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目录：数学1（必修）数学1（必修）第一章：（上）集合[训练A 、B 、C] 数学1（必修）第一章：（中）函数及其表[训练A 、B 、C] 数学1（必修）第一章：（下）函数的基本性质[训练A 、B 、C] 数学1（必修）第二章：基本初等函数（I ）[基础训练A 组] [1A C 2．下列四个集合中，是空集的是（）A ．}33|{=+x xB ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-=C ．}0|{2≤x xD ．},01|{2R x x x x ∈=+- 3．下列表示图形中的阴影部分的是（）A ．()()A CB CB ．()()A B AC C ．()()A B B CD ．()A B C 4．下面有四个命题：A B C（1）集合N 中最小的数是1；（2）若a -不属于N ，则a 属于N ； （3）若,,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2；（4）x x 212=+的解可表示为{}1,1； 其中正确命题的个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．若集合{},,M a b c =中的元素是△ABC 的三边长， 则△ABC 一定不是（）A C 6A 1（（（ 2.B ，则C 3B =_____________4,且A B ⊇5B =_________1．已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-∈=N x N x A 68|，试用列举法表示集合A 。
2．已知{25}A x x =-≤≤，{121}B x m x m =+≤≤-，B A ⊆,求m 的取值范围。
3．已知集合{}{}22,1,3,3,21,1A a a B a a a =+-=--+，若{}3A B =-，求实数a 的值。
4．设全集U R =，{}2|10M m mx x =--=方程有实数根，{}()2|0,.U N n x x n C M N =-+=方程有实数根求（数学1必修）第一章（上）集合[综合训练B 组]一、选择题1．下列命题正确的有（）（1）很小的实数可以构成集合；（222（3（423N M =BN N =C N M =D N =∅4⎩⎨⎧=-=+122y x y x 的解集是（）56A ．若A B A B A =⊆ 则, B ．若B A B B A ⊆=，则 C ．)(B A A )(B AD ．()()()B C A C B A C U U U =二、填空题1．用适当的符号填空（1）{}()(){}1|,____2,1,2|______3+=≤x y y x x x （2）{}32|_______52+≤+x x ，（3）{}31|,_______|0x x x R x x x x ⎧⎫=∈-=⎨⎬⎩⎭2．设{}{}34|,|,<>=≤≤==x x x A C b x a x A R U U 或 34B B =，则5}0=至多有一个元素，则的取值范围。
章末过关检测(一) 集合与常用逻辑用语一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．[2022·福建福州高一期中]下列关系中，正确的有( )A．∅{0} B．{0，1}＝{(0，1)} C．Q∈Z D．{0}∈{0，1，2}2．已知集合M＝{1，2}，则集合M的子集个数为( )A．1 B．2 C．3 D．43．命题“∀x∈R，x2＋1>0”的否定是( )A．∃x∈R，x2＋1>0 B．∃x∈R，x2＋1≤0C．∀x∈R，x2＋1<0 D．∀x∈R，x2＋1≤04．已知集合A＝{x|0≤x≤3}，B＝{x|1<x<4}，则A∪B＝( )A．{x|1<x≤3} B．{x|0≤x<4} C．{x|1≤x≤3} D．{x|0<x<4}5．“a＝1”是“|a|＝1”的( )A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知集合A＝{x|－1<x≤2}，B＝{－2，－1，0，2，4}，则(∁R A)∩B＝( )A．∅ B．{－1，2} C．{－2，4} D．{－2，－1，4}7．设U为全集，则“A∩B＝∅”是“A⊆∁U B”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件“∀x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命题，则实数a的取值范围是( ) 8．已知命题：A．a<4 B．a≤4 C．a>4 D．a≥4二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．) 9．已知集合A，B是非空集合且A⊆B，则下列说法正确的是( )A．∃x∈A，x∈B B．∀x∈A，x∈BC．A∩B＝A D．A∩(∁U B)≠∅10．下列命题中是假命题的有( )A．∀x∈R，x3≥0 B．∃x∈R，x3＝3C．∀x∈R，x2－1＝0 D．∃x∈Z，1<4x<311．下列说法中正确的有( )A．“x>3”是“x>2”的必要条件B．“x>1”是“x2>1”的充分不必要条件C．“x＝2或x＝－3”是“x2＋x－6＝0”的充要条件D．“a>b”是“a2>b2”的必要不充分条件12．已知p：x>1或x<－3，q：x>a，则a取下面那些范围，可以使q是p的充分不必要条件( )A．a≥3 B．a≥5 C．a≤－3 D．a<1三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．命题“∀x>0，2x＋1≥0”的否定是________．14．已知集合A＝{1，a2}，B＝{a，－1}，若A∪B＝{－1，a，1}，则a＝________．15．方程x2－2x＋a＝0有实根的充要条件为________．16．已知集合S＝{0，1，2，3，4，5}，A是S的一个子集，当x∈A时，若有x－1∉A，且x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，那么S中无“孤立元素”的4个元素的子集共有________个，其中的一个是________．四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假．(1)命题p：有一对实数(x，y)，使x－3y＋1<0.(2)命题q：∀x∈R，x2－4x＋3>0.18．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|x2－ax＋3＝0}，(1)若1∈A，求实数a的值．(2)若集合B＝{x|2x2－bx＋b＝0}，且A∩B＝{3}，求A∪B.19.(本小题满分12分)已知全集为R，集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|x<m或x>2m＋1，m>0}．(1)当m＝2时，求A∩B；(2)若A⊆∁R B，求实数m的取值范围．20．(本小题满分12分)已知命题p：∃x∈R，使x2－4x＋m＝0为假命题．(1)求实数m的取值集合B；(2)设A＝{x|3a<x<a＋4}为非空集合，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．21．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|－2≤x≤4}，B＝{x|m－1<x<m2}．(1)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；(2)若A∪B＝A，求实数m的取值范围．22．(本小题满分12分)证明：“m<0”是“关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正一负根”的充要条件．章末过关检测(一) 集合与常用逻辑用语1．解析：空集是任何非空集合的真子集，故A正确；{0，1}的元素为0，1，{(0，1)}的元素为(0，1)，故B错误；因为Z⊆Q，故C错误；因为{0}{0，1，2}，故D错误．答案：A2．解析：集合M＝{1，2}，子集有：∅，{1}，{2}，{1，2}，共4个．答案：D3．解析：全称量词命题的否定是存在量词命题，并将结论加以否定，所以命题“∀x ∈R，x2＋1>0”的否定是：∃x∈R，x2＋1≤0.答案：B4．解析：由A＝{x|0≤x≤3}，B＝{x|1<x<4}，则A∪B＝{x|0≤x<4}．答案：B5．解析：由a＝1可推出|a|＝1，由|a|＝1，即a＝1或a＝－1，推不出a＝1，故“a＝1”是“|a|＝1”的充分不必要条件．答案：B6．解析：因为A＝{x|－1<x≤2}，B＝{－2，－1，0，2，4}，所以∁R A＝{x|x≤－1或x>2}，所以B∩(∁R A)＝{－2，－1，4}．答案：D7．解析：因为U为全集，若A∩B＝∅，则A⊆∁U B；若A⊆∁U B，则A∩B＝∅；所以“A∩B＝∅”是“A⊆∁U B”的充要条件．答案：C8．解析：“∀x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命题，故Δ＝16－4a≥0，解得：a ≤4.答案：B9．解析：因为集合A，B是非空集合且A⊆B，所以∀x∈A，x∈B，即选项B正确，因此∃x∈A，x∈B，所以选项A正确；因为A⊆B，所以有A∩B＝A，因此选项C正确；当A＝B时，显然A⊆B成立，而A∩(∁U B)＝A∩(∁U A)＝∅，所以选项D不正确．答案：ABC10．解析：对选项A，当x＝－1时，x3＝－1<0，所以∀x∈R，x3≥0为假命题．对选项B，若x3＝3，则x＝33，所以∃x∈R，x3＝3为真命题．对选项C ，若x 2－1＝0，则x ＝±1，不满足∀x ∈R ，x 2－1＝0，所以∀x ∈R ，x 2－1＝0为假命题．对选项D ，1<4x <3，则14<x <34，所以不存在x ∈Z ，满足14<x <34， 即∃x ∈Z ，1<4x <3为假命题．答案：ACD11．解析：对于A ，“x >2”成立，“x >3”不一定成立，A 错误；对于B ，“x >1”可以推出“x 2>1”，取x ＝－2，得x 2>1，但－2<1，所以“x 2>1”不能推出“x >1”，B 正确；对于C ，x 2＋x －6＝0的两个根为x ＝2或x ＝－3，C 正确；对于D ，“a >b ”不能推出“a 2>b 2”，同时“a 2>b 2”也不能推出“a >b ”，D 错误． 答案：BC12．解析：p ：x >1或x <－3，q ：x >a ，q 是p 的充分不必要条件，故a ≥1，范围对应集合是集合{a |a ≥1}的子集即可，对比选项知AB 满足条件．答案：AB13．解析：因为命题“∀x >0，2x ＋1≥0”是全称量词命题，所以其否定是存在量词命题，即为∃x >0，2x ＋1<0.答案：∃x >0，2x ＋1<014．解析：因为A ＝{1，a 2}，B ＝{a ，－1}，A ∪B ＝{－1，a ，1}，所以a ＝a 2，解得a ＝0或a ＝1(舍去，不满足集合元素的互异性).答案：015．解析：由题意可得Δ＝4－4a ≥0，解得a ≤1.答案：a ≤116．解析：因为集合S ＝{0，1，2，3，4，5}，根据题意知只要有元素与之相邻，则该元素不是孤立元素，所以S 中无“孤立元素”的4个元素的子集有{0，1，2，3}，{0，1，3，4}，{0，1，4，5}，{1，2，3，4}，{1，2，4，5}，{2，3，4，5}共6个．其中一个可以是{0，1，2，3}．答案：6 {0，1，2，3}17．解析：(1)命题p 是存在量词命题．当x ＝0，y ＝1时，x －3y ＋1＝－2<0成立，故命题p 是真命题．(2)命题q 是全称量词命题由x 2－4x ＋3＝(x －1)(x －3)>0，得x <1或x >3.只有当x <1或x >3时，x 2－4x ＋3>0成立，故命题q 是假命题．18．解析：(1)因为1∈A ，故可得1－a ＋3＝0，解得a ＝4.故实数a 的值为4.(2)因为A ∩B ＝{3}，故3是方程x 2－ax ＋3＝0的根，则9－3a ＋3＝0，解得a ＝4，此时x 2－4x ＋3＝0，即(x －1)(x －3)＝0，解得x ＝1或x ＝3，故A ＝{1，3}；又3是方程2x 2－bx ＋b ＝0的根，则18－3b ＋b ＝0，解得b ＝9，此时2x 2－9x ＋9＝0，即(2x －3)(x －3)＝0，解得x ＝3或x ＝32，故B ＝{3，32}； 故A ∪B ＝{1，3，32}． 19．解析：(1)当m ＝2时，B ＝{x |x <2或x >5}，又A ＝{x |1≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |1≤x <2}；(2)因为B ＝{x |x <m 或x >2m ＋1，m >0}，所以∁R B ＝{x |m ≤x ≤2m ＋1}，又A ⊆∁R B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≤12≤2m ＋1， 解得12≤m ≤1，即m ∈[12，1]. 所以实数m 的取值范围为[12，1]. 20．解析：(1)由题意，得关于x 的方程x 2－4x ＋m ＝0无实数根，所以Δ＝16－4m <0，解得m >4，即B ＝{m |m >4}；(2)因为A ＝{x |3a <x <a ＋4}为非空集合，所以3a <a ＋4，即a <2，因为x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则3a ≥4，即a ≥43， 所以43≤a <2. 21．解析：(1)因为A ＝{x |－2≤x ≤4}，x ∈Z ，所以A ＝{－2，－1，0，1，2，3，4}，A 中共有7个元素，则A 的非空真子集的个数为27－2＝126；(2)因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A ，因为m 2－m ＋1＝(m －12)2＋34>0，故B ≠∅， 则⎩⎪⎨⎪⎧m 2≤4m －1≥－2，解得：－1≤m ≤2，从而实数m 的取值范围为[－1，2]. 22．证明：充分性：若m <0，则关于x 的方程x 2－2x ＋m ＝0有一正一负根，证明如下： 当m <0时，Δ＝(－2)2－4m ＝4－4m >0，所以方程x 2－2x ＋m ＝0有两个不相等的实根，设两根分别为x 1，x 2，则x 1x 2＝m <0，所以方程x 2－2x ＋m ＝0有一正一负根，故充分性成立，必要性：若“关于x 的方程x 2－2x ＋m ＝0有一正一负根”，则m <0，证明如下：设方程x 2－2x ＋m ＝0一正一负根分别为x 1，x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（－2）2－4m ＝4－4m >0x 1x 2＝m <0，所以m <0，所以若“关于x 的方程x 2－2x ＋m ＝0有一正一负根”，则m <0， 故必要性成立，所以“m <0”是“关于x 的方程x 2－2x ＋m ＝0有一正一负根”的充要条件．。
