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弯矩调幅法例题及详解
弯矩调幅法是一种用于解决结构中弯曲变形的方法。
下面是一个使用弯矩调幅法解决的例题及详解：
例题：
在一个梁上有两个集中力作用，分别是500N和800N，作用点分别距离梁的左端点3m和5m处。
梁的长度为10m，截面为矩形，宽度为20cm，高度为30cm。
求梁在中间支点处的弯矩值。
解法：
1. 首先确定梁的受力情况。
由题目可知，梁上有两个集中力作用，分别为500N和800N。
根据力的作用点和方向可知，500N的力作用在距离梁的左端点3m处，800N的力作用在距离梁的左端点5m处。
2. 确定梁的截面矩。
根据题目提供的梁的截面尺寸，可以计算出梁的截面面积A=0.2m * 0.3m = 0.06m^2。
梁的惯性矩
I=1/12 * (0.2m) * (0.3m)^3 = 0.0018m^4。
3. 计算力产生的弯曲矩。
根据弯矩调幅法的基本原理，梁上任意一点的弯曲矩M可以通过以下公式计算：
M = F * x
其中，F为作用力大小，x为作用力到该点的距离。
对于500N的力，弯曲矩M1 = 500N * 3m = 1500Nm；
对于800N的力，弯曲矩M2 = 800N * 5m = 4000Nm。
4. 计算支点处的弯曲矩。
根据梁的支持条件，支点处的弯曲矩应该为零。
因此，可以用中间支点处的弯曲矩M3表示为：
M3 = - (M1 + M2)
将M1和M2的值代入计算，得到M3 = - (1500Nm + 4000Nm) = -5500Nm。
因此，梁在中间支点处的弯曲矩为5500Nm。
调幅法弯矩调幅法简称调幅法，它是在弹性弯矩的基础上，根据需要适当调整某些截面的弯矩值。
通常是对那些弯矩绝对值较大的截面弯矩进行调整，然后，按调整后的内力进行截面设计和配筋构造，是一种实用的设计方法。
弯矩调幅法的一个基本原则是，在确定调幅后的跨内弯矩时，应满足静力平衡条件，即连续梁任一跨调幅后的两端支座弯矩MA、MB(绝对值)的平均值，加上调整后的跨度中点的弯矩M1’ 之和，应不小于该跨按简支梁计算的跨度中点弯矩Mo，即:另外还要考虑塑性内力重分布后应取得的效果-----⑴为了节约钢筋，应考虑弯矩包络图的面积为最小，⑵为了便于浇筑混凝土应减少支座上部承受负弯矩的钢筋，⑶为了便于钢筋布置，应力求使各跨跨中最大正弯矩与支座弯矩值接近相等。
按弯矩调幅法进行结构承载能力极限状态计算时，应遵循的下述规定：1)钢材宜采用I、II级和III级热轧钢筋，也可采用I级和Ⅱ级冷拉钢筋；宜采用强度等级为C20~C45的混凝土；2)截面的弯矩调幅系数δ不宜超过25％；3)调幅截面的相对受压区高度ϕ不应超过0.35。
当采用I级和Ⅱ级冷拉钢筋时，ϕ值不宜大于0. 3，调幅不宜超过15％；4)连续梁、单向连续板各跨两支座弯矩的平均值加跨度中点弯矩，不得小于该跨简支梁的弯矩。
任意计算截面的弯矩不宜小于简支弯矩的1／3；5)考虑内力重分布后，结构构件必须有足够的抗剪能力。
并且应注意，经过弯矩调幅以后，结构在正常使用极限状态下不应出现塑性铰。
截面弯矩的调幅用下式表示δ——弯矩调幅系数；Me——按弹性方法计算得的弯矩；Ma——调幅后的弯矩。
例有一承受均布荷载的五跨等跨连续梁，如图1-20，两端搁置在墙上，其活荷载与恒荷载之比q／g＝3，用调幅法确定各跨的跨中和支座截面的弯矩设计值。
