高考数学复习《空间中的平行关系》

.高二数学作业空间中的平行与垂直关系[知识要点]要点1、空间中的平行关系： ◆平行直线：公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

◆线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

推理模式：,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒．◆线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行推理模式：//,,//a a b a b αβαβ⊂=⇒．◆两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个平面平行。

定理的模式：//////a b a b P a b ββαβαα⊂⎫⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行。

推论模式：,,,,,,//,////a b P a b a b P a b a a b b ααββαβ'''''''=⊂⊂=⊂⊂⇒◆两个平面平行的性质（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面； 〔2〕如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

◆注意体会以下平行问题的转化思路、方向与转化条件、途径：要点2、空间中的垂直关系： ◆线线垂直〔1〕线线垂直的定义：所成的角是直角，两直线垂直。

〔2〕垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。

◆线面垂直〔1〕定义：如果一条直线l 和一个平面α相交，并且和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 和平面α互相垂直其中直线l 叫做平面的垂线，平面α叫做直线l 的垂面,直线与平面的交点叫做垂足。

直线l 与平bab aααP P ab βαc b a βα2面α垂直记作：l ⊥α。

〔2〕直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线 都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

高考数学专题复习：空间中的平行关系一、单选题1．设空间三条互不重合的直线a 、b 、c ，则下列结论正确的是（ ）A ．若//a b ，b 与c 是异面直线，则a 与c 也是异面直线B ．若a b ⊥，b 与c 是异面直线，则a 与c 也是异面直线C ．若a b ⊥，b c ⊥，则//a cD ．若//a b ，//b c ，则//a c2．如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ､F ，且12EF =，则下列结论中正确的是（ ）A ．线段11B D 上存在点E ､F 使得//AE BF B ．//EF 平面ABCDC ．AEF 的面积与BEF 的面积相等D ．三棱锥A BEF -的体积不为定值3．下图是底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.在111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，M ，N 分别为棱1BB ，AC 的中点，则直线AM 与1C N 的位置关系为（ ）A ．平行B ．相交C ．异面D ．无法判断4．在长方体1111ABCD A BC D -中，AB AD =11AA =，则1AD 与11AC 所成角的余弦值为（ ）A ．14BCD 5．正四面体ABCD 中，M ，N 分别为BC ，AD 的中点，则直线AM 与CN 所成角的余弦值为（ ）A ．13BCD ．236．在正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F ，G 分别为1DD ，1AA ，AB 的中点，P 为底面ABCD 上一动点，且直线1//D P 平面EFG ，则1D P 与平面ABCD 所成角的正切值的取值范围为（ ）A ．⎣⎦B ．⎤⎥⎣⎦C ．⎡⎣D ．⎣⎦ 7．空间中，m ，n 是两条不同直线，α是平面，有下列四个命题：①若//n α，//m α，则//n m ；②若//n α，m α⊂，则//n m ；③若n α⊥，m α⊂，则n m ⊥；④若n α⊥，//m n ，则m α⊥．则正确的命题个数是（ ）A ．3B ．2C ．1D ．08．在正方体1111ABCD A BC D -中，E 为棱CD 的中点，则异面直线AE 与1BC 所成角的正弦值为（ ）A B C D 9．如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，12AA AD ==，3AB =，E ，F 分别为棱1AA ，1CC 的中点，过BF 的平面α与直线1C E 平行，则平面α截该长方体所得截面的面积为（ ）A ．3B ．C ．D ．10．直线a 与直线b 相交，直线c 也与直线b 相交，则直线a 与直线c 的位置关系是（ ） A ．相交B ．平行C ．异面D ．以上都有可能11．如图是一正方体的表面展开图，MN 和PB 是两条面对角线，则在正方体中，直线MN 与直线PB 的位置关系为（ ）A ．相交B ．平行C ．异面D ．重合12．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，,E F 分别为侧棱,PC PB 上的点，且满足4PC EC =，//AF 平面BDE ，则PB FB =（ ） A ．32 B ．2C ．3D ．4 二、填空题13．如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，16AA=，3AB =，8AD =，点M 是棱AD 的中点，点N 在棱1AA 上，且满足12AN NA =，P 是侧面四边形11ADD A 内一动点（含边界），若1//C P 平面CMN ，则线段1C P 长度的取值范围是________．14．如图所示四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AD AB ⊥，112AB AD CD ===，2AM MP =，O ∈面ABCD ，//PO 平面MBD ，则O 点轨迹长度为________．