第一章章末检测(时间：120 分钟 满分：150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1．设集合 M ＝{1,2,4,8}，N ＝{x |x 是 2 的倍数}，则 M ∩N 等于( ) A ．{2,4} B ．{1,2,4} C ．{2,4,8} D ．{1,2,8} 2．若集合 A ＝{x ||x |≤1，x ∈R }，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，则 A ∩B 等于( ) A ．{x |－1≤x ≤1} B ．{x |x ≥0} C ．{x |0≤x ≤1}D ．∅3．若ax 2a >0)，且 f ( 2)，则 a 等于( )A ．12B ．12C.0 D ．2 4．若函数 f (x )满足 f (3x ＋2)＝9x ＋8，则 f (x )的解析式是( ) A ．f (x )＝9x ＋8B ．f (x )＝3x ＋2C ．f (x )＝－3x －4D ．f (x )＝3x ＋2 或 f (x )＝－3x －45．设全集 U ＝{1,2,3,4,5}，集合 M ＝{1,4}，N ＝{1,3,5}，则 N ∩(∁U M )等于( ) A ．{1,3} B ．{1,5} C ．{3,5} D ．{4,5}6. 已知函数 f (x )＝1在区间[1,2]上的最大值为 A ，最小值为 B ，则 A －B 等于( )xA.1 2B. －1 2C.1 D ．－1 7.f (x )＝ax 2＋(a 3－a )x (－∞，－1]上递增，则 a 的取值范围是( ) A ．a B a ≤ 3 C ．0<D a <0＋3 (x >10)8.设 f (x )f (x ＋5)) (x ≤10)，则 f (5)的值是( )A ．24B ．21C ．18D ．169．f (x )＝(m －1)x 2＋2mx ＋3 为偶函数，则 f (x )在区间(2,5)上是( ) A ．增函数 B ．减函数 C. 有增有减 D ．增减性不确定10. 设 集 合 A ＝[01 1 ， )，B ＝[ ，1]，函数 f (x )＝＋1， x ∈A2 ，若 x 0∈A ，且 f [f (x 0)] 2 2 ∈A ，则 x 0 的取值范围是( ) A ．(0，1] B ．(11 ， ](1－x )， x ∈B4 4 2 C ．(1，1) D ．[0，3]4 2 8 11. 若函数 f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意实数 x 都有 f (2＋x )＝f (2－x )，那么( ) A ．f (2)<f (1)<f (4) B ．f (1)<f (2)<f (4) C ．f (2)<f (4)<f (1) D ．f (4)<f (2)<f (1) 12. 若 f (x )和 g (x )都是奇函数，且 F (x )＝f (x )＋g (x )＋2，在(0，＋∞)上有最大值 8，则在(－∞，0)上 F (x )有( )A ．最小值－8B ．最大值－8C ．最小值－6D ．最小值－4二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13. 已知函数 y ＝f (x )是 R 上的增函数，且 f (m ＋3)≤f (5)，则实数 m 的取值范围是 ．14. 函数 f (x )＝－x 2＋2x ＋3 在区间[－2,3]上的最大值与最小值的和为 ．15. 若函数 f (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋a为奇函数，则实数 a ＝ .x16.如图，已知函数 f (x )的图象是两条直线的一部分，其定义域为(－1,0]∪(0,1)，则不等式 f (x )－f (－x )>－1 的解集是 ．三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分)17．(10 分)设集合 A ＝{x |2x 2＋3px ＋2＝0}，B ＝{x |2x 2＋x ＋q ＝0}，其中 p 、q 为常数，x∈R ，当 A ∩B ＝{12}时，求 p 、q 的值和 A ∪B .18．(12 分)已知函数 f (x )＝x ＋2，x －6(1)点(3,14)在 f (x )的图象上吗？ (2)当 x ＝4 时，求 f (x )的值； (3)当 f (x )＝2 时，求 x 的值．19．(12 分)函数 f (x )是 R 上的偶函数，且当 x >0 时，函数的解析式为 f (x )＝2－1.x(1) 用定义证明 f (x )在(0，＋∞)上是减函数； (2) 求当 x <0 时，函数的解析式．20．(12 分)函数 f (x )＝4x 2－4ax ＋a 2－2a ＋2 在区间[0,2]上有最小值 3，求 a 的值．21．(12 分)已知函数 f (x )对一切实数 x ，y ∈R 都有 f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且当 x >0 时，f (x )<0，又 f (3)＝－2.(1) 试判定该函数的奇偶性；(2) 试判断该函数在 R 上的单调性；(3) 求 f (x )在[－12,12]上的最大值和最小值．22．(12 分)已知函数 y ＝x ＋ t有如下性质：如果常数xt >0，那么该函数在(0， t ]上是减函数，在[ t ，＋∞)上是增函数．(1) 已知 f (x ) 4x 2－12x －3x ∈[0,1]，利用上述性质，求函数 f (x )的单调区间和值域；＝ ，2x ＋1(2)对于(1)中的函数f(x)和函数g(x)＝－x－2a，若对任意x1∈[0,1]，总存在x2∈[0,1]，使得g(x2)＝f(x1)成立，求实数a 的值．第一章章末检测答案解析1．C [因为N＝{x|x 是2 的倍数}＝{…，0,2,4,6,8，…}，故M∩N＝{2,4,8}，所以C 正确．]2．C [A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{y|yA∩B＝{x|0≤x≤1}．]3．A [f( 2)＝2a－2＝2，∴a＝124．B [f(3x＋2)＝9x＋8＝3(3x＋2)＋2，∴f(t)＝3t＋2，即f(x)＝3x＋2.]5．C [∁U M＝{2,3,5}，N＝{1,3,5}，则N∩(∁U M)＝{1,3,5}∩{2,3,5}＝{3,5}．]6．A [f(x)＝1在[1,2]上递减，x∴f(1)＝A，f(2)＝B，∴A－B＝f(1)－f(2)＝1－1＝1.]2 27．D [由题意知a<0，－a3－a≥－1，2a－a22＋1≥－1，即a2≤3.a<0.]8．A [f(5)＝f(f(10))＝f(f(f(15)))＝f(f(18))＝f(21)＝24.]9．B [f(x)是偶函数，即f(－x)＝f(x)，得m＝0，所以f(x)＝－x2＋3，画出函数f(x)＝－x2＋3 的图象知，f(x)在区间(2,5)上为减函数．] 10．C [∵x0∈A，∴f(x0)＝x0＋1∈B，2∴f[f(x0)]＝f(x0＋1)＝2(1－x0－1)，2 2即f[f(x0)]＝1－2x0∈A，所以0≤1－2x0<1，2即1<x0≤1，又x0∈A，4 2∴1<x0<1，故选C.]4 211．A [由f(2＋x)＝f(2－x)可知：函数f(x)的对称轴为x＝2，由二次函数f(x)开口方向，可得f(2)最小；又f(4)＝f(2＋2)＝f(2－2)＝f(0)，在x<2 时y＝f(x)为减函数．∵0<1<2，∴f(0)>f(1)>f(2)，即f(2)<f(1)<f(4)．]＝－ ≠，， 12．D [由题意知 f (x )＋g (x )在(0，＋∞)上有最大值 6，因 f (x )和 g (x )都是奇函数，所以f (－x )＋g (－x )＝－f (x )－g (x )＝－[f (x )＋g (x )]，即 f (x )＋g (x )也是奇函数，所以 f (x )＋g (x )在(－∞，0)上有最小值－6， ∴F (x )＝f (x )＋g (x )＋2 在(－∞，0)上有最小值－4.]13．m ≤2解析 由函数单调性可知，由 f (m ＋3)≤f (5)有 m ＋3≤5， 故 m ≤2. 14．－1解析 f (x )＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∵1∈[－2,3]，∴f (x )max ＝4，又∵1－(－2)>3－1，由 f (x )图象的对称性可知，f (－2)的值为 f (x )在[－2,3]上的最小值，即 f (x )min ＝f (－2)＝－5，∴－5＋4＝－1. 15．－1解析 由题意知，f (－x )＝－f (x )， x 2－(a ＋1)x ＋a x 2＋(a ＋1)x ＋a 即 ＝－ ，－xx ∴(a ＋1)x ＝0 对 x ≠0 恒成立， ∴a ＋1＝0，a ＝－1.16．(－1，－1)∪[0,1)2解析 由题中图象知，当 x ≠0 时，f (－x )＝－f (x )，所以 f (x )－[－f (x )]>－1，∴f (x )>－1，2 由题图可知，此时－1<x <－1或 0<x <1.当 x ＝0 时，2f (0)＝－1，f (0)－f (－0)＝－1＋1＝0,0>－1 满足条件．因此其解集是{x |－1<x <－12 0≤x <1}．17．解 ∵A ∩B ＝{1 2 }，∴1∈A .2∴2( 1)2＋3p (1 2 2)＋2＝0.∴p ＝－5.∴A ＝{1，2}．3 2 又∵A ∩B ＝ 1 1B .∴ 1 2 { }，∴ ∈2 21 2( ) ＋2 ＋q ＝0.∴q ＝－1.2 ∴B ＝{1，－1}．∴A ∪B ＝{－1 12 22}．18．解 (1)∵f (3) 3＋2 5 14. 3－63 ∴点(3,14)不在 f (x )的图象上．(2)当 x ＝4 时，f (4) 4＋2 ＝ ＝－3. 4－6 (3)若 f (x )＝2，则x ＋2＝2，x －6∴2x －12＝x ＋2，∴x ＝14. 19．(1)证明 设 0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝( 2 －1)－( 2－1)x 1 x 2＝ 或2(x 2－x 1) ＝ ，x 1x 2∵0<x 1<x 2，∴x 1x 2>0，x 2－x 1>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0， 即 f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数． (2)解 设 x <0，则－x >0，∴f (－x )＝－ 2－1，x又 f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )＝－2－1，x 即 f (x )＝－2－1(x <0)． x20．解 ∵f (x )＝4(x －a)2－2a ＋2，2①当a≤0，即 a ≤0 时，函数 f (x )在[0,2]上是增函数．2∴f (x )min ＝f (0)＝a 2－2a ＋由 a 2－2a ＋2＝3，得 a ＝∵a ≤0，∴a ＝1－ 2.②当 0<a<2，即 0<a <4 时，2 f (x )min ＝f (a)＝－2a ＋2.2由－2a ＋2＝3，得 a ＝－ 1∉(0,4)，舍去．2③当a≥2，即 a ≥4 时，函数 f (x )在[0,2]上是减函数，2f (x )min ＝f (2)＝a 2－10a ＋18.由 a 2－10a ＋18 a ＝∵a ≥4，∴a ＝5综上所述，a ＝1 a ＝521．解 (1)令 x ＝y ＝0，得 f (0＋0)＝f (0)＝f (0)＋f (0) ＝2f (0)，∴f (0)＝0.令 y ＝－x ，得 f (0)＝f (x )＋f (－x )＝0， ∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．(2)任取 x 1<x 2，则 x 2－x 1>0，∴f (x 2－x 1)<0， ∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2－x 1)<0， 即 f (x 2)<f (x 1)∴f (x )在 R 上是减函数．(3)∵f (x )在[－12,12]上是减函数， ∴f (12)最小，f (－12)最大．又 f (12)＝f (6＋6)＝f (6)＋f (6)＝2f (6) ＝2[f (3)＋f (3)]＝4f (3)＝－8， ∴f (－12)＝－f (12)＝8.∴f (x )在[－12,12]上的最大值是 8，最小值是－8.22．解 (1)y ＝f (x ) 4x 2－12x －3 4＝ ＝2x ＋1＋ －8，2x ＋1设 u ＝2x ＋1，x ∈[0,1]，1≤u ≤3，2x ＋1≤ 则 y ＝u ＋4－8，u ∈[1,3]．u由已知性质得，当 1≤u ≤2，即 0≤x 1时， 2所以减区间为[0，1]；2f (x )单调递减；当 2≤u ≤3，即 1≤x ≤1 时，f (x )单调递增；2 所以增区间为[1，1]；2 由 f (0)＝－3， f (1)＝－4，f (1)＝－11 2 3得 f (x )的值域为[－4，－3]． (2) g (x )＝－x －2a 为减函数，故 g (x )∈[－1－2a ，－2a ]，x ∈[0,1]．由题意，f (x )的值域是 g (x )的值域的子集，1－2a ≤－4 2a ≥－3∴a ＝32 . ，。
章末检测试卷(一)(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．设集合A＝{1,2,3}，B＝{x|－1<x<2，x∈Z}，则A∪B等于()A．{1} B．{1,2}C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}答案 C解析集合A＝{1,2,3}，B＝{x|－1<x<2，x∈Z}＝{0,1}，所以A∪B＝{0,1,2,3}．2．集合A＝{x∈N|0<x<4}的真子集个数为()A．3 B．4 C．7 D．8答案 C解析∵集合A＝{x∈N|0<x<4}＝{1,2,3}，∴真子集的个数是23－1＝7.3．命题“对任意x∈R，都有x2≥1”的否定是()A．对任意x∈R，都有x2<1B．不存在x∈R，使得x2<1C．存在x∈R，使得x2≥1D．存在x∈R，使得x2<1答案 D解析因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“对任意x∈R，都有x2≥1”的否定是：存在x∈R，使得x2<1.4．设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，则2x＋y等于()A．0 B．1 C．2 D．－1答案 C解析由A＝B，得x＝0或y＝0.当x＝0时，x2＝0，此时B＝{0,0}，不满足集合中元素的互异性，舍去；当y＝0时，x＝x2，则x＝0或x＝1.由上知x＝0不合适，故y＝0，x＝1，则2x＋y＝2. 5．“a＝－1”是“函数y＝ax2＋2x－1与x轴只有一个交点”的()A．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 当a ＝－1时，函数y ＝ax 2＋2x －1＝－x 2＋2x －1与x 轴只有一个交点；但若函数y ＝ax 2＋2x －1与x 轴只有一个交点，则a ＝－1或a ＝0，所以“a ＝－1”是“函数y ＝ax 2＋2x －1与x 轴只有一个交点”的充分不必要条件．6．已知集合A ＝[－2,7]，B ＝(m ＋1,2m －1)，若A ∪B ＝A 且B ≠∅，则m 的取值范围为( ) A ．[－3,4] B ．(－3,4) C ．(2,4) D ．(2,4]答案 D解析 ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，即2<m ≤4.7．已知集合A ＝{x |a －2<x <a ＋2}，B ＝{x |x ≤－2或x ≥4}，则A ∩B ＝∅的充要条件是( ) A ．0≤a ≤2 B ．－2<a <2 C ．0<a ≤2 D ．0<a <2答案 A解析 A ∩B ＝∅⇔⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥－2，a ＋2≤4⇔0≤a ≤2.8．已知命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋3>0.若命题p 为假命题，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，13 B.⎝⎛⎦⎤0，13 C.⎝⎛⎦⎤－∞，13 D.⎣⎡⎭⎫13，＋∞ 答案 C解析 若a ＝0，则不等式等价为2x ＋3>0，对于∀x ∈R 不恒成立，若a ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－12a <0，解得a >13，∴命题p 为真命题时a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫13，＋∞， ∴使命题p 为假命题的a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，13. 二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．已知集合 A ＝{x |ax ≤2}，B ＝{2，2}，若 B ⊆A ，则实数 a 的值可能是( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2 答案 ABC解析 因为B ⊆A ，所以2∈A ，2∈A ，⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤2，2a ≤2，解得a ≤1. 10．下列说法正确的是( )A ．命题“∀x ∈R ，x 2>－1”的否定是“∃x ∈R ，x 2<－1”B ．命题“∃x ∈(－3，＋∞)，x 2≤9”的否定是“∀x ∈(－3，＋∞)，x 2>9”C ．“x 2>y 2”是“x >y ”的必要不充分条件D ．“m <0”是“关于x 的方程x 2－2x ＋m ＝0有一正根一负根”的充要条件 答案 BD解析 A ．命题“∀x ∈R ，x 2>－1”的否定是“∃x ∈R ，x 2≤－1”，故错误； B ．命题“∃x ∈(－3，＋∞)，x 2≤9”的否定是“∀x ∈(－3，＋∞)，x 2>9”，正确； C ．x 2>y 2⇔|x |>|y |，|x |>|y |不能推出x >y ，x >y 也不能推出|x |>|y |，所以“x 2>y 2”是“x >y ”的既不充分也不必要条件，故错误；D ．关于x 的方程x 2－2x ＋m ＝0有一正根一负根⇔⎩⎨⎧4－4m >0，m <0⇔m <0，所以“m <0”是“关于x 的方程x 2－2x ＋m ＝0有一正根一负根”的充要条件，正确．11．给出下列四个条件：①xt 2>yt 2；②xt >yt ；③2x >2y ；④0<1x <1y .其中能成为x >y 的充分条件的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④ 答案 ACD解析 ①由”xt 2>yt 2可知t 2>0， 所以x >y ，故xt 2>yt 2⇒x >y ；② 当t >0时，x >y ；当t <0时，x <y ，故xt >yt ⇏ x >y ； ③ 2x >2y ⇒x >y ； ④0<1x <1y⇒x >y .12．若x ∈{x |x <k 或x >k ＋3}是x ∈{x |－4<x <1}的必要不充分条件，则实数k 可以是( ) A ．－8 B ．－5 C ．1 D ．