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1、偏移技术分类【叠前/后偏移】可根据不同的标准对目前的地震偏移成像技术进行简单分类：按照所依据的理论基础，可以分为射、线类偏移成像和波动方程类偏移成像；根据输入数据类型，可以分为叠前偏移和叠后偏移；根据实现的时空域，可以分为时间偏移和深度偏移；按照维数，可以分为二维偏移以及三维偏移等；1.1叠前偏移使CSP道集记录或COF道集记录中的反射波归位，绕射波收敛。
●叠前偏移有椭圆切线法【手工方法，不适用】、Rockwell偏移叠加法【波前模糊法的拓展，计算量也很大】和Paturet-Tariel偏移叠加法【为了进行偏移，我们应当把的曲线上的地震能量（即采样点振幅）送到零炮检距绕射双曲线的顶点M上去叠加。
这样, 把各个相同炮检距的剖面偏移后叠加在一起即得偏移叠加剖面】等1.2叠后偏移基于水平叠加剖面，采用爆炸反射面的概念实现倾斜反射层归位和绕射波收敛。
●叠后偏移有波前模糊法、绕射曲线叠加法【两种方法原理简单，都是基于惠更斯原理提出的，前者将一个道上的波场值送到各个道上去叠加—输出道法，后者把各个道上的相应值取来在一道上叠加—输入道法，但是计算量很大】2、偏移成像特点●具有地震勘探本身的特征●计算机使其研究由地震波运动学特征过度到地震波动力学特征●提高地震空间分辨率和保真度●偏移成像是使反射界面最佳成像的一种技术●处理反射波，使之成为反映地下界面位置和反射系数值的反射界面的像3、偏移成像原理图偏移过程定量分析【Chun and Jacewitz ，1981】2(tan )/4t dx v t θ=221/2{1[1(tan )/4]}t dt t v θ=--221/2tan tan /[1(tan )/4]t t t v θθθ=-3.1 偏移前后的图例4、偏移方法分类5、实际中应用的一些偏移算法5.1 Kirchhoff 积分法【波场外推】适用条件：只满足均匀介质的情况。
[]111'1111(,,,)'4S R u u u x y z t u dS vR n t n R R n π⎧⎫-∂⎡∂⎤∂⎡∂⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤'''⎡⎤=-+⎨⎬ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎰⎰式中的[[u]]不再是推迟场，而是超前场。
最小二乘逆时偏移成像方法的实现与应用研究郭书娟;马方正;段心标;王丽【摘要】复杂岩性油气藏勘探开发需要高保真的地震成像资料.与常规偏移方法相比,最小二乘逆时偏移(LSRTM)成像基于反演理论,可为岩性储层估计提供更加保真的高分辨率反射系数成像剖面,成为当前成像方法的研究热点和发展趋势.通过对误差泛函建立、逆时反偏移数据重构算法、Hessian逆预条件梯度计算及基于高斯-牛顿法的反演迭代更新方法等关键技术研究,实现了迭代最小二乘逆时偏移成像.为了使该偏移成像方法能够应用于实际资料,研究了针对性的数据预处理技术和最小平方匹配滤波模拟数据校正处理技术,探索建立了面向实际资料的最小二乘逆时偏移实现流程.某探区实际二维地震资料的最小二乘逆时偏移成像结果表明,相比传统的逆时偏移成像技术,最小二乘逆时偏移在成像分辨率和保幅性方面具有一定的优势.【期刊名称】《石油物探》【年(卷),期】2015(054)003【总页数】8页(P301-308)【关键词】最小二乘逆时偏移;逆时反偏移;Hessian逆预条件梯度;高斯-牛顿法;预处理;匹配滤波【作者】郭书娟;马方正;段心标;王丽【作者单位】中国石油化工股份有限公司石油物探技术研究院,江苏南京211103;同济大学海洋与地球科学学院,上海200092;中国石油化工股份有限公司石油物探技术研究院,江苏南京211103;中国石油化工股份有限公司石油物探技术研究院,江苏南京211103;中国石油化工股份有限公司江苏油田分公司物探技术研究院,江苏南京210046【正文语种】中文【中图分类】P631随着油气勘探的深入，对岩性成像的需求越来越迫切，对成像方法的保真度需求不断提高。
现有的常规积分偏移算法(如Kirchhoff偏移)或波动方程偏移(如单程波或RTM)用正向传播算子的共轭(或转置)作为偏移算子作用于地震数据中，将波场反传外推至成像点，用一定的成像条件来定位反射点的位置。