15．在正方体1111ABCD A BC D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为________． 16．如图，四棱锥S ABCD -的所有棱长都等于2，E 是SA 的中点，过C 、D 、E 三点的平面与SB 交于点F ，则四边形DEFC 的周长为________.三、解答题17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥面ABCD ，//AB CD ，60BAD ∠=︒，122AB AD CD ===，E 为棱PD 上的一点，且22DE EP ==．（1）求证：//PB 面AEC ；（2）求直线AE 与面PCD 所成角的正弦值．18．如图所示的几何体由平面PECF 截棱长为2的正方体得到，其中P 、C 为原正方体的顶点，E 、F 、H 为原正方体侧棱的中点，正方形ABCD 为原正方体的底面．（1）求证：//CE 平面BDH ；（2）在棱BC 上是否存在点G ，使三棱锥EFBG ﹣的体积恰为几何体ABEP CDF ﹣的体积的110？若存在，确定点G 的位置；若不存在，请说明理由．19．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，点E 是1BB 的中点，点F 在棱AB 上，且2AF FB =，设直线1BD ，DE 相交于点G ．（1）证明：//GF 平面11AA D D ；（2）求点B 到平面GEF 的距离．20．如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，2AB BC ==，13AA =.（1）求证：直线1//A B 平面1ACD ；（2）求三棱锥1D BCD 的体积.21．如图，圆锥SO 的侧面展开图是半径为2的半圆，AB ，CD 为底面圆的两条直径，P 为SB 的中点.（1）求证：SA //平面PCD （2）求圆锥SO 的表面积.22．已知直四棱柱1111ABCD A BC D -的所有棱长均为2，且11160A B C ∠=︒.（Ⅰ）求证：1//C D 平面1AB C ；（Ⅱ）求二面角11B AC D --的余弦值.参考答案1．D【分析】由空间中直线的三种位置关系逐一判断四个选项即可．【详解】解：若//a b ，b 与c 是异面直线，则a 与c 异面或相交，故A 错误；若a b ⊥，b 与c 是异面直线，则a 与c 平行、相交或异面，故B 错误；若a b ⊥，b c ⊥，则a 与c 平行、相交或异面，故C 错误；若//a b ，//b c ，由平行公理可得//a c ，故D 正确．故选：D ．2．B【分析】利用异面直线的定义可判断A ；根据线面平行判定定理可判断B ；根据三角形的高不相等可判断C ；直接计算体积可判断D.【详解】线段11B D 上不存在点E ､F 使得//AE BF ，因为A 在平面11BDD B 平面外，E 在平面内，所以AE ，BF 是异面直线，所以A 不正确；连接BD ，几何体是正方体，所以//EF BD ，BD ⊂平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD ，可知//EF 平面ABCD ，所以B 正确.B 到11B D 的距离为11BB =，A 到11B D 的距离大于上下底面中心的连线，则A 到11B D 的距离大于1，∴AEF 的面积大于BEF 的面积，故C 错误；A 到平面11BDDB BEF 的面积为定值， ∴三棱锥A BEF -的体积为定值，故D 不正确. 故选：B.3．C【分析】如图，连接CM ，取CM 的中点G ，连接NG ，1C G ，则有NG ∥AM ，从而可得AM ∥平面1NC G ，由此可得直线AM 与1C N 没有公共点，而1NG C N N =，NG ∥AM ，由此可得直线AM 与1C N 不可能平行，从而可得结论【详解】如图，连接CM ，取CM 的中点G ，连接NG ，1C G ， 因为N 为AC 的中点，所以NG ∥AM ，因为NG ⊂平面1NC G ，AM ⊄平面1NC G ，所以AM ∥平面1NC G ， 所以AM 与平面1NC G 没有公共点，因为1C N ⊂平面1NC G ，所以直线AM 与1C N 没有公共点，所以直线AM 与1C N 不可能相交，因为1NG C N N =，NG ∥AM ，所以直线AM 与1C N 不可能平行， 所以直线AM 与1C N 是异面直线，故选：C4．D【分析】因为11//AC AC ，所以1AD 与11AC 所成角等于1AD 与AC 所成的角，在三角形1ACD 中，利用余弦定理求解．【详解】如图，连接AC ，1CD ． 在长方体中，因为11//AC AC ，所以1AD 与11AC 所成角等于1AD 与AC 所成的角；在三角形1ACD 中，112AC AD CD ==，由余弦定理得2221111cos 2D A CA D C D AC AC AD +-∠=⨯⨯ 故选：D ．5．D【分析】取BN 的中点为H ，连接AH ，MH 则AMH ∠或其补角即为异面直线AM 与CN 所成角，设正四面体的棱长为2，分别求出AHM △各边边长，由余弦定理即可求解.【详解】如图：连接BN ，取BN 的中点为H ，连接AH ，MH ， 因为M 分别为BC 的中点，所以//MH CN ，所以AMH ∠或其补角即为异面直线AM 与CN 所成角， 设正四面体的棱长为2，则cos302AM AB ===所以CN AM ==12HM CN ==在Rt ANH △中，AH = 在AHM △中，由余弦定理可得：2223732cos 23AM HM AH AMH AM AH +-+-∠===⋅，所以直线AM 与CN 所成角的余弦值为23，故选：D. 6．B 【分析】由题意知面EFG 在正方体1111ABCD A BC D -上的截面为EFGH 且H 为DC 中点，根据正方体、线面平行的性质，有P 在BC 上，即1D P 与平面ABCD 所成角为1DPD ∠，进而可求其正切值的范围. 【详解】由题意，如上图示，面EFG 在正方体1111ABCD A BC D -上的截面为EFGH 且H 为DC 中点，∵1//D P 平面EFG ，而面11//A BCD 面EFG ，∴1D P ⊂面11A BCD ，又P 为底面ABCD 上一动点，则P 在BC 上， ∴1D P 与平面ABCD 所成角为1DPD ∠，当P 与B 重合时，1DPD ∠最小，此时11tan DD DBD BD ∠==当P 与C 重合时，1DPD ∠最大，此时11tan 1DD DCD CD∠==；∴1tan DPD ∠∈. 故选：B 7．