4 答案 ACD解析 由题意知(－4,1)(－∞，k )∪(k ＋3，＋∞)， 所以k ≥1或k ＋3≤－4， 即k ∈(－∞，－7]∪[1，＋∞)．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》，在这四句诗中，可作为命题的是________． 答案 红豆生南国解析 “红豆生南国”是陈述句，意思是“红豆生长在中国南方”，这在唐代是事实，故本语句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题．14．已知p ：－1<x <3，q ：－1<x <m ＋1，若p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________，若p 是q 的充要条件，则m 的值是________．(本题第一空3分，第二空2分) 答案 (－2,2) 2解析 由p ：－1<x <3，q ：－1<x <m ＋1，p 是q 的必要不充分条件，得－1<m ＋1<3，即－2<m <2；若p 是q 的充要条件，则m ＋1＝3，所以m ＝2.15．已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |1<x <2}，A ∪(∁R B )＝R ，则实数a 的取值范围是________． 答案 {a |a ≥2}解析 因为B ＝{x |1<x <2}，所以∁R B ＝{x |x ≤1或x ≥2}．又因为A ∪(∁R B )＝R ，A ＝{x |x <a }， 观察∁R B 与A 在数轴上表示的区间，如图所示，可得当a≥2时，A∪(∁R B)＝R.16．当A，B是非空集合，定义运算A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，若M＝{x|x≤1}，N＝{y|0≤y≤1}，则M－N＝________.答案{x|x<0}解析画出数轴如图：∴M－N＝{x|x∈M且x∉N}＝{x|x<0}．四、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知全集U为R，集合A＝{x|0<x≤2}，B＝{x|x<－3或x>1}．求：(1)A∩B；(2)(∁U A)∩(∁U B)；(3)∁U(A∪B)．解(1)在数轴上画出集合A和B，可知A∩B＝{x|1<x≤2}．(2)∁U A＝{x|x≤0或x>2}，∁U B＝{x|－3≤x≤1}．在数轴上画出集合∁U A和∁U B，可知(∁U A)∩(∁U B)＝{x|－3≤x≤0}．(3)由(1)中数轴可知，A∪B＝{x|x<－3或x>0}．所以∁U(A∪B)＝{x|－3≤x≤0}．18．(12分)写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假性．(1)∀x∈Z，|x|∈N；(2)每一个平行四边形都是中心对称图形；(3)∃x∈R，x＋1≤0；(4)∃x∈R，x2＋2x＋3＝0.解 (1)∃x ∈Z ，|x |∉N ，假命题．(2)有些平行四边形不是中心对称图形，假命题． (3)∀x ∈R ，x ＋1>0，假命题． (4)∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3≠0，真命题．19．(12分)若一个数集中任何一个元素的倒数仍是该数集中的元素，则称该数集为“可倒数集”．(1)判断集合A ＝{－1,1,2}是否为可倒数集； (2)试写出一个含3个元素的可倒数集．解 (1)由于2的倒数为12，12不在集合A 中，故集合A 不是可倒数集．(2)若a ∈B ，则必有1a ∈B ，现已知集合B 中含有3个元素，故必有1个元素a ＝1a ，即a ＝±1.故可以取集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，2，12或⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，2，12或⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，3，13等．20．(12分)已知集合M ＝{x |2x －4＝0}，集合N ＝{x |x 2－3x ＋m ＝0}． (1)当m ＝2时，求M ∩N ，M ∪N ； (2)当M ∩N ＝M 时，求实数m 的值．解 (1)由题意得M ＝{2}，当m ＝2时，N ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}， 则M ∩N ＝{2}，M ∪N ＝{1,2}．(2)因为M ∩N ＝M ，所以M ⊆N ，因为M ＝{2}，所以2∈N . 所以2是关于x 的方程x 2－3x ＋m ＝0的解， 即4－6＋m ＝0，解得m ＝2.21．(12分)设a ，b ，c 为△ABC 的三边，求证：方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根的充要条件是∠A ＝90°.证明 必要性：∵方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根ξ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ξ2＋2aξ＋b 2＝0，ξ2＋2cξ－b 2＝0⇒ξ＝－b 2a －c ＝b 2c －a .∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2c －a 2＋2c ·b 2c －a－b 2＝0⇒a 2＝b 2＋c 2， ∴∠A ＝90°.充分性：若∠A ＝90°，则a 2＝b 2＋c 2， 易得x 0＝b 2c －a是方程的公共根．综上可知，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根的充要条件是∠A ＝90°. 22．(12分)已知非空集合P ＝{x |a ＋1≤x ≤2a ＋1}，Q ＝{x |－2≤x ≤5}． (1)若a ＝3，求(∁R P )∩Q ；(2)若“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 解 因为P 是非空集合，所以2a ＋1≥a ＋1，即a ≥0. (1)当a ＝3时，P ＝{x |4≤x ≤7}， (∁R P )＝{x |x <4或x >7}， Q ＝{x |－2≤x ≤5}，所以(∁R P )∩Q ＝{x |－2≤x <4}．(2)若“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，即P Q ， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥－2，2a ＋1≤5，a ≥0，且a ＋1≥－2和2a ＋1≤5的等号不能同时取得，解得0≤a ≤2，即实数a 的取值范围为{a |0≤a ≤2}．。
第一章章末测试题(B)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC中，已知a＝3，b＝1，A＝130°，则此三角形解的情况为()A．无解B．只有一解C．有两解D．解的个数不确定答案 B解析因为a>b，A＝130°，所以A>B，角B为锐角．因此该三角形只有一解．2．在△ABC中，若B＝120°，则a2＋ac＋c2－b2的值()A．大于0 B．小于0C．等于0 D．不确定答案 C解析根据余弦定理，得cos120°＝a2＋c2－b22ac＝－12，即a2＋c2－b2＝－ac.故a2＋ac＋c2－b2＝0.3．已知△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝1∶1∶3，则此三角形的最大内角的度数是()A．60°B．90°C．120°D．135°答案 C解析∵在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c，∴a∶b∶c＝1∶1∶ 3.设a＝b＝k，c＝3k(k>0)，则cos C ＝k 2＋k 2－(3k )22×k ×k＝－12.故C ＝120°，应选C.4．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且c ＝60°，则ab 的值为( )A.43 B ．8－4 3 C ．1 D.23答案 A解析 由(a ＋b )2－c 2＝4，得(a 2＋b 2－c 2)＋2ab ＝4.① ∵a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ， ∴方程①可化为2ab (1＋cos C )＝4. 因此，ab ＝21＋cos C.又∵C ＝60°，∴ab ＝43.5．设a ，b ，c 为△ABC 的三边，且关于x 的方程(a 2＋bc )x 2＋2b 2＋c 2x ＋1＝0有两个相等的实数根，则A 的度数是( )A ．120°B ．90°C ．60°D ．30° 答案 C解析 ∵由题意可知题中方程的判别式Δ＝4(b 2＋c 2)－4(a 2＋bc )＝0，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，cos A ＝12.又∵0°<A <180°，∴A ＝60°.6．若△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且满足b 2＝ac,2b ＝a ＋c ，则此三角形是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形解析 ∵2b ＝a ＋c ，∴4b 2＝(a ＋c )2. 又∵b 2＝ac ，∴(a －c )2＝0.∴a ＝c . ∴2b ＝a ＋c ＝2a .∴b ＝a ，即a ＝b ＝c . 故此三角形为等边三角形．7．已知在△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°.若此三角形有两解，则x 的取值范围是( )A ．x >2B ．x <2C ．2<x <2 2D ．2<x <2 3答案 C解析 方法一 要使三角形有两解，则a >b ，且sin A <1. ∵由正弦定理可得a sin A ＝b sin B ， 即sin A ＝a sin Bb ＝2x4，∴⎩⎨⎧x >2，24x <1.∴2<x <2 2.方法二 ∵要使三角形有两解，则⎩⎪⎨⎪⎧b <a ，b >a sin B ，即⎩⎪⎨⎪⎧2<x ，2>x sin45°，∴2<x <2 2. 8．某人站在山顶看见一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车和第二辆车之间的距离d 1与第二辆车和第三辆车之间的距离d 2之间的关系为( )A ．d 1>d 2B ．d 1＝d 2C ．d 1<d 2D ．不能确定大小解析设山顶为点P ，山高为PD ，第一、二、三辆车分别为A ，B ，C ，俯角差为α，作出图像如右图，由题知∠CPB ＝∠BP A ＝α，由正弦定理，得d 2sin α＝PB sin ∠PCB ，d 1sin α＝PB sin ∠P AB ，即PB sin α＝d 2sin ∠PCB ＝d 1sin∠P AB ，又∵sin ∠P AB >sin ∠PCB ，∴d 1<d 2.9．已知锐角三角形的三边长分别为3,4，a ，则a 的取值范围为( )A ．1<a <5B ．1<a <7 C.7<a <5 D.7<a <7答案 C解析 由锐角三角形及余弦定理知：⎩⎪⎨⎪⎧32＋a 2－42>0，32＋42－a 2>0，a >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2>7，a 2<25，a >0⇔7<a <5.10．(2013·新课标全国Ⅰ)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．5解析 由23cos 2A ＋cos2A ＝0，得cos 2A ＝125.∵A ∈(0，π2)，∴cos A ＝15.∵cos A ＝36＋b 2－492×6b ＝15，∴b ＝5或b ＝－135(舍)．故选D 项．11.如图，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°方向上，与灯塔S 相距20 n mile ，随后货轮按北偏西30°的方向航行30 min 后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )A ．20(2＋6) n mile/hB ．20(6－2) n mile/hC ．20(3＋6) n mile/hD ．20(6－3) n mile/h 答案 B解析 在△MNS 中，∠SMN ＝45°，∠MNS ＝105°，∠MSN ＝30°，于是MN sin30°＝20sin105°，解得MN ＝10(6－2)(n mile)．故所求货轮的速度为10(6－2)12，即20(6－2)(n mile/h) 12．(2012·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )A.725 B ．－725 C ．±725 D.2425答案 A解析 在△ABC 中，由正弦定理，得b sin B ＝c sin C . ∴sin C sin B ＝c b ，∴sin2B sin B ＝85，cos B ＝45. ∴cos C ＝cos2B ＝2cos 2B －1＝725.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．已知在△ABC 中，7sin A ＝8sin B ＝13sin C ，则C 的度数为________． 答案 120°解析 由a sin A ＝b sin B ＝c sin C 及7sin A ＝8sin B ＝13sin C ，得a ∶b ∶c ＝7∶8∶13.设a ＝7k ，b ＝8k ，c ＝13k (k >0)， 则有cos C ＝(7k )2＋(8k )2－(13k )22×7k ×8k ＝－12.又∵0°<C <180°，∴C ＝120°.14．在△ABC 中，已知D 为BC 边上一点，BC ＝3BD ，AD ＝2，∠ADB ＝135°，若AC ＝2AB ，则BD ＝________.答案 2＋ 5 解析如图，设AB ＝k ，则AC ＝2k . 再设BD ＝x ，则DC ＝2x . 在△ABD 中，由余弦定理，得k 2＝x 2＋2－2·x ·2·(－22)＝x 2＋2＋2x .①在△ADC 中，由余弦定理，得2k 2＝4x 2＋2－2·2x ·2·22＝4x 2＋2－4x ，即k 2＝2x 2＋1－2x .②由①②得x 2－4x －1＝0，解得x ＝2＋5(负值舍去)． 故BD ＝2＋ 5.15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则A 的大小为________．答案 π6解析 ∵sin B ＋cos B ＝2sin(π4＋B )＝2， ∴sin(π4＋B )＝1.又∵0<B <π，∴B ＝π4. 由正弦定理，得sin A ＝a sin B b ＝2×222＝12.又∵a <b ，∴A <B .∴A ＝π6.16．在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，给出下列结论：①由已知条件，这个三角形被唯一确定； ②△ABC 一定是钝角三角形； ③sin A ∶sin B ∶sin C ＝7∶5∶3； ④若b ＋c ＝8，则△ABC 的面积是1532. 其中正确结论的序号是________． 答案 ②③解析 由(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，可设a ＝7k ，b ＝5k ，c ＝3k (k >0)，a ，b ，c 随着k 的变化而变化，可知结论①错误．∵cos A ＝(5k )2＋(3k )2－(7k )22×5k ×3k <0，∴结论②正确．∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝7∶5∶3， ∴结论③正确．∵cos A ＝－12，sin A ＝32，若b ＋c ＝8，不妨设b ＝5，c ＝3，a ＝7，则S △ABC ＝1534，∴结论④不正确．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)解答下列各题：(1)在△ABC 中，已知C ＝45°，A ＝60°，b ＝2，求此三角形最小边的长及a 与B 的值；(2)在△ABC 中，已知A ＝30°，B ＝120°，b ＝5，求C 及a 与c 的值．解析 (1)∵A ＝60°，C ＝45°，∴B ＝180°－(A ＋C )＝75°. ∴C <A <B .∴c <a <b ，即c 边最小．由正弦定理可得a ＝b sin A sin B ＝2sin60°sin75°＝32－6， c ＝b sin C sin B ＝2sin45°sin75°＝23－2.综上可知，最小边c 的长为23－2，a ＝32－6，B ＝75°. (2)∵A ＝30°，B ＝120°，∴C ＝180°－(A ＋B )＝30°. ∴A ＝C .∴a ＝c .由正弦定理可得a ＝b sin A sin B ＝5sin30°sin120°＝533. 综上可知，C ＝30°，a ＝c ＝533.18．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos2C ＝－14.