时间序列分析讲义

第一章差分方程差分方程是连续时刻情形下微分方程的特例。

差分方程及其求解是时刻序列方法的根底，也是分析时刻序列动态属性的全然方法。

经济时刻序列或者金融时刻序列方法要紧处理具有随机项的差分方程的求解咨询题，因此，确定性差分方程理论是我们首先需要了解的重要内容。

§1.1一阶差分方程假设利用变量t y 表示随着时刻变量t 变化的某种事件的属性或者结构，那么t y 便是在时刻t 能够瞧测到的数据。

假设t y 受到前期取值1-t y 和其他外生变量t w 的碍事，并满足下述方程：t t t w y y ++=-110φφ(1.1)在上述方程当中，由于t y 仅线性地依靠前一个时刻间隔自身的取值1-t y ，因此称具有这种结构的方程为一阶线性差分方程。

要是变量t w 是确定性变量，那么此方程是确定性差分方程；要是变量t w 是随机变量，那么此方程是随机差分方程。

在下面的分析中，我们假设t w 是确定性变量。

例1.1货币需求函数假设实际货币余额、实际收进、银行储蓄利率和商业票据利率的对数变量分不表示为t m 、t I 、bt r 和ct r ，那么能够估量出美国货币需求函数为： 上述方程便是关于t m 的一阶线性差分方程。

能够通过此方程的求解和结构分析，判定其他外生变量变化对货币需求的动态碍事。

1差分方程求解：递回替代法差分方程求解确实是根基将方程变量表示为外生变量及其初值的函数形式，能够通过往常的数据计算出方程变量的当前值。

由于方程结构关于每一个时刻点根基上成立的，因此能够将(1.1)表示为多个方程： 0=t ：01100w y y ++=-φφ1=t ：10101w y y ++=φφt t =：t t t w y y ++=-110φφ依次进行叠代能够得到：i ti i t t i i t w y y ∑∑=-=++=0111010φφφφ(1.2)上述表达式(1.2)便是差分方程(1.1)的解，能够通过代进方程进行验证。

随机时间序列分析模型讲义【讲义】随机时间序列分析模型一、引言随机时间序列分析是一种经济学、统计学和数学领域的重要研究方法，用于描述和预测随机现象（例如经济指标、股票价格）随时间发展的变化规律。

本讲义将介绍常见的随机时间序列分析模型。

二、自回归模型（AR）1. 定义：自回归模型是一种常见的线性时序模型，它假设当前时刻的数值与过去若干时刻的数值相关。

AR(p)模型表示当前时刻的值与前p个时刻的值相关。

2. 公式：AR(p)模型的数学公式可表示为：y_t = c + φ_1 * y_(t-1) + φ_2 * y_(t-2) + ... + φ_p * y_(t-p) + ε_t其中，y_t代表当前时刻的数值，c为常数，φ_i为自回归系数，ε_t为误差项，服从均值为0，方差为σ^2的正态分布。

3. 参数估计：通过样本数据拟合AR(p)模型，可使用最小二乘法或极大似然法估计自回归系数。

三、移动平均模型（MA）1. 定义：移动平均模型是一种常见的线性时序模型，它假设当前时刻的数值与过去若干时刻的误差相关。

MA(q)模型表示当前时刻的值与过去q个时刻的误差相关。

2. 公式：MA(q)模型的数学公式可表示为：y_t = c + ε_t + θ_1 * ε_(t-1) + θ_2 * ε_(t-2) + ... + θ_q * ε_(t-q)其中，y_t代表当前时刻的数值，c为常数，θ_i为移动平均系数，ε_t为误差项。

3. 参数估计：通过样本数据拟合MA(q)模型，可使用最小二乘法或极大似然法估计移动平均系数。

四、自回归移动平均模型（ARMA）1. 定义：自回归移动平均模型是自回归模型与移动平均模型的结合，综合考虑了过去若干时刻的数值和误差对当前时刻数值的影响。

ARMA(p, q)模型表示当前时刻的值与过去p个时刻的值和过去q个时刻的误差相关。

2. 公式：ARMA(p, q)模型的数学公式可表示为：y_t = c + φ_1 * y_(t-1) + φ_2 * y_(t-2) + ... + φ_p * y_(t-p) + ε_t + θ_1 * ε_(t-1) + θ_2 * ε_(t-2) + ... + θ_q * ε_(t-q)3. 参数估计：通过样本数据拟合ARMA(p, q)模型，可使用最小二乘法或极大似然法估计自回归系数和移动平均系数。