B 【分析】由空间中的线面平行、垂直的判定和性质分析判断即可 【详解】①若//m α，//n α，则直线m 和n 可能平行，还可能相交或异面，所以①错误， ②若//n α，m α⊂，则n 与m 无交点，所以//m n 或m 与n 为异面直线，所以②错误， ③当n α⊥，m α⊂时，由线面垂直的性质可得n m ⊥，所以③正确， ④当n α⊥，//m n 时，由线面垂直的判定可得m α⊥，所以④正确， 故选：B ． 8．D 【分析】利用11//BC AD ，将异面直线AE 与1BC 所成角转化为相交直线1AD 与AE 所成角，即可求解. 【详解】如图，连结1AD ，1D E ，11//BC AD ，1D AE ∴∠是异面直线AE 与1BC 所成角，设棱长为2，1AD =1AE D E ===所以2221cos D AE +-∠=即1sin D AE ∠=故选：D 9．D 【分析】取1DD 中点G ，连接,,GA GF AF ，进而证明1//EC 平面ABFG 得到平面ABFG 即为所求的平面α，再求面积即可. 【详解】解：如图，取1DD 中点G ，连接,,GA GF AF ，因为在长方体1111ABCD A BC D -中，E ，F 分别为棱1AA ，1CC 的中点， 所以11//,AE C F AE C F =， 所以四边形1AEC F 是平行四边形， 所以1//EC AF ，因为G 为1DD 中点，F 为棱1CC 的中点， 所以//,GF DC GF DC =， 又因为//,AB DC AB DC =， 所以//,AB GF AB GF =， 所以四边形ABFG 是平行四边形，又因为1EC ⊄平面ABFG ，AF ⊂平面ABFG ， 所以1//EC 平面ABFG ，所以平面ABFG 即为所求的平面α， 又因为12AA AD ==，3AB =，所以面积为3S == 故选：D10．D 【分析】借助长方体模型可判断直线a 与直线c 的位置关系. 【详解】 如下图所示：在长方体1111ABCD A BC D -中，将直线a 、b 、c 分别视为棱AB 、AD 、1AA 所在直线，则直线a 与直线c 相交；将直线a 、b 、c 分别视为棱AB 、1AA 、11A B 所在直线，则直线a 与直线c 平行； 将直线a 、b 、c 分别视为棱AB 、1AA 、11A D 所在直线，则直线a 与直线c 异面. 综上所述，直线a 与直线c 相交、平行或异面.故选：D. 11．C 【分析】根据展开图，还原正方体，观察图形，可得结果. 【详解】根据展开图，还原正方体，由图可知，直线MN 和PB 为异面直线.故选：C. 12．C 【分析】过点F 作//FG BE 交PC 与G ，连接AG ，进而得平面//AFG 平面BDE ，故//AG 平面BDE ，再连接BD 与AC 交于O ，连接OE ，进而得//AG OE ，再根据O 是AC 中点即可得3PB FB =. 【详解】解：过点F 作//FG BE 交PC 与G ，连接AG ， 因为FG ⊄平面BDE ，BE ⊂平面BDE ， 所以//FG 平面BDE ， 因为//AF 平面BDE ，AFFG F =，所以平面//AFG 平面BDE ， 因为AG ⊂平面AFG ， 所以//AG 平面BDE ，连接BD 与AC 交于O ，连接OE ， 因为AG ⊂平面AGC ，平面AGC 平面BDE OE =，所以//AG OE ，因为底面ABCD 为正方形 ， 所以O 是AC 中点， 所以E 为GC 中点， 因为4PC EC =， 所以3PE EG =， 因为//FG BE ， 所以3PB FB =，即3PBFB= 故选：C13．【分析】取11A D 中点E ，在1DD 上取点F ，使12D F DF =，连结EF 、1C E 、1C F ，可得平面//CMN 平面1C EF ，则可得P ∈线段EF ，由此可知当P 与EF 的中点O 重合时，线段1C P 长度取最小值PO ，当P 与点E 或点F 重合时，线段1C P 长度取最大值PE 或PF ， 然后根据题中的数据进行计算即可【详解】解：取11A D 中点E ，在1DD 上取点F ，使12D F DF =， 连结EF 、1C E 、1C F ，则平面//CMN 平面1C EF ，∵P 是侧面四边形11ADD A 内一动点（含边界），1//C P 平面CMN ，∴P ∈线段EF ，∴当P 与EF 的中点O 重合时，线段1C P 长度取最小值PO ，当P 与点E 或点F 重合时，线段1C P 长度取最大值PE 或PF ，∵在长方体1111ABCD A BC D -中，16AA =，3AB =，8AD =， 点M 是棱AD 的中点，点N 在棱1AA 上，且满足12AN NA =，∴111()5max C P C E C F ===，EF =1()min C P PO ==∴线段1C P 长度的取值范围是．故答案为：14【分析】本题可绘出如图所示的辅助线，然后通过平面//MDB 平面PFG 得出O 点轨迹为线段GH ，最后通过求出GF 、HF 的长度即可得出结果.【详解】如图，延长AB 到点E ，使//AE DC 且AE DC =，连接EC ， 取BE 中点F ，作//FG DB ，交BC 于点H ，交DC 于点G ，连接PG ，因为112AB AD CD ===，所以1AB BE ==，因为2AM MP =，F 是BE 中点，所以2AB BF =，//MB PF ， 因为//FG DB ，FG PFF ，MB DBB ，所以平面//MDB 平面PFG ，因为//PO 平面MBD ，O ∈面ABCD ，所以O 点轨迹为线段GH ， 因为//DG BF ，//DB GF ，所以22112GFDB ，因为F 是BE 中点，AE DC =，1AB =，所以12BF =， 因为底面ABCD 为直角梯形， 所以90DBC BHF ，45HBF ，24HF，324GH GF HF，15．6π 【分析】连接,AC BD 交于点Q ，易证得四边形1BPDQ 为平行四边形，得到1//BP D Q ，可知1ADQ ∠即为所求角，在1ADQ 中，利用余弦定理可求得1cos ADQ ∠，由此可得结果. 【详解】连接,AC BD ，交于点Q ，连接1D Q ，四边形ABCD 为正方形，Q ∴为BD 中点，11//BD B D ，1//D P BQ ∴，∴四边形1BPDQ 为平行四边形，1//BP D Q ∴， 1ADQ ∴∠即为异面直线PB 与1AD所成角，设正方体棱长为a ，则AQ ，1D Q =，1AD ，22211111cos 2AD D Q AQ AD Q AD D Q +-∴∠=⋅16AD Q π∴∠=，即异面直线PB 与1AD 所成角为6π. 故答案为：6π. 16．