图1-20 五跨连续梁解：（1）折算荷载3=gq，()()qgqgg+=+=25.041，()()qgqgq+=+=75.043)1011(/)(--=eaeMMMδ)1111()(211-≥++'MMMMBA折算恒荷载 ()q g q g g +=+='4375.04 折算活荷载()q g q q +=='5625.043 （2）支座B 弯矩连续梁按弹性理论计算，当支座B 产生最大负弯矩时，活荷载应布置在1，2，4跨，故：()()()22222m ax 1129.05625.0119.04375.0105.0119.0105.0l q g l q g l q g l q l g M B +-=+⨯-+⨯-='-'-=考虑调幅20％，即β=0.2 ，则： ()()[]()22m ax m ax 3.09.01129.08.08.01l q g l q g M M M B B B +-=+-==-=β实际取()()220909.0111l q g l q g M B +-=+-= ∴111-=MB α （3）边跨跨中弯矩 对应于()2111l q g M B +-=，边支座A 的反力为()l q g +409.0，边跨跨内最大弯矩在离A 支座l x 409.0=处，其值为：()()210836.0409.0409.021l q g l l q g M +=⨯+⨯=按弹性理论计算，当活荷载布置在1，3，5跨时，边跨跨内出现最大弯矩，则：()()21222m ax 10836.00904.01.0078.0l q g M l q g l q l g M +=>+='+'=说明按()2m ax 10904.0l q g M +=计算是安全的。
钢筋采用HRB335级，中间支座及跨中均配置318的受拉钢筋。
求：（1）按弹性理论计算时，该梁承受的极限荷载P 1； （2）按考虑塑性内力重分布方法计算时，该梁承受的极限荷载P u ； （3）支座的调幅弯矩β。
AD B D C 2000P P200020002000P 1=121.88(kN)P 1=121.88(kN)91.65(kN·m)76.05(kN·m)(a )P 2=15.6(kN)(b )P 2=15.6(kN)P 1+P 2=137.48kN (c )P 1+P 2=137.48kN91.65(kN·m)91.65(kN·m)P 1+P 2=137.48kN (d )P 1+P 2=137.48kN103.38(kN·m)85.79(kN·m)图11-15 例11-1 弯矩调幅法解：（1）设计参数环境类别为一类，c =30mm ，a =40mm ；C20混凝土强度：c f =mm 2，t f =mm 2，0.11=α；HRB335级钢筋：y f =300N/mm 2，b ξ=，0h =500-40=460mm ，318钢筋面积A s =763mm 2（2）按弹性理论方法计算支座和跨中弯矩B M 、D M支座弯矩：Pl M B 188.0-=跨中弯矩：Pl M D 156.0=（3）支座和跨中的极限弯矩Bu M 、Du M 610102006.90.127633004607633002-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-b f A f h A f M M c s y s y Du Bu α = kN ·m(4) 按弹性理论计算时，该梁承受的极限荷载1P ，如图11-15（a)所示。
当Bu B M M =时，支座出现塑性铰，此时65.91188.0=Pl kN ·m则88.1214188.065.911=⨯=P kN 此时跨中截面的弯矩为：05.76488.121156.0156.01=⨯⨯==l P M D kN ·m<Du M =·m(5) 按考虑塑性内力重分布方法计算由于两跨连续梁为一次超静定结构，P 1作用下Bu B M M =结构并未丧失承载力，只是在支座出现塑性铰，再继续加载下梁的受力相当于二跨简支梁，跨中还能承受的弯矩增量为： 6.1505.7665.91=-=-D Du M M kN ·m设P 2为从支座出现塑性铰加载到跨中出现塑性铰的荷载增量，如图11-15（b)所示。
一、弯矩调幅法（一）弯矩调幅法的概念所谓弯矩调幅法，就是对结构按弹性理论所算得的弯矩值和剪力值进行适当的调整（通常是对那些弯矩绝对值较大的截面弯矩进行调整），然后按调整后的内力进行截面设计和配筋构造的设计方法。