(1)求sin C 的值；(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，求b 及c 的长． 解析 (1)∵cos2C ＝1－2sin 2C ＝－14，0<C <π，∴sin C ＝104.(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时， 由正弦定理a sin A ＝csin C ，得c ＝4. 由cos2C ＝2cos 2C －1＝－14及0<C <π，得cos C ＝±64.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得b 2±6b －12＝0(b >0)，解得b ＝6或b ＝2 6.故⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝6，c ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝26，c ＝4.19．(12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B .(1)求B ；(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c .解析 (1)由题意结合正弦定理，得a 2＋c 2－2ac ＝b 2. 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，故cos B ＝22. 又B 为三角形的内角，因此B ＝45°. (2)由于sin A ＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝2＋64. 故a ＝b sin A sin B ＝2＋62＝1＋3，c ＝b sin C sin B ＝2×sin60°sin45°＝ 6.20．(12分)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3a ＝2c sin A .(1)求角C 的值；(2)若c ＝7，且S △ABC ＝332，求a ＋b 的值．解析 (1)由3a ＝2c sin A 及正弦定理，得a c ＝2sin A 3＝sin Asin C .∵sin A ≠0，∴sin C ＝32.又∵△ABC 是锐角三角形，∴C ＝π3.(2)方法一 c ＝7，C ＝π3， 由面积公式，得12ab sin π3＝332，即ab ＝6.①由余弦定理，得a 2＋b 2－2ab cos π3＝7，即a 2＋b 2－ab ＝7.②由②变形得(a ＋b )2＝3ab ＋7.③将①代入③得(a ＋b )2＝25，故a ＋b ＝5.方法二 前同方法一，联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－ab ＝7，ab ＝6⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝13，ab ＝6，消去b 并整理得a 4－13a 2＋36＝0，解得a 2＝4或a 2＝9，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2.故a ＋b ＝5.21．(12分)已知△ABC 的面积是30，其内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，且cos A ＝1213.(1)求AB →·AC →；(2)若c －b ＝1，求a 的值．解析 由cos A ＝1213，得sin A ＝1－(1213)2＝513.又∵12bc sin A ＝30，∴bc ＝156.(1)AB →·AC →＝bc cos A ＝156×1213＝144.(2)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(c －b )2＋2bc (1－cos A )＝1＋2×156×(1－1213)＝25.又∵a >0，∴a ＝5.22．(12分)(2013·山东)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79.(1)求a ，c 的值；(2)求sin(A －B )的值．解析 (1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )．所以ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝429.由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝223.因为a ＝c ，所以A 为锐角．所以cos A ＝1－sin 2A ＝13. 因此sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝10227.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
第一章 空间向量与立体几何 章末测试卷(原卷版）[时间：120分钟 满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．以下四个命题中，正确的是( )A ．向量a ＝(1，－1，3)与向量b ＝(3，－3，6)平行B ．△ABC 为直角三角形的充要条件是AB → ·AC →＝0C ．|(a ·b )c |＝|a |·|b |·|c |D ．若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 构成空间的另一基底2．已知点A ，B ，C 不共线，对空间任意一点O ，若OP → ＝12OA → ＋14OB → ＋14OC →，则P ，A ，B ，C四点( )A ．不共面B ．共面C ．不一定共面D ．无法判断3．如图，在四面体O －ABC 中，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝2GG 1，若OG → ＝x OA → ＋y OB → ＋z OC →，则(x ，y ，z )为( )A.(12，12，12)B.(23，23，23)C.(13，13，13)D.(29，29，29)4.如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点，则点C 1到平面B 1EF 的距离为( )A.23B.223C.233 D.435．如图，S 是正三角形ABC 所在平面外一点，M ，N 分别是AB 和SC 的中点，SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝90°，则异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为( )A.105B ．－105C ．－1010 D.10106．在直角坐标系中，A (－2，3)，B (3，－2)，沿x 轴把直角坐标系折成120°的二面角，则AB 的长度为( )A.2 B ．211C ．32 D ．427.如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PD ⊥平面ABCD ，且PD ＝AD ＝1，AB ＝2，点E 是AB 上一点，当二面角P －EC －D 的平面角为π4时，则AE 等于( )A ．1B.12C ．2－2D ．2－38．三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面ABC 为正三角形，侧棱长等于底面边长，A 1在底面的射影是△ABC 的中心，则AB 1与底面ABC 所成角的正弦值等于( )A.13B.23C.33 D.23二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．设ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，A 1C 与B 1D 相交于点O ，则有( )A.A 1B 1→ ·AC → ＝a 2 B.AB → ·A 1C → ＝2a 2C.CD → ·AB 1→ ＝a 2D.AB → ·A 1O → ＝12a 210．在四面体P －ABC 中，下列说法正确的是( )A ．若AD → ＝13AC → ＋23AB →，则BC → ＝3BD→ B ．若Q 为△ABC 的重心，则PQ → ＝13PA → ＋13PB →＋13PC→C ．若PA → ·BC → ＝0，PC → ·AB → ＝0，则AC → ·PB →＝0D ．若四面体P －ABC 的棱长都为2，M ，N 分别为PA ，BC 的中点，则|MN →|＝111.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝π3，AB ＝2AD ＝2PD ，PD ⊥底面ABCD ，则( )A ．PA ⊥BDB ．PB 与平面ABCD 所成角为π6C ．异面直线AB 与PC 所成角的余弦值为255D ．平面PAB 与平面PBC 夹角的余弦值为27712．将直角三角形ABC 沿斜边上的高AD 折成120°的二面角，已知直角边AB ＝3，AC ＝6，则下列说法正确的是( )A ．平面ABC ⊥平面ACDB ．四面体D －ABC 的体积是6C ．二面角A －BC －D 的正切值是423D ．BC 与平面ACD 所成角的正弦值是2114三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．在四面体OABC 中，OA → ＝a ，OB → ＝b ，OC → ＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 中点，则OE →＝____________________．(用a ，b ，c 表示)14．在平面直角坐标系中，点A (－1，2)关于x 轴的对称点为A ′(－1，－2)，则在空间直角坐标系中，B (－1，2，3，)关于x 轴的对称点B ′的坐标为________，若点C (1，－1，2)关于平面Oxy 的对称点为点C ′，则|B ′C ′|＝________.(本题第一空2分，第二空3分)15．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝2，AD ＝1，且AB ，AD ，AA 1的夹角都是60°，则AC 1→ ·BD 1→＝________．16.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，BC ＝3，点M 在棱CC 1上，且MD 1⊥MA ，则当△MAD 1的面积取得最小值时，其棱AA 1＝________．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)设a ＝(1，5，－1)，b ＝(－2，3，5)．(1)若(k a ＋b )∥(a －3b )，求k ；(2)若(k a ＋b )⊥(a －3b )，求k .18．(12分)如图，已知PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，PA ＝AD ，M ，N 分别为AB ，PC 的中点．求证：(1)MN ∥平面PAD ；(2)平面PMC ⊥平面PDC .19．(12分)(2014·福建，理)在平面四边形ABCD 中，AB ＝BD ＝CD ＝1，AB ⊥BD ，CD ⊥BD .将△ABD 沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图所示．(1)求证：AB ⊥CD ；(2)若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值．20．(12分)如图1，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC ＝1，AD ＝2，E是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到△A 1BE 的位置，如图2.(1)求证：CD ⊥平面A 1OC ；(2)若平面A 1BE ⊥平面BCDE ，求平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值．21．(12分)(2017·课标全国Ⅲ)如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD ＝∠CBD ，AB ＝BD .(1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D －AE －C 的余弦值．22．(12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，BC ∥AD ，M 是棱PD 上一点，且AB ＝BC ＝2，AD ＝PA ＝4.(1)若PM ∶MD ＝1∶2，求证：PB ∥平面ACM ；(2)求二面角A －CD －P 的正弦值；(3)若直线AM 与平面PCD 所成角的正弦值为63，求MD 的长．1．设向量u ＝(a ，b ，0)，v ＝(c ，d ，1)，其中a 2＋b 2＝c 2＋d 2＝1，则下列判断错误的是( )A ．向量v 与z 轴正方向的夹角为定值(与c ，d 的值无关)B ．u ·v 的最大值为2C ．u 与v 夹角的最大值为3π4D ．ad －bc 的最大值为12.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱AB ，BB 1的中点，点P 在体对角线CA 1上运动．当△PMN 的面积取得最小值时，点P 的位置是( )A ．线段CA 1的三等分点，且靠近点A 1B ．线段CA 1的中点C ．线段CA 1的三等分点，且靠近点CD ．线段CA 1的四等分点，且靠近点C3．在底面为锐角三角形的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是棱BC 的中点，记直线B 1D 与直线AC 所成角为θ1，直线B 1D 与平面A 1B 1C 1所成角为θ2，二面角C 1－A 1B 1－D 的平面角为θ3，则( )A ．θ2<θ1，θ2<θ3B ．θ2>θ1，θ2<θ3C ．θ2<θ1，θ2>θ3D ．θ2>θ1，θ2>θ34.已知正方体ABCD －EFGH (如图)，则( )A ．直线CF 与GD 所成的角与向量所成的角〈CF → ，GD →〉相等B ．向量FD →是平面ACH 的法向量C ．直线CE 与平面ACH 所成角的正弦值与cos 〈CE → ，FD →〉的平方和等于1D ．二面角A －FH －C 的余弦值为125．在三棱锥P －ABC 中，△ABC 为等边三角形，PA ⊥平面ABC ，且PA ＝AB ，则二面角A －PB －C 的平面角的正切值为( )A.6 B.3C.66 D.626.如图，四棱锥P －ABCD 中，PB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝AD ＝PB ＝3，点E 在棱PA 上，且PE ＝2EA ，则平面ABE 与平面BED 的夹角的余弦值为( )A.23B.66C.33D.637．已知向量a ＝(1，2，3)，b ＝(－2，－4，－6)，|c |＝14，若(a ＋b )·c ＝7，则a 与c 的夹角为( )A ．30° B ．60°C ．120° D ．150°8．【多选题】如图甲，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，将△ADE ，△CDF ，△BEF 分别沿DE ，DF ，EF 折起，使A ，B ，C 三点重合于点P (如图乙)，则下列结论正确的是( )A ．PD ⊥EFB ．平面PDE ⊥平面PDFC ．平面PEF 与平面EFD 夹角的余弦值为13D ．点P 在平面DEF 上的投影是△DEF 的外心9．【多选题】已知ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下列说法中正确的是( )A ．(A 1A → ＋A 1D 1→ ＋A 1B 1→ )2＝3(A 1B 1→ )2B.A 1C → ·(A 1B 1→ －A 1A →)＝0C ．向量AD 1→ 与向量A 1B →的夹角是60°D ．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB → ·AA 1→ ·AD →|10．【多选题】在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，动点M 在线段A 1C 上，E ，F 分别为DD 1，AD 的中点．若异面直线EF 与BM 所成角为θ，则θ的值可能是( )A.π6 B.π4C.π3 D.π211．【多选题】在正三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，所有棱长均为1，BC ′与B ′C 交于点O ，则( )A.AO → ＝12AB → ＋12AC → ＋12AA ′→ B ．AO ⊥B ′CC ．三棱锥A －BB ′O 的体积为324D ．AO 与平面BB ′C ′C 所成的角为π612．