叠加偏移成像技术1.多次覆盖技术的意义。
在野外采用多次覆盖的观测方法，在室内将野外观测的多次覆盖原始记录经过抽取共中心点或共深度点或共反射点道集记录、速度分析、动静校正、水平叠加等一系列处理的工作过程，最终得到基本能够反映地下地质形态的水平叠加剖面或相应的数据体，这一整套工作称为共反射点叠加法，或称为水平叠加技术。
多次覆盖是当今地震勘探野外作业中最基本的工作方法。
多次覆盖资料既是野外工作的最终成果之一，也是室内资料处理和各种反演工作最基础、最原始的资料。
多次覆盖技术最早是由梅恩提出的，它的基本思想是按照一定的观测系统对地下某点的地质信息进行多次观测，这样可以保证即使有个别观测点受到干扰也能得到地下每一点的有效信息，从而使原始记录有了质量保证。
多次覆盖技术的最突出的作用是能够有效地压制随机噪声，提高信噪比，比如经过n 次覆盖，信噪比是原来信号的√n倍。
从而突出反射波，压制干扰波，提高信噪比，为地震资料处理解释提供较高质量的地震资料。
2.比较三大类偏移方法的优劣势。
目前，所说的三大类偏移方法指的是Kirchhoff积分法、有限差分法和频率-波数域偏移法。
下面将对这三类方法的优点和不足进行简单的比较。
（1）偏移孔径的差异Kirchhoff积分法一般需要根据偏移剖面上的倾角确定偏移范围，即孔径。
这个孔径在理论上可以取成满足90°倾角的要求。
但实际上总是取得小一些。
特别是浅层一般取±25°以内即可。
深层的孔径要大一些，但是要以最大倾角为依据。
否则，或者增加工作量，或者增强偏移噪声。
频率-波数域偏移没有孔径限制，因此它可以自然满足±90°倾角偏移。
它与Kirchhoff 积分法的控制孔径的方式不同，频率-波数域偏移法可以通过在频率-波数域中的二维滤波来控制偏移孔径。
有限差分法可以通过数值的粘滞性来控制孔径，其实质也是一种二维滤波。
另外，有限差分法常用的是一种近似方程。
论偏移成像技术方法偏移成像技术是地震勘探中常用的方法之一，它通过利用地震波在地下不同介质中传播速度的差异，对地下结构进行成像。
本文将从偏移成像技术的原理、常见方法以及应用领域等方面进行详细介绍。
一、偏移成像技术的原理偏移成像技术的原理是基于走时偏移原理。
在地震勘探中，通过将地下不同介质的速度模型应用到地震数据处理中，将地震记录的时间与空间关系进行转换，使地震波能够与地下结构的位置对应起来，从而实现成像。
具体而言，偏移成像技术主要包含如下几个步骤：1.数据处理：对采集到的地震数据进行预处理，包括去除噪音、补偿仪器响应等。
2.走时分析：利用地震记录中的到达时间信息，进行走时分析，确定地震波的传播速度模型。
3.叠加成像：将记录中的地震波数据叠加起来，以提高信噪比。
4.偏移：根据确定的速度模型，通过计算与地下结构位置相关的走时偏移，将地震记录的时间与空间关系进行转换。
5.成像：根据偏移结果，进行成像处理，生成地下结构的图像。
二、偏移成像技术的常见方法在偏移成像技术中，常见的方法主要包括共炮点偏移（CMP）、常中点偏移（CMP）和瞬变波动域偏移（RTM）等。
共炮点偏移（CMP）：共炮点偏移是最基础的偏移成像方法，它假设地震源为点源，通过将不同炮点的记录进行叠加，并按照速度模型进行走时偏移，将不同位置的地震记录与其真实位置对应起来，完成成像。
常中点偏移（CMP）：常中点偏移是在共炮点偏移上的进一步发展，它采用同一中点的各个炮点数据，按照速度模型进行走时偏移，得到不同炮点在同一中点位置的走时剖面，通过叠加这些剖面来获取更高分辨率的成像结果。
瞬变波动域偏移（RTM）：瞬变波动域偏移是一种较为新颖的偏移成像方法，它利用瞬变波动方程对地震记录进行反演成像。
相比于传统的时偏移方法，RTM可以更好地处理非均匀介质、复杂构造和多次波等问题，因此在地震成像领域有着广泛的应用。
三、偏移成像技术的应用领域偏移成像技术在油气勘探、工程地震、地质灾害研究等领域有着广泛的应用。
叠前逆时偏移技术综述摘要：逆时偏移（RTM）是目前较新的地震偏移技术，主要分为叠后逆时偏移和叠前逆时偏移两类。
RTM基于双程波动方程进行波场延拓，避免了传统单程波偏移中的倾角限制，可以适应起伏地表、高陡构造、复杂速度分布和复杂储层的精确成像。
同时，由于算法问题和大量的数据，逆时偏移的计算成本较高；在互相关成像时引入的低频噪声也是一个不可忽视的影响因素。
