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等比数列的前n 项和 一、等比数列的前n 项和公式 1．乘法运算公式法∵S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＝a 1(1＋q ＋q 2＋…＋q n －1)＝a 1·1－q 1＋q ＋q 2＋…＋q n －11－q ＝a 11－q n1－q， ∴S n ＝a 11－q n1－q. 2．方程法 ∵S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＝a 1＋q (a 1＋a 1q ＋…＋a 1q n －2)＝a 1＋q (a 1＋a 1q ＋…＋a 1q n －1－a 1q n －1)＝a 1＋q (S n －a 1q n －1)，∴(1－q )S n ＝a 1－a 1q n .∴S n ＝a 11－q n1－q. 3．等比性质法∵{a n }是等比数列，∴a 2a 1＝a 3a 2＝a 4a 3＝…＝a n a n －1＝q . ∴a 2＋a 3＋…＋a n a 1＋a 2＋…＋a n －1＝q ， 即S n －a 1S n －a n ＝q 于是S n ＝a 1－a n q 1－q ＝a 11－q n1－q. 二、等比数列前n 项和公式的理解(1)在等比数列的通项公式及前n 项和公式中共有a 1，a n ，n ，q ，S n 五个量，知道其中任意三个量，都可求出其余两个量．(2)当公比q ≠1时，等比数列的前n 项和公式是S n ＝a 11－q n 1－q ，它可以变形为S n ＝－a 11－q ·q n ＋a 11－q ，设A ＝a 11－q，上式可写成S n ＝－Aq n ＋A .由此可见，非常数列的等比数列的前n 项和S n 是由关于n 的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1是n 的正比例函数(常数项为0的一次函数)．等比数列前n 项和性质（1）在等比数列{a n }中，连续相同项数和也成等比数列，即：S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…仍成等比数列．（2）当n 为偶数时，偶数项之和与奇数项之和的比等于等比数列的公比，即S 偶S 奇＝q . （3）若一个非常数列{a n }的前n 项和S n ＝－Aq n ＋A (A ≠0，q ≠0，n ∈N *)，则数列{a n }为等比数列，即S n ＝－Aq n ＋A ⇔数列{a n }为等比数列．题型一 等比数列前n 项和公式的基本运算（在等比数列{a n }的五个量a 1，q ，a n ，n ，S n 中，a 1与q 是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a 1和q 表示a n 与S n ，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用；在解决与前n 项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．）1、在等比数列{a n}中，(1)若S n＝189，q＝2，a n＝96，求a1和n；(2)若q＝2，S4＝1，求S8.2、设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3＋S6＝2S9，求数列的公比q.题型二等比数列前n项和性质的应用3、一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项和为170，求出数列的公比和项数．4、等比数列{a n}中，若S2＝7，S6＝91，求S4.题型三等比数列前n项和的实际应用5、借贷10 000元，以月利率为1%，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.016≈1.061,1.015≈1.051)[规范解答] 方法一设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款a n元(1≤n≤6)，则a0＝10 000，a1＝1.01a0－a，a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)a，……a6＝1.01a5－a＝……＝1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a.由题意，可知a6＝0，即1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a＝0，a＝1.016×1021.016－1.因为1.016＝1.061，所以a＝1.061×1021.061－1≈1 739.故每月应支付1 739元．方法二一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为S1＝104(1＋0.01)6＝104×(1.01)6(元)．另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a＝a[1＋0.016－1]1.01－1＝a[1.016－1]×102(元)．