已知在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝x ，将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中，下列结论正确的是________(填所有正确结论的序号)．①对任意x ∈(0，2)，都存在某个位置，使得AB ⊥CD ；②对任意x ∈(0，2)，都不存在某个位置，使得AB ⊥CD ；③对任意x >1，都存在某个位置，使得AB ⊥CD ；④对任意x >1，都不存在某个位置，使得AB ⊥CD .13.如图所示，已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱AA 1的长为2，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°.若AC 1→ ＝x AB → ＋y AD → ＋z AA 1→，则x ＋y ＋z ＝________，AC 1的长为________．14.如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝AA 1＝2，点D 是A 1C 1的中点，则异面直线AD 和BC 1所成角的大小为________． 15．如图1在直角梯形ABCP 中，BC ∥AP ，AB ⊥BC ，CD ⊥AP ，AD ＝DC ＝PD ＝2，E ，F ，G分别是线段PC，PD，BC的中点，现将△PDC折起，使平面PDC⊥平面ABCD(如图2)．(1)求证：AP∥平面EFG；(2)求二面角G－EF－D的大小．16.如图，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F.(1)求证：EF∥B1C；(2)求二面角E－A1D－B1的余弦值．17.如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长是1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.(1)求证：平面PBE⊥平面PAB；(2)求平面PAD和平面PBE所成二面角(锐角)的余弦值．18．如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点．(1)求证：B1C1⊥CE；(2)求二面角B1－CE－C1的正弦值；(3)设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为26，求线段AM的长．19.如图，已知PD垂直于以AB为直径的圆O所在的平面，点C为圆O上一点，且BD＝PD ＝3，AC＝2AD＝2.(1)求证：PA⊥CD；(2)求二面角B－CP－D的余弦值．20.在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CM＝BN＝a(0<a<2)． (1)求MN的长；(2)a为何值时，MN的长最小并求出最小值；(3)当MN的长最小时，求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值．第一章 空间向量与立体几何 章末测试卷(解析版）[时间：120分钟 满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．以下四个命题中，正确的是( )A ．向量a ＝(1，－1，3)与向量b ＝(3，－3，6)平行B ．△ABC 为直角三角形的充要条件是AB → ·AC →＝0C ．|(a ·b )c |＝|a |·|b |·|c |D ．若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 构成空间的另一基底答案 D解析 因为{a ，b ，c }为空间的一个基底，设a ＋b ＝λ(b ＋c )＋μ(c ＋a )，即{λ＝1，μ＝1，μ＋λ＝0，无解，所以a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 不共面，故D 正确；因为31＝－3－1≠63，所以a ＝(1，－1，3)和b ＝(3，－3，6)不平行，故A 错误；△ABC 为直角三角形只需一个角为直角即可，不一定是∠A ，所以无法推出AB → ·AC →＝0，故B 错误；若a ·b ＝0即可得出C 项错误．综上所述，本题的正确答案为D.2．已知点A ，B ，C 不共线，对空间任意一点O ，若OP → ＝12OA → ＋14OB → ＋14OC →，则P ，A ，B ，C四点( )A ．不共面B ．共面C ．不一定共面D ．无法判断答案 B解析 因为OP → ＝12OA →＋14OB → ＋14OC →，且12＋14＋14＝1，所以P ，A ，B ，C 四点共面．故选B.3．如图，在四面体O －ABC 中，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝2GG 1，若OG → ＝x OA → ＋y OB → ＋z OC →，则(x ，y ，z )为( )A.(12，12，12) B.(23，23，23)C.(13，13，13) D.(29，29，29)答案 D解析 取BC 中点E ，连接AE ，OE ，则OE → ＝12(OB → ＋OC →)，G 1是△ABC 的重心，则AG 1＝23AE ，所以AG 1→ ＝23AE → ＝23(OE → －OA → )，因为OG ＝2GG 1，所以OG → ＝23OG 1→ ＝23(OA → ＋AG 1→ )＝23OA → ＋49(OE → －OA → )＝29OA → ＋49OE → ＝29OA → ＋29(OB →＋OC → )＝29OA → ＋29OB → ＋29OC → ，所以x ＝y ＝z ＝29.4.如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点，则点C 1到平面B 1EF 的距离为( )A.23B.223C.233 D.43答案 D解析 以D 1为坐标原点，分别以射线D 1A 1，D 1C 1，D 1D 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则B 1(2，2，0)，C 1(0，2，0)，E (2，1，2)，F (1，2，2)．设平面B 1EF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，B 1E → ＝(0，－1，2)，B 1F →＝(－1，0，2)，则{n ·B 1E →＝0，n ·B 1F →＝0，即{－y ＋2z ＝0，－x ＋2z ＝0，令z ＝1，得n ＝(2，2，1)．又因为B 1C 1→＝(－2，0，0)，所以点C 1到平面B 1EF 的距离h ＝|n ·B 1C 1→||n |＝|－2×2＋0＋0|22＋22＋1＝43.5．如图，S 是正三角形ABC 所在平面外一点，M ，N 分别是AB 和SC 的中点，SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝90°，则异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为( )A.105B．－105C ．－1010D.1010答案 A解析 不妨设SA ＝SB ＝SC ＝1，以点S 为坐标原点，SA ，SB ，SC 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Sxyz ，则相关各点坐标为A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (0，0，1)，S (0，0，0)，M (12，12，0)，N(0，0，12).因为SM → ＝(12，12，0)，BN → ＝(0，－1，12)所以|SM →|＝22，|BN → |＝52，SM → ·BN → ＝－12，所以cos 〈SM → ，BN → 〉＝SM → ·BN →|SM → ||BN →|＝－105.因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为105.故选A.6．在直角坐标系中，A (－2，3)，B (3，－2)，沿x 轴把直角坐标系折成120°的二面角，则AB 的长度为( )A.2 B ．211C ．32 D ．42答案 B解析 作AM ⊥x 轴于M ，BN ⊥x 轴于N .则AM ＝3，BN ＝2，MN ＝5.又AB → ＝AM → ＋MN → ＋NB →，∴AB → 2＝AM → 2＋MN → 2＋NB → 2＋2(AM → ·MN → ＋AM → ·NB → ＋MN → ·NB →)．又AM ⊥MN ，MN ⊥NB ，〈AM → ，NB → 〉＝60°，故AB →2＝9＋25＋4＋6＝44.∴AB ＝|AB →|＝211.故选B.7.如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PD ⊥平面ABCD ，且PD ＝AD ＝1，AB ＝2，点E 是AB 上一点，当二面角P －EC －D 的平面角为π4时，则AE 等于( )A ．1B.12C ．2－2D ．2－3答案 D解析 以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AE ＝m (0≤m ≤2)．D (0，0，0)，P (0，0，1)，E (1，m ，0)，C (0，2，0)．可取平面ABCD 的一个法向量为n 1＝(0，0，1)，设平面PEC 的法向量为n 2＝(a ，b ，c )，PC → ＝(0，2，－1)，CE →＝(1，m －2，0)，则{n 2·PC →＝0，n 2·CE →＝0.∴{2b －c ＝0，a ＋b （m －2）＝0，∴{c ＝2b ，a ＝b （2－m ），令b ＝1，得n 2＝(2－m ，1，2)．cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝2（2－m ）2＋1＋4＝22.∴m ＝2－3.即AE ＝2－3.8．三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面ABC 为正三角形，侧棱长等于底面边长，A 1在底面的射影是△ABC 的中心，则AB 1与底面ABC 所成角的正弦值等于( )A.13B.23C.33 D.23答案 B解析 如图，设A 1在底面ABC 内的射影为O ，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设△ABC 边长为1，则A (33，0，0)，B 1(－32，12，63)，所以AB 1→＝(－536，12，63).易知平面ABC 的一个法向量为n ＝(0，0，1)，则AB 1与底面ABC 所成角α的正弦值为sin α＝|cos 〈AB 1→，n 〉|＝637536＋14＋69＝23.故选B.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．设ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，A 1C 与B 1D 相交于点O ，则有( )A.A 1B 1→ ·AC → ＝a 2 B.AB → ·A 1C → ＝2a 2C.CD → ·AB 1→ ＝a 2D.AB → ·A 1O → ＝12a 2答案 AD解析 以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Dxyz ，如图，则D (0，0，0)，A (a ，0，0)，B (a ，a ，0)，C (0，a ，0)，A 1(a ，0，a )，B 1(a ，a ，a )，O (a 2，a 2，a 2)．对于A ，A 1B 1→ ·AC →＝(0，a ，0)·(－a ，a ，0)＝a 2，所以A 正确；对于B ，AB → ·A 1C →＝(0，a ，0)·(－a ，a ，－a )＝a 2，所以B 不正确；对于C ，CD → ·AB 1→＝(0，－a ，0)·(0，a ，a )＝－a 2，所以C 不正确；对于D ，AB → ·A 1O → ＝(0，a ，0)·(－12a ，12a ，－12a )＝12a 2，所以D 正确．故选AD.10．在四面体P －ABC 中，下列说法正确的是( )A ．若AD → ＝13AC → ＋23AB →，则BC → ＝3BD→ B ．若Q 为△ABC 的重心，则PQ → ＝13PA → ＋13PB →＋13PC→C ．若PA → ·BC → ＝0，PC → ·AB → ＝0，则AC → ·PB →＝0D ．若四面体P －ABC 的棱长都为2，M ，N 分别为PA ，BC 的中点，则|MN →|＝1答案 ABC解析 对于A ，∵AD → ＝13AC → ＋23AB →，∴3AD → ＝AC → ＋2AB → ，∴2AD → －2AB → ＝AC → －AD → ，∴2BD → ＝DC →，∴3BD → ＝BD → ＋DC → ，即3BD → ＝BC →，∴A 正确；对于B ，若Q 为△ABC 的重心，则QA → ＋QB → ＋QC →＝0，∴3PQ → －QA → －QB → －QC → ＝3PQ → ，∴3PQ → ＝PA → ＋PB → ＋PC → ，即PQ → ＝13PA → ＋13PB → ＋13PC →，∴B 正确；对于C ，若PA → ·BC → ＝0，PC → ·AB →＝0，则PA → ·BC → ＋PC → ·AB → ＝PA → ·BC → ＋PC → ·(AC → ＋CB → )＝PA → ·BC → ＋PC → ·AC → ＋PC → ·CB → ＝PA → ·BC → ＋PC → ·AC → －PC → ·BC → ＝(PA → －PC → )·BC → ＋PC → ·AC → ＝CA → ·BC → ＋PC → ·AC → ＝AC → ·CB → ＋PC → ·AC → ＝AC → ·(CB → ＋PC → )＝AC → ·PB → ，∴AC → ·PB →＝0，∴C 正确；对于D ，∵MN → ＝PN → －PM → ＝12(PB → ＋PC → )－12PA → ＝12(PB →＋PC → －PA →)，∴|MN → |＝12|PB →＋PC → －PA → |.∵|PB → ＋PC → －PA → |(PA → 2＋PB → 2＋PC → 2－2PA → ·P B → －2PA → ·PC → ＋2PB → ·PC →)12＝(22＋22＋22－2×2×2×12－2×2×2×12＋2×2×2×12)12＝22，∴|MN →|＝2，∴D 错误．故选ABC.11.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝π3，AB ＝2AD ＝2PD ，PD ⊥底面ABCD ，则( )A ．PA ⊥BDB ．PB 与平面ABCD 所成角为π6C ．异面直线AB 与PC 所成角的余弦值为255D ．平面PAB 与平面PBC 夹角的余弦值为277答案 ABCD解析 对于A ，由∠DAB ＝π3，AB ＝2AD 及余弦定理得BD ＝3AD ，从而BD 2＋AD 2＝AB 2，故BD ⊥AD .由PD ⊥底面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，可得BD ⊥PD .又AD ∩PD ＝D ，AD ，PD ⊂平面PAD ，所以BD ⊥平面PAD ，又PA ⊂平面PAD ，故PA ⊥BD .故A 正确．对于B ，因为PD ⊥底面ABCD ，所以∠PBD 就是PB 与平面ABCD 所成的角，又tan ∠PBD ＝PD BD ＝33，所以∠PBD ＝π6.故B 正确．对于C ，显然∠PCD 是异面直线PC 与AB 所成的角，易得cos ∠PCD ＝CD PC ＝255.故C 正确．对于D ，以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .设AD ＝1，则A (1，0，0)，B (0，3，0)，C (－1，3，0)，P (0，0，1)，所以AB → ＝(－1，3，0)，PB → ＝(0，3，－1)，BC →＝(－1，0，0)．设平面PAB 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则{n ·AB →＝0，n ·PB →＝0，即{－x 1＋3y 1＝0，3y 1－z 1＝0，取y 1＝1，可得n ＝(3，1，3)是平面PAB 的一个法向量．设平面PBC 的法向量为m ＝(x 2，y 2，z 2)，则{m ·PB →＝0，m ·BC →＝0，即{3y 2－z 2＝0，－x 2＝0，取y 2＝1，可得m ＝(0，1，3)是平面PBC 的一个法向量，所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝277，所以平面PAB 与平面PBC 夹角的余弦值为277.故D 正确．12．将直角三角形ABC 沿斜边上的高AD 折成120°的二面角，已知直角边AB ＝3，AC ＝6，则下列说法正确的是( )A ．平面ABC ⊥平面ACDB ．四面体D －ABC 的体积是6C ．二面角A －BC －D 的正切值是423D ．BC 与平面ACD 所成角的正弦值是2114答案 CD解析 依题意作图，如图所示，由于AD ⊥BD ，AD ⊥CD ，故∠BDC 是二面角C －AD －B 的平面角，则∠BDC ＝120°，因为BD ∩CD ＝D ，所以AD ⊥平面BCD .