截面弯矩的调整幅度用弯矩调幅系数β来表示：（1-15）其中：M——按弹性理论计算的弯矩值（见图）；eM——调幅后的弯矩值。
a（二）弯矩调幅的原则为满足结构承载力极限状态和正常使用极限状态的要求，从下面几个方面考虑，对弯矩调幅提出以下原则：1、不因弯矩调幅而影响结构的承载力原则：◆弯矩调幅后引起结构内力图形和正常使用状态的变化，应进行验算，或有构造措施加以保证。
2、出铰不要过早，防止裂缝宽度、挠度过大原则：◆正常使用阶段不应出现塑性铰；◆截面的弯矩调幅系数β不宜超过0.20。
3、保证塑性铰有足够的变形能力，以实现弯矩调幅原则：◆受力钢筋宜采用HRB335级、HRB400级热轧钢筋，混凝土强度等级宜在C20～C45范围；◆截面相对受压区高度ξ应满足0.10≤ξ≤0.35。
4、弯矩调幅后仍应满足静力平衡条件5、从钢筋屈服到达到极限强度尚有一定距离（通常M y=0.95M u）。
故形成三铰破坏机构时，三个塑性铰截面并不一定同时达到极限强度。
原则：◆结构中的跨中截面弯矩值应取弹性分析所得的最不利弯矩值和按式1-16计算值中的较大值（见图）；（1-16）其中：M——按简支梁计算的跨中弯矩设计值；、——连续梁或连续单向板的左、右支座截面弯矩调幅后的设计值。
◆各控制截面的剪力设计值按荷载最不利布置和调幅后的支座弯矩由静力平衡条件计算确定。
6、构造要求、传统习惯◆ 调幅后，支座和跨中截面的弯矩值均不应小于M0的1/3。
二、用调幅法计算等跨连续梁、板（一）等跨连续梁1、在相等均布荷载，抑或在间距相同、大小相等的集中荷载作用下，等跨连续梁跨中和支座截面的弯矩设计值M可分别按式1-17、式1-18计算：承受均布荷载时：（1-17）承受集中荷载时：（1-18）其中：g、q——沿梁单位长度上的恒荷载设计值、活荷载设计值；G、Q——一个集中恒荷载设计值、活荷载设计值；——连续梁考虑塑性内力重分布的弯矩计算系数，按表采用；连续梁和连续单向板考虑塑性内力重分布的弯矩计算系数支承情况截面位置端支座边跨跨中离端第二支座离端第二跨跨中中间支座中间跨跨中A ⅠB ⅡC Ⅲ梁、板搁支在墙上0 1/11 两跨连续：-1/10；三跨以上连续：-1/11 1/16 -1/14 1/16板与梁整浇连接-1/161/14梁-1/24梁与柱整浇连接-1/16 1/14——集中荷载修正系数，按表采用；集中荷载修正系数荷载情况截面A ⅠB ⅡC Ⅲ当在跨中中点处作用一个集中荷载时 1.5 2.2 1.5 2.7 1.6 2.7 当在跨中三分点处作用两个集中荷载时 2.7 3.0 2.7 3.0 2.9 3.0 当在跨中四分点处作用三个集中荷载时 3.8 4.1 3.8 4.5 4.0 4.8l——计算跨度，按表采用。
静定结构弯矩图100题练习
结构力学课程组编
快速绘制M图练习指导
一、方法步骤
1.确定支反力的大小和方向（一般情况心算即可计算出支反力）
●悬臂式刚架不必先求支反力；
●简支式刚架取整体为分离体求反力；
●求三铰式刚架的水平反力以中间铰C的某一边为分离体；
●对于主从结构的复杂式刚架，注意“先从后主”的计算顺序；
●对于复杂的组合结构，注意寻找求出支反力的突破口。
2. 对于悬臂式刚架，从自由端开始，按照分段叠加法，逐段求
作M图（M图画在受拉一侧）；
对于其它形式的刚架，从支座端开始，按照分段叠加法，逐段求作M图（M图画在受拉一侧）。
（学会“局部悬臂梁法”求截面弯矩）
二、观察检验M图的正确性
1.观察各个关键点和梁段的M图特点是否相符
●铰心的弯矩一定为零；
●集中力偶作用点的弯矩有突变，突变值与集中力偶相等；
●集中力作用点的弯矩有折角；
●均布荷载作用段的M图是抛物线，其凹凸方向与荷载方向
要符合“弓箭法则”；
2.结构中的链杆（二力杆）没有弯矩；
3.结构中所有结点的杆端弯矩必须符合平衡特点。
（要熟练掌握
目测判断）
静定结构弯矩图百题练习
一、悬臂梁
二、简支梁
三、外伸梁
四、多跨梁
五、斜梁
六、悬臂式刚架
七、简支式刚架
八、三铰式刚架