3+【分析】分析出点F 为SB 的中点，计算出四边形DEFC 各边边长，即可得出结果. 【详解】因为四棱锥S ABCD -的所有棱长都等于2，则该四棱锥为正四棱锥，所以，//CD AB ， AB ⊂平面SAB ，CD ⊄平面SAB ，所以，//CD 平面SAB ，CD ⊂平面DEFC ，平面DEFC 平面SAB EF =，故//EF CD ，//EF AB ∴，E 为SA 的中点，故F 为SB 的中点，所以，112EF AB ==， 易知SAD 是边长为2的等边三角形，且E 为SA 的中点，则DE SA ⊥，且DE ==，同理可得CF =因此，四边形DEFC的周长为3CD DE EF CF +++=+故答案为：3+17．（1）证明见解析 ；（2【分析】（1）连接BD 交AC 于F ，连接EF ，证明//EF PB ，再利用线面平行的判定定理即可证明. （2）作AG DC ⊥，垂足为G ，利用线面垂直的判定定理可证得AG ⊥面PCD ，得出直线AE 与面PCD 所成角为AEG ∠，即求.【详解】（1）连接BD 交AC 于F ，连接EF ．因为//AB CD ，所以2DF CD DEFB AB EF===， 所以//EF PB ，又EF ⊂面AEC ，PB ⊄面AEC ， 所以//PB 面AEC（2）作AG DC ⊥，垂足为G ，PD ⊥面ABCD ，AG ⊂面ABCD ， 所以AG PD ⊥，又PD CD D ⋂=， 所以AG ⊥面PCD ，所以直线AE 与面PCD 所成角为AEG ∠．sin AG AEG AE ∠==18．（1）见解析；（2）在棱BC 上存在点G ，当BG ＝65时，可使三棱锥E ﹣FBG 的体积恰为几何体ABEP ﹣CDF 的体积的110. 【分析】（1）由线线平行证明线面平行；（2）根据几何体体积计算公式，应用转体积法V E ﹣FBG ＝V F﹣BGE即可得解.【详解】（1）几何体由棱长为2的正方体截得， ∵E 、H 为原正方体侧棱的中点，∴EH ∥CD ，且EH ＝CD ，∴四边形CDHE 为平行四边形，∴CE ∥DH ，∵CE ⊄面BDH ，DH ⊂面BDH ，∴CE ∥平面BDH ．（2）在棱BC 上存在点G ，当BG ＝65时， 可使三棱锥E ﹣FBG 的体积恰为几何体ABEP ﹣CDF 的体积的110， 几何体ABEP ﹣CDF 的体积为V ＝31242⨯=， 由正方体的性质可知点F 到面BGE 的距离等于点A 到面BGE 的距离，设BG ＝x ，则V E ﹣FBG ＝V F ﹣BGE ＝13S △BGE •AB ＝111()323BE BG AB x ⨯⋅⋅=， ∴114310x =⨯ ，解得：x ＝65， 即BG ＝65， ∴在棱BC 上存在点G ，当BG ＝65时， 可使三棱锥E ﹣FBG 的体积恰为几何体ABEP ﹣CDF 的体积的110．19．（1）证明见解析；（2 【分析】（1）连接1AD ，由三角形相似可得1//GF AD ，进而可证明//GF 平面11AA D D ； （2）由B EFG G BEF V V --=，结合三角形面积公式与体积公式即可求解【详解】（1）如图，连接1AD ，因为1//BE DD ，所以1BGE D GD ∽，所以1112BG BE D G DD ==，从而113BG BD =， 又由条件知13BF AB =，所以1BG BF BD AB =， 所以1//GF AD ，因为GF ⊄平面11AA D D ，1AD ⊂平面11AA D D ，所以//GF 平面11AA D D ；（2）设G 到平面BEF 的距离为h ，由11113h BG A D BD ==，得13h =， 又111123212BEF S =⨯⨯=， 所以三棱锥G BEF -的体积为1111133123108G BEF BEF V S h -==⨯⨯=， 在GEF △中，111332GE DE ==，113GF AD =, EF ，所以2131cos EFG +-∠=，进而有sin EFG ∠=12EFGS == 设B 到平面BEF 的距离为d ，由B EFG G BEF V V --=得，113108d =，解得d = 所以点B 到平面GEF20．（1）证明见解析；（2）2.【分析】（1）四边形11A BCD 是平行四边得到11//A B CD ，再由线面平行的判定定理可得答案；（2）1DD ⊥平面DBC ，计算出DBC S △，由棱锥体积公式可得三棱锥1D BCD 的体积.【详解】（1）在长方体1111ABCD A BC D -中，因为11//BC A D ，11BC AD =， 所以四边形11A BCD 是平行四边形，11//A B CD ，又1A B ⊄平面1ACD ，1CD ⊂平面1ACD ，所以直线1//A B 平面1ACD .（2）由长方体1111ABCD A BC D -知，1DD⊥平面DBC ，且2AB BC ==， 则1122222DBC S BC DC =⨯=⨯⨯=△， 因为113AA DD ==， 所以11123233DBC V S DD ==⨯⨯=△， 所以所求三棱锥1D BCD 的体积为2.21．（1）证明见解析；（2）3π.【分析】（1）连结OP ，由中位线定理得到OP //SA ，由线面平行判定定理得证； （2）分别计算侧面积和底面积，求和得表面积．【详解】解∶ （1）连结OP ，∵O ,P 分别为AB ,SB 的中点，∴OP //SA ，又∵SA ⊄平面PCD ,OP ⊂平面PCD ,SA ∴//平面PCD ；（2）记底面圆的半径为r ，侧面展开图扇形的半径为R ，且R =2， 则1222r R ππ=⋅， 得r =1，又侧面展开图为半圆，∴S 底=2r ππ=,S 侧=2122R ππ=, S 表=3π22．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）17. 【分析】（Ⅰ）由直棱柱的性质，线面平行的判定即可证1//C D 面1AB C . （Ⅱ）取AC 中点O ，连1OB ，1OD ，由线面垂直的判定知AC ⊥面 11OB D ，则11B OD ∠即为二面角11B AC D --的平面角，再由余弦定理求11cos B OD ∠即可. 【详解】（Ⅰ）由直四棱柱，得11//C D AB ，1C D ⊄面1AB C ，1AB ⊂面1AB C ， ∴1//C D 面1AB C .（Ⅱ）取AC 中点O ，连1OB ，1OD ，则1OB AC ⊥，1OD AC ⊥，又11OB OD O ⋂=， ∴AC ⊥面 11OB D ，由二面角定义，11B OD ∠即为二面角11B AC D --的平面角，由11B D =11OB OD =，即222111111111cos 27OB OD B D B OD OB OD +-∠==⋅.。

