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第4章 谱分析方法§1 绪论一． 时间序列模型：通过分析自相关就获得描述与预测时间序列可能够用模型的第一印象。
如1t t t y y a f --=这里t y 与1t y -相关性较大，而与2t y -相关较弱，为什么？二．分析时间序列的两种方法频谱法， 时间序列法-Box Jenkins 方法三． 时间序列模型的五个特征（最重要的）描述趋势有多种方法 1． 趋势t t y t a d m =++ 1,2,....,t n = 确定性趋势 11t t t t y y d m m ---=+- 随机趋势2． 季节性： 111,22,,...t t t t s s t t y y D D D a a a m --=++++ 1,2,....,t n =,s t D 是季节哑变量，定义为,1s t D =， ()1t T S s =-+， 1,2,...,S S = 1,2,....,T N = ,0s t D = 其它3． 异常观测值异常观测值：在时间序列中，可能有一个或几个点，会对时间序列的建模与预测起到重要的作用。
这样的数据点称为奇异观测值。
4． 条件异方差异常观测值倾向于成群出现，这个现象称为波动性集聚（vilatility clustering ）条件异方差()()22112t t t t t y y y y a r m ----=+-+ 3,4,...,t n = 5． 非线性： 状态依赖——机制转换特征§2 谱分析一． 时间序列分析的方法1 时序分析方法：也就是时序建模方法，ARMA 等，也就是原序列的时间顺序不变。
2 频谱建模方法：单变量频谱建模技术就是时间序列看作是有不同频率的正弦和余弦波组成。
其基本思想是：把时间序列看作是互不相关的周期（频率）分量的叠加，通过研究和比较各分量的周期变化，以充分揭示时间序列的频域结构，掌握其主要波动特征。
做法：对某个时间序列剔除趋势和季节因素后的循环项（平稳）进行谱估计，根据估计出的普密度函数，找出序列中的主要频率分量，从而把握该序列的周期波动特征。
时间序列分析方法第章谱分析HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】第六章 谱分析 Spectral Analysis到目前为止，t 时刻变量t Y 的数值一般都表示成为一系列随机扰动的函数形式，一般的模型形式为：我们研究的重点在于，这个结构对不同时点t 和τ上的变量t Y 和τY 的协方差具有什么样的启示。
这种方法被称为在时间域(time domain)上分析时间序列+∞∞-}{t Y 的性质。
在本章中，我们讨论如何利用型如)cos(t ω和)sin(t ω的周期函数的加权组合来描述时间序列t Y 数值的方法，这里ω表示特定的频率，表示形式为：上述分析的目的在于判断不同频率的周期在解释时间序列+∞∞-}{t Y 性质时所发挥的重要程度如何。
如此方法被称为频域分析(frequency domain analysis)或者谱分析(spectral analysis)。
我们将要看到，时域分析和频域分析之间不是相互排斥的，任何协方差平稳过程既有时域表示，也有频域表示，由一种表示可以描述的任何数据性质，都可以利用另一种表示来加以体现。
对某些性质来说，时域表示可能简单一些；而对另外一些性质，可能频域表示更为简单。
§ 母体谱我们首先介绍母体谱，然后讨论它的性质。
6.1.1 母体谱及性质 假设+∞∞-}{t Y 是一个具有均值μ的协方差平稳过程，第j 个自协方差为：假设这些自协方差函数是绝对可加的，则自协方差生成函数为：这里z 表示复变量。
将上述函数除以π2，并将复数z 表示成为指数虚数形式)ex p(ωi z -=，1-=i ，则得到的结果(表达式)称为变量Y 的母体谱：注意到谱是ω的函数：给定任何特定的ω值和自协方差j γ的序列+∞∞-}{j γ，原则上都可以计算)(ωY s 的数值。
利用De Moivre 定理，我们可以将j i e ω-表示成为： 因此，谱函数可以等价地表示成为：注意到对于协方差平稳过程而言，有：j j -=γγ，因此上述谱函数化简为：利用三角函数的奇偶性，可以得到： 假设自协方差序列+∞∞-}{j γ是绝对可加的，则可以证明上述谱函数)(ωY s 存在，并且是ω的实值、对称、连续函数。