本文论述了国内外叠前逆时偏移的历史和现状，并对逆时偏移的基本原理成像条件、存在的问题以及其未来的发展趋势等方面进行了阐述。
关键词：叠前逆时偏移，成像，地震波1、引言二十世纪七十年代J.Claerbout教授首先提出了用有限差分法解单程波动方程的近似式，用地面观测的地震数据重建地震波在地下传播过程中的波场，从这些传播过程的波场中提取使地震界面成像的那些数据，组成地震偏移剖面。
传统的偏移方法都是按深度外推计算的，而且波动理论偏移方法基于单程波方程。
单程波波动方程偏移基于双向波方程的单向波分解，此分解只有在常速情况下才精确成立。
利用差分方法求解单向波方程，需要对单向波方程进行旁轴近似。
也就是说，利用单向波方程可以很好地描述近似于垂直向下传播的波，但对于大角度传播的波，用单向波方程描述时存在相位改变一个因子和振幅被削弱的问题，导致成像误差较大，这就是单向波方程不能对陡倾角界面精确成像的根本原因。
逆时偏移是目前最新的地震偏移技术，主要分为叠后逆时偏移和叠前逆时偏移两类。
叠后逆时偏移使用的是爆炸反射面成像原理，处理的是水平叠加剖面。
叠后逆时计算是从时间剖面的最后一个时间采样点起，逆时外推直到零时间，此时空间所有的振幅值就组成了最终的偏移剖面。
叠前逆时偏移是对单炮记录数据进行逆时偏移，然后将各炮成像结果叠加，得到最终的成像剖面。
对单炮记录，它将炮记录的最后一个采样时刻的波场(x，z，T )作为起始平面，按时间反推，并以地震剖面资料u( x，z=0，t)作为每一步进时间的边界条件，得出时间t =0的(x，z)，应用成像条件得到最终偏移结果u(x，z，t=0)。
石油地质与工程2011年3月P ETROLEUM GEOLOGY AND ENGI NEERING第25卷第2期文章编号:1673-8217(2011)02-0039-03叠前时间偏移成像处理技术在焉耆盆地应用研究马秀国(中国石化河南油田分公司石油物探技术研究院,河南南阳473132)摘要:焉耆盆地地表条件及地下构造复杂,以往处理的剖面其连续性及信噪比较低,尤其成果剖面在偏移归位、断点、断面的成像方面还有很大的欠缺,难以满足构造解释以及岩性解释的需要,为此,开展了叠前时间偏移处理技术研究,在克希霍夫叠前时间偏移原理以及偏移速度模型精确建立方法基础上,通过百分比偏移扫描速度,建立和优化了速度模型,讨论了影响叠前时间偏移成像效果的因素。
处理结果表明,该区二维叠前偏移剖面较二维常规叠后偏移剖面有明显的改善。
关键词:叠前时间偏移;偏移速度;焉耆盆地中图分类号:P631.443文献标识码:A焉耆盆地位于新疆维吾尔自治区巴音郭楞蒙古自治州境内,是在南天山海西褶皱基底上发育起来的一个中新生代复合型盆地,经历了印支、燕山中晚期和喜山期构造运动的强烈改造,构造极为复杂。
由于原始单炮信噪比的差异过大对资料的处理带来不利影响,并受地表激发和接收条件的限制,横向速度变化较大,地质构造成像难,以往处理的剖面其连续性及信噪比较低,尤其成果剖面在偏移归位、断点、断面的成像方面还有很大的欠缺,无法查明断鼻断块的构造形态,造成地震解释困难,难以满足构造解释以及岩性解释的需要,为此开展了叠前时间偏移处理方法研究。
叠前时间偏移能适应纵横向速度变化较大的情况,适用于大倾角的偏移成像[1]。
叠前偏移是建立在对共反射点的非零炮检距方程基础上的,地层倾角导致的非零炮检距不会对偏移结果产生影响,从而可提高偏移的成像精度。
叠前时间偏移不需要划分层位和拾取层速度,而是用在叠前偏移输出的CRP道集上多次速度分析和叠前偏移多次迭代方法求取准确的偏移速度场,实现复杂地质体的正确成像。
TTI各向异性逆时偏移技术及应用王咸彬【摘要】地下介质广泛存在各向异性,传统各向同性地震偏移成像技术往往会导致成像精度不高甚至深度偏差问题,宽方位采集技术和高精度逆时偏移(RTM)成像技术的应用更是突显了各向异性的影响.从弱各向异性弹性波波动方程出发,首先采用拟声波近似得到VTI各向异性伪声波控制方程,然后引入交叉导数项进行坐标旋转得到TTI各向异性伪声波控制方程,再由高阶有限差分方法得到TTI-RTM偏移算子,最后采用波场校正消除横波分量影响,提高各向异性偏移算子的精度.模型试算和实际资料处理结果表明,该技术在处理各向异性介质地震资料时具有更高的精度,是高精度地震成像理想的技术手段.