可积准则

第九章 定积分 3 可积条件一、可积的必要条件定理：若函数f 在[a,b]上可积，则f 在[a,b]上必定有界. 证：若f 在[a,b]上无界，则对于[a,b]的任一分割T ， 必存在属于T 的某个小区间△k ，f 在△k 上无界. 在i ≠k 的各个小区间△i 上任取ξi ，并记G=|i ki i x △)ξ(f ∑≠|.对任意大的正数M ，存在ξk ∈△k ，使得|f(ξk )|>kx △GM +，于是有 |i ki i x △)ξ(f ∑≠|≥|f(ξk )△x k |-|i ki i x △)ξ(f ∑≠|>kx △GM +·△x k -G=M. 因此，对于无论多小的║T ║，按上述方法选取的点集{ξi }，总能使 积分和的绝对值大于任何预先给出的正数，与f 在[a,b]上可积矛盾. ∴原命题得证.注：任何可积函数有界，但有界函数不一定可积。

例1：证明狄利克雷函数D(x)=⎩⎨⎧.x 0，x 1为无理数为有理数，，在[0,1]上有界但不可积.证：∵|D(x)|≤1, x ∈[0,1]，∴D(x)在[0,1]上有界.又对于[0,1]的任一分割T ，由有理数和无理数在实数中的稠密可知， 在属于T 的任一小区间△i 上，当取ξi 全为有理数时，i n1i i x △)ξ(D ∑==1；当取ξi 全为无理数时，i n1i i x △)ξ(D ∑==0. 即不论║T ║多么小，只要点集{ξi }取法不同（全取有理数或全取无理数），积分和有不同极限， ∴D(x)在[0,1]上不可积.二、可积的充要条件设f 在[a,b]上有界，T 是[a,b]上的任一分割，则在每个△i 存在上、下确界：M i =ix sup ∆∈f(x)，m i =ix inf ∆∈f(x)，i=1,2,…,n.记S(T)=∑=∆n 1i i i x M , s(T)=∑=∆n1i i i x m ，分别称为f 关于分割T 的上和与下和(或称为达布上和与达布下和，统称为达布和)，则 任给ξi ∈△i , i=1,2,…,n ，有s(T)≤i n1i i x △)ξ(f ∑=≤S(T).注：达布和与点集{ξi }无关，只与分割T 有关.定理：(可积准则)函数f 在[a,b]上可积的充要条件是： 任给ε>0，总存在相应的一个分割T ，使得S(T)-s(T)<ε.注：设ωi =M i -m i ，称为f 在△i 上的振幅，可记为ωi f ，则有 S(T)-s(T)=i n1i i x △ω∑=，可记作∑Ti i x △ω.定理’：函数f 在[a,b]上可积的充要条件是： 任给ε>0，总存在相应的某一分割T ，使∑Ti i x △ω<ε.可积的充要条件的几何意义：若f 在[a,b]上可积，则如图，只要分割充分地细，包围曲线y=f(x)的一系列小矩形面积之和可以达到任意小；反之亦然.三、可积函数类定理：若f 为[a,b]上的连续函数，则f 在[a,b]上可积.证：f 在[a,b]上连续，从而一致连续. ∴任给ε>0，存在δ>0， 对[a,b]中任意两点x ’,x ”，只要|x ’-x ”|<δ，就有|f(x ’)-f(x ”)|<ab ε-. 对[a,b]作分割T 使║T ║<δ，则在T 所属的任一区间△i 上， 就能使f 的振幅满足ωi =ix ,x sup ∆∈'''|f(x ’)-f(x ”)|≤ab ε-，从而有 ∑Ti i x △ω≤ab ε-∑Tix△=ε，原命题得证.定理：若f 为[a,b]上只有有限个间断点的有界函数，则f 在[a,b]上可积.证：设端点b 是f 在[a,b]上的间断点，任给ε>0，取δ’>0，满足 δ’<m)2(M ε-<b-a ，其中M 与m 分别为f 在[a,b]上的上确界与下确界.当m=M 时, f 为常量函数，可积.当m<M 时，记f 在小区间△’=[b-δ’,b]上的振幅为ω’，则 ω’δ’<(M-m)·m)2(M ε-=2ε. 又f 在[a,b-δ’]上连续，所以可积.∴对[a,b-δ’]存在某个分割T ’={△1,△2,…,△n-1}，使得∑'T i i x △ω<2ε.令△n =△’，则T={△1,△2,…,△n-1,△n }是对[a,b]的一个分割， 对于T ，有∑Ti i x △ω=∑'T i i x △ω+ω’δ’<2ε+2ε=ε. ∴f 在[a,b]上可积.同理可证f 在[a,b]上存在其它间断点时，原命题仍成立.定理：若f 是[a,b]上的单调函数，则f 在[a,b]上可积.证：设f 为增函数，且f(a)<f(b). 对[a,b]的任一分割T ，由f 的增性， f 在T 所属的每个小区间△i 上的振幅为ωi =f(x i )-f(x i-1)，于是有∑Tii x△ω≤∑T1-i i T )]f(x -)[f(x =[f(b)-f(a)]║T ║. 可见，任给ε>0，只要║T ║<b)(f )b f(ε-，就有∑Ti i x △ω<ε. ∴f 在[a,b]上可积.注：单调函数有无限多个间断点仍可积.例2：试用两种方法证明函数f(x)= ⎪⎩⎪⎨⎧⋯=≤+=1,2,n n 1x <1n 1n1，0x 0，，，在区间[0,1]上可积.