空间中的平行关系一．【课标要求】1．平面的基本性质与推论借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理：◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内；◆公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；◆公理4：平行于同一条直线的两条直线平行；◆定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补2．空间中的平行关系以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。

通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理：◆平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；◆一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明：◆一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行；◆两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行；◆垂直于同一个平面的两条直线平行能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题二．【命题走向】立体几何在高考中占据重要的地位，通过近几年的高考情况分析，考察的重点及难点稳定，高考始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的性质和判定作为考察重点。

在难度上也始终以中等偏难为主，在新课标教材中将立体几何要求进行了降低，重点在对图形及几何体的认识上，实现平面到空间的转化，示知识深化和拓展的重点，因而在这部分知识点上命题，将是重中之重。

预测2019年高考将以多面体为载体直接考察线面位置关系：（1）考题将会出现一个选择题、一个填空题和一个解答题；（2）在考题上的特点为：热点问题为平面的基本性质，考察线线、线面和面面关系的论证，此类题目将以客观题和解答题的第一步为主 三．【要点精讲】1．平面概述（1）平面的两个特征：①无限延展 ②平的（没有厚度） （2）平面的画法：通常画平行四边形来表示平面（3）平面的表示：用一个小写的希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β；用表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面AC 。

空间中的平行关系[基础梳理]1．直线与平面平行的判定定理和性质定理因为l∥a，aα，lα，所以l∥α一条直线与一个平面平行，因为l∥α，lβ，α∩β＝b，所以l∥b 2.平面与平面平行的判定定理和性质定理因为a∥β，b∥β，a∩b＝P，aα，bα，所以α∥β1．判定定理续表2.性质定理α∥β且aα⇒a∥β3.线线平行、线面平行、面面平行的相互转化利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化，解决平行关系的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而应用性质定理时，其顺序正好相反．在实际应用中，判定定理和性质定理一般要相互结合，灵活运用．[四基自测]1．下列命题中正确的是()A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C．平行于同一条直线的两个平面平行D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，bα，则b∥α答案：D2．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是()A．①③B．②③C．①④D．②④答案：C3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为________．答案：平行4．(2017·高考全国卷Ⅰ)如图所示，正方体ABCD A1B1C1D1中，M、N、E、F 分别为棱的中点，则面AMN与面DBEF的关系为________．答案：平行考点一直线与平面平行的判定与性质◄考基础——练透[例1](1)(2019·河北石家庄模拟)过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有()A．4条B．6条C．8条D．12条解析：如图所示，H，G，F，I是相应线段的中点，故符合条件的直线只能出现在平面HGFI中，有FI，FG，GH，HI，HF，GI共6条直线，故选B.答案：B(2)如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：GH∥平面P AD.解析：证明：如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO，因为四边形ABCD是平行四边形，所以O是AC的中点，又M是PC的中点，所以AP∥OM.根据直线和平面平行的判定定理，则有P A∥平面BMD.因为平面P AHG∩平面BMD＝GH，根据直线和平面平行的性质定理，所以P A∥GH.因为GH平面P AD，P A平面P AD，所以GH∥平面P AD.方法关键适用题型利用线面平行的判定定理证线面平行在该平面内找或作一直线，证明其与已知直线平行平行线易作出利用面面平行的性质证线面平行过该线找或作一平面，证明其与已知平面平行 面面平行较明显利用线面平行性质证线线平行过线作平面，产生交线已知线面平行如图所示，四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是边长为3的菱形，∠ABC ＝60°.P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝3.F 在棱P A 上，(1)若F 为P A 的中点，求证PC ∥平面BDF ；(2)若AF ＝1，E 在棱PD 上，且CE ∥平面BDF ，求PE ∶ED 的值． 解析：(1)证明：连接AC ，AC ∩BD＝O ， 由ABCD 为菱形知O 为AC 的中点， F 为P A 的中点，∴OF ∥PC .OF 平面BDF ，PC 平面BDF .