九、复杂刚架。
进行梁端弯矩调幅时，需满足下列条件：1、所取的弯矩分布从静力学的角度考虑应该是可以接受的，也就是说不论对于整体结构或者任何构件，所选的弯矩图都要满足平衡条件；（平衡）2、塑性铰区的转动能力足以使这一假定的弯矩分布在极限荷载下能够形成；（转角相容）3、在使用荷载的开裂和挠度要能满足正常使用极限状态下的相关规定；（适用性）进行弯矩调幅的原因：1、目前对于钢筋混凝土框架结构的内力分析采用的是弹性分析方法，但在进行混凝土构件截面承载力计算却考虑了混凝土塑性变形的影响（如在混凝土受压区采用了等效矩形应力图形；在受拉区则由于混凝土抗拉强度很低而过早出现裂缝，忽略了混凝土的抗拉作用）。
工程实践和大量的试验都证实了钢筋混凝土结构的实际承载力比按弹性设计计算的结构要大，这是由于按弹性设计理论得出的结果，只要构件的一个截面达到承载能力的极限就标志着整个结构的破坏；但是由于钢筋混凝土是一种弹塑性材料，某个截面达到极限承载力，结构承载力并不一定完全丧失，只有当达到极限承载力的截面足够多而是整个结构体系成为几何可变体系时，整体结构才宣告破坏。
所以工程中，我们可以充满利用钢筋混凝土结构的此种特性，考虑其塑性性能，在设计中对梁端进行弯矩调幅，从而能够正确的评估结果的承载力，同时在结构破坏时有较多的截面达到极限承载力，从而从分的发挥结构的潜力，有效地节约材料；（进行弯矩调幅，表示考虑结构的内力重分布，一定程度上利用了结构的塑性性能（弹塑性设计））2、对梁端进行弯矩调幅，可以加大梁的弯曲变形，提高了结构的延性；3、其也能够做到合理的调整钢筋的位置，减少梁端钢筋的数量，简化配筋构造，有利于施工，保证工程质量；设计中应注意的问题：1、调幅不宜过大，要保证结构的适用性；2、由于钢筋混凝土构件在内力重分布过程中形成的塑性铰为单向铰，所以在承受动力荷载与重复荷载的过程中可能产生反向弯矩，故不宜采用；对此，规范规定，调幅只对竖向荷载作用下的弯矩进行调幅，在有地震组合的情况下，先对竖向荷载作用下的框架梁的弯矩进行调幅，再与水平作用的弯矩进行组合。
调幅法弯矩调幅法简称调幅法，它是在弹性弯矩的基础上，根据需要适当调整某些截面的弯矩值。
通常是对那些弯矩绝对值较大的截面弯矩进行调整，然后，按调整后的内力进行截面设计和配筋构造，是一种实用的设计方法。
弯矩调幅法的一个基本原则是，在确定调幅后的跨内弯矩时，应满足静力平衡条件，即连续梁任一跨调幅后的两端支座弯矩MA、MB(绝对值)的平均值，加上调整后的跨度中点的弯矩M1’ 之和，应不小于该跨按简支梁计算的跨度中点弯矩Mo，即:另外还要考虑塑性内力重分布后应取得的效果-----⑴为了节约钢筋，应考虑弯矩包络图的面积为最小，⑵为了便于浇筑混凝土应减少支座上部承受负弯矩的钢筋，⑶为了便于钢筋布置，应力求使各跨跨中最大正弯矩与支座弯矩值接近相等。
按弯矩调幅法进行结构承载能力极限状态计算时，应遵循的下述规定：1)钢材宜采用I、II级和III级热轧钢筋，也可采用I级和Ⅱ级冷拉钢筋；宜采用强度等级为C20~C45的混凝土；2)截面的弯矩调幅系数δ不宜超过25％；3)调幅截面的相对受压区高度ϕ不应超过0.35。
当采用I级和Ⅱ级冷拉钢筋时，ϕ值不宜大于0. 3，调幅不宜超过15％；4)连续梁、单向连续板各跨两支座弯矩的平均值加跨度中点弯矩，不得小于该跨简支梁的弯矩。
任意计算截面的弯矩不宜小于简支弯矩的1／3；5)考虑内力重分布后，结构构件必须有足够的抗剪能力。
并且应注意，经过弯矩调幅以后，结构在正常使用极限状态下不应出现塑性铰。
截面弯矩的调幅用下式表示δ——弯矩调幅系数；Me——按弹性方法计算得的弯矩；Ma——调幅后的弯矩。
例有一承受均布荷载的五跨等跨连续梁，如图1-20，两端搁置在墙上，其活荷载与恒荷载之比q／g＝3，用调幅法确定各跨的跨中和支座截面的弯矩设计值。