%Anisotropy is widespread in the subsurface formation medium.The conventional isotropic seismic migration imaging technique often leads to low imaging accuracy and even depth error.The application of wide azimuth seismic acquisition technique and high precision RTM imaging technology have highlighted the influence of anisotropy.In this paper we begin with the weakly anisotropic elastic wave equation,First,the VTI anisotropic pseudo acoustic wave control equation is obtained by quasi acoustic approximation.Then,the cross derivative term is introduced to coordinate rotation to get the TTI anisotropic pseudo acoustic wave control equation.Next,the TTI-RTM migration operator is obtained by high order finite difference.Finally,the influence of the S-wave component is eliminated by wave field correction to improve the accuracy of the anisotropic migration operator.The model test and field data processing results show that,the technique is more beneficial to theanisotropic medium with higher precision and it's an ideal technique for high precision seismic imaging.【期刊名称】《石油物探》【年(卷),期】2017(056)004【总页数】9页(P534-542)【关键词】各向异性;拟声波近似;控制方程;TTI逆时偏移【作者】王咸彬【作者单位】中国石油化工股份有限公司石油物探技术研究院,江苏南京211103【正文语种】中文【中图分类】P631地下介质具有广泛的各向异性特性,如我国东部陆相砂泥岩薄互层具有长波长各向异性特征,西部海相岩溶—裂缝型碳酸盐岩储层具有裂隙诱导各向异性特征。
地震成像技术的发展现状存在问题及发展趋势（杜炳毅地球探测与信息技术S1*******）随着地震勘探难度的逐渐的增加和油气藏复杂性的增加，油气勘探开发对地震勘探精度的要求越来越高。
为了实现高精度的地震资料在油气勘探中的应用，近年来地震方法和技术重点发展了两个方向：一是地震成像技术，二是开发地震技术。
地震成像技术发展现状地震成像是现代地震勘探数据处理中的重要组成部分，分为叠加成像和偏移成像。
随着油气勘探难度的增加，地震成像技术得到了迅速的发展，并且成为高精度地震勘探数据处理的关键技术。
地震偏移成像可以分为地震叠后偏移方法和地震叠前偏移方法。
叠后偏移是在共中心点叠加数据上进行零炮检距偏移，主要有叠后时间偏移和叠后深度偏移，叠后时间偏移主要包括射线偏移和波动方程偏移。
而叠后深度偏移可以有效的结果构造不太复杂，横向速度变化比较大的地质体的地震成像问题，并且能够提高地震成像的计算效率，常用的叠后深度偏移有Kirchhoff积分法，分步傅里叶法，有限差分法以及逆时偏（RTM）法。
叠前偏移是把共炮点道集记录或者共偏移距道集记录中的反射波归位到产生他的反射界面上，并使绕射波收敛到产生它的的绕射点上。
也分为叠前时间偏移和叠前深度偏移。