第六章 谱分析 Spectral Analysis到目前为止，t 时刻变量t Y 的数值一般都表示成为一系列随机扰动的函数形式，一般的模型形式为：我们研究的重点在于，这个结构对不同时点t 和τ上的变量t Y 和τY 的协方差具有什么样的启示。
这种方法被称为在时间域(time domain)上分析时间序列+∞∞-}{t Y 的性质。
在本章中，我们讨论如何利用型如)cos(t ω和)sin(t ω的周期函数的加权组合来描述时间序列t Y 数值的方法，这里ω表示特定的频率，表示形式为：上述分析的目的在于判断不同频率的周期在解释时间序列+∞∞-}{t Y 性质时所发挥的重要程度如何。
如此方法被称为频域分析(frequency domain analysis)或者谱分析(spectral analysis)。
我们将要看到，时域分析和频域分析之间不是相互排斥的，任何协方差平稳过程既有时域表示，也有频域表示，由一种表示可以描述的任何数据性质，都可以利用另一种表示来加以体现。
对某些性质来说，时域表示可能简单一些；而对另外一些性质，可能频域表示更为简单。
§6.1 母体谱我们首先介绍母体谱，然后讨论它的性质。
6.1.1 母体谱及性质假设+∞∞-}{t Y 是一个具有均值μ的协方差平稳过程，第j 个自协方差为：假设这些自协方差函数是绝对可加的，则自协方差生成函数为：这里z 表示复变量。
将上述函数除以π2，并将复数z 表示成为指数虚数形式)exp (ωi z -=，1-=i ，则得到的结果(表达式)称为变量Y 的母体谱：注意到谱是ω的函数：给定任何特定的ω值和自协方差j γ的序列+∞∞-}{j γ，原则上都可以计算)(ωY s 的数值。
利用De Moivre 定理，我们可以将j i e ω-表示成为：因此，谱函数可以等价地表示成为：注意到对于协方差平稳过程而言，有：j j -=γγ，因此上述谱函数化简为：利用三角函数的奇偶性，可以得到：假设自协方差序列+∞∞-}{j γ是绝对可加的，则可以证明上述谱函数)(ωY s 存在，并且是ω的实值、对称、连续函数。
第一章测试1.自回归(autoregressive, AR)模型是由（）提出的。
A:BollerslovB:BoxC:JenkinsD:Yule答案:D2.时域分析方法的特点包括（）。
A:操作简单、直观有效B:分析结果易于解释C:理论基础扎实D:操作步骤规范答案:BCD3.常见的时间序列分析方法包括（）。
A:描述性时序分析B:频域分析方法C:谱分析方法D:时域分析方法答案:ABCD4.时间序列数据是按照时间顺序收集的一组数据。
（）A:对B:错答案:A5.频域分析方法是从序列自相关的角度揭示时间序列的发展规律。
（）A:错B:对答案:A第二章测试1.下列哪项属于平稳时间序列的自相关图特征？（）。
A:在相关图上，呈现明显的三角对称性B:自相关系数很快衰减为零C:自相关系数一直为正D:自相关系数衰减为零的速度缓慢答案:B2.下面属于自相关系数性质的是（）。
A:对称性B:负定性C:对应模型的唯一性D:规范性答案:AD3.纯随机序列的说法，正确的是（）A:纯随机序列的均值是零，方差是定值B:纯随机序列是没有分析价值的序列C:不同的时间序列平稳性检验，其延迟期数要求也不同D:由于观察值序列的有限性，纯随机序列的样本自相关系数不会绝对为零答案:BCD4.宽平稳正态时间序列一定是严平稳时间序列。
（）A:对B:错答案:A5.平稳时间序列的自协方差函数和自相关系数只依赖于时间的平移长度而与时间的起止点无关。
（）A:对B:错答案:A第三章测试1.AR(p)模型的自回归系数多项式的根与齐次线性差分方程的根是（）。
A:互为相反数B:相等的C:互为倒数D:0答案:C2.平稳AR(p)模型的自相关系数具有哪些性质？（）A:呈负数衰减B:截尾性C:拖尾性D:呈指数衰减答案:CD3.ARMA模型可逆性条件是（）A:的根都在单位圆内B:的特征根都在单位圆内C:的根都在单位圆外D:的特征根都在单位圆内答案:BC4.将非中心化AR模型转换为中心化AR模型后，序列值之间的相关关系会发生改变。
时间序列的预处理与分析一、时间序列的预处理步骤1. 数据清洗：首先，我们需要对时间序列数据进行清洗，去除可能存在的异常值、缺失值和异常数据。
异常值可以通过异常检测方法识别和处理，缺失值可以通过插值方法填补。
2. 数据转换：有时候，时间序列数据在原始尺度上的波动很大，难以进行分析。
这时，我们需要进行数据转换，常见的方法有对数变换、差分变换和平滑变换等，以使数据更平稳或更趋于正态分布。
3. 数据平滑：平滑是一种常用的数据预处理方法，可以消除噪声和随机波动，揭示时间序列的长期趋势。