由S1＝S2，得a＝1.016×1021.016－1. 以下解法同法一，得a≈1 739.故每月应支付1 739元．方法技巧错位相减法求数列的和若数列{a n}为等差数列，数列{b n}为等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{a n b n}，当求该数列的前n项的和时，常常采用将{a n b n}的各项乘以公比q，并向后错位一项与{a n b n}的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法．6、已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为－4.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n ＝(4－a n )q n －1(q ≠0，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .数列归纳整合一、数列的概念及表示方法(1)定义：按照一定顺序排列着的一列数．(2)表示方法：列表法、图象法、通项公式法和递推公式法．(3)分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为递增数列、递减数列、摆动数列和常数列．(4)a n 与S n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1n ＝1，S n －S n －1n ≥2. 等差数列 等比数列性质 ①设{a n }是等差数列，若s ＋t ＝m ＋n ，则a s＋a t ＝a m ＋a n ；②从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列；③等差数列中连续m 项的和组成的新数列是等差数列，即：S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…是等差数列 ①设{a n }是等比数列，若s ＋t ＝m ＋n ，则a s ·a t ＝a m ·a n ； ②从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列； ③等比数列中连续m 项的和组成的新数列是等比数列，即：S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…是等比数列(注意：当q ＝－1且m 为偶数时，不是等比数列)函数特性 ①等差数列{an}的通项公式是n 的一次函数，即an ＝an ＋b(a≠0，a ＝d ，b ＝a1－d)； ②等差数列{an}的前n 项和公式是一个不含常数项的n 的二次函数，即Sn ＝an2＋bn(d≠0) ①等比数列{an}的通项公式是n 的指数型函数，即an ＝c·qn ，其中c≠0，c ＝a1q ； ②等比数列{an}的前n 项和公式是一个关于n 的指数型函数，即Sn ＝aqn －a(a≠0，q≠0，q≠1)三、等差数列、等比数列的判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)⇔{a n }是等差数列；a n ＋1a n＝q (q 为常数，q ≠0)⇔{a n }是等比数列． (2)中项公式法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2⇔{a n }是等差数列；a n ＋12＝a n ·a n ＋2(a n ≠0)⇔{a n }是等比数列．(3)通项公式法：a n ＝an ＋b (a ，b 是常数)⇔{a n }是等差数列；a n ＝c ·q n (c ，q 为非零常数)⇔{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；S n ＝aq n －a (a ，q 为常数，且a ≠0，q ≠0，q ≠1，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．专题一 数列通项公式的求法数列的通项公式是数列的核心之一，它如同函数中的解析式一样，有解析式便可研究函数的性质，而有了数列的通项公式，便可求出数列中的任何一项及前n 项和．常见的数列通项公式的求法有以下几种：(1)观察归纳法求数列的通项公式就是观察数列的特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与序号n 的内在联系，结合常见数列的通项公式，归纳出所求数列的通项公式．(2)利用公式法求数列的通项公式数列符合等差数列或等比数列的定义，求通项时，只需求出a 1与d 或a 1与q ，再代入公式a n ＝a 1＋(n －1)d 或a n ＝a 1q n －1中即可．(3)利用a n 与S n 的关系求数列的通项公式如果给出的条件是a n 与S n 的关系式，可利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1n ＝1，S n －S n －1n ≥2，先求出a 1＝S 1，再通过计算求出a n (n ≥2)的关系式，检验当n ＝1时，a 1是否满足该式，若不满足该式，则a n 要分段表示．