证法一：在[0,1]上任取两点x 1<x 2.若1n 1+<x 1<x 2≤n 1,n=1,2…，则f(x 1)=f(x 2)； 若2n 1+<x 1≤1n 1+<x 2≤n 1或1n 1+<x 1≤n 1<x 2≤1n 1-, n=1,2…，则 2n 1+=f(x 1)<f(x 2)=n 1或n 1=f(x 1)<f(x 2)=1n 1-. 同理可证，当x 1<x 2时，f(x 1)≤f(x 2)，∴f 在[0,1]上的单调增. ∴f 在[0,1]上可积.证法二：任给ε>0，∵n 1lim n ∞→=0，∴当n 充分大时，有n 1<2ε. 即f 在[2ε,1]上只有有限个间断点. ∴f 在[2ε,1]上可积，且 存在对[2ε,1]的某一分割T ’，使得∑'T i i x △ω<2ε.∴对[0,1]的一个分割T ，由f 在[0,2ε]的振幅ω0<0，可得∑Ti i x △ω=ω0+2ε∑'T i i x △ω<2ε+2ε=ε. ∴f 在[0,1]上可积.例3：证明黎曼函数f(x)= ⎪⎩⎪⎨⎧=>=.)1,0(0,1x 0 p.q ，q p, ，qp x q 1内的无理数以及互素，， 在区间[0,1]上可积，且⎰10f(x )dx=0.证：任给ε>0，在[0,1]内使得q1>2ε的有理点qp 只有有限个， 设它们为r 1,r 2…,r k . 现对[0,1]作分割T={△1,△2,…,△n }, 使║T ║<2kε， 将T 中所有小区间分为{△i ’|i=1,2,…,m}和{△i ”|i=1,2,…,n-m}两类， 其中{△i ’}为含有点{r i |i=1,2,…,k}的所有小区间，其个数m ≤2k. 而{△i ”}为T 中所有其父不含{r i }的小区间.∵f 在△i ’上的振幅ωi ’≤21，∴i m1i i x △ω''∑=≤21∑='m1i i x △≤21·2k ║T ║<2ε， 又f 在△i ”上的振幅ωi ”≤2ε，∴i m-n 1i i x △ω''''∑=≤2ε∑=''m -n 1i i x △<2ε. ∴i n1i i x △ω∑==i m1i i x △ω''∑=+i m -n 1i i x △ω''''∑=<2ε+2ε=ε，∴f 在区间[0,1]上可积.当取ξi 全为无理数时，使f(ξi )=0，∴⎰10f(x )dx=i n1i i 0T x △)f(ξlim ∑=→=0.习题1、证明：若T ’是T 增加若干个分点后所得的分割，则∑'''T iix △ω≤∑Tiix△ω.证：依题意s(T ’)≤s(T), S(T ’)≥S(T). ∴s(T ’)-S(T ’)≤s(T)-S(T)，得证.2、证明：若f 在[a,b]上可积，[α,β]⊂[a,b]，则f 在[α,β]上也可积. 证：∵f 在[a,b]上可积，∴任给ε>0，总存在相应的一个分割T ， 使得S(T)-s(T)<ε. 又[α,β]⊂[a,b]，∴在[α,β]上存在相应的一个分割T ’， T ’是T 减少若干个分点所点后所得的分割，即有 s(T ’)≥s(T), S(T ’)≤S(T). ∴S(T ’)-s(T ’)≤S(T)-s(T)<ε，得证.3、设f,g 均为定义在[a,b]上的有界函数. 证明：若仅在[a,b]中有限个点处f(x)≠g(x)，则当f 在[a,b]上可积时，g 在[a,b]上也可积，且⎰baf(x )dx=⎰bag(x )dx.证：记F=g-f ，则F 在[a,b]上只有有限个点不为零，∴F 是[a,b]上可积. 对[a,b]上任何分割T ，取每个△i 上的介点ξi ，使F(ξi )=0，就有iix △)f(ξ∑=0，∴⎰baF =in1i iT x △)F(ξlim∑=→=0.又对任意T ，和每个△i 上的任意一点ξi ’，有iix △)ξg(∑'=iiix △)]ξf(-)ξ[g(∑''+iix △)ξf(∑'=iix △)ξF(∑'+iix △)ξf(∑'.由F,f 在[a,b]上可积，令║T ║→0，等式右边两式极限都存在， ∴等式左边的极限也存在，即g 在[a,b]上可积，且⎰ba g =⎰ba F +⎰ba f =⎰ba f .4、设f 在[a,b]上有界，{a n }⊂[a,b]，∞→n lim a n =c. 证明：若f 在[a,b]上只有a n (n=1,2,…)为其间断点，则f 在[a,b]上可积. 证：设c ∈(a,b)，f 在[a,b]上的振幅为ω，任给ε>0(4ωε<min{c-a,b-c})， 由∞→n lim a n =c 知存在N ，使得n>N 时，a n ∈U(c,4ωε)，从而 在[a,c-4ωε]∪[c+4ωε,b]上至多只有有限个间断点，即 存在[a,c-4ωε],[c+4ωε,b]上的分割T ’, T ”使得∑'''T i i x △ω<4ε, ∑''''''T i i x △ω<4ε. 记T 为T ’, T ”的所有分点并添上点c-4ωε, c+4ωε作为[a,b]上的分割，则 ∑Ti i x △ω≤∑'''T i i x △ω+ω(c+4ωε-c+4ωε)+∑''''''T i i x △ω<4ε+2ε+4ε=ε. 得证。