∴PC ∥平面BDF .(2)过E 作EG ∥FD 交AP 于G ，连接CG ，FO .∵EG ∥FD ，EG 平面BDF ，FD 平面BDF ，∴EG ∥平面BDF ，又EG∩CE＝E，CE∥平面BDF，EG，CE平面CGE，∴平面CGE∥平面BDF，又CG平面CGE，∴CG∥平面BDF，又平面BDF∩平面P AC＝FO，CG平面P AC，∴FO∥CG.又O为AC的中点，∴F为AG中点，∴FG＝GP＝1，∴E为PD的中点，PE∶ED＝1∶1.考点二平面平行的判定与性质◄考能力——知法[例2]如图所示，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是菱形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，G和H 分别是CE和CF的中点．求证：平面BDGH∥平面AEF.证明：在△CEF中，因为G，H分别是CE，CF的中点，所以GH∥EF，又因为GH平面AEF，EF平面AEF，所以GH∥平面AEF，设AC∩BD＝O，连接OH，在△ACF中，因为OA＝OC，CH＝HF，所以OH∥AF，又因为OH 平面AEF ，AF 平面AEF ，所以OH ∥平面AEF .又因为OH ∩GH ＝H ，OH ，GH 平面BDGH ，所以平面BDGH ∥平面AEF .判定面面平行的4种方法(1)面面平行的定义，即判断两个平面没有公共点． (2)面面平行的判定定理．(3)垂直于同一条直线的两平面平行．(4)平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行．(2019·豫北六校联考)如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是A 1B 1，A 1D 1的中点，E ，F 分别是B 1C 1，C 1D 1的中点．(1)求证：四边形BDFE 为梯形； (2)求证：平面AMN ∥平面EFDB . 证明：(1)连接B 1D 1（图略）.∵在△B 1D 1C 1中，E ，F 分别是B 1C 1，C 1D 1的中点， ∴EF ∥B 1D 1且EF ＝12B 1D 1，又知四边形BDD1B1为矩形，∴四边形BDFE为梯形．(2)连接FM（图略），在△A1B1D1中，M，N分别为A1B1，A1D1的中点，∴MN ∥B1D1.由(1)知，EF∥B1D1，∴MN∥EF.在正方形A1B1C1D1中，F为C1D1的中点，M为A1B1的中点，，又∵四边形ADD1A1为正方形，∴四边形ADFM为平行四边形．又∵AM∩MN＝M，DF∩FE＝F，∴平面AMN∥平面EFDB.考点三平行关系的探索问题◄考基础——练透[例3](1)(2019·福建泉州模拟)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中点，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，当点Q________时，平面D1BQ∥平面P AO()A．与C重合B．与C1重合C．为CC1的三等分点D．为CC1的中点解析：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，∵O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，∴PO∥BD1，当点Q为CC1的中点时，连接PQ，，∴四边形ABQP是平行四边形，∴AP∥BQ，∵AP∩PO＝P，BQ∩BD1＝B，AP、PO平面P AO，BQ、BD1平面D1BQ，∴平面D1BQ∥平面P AO.故选D.答案：D(2)如图所示，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，D，D1分别是AC，A1C1上的点，当AD DC，A1D1D1C1分别为何值时，平面BC1D∥平面AB1D1.解析：如图所示，连接A1B与AB1交于点O，连接OD1.因为平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BDC1＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝OD1，所以BC1∥OD1.同理AD1∥DC1.由BC 1∥OD 1，得A 1D 1D 1C 1＝A 1O OB ＝1，即A 1D 1＝D 1C 1. 由AD 1∥DC 1，AD ∥D 1C 1，得四边形ADC 1D 1是平行四边形， 所以AD ＝D 1C 1，所以A 1D 1＝DC .所以DC AD ＝A 1D 1D 1C 1＝1， 即当AD DC ＝A 1D 1D 1C 1＝1时，平面BC 1D ∥平面AB 1D 1.对于此类问题往往采取逆向思维(1)对命题条件的探索常采用以下三种方法：①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性； ③把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件．(2)对命题结论的探索常采用以下方法：首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情的结论，就肯定假设，如果得到了矛盾的结论，就否定假设．在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，设D ，E 分别是线段BC ，CC 1的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使直线DE ∥ 平面A 1MC ？请证明你的结论．解析：存在一点M ∈AB ，使DE ∥平面A 1MC .证明如下：取AB的中点M，A1C的中点N，连接EN，DM，MN(图略)．∴四边形DENM为平行四边形，∴MN∥DE，又DE平面A1MC，MN平面A1MC，∴DE∥平面A1MC.故存在点M为AB的中点，使DE∥平面A1MC.直观想象——空间平行关系中的学科素养空间中的平行关系的应用其实质就是转化．甚至可以通过直观想象去理解或找出平行的线或面．[例](2018·高考全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为()A.334 B.233C.324 D.32解析：如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面AB1D1与棱A1A，A1B1，A1D1所成的角都相等，又正方体的其余棱都分别与A1A，A1B1，A1D1平行，故正方体ABCD－A1B1C1D1的每条棱所在直线与平面AB1D1所成的角都相等．