(4)利用累加法、累乘法求数列的通项公式形如：已知a 1，且a n ＋1－a n ＝f (n )(f (n )是可求和数列)的形式均可用累加法；形如：已知a 1，且a n ＋1a n＝f (n )(f (n )是可求积数列)的形式均可用累乘法． (5)构造法(利用数列的递推公式研究数列的通项公式)若由已知条件直接求a n 较难，可以通过整理变形等，从中构造出一个等差数列或等比数列，从而求出通项公式．1、已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋3n ＋2且a 1＝2，求a n .2、数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝n ＋1n ＋2a n (n ∈N *)，求通项公式a n . 3、已知数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)，a 1＝1，求通项公式．4、设S n 为数列{a n }的前n 项的和，且S n ＝32(a n －1)(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式． 专题二 数列求和求数列的前n 项和S n 通常要掌握以下方法：1、公式法：直接由等差、等比数列的求和公式求和，注意对等比数列q ≠1的讨论．2、错位相减法：主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．3、分组转化法：把数列的每一项分成两项，使其转化为几个等差、等比数列再求和．4、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．5、倒序相加法：把数列正着写和倒着写再相加(即等差数列求和公式的推导过程的推广)．1、求数列214，418，6116，…，2n ＋12n ＋1的前n 项和S n . 2、在数列{a n }中，a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1，又b n ＝2a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前n 项的和． 3、求和S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n .专题三 数列的交汇问题数列是高中代数的重点内容之一，也是高考的必考内容及重点考查的范围，它始终处在知识的交汇点上，如数列与函数、方程、不等式等其他知识交汇进行命题．1、已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且 a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，对任意正整数n ，S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0恒成立，试求m 的取值范围． 2、数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝2－b n .(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n 2·b n ，证明：当且仅当n ≥3时，c n ＋1<c n .。
等比公式前n项求和公式等比公式是数学中常见的一种公式，用于求解等比数列的前n项和。
在数学中，等比数列是指每一项与前一项的比值相等的数列。
等比数列的前n项和的公式可以用来计算任意等比数列的前n项之和。
设等比数列的首项为a，公比为r，第n项为an。
根据等比数列的定义，我们可以得到如下关系式：a2 = ar (第二项等于首项乘以公比)a3 = ar^2 (第三项等于首项乘以公比的平方)...an = ar^(n-1) (第n项等于首项乘以公比的n-1次方)为了求解等比数列的前n项和，我们可以利用以上关系式进行变形和求和。
具体步骤如下：Step 1: 将等比数列的前n项和表示为SnStep 2: 将Sn乘以公比rStep 3: Sn乘以公比r后，得到的结果仍然是一个等比数列，其首项为ar，公比为rStep 4: 用Sn乘以公比r后的等比数列减去原等比数列，即Sn - rSnStep 5: 将Sn - rSn进行因式分解，得到公式 Sn(1 - r) = a(1 - r^n)Step 6: 由于1 - r不等于0，所以可以将公式进一步变形为 Sn = a(1 - r^n) / (1 - r)通过以上步骤，我们得到了用于求解等比数列前n项和的公式 Sn = a(1 - r^n) / (1 - r)。
这个公式可以广泛应用于实际生活和工作中的问题。
例如，在金融领域，我们可以利用等比数列的前n项和公式来计算年金的现值和未来值。
在工程领域，我们可以利用等比数列的前n项和公式来计算复利的本利和。
在电子商务领域，我们可以利用等比数列的前n 项和公式来计算销售额的增长率。
需要注意的是，等比数列的前n项和公式只有在公比r的绝对值小于1时才成立。
当公比r的绝对值大于等于1时，等比数列的前n 项和将无穷大。
因此，在使用等比公式前n项求和公式时，需要确保公比r的绝对值小于1。