可积判断条件可积判断条件什么是可积判断条件？可积判断条件是指用来判断一个函数或者方程是否是可积的条件。

在数学中，可积性是一个重要的概念，它关注的是一个函数或方程是否可以通过某种方法求出其解析解或近似解。

常见的可积判断条件1.连续性：一个函数或方程在其定义域内是否是连续的，是可积性的基本条件之一。

如果函数或方程的定义域内存在一个或多个间断点，则该函数或方程通常是不可积的。

2.有界性：如果一个函数或方程在其定义域内是有界的，即存在一个常数M使得|f(x)| ≤ M对所有x成立，则该函数或方程通常是可积的。

无界函数或方程通常是不可积的。

3.可导性：对于某些特定的函数类别来说，函数或方程的可导性与可积性之间存在紧密的联系。

如果函数或方程在其定义域内是可导的，则该函数或方程通常是可积的。

4.周期性：周期函数具有很好的可积性质。

如果一个函数或方程具有一个非零的正周期T，即f(x+T) = f(x)，则该函数或方程通常是可积的。

5.解析性：解析函数是一类保证可积性的特殊函数。

如果一个函数在其定义域内可以展开成幂级数的形式，则该函数通常是可积的。

6.特殊函数性质：一些特殊函数具有良好的可积性质，如正弦函数、余弦函数、指数函数等。

利用特殊函数的性质，我们可以判断一个函数或方程的可积性。

总结可积性是数学中一个重要的概念，用来判断一个函数或方程在其定义域内是否可以通过某种方法求出其解析解或近似解。

常见的可积判断条件包括连续性、有界性、可导性、周期性、解析性以及特殊函数性质等。

通过对这些条件的判断，我们可以初步确定一个函数或方程的可积性，从而选择合适的方法进行求解。

希望本文可以帮助读者更好地理解可积判断条件的概念与应用，进一步提升在数学领域的建模与求解能力。

函数fx可积的条件函数$f(x)$可积的条件取决于所处的数学领域和具体的定义。

下面列出了几种常见的情况。

1. 在实分析中，一个函数$f(x)$在区间$[a, b]$上可积的条件是：对于任意给定的正数$\epsilon$，存在一个正数$\delta$，使得对于区间$[a, b]$上的任意分割$\{x_0, x_1, ..., x_n\}$，只要这个分割的每个子区间的长度都小于$\delta$，则这个分割下的上和下和的差值小于$\epsilon$，即$U(f, P) - L(f, P) < \epsilon$。