常用的平滑方法包括移动平均法和指数平滑法。
4. 季节性调整：如果时间序列数据存在季节性变化，那么我们需要进行季节性调整。
常见的方法有季节差分法、季节指数法和回归模型法等，以便更好地分析和预测数据。
5. 数据分解：有时候，时间序列数据可能包含趋势、季节性和残差三个成分，我们需要将其分解出来，分别进行分析和建模。
分解方法有经典分解法和小波分解法等。
二、时间序列的分析方法1. 描述统计分析：描述统计分析是时间序列分析的基础，可以通过计算均值、方差、相关系数和自相关系数等指标，揭示数据的基本特征和变化规律。
2. 自相关分析：自相关分析是一种常用的时间序列分析方法，可以识别和度量数据内部存在的自相关关系。
自相关系数图和自相关函数图可以帮助我们判断数据是否存在自相关性，并确定合适的滞后阶数。
3. 谱分析：谱分析是一种用于分析时间序列数据频率特征的方法，可以揭示时间序列数据随时间变化的周期和频率成分。
常见的谱分析方法有周期图、功率谱图和谱密度图等。
4. ARIMA模型：ARIMA模型是一种常用的时间序列建模方法，包括自回归（AR）、差分（I）和移动平均（MA）三个部分。
通过对时间序列数据进行模型识别、参数估计和模型检验，可以进行预测和预测误差分析。
5. 指数平滑模型：指数平滑模型是一种简单且有效的时间序列预测方法，常用于对平稳或趋势性变化的数据进行预测。
【分享】应用时间序列分析课后答案在学习应用时间序列分析这门课程时，课后答案对于我们巩固知识、检验学习成果以及发现自身的不足之处都具有重要的意义。
下面，我将为大家分享一下这门课程的课后答案，并结合答案对一些重点和难点问题进行分析和讲解。
首先，让我们来看看第一章的课后答案。
第一章主要介绍了时间序列分析的基本概念和方法，包括时间序列的定义、分类以及平稳性的概念等。
在课后习题中，有这样一道题：“请解释什么是时间序列，并举例说明。
”答案是：“时间序列是按时间顺序排列的一组数据。
例如，某地区每天的气温记录、股票市场每天的收盘价、某工厂每月的产量等都是时间序列。
”通过这道题，我们可以更清晰地理解时间序列的概念，并且能够将其与实际生活中的例子相结合，加深对知识的理解。
另一道题是：“判断一个时间序列是否平稳的方法有哪些？”答案为：“常见的方法有观察序列的均值、方差是否随时间变化；自相关函数是否只与时间间隔有关，而与时间起点无关等。
”这道题帮助我们掌握了判断时间序列平稳性的关键要点。
第二章主要讲解了时间序列的模型，如 AR 模型、MA 模型和ARMA 模型等。
比如，有这样一道习题：“请简述 AR(1)模型的表达式和特点。
”答案是：“AR(1)模型的表达式为 Xt ＝φXt-1 ＋εt，其中φ 为自回归系数，εt 为白噪声。
其特点是当前值主要由前一期的值和随机扰动项决定。
”通过这个答案，我们能够明确 AR(1)模型的数学形式和基本特征。
还有一道题是：“比较 AR 模型和 MA 模型的异同。
”答案从模型的表达式、参数含义、适用情况等方面进行了详细的比较，让我们对这两种模型有了更全面的认识。
第三章涉及时间序列的预测方法。
像“简述时间序列预测的基本步骤”这道题，答案是：“首先对时间序列进行平稳性检验和预处理；然后选择合适的模型进行拟合；接着对模型进行参数估计和诊断检验；最后利用模型进行预测。
”这个答案为我们提供了一个清晰的预测流程框架。
时间序列分析法概述时间序列分析(Time Series Analysis)是一种对时间序列数据进行统计分析和预测的方法。
时间序列数据是以时间顺序排列的、按一定时间间隔收集到的一系列数据观测值。
时间序列分析通过对过去的数据进行分析，揭示出数据内部的规律和变化趋势，从而对未来的数据进行预测和模拟。
时间序列分析方法广泛应用于经济学、金融学、工程学、气象学等领域，可以用于分析和预测股票价格、销售数据、气温变化等各种现象。
时间序列分析方法包括描述性统计分析、平稳性检验、自相关与偏相关分析、谱分析、移动平均模型和自回归模型等。
描述性统计分析是时间序列分析的起点，其目的是对时间序列数据的基本特征进行描述和总结。
描述性统计分析通常包括计算数据的均值、方差、极值等指标，以及绘制数据的线图、直方图等图形。
通过对描述性统计分析的结果进行观察和比较，可以初步了解数据的分布和趋势。
平稳性检验是时间序列分析的基础，其目的是判断时间序列数据是否具有平稳性。
平稳性是指时间序列数据的统计特性在不同时间段内是相似的，即均值和方差不随时间的变化而变化。
常用的平稳性检验方法有ADF检验和KPSS检验。