等比数列的前n项和公式也可以通过数学归纳法进行推导和证明。
《等比数列的前n项和》说课稿各位专家、评委，大家上午好！我是来自__________，今天我要说课的题目是等比数列的前n项和.我的说课从以下六个环节来进行.一、教材分析●教学内容《等比数列的前n项和》是高中数学人教版第一册（上）第三章第五节的内容，本节计划授课2课时，今天我的说课为第一课时.●地位与作用本节是数列这章中的一个重要内容,在现实生活中有着广泛的实际应用，另外公式推导过程中所渗透的数学思想方法,是学生今后学习和工作的必备数学素养．二、学情分析●知识基础：前几节课学生已学习了等差数列求和、等比数列的定义、通项公式等知识内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用.●认知水平与能力：高一学生初步具有自主探究的能力，能把本节内容与等差数列前n 项和公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导，但不利因素是本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导又有所不同，另外，对于q=1这一特殊情况，学生往往容易忽视．●任教班级学生特点：我班学生基础知识较扎实、思维较活跃.依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标：1.教学目标●知识与技能目标：理解用错位相减法推导等比数列前n项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础上能初步应用公式.●过程与方法目标:在推导公式的过程中渗透数学思想、方法，优化学生思维品质．●情感、态度与价值目标：通过学生自主探索公式，激发他们的求知欲，体验错位相减法所折射出的数学方法美.2.教学重点、难点●重点：等比数列的前n项和公式的推导和公式的简单应用．突出重点的方法：“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线.●难点：：错位相减法的生成和等比数列前n项和公式的运用突破难点的手段：“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点.四、教学模式与教法、学法教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．学生的学法：突出探究、发现与交流．五、【教学过程分析】（一）教学环节创设情景提出问题类比探索形成公式公式应用培养能力解决问题前呼后应归纳总结加深理解延伸拓展发散思维下面，我就重点介绍一下我的教学过程教学过程一．创设情境、提出问题在这个环节，我分两个部分来完成.首先复习旧知,铺垫新知.接着用多媒体向学生演示了一个他们所熟悉的动画<喜羊羊与灰太狼>的故事.通过学生观看动画,教师提出问题,学生发现问题暂不能解决,从而引出课题.这样设计的目的是:复习旧知识可以引导学生发现等比数列各项特点,从而为“错位相减法”推导等比数列前n和埋下伏笔．而情景动画的引入让引出课题的同时激发学生的兴趣，， a = a q调动学习的积极性．二.类比探索、形成公式在这个环节中，我主要依托以下两个探究来完成探究一：如何求和:1 +2 + 22 + 23 + + 258 + 259我先引导学生回忆：等差数列求和的重要方法是倒序相加法，剖析倒序相加法的本质即整体设元，构造等式，利用方程的思想化繁为简，把不易求和的问题转化为易于求和的问题．从而得出求和的实质是减少了项 .同时又引导学生思考现在用这种方法还行吗？若不行，那该怎样简化运算？能否类比倒序相加的本质，根据等比数列项之间的特点，也构造一个式子，通过两式运算来解决问题？ 从而引发学生的思考、讨论.这就是学生在讨论这个问题的一个片段。
等比数列的前n项和公式【学习目标】1．掌握等比数列的前n项和公式及推导公式的思想方法和过程，能够熟练应用等比数列的前n项和公式解决相关问题，提高应用求解能力.2．通过对等比数列的前n项和公式的推导与应用，使学生掌握错位相减法、方程思想、划归思想等数学思想和方法.3．激情参与，惜时高效，感受数学思维的严谨性.1.“我1.2.Ⅱ.1.2.3.等比通项公式a=n1．设A．C2AC．－31D．331、答案 D解析由8a2＋a5＝0得8a1q＋a1q4＝0，∴q＝－2，则＝＝－11.【我的疑惑】知识要点归纳：1．等比数列前n项和公式：(1)公式：S n＝=(q≠1).(q＝1).(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q＝1的情况．2．若{a n}是等比数列，且公比q≠1，则前n项和S n＝(1－q n)＝A(q n－1)．其中A＝.3．推导等比数列前n项和的方法叫法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和．4．等比数列{a n}的前n项和为S n，当公比q≠1时，S n＝＝；当q＝1时，S n＝.5．等比数列前n项和的性质：(1)连续m项的和(如S m、S2m－S m、S3m－S2m)，仍构成数列．(注意：q≠－1或m为奇数)(2)S m＋n＝S m＋q m S n(q为数列{a n}的公比)．二、典型范例Ⅰ.质疑探究——质疑解惑、合作探究探究点等比数列的前n项和公式问题1：怎么求等比数列{}n a的前n项和n S？写出公式的推导过程。