叠前时间偏移是基于绕射叠加或者Claerbout发射波成像原则，是一种成像射线，能够解决叠后时间偏移存在的问题，叠前时间偏移的方法主要有Kirchhoff积分法叠前时间偏移，波动方程法叠前时间偏移（包括平面波分解法叠前时间偏移和F-K域法叠前时间偏移）；叠前深度偏移方法可以分为两类：第一类是基于射线理论的叠前深度偏移方法，另一类是基于波动方程理论的叠前深度偏移方法。
射线法叠前深度偏移方法主要有Kirchhoff积分法叠前深度偏移，高斯波束叠前深度偏移；波动方程叠前深度偏移主要有F-X域有限差分叠前深度偏移，SSF法波动方程叠前深度偏移，Fourier有限差分（FFD）法波动方程叠前深度偏移，广义屏近似波动方程叠前深度偏移，基于双平方根方程的波动方程的叠前深度偏移，基于波动方程的真振幅偏移，逆时叠前深度偏移。
1、偏移技术分类【叠前/后偏移】可根据不同的标准对目前的地震偏移成像技术进行简单分类：按照所依据的理论基础，可以分为射、线类偏移成像和波动方程类偏移成像；根据输入数据类型，可以分为叠前偏移和叠后偏移；根据实现的时空域，可以分为时间偏移和深度偏移；按照维数，可以分为二维偏移以及三维偏移等；1.1叠前偏移使CSP道集记录或COF道集记录中的反射波归位，绕射波收敛。
●叠前偏移有椭圆切线法【手工方法，不适用】、Rockwell偏移叠加法【波前模糊法的拓展，计算量也很大】和Paturet-Tariel偏移叠加法【为了进行偏移，我们应当把的曲线上的地震能量（即采样点振幅）送到零炮检距绕射双曲线的顶点M上去叠加。
这样, 把各个相同炮检距的剖面偏移后叠加在一起即得偏移叠加剖面】等1.2叠后偏移基于水平叠加剖面，采用爆炸反射面的概念实现倾斜反射层归位和绕射波收敛。
●叠后偏移有波前模糊法、绕射曲线叠加法【两种方法原理简单，都是基于惠更斯原理提出的，前者将一个道上的波场值送到各个道上去叠加—输出道法，后者把各个道上的相应值取来在一道上叠加—输入道法，但是计算量很大】2、偏移成像特点●具有地震勘探本身的特征●计算机使其研究由地震波运动学特征过度到地震波动力学特征●提高地震空间分辨率和保真度●偏移成像是使反射界面最佳成像的一种技术●处理反射波，使之成为反映地下界面位置和反射系数值的反射界面的像3、偏移成像原理图偏移过程定量分析【Chun and Jacewitz ，1981】2(tan )/4t dx v t θ=221/2{1[1(tan )/4]}t dt t v θ=--221/2tan tan /[1(tan )/4]t t t v θθθ=-3.1 偏移前后的图例4、偏移方法分类5、实际中应用的一些偏移算法5.1 Kirchhoff 积分法【波场外推】适用条件：只满足均匀介质的情况。
[]111'1111(,,,)'4S R u u u x y z t u dS vR n t n R R n π⎧⎫-∂⎡∂⎤∂⎡∂⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤'''⎡⎤=-+⎨⎬ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎰⎰式中的[[u]]不再是推迟场，而是超前场。
1v R =，2222111()()()R x x y y z z =-+-+-详细解释见：PPT37页【地震偏移原理与方法】5.3 三种流行算法【建立在波动方程基础上】流行的三种算法都是建立在波动方程基础上，即Kirchhoff 积分法，有限差分法和F-K 法及其各种变形。
这三种方法由于有相同的数理基础，因此它们的原理相同。
同时，因计算方法不同，它们之间又有许多不同之处。
下面讨论三种方法对水平叠加地震剖面的偏移。
5.3.1 频率-波数域波动方程偏移【叠前时间偏移】采用爆炸反射面的理论。
为了成像，要求向地面以下反向外推地震波场。
假定z 轴垂直向下为正，测线沿x 轴，则u(x,z,0)表示偏移后的真实剖面，而u(x,0,t)是未偏移的叠加剖面。
在均匀各向同性完全弹性介质中，用半速度代替地震波传播速度，则标量波动方程变为2222222()04u v u ut x z ∂∂∂-+=∂∂∂（1.2.1）222222222(,,)(,,)x z x z u x z t u k k u u tu k u x u k u z ωω⇔⎫⎪∂⎪⇔-⎪∂⎪⎬∂⇔-⎪∂⎪⎪∂⇔-⎪∂⎭（1.2.2）对（1.2.1）式进行傅里叶变换并利用（1.2.2）式有：2222()04x z v k k ω-+=（1.2.3）2212x z zk vk k ω=±+其中正号代表上行波，负号是下行波。
