逆否命题是r，则命题r是命题p的 ( )A．逆命题 B．否命题C．逆否命题 D．等价命题解析：根据四种命题之间的关系可知命题r是命题p的否命题．答案：B3．在命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向上，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集不是∅”的逆命题、否命题、逆否命题中，对于真假性的判断正确的是 ( )A．都真 B．都假C．否命题真 D．逆否命题真解析：原命题是真命题，所以逆否命题一定也为真命题．答案：D4．已知全集U＝R，如果命题p：3∈A∪B，则命题“非p”是( )A．非p：3∉AB．非p：3∈∁U BC．非p：3∉A∩BD．非p：3∈∁U(A∪B)答案：D5．设p：x<－1，﹁q：x2－x－2>0，则下列命题为真的是( ) A．若q，则﹁p B．若﹁q，则pC．若p，则q D．若﹁p，则q解析：∵﹁ q：x<－1或x>2，∴若p，则﹁q.答案：A二、填空题6．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为________________________________________________________________________．答案：在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角．7．“若P＝{x||x|<1}，则0∈P”的等价命题是________________________．解析：原命题的等价命题可以是其逆否命题，所以填“若0∉P，则P≠{x||x|<1}”．答案：“若0∉P，则P≠{x||x|<1}”8．给定下列命题：①“若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根”的逆否命题；②若f(x)＝cos x，则f(x)为周期函数；③“若A＝B，则sin A＝sin B”的逆命题；④“若xy＝0，则x、y中至少有一个为0”的否命题．其中真命题的序号是________．解析：对于①，因为Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，所以原命题为真．所以①是真命题．显然②是真命题．③的逆命题：“若sin A＝sin B，则A＝B”是假命题．④的否命题：“若xy≠0，则x、y都不为零”是真命题．答案：①②④三、解答题9．已知命题P：“若ac≥0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实根”．(1)写出命题P的否命题；(2)判断命题P的否命题的真假，并证明你的结论．解析：(1)命题P的否命题为：“若ac<0，则二次方程ax2＋bx ＋c＝0有实根．”(2)命题P的否命题是真命题．证明如下：因为ac<0，所以－ac>0⇒Δ＝b2－4ac>0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根．所以该命题是真命题．10．判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a ＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，则a≥1”的逆否命题的真假．解析：方法一原命题的逆否命题：已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．真假判断如下：因为抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，若a<1，则4a－7<0.即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点．所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．故原命题的逆否命题为真．方法二先判断原命题的真假．因为a，x为实数，且关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，解得a≥74，所以a≥1，所以原命题为真．又因为原命题与其逆否命题等价，所以其逆否命题为真．。

03课堂效果落实1.[2013·江西九江一模]命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是( )A. “若x<y，则x2<y2”B. “若x>y，则x2>y2”C. “若x≤y，则x2≤y2”D. “若x≥y，则x2≥y2”解析：根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．答案：C2．[2013·广东高考]设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( )A. 若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB. 若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC. 若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD. 若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β解析：A中m，n可能为平行、垂直、异面直线；B中m，n可能为异面直线；C中m应与β中两条相交直线垂直时结论才成立．答案：D3．若命题A的否命题为B，命题A的逆否命题为C，则B与C的关系是( ) A．互逆命题B．互否命题C．互为逆否命题D．以上都不正确解析：交换否命题的条件与结论就是逆否命题，符合互逆命题的定义．答案：A4．命题“若a>1，则a>0”的逆命题是______________，逆否命题是______________．答案：若a>0，则a>1 若a≤0，则a≤15．分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．(1)若q≤1，则方程x2＋2x＋q＝0有实数根；(2)若x、y都是奇数，则x＋y是偶数．解：(1)逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1，真命题；否命题：若q>1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根，真命题；逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q>1，真命题．(2)逆命题：若x＋y是偶数，则x、y都是奇数，假命题；否命题：若x、y不都是奇数，则x＋y不是偶数，假命题；逆否命题：若x＋y不是偶数，则x、y不都是奇数，真命题．。

1.1.3 四种命题间的相互关系
1.与命题“若x ∉A ∩B,则x ∉A ∪B ”等价的命题是( )
A.若x ∈A ∩B,则x ∈A ∪B
B.若x ∈A ∩B,则x ∉A ∪B
C.若x ∉A ∩B,则x ∈A ∪B
D.若x ∈A ∪B,则x ∈A ∩B
2.已知命题p:“正数a 的平方不等于0”,命题q:“若a 不是正数,则它的平方等于0”,则p 是q 的 .(从“逆命题、否命题、逆否命题”中选一个填空).