图1-20 五跨连续梁解：（1）折算荷载3=gq，()()qgqgg+=+=25.041，()()qgqgq+=+=75.043)1011(/)(--=eaeMMMδ)1111()(211-≥++'MMMMBA折算恒荷载 ()q g q g g +=+='4375.04 折算活荷载()q g q q +=='5625.043 （2）支座B 弯矩连续梁按弹性理论计算，当支座B 产生最大负弯矩时，活荷载应布置在1，2，4跨，故：()()()22222m ax 1129.05625.0119.04375.0105.0119.0105.0l q g l q g l q g l q l g M B +-=+⨯-+⨯-='-'-=考虑调幅20％，即β=0.2 ，则： ()()[]()22m ax m ax 3.09.01129.08.08.01l q g l q g M M M B B B +-=+-==-=β实际取()()220909.0111l q g l q g M B +-=+-= ∴111-=MB α （3）边跨跨中弯矩 对应于()2111l q g M B +-=，边支座A 的反力为()l q g +409.0，边跨跨内最大弯矩在离A 支座l x 409.0=处，其值为：()()210836.0409.0409.021l q g l l q g M +=⨯+⨯=按弹性理论计算，当活荷载布置在1，3，5跨时，边跨跨内出现最大弯矩，则：()()21222m ax 10836.00904.01.0078.0l q g M l q g l q l g M +=>+='+'=说明按()2m ax 10904.0l q g M +=计算是安全的。
进行xx弯矩调幅时，需满足下列条件：1、所取的弯矩分布从静力学的角度考虑应该是可以接受的，也就是说不论对于整体结构或者任何构件，所选的弯矩图都要满足平衡条件；（平衡）2、塑性铰区的转动能力足以使这一假定的弯矩分布在极限荷载下能够形成；（转角相容）3、在使用荷载的开裂和挠度要能满足正常使用极限状态下的相关规定；（适用性）进行弯矩调幅的原因：1、目前对于钢筋混凝土框架结构的内力分析采用的是弹性分析方法，但在进行混凝土构件截面承载力计算却考虑了混凝土塑性变形的影响（如在混凝土受压区采用了等效矩形应力图形；在受拉区则由于混凝土抗拉强度很低而过早出现裂缝，忽略了混凝土的抗拉作用）。
工程实践和大量的试验都证实了钢筋混凝土结构的实际承载力比按弹性设计计算的结构要大，这是由于按弹性设计理论得出的结果，只要构件的一个截面达到承载能力的极限就标志着整个结构的破坏；但是由于钢筋混凝土是一种弹塑性材料，某个截面达到极限承载力，结构承载力并不一定完全丧失，只有当达到极限承载力的截面足够多而是整个结构体系成为几何可变体系时，整体结构才宣告破坏。
所以工程中，我们可以充满利用钢筋混凝土结构的此种特性，考虑其塑性性能，在设计中对梁端进行弯矩调幅，从而能够正确的评估结果的承载力，同时在结构破坏时有较多的截面达到极限承载力，从而从分的发挥结构的潜力，有效地节约材料；（进行弯矩调幅，表示考虑结构的内力重分布，一定程度上利用了结构的塑性性能（弹塑性设计））2、对梁端进行弯矩调幅，可以加大梁的弯曲变形，提高了结构的延性；3、其也能够做到合理的调整钢筋的位置，减少梁端钢筋的数量，简化配筋构造，有利于施工，保证工程质量；设计中应注意的问题：1、调幅不宜过大，要保证结构的适用性；2、由于钢筋混凝土构件在内力重分布过程中形成的塑性铰为单向铰，所以在承受动力荷载与重复荷载的过程中可能产生反向弯矩，故不宜采用；对此，规范规定，调幅只对竖向荷载作用下的弯矩进行调幅，在有地震组合的情况下，先对竖向荷载作用下的框架梁的弯矩进行调幅，再与水平作用的弯矩进行组合。
弯矩图练习题在力学中，弯矩图是一种图形表示方法，用于描述材料在受到外力作用下弯曲的情况。
通过解析力学的知识，我们可以根据给定的条件绘制出弯矩图，以帮助我们了解结构体在力的作用下的变形情况。
在本文中，我将介绍一些弯矩图的练习题，并解答它们。
1. 简支梁的考虑一个简支梁，其长度为L，受到均匀分布载荷q的作用。