S n问题2当＝故当（1）（2（3）由(4)是数列求和的一种重要方法。
问题探究一错位相减法求和问题教材中推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法．这种求和方法是我们应该掌握的重要方法之一，这种方法的适用范围可以拓展到一个等差数列{a n}与一个等比数列{b n}对应项之积构成的新数列求和．下面是利用错位相减法求数列{}前n项和的步骤和过程，请你补充完整．设S n＝＋＋＋…＋，∴S n＝，∴S n－S n＝，即S n＝＝∴S n＝＝2－.例1 在等比数列{a n }中，S 3＝，S 6＝，求a n . 解 由已知S 6≠2S 3，则q ≠1，又S 3＝，S 6＝， 即①,a 1(1－q 6)1－q ＝632.②))②÷①得1＋q 3＝9，∴q ＝2.可求得a 1＝，因此a n ＝a 1q n －1＝2n －2.问题探究二 等比数列前n 项和S n 与函数的关系问题 当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1，是n 的正比例函数(常数项为0的一次函数)．当q ＝1时，数列S 1，S 2，S 3，…，S n ，…的图象是正比例函数y ＝a 1x 图象上一些孤立的点．A ＝，的一个指问题1 证明 ＝S m ＋(a ＝S m ＋q m S ∴S m ＋n ＝S m 1A ．48 C ．50 2A ．C ．3．设S n A ．11 C ．－4．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则等于( )A ．2B ．4 C.D.5．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1等于 ( )A ．16(1－4－n ) B ．16(1－2－n )C.(1－4－n )D.(1－2－n )6．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( ) A. B. C.D.二、填空题7．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则{a n}的公比为________．8．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.9．若等比数列{a n}中，a1＝1，a n＝－512，前n项和为S n＝－341，则n的值是________．三、解答题10．设等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求a n和S n.11．在等比数列{a n}中，已知S n＝48，S2n＝60，求S3n.12.已知等比数列{a n}中，a1＝2，a3＋2是a2和a4的等差中项．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记13(1)(2)1A．332A．1.1C．103．已知{aA.和5C.4．程和是A．C．5．数列{a n n1n＋1n6A．3×44B．3×44＋1C．45D．45＋16．某企业在今年年初贷款a万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还()A.万元B.万元C.万元D.万元二、填空题7．等比数列{a n}共2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.8．等比数列{a n}中，前n项和为S n，S3＝2，S6＝6，则a10＋a11＋a12＝________.9．某工厂月生产总值的平均增长率为q，则该工厂的年平均增长率为________．三、解答题10．在等比数列{a n}中，已知S30＝13S10，S10＋S30＝140，求S20的值．11．利用等比数列前n项和公式证明a n＋a n－1b＋a n－2b2＋…＋b n＝，其中n∈N*a，b是不为0的常数，且a≠b.12.已知{a n}是以a为首项，q为公比的等比数列，S n为它的前n项和．(1)当S1，S3，S4成等差数列时，求q的值；(2)当S m，S n，S l成等差数列时，求证：对任意自然数k，a m＋k，a n＋k，a l＋k也成等差数列．四、探究与拓展1312≈1.1)过关测试1．D7.8.310．解当a1S n当a1S n11．6312．(1)a n(2)S n13．(1)a课后练习。