3.“若sin α=12,则α=π6”的逆命题是 ,逆命题是 命题.(填真或假)
4.命题“若A ∪B=B,则A ⊆B ”的否命题是 命题.(填真或假)
5.写出命题“设x 为实数,若x>0,则x 2>0”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.
[答案]
1. [解析]选D.因为原命题与其逆否命题等价,故选D.
2. [解析]命题p 可改为:“若a 是正数,则它的平方不等于0”,所以由否命题的概念知p 是q 的否命题.
[答案]否命题
3. [解析]“若sin α=12,则α=π6”的逆命题是“若α=π6,则sin α=12”,是真命题. [答案]若α=π6,则sin α=12 真
4. [解析]否命题为“若A ∪B ≠B,则A ⊈B ”,是真命题.
[答案]真
5.[解析]逆命题:设x 为实数,若x 2>0,则x>0,逆命题为假命题;
否命题:设x 为实数,若x ≤0,则x 2≤0,否命题为假命题;
逆否命题:设x 为实数,若x 2≤0,则x ≤0,逆否命题为真命题.。

1.1.2四种命题 1.1.3四种命题的相互关系（一）教学目标◆知识与技能：了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式和四种命题间的相互关系，会用等价命题判断四种命题的真假．◆过程与方法：多让学生举命题的例子，并写出四种命题，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力．◆情感、态度与价值观：通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．（二）教学重点与难点重点：（1）会写四种命题并会判断命题的真假；（2）四种命题之间的相互关系．难点：（1）命题的否定与否命题的区别；（2）写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题；（3）分析四种命题之间相互的关系并判断命题的真假．教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．（三）教学过程学生探究过程：一.复习引入初中已学过命题与逆命题的知识，请同学回顾：什么叫做命题的逆命题？二.思考、分析观察下列四个命题：(1)若一个四边形的两条对角线相等，则这个四边形是矩形．(2)若一个四边形是矩形，则其两对角线相等．(3)若一个四边形两条对角线不相等，则这个四边形不是矩形．(4)若一个四边形不是矩形，则其两对角线不相等．问题：命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系？三.归纳总结：命题(1)的条件是命题(2)的结论，且命题(1)的结论是命题(2)的条件；对于命题(1)和(3)，其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定；对于命题(1)和(4)，其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定．四.抽象概括(1)四种命题(3)四种命题的真假性之间的关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．五.例题分析及练习[例1]写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题．(1)如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面；(2)如果x>10，那么x>0；(3)当x＝2时，x2＋x－6＝0.[思路点拨]首先把命题写成“若p，则q”的形式，再按四种命题之间的关系写出逆命题、否命题和逆否命题．[精解详析] (1)逆命题：如果一条直线垂直于平面，那么这条直线垂直于平面内的两条相交直线，否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线不垂直于平面； 逆否命题：如果一条直线不垂直于平面，那么这条直线不垂直于平面内的两条相交直线． (2)逆命题：如果x >0，那么x >10； 否命题：如果x ≤10，那么x ≤0； 逆否命题：如果x ≤0，那么x ≤10.(3)逆命题：如果x 2＋x －6＝0，那么x ＝2； 否命题：如果x ≠2，那么x 2＋x －6≠0； 逆否命题：如果x 2＋x －6≠0，那么x ≠2. [感悟体会](1)要实现四种命题的转化首先找出原命题的条件和结论，然后利用四种命题的条件、结论之间的关系进行转化即可．(2)如果原命题含有大前提，在写原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变． 训练题组11．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4解析：否定原命题的结论作条件，否定原命题的条件作结论所得的命题为逆否命题，可知C 正确． 答案：C2．写出命题“若a >1，则函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数”的逆命题、否命题和逆否命题．解：逆命题：若函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数，则a >1. 否命题：若a ≤1，则函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上不是增函数． 逆否命题：若函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上不是增函数，则a ≤1.[例2] 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断命题的真假． (1)垂直于同一个平面的两直线平行． (2)若m ·n <0，则方程mx 2－x ＋n ＝0有实根． (3)若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0.