如果时间序列数据不具有平稳性，需要进行平稳化处理，以满足时间序列分析的前提条件。
自相关与偏相关分析是时间序列分析中的重要内容，其目的是研究时间序列数据之间的相关性和连接性。
自相关是指时间序列数据与其在不同时间点上的滞后值之间的相关性，反映了时间序列数据的时间间隔相关性。
偏相关是在控制其他变量的影响下，研究两个时间序列数据之间的相关性。
通过自相关与偏相关分析，可以揭示时间序列数据内部的规律和关系。
谱分析是时间序列分析的重要方法之一，其目的是研究时间序列数据的频率特征和功率谱密度。
谱分析基于傅里叶变换，将时间序列数据转换到频域分析。
谱分析可以揭示时间序列数据的周期性和趋势性，为进一步的数据分析和预测提供依据。
移动平均模型是一种常用的时间序列预测方法，它基于过去若干个时间点的数据，预测未来一个时间点的数据。
时间序列分析基于r第2版《时间序列分析基于R第2版》（Time Series Analysis and Its Applications: With R Examples, 2nd Edition）是由Shumway和Stoffer合著的一本经典时间序列分析教材。
该书详细介绍了时间序列分析的理论和实践应用，并使用R语言进行实例演示和编程实现。
以下是《时间序列分析基于R第2版》的主要内容概述：第1章：时间序列分析简介介绍时间序列分析的基本概念和应用领域，并概述本书的内容和使用R语言进行时间序列分析的优势。
第2章：时间序列的基本特性介绍时间序列的基本特性，包括平稳性、自相关性和白噪声等概念，并通过实例演示如何使用R进行时间序列数据的可视化和描述性统计分析。
第3章：时间序列的线性模型介绍时间序列的线性模型，包括自回归模型（AR）、滑动平均模型（MA）和自回归滑动平均模型（ARMA）等，并通过R语言实现模型的参数估计和预测。
第4章：时间序列的谱分析介绍时间序列的谱分析方法，包括周期图和功率谱密度估计等，并通过R语言实现谱分析方法的应用和结果可视化。
第5章：时间序列的非线性模型介绍时间序列的非线性模型，包括ARCH、GARCH和非线性AR模型等，并通过R语言实现模型的参数估计和预测。
第6章：时间序列的状态空间模型介绍时间序列的状态空间模型，包括线性状态空间模型和非线性状态空间模型，并通过R语言实现模型的参数估计和预测。
第7章：多变量时间序列分析介绍多变量时间序列分析的方法，包括向量自回归模型（VAR）、向量误差修正模型（VEC）和协整模型等，并通过R语言实现模型的参数估计和预测。
第8章：季节性和周期性时间序列介绍季节性和周期性时间序列的分析方法，包括季节性自回归移动平均模型（SARMA）和周期性自回归移动平均模型（PARMA）等，并通过R语言实现模型的参数估计和预测。
第9章：时间序列的预测介绍时间序列的预测方法，包括简单指数平滑、Holt线性趋势模型和ARIMA模型等，并通过R语言实现模型的参数估计和预测。
第六章谱分析Spectral Analysis到目前为止，时刻变量的数值一般都表示成为一系列随机扰动的函数形式，一般的模型形式为：我们研究的重点在于，那个结构对不同时点和上的变量和的协方差具有什么样的启发。
这种方法被称为在时刻域(time domain)上分析时刻序列的性质。
在本章中，我们讨论如何利用型如和的周期函数的加权组合来描述时刻序列数值的方法，那个地点表示特定的频率，表示形式为：上述分析的目的在于推断不同频率的周期在解释时刻序列性质时所发挥的重要程度如何。
如此方法被称为频域分析(frequency domain analysis)或者谱分析(spectral analysis)。
我们将要看到，时域分析和频域分析之间不是相互排斥的，任何协方差平稳过程既有时域表示，也有频域表示，由一种表示能够描述的任何数据性质，都能够利用另一种表示来加以体现。
对某些性质来讲，时域表示可能简单一些；而对另外一些性质，可能频域表示更为简单。
§6.1 母体谱我们首先介绍母体谱，然后讨论它的性质。
6.1.1 母体谱及性质假设是一个具有均值的协方差平稳过程，第个自协方差为：假设这些自协方差函数是绝对可加的，则自协方差生成函数为：∑+∞-∞==j jj Y z z g γ)(那个地点z 表示复变量。
将上述函数除以π2，并将复数z 表示成为指数虚数形式)ex p(ωi z -=，1-=i ，则得到的结果(表达式)称为变量Y 的母体谱：∑+∞-∞=--==j j i j i Y Y e e g s ωωγππω21)(21)(注意到谱是ω的函数：给定任何特定的ω值和自协方差j γ的序列+∞∞-}{j γ，原则上都能够计算)(ωY s 的数值。