过B 作BE ⊥CD 交CD 的延长线于E ，因为AD ⊥平面BCD ，BE ⊂平面BCD ，所以AD ⊥BE .因为BE ⊥CD ，AD ∩CD ＝D ，所以BE ⊥平面ACD ，故BE 是三棱锥B －ACD 的高．在原图中，BC ＝3＋6＝3，AD ＝AB ·AC BC ＝3×63＝2，BD ＝3－2＝1，CD ＝AC 2－AD 2＝6－2＝2，BE ＝BD ×sin 60°＝1×32＝32，所以V D －ABC ＝V B －ACD ＝13×12×AD ×CD ×BE ＝16×2×2×32＝66，故B 错误．以D 为坐标原点，DA ，DC 所在直线分别为x 轴、y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2，0，0)，B (0，－12，32)，C (0，2，0)，AB →＝(－2，－12，32)，AC → ＝(－2，2，0)，设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则{n ·AB →＝－2x －12y ＋32z ＝0，n ·AC →＝－2x ＋2y ＝0，取x ＝6，则y ＝3，z ＝5，所以n ＝(6，3，5)，平面ACD 的一个法向量为m ＝(0，0，1)，则m ·n ＝5≠0，所以平面ACD 与平面ABC 不垂直，故A 错误．平面BCD 的一个法向量为a ＝(1，0，0)，cos 〈n ，a 〉＝n ·a|n ||a |＝634＝317，sin 〈n ，a 〉＝1－cos 2〈n ，a 〉＝1－(317)＝1417.设二面角A －BC －D 的平面角为θ，由图可知θ为锐角，则tan θ＝|tan 〈n ，a 〉|＝|sin 〈n ，a 〉cos 〈n ，a 〉|＝423，故C 正确．BC →＝(0，52，－32)，平面ACD 的一个法向量为m ＝(0，0，1)，cos 〈m ，BC → 〉＝m ·BC →|m |·|BC →|＝－2114，所以BC 与平面ACD 所成角的正弦值是2114，故D 正确．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．在四面体OABC 中，OA → ＝a ，OB → ＝b ，OC → ＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 中点，则OE →＝____________________．(用a ，b ，c 表示)答案 12a ＋14b ＋14c解析 OE → ＝OA → ＋12AD → ＝OA → ＋12×12(AB → ＋AC →)＝OA → ＋14(OB →－OA → ＋OC → －OA → )＝12OA → ＋14OB → ＋14OC → ＝12a ＋14b ＋14c .14．在平面直角坐标系中，点A (－1，2)关于x 轴的对称点为A ′(－1，－2)，则在空间直角坐标系中，B (－1，2，3，)关于x 轴的对称点B ′的坐标为________，若点C (1，－1，2)关于平面Oxy 的对称点为点C ′，则|B ′C ′|＝________.(本题第一空2分，第二空3分)答案 (－1，－2，－3) 6解析 由题意得B (－1，2，3)关于x 轴的对称点B ′的坐标为(－1，－2，－3)；点C (1，－1，2)关于Oxy 平面的对称点为C ′(1，－1，－2)，所以|B ′C ′|＝（－1－1）2＋（－2＋1）2＋（－3＋2）2＝6.15．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝2，AD ＝1，且AB ，AD ，AA 1的夹角都是60°，则AC 1→ ·BD 1→＝________．答案 3解析 如图，可设AB → ＝a ，AD →＝b ，AA 1＝c ，于是可得AC 1→ ＝AB → ＋BC → ＋CC 1→＝AB → ＋AD → ＋AA 1→ ＝a ＋b ＋c ，同理可得BD 1→＝－a ＋b ＋c ，于是有AC 1→ ·BD 1→＝(a ＋b ＋c )·(－a ＋b ＋c ) ＝－a 2＋b 2＋c 2＋2b ·c ＝－4＋1＋4＋2×1×2×cos 60° ＝3.16.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，BC ＝3，点M 在棱CC 1上，且MD 1⊥MA ，则当△MAD 1的面积取得最小值时，其棱AA 1＝________．答案 322解析 设AA 1＝m (m >0)，CM ＝n (0≤n ≤m )，如图建立空间直角坐标系，则D 1(0，0，m )，M (0，1，n )，A (3，0，0)，所以D 1M → ＝(0，1，n －m )，AM →＝(－3，1，n )．又MD 1⊥MA ，所以D 1M → ·AM →＝1＋n (n －m )＝0，所以m －n ＝1n(n ≠0)．所以S △MAD 1＝12D 1M ·AM ＝121＋（m －n ）2·3＋1＋n 2＝121＋1n 2·4＋n 2＝12（4＋n 2）(1＋1n 2)＝125＋n 2＋4n 2≥125＋2n 2·4n 2＝32，当且仅当n ＝2，m ＝322时，等号成立，所以当△MAD 1的面积取得最小值时，其棱AA 1＝322.四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)设a ＝(1，5，－1)，b ＝(－2，3，5)．(1)若(k a ＋b )∥(a －3b )，求k ；(2)若(k a ＋b )⊥(a －3b )，求k .解析 k a ＋b ＝(k －2，5k ＋3，－k ＋5)，a －3b ＝(1＋3×2，5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－16)．(1)∵(k a ＋b )∥(a －3b )，∴k －27＝5k ＋3－4＝－k ＋5－16，解得k ＝－13.(2)∵(k a ＋b )⊥(a －3b )，∴(k －2)×7＋(5k ＋3)×(－4)＋(－k ＋5)×(－16)＝0.解得k ＝1063.18．(12分)如图，已知PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，PA ＝AD ，M ，N 分别为AB ，PC 的中点．求证：(1)MN ∥平面PAD ；(2)平面PMC ⊥平面PDC .证明 如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系Axyz .设PA ＝AD ＝a ，AB ＝b .(1)P (0，0，a )，A (0，0，0)，C (b ，a ，0)，B (b ，0，0)，因为M ，N 分别为AB ，PC 的中点，所以M (b 2，0，0)，N (b 2，a 2，a 2).易知AB → 为平面PAD 的一个法向量.AB →＝(b ，0，0)，又MN →＝(0，a 2，a 2)，所以AB → ·MN →＝0，所以AB → ⊥MN →.又MN ⊄平面PAD ，所以MN ∥平面PAD .(2)由(1)可知P (0，0，a )，C (b ，a ，0)，M (b2，0，0)，且D (0，a ，0)．所以PC → ＝(b ，a ，－a )，PM → ＝(b 2，0，－a )，PD →＝(0，a ，－a )．设平面PMC 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则{n 1·PC →＝0，n 1·PM → ＝0，⇒{bx 1＋ay 1－az 1＝0，b 2x 1－az 1＝0，所以{x 1＝2a bz 1，y 1＝－z 1，令z 1＝b ，则n 1＝(2a ，－b ，b )．设平面PDC 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则{n 2·PC →＝0，n 2·PD → ＝0，⇒{bx 2＋ay 2－az 2＝0，ay 2－az 2＝0，所以{x 2＝0，y 2＝z 2，令z 2＝1，则n 2＝(0，1，1)．因为n 1·n 2＝0－b ＋b ＝0，所以n 1⊥n 2.所以平面PMC ⊥平面PDC .19．(12分)(2014·福建，理)在平面四边形ABCD 中，AB ＝BD ＝CD ＝1，AB ⊥BD ，CD ⊥BD .将△ABD 沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图所示．(1)求证：AB ⊥CD ；(2)若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值．解析 (1)证明：∵平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，AB ⊂平面ABD ，AB ⊥BD ，∴AB ⊥平面BCD .又CD ⊂平面BCD ，∴AB ⊥CD .(2)过点B 在平面BCD 内作BE ⊥BD ，如图所示．由(1)知AB ⊥平面BCD ，BE ⊂平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，∴AB ⊥BE ，AB ⊥BD.以B 为坐标原点，分别以BE → ，BD → ，BA →的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系．依题意，得B (0，0，0)，C (1，1，0)，D (0，1，0)，A (0，0，1)，M (0，12，12)，则BC →＝(1，1，0)，BM →＝(0，12，12)，AD →＝(0，1，－1)．设平面MBC 的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)，则{n ·BC →＝0，n ·BM →＝0，即{x 0＋y 0＝0，12y 0＋12z 0＝0.取z 0＝1，得平面MBC 的一个法向量为n ＝(1，－1，1)．设直线AD 与平面MBC 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，AD → 〉|＝|n ·AD →||n |·|AD →|＝63.即直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值为63.20．(12分)如图1，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC ＝1，AD ＝2，E是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到△A 1BE 的位置，如图2.(1)求证：CD ⊥平面A 1OC ；(2)若平面A 1BE ⊥平面BCDE ，求平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值．解析 (1)证明：在题图1中，因为AB ＝BC ＝1，AD ＝2，E 是AD 的中点，∠BAD ＝π2，所以BE ⊥AC ，即在题图2中，BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ，又OA 1∩OC ＝O ，OA 1，OC ⊂平面A 1OC ，从而BE ⊥平面A 1OC .又BC 綉DE ，所以四边形BCDE 是平行四边形，所以CD ∥BE ，所以CD ⊥平面A 1OC .(2)因为平面A 1BE ⊥平面BCDE ，又由(1)知，BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ，所以∠A 1OC 为二面角A 1－BE －C 的平面角，所以∠A 1OC ＝π2.如图，以O 为原点，分别以OB ，OC ，OA 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，因为A 1B ＝A 1E ＝BC ＝ED ＝1，BC ∥ED ，所以B(22，0，0)，E (－22，0，0)，A 1(0，0，22)，C (0，22，0)，则BC → ＝(－22，22，0)，A 1C →＝(0，22，－22)，CD → ＝BE →＝(－2，0，0)．设平面A 1BC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面A 1CD 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，平面A 1BC 与平面A 1CD 的夹角为θ.则{n 1·BC →＝0，n 1·A 1C → ＝0，即{－x 1＋y 1＝0，y 1－z 1＝0，可取n 1＝(1，1，1)．又{n 2·CD →＝0，n 2·A 1C →＝0，即{x 2＝0，y 2－z 2＝0，可取n 2＝(0，1，1)．从而cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝23×2＝63，即平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值为63.21．(12分)(2017·课标全国Ⅲ)如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD ＝∠CBD ，AB ＝BD .(1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D －AE －C 的余弦值．解析 (1)证明：由题设可得，△ABD ≌△CBD ，从而AD ＝DC .又△ACD 是直角三角形，所以∠ADC ＝90°.如图，取AC 的中点O ，连接DO ，BO ，则DO ⊥AC ，DO ＝AO .又由于△ABC 是正三角形，故BO ⊥AC .所以∠DOB 为二面角D －AC －B 的平面角．在Rt △AOB 中，BO 2＋AO 2＝AB 2.又DO ＝AO ，AB ＝BD ，所以BO 2＋DO 2＝BO 2＋AO 2＝AB 2＝BD 2，故∠DOB ＝90°.所以BO ⊥OD .又AC ⊂平面ADC ，OD ⊂平面ADC ，AC ∩OD ＝O ，所以BO ⊥平面ADC .又BO ⊂平面ABC ，所以平面ACD ⊥平面ABC .(2)由题设及(1)知，OA ，OB ，OD 两两垂直．以O 为坐标原点，OA →的方向为x 轴正方向，|OA →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz .则A (1，0，0)，B (0，3，0)，C (－1，0，0)，D (0，0，1)．由题设知，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12，从而点E 到平面ABC 的距离为点D 到平面ABC 的距离的12，即E 为DB 的中点，得E (0，32，12).故AD → ＝(－1，0，1)，AC → ＝(－2，0，0)，AE →＝(－1，32，12).设n ＝(x，y ，z )是平面DAE 的法向量，则{n ·AD → ＝0，n ·AE →＝0，即{－x ＋z ＝0，－x ＋32y ＋12z ＝0，令x ＝1，可得n ＝(1，33，1).设m 是平面AEC 的法向量，则{m ·AC →＝0，m ·AE →＝0.同理可取m ＝(0，－1，3)．则cos 〈n ，m 〉＝n ·m|n ||m |＝77.由图知二面角D －AE －C 为锐角，所以二面角D －AE －C 的余弦值为77.22．(12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，BC ∥AD ，M 是棱PD 上一点，且AB ＝BC ＝2，AD ＝PA ＝4.(1)若PM ∶MD ＝1∶2，求证：PB ∥平面ACM ；(2)求二面角A －CD －P 的正弦值；(3)若直线AM 与平面PCD 所成角的正弦值为63，求MD 的长．解析 (1)证明：如图，连接BD 交AC 于点N ，连接MN .因为BC ∥AD ，所以BN ND ＝BC AD ＝12.又因为PM ∶MD ＝1∶2，所以MN ∥PB .又因为MN ⊂平面ACM ，PB ⊄平面ACM ，所以PB ∥平面ACM .(2)如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，C (2，2，0)，D (0，4，0)，P (0，0，4)，CD →＝(－2，2，0)，PD →＝(0，4，－4)．设平面PCD的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则{n ·CD →＝0，n ·PD →＝0，即{－2x ＋2y ＝0，4y －4z ＝0，令x ＝1，得{y ＝1，z ＝1，即n ＝(1，1，1)．又平面ACD 的一个法向量m ＝(0，0，1)，所以cos 〈m ，n 〉＝13＝33，故二面角A －CD －P 的正弦值为1－(33)2＝63.(3)设MD → ＝λPD →(0≤λ≤1)，则MD →＝(0，4λ，－4λ)，所以AM →＝(0，4－4λ，4λ)，由(2)得平面PCD 的一个法向量n ＝(1，1，1)，且直线AM 与平面PCD 所成角的正弦值为63，所以cos 〈AM →，n 〉＝|4－4λ＋4λ|（4－4λ）2＋（4λ）2·3＝63，解得λ＝12，即MD → ＝12PD →.又|PD → |＝42＋42＝42，故|MD → |＝12|PD → |＝22.1．设向量u ＝(a ，b ，0)，v ＝(c ，d ，1)，其中a 2＋b 2＝c 2＋d 2＝1，则下列判断错误的是( )A ．向量v 与z 轴正方向的夹角为定值(与c ，d 的值无关)B ．u ·v 的最大值为2C ．