[思路点拨] 写出命题的条件、结论→写出四种命题→判断命题的真假[精解详析](1)逆命题：如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一个平面；假命题．否命题：如果两条直线不垂直于同一平面，那么这两条直线不平行；假命题．逆否命题：如果两条直线不平行，那么这两条直线不垂直于同一平面；真命题．(2)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则m·n<0；假命题．否命题：若m·n≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根；假命题．逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则m·n≥0；真命题．(3)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0；真命题．否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0；真命题．逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0；真命题．[感悟体会]要判断四种命题的真假，首先要熟练掌握四种命题的相互关系，以及它们的真假性之间的关系；其次利用相关知识判断真假时，一定要熟练掌握有关知识．训练题组23．有下列四个命题：(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；(2)“若x>y，则x2<y2”的逆否命题；(3)“若x≤3，则x2－x－6>0”的否命题；(4)“等边三角形有两边相等”的逆命题．其中真命题的个数是()A．0 B．1C．2D．3解析：4．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．(1)在△ABC中，若a>b，则A>B；(2)相等的两个角的正弦值相等；(3)若x2－2x－3＝0，则x＝3；(4)若x∈A，则x∈A∩B.解：(1)逆命题：在△ABC中，若A>B，则a>b；真命题．否命题：在△ABC 中，若a ≤b ，则A ≤B ；真命题． 逆否命题：在△ABC 中，若A ≤B ，则a ≤b ；真命题．(2) 逆命题：若两个角的正弦值相等，则这两个角相等；假命题． 否命题：若两个角不相等，则这两个角的正弦值也不相等；假命题． 逆否命题：若两个角的正弦值不相等，则这两个角不相等；真命题． (3)逆命题：若x ＝3，则x 2－2x －3＝0；真命题． 否命题：若x 2－2x －3≠0，则x ≠3；真命题． 逆否命题：若x ≠3，则x 2－2x －3≠0；假命题． (4)逆命题：若x ∈A ∩B ，则x ∈A ；真命题． 否命题：若x ∉A ，则x ∉A ∩B ；真命题． 逆否命题：若x ∉A ∩B ，则x ∉A ；假命题.[例3] 判断命题“若m >0，则方程x 2＋2x －3m ＝0有实数根”的逆否命题的真假．[思路点拨] 解答本题可以直接进行逻辑推理判断；可以从逆否命题直接判断；也可以先判断原命题的真假，然后利用等价命题的同真同假判断． [精解详析] 法一：∵m >0，∴12m >0，∴12m ＋4>0. ∴方程x 2＋2x －3m ＝0的判别式Δ＝12m ＋4>0.∴原命题“若m >0，则方程x 2＋2x －3m ＝0有实数根”为真．又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m >0，则方程x 2＋2x －3m ＝0有实数根”的逆否命题也为真．法二：原命题“若m >0，则方程x 2＋2x －3m ＝0有实数根”的逆否命题为“若方程x 2＋2x －3m ＝0无实数根，则m ≤0”． 方程x 2＋2x －3m ＝0无实数根， ∴Δ＝4＋12m <0.∴m <－13≤0.∴“若方程x 2＋2x －3m ＝0无实数根，则m ≤0”为真． 法三：p ：m >0，q ：方程x 2＋2x －3m ＝0有实数根； ￢p ：m ≤0，￢q ：方程x 2＋2x －3m ＝0无实数根． ￢p ：A ＝{m |m ≤0}，￢q ：B ＝{m |方程x 2＋2x －3m ＝0无实数根}＝{m |m <－13}．∴B ⊆A ，∴“若￢q ，则￢p ”为真，即“若方程x 2＋2x －3m ＝0无实数根，则m ≤0”为真． [感悟体会](1)原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．(2)命题可以和很多知识相结合，本题是一道有关集合、不等式及二次方程的综合题．这种题目综合性较强，需要对这几个方面的内容熟练掌握，且要有一定的分析推理能力． 训练题组35．把本例命题改换成“已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集是空集，则a <2”，判断其逆否命题的真假．解：法一：原命题的逆否命题：已知a ，x 为实数，若a ≥2，则关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集不是空集．判断真假如下： 抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2开口向上， 判别式Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)＝4a －7. ∵a ≥2，∴4a －7>0，即抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2与x 轴有交点，所以关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集不是空集，故原命题的逆否命题为真． 法二：判断原命题的真假：因为a ，x 为实数，且关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集是空集， ∴Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)＝4a －7<0， ∴a <74，∴a <2，∴原命题为真命题．因为原命题和逆否命题等价，故逆否命题为真命题．