如图所示，取棱AB，BB1，B1C1，C1D1，DD1，AD的中点E，F，G，H，M，N，则正六边形EFGHMN所在平面与平面AB1D1平行且面积最大，此截面面积为S正六边形EFGHMN ＝6×12×22×22sin 60°＝334.故选A.答案：A点评：本题是通过直观想象找到最值时的图形位置，再结合线面平行、面面平行的性质求得需要的量.课时规范练A组基础对点练1．(2019·益阳市、湘谭市调研)下图中，G，N，M，H分别是正三棱柱(两0底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有()A．①③B．②③C．②④D．②③④解析：由题意，可知题图①中，GH∥MN，因此直线GH与MN共面；题图②中，连接GN，G，H，N三点共面，但M平面GHN，因此直线GH与MN异面；题图③中，连接MG，则GM∥HN，因此直线GH与MN共面；题图④中，连接GN，G，M，N三点共面，但H平面GMN，所以直线GH 与MN异面．故选C.答案：C2．如图所示，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()解析：对于选项A，设正方体的底面对角线的交点为O(图略)，连接OQ，则OQ∥AB，因为OQ与平面MNQ有交点，所以AB与平面MNQ有交点，即AB与平面MNQ不平行，故选A.3．(2019·银川模拟)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m⊥α，n⊥β，且β⊥α，则下列结论一定正确的是()A．m⊥n B．m∥nC．m与n相交D．m与n异面解析：若β⊥α，m⊥α，则直线m与平面β的位置关系有两种：mβ或m ∥β.当mβ时，又n⊥β，所以m⊥n；当m∥β时，又n⊥β，所以m⊥n，故m ⊥n，故选A.答案：A4．(2019·济宁模拟)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是()A．CC1与B1E是异面直线B．AC⊥平面ABB1A1C．AE⊥B1C1D．A1C1∥平面AB1E解析：对于A，CC1与B1E均在侧面BCC1B1内，又两直线不平行，故相交，A错误；对于B，AC与平面ABB1A1所成的角为60，所以AC不垂直于平面ABB1A1，故B错误；对于C，AE⊥BC，BC∥B1C1，所以AE⊥B1C1，故C正确；对于D，AC与平面AB1E有公共点A，AC∥A1C1，所以A1C1与平面AB1E相交，故D错误．答案：C5．已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则() A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n解析：因为α∩β＝l，所以lβ，又n⊥β，所以n⊥l.故选C.答案：C6．(2019·重庆六校联考(一))设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是()A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，aα，a∥βC．存在两条平行直线a，b，aα，bβ，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，aα，bβ，a∥β，b∥α解析：对于选项A，若存在一条直线a，a∥α，a∥β，则α∥β或α与β相交，若α∥β，则存在一条直线a，使得a∥α，a∥β，所以选项A的内容是α∥β的一个必要条件；同理，选项B，C的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于选项D，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D的内容是α∥β的一个充分条件．故选D.答案：D7．(2019·宜昌调研)如图所示，在棱长均相等的四棱锥P－ABCD中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱P A，PB的中点，有下列结论：①PC∥平面OMN；②平面PCD∥平面OMN；③OM⊥P A；④直线PD与MN所成角的大小为90．其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)解析：如图所示，连接AC，易得PC∥OM，所以PC∥平面OMN，结论①正确．同理PD∥ON，所以平面PCD∥平面OMN，结论②正确．由于四棱锥的棱长均相等，所以AB2＋BC2＝P A2＋PC2＝AC2，所以PC⊥P A，又PC∥OM，所以OM⊥P A，结论③正确．由于M，N分别为侧棱P A，PB的中点，所以MN∥AB，又四边形ABCD为正方形，所以AB ∥CD，又三角形PDC为等边三角形，所以∠PDC＝60，所以直线PD与MN所成的角即∠PDC，故④错误．故正确的结论为①②③.答案：①②③8．如图所示，四棱锥P ABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝2，点E，F分别为AD，PC的中点．(1)证明：DF∥平面PBE；(2)求点F到平面PBE的距离．解析：(1)证明：取PB的中点G，连接EG，FG，则FG∥BC，且FG＝12BC，∵DE∥BC且DE＝12BC，∴DE∥FG且DE＝FG，∴四边形DEGF为平行四边形，∴DF∥EG，又DF平面PBE，EG平面PBE，∴DF∥平面PBE.(2)由(1)知DF∥平面PBE，∴点D到平面PBE的距离与F到平面PBE的距离是相等的，故转化为求点D到平面PBE的距离，设为d.连接BD.∵V D PBE＝V P BDE，∴13S△PBE·d＝13S△BDE·PD，由题意可求得PE＝BE＝5，PB＝23，∴S△PBE ＝12×23×(5)2－⎝⎛⎭⎪⎫2322＝6，又S△BDE＝12DE·AB＝12×1×2＝1，∴d＝6 3.9．(2019·昆明七校模拟)一个正方体的平面展开图及该正方体直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N.