u 与v 夹角的最大值为3π4D ．ad －bc 的最大值为1答案 B解析 在A 中，设z 轴正方向的方向向量z ＝(0，0，t )，t >0，向量v 与z 轴正方向的夹角的余弦值cos α＝z ·v|z ||v |＝t t ·c 2＋d 2＋1＝22，所以α＝45°.所以向量v 与z 轴正方向的夹角为定值45°(与c ，d 的值无关)，故A 正确；在B 中，u ·v ＝ac ＋bd ≤a 2＋c 22＋b 2＋d 22＝a 2＋b 2＋c 2＋d 22＝1.当且仅当a ＝c ，b ＝d 时取等号，因此u ·v 的最大值为1，故B 错误；在C 中，由B 可得|u ·v |≤1，所以－1≤u ·v ≤1.所以cos 〈u ，v 〉＝u ·v|u ||v |＝ac ＋bd a 2＋b 2·c 2＋d 2＋1≥－11×2＝－22，所以u 与v 的夹角的最大值为3π4，故C 正确；在D 中，ad －bc ≤|ad －bc |≤|ad |＋|bc |≤a 2＋d 22＋b 2＋c 22＝a 2＋b 2＋c 2＋d 22＝1，所以ad －bc 的最大值为1.故D 正确．2.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱AB ，BB 1的中点，点P 在体对角线CA 1上运动．当△PMN 的面积取得最小值时，点P 的位置是( )A ．线段CA 1的三等分点，且靠近点A 1B ．线段CA 1的中点C ．线段CA 1的三等分点，且靠近点CD ．线段CA 1的四等分点，且靠近点C 答案 B解析 设正方体的棱长为1，以A 为原点，AB ，AD ，AA 1分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．取MN 的中点为Q ，连接PQ .则M (12，0，0)，N (1，0，12)，Q (34，0，14)，A 1(0，0，1)，C (1，1，0)，则A 1C →＝(1，1，－1)．设P (t ，t ，z )，PC →＝(1－t ，1－t ，－z )，由A 1C → 与PC →共线，可得1－t 1＝1－t 1＝－z －1，所以P (1－z ，1－z ，z )，其中0≤z ≤1.因为|PM → |＝(1－z －12)2 ＋（1－z －0）2＋（z －0）2＝3z 2－3z ＋54，|PN → |＝（1－z －1）2＋（1－z －0）2＋(z －12)2 ＝3z 2－3z ＋54，所以|PM → |＝|PN → |，所以PQ ⊥MN ，即|PQ →|是动点P 到直线MN 的距离．由空间两点间的距离公式可得|PQ → |＝(1－z －34)2 ＋（1－z ）2＋(z －14)2＝3z 2－3z ＋98＝3(z －12)2＋38.所以当z ＝12时，PQ 取得最小值64，此时P 为线段CA 1的中点，由于MN ＝22为定值，所以当△PMN 的面积取得最小值时，P 为线段CA 1的中点．3．在底面为锐角三角形的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是棱BC 的中点，记直线B 1D 与直线AC 所成角为θ1，直线B 1D 与平面A 1B 1C 1所成角为θ2，二面角C 1－A 1B 1－D 的平面角为θ3，则( )A ．θ2<θ1，θ2<θ3B ．θ2>θ1，θ2<θ3C ．θ2<θ1，θ2>θ3D ．θ2>θ1，θ2>θ3答案 A解析 由题可知，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1底面为锐角三角形，D 是棱BC 的中点，设三棱柱ABC －A 1B 1C 1是棱长为2的正三棱柱，以A 为原点，在平面ABC 中，过A 作AC 的垂线为x 轴，AC 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，则A 1(0，0，2)，B 1(3，1，2)，C (0，2，0)，D (32，32，0)，A (0，0，0)，AC → ＝(0，2，0)，B 1D→＝(－32，12，－2)，A 1B 1→＝(3，1，0)．因为直线B 1D 与直线AC 所成的角为θ1，θ1∈(0，π2]，所以cos θ1＝|B 1D → ·AC →||B 1D → ||AC →|＝125.因为直线B 1D 与平面A 1B 1C 1所成的角为θ2，θ2∈[0，π2]，平面A 1B 1C 1的法向量n ＝(0，0，1)，所以sin θ2＝|B 1D →·n ||B 1D →||n |＝25，所以cos θ2＝1－(25)2＝15.设平面A 1B 1D 的法向量m ＝(a ，b ，c )，则{m ·A 1B 1→＝3a ＋b ＝0，m ·B 1D →＝－32a ＋12b －2c ＝0，取a ＝3，取m ＝(3，－3，－32)，由图可知，θ3为锐角，所以cos θ3＝|m ·n ||m ||n |＝32574＝1579，所以cos θ2>cos θ3>cos θ1.由于y ＝cos θ在区间(0，π)上单调递减，故θ2<θ3<θ1，则θ2<θ1，θ2<θ3.4.已知正方体ABCD －EFGH (如图)，则( )A ．直线CF 与GD 所成的角与向量所成的角〈CF → ，GD →〉相等B ．向量FD →是平面ACH 的法向量C ．直线CE 与平面ACH 所成角的正弦值与cos 〈CE → ，FD →〉的平方和等于1D ．二面角A －FH －C 的余弦值为12答案 B解析 以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A (1，0，0)，B (1，1，0)，C (0，1，0)，E (1，0，1)，F (1，1，1)，G (0，1，1)，H (0，0，1)．易知GD ∥AF ，且△AFC 为等边三角形，所以异面直线CF 与GD 所成的角为∠AFC ＝60°，而CF → ＝(1，0，1)，GD → ＝(0，－1，－1)，所以cos 〈CF → ，GD →〉＝－12×2＝－12，所以〈CF → ，GD → 〉＝120°，故A 错误；FD → ＝(－1，－1，－1)，AC → ＝(－1，1，0)，AH → ＝(－1，0，1)，则FD → ·AC →＝(－1)×(－1)－1×1＝0，FD → ·AH → ＝(－1)×(－1)－1×1＝0，所以FD → ⊥AC → ，FD → ⊥AH →，即FD ⊥AC ，FD ⊥AH ，又AC ∩AH ＝A ，所以FD ⊥平面ACH ，所以向量FD →是平面ACH 的法向量，故B 正确；设直线CE 与平面ACH 所成角为θ，CE → ＝(1，－1，1)，FD →＝(－1，－1，－1)，所以sin θ＝|cos 〈CE → ，FD → 〉|＝13，所以sin 2θ＋cos 2〈CE → ，FD →〉＝19＋19＝29，故C 错误；连接EG ，设EG ∩FH ＝M ，则M 为FH 的中点，连接AM ，CM ，因为AH ＝AF ，CH ＝CF ，M 为中点，所以AM ⊥FH ，CM ⊥FH ，所以∠AMC 为二面角A －FH －C 的平面角，易得M(12，12，1)，MA → ＝(12，－12，－1)，MC → ＝(－12，12，－1)，所以cos 〈MA → ，MC → 〉＝1232×32＝13，故D 错误．5．在三棱锥P －ABC 中，△ABC 为等边三角形，PA ⊥平面ABC ，且PA ＝AB ，则二面角A －PB －C 的平面角的正切值为( )A.6 B.3C.66 D.62答案 A解析 设PA ＝AB ＝2，建立如图所示的空间直角坐标系．则B (0，2，0)，C (3，1，0)，P (0，0，2)．所以BP → ＝(0，－2，2)，BC →＝(3，－1，0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面PBC 的一个法向量，则{BP →·n ＝0，BC →·n ＝0，即{－2y ＋2z ＝0，3x －y ＝0.令y ＝1.则x ＝33，z ＝1.即n ＝(33，1，1).易知m ＝(1，0，0)是平面PAB 的一个法向量．则cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝331×213＝77.所以正切值tan 〈m ，n 〉＝6.故选A.6.如图，四棱锥P －ABCD 中，PB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝AD ＝PB ＝3，点E 在棱PA 上，且PE ＝2EA ，则平面ABE 与平面BED 的夹角的余弦值为( )A.23B.66C.33D.63答案 B解析 以B 为坐标原点，分别以BC ，BA ，BP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则B (0，0，0)，A (0，3，0)，P (0，0，3)，D (3，3，0)，E (0，2，1)，∴BE → ＝(0，2，1)，BD →＝(3，3，0)设平面BED 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，则{n ·BE →＝2y ＋z ＝0，n ·BD →＝3x ＋3y ＝0，取z ＝1，得n ＝(12，－12，1)，平面ABE 的法向量为m ＝(1，0，0)，∴cos 〈n ，m 〉＝m ·n|m ||n |＝66，∴平面ABE 与平面BED 的夹角的余弦值为66.7．已知向量a ＝(1，2，3)，b ＝(－2，－4，－6)，|c |＝14，若(a ＋b )·c ＝7，则a 与c 的夹角为( )A ．30° B ．60°C ．120° D ．150°答案 C解析 设向量a ＋b 与c 的夹角为α，因为a ＋b ＝(－1，－2，－3)，|a ＋b |＝14，cos α＝（a ＋b ）·c |a ＋b ||c |＝12，所以α＝60°.因为向量a ＋b 与a 的方向相反，所以a 与c 的夹角为120°.故选C.8．【多选题】如图甲，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，将△ADE ，△CDF ，△BEF 分别沿DE ，DF ，EF 折起，使A ，B ，C 三点重合于点P (如图乙)，则下列结论正确的是( )A ．PD ⊥EFB ．平面PDE ⊥平面PDFC ．平面PEF 与平面EFD 夹角的余弦值为13D ．点P 在平面DEF 上的投影是△DEF 的外心答案 ABC解析 对于A ，如图，取EF 的中点H ，连接PH ，DH ，由△PEF 和△DEF 为等腰三角形，得PH ⊥EF ，DH ⊥EF ，又PH ∩DH ＝H ，PH ，DH ⊂平面PDH ，所以EF ⊥平面PDH ，又PD ⊂平面PDH ，所以PD ⊥EF ，故A 正确．对于B ，根据折起前后，可知PE ，PF ，PD 三线两两垂直，于是可证平面 PDE ⊥平面PDF ，故B 正确．对于C ，将图乙翻转并建立如图所示的空间直角坐标系，设图甲中的AB ＝2，则P (0，0，0)，E (0，0，1)，F (1，0，0)，D (0，2，0)，故EF →＝(1，0，－1)，FD → ＝(－1，2，0)．易知PD →＝(0，2，0)为平面PEF 的一个法向量，设平面EFD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则{n ·EF →＝0，n ·FD →＝0，即{x －z ＝0，－x ＋2y ＝0，令x ＝2，则y ＝1，z ＝2，则n ＝(2，1，2)为平面EFD 的一个法向量，|cos 〈PD → ，n 〉|＝|PD →·n ||PD →||n |＝22×3＝13，所以平面PEF 与平面EFD 夹角的余弦值为13.故C 正确．对于D ，由于PE ＝PF ≠PD ，故点P 在平面DEF 上的投影不是△DEF 的外心，故D 错误．9．【多选题】已知ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下列说法中正确的是( )A ．(A 1A → ＋A 1D 1→ ＋A 1B 1→ )2＝3(A 1B 1→ )2B.A 1C → ·(A 1B 1→ －A 1A →)＝0C ．向量AD 1→ 与向量A 1B →的夹角是60°D ．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB → ·AA 1→ ·AD →|答案 AB解析 由向量的加法得到A 1A → ＋A 1D 1→ ＋A 1B 1→ ＝A 1C → ，因为A 1C 2＝3A 1B 12，所以(A 1C → )2＝3(A 1B 1→)2，A正确；。
章末综合测评（三）函数的应用(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)的图象与x轴在区间[a，b]内()A．至多有一个交点B．必有唯一个交点C．至少有一个交点D．没有交点【解析】∵f(a)f(b)＜0，∴f(a)与f(b)异号，即f(a)＞0，f(b)＜0；或者f(a)＜0，f(b)＞0，显然，在[a，b]内必有一点，使得f(x)＝0.又f(x)在区间[a，b]上单调，所以这样的点只有一个，故选B.【答案】 B2．若方程f(x)－2＝0在(－∞，0)内有解，则y＝f(x)的图象是()【解析】A：与直线y＝2交点是(0,2)，不符合题意，故不正确；B：与直线y＝2无交点，不符合题意，故不正确；C：与直线y＝2在区间(0，＋∞)上有交点，不符合题意，故不正确；D：与直线y＝2在(－∞，0)上有交点，故正确．故选D.【答案】 D3．已知下列四个函数图象，其中能用“二分法”求出函数零点的是()【解析】由二分法的定义与原理知A选项正确．【答案】 A4．2011年全球经济开始转暖，据统计某地区1月、2月、3月的用工人数分别为0.2万，0.4万和0.76万，则该地区这三个月的用工人数y万人关于月数x的函数关系近似的是()A．y＝0.2x B．y＝110(x2＋2x)C．y＝2x10D．y＝0.2＋log16x【解析】当x＝1时，否定B；当x＝2时，否定D；当x＝3时，否定A，故选C.【答案】 C5．向高为H的水瓶以等速注水，注满为止，若水量V与水深h的函数的图象如图1所示，则水瓶的形状可能为()【导学号：97030147】图1【解析】由水量V与水深h的函数的图象，可知随着h的增加，水量V 增加的越来越快，则对应的水瓶应该是上底面半径大于下底面半径的圆台型，故选A.【答案】 A6．拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f(m)＝1.06(0.50×[m]＋1)给出，其中m＞0，[m]是大于或等于m的最小整数(例如[3.72]＝3，[3.8]＝4，[3.1]＝4)，则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的电话费为()元．A．3.71 B．3.97C．4.24 D．4.77【解析】由[m]是大于或等于m的最小整数，可得[5.5]＝6，所以f(5.5)＝1.06×(0.50×6＋1)＝1.06×4＝4.24.故选C.【答案】 C7．函数f(x)＝(x－1)ln(－x)x－3的零点个数为()A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】 ∵函数f (x )＝(x －1)ln (－x )x －3的零点个数即为f (x )＝0的根的个数，∴f (x )＝(x －1)ln (－x )x －3＝0，即(x －1)ln(－x )＝0，∴x －1＝0或ln(－x )＝0，∴x ＝1或x ＝－1，∵⎩⎪⎨⎪⎧－x >0x －3≠0，解得x ＜0，∵函数f (x )的定义域为{x |x ＜0}，∴x ＝－1，即方程f (x )＝0只有一个根，∴函数f (x )＝(x －1)ln (－x )x －3的零点个数为1个．故选A.【答案】 A8．函数f (x )＝3x＋12x －2的零点所在的一个区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)【解析】 由已知可知，函数f (x )＝3x ＋12x －2单调递增且连续，∵f (－2)＝－269<0，f (－1)＝－136＜0，f (0)＝－1＜0，f (1)＝32>0，∴f (0)·f (1)＜0，由函数的零点判定定理可知，函数f (x )＝3x ＋12x －2的一个零点所在的区间是(0,1)，故选C.【答案】 C9．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如下表：) A ．(－3，－1)和(2,4) B ．(－3，－1)和(－1,1) C ．(－1,1)和(1,2)D ．(－∞，－3)和(4，＋∞)【解析】 由于f (－3)＝6＞0，f (－1)＝－4＜0，f (2)＝－4＜0，f (4)＝6＞0，则f (－3)·f (－1)＜0，f (2)·f (4)＜0.故方程的两根分别在区间(－3，－1)和(2,4)内．【答案】 A10．某商店计划投入资金20万元经销甲或乙两种商品，已知经销甲商品与乙商品所获得的利润分别为P (万元)和Q (万元)，且它们与投入资金x (万元)的关系是：P ＝x 4，Q ＝a2x (a >0)；若不管资金如何投放，经销这两种商品或其中的一种商品所获得的纯利润总不少于5万元，则a 的最小值应为( )A. 5 B ．5 C ．±5D ．－ 5【解析】 设投放x 万元经销甲商品，则经销乙商品投放(20－x )万元，总利润y ＝P ＋Q ＝x 4＋a 2·20－x ，令y ≥5，则x 4＋a2·20－x ≥5.