为了绘制弯矩图，我们需要先计算出梁在各个点的剪力和弯矩。
首先，我们可以计算出梁的支反力。
由于梁是简支的，所以在两个端点的支反力大小相等。
根据平衡条件，我们可以得到：支反力R = qL/2接下来，我们可以计算出梁在任意位置x处的剪力V(x)和弯矩M(x)。
根据均布载荷的性质，我们可以得到：V(x) = R - qxM(x) = Rx - (q/2)x^2通过这些计算，我们可以绘制出梁的弯矩图。
在绘图时，我们将横轴表示位置x，纵轴表示弯矩M。
我们可以观察到，在简支梁上，弯矩图为一条抛物线形状，当x=L/2时，弯矩图达到最大值。
2. 悬臂梁的现在考虑一个悬臂梁，其长度为L，悬臂部分的长度为a。
该梁受到集中力F的作用。
对于悬臂梁，我们需要使用不同的方法来计算弯矩图。
首先，考虑梁的支反力。
由于悬臂梁只有一个支点，支反力大小与集中力F相等，方向相反。
支反力R = -F接下来，我们需要计算悬臂梁在不同位置x处的剪力V(x)和弯矩M(x)。
根据悬臂梁的几何特性和受力分析，我们可以得到：V(x) = -FM(x) = -Fx + Fx = 0从上述计算结果中可以看出，悬臂梁的弯矩图是一条直线，且弯矩始终为零。
这是因为在悬臂梁的支点处，不会出现弯矩。
3. 复杂结构的除了简支梁和悬臂梁，我们还可以考虑更加复杂的结构。
对于复杂结构，我们可以利用叠加原理来计算弯矩图。
以一个梁柱系统为例，梁的两端固定在墙上，悬臂部分受到集中力F的作用。
我们需要分别计算梁的弯矩图和柱的弯矩图，然后将它们叠加得到整个系统的弯矩图。
梁的弯矩图我们已经在第一题中计算过了，而柱的弯矩图可以通过悬臂梁的方法计算得到。
钢筋采用HRB335级，中间支座及跨中均配置318的受拉钢筋。
求：（1）按弹性理论计算时，该梁承受的极限荷载P 1； （2）按考虑塑性内力重分布方法计算时，该梁承受的极限荷载P u ； （3）支座的调幅弯矩 。
ADBDC2000PP200020002000P 1=121.88(kN)P 1=121.88(kN)91.65(kN·m)76.05(kN·m)(a )P 2=15.6(kN)(b )P 2=15.6(kN)P 1+P 2=137.48kN(c )P 1+P 2=137.48kN91.65(kN·m)91.65(kN·m)P 1+P 2=137.48kN (d )P 1+P 2=137.48kN103.38(kN·m)85.79(kN·m)图11-15 例11-1 弯矩调幅法 解：（1）设计参数环境类别为一类，c =30mm ，a =40mm ；C20混凝土强度：c f =mm 2，t f =mm 2，0.11=α；HRB335级钢筋：y f =300N/mm 2，b ξ=，0h =500-40=460mm ，318钢筋面积A s =763mm 2（2）按弹性理论方法计算支座和跨中弯矩B M 、D M 支座弯矩：Pl M B 188.0-= 跨中弯矩：Pl M D 156.0=（3）支座和跨中的极限弯矩Bu M 、Du M —610102006.90.127633004607633002-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-b f A f h A f M M c s y s y Du Bu α = kN ·m(4) 按弹性理论计算时，该梁承受的极限荷载1P ，如图11-15（a)所示。
当Bu B M M =时，支座出现塑性铰，此时65.91188.0=Pl kN ·m 则88.1214188.065.911=⨯=P kN此时跨中截面的弯矩为：05.76488.121156.0156.01=⨯⨯==l P M D kN ·m<Du M =·m (5) 按考虑塑性内力重分布方法计算由于两跨连续梁为一次超静定结构，P 1作用下Bu B M M =结构并未丧失承载力，只是在支座出现塑性铰，再继续加载下梁的受力相当于二跨简支梁，跨中还能承受的弯矩增量为：6.1505.7665.91=-=-D Du M M kN ·m *设P 2为从支座出现塑性铰加载到跨中出现塑性铰的荷载增量，如图11-15（b)所示。