(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)证明：直线MN∥平面BDH；(3)过点M，N，H的平面将正方体分割为两部分，求这两部分的体积比．解析：(1)点F，G，H的位置如图所示．(2)证明：连接BD，设O为BD的中点，连接OM，OH，AC，BH，MN.∵M，N分别是BC，GH的中点，∴OM∥CD，且OM＝12CD，NH∥CD，且NH＝12CD，∴OM∥NH，OM＝NH，则四边形MNHO是平行四边形，∴MN∥OH，又MN平面BDH，OH平面BDH，∴MN∥平面BDH.(3)由(2)知OM∥NH，OM＝NH，连接GM，MH，过点M，N，H的平面就是平面GMH，它将正方体分割为两个同高的棱柱，高都是正方体的棱长，∴体积比等于底面积之比，即3∶1.B组能力提升练10．(2019·荆州模拟)如图所示，在三棱柱ABC－A′B′C′中，点E，F，H，K 分别为AC′，CB′，A′B′，B′C′的中点，G为△ABC的重心．从K，H，G，B′中取一点作为P，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P 为()A．K B．HC．G D．B′解析：取A′C′的中点M，连接EM，MK，KF，EF，则EM，得四边形EFKM为平行四边形，若P＝K，则AA′∥BB′∥CC′∥KF，故与平面PEF平行的棱超过2条；HB′∥MK⇒HB′∥EF，若P＝H或P＝B′，则平面PEF与平面EFB′A′为同一平面，与平面EFB′A′平行的棱只有AB，不满足条件；连接BC′，则EF∥A′B′∥AB，若P＝G，则AB，A′B′与平面PEF平行．故选C.答案：C11．(2019·洛阳统考(一))正方形ABCD和等腰直角三角形DCE组成如图所示的梯形，M，N分别是AC，DE的中点，将△DCE沿CD折起(点E始终不在平面ABCD内)，则下列说法一定正确的是()A．MN∥平面BCEB．在折起过程中，一定存在某个位置，使MN⊥ACC．MN⊥AED．在折起过程中，不存在某个位置，使DE⊥AD解析：折起后的图形如图所示，取CD的中点O，连接MO，NO，则在△ACD中，M，O分别是AC，CD的中点，∴MO∥AD∥BC，同理NO∥CE，又BC∩CE＝C，∴平面MON∥平面BCE，∴MN∥平面BCE，故A正确；易知MO⊥CD，NO⊥CD，又MO∩NO＝O，∴CD⊥平面MNO，∴MN⊥CD，若MN⊥AC，又AC∩CD＝C，∴MN⊥平面ABCD，∴MN⊥MO，又MO＝12AD＝12EC＝NO，∴MN不可能垂直于MO，故MN⊥AC不成立，故B错误；取CE 的中点Q，连接MQ，则在△ACE中，M，Q分别是AC，CE的中点，∴MQ∥AE，由图知MQ与MN不可能始终垂直，故C错误，当平面CDE⊥平面ABCD时，又平面CDE∩平面ABCD＝CD，AD⊥CD，AD平面ABCD，∴AD⊥平面CDE，∴AD⊥DE，故D错误．答案：A12．下列命题正确的是()A．若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线平行B．若一条直线与两个平面所成的角相等，则这两个平面平行C．若一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行解析：A选项中两条直线可能平行也可能异面或相交；对于B选项，如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ABB1A1和平面BCC1B1与B1D1所成的角相等，但这两个平面垂直；D选项中两平面也可能相交．C正确．答案：C13．(2019·杭州模拟)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，E为AD 的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则EF＝________.解析：根据题意，因为EF∥平面AB1C，所以EF∥AC.又E是AD的中点，所以F是CD的中点．因为在Rt△DEF中，DE＝DF＝1，故EF＝ 2.答案：214．(2019·唐山统一考试)在三棱锥P ABC中，PB＝6，AC＝3，G为△P AC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB和AC，则截面的周长为________．解析：过点G作EF∥AC，分别交P A、PC于点E、F，过E、F分别作EN∥PB、FM∥PB，分别交AB、BC于点N、M，连接MN(图略)，则四边形EFMN是平行四边形，所以EF3＝23，即EF＝MN＝2，FMPB＝FM6＝13，即FM＝EN＝2，所以截面的周长为2×4＝8.答案：815.如图所示，四棱锥P ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217 .点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH .(1)证明：GH∥EF；(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积．解析：(1)证明：因为BC∥平面GEFH，BC平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC.同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.(2)如图所示，连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.因为P A＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，同理可得PO⊥BD.又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面内，所以PO⊥底面ABCD.又平面GEFH⊥平面ABCD，且PO平面GEFH，所以PO∥平面GEFH.因为平面PBD∩平面GEFH＝GK，所以PO∥GK，且GK⊥底面ABCD，从而GK⊥EF，所以GK是梯形GEFH的高．由AB＝8，EB＝2，得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，从而KB＝14DB＝12OB，即K为OB的中点．由PO∥GK得GK＝12PO，即G是PB的中点，且GH＝12BC＝4.由已知可得OB＝42，PO＝PB2－OB2＝68－32＝6，所以GK＝3.故四边形GEFH的面积S＝GH＋EF2·GK＝4＋82×3＝18.。