6．已知a ，b ，c ∈R ，证明：若a ＋b ＋c <1，则a ，b ，c 中至少有一个小于13.证明：原命题的逆否命题为：已知a ，b ，c ∈R ，若a ，b ，c 都大于或等于13，则a ＋b ＋c ≥1.由条件a ≥13，b ≥13，c ≥13，得a ＋b ＋c ≥1.显然逆否命题为真命题．所以原命题也为真命题．即已知a ，b ，c ∈R ，若a ＋b ＋c <1， 则a ，b ，c 中至少有一个小于13.六.课堂小结与归纳1．写四种命题时，可以按下列步骤进行： (1)找出命题的条件p 和结论q ；(2)写出条件p 的否定￢p 和结论q 的否定￢q ； (3)按照四种命题的结构写出所有命题．2．一般地，四种命题之间的真假性，有且仅有下面四种情况：七.当堂训练1．若命题p 的逆命题是q ，q 的逆否命题是r ，则命题r 是命题p 的( ) A ．逆命题 B ．否命题C ．逆否命题D ．等价命题 解析：根据四种命题之间的关系可知命题r 是命题p 的否命题． 答案：B2．命题“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是( ) A ．若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1B ．若－1<x <1，则x 2<1 C ．若x >1或x <－1，则x 2>1D ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1 解析：根据原命题与逆否命题之间的关系可知D 正确． 答案：D3．命题“若a >b ，则ac 2>bc 2(a ，b ，c ∈R)”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．2C ．3D ．4解析：原命题“若a >b ，则ac 2>bc 2(a ，b ，c ∈R)”为假命题；逆命题“若ac 2>bc 2，则a >b (a ，b ，c ∈R)”为真命题；否命题“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2(a ，b ，c ∈R)”为真命题；逆否命题“若ac 2≤bc 2，则a ≤b (a ，b ，c ∈R)”为假命题． 答案：B4．有下列命题：①“若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全是0”的否命题；②“全等三角形是相似三角形”的否命题；③“若m ≥1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集是R”的逆命题；④“若a ＋7是无理数，则a 是无理数”的逆否命题．其中正确的是( ) A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①④解析：①否命题为“若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全是0”，为真． ②否命题为“不全等的三角形不相似”，为假．③逆命题为“若mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集为R ，则m ≥1”．∵当m ＝0时，解集不是R ，∴应有⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ<0，即m >1.∴其逆命题是假命题．④原命题为真，逆否命题也为真． 答案：D5．命题“对顶角相等”与它的逆命题、否命题和逆否命题中，真命题的个数是________，假命题的个数是________．解析：原命题“对顶角相等”是真命题，逆命题“如果两个角相等，则这两个角是对顶角”是假命题，所以否命题是假命题，逆否命题是真命题． 答案：2 26．已知命题“若m －1<x <m ＋1，则1<x <2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________．解析：由已知得，若1<x <2成立，则m －1<x <m ＋1也成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1，m ＋1≥2.∴1≤m ≤2.答案：[1,2]7．写出命题“如果|x －2|＋(y －1)2＝0，则x ＝2且y ＝1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：逆命题：如果x ＝2且y ＝1，则|x －2|＋(y －1)2＝0；真命题． 否命题：如果|x －2|＋(y －1)2≠0，则x ≠2或y ≠1；真命题． 逆否命题：如果x ≠2或y ≠1，则|x －2|＋(y －1)2≠0；真命题．8．证明：已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0.证明：法一：原命题的逆否命题为“已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R. 若a ＋b <0，则f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )”．∵a ＋b <0，∴a <－b ，b <－a .又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )．∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )， 即逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．法二：假设a ＋b <0，则a <－b ，b <－a .又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )．∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )．这与已知条件f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )相矛盾．所以假设不成立，故a ＋b ≥0.。