利用De Moivre 定理，我们能够将j i e ω-表示成为：)sin()cos(j i j e j i ωωω-=-因此，谱函数能够等价地表示成为：∑+∞-∞=-=j j Y j i j s )]sin()[cos(21)(ωωγπω注意到关于协方差平稳过程而言，有：j j -=γγ，因此上述谱函数化简为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧----++-=∑+∞=10)]sin()sin()cos()[cos(21)]0sin()0[cos(21)(j j Y j i j i j j i s ωωωωγπγπω 利用三角函数的奇偶性，能够得到：⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=∑+∞=10)cos(221)(j jY j s ωγγπω 假设自协方差序列+∞∞-}{j γ是绝对可加的，则能够证明上述谱函数)(ωY s 存在，同时是ω的实值、对称、连续函数。
时间序列分析时间序列分析是一种统计方法，用于研究随时间变化的数据。
它可以帮助我们揭示数据背后的趋势、周期性和季节性等模式，帮助我们做出有意义的预测和决策。
本文将介绍时间序列分析的基本原理、常用的方法和应用领域等内容。
一、时间序列分析的基本原理时间序列是按时间顺序排列的数据序列。
时间序列分析的基本原理是假设数据是由趋势、周期性、季节性和随机波动组成的。
通过分解时间序列，可以将数据分解为这些组成部分，进而对每个部分进行建模和分析。
趋势是时间序列长期变化的方向。
通过趋势分析，可以判断数据的增长或下降趋势，并预测未来的发展方向。
常用的趋势分析方法有移动平均法、指数平滑法和回归分析法等。
周期性是时间序列在一定时间范围内变化的重复模式。
周期性分析可以帮助我们了解数据的周期性波动，并进行周期性预测。
常用的周期性分析方法有傅里叶级数分析、谱分析和周期性指数平滑法等。
季节性是时间序列在一年内循环出现的固定模式。
季节性分析可以揭示数据中的季节性变化规律，并进行季节性预测。
常用的季节性分析方法有季节性指数平滑法、季节性回归模型和季节性自回归移动平均模型等。
随机波动是时间序列中无法由趋势、周期性和季节性解释的部分。
随机波动的分析可以帮助我们评估模型的准确性和稳定性。
常用的随机波动分析方法有自相关函数和偏自相关函数的分析等。
二、常用的时间序列分析方法1. 移动平均法移动平均法是一种常用的趋势分析方法，通过计算一定时间段内数据的平均值来平滑时间序列。
移动平均法能够过滤数据的随机波动，较好地反映数据的趋势。
2. 指数平滑法指数平滑法是一种适用于短期预测的方法，通过赋予过去观测值不同的权重来预测未来的值。
指数平滑法能够灵活地适应数据的变化，并能够较好地捕捉数据的趋势。
3. 季节性指数平滑法季节性指数平滑法是一种适用于季节性数据的方法，通过对每个季节的数据赋予不同的权重来进行季节性预测。
季节性指数平滑法能够很好地反映季节性数据的变化规律。
第六章 谱分析 S p e c t r a l A n a l y s i s到目前为止，t 时刻变量t Y 的数值一般都表示成为一系列随机扰动的函数形式，一般的模型形式为：我们研究的重点在于，这个结构对不同时点t 和τ上的变量t Y 和τY 的协方差具有什么样的启示。
这种方法被称为在时间域(time domain)上分析时间序列+∞∞-}{t Y 的性质。
在本章中，我们讨论如何利用型如)cos(t ω和)sin(t ω的周期函数的加权组合来描述时间序列t Y 数值的方法，这里ω表示特定的频率，表示形式为：上述分析的目的在于判断不同频率的周期在解释时间序列+∞∞-}{t Y 性质时所发挥的重要程度如何。
如此方法被称为频域分析(frequency domain analysis)或者谱分析(spectral analysis)。
我们将要看到，时域分析和频域分析之间不是相互排斥的，任何协方差平稳过程既有时域表示，也有频域表示，由一种表示可以描述的任何数据性质，都可以利用另一种表示来加以体现。
对某些性质来说，时域表示可能简单一些；而对另外一些性质，可能频域表示更为简单。
§6.1 母体谱我们首先介绍母体谱，然后讨论它的性质。
6.1.1 母体谱及性质 假设+∞∞-}{t Y 是一个具有均值μ的协方差平稳过程，第j 个自协方差为： 假设这些自协方差函数是绝对可加的，则自协方差生成函数为：这里z 表示复变量。