钢筋采用HRB335级，中间支座及跨中均配置318的受拉钢筋。
求：（1）按弹性理论计算时，该梁承受的极限荷载P 1； （2）按考虑塑性内力重分布方法计算时，该梁承受的极限荷载P u ； （3）支座的调幅弯矩β。
A D
B D
C 2000P P
20002000
2000P 1=121.88(kN)P 1=121.88(kN)
91.65(kN·m)
76.05(kN·m)
(a )
P 2=15.6(kN)(b )
P 2=15.6(kN)
15.6(kN·m)15.6(kN·m) P 1+P 2=137.48kN (c )P 1+P 2=137.48kN
91.65(kN·m)
91.65(kN·m)
P 1+P 2=137.48kN (d )
P 1+P 2=137.48kN
103.38(kN·m)
85.79(kN·m)
图11-15 例11-1 弯矩调幅法
解：（1）设计参数
环境类别为一类，c =30mm ，a =40mm ；C20混凝土强度：c f =9.6N/mm 2，t f =1.1N/mm 2，0.11=α；HRB335级钢筋：y f =300N/mm 2，b ξ=0.55，0h =500-40=460mm ，318钢筋
面积A s =763mm 2
（2）按弹性理论方法计算支座和跨中弯矩B M 、D M
支座弯矩：Pl M B 188.0-=
跨中弯矩：Pl M D 156.0=
（3）支座和跨中的极限弯矩Bu M 、Du M 610102006.90.127633004607633002-⨯⎪⎭⎫ ⎝
⎛⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
-==-b f A f h A f M M c s y s y Du Bu α =91.65 kN ·m
(4) 按弹性理论计算时，该梁承受的极限荷载1P ，如图11-15（a )所示。
当Bu B M M =时，支座出现塑性铰，此时65.91188.0=Pl kN ·m
则88.1214
188.065.911=⨯=P kN 此时跨中截面的弯矩为：
05.76488.121156.0156.01=⨯⨯==l P M D kN ·m<Du M =91.65kN ·m
(5) 按考虑塑性内力重分布方法计算
由于两跨连续梁为一次超静定结构，P 1作用下Bu B M M =结构并未丧失承载力，只是在支座出现塑性铰，再继续加载下梁的受力相当于二跨简支梁，跨中还能承受的弯矩增量为： 6.1505.7665.91=-=-D Du M M kN ·m
设P 2为从支座出现塑性铰加载到跨中出现塑性铰的荷载增量，如图11-15（b)所示。
6.154
12==-l P M M D Du kN ·m 则6.152=P kN ，48.1376.1588.12121=+=+=P P P u kN
(6) 梁在P u 作用下，按塑性理论计算时的弯矩图，如图11-15（c )所示。
（7）梁在P u 作用下，按弹性理论计算时的弯矩图，如图11-15（d )所示。
梁在极限荷载P u 作用下，按弹性理论计算的支座弯矩Be M 、跨中弯矩De M 为： 38.103448.137188.0188.0-=⨯⨯-=-=Pl M Be kN ·m
79.85448.137156.0156.0=⨯⨯==l P M u De kN ·m
（8）支座的调幅弯矩β
梁按考虑塑性内力重分布方法计算时的支座弯矩：65.91-=Bu M kN ·m 梁在极限荷载P u 作用下，按弹性理论计算的支座弯矩38.103-=Be M kN ·m 支座的调幅系数β为：
%3.1138
.10365.9138.103=-=-=Be Bu Be M M M β
B
2000
(a
)
(b )。