其中$U(f, P)$和$L(f, P)$分别表示上和下和。

2. 在复分析中，一般定义了可积函数的概念。

一个函数$f(z)$在复平面上可积的条件是：存在一个复数$I$，使得对于任意给定的正数$\epsilon$，存在一个正数$\delta$，使得对于复平面上的任意圆盘$D(z, r)$，只要这个圆盘的半径小于$\delta$，则这个圆盘上的积分与$I$的差值小于$\epsilon$，即$\left|\int_{D(z, r)} f(z) \, dz - I\right| < \epsilon$。

3. 在离散数学中，可以定义函数$f(x)$在整数集上的可积性。

一个函数$f(x)$在整数集上可积的条件是：对于任意给定的正数$\epsilon$，存在一个正整数$N$，使得对于整数集$\{x_1,x_2, ...\}$中的任意有限个元素$\{x_{n_1}, x_{n_2}, ...,x_{n_k}\}$，只要这些元素的最大值大于$N$，则这些元素上的函数值的和的差值小于$\epsilon$，即$\left|\sum_{i=1}^{k}f(x_{n_i}) - \sum_{i=1}^{k'} f(x'_{n_i})\right| < \epsilon$。

需要注意的是，不同的数学领域和定义可能会有不同的可积性条件。

数学分析可积准则与可积函数类一、可积准则可积准则是指当复变函数在定义域上满足一些特定条件时，它就具有可积性。

它提供了求函数积分的方法。

以下介绍其中几种性质。

1.连续可积准则若复变函数$f(x,y)$在矩形$R=\{(x,y):a\leq x\leq b,c\leq y\leq d\}$内同时连续，则它在$R$内可积，其积分为：$$\int A(x,y)dA=\int_{c}^{d}\int_{a}^{b}f(x,y)dxdy$$2.二次有界可积准则若复变函数$f(x,y)$在$R$内满足$，f(x,y)，\leq M$，M为有限实数，则$f(x,y)$在$R$内可积，其积分为：$$\int A(x,y)dA=\int_{c}^{d}\int_{a}^{b}f(x,y)dxdy$$3.交换可积性准则若复变函数$f(x,y)$在矩形$R=\{(x,y):a\leq x\leq b,c\leq y\leq d\}$内经过其中一点$(x_0,y_0)$，且$f_x(x_0,y_0)$、$f_y(x_0,y_0)$存在且有界，则其可积，其积分为：$$\int A(x,y)dA=\int_{c}^{d}\int_{a}^{b}f(x,y)dxdy$$4.Fubini可积准则若复变函数$f(x,y)$满足：$f(x,y)$为正定函数，且它在矩形$R$内的一阶连续偏导数$f_x(x,y),f_y(x,y)$在全域$D$中满足$f_x(x,y)f_y(x,y)\geq 0$，则，它在$R$内可积，其积分为：$$\int A(x,y)dA=\int_{c}^{d}\int_{a}^{b}f(x,y)dxdy$$可积函数属于复变函数的一类，是指在满足可积准则的情况下，能够求出确定的数值积分值的函数。

可积的条件
可积的充分条件：函数有界；在该区间上连续；有有限个间断点。

可积一般就是指：可积函数；如果f（x）在【a,b】上的定积分存在，我们就说f（x）在【a,b】上可积。

可积函数一定是有界的，可积是有界的充要条件，有界是可积的必要不充分条件。

比如狄利克雷函数就是一个很典型的函数，它处处不连续，处处极限不存在，是一个处处不连续的可测函数。

设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个第一类间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

设f(x)在区间[a,b]上单调有界，则f(x)在[a,b]上可积。

可积函数是存在积分的函数。

除非特别指明，一般积分是指勒贝格积分；否则，称函数为黎曼可积等。

补充：
函数积分的数学意义就是积分上下限，函数曲线，坐标轴所围成面积的代数和。

所以函数可积等价于所围成的面积可求。

所以只要函数曲线是连续的或者有
有限个间断点，间断点的函数值存在或其极限存在，也就是说函数图像是有界的，不是无限延伸的，那么此类的函数可积。

fx可积的条件（实用版）目录1.介绍什么是"可积"2.列出"可积"的常见条件3.解释每个条件的含义和应用4.总结"可积"的重要性和应用范围正文一、什么是"可积"在数学中，"可积"通常指的是一个函数或一个函数的某一性质可以被积分。