将上述函数除以π2，并将复数z 表示成为指数虚数形式)ex p(ωi z -=，1-=i ，则得到的结果(表达式)称为变量Y 的母体谱：注意到谱是ω的函数：给定任何特定的ω值和自协方差j γ的序列+∞∞-}{j γ，原则上都可以计算)(ωY s 的数值。
利用De Moivre 定理，我们可以将j i e ω-表示成为： 因此，谱函数可以等价地表示成为：注意到对于协方差平稳过程而言，有：j j -=γγ，因此上述谱函数化简为： 利用三角函数的奇偶性，可以得到： 假设自协方差序列+∞∞-}{j γ是绝对可加的，则可以证明上述谱函数)(ωY s 存在，并且是ω的实值、对称、连续函数。
第六章 谱分析 Spectral Analysis到目前为止，t 时刻变量t Y 的数值一般都表示成为一系列随机扰动的函数形式，一般的模型形式为：∑∞=-+=0j j t jt Y εψμ我们研究的重点在于，这个结构对不同时点t 和τ上的变量t Y 和τY 的协方差具有什么样的启示。
这种方法被称为在时间域(time domain)上分析时间序列+∞∞-}{t Y 的性质。
在本章中，我们讨论如何利用型如)cos(t ω和)sin(t ω的周期函数的加权组合来描述时间序列t Y 数值的方法，这里ω表示特定的频率，表示形式为：ωωωδωωωαμππd t d t Y t )sin()()cos()(0⎰⎰++=上述分析的目的在于判断不同频率的周期在解释时间序列+∞∞-}{t Y 性质时所发挥的重要程度如何。
如此方法被称为频域分析(frequency domain analysis)或者谱分析(spectral analysis)。
我们将要看到，时域分析和频域分析之间不是相互排斥的，任何协方差平稳过程既有时域表示，也有频域表示，由一种表示可以描述的任何数据性质，都可以利用另一种表示来加以体现。
对某些性质来说，时域表示可能简单一些；而对另外一些性质，可能频域表示更为简单。
§6.1 母体谱我们首先介绍母体谱，然后讨论它的性质。
6.1.1 母体谱及性质假设+∞∞-}{t Y 是一个具有均值μ的协方差平稳过程，第j 个自协方差为： )])([(),cov(μμγ--==--j t t j t t jY Y E Y Y假设这些自协方差函数是绝对可加的，则自协方差生成函数为：∑+∞-∞==j j j Y z z g γ)(这里z 表示复变量。
将上述函数除以π2，并将复数z 表示成为指数虚数形式)e xp (ωi z -=，1-=i ，则得到的结果(表达式)称为变量Y 的母体谱：∑+∞-∞=--==j ji j i Y Y eeg s ωωγππω21)(21)(注意到谱是ω的函数：给定任何特定的ω值和自协方差j γ的序列+∞∞-}{j γ，原则上都可以计算)(ωY s 的数值。
第六章 谱分析 Spectral Analysis到目前为止，t 时刻变量t Y 的数值一般都表示成为一系列随机扰动的函数形式，一般的模型形式为：∑∞=-+=0j j t j t Y εψμ (6.1)我们研究的重点在于，这个结构对不同时点t 和τ上的变量t Y 和τY 的协方差具有什么样的启示。
这种方法被称为在时间域(time domain)上分析时间序列+∞∞-}{t Y 的性质。
在本章中，我们讨论如何利用型如)cos(t ω和)sin(t ω的周期函数的加权组合来描述时间序列t Y 数值的方法，这里ω表示特定的频率，表示形式为：ωωωδωωωαμππd t d t Y t )sin()()cos()(00⎰⎰++= (6.2)上述分析的目的在于判断不同频率的周期在解释时间序列+∞∞-}{t Y 性质时所发挥的重要程度如何。
如此方法被称为频域分析(frequency domain analysis)或者谱分析(spectral analysis)。
我们将要看到，时域分析和频域分析之间不是相互排斥的，任何协方差平稳过程既有时域表示，也有频域表示，由一种表示可以描述的任何数据性质，都可以利用另一种表示来加以体现。
对某些性质来说，时域表示可能简单一些；而对另外一些性质，可能频域表示更为简单。
§6.1 母体谱我们首先介绍母体谱，然后讨论它的性质。
6.1.1 母体谱及性质假设+∞∞-}{t Y 是一个具有均值μ的协方差平稳过程，第j 个自协方差为：)])([(),cov(μμγ--==--j t t j t t j Y Y E Y Y (6.3) 假设这些自协方差函数是绝对可加的，则自协方差生成函数为：∑+∞-∞==j j j Y z z g γ)( (6.4)这里z 表示复变量。