5.3.1.1 Stolt 偏移法设(,,)x z u k k t 为(,,)u x z t 的二维傅里叶变换，对（1.2.1）式进行上述变换得到：22222()04x z u v k k u t ∂++=∂将（1.2.3）式代入上式有：2220uu t ω∂+=∂按上行波求解，即取正值得：(,,)(,)i tx z x z u k k t A k k e ω=【根据微分方程求解可得】其中A 与t 无关。
令t=0，上式变为：(,,0)(,)x z x z u k k A k k =从而，(,)x z A k k 是待求的偏移剖面(,,0)u x z 的傅里叶变换。
----------------完美分割线，重点来了-----------------------------------------下面讨论用水平叠加剖面(,0,)u x t 如何求出(,)x z A k k 。
对(,,)x z u k k t 做傅里叶逆变换得：()21(,,)(,)4x z i k x k z i tx x z z u x z t dk A k k e e dk ωπ∞∞-+-∞-∞=⋅⎰⎰令z=0，上式变为：()21(,0,)(,)4x i t k x x xzzu x t dk A k k edk ωπ∞∞--∞-∞=⎰⎰ （1.2.4）设水平叠加剖面(,0,)u x t 的二维傅里叶变换为(,)x B k ω，则()(,)(,0,)x i t k x x B k dx u x t e dt ωω∞∞---∞-∞=⎰⎰ （1.2.5）其逆变换为：()21(,0,)(,)4x i t k x x xu x t dk B k e d ωωωπ∞∞--∞-∞=⎰⎰ （1.2.6）比较（1.2.4）与（1.2.6）有(,)(,)x z z x A k k dk B k d ωω=这样(,)(,)x z x zd A k k B k dk ωω= 按上行波ω取正号并对zk 微分得2222(,)(,1/)221/x z x z x z x z v vA k kB k k k k k k =⋅+⋅⋅+ （1.2.7）对(,)x z A k k 做二维傅里叶逆变换得到()21(,,0)(,)4x z i k x k z x z x zu x z A k k e dk dk π∞∞-+-∞-∞=⎰⎰（1.2.8）(,,0)u x z 就是要求取的偏移剖面。
5.3.1.2 Gazdag 相移法【纵向速度可变】首先对标量波动方程的x 和t 做二维傅里叶变换得到：2222()0x u k k u z ∂--=∂式中2/k v ω=，接下来求解(,,)x u k z ω【根据微分方程求解】：22(,,)exp()(,0,)x x x u k z iz k k u k ωω=- （1.2.10）能够适应深度方向速度变化的原因：（1.2.10）中包含了z 和v ，其中v 可以取固定值，也可以表示成z 的函数【此时，可以适应纵向速度变化的情形】。
其中的(,0,)x u k ω可以直接对水平叠加剖面(,0,)u x t 进行二维傅里叶变换得到。
接下来将（1.2.10）公式变换到空间-时间域，并且取t = 0时刻的波场值为成像值：21(,,0)(,,)4x ik xxxu x z t dk u k z ed ωωπ∞∞--∞-∞==⎰⎰注意：标量波动方程是关于x,z,t 的一个等式，因此只要两个自由变量，所以这是一个伪三维的函数，这样就可以已知两维求解三维表达式。
操作流程如下：为了适应横向速度变化，Gazdag （1984）提出了相移插值域波动方程偏移，在一定程度上解决速度横向变化的问题。
另一种求解方式，假设地下介质的速度只有垂向变化，没有横向变化，并假设在的深度间隔内波的传播速度保持不变。
这样，在每个深度间隔内，F-K 域标量波动方程上行波的解可以表示为：其中：对于探地雷达，应该有个4那么，当Zi =0时，就可以得到最初的【是的二维傅里叶变换】，之后就可以使用下面的计算过程了：关键点：只要已知和就可以得到下一个深度的波场，这一过程是递推进行的，从地面开始一直计算到偏移成像的最大深度。
关键问题是：根据给定的速度函数来确定【可以理解为Z[i]-Z[i-1]】，进而求出，并且每次递推的可以不同，就可以顺利完成递推了。