第一章 差分方程差分方程是连续时间情形下微分方程的特例。

差分方程及其求解是时间序列方法的基础，也是分析时间序列动态属性的基本方法。

经济时间序列或者金融时间序列方法主要处理具有随机项的差分方程的求解问题，因此，确定性差分方程理论是我们首先需要了解的重要内容。

§1.1 一阶差分方程假设利用变量t y 表示随着时间变量t 变化的某种事件的属性或者结构，则t y 便是在时间t 可以观测到的数据。

假设t y 受到前期取值1-t y 和其他外生变量t w 的影响，并满足下述方程：t t t w y y ++=-110φφ (1.1)在上述方程当中，由于t y 仅线性地依赖前一个时间间隔自身的取值1-t y ，因此称具有这种结构的方程为一阶线性差分方程。

如果变量t w 是确定性变量，则此方程是确定性差分方程；如果变量t w 是随机变量，则此方程是随机差分方程。

在下面的分析中，我们假设t w 是确定性变量。

例1.1 货币需求函数 假设实际货币余额、实际收入、银行储蓄利率和商业票据利率的对数变量分别表示为t m 、t I 、bt r 和ct r ，则可以估计出美国货币需求函数为：ct bt t t t r r I m m 019.0045.019.072.027.01--++=-上述方程便是关于t m 的一阶线性差分方程。

可以通过此方程的求解和结构分析，判断其他外生变量变化对货币需求的动态影响。

1.1.1 差分方程求解：递归替代法差分方程求解就是将方程变量表示为外生变量及其初值的函数形式，可以通过以前的数据计算出方程变量的当前值。

由于方程结构对于每一个时间点都是成立的，因此可以将(1.1)表示为多个方程：0=t ：01100w y y ++=-φφ1=t ：10101w y y ++=φφt t =：tt t w y y ++=-110φφ依次进行叠代可以得到：1011211010110101)()1()(w w y w w y y ++++=++++=--φφφφφφφφ0111122113121102)1(w w w y y φφφφφφφ++++++=-i ti i t t i i t w y y ∑∑=-=++=0111010φφφφ (1.2)上述表达式(1.2)便是差分方程(1.1)的解，可以通过代入方程进行验证。

第二章 滞后算子及其性质§2.1 基本概念时间序列是以观测值发生的时期作为标记的数据集合。

一般情况下，我们是从某个特定的时间开始采集数据，直到另一个固定的时间为止，我们可以将获得的数据表示为：),,,(21T y y y如果能够从更早的时间开始观测，或者观测到更晚的时期，那么上面的数据区间可以进一步扩充。

相对而言，上述数据只是一个数据的片段，整个数据序列可以表示为：+∞=-∞==t t t T y y y y }{),,,,,,(21例2.1 (1) 时间趋势本身也可以构成一个时间序列，此时：t y t =；(2) 另一种特殊的时间序列是常数时间序列，即：c y t =，c 是常数，这种时间的取值不受时间的影响；(3) 在随机分析中常用的一种时间序列是高斯白噪声过程，表示为：t t y ε=，+∞=-∞=t t t }{ε是一个独立随机变量序列，每个随机变量都服从),0(2σN 分布。

时间序列之间也可以进行转换，类似于使用函数关系进行转换。

它是将输入时间序列转换为输出时间序列。

例2.2 (1) 假设t x 是一个时间序列，假设转换关系为：t t x y β=，这种算子是将一个时间序列的每一个时期的值乘以常数转换为一个新的时间序列。

(2) 假设t x 和t w 是两个时间序列，算子转换方式为：t t t w x y +=，此算子是将两个时间序列求和。

定义：如果算子运算是将一个时间序列的前一期值转化为当期值，则称此算子为滞后算子，记做L 。

即对任意时间序列t x ，滞后算子满足：1)(-≡t t x x L类似地，可以定义高阶滞后算子，例如二阶滞后算子记为2L ，对任意时间序列t x ，二阶滞后算子满足：22)]([)(-=≡t t t x x L L x L一般地，对于任意正整数k ，有：k t t k x x L -=)(命题2.1 滞后算子运算满足线性性质：(1) )()(t t x L x L ββ=(2) )()()(t t t t w L x L w x L +=+证明：(1) 利用滞后算子性质，可以得到：)()(1t t t x L x x L βββ==-(2) )()()(11t t t t t t w L x L w x w x L +=+=+--由于滞后算子具有上述运算性质和乘法的交换性质，因此可以定义滞后算子多项式，它的作用是通过它对时间序列的作用获得一个新的时间序列，并且揭示这两个时间序列之间的关系。