将上述函数除以π2，并将复数z 表示成为指数虚数形式)ex p(ωi z -=，1-=i ，则得到的结果(表达式)称为变量Y 的母体谱：∑+∞-∞=--==j j i j i Y Y e e g s ωωγππω21)(21)( (6.5)注意到谱是ω的函数：给定任何特定的ω值和自协方差j γ的序列+∞∞-}{j γ，原则上都可以计算)(ωY s 的数值。
利用De Moivre 定理，我们可以将j i e ω-表示成为：)sin()cos(j i j e j i ωωω-=-因此，谱函数可以等价地表示成为：∑+∞-∞=-=j j Y j i j s )]sin()[cos(21)(ωωγπω (6.6)注意到对于协方差平稳过程而言，有：j j -=γγ，因此上述谱函数化简为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧----++-=∑+∞=10)]sin()sin()cos()[cos(21)]0sin()0[cos(21)(j j Y j i j i j j i s ωωωωγπγπω利用三角函数的奇偶性，可以得到：⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=∑+∞=10)cos(221)(j jY j s ωγγπω (6.7) 假设自协方差序列+∞∞-}{j γ是绝对可加的，则可以证明上述谱函数)(ωY s 存在，并且是ω的实值、对称、连续函数。
由于对任意k π2，有：)()2(ωπωY Y s k s =+因此)(ωY s 是周期函数，如果我们知道了],0[π内的所有)(ωY s 的值，我们可以获得任意ω时的)(ωY s 值。
§6.2 不同过程下母体谱的计算 假设随机过程+∞∞-}{t Y 服从)(∞MA 过程：t t L Y εψμ)(+=这里：∑∞==0)(j jj L L ψψ，∑∞=∞<0||j j ψ，⎩⎨⎧≠==t s t s E s t ,0,)(2σεε根据前面关于)(∞MA 过程自协方差生成函数的推导：)()()(12-=z z z g Y ψψσ因此得到)(∞MA 过程的母体谱为：)()(21)(2ωωψψσπωi i Y e e s -=(6.8) 例如，对白噪声过程而言，1)(=z ψ，这时它的母体谱函数是常数： πσω2)(2=Y s 下面我们考虑)1(MA 过程，1-+=t t t Y εθε此时：z z θψ+=1)(，则母体谱为：)1(21)1)(1(21)(222θθθσπθθσπωωωωω+++=++=--i i i i Y e e e e s 可以化简成为：)]cos(21(21)(22ωθθσπω++=Y s 显然，当0>θ时，谱函数)(ωY s 在],0[π内是ω的单调递减函数；当0<θ时，谱函数)(ωY s 在],0[π内是ω的单调递增函数。
对)1(AR 过程而言，有：t t t Y c Y εφ++=-1这时只要1||<φ，则有：)1/(1)(z z φψ-=因此谱函数为：)]cos(21[21)1(21)1)(1(21)(22222ωφφσπφφφσπφφσπωωωωω-+=+--=--=--i i i i Y e e e e s该谱函数的性质为：当0>φ时，谱函数)(ωY s 在],0[π内是ω的单调递增函数；当0<φ时，谱函数)(ωY s 在],0[π内是ω的单调递减函数。
一般地，对),(q p ARMA 过程而言：q t q t t t p t p t t t Y Y Y c Y ------+++++++++=εθεθεθεφφφ 22112211则母体谱函数为：)1()1()1()1(2)(2212212212212ωωωωωωωωωωωωφφφθθθφφφθθθπσωip p i i iq q i i ip p i i iq q i i Y e e e e e e e e e e ee s ----++++⨯----++++=------如果移动平均和自回归算子多项式可以进行下述因式分解：)1()1)(1(121221z z z z z z q q q ηηηθθθ---=++++ )1()1)(1(121221z z z z z z p p p λλλφφφ---=----则母体谱函数可以表示为：∏∏==-+-+=pj j j qj j j Y s 12122)]cos(21[)]cos(21[2)(ωλλωηηπσω1. 从母体谱函数中计算自协方差如果我们知道了自协方差序列+∞∞-}{j γ，原则上我们就可以计算出任意ω的谱函数)(ωY s 的数值。