特殊情况【考虑速度不变的情况】： 那么就可以将第一个直接设置为想要观察深度的情况。
5.3.2 三维频率-波数域波动方程偏移采用爆炸反射面的理论。
为了成像，要求向地面以下反向外推地震波场。
假定z 轴垂直向下为正，测线沿x 轴，则u(x,y,z,0)表示偏移后的真实剖面，而u(x,y,0,t)是未偏移的叠加剖面。
在均匀各向同性完全弹性介质中，用半速度代替地震波传播速度，则标量波动方程变为222222222(+)04u v u u ut x y z ∂∂∂∂-+=∂∂∂∂ （1.2.1）732222733x ik v ω--（）(,0,)x uk ω(,0,)u x t (,,)x i u k z ωzt ik ze-∆(,,)x i u k z z ω+∆()i v z z ∆zt ik ze-∆z ∆z ∆222222222222(,,,)(,,,)x y z y x z u x y z t u k k k u u t u k u y u k u x u k u z ωω⎫⎪⇔⎪∂⎪⇔-⎪∂⎪∂⎪⇔-⎬∂⎪⎪∂⇔-⎪∂⎪⎪∂⇔-⎪∂⎭（1.2.2）对（1.2.1）式进行傅里叶变换并利用（1.2.2）式有：22222()04x y z v k k k ω-++= （1.2.3）222212y x z z zk k vk k k ω=±++其中正号代表上行波，负号是下行波。
Stolt 偏移法设(,,,)x y z u k k k t 为(,,,)u x y z t 的三维傅里叶变换，对（1.2.1）式进行上述变换得到：222222()04x y z u v k k k u t ∂+++=∂将（1.2.3）式代入上式有：2220uu t ω∂+=∂按上行波求解，即取正值得：(,,,)(,,)i t x y z x y z u k k k t A k k k e ω=【根据微分方程求解可得】其中A 与t 无关。
令t=0，上式变为：(,,,0)(,,)x y z x y z u k k k A k k k =从而，(,,)x y z A k k k 是待求的偏移剖面(,,,0)u x y z 的傅里叶变换。
----------------完美分割线，重点来了-----------------------------------------下面讨论用水平叠加剖面(,,0,)u x y t 如何求出(,,)x y z A k k k 。
对(,,,)x y z u k k k t 做傅里叶逆变换得：()31(,,,)(,,)8x y z i k x k y k z i t x yx y z z u x y z t dk dk A k k k e edk ωπ∞∞∞-++-∞-∞-∞=⋅⎰⎰⎰令z=0，上式变为：()31(,,0,)(,,)8x y i t k x k y x yx y z z u x y t dk dk A k k k edk ωπ∞∞∞---∞-∞-∞=⎰⎰⎰（1.2.4）设水平叠加剖面(,,0,)u x y t 的三维傅里叶变换为(,,)x y B k k ω，则()(,,)(,,0,)x y i t k x k y x y B k k dx dy u x y t edt ωω∞∞∞----∞-∞-∞=⎰⎰⎰ （1.2.5）其逆变换为：()31(,,0,)(,,)8x y i t k x k y x yx y u x y t dk dk B k k ed ωωωπ∞∞∞---∞-∞-∞=⎰⎰⎰（1.2.6） 比较（1.2.4）与（1.2.6）有(,,)(,,)x y z z x y A k k k dk B k k d ωω=这样(,,)(,,)x y z x y zd A k k k B k k dk ωω= 按上行波ω取正号并对zk 微分得22222222(,,)(,,1//)221//x y z x y z x z y z x z y zv vA k k kB k k k k k k k k k k k =⋅++⋅⋅++（1.2.7）对(,,)x y z A k k k 做三维傅里叶逆变换得到()31(,,,0)(,,)8x y z i k x k y k z x y z x y z u x y z A k k k edk dk dk π∞∞∞-++-∞-∞-∞=⎰⎰⎰（1.2.8）(,,,0)u x y z 就是要求取的偏移剖面。