∴a 20－x ≥10－x2，即a ≥1220－x 对0≤x <20恒成立，而f (x )＝1220－x 的最大值为5，且x ＝20时，a20－x ≥10－x2也成立，∴a min ＝ 5.【答案】 A11．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －log 2x ，若实数x 0是函数f (x )的零点，且0<x 1<x 0，则f (x 1)的值为( )【导学号：97030148】 A ．恒为正值 B ．等于0 C ．恒为负值D ．不大于0【解析】 ∵函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (x 0)＝0，∴当x ∈(0，x 0)时，均有f (x )>0，而0<x 1<x 0，∴f (x 1)>0.【答案】 A12．已知f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝－(x －1)2＋1，满足f [f (a )]＝12的实数a 的个数为( )A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】 令f (a )＝x ，则f [f (a )]＝12变形为f (x )＝12；当x ≥0时，f (x )＝－(x －1)2＋1＝12，解得x 1＝1＋22，x 2＝1－22； ∵f (x )为偶函数，∴当x ＜0时，f (x )＝12的解为x 3＝－1－22，x 4＝－1＋22； 综上所述，f (a )＝1＋22，1－22，－1－22，－1＋22； 当a ≥0时，f (a )＝－(a －1)2＋1＝1＋22，方程无解； f (a )＝－(a －1)2＋1＝1－22，方程有2解； f (a )＝－(a －1)2＋1＝－1－22，方程有1解； f (a )＝－(a －1)2＋1＝－1＋22，方程有1解．故当a ≥0时，方程f (a )＝x 有4解，由偶函数的性质，易得当a ＜0时，方程f (a )＝x 也有4解，综上所述，满足f [f (a )]＝12的实数a 的个数为8，故选D.【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．如果函数f (x )＝x 2＋mx ＋m ＋3的一个零点为0，则另一个零点是________．【解析】 函数f (x )＝x 2＋mx ＋m ＋3的一个零点为0，则f (0)＝0，∴m ＋3＝0，∴m ＝－3，则f (x )＝x 2－3x ，于是另一个零点是3.【答案】 314．已知长为4，宽为3的矩形，当长增加x ，宽减少x2时，面积达到最大，此时x 的值为________．【解析】 由题意，S ＝(4＋x )⎝⎛⎭⎪⎫3－x 2，即S ＝－12x 2＋x ＋12，∴当x＝1时，S最大．【答案】 115．将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个．若每个涨价1元，则日销售量减少10个．为获得最大利润，则此商品日销售价应定为每个________元．【解析】设每个涨价x元，则实际销售价为10＋x元，销售的个数为100－10x，则利润为y＝(10＋x)(100－10x)－8(100－10x)＝－10(x－4)2＋360(0≤x<10，x∈N)．因此，当x＝4，即售价定为每个14元时，利润最大．【答案】1416．给出下列五个命题：①函数y＝f(x)，x∈R的图象与直线x＝a可能有两个不同的交点；②函数y＝log2x2与函数y＝2log2x是相等函数；③对于指数函数y＝2x与幂函数y＝x2，总存在x0，当x＞x0时，有2x＞x2成立；④对于函数y＝f(x)，x∈[a，b]，若有f(a)·f(b)＜0，则f(x)在(a，b)内有零点；⑤已知x1是方程x＋lg x＝5的根，x2是方程x＋10x＝5的根，则x1＋x2＝5.其中正确的序号是________．【解析】对于①，函数表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系，根据定义进行判定即可判断①错；对于②，函数y＝log2x2与函数y＝2log2x的定义域不等，故不是相等函数，故②错；对于③，当x0取大于等于4的值都可使当x＞x0时，有2x＞x2成立，故③正确；对于④，只有函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，同时f(a)·f(b)＜0，则f(x)在(a，b)内有零点．故④错；对于⑤，∵x ＋lg x ＝5，∴lg x ＝5－x .∵x ＋10x ＝5，∴10x ＝5－x ， ∴lg (5－x )＝x .如果做变量代换y ＝5－x ，则lg y ＝5－y ， ∵x 1是方程x ＋lg x ＝5的根，x 2是方程x ＋10x ＝5的根， ∴x 1＝5－x 2，∴x 1＋x 2＝5.故正确． 【答案】 ③⑤三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝x －1＋12x 2－2，试利用基本初等函数的图象，判断f (x )有几个零点，并利用零点存在性定理确定各零点所在的区间(各区间长度不超过1)．【解】 令y 1＝x －1，y 2＝－12x 2＋2，在同一直角坐标系中分别画出它们的图象(如图所示)，其中抛物线的顶点坐标为(0,2)，与x 轴的交点分别为(－2,0)，(2,0)，y 1与y 2的图象有3个交点，从而函数f (x )有3个零点．由f (x )的解析式知x ≠0，f (x )的图象在(－∞，0)和(0，＋∞)上分别是连续不断的曲线，且f (－3)＝136>0，f (－2)＝－12<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝18>0，f (1)＝－12<0，f (2)＝12>0，即f (－3)·f (－2)<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·f (1)<0，f (1)·f (2)<0，∴3个零点分别在区间(－3，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，(1,2)内． 18．(本小题满分12分)定义在R 上的偶函数y ＝f (x )在(－∞，0]上递增，函数f (x )的一个零点为－12，求满足f (log 14x )≥0的x 的取值集合.【导学号：97030149】【解】 ∵－12是函数的一个零点，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0.∵y ＝f (x )是偶函数且在(－∞，0]上递增， ∴当log 14x ≤0，解得x ≥1，当log 14x ≥－12， 解得x ≤2，所以1≤x ≤2.由对称性可知，当log 14x ＞0时，12≤x ＜1.综上所述，x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.19．(本小题满分12分)燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝5log 2Q10，单位是m/s ，其中Q 表示燕子的耗氧量．(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？【解】 (1)由题知，当燕子静止时，它的速度v ＝0，代入题给公式可得：0＝5log 2Q10，解得Q ＝10.即燕子静止时的耗氧量是10个单位．(2)将耗氧量Q ＝80代入题给公式得：v ＝5log 28010＝5log 28＝15(m/s)． 即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s.20．(本小题满分12分)如图2，直角梯形OABC 位于直线x ＝t 右侧的图形的面积为f (t )．图2(1)试求函数f (t )的解析式； (2)画出函数y ＝f (t )的图象. 【导学号：97030150】 【解】 (1)当0≤t ≤2时，f (t )＝S 梯形OABC －S △ODE ＝(3＋5)×22－12t ·t ＝8－12t 2， 当2<t ≤5时，f (t )＝S 矩形DEBC ＝DE ·DC ＝2(5－t )＝10－2t ，所以f (t )＝⎩⎨⎧8－12t2，(0≤t ≤2)，10－2t ，(2<t ≤5).(2)函数f (t )图象如图所示．21．(本小题满分12分)某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为2.10元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y 元．已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x,3x 吨．(1)求y 关于x 的函数；(2)如甲、乙两户该月共交水费40.8元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．【解】 (1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x ≤4，乙的用水量也不超过4吨，y ＝(5x ＋3x )×2.1＝16.8x ；当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨时，即3x ≤4且5x ＞4， y ＝4×2.1＋3x ×2.1＋3×(5x －4)＝21.3x －3.6.当乙的用水量超过4吨时，即3x ＞4，y ＝8×2.1＋3(8x －8)＝24x －7.2，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 16.8x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤45，21.3x －3.6⎝ ⎛⎭⎪⎫45＜x ≤43，24x －7.2⎝ ⎛⎭⎪⎫x >43.(2)由于y ＝f (x )在各段区间上均为单调递增函数，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，45时，y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫45＜40.8； 当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤45，43时，y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＜40.8； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞时，令24x －7.2＝40.8， 解得x ＝2，所以甲用户用水量为5x ＝10吨，付费S 1＝4×2.1＋6×3＝26.40(元)；乙用户用水量为3x ＝6吨，付费S 2＝4×2.1＋2×3＝14.40(元)．22．(本小题满分12分)某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．若每辆车的月租金每增加50元，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．(1)当每辆车的月租金定为4 000元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是多少？【解】 (1)当每辆车的月租金定为 4 000元时，能租出的车有：100－4 000－3 00050＝80辆． (2)设当每辆车的月租金定为x (x ≥3 000)元时，租赁公司的月收益为y 元，则y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫100－x －3 00050－150×100－x －3 00050－50×x －3 00050 ＝－150(x －4 050)2＋4 0502＋3 000×50－8 000×15050， 则当月租金为4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是4 0502＋3 000×50－8 000×15050＝30 7050元．。
高中数学必修1 第一章 集合 分节练习和章末综合测试题含答案§1 集合的含义与表示1、下列各组对象能否组成一个集合？（1）接近于0的数的全体； （2）2的近似值的全体； （3）平面上到点O 的距离等于1的点的全体； （4）正三角形的全体； （5）美丽的小鸟； （6）直角坐标系中第一象限内的点；（7）某学校的所有高个子男同学； （8）方程092＝－x 在实数范围内的解.2、已知∈2x ｛1，0，x ｝，求实数x 的值.3、下列四个集合中，空集是哪一个？（A ）｛0｝ （B ）｛x │x ＞8,且x ＜5｝ （C ）｛x ∈N │2x －1＝0｝ （D ）｛x │x ＞4｝4、用符号∉∈或填空： （1）设集合A 是正整数的集合，则0___A ，2___A ；（2）设集合B 是小于11的所有实数组成的集合，则32___B ， 1＋2___B.5、用列举法表示下列集合：（1）方程2x －9＝0的解的集合； （2）由大于3小于10的整数组成的集合；（3）｛x ∈R │21）－（x (x ＋1)＝0｝； （4）｛x ∈N │∈x－66N ｝； （5）｛y ∈N │y ＝－2x ＋6,x ∈N ｝； （6）｛(x ，y)│y ＝－2x ＋6,x ∈N ，y ∈N ｝.6、用描述法表示下列集合：（1）小于10的所有有理数组成的集合； （2）所有偶数组成的集合；（3）｛2，4，6，8｝； （4）｛1，21，31，41｝； （5）直角坐标平面内第四象限内的点集；（6）抛物线y ＝2x －2x ＋2上的点组成的集合.7、对于集合A ＝｛2，4，6，8｝，若A a ∈，则A a ∈－8，则由a 的值组成的集合为_________§2 集合的基本关系1、设A ＝｛正方形｝，B ＝｛矩形｝，C ＝｛平行四边形｝，D ＝｛梯形｝，则下列包含关系不正确的是（ ） （A ）A ⊆B （B ）B ⊆C（C ）C ⊆D （D ）A ⊆C2、在下列集合中，只有一个子集的集合是 （ ）A. ｛02≤x x 丨｝B. ｛03≤x x 丨｝C. ｛02＜丨x x ｝D. ｛03＜丨x x ｝3、已知集合A ＝｛12＝丨x x ｝，B ＝｛1＝丨ay y ，a 为常数｝，若B ⊆A ，则由实数a 的取值构成的集合是 （ ）A. ｛－1｝B. ｛1｝C. ｛－1，1｝D. ｛－1，0，1｝4、集合M ＝｛丨＝丨丨x y R y ∈｝，N ＝｛2m x R x ＝丨∈，R m ∈｝，则下列关系正确的是 （ ）A. N M ≠⊃B. N M ＝C. N M ≠D. M N ≠⊃5、 设集合A ＝｛1，3， a ｝，B ＝｛1， 12＋－a a ｝，且A ⊇B ，则a 的值为_______.6、 已知M ＝｛1＞丨x x ｝，N ＝｛a x x ＞丨｝，且N M ⊆，则a 的取值范围是_______. 7、若｛1，a ，ab ｝＝｛0，2a ，b a ＋｝，则20132014b a ＋＝_______.8、计算下列集合的子集的个数并写出其所有子集：（1） （2）｛0｝； （3）｛丨x ()()()03212＝－－＋x x x ｝.9、集合A ＝｛23＜＜丨－x x ｝，B ＝｛121＋＜＜－丨m x m x ｝且B ⊆A ，求实数m 的取值范围.§3 集合的基本运算1、已知集合＝A ｛1，3，5，7，9｝，＝B ｛0，3，6，9，12｝，则B A ⋂等于 （ ）A.｛3，5｝B.｛3，6｝C.｛3，7｝D.｛3，9｝2、设全集＝U ｛1，2，3，4，5｝，＝A ｛1，3，5｝，＝B ｛2，4，5｝则(A C u )⋂(B C u )等于 （ ）A. B. {4} C. {1，5} D. ｛2，5｝3、下列命题正确的是A. )(P C C u u ＝｛P ｝B. 若＝M ｛ 1，，｛2｝ ｝，则｛2｝≠⊂MC. Q C R ＝QD. 若＝N ｛1，2，3｝，＝S ｛1，3，4，2，5｝，则N ≠⊂S4、若集合＝A ｛2≤x x 丨｝，＝B ｛a x x ≥丨｝满足B A ⋂＝｛2｝，则实数a ＝_______.5、设＝A ｛31≤x x ＜丨－｝，＝B ｛42＜丨x x ≤｝，则)(B A C R ⋃＝_______. 6、已知关于x 的方程052＝＋－px x 与052＝＋－q x x 的解的集合分别为M 、S ，且＝S M ⋂｛3｝，则＝qp _______. 7、设＝A ｛33≤≤x x 丨－｝，＝B ｛t x y y ＋＝－丨2｝，若B A ⋂＝， 则实数t 的取值范围是_______.8、设全集是实数集R ，＝A ｛03722≤＋－丨x x x ｝，＝B ｛02＜＋丨a x x ｝.（1）当a ＝－4时，求B A ⋂和B A ⋃；（2）若(A C R ) B B ＝，求实数a 的取值范围.9、集合A ＝｛11＜＜丨－x x ｝，B ＝｛a x x ＜丨｝. （1）若＝B A ⋂，求实数a 的取值范围；（2）若＝B A ⋃｛1＜丨x x ｝，求实数a 的取值范围；本章综合测试题一、选择题1．下列命题正确的有（ ）（1）很小的实数可以构成集合；（2）集合{}1|2-=x y y 与集合(){}1|,2-=x y y x 是同一个集合；（3）3611,,,,0.5242-这些数组成的集合有5个元素；（4）集合(){}R y x xy y x ∈≤,,0|,是指第二和第四象限内的点集。