反过来也是对的：如果对所有在],0[π内的ω，已知谱函数)(ωY s 的数值，则对任意给定的整数k ，我们也能够计算k 阶自协方差k γ。
这意味着母体谱函数)(ωY s 和自协方差序列+∞∞-}{j γ包含着相同的信息。
其中任何一个都无法为我们提供另外一个无法给出的推断。
下面的命题为从谱函数计算自协方差提供了一个有用的公式：命题6.1 假设+∞∞-}{j γ是绝对可加的自协方差序列，则母体谱函数与自协方差之间的关系为：ωωγωππd e s k i Y k ⎰+-=)(上述公式也可以等价地表示为：ωωωγππd k s Y k )cos()(⎰+-=利用上述谱公式，可以实现谱函数与自协方差函数之间的转换。
2. 解释母体谱函数假设0=k ，则利用命题6.1可以得到时间序列的方差，即0γ，计算公式为：ωωγππd s Y ⎰+-=)(0根据定积分的几何意义，上式说明母体谱函数在区间],[ππ-内的面积就是0γ，也就是过程的方差。
更一般的，由于谱函数)(ωY s 是非负的，对任意],0[1πω∈，如果我们能够计算：ωωωωd s Y ⎰+-11)(这个积分结果也是一个正的数值，可以解释为t Y 的方差中与频率的绝对值小于1ω的成分相关的部分。
注意到谱函数也是对称的，因此也可以表示为：ωωωωωωωd s d s Y Y ⎰⎰++-=111)(2)(这个积分表示频率小于1ω的随机成分对t Y 方差的贡献。
但是，频率小于1ω的随机成分对t Y 方差的贡献意味着什么？为了探索这个问题，我们考虑更为特殊一些的时间序列模型：∑=+=Mj j j j j t t t Y 1)]sin()cos([ωδωα这里j α和j δ是零均值的随机变量，这意味着对所有时间t ，有0=t EY 。
进一步假设序列M j j 1}{=α和Mj j 1}{=δ是序列不相关和相互不相关的：⎪⎩⎪⎨⎧≠==k j k j E j k j ,0,)(2σαα，⎪⎩⎪⎨⎧≠==kj k j E j k j ,0,)(2σδδ0)(=k j E δα，对所有的j 和k这时t Y 的方差是：[][]∑∑∑====+=+=Mj jMj Mj j j j j j j j t t t t E t E Y E 121122222222)(sin )(cos )(sin )()(cos )()(σωωσωδωα因此，对这个过程来说，具有频率j ω的周期成分对t Y 的方差的贡献部分是2j σ。
如果频率是有顺序的：πωωω<<<<<M 210，则t Y 的方差中由频率小于或者等于j ω的周期形成的部分是：22221j σσσ+++ 。
这种情形下t Y 的k 阶自协方差为：∑∑∑===-=-+-=-+-=Mj j j M j j j j j j Mj j j j j j j k t t k k t t k t t k t t E k t t E Y Y E 1212122)cos()]}(sin[)sin()](cos[){cos()]}(sin[)sin()()](cos[)cos()({)(ωσωωωωσωωδωωα因为过程}{t Y 的均值和自协方差函数都不是时间的函数，因此这个过程是协方差平稳过程。
但是，可以验证此时的自协方差序列∞=0}{k k γ不是绝对可加的。
虽然在上述过程中，我们已经过程的方差分解为频率低于某种程度的周期成分的贡献，我们能够这样做的原因在于这个过程是比较特殊的。
对于一般的情形，著名的谱表示定理(the spectral representation theorem)说明：任何协方差平稳过程都可以表示成为不同频率周期成分的和形式。
对任意给定的固定频率],0[πω∈，我们定义随机变量)(ωα和)(ωδ，并假设可以将一个具有绝对可加自协方差的协方差平稳过程表示为：⎰++=πωωωδωωαμ0)]sin()()cos()([d t t Y t这里需要对随机变量)(ωα和)(ωδ的相关性给出更为具体的假设，但是上述公式便是谱表示定理的一般形式。
§6.2 样本周期图 Sample Periodogram对一个具有绝对可加自协方差的协方差平稳过程}{t Y ，我们已经定义在频率ω处的谱函数值为：∑+∞-∞=--==j j i j i Y Y e e g s ωωγππω21)(21)(，)])([(μμγ--≡-j t t j Y Y E注意到母体谱是利用+∞=0}{j j γ表示的，而+∞=0}{j j γ表示的是母体的二阶矩性质。