更具体地说，如果一个函数满足一定的条件，那么我们就可以对其进行积分，得到一个有意义的结果。

这个过程被称为"积分可积"或"可积"。

二、常见的"可积"条件常见的"可积"条件包括以下几个：1.连续性：如果一个函数在某一区间上连续，那么它就可以被积分。

连续性是积分的基础条件，因为只有连续的函数才能保证其值在任何一点上都有定义。

2.有界性：如果一个函数在某一区间上有界，即它的值域在一定范围内，那么它就是可积的。

这是因为有界性可以保证函数的值不会无限制地增大或减小，从而使得积分有意义。

3.均匀连续性：如果一个函数在某一区间上均匀连续，那么它就是可积的。

均匀连续性是一个比连续性更强的条件，要求函数在任意小的区间上都保持连续。

4.绝对可积性：如果一个函数的绝对值在某一区间上可积，那么原函数也是可积的。

这个条件常常用于处理绝对值可积但函数本身不可积的情况。

三、每个条件的含义和应用以上四个条件中，连续性和有界性是最基本的条件，其他的条件都是基于这两个条件进行推广和改进的。

连续性是积分的基础，只有连续的函数才能被积分。

在实际应用中，连续性常常用于保证函数在某一点上的取值是存在的。

有界性则保证了函数的值域在一定范围内，不会无限制地增大或减小。

这个条件在积分中非常重要，因为如果函数无界，那么积分就可能是无限大或无限小，没有意义。

均匀连续性和绝对可积性则是在连续性和有界性的基础上，对函数的性质提出了更高的要求。

它们在处理一些特殊的函数和问题时非常有用。

可积的判定（充分条件，必要条件）
可积的充要条件，定义：积分和能否⽆限接近某⼀常数；
1. 必要条件
若函数 在 [a, b] 上可积，则 在 [a, b] 上必有界；
反证法，逆否命题，⽆界 ⇒ 不可积；
若 在 [a, b] 上⽆界，则对于 [a, b] 的任⼀分割 T ，⽐存在属于 T 的某个⼩区间 ， 在 上⽆界，在 的各个⼩区间 上（区
间内）任意取定 ，并记：现对任意⼤（不是⽆穷⼤，但要⾜够⼤）的正数 ，由于 在 上⽆界（正⽆穷，负⽆穷），故存在 ，使得：
右边那⼀块是构造出来的，
于是有：这与 在 [a, b] 上可积相⽭盾，从⽽定理得证；可积函数⼀定有界，有界函数不⼀定可积（⽐如狄利克雷函数，全取有理数，全取⽆理数，趋于不同的值，1和0）； 有界是可积的必要条件。

2. 充分条件
references f f f Δk f Δk i ≠k Δk ξi G =f()Δ∣∣∣∣∑i≠k ξi x i ∣∣
∣∣M f Δk ∈ξk Δk |f()|>
ξk M +G Δk
f()Δ≥|f()|−f()Δ=M +G −G =M ∣∣∣∑i n ξi x i ∣∣
∣ξk Δk ∣∣∣∣∑i≠k n ξi x i ∣∣
∣∣f。

可积的三大充要条件稿子一嘿，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊可积的三大充要条件。

你知道吗，这就像打开数学神秘大门的三把钥匙。

第一个条件呀，就是函数在区间上有界。

这啥意思呢？就好比说，一个调皮的小朋友在一个有限的范围内玩耍，不会跑得无影无踪。

要是函数没界，那就像脱缰的野马，没法控制啦。

一个条件呢，是函数在区间上几乎处处连续。

啥叫几乎处处连续？简单说，就是除了一些特别特别小的地方，函数都是连着的，没有断开。

这三个条件就像是三个好伙伴，缺了谁都不行。

它们一起保证了函数是可积的。

是不是有点意思？其实数学里好多东西就像这样，看似复杂，搞清楚了就觉得还挺好玩的。

好啦，今天关于可积的三大充要条件就说到这儿，小伙伴们好好琢磨琢磨哟！稿子二哈喽呀！今天咱们要深入数学的奇妙世界，探索一下可积的三大充要条件。

先说这第一个，函数得有界。

想象一下函数是个调皮的小精灵，有界就意味着我们能给它画个圈圈，让它在里面活动，不会到处乱跑。

要是没界，那可就乱套啦，谁知道它会跑到哪儿去。

再看第二个条件，当区间被分得越来越细，那个求和式的极限得存在。

这就好比我们一点点地去拼凑一幅拼图，能完美地呈现出整幅画面。

然后是第三个条件，函数在区间上几乎处处连续。

这就好像一条路，大部分地方都是平坦顺畅的，只有很少很少的小坑洼。

这三个条件凑在一起，就像一个完美的组合，告诉我们这个函数是可积的。

是不是感觉数学也没那么可怕，反而有点有趣呢？其实呀，学习数学就像一场冒险，每一个新的概念都是一个新的挑战，而可积的三大充要条件就是我们在这场冒险中的重要线索。

好啦，今天就聊到这儿，希望你们能喜欢这三个神奇的条件！。