高一数学等比数列的前n项和【基础知识精讲】1.基础知识图表2.前n项和公式若数列｛a n｝是公比为q的等比数列，则它的前n项和公式是也就是说，公比为q的等比数列的前n项和是q的分段函数，分段的界限在q=1处.当q≠1时，求等比数列前n项和S n的方法一般是利用S n的表达式的特点，首先在S n=a1+a1q+…+a1q n-1两边同乘以该数列的公比q，使得等式右边各项都向右错了一位；然后通过求S n-qS n把相同的项消去，达到简化的目的；最后从中解出S n.这种方法(俗称“错位相减法”)很巧妙，而且对这类数列的求和具有普遍性，应该很好地掌握它.求等比数列前n项和的方法还有一些，下面再介绍其中的一种：当q=1时，S n=na1当q≠1时，S n=a1+a1q+a1q2+…+a1q n-1=a1+q(a1+a1q+a1q2+…+a1q n-1)-a1q n =a1+q·S n-a1q n =a1(1-q n)+q·S n∴(1-q)S n=a1(1-q n),∴S n=qqa n--1)1(1.在具体运用等比数列前n项和公式时如果考虑不周常会出错.例如，求和：1+x+x2+…+x n，认为其和为xx n--+111是错误的.【重点难点解析】本节重点是等比数列前n项和公式及其应用.难点是求和公式的推导.等比数列前n项和公式要注意对公比q进行讨论，分q=1和q≠1两种情况.求等比数列前n项和的思想和方法在求一些特殊数列的前n项和中经常运用到.例1设等比数列｛a n｝的前n项和为S n，若S3+S6=2S9，求公比q的值.分析本题主要考查等比数列求和公式的基础知识，逻辑推理能力和运算能力.在求解中要全面考虑公式q=1和q≠1两种情况，否则就会造成失误.解法一：若q=1，则S3+S6=3a1+6a1=9a1≠2S9,所以q≠1.依等比数列前n项和公式有qqa--1)1(31+qqa--1)1(61=qqa--1)1(291,整理得q3(2q6-q3-1)=0.因为q≠0，所以2q6-q3-1=0,(q3-1)(2q3+1)=0.因为q≠1，所以q3≠1,所以q3=-21，q=-321=-243.解法二：因为S3+S6=2S9，所以2(a1+a2+a3)+a4+a5+a6=2(a1+a2+a3+…+a9),此即-(a4+a5+a6)=2(a7+a8+a9)，-(a4+a5+a6)=2q3(a4+a5+a6)，由此解得q3=-21,q=-243.评析在对等比数列前n项和公式的运用中，要注意充分运用整体代入的方法，如解法二中就利用了a7+a8+a9=q3(a4+a5+a6)这一性质，使运算量减少，也避免了q的讨论.例2 设等比数列的首项为a(a ＞0)公比为q(q ＞0)，前n 项和为80，其中最大的一项为54，又它的前2n 项和为6560，求a 和q.解：由S n =80,S 2n =6560,故q≠1⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=-- ② ① 6560q 1)q 1(a 80q 1)q 1(a n2n化简得081q 82q n n 2=+-∴有81q n=③ 知1q >∵a＞0，q ＞1，等比数列递增数列，故前n 项中最大项为a n . ∴a n =aq n-1=54④将③代入①化简得a=q-1 ⑤③④化简得3a=2q⑥由⑤，⑥联立方程组解得a=2,q=3例3 等比数列｛a n ｝的前n 和等于2，紧接其后的2n 项和等于12，再紧接其后的3n 项和为S ，求S. 分析 本题主要考查等比数列前n 项和公式的应用.本题实际为已知S n =2，S 3n -S n =12，要求S 6n -S 3n 的值.由等比数列知，前n 项成等比数列，紧接其后的2n 项也成等比数列，再紧接的3n 项也成等比数列，可分别求和列方程.解：在等比数列中，依次每k 项之和仍成等比数列.设前n 项和为S 1，第2个n 项和为S 2=S 1q ，由②式得q+q 2=6，所以q=2或q=-3.将q=2代入③式得S=112，将q=-3代入③式得S=-378.例4 求数列1，a+a 2,a 2+a 3+a 4,a 3+a 4+a 5+a 6,…(a≠0)的前n 项和S n . 分析 要求数列前n 项的和，必须先求出数列的通项公式.解：据题设条件分析可知： a n =a n-1+a n+a n+1+…+a2n-2①当a=1时，a n =n,∴S n =2)1(+n n .②当a≠1时，S n =a a a n n ---1)1(1=a a n --11-a a n --112. (1)当a≠±1时，S n =a -11［a a n --11-221)1(a a a n --］=)1()1(12a a +-［(1-a n )(1-a n+1)］ (2)当a=-1时，S n =21［2)1(1n--+n ］评析 ①由于通项公式本身是一个等比数列的求和，而公比是字母a ，故必须分两种情况(a=1及a≠1)来讨论.②在进一步求和时，由于又出现公比为a 2的等比数列求和，故又得分a 2=1及a 2≠1来讨论，由于a=1已讨论，因此本题应分a=1，a=-1，a≠±1三种情况来讨论.【难题巧解点拨】例1 设等比数列｛a n ｝的公比与前n 项和分别为q 与S n ，且q≠1,S 10=8.求10201q S +的值.分析 一个条件不能确定a 1与q.不妨将S 10与S 20用a 1、q 表示出来，进行对比，兴许有点门道.解：∵q q a --1)1(101=8,∴10201q S +=)q 1)(q 1()q 1(a 10120-+-=8.评析 一些数列问题中的基本量难以确定或不能确定时，不妨设而不求，整体代换.其实，本题尚有以下巧解：S 20=S 10+a 11+a 12+…+a 20=S 10+q 10S 10=S 10(1+q 10),故10201q S +=S 10=8.例2设等比数列｛a n｝的前n项和为S n，求证：S2n+S22n=S n(S2n+S3n).分析从整体结构入手，寻找S n、S2n、S3n之间的关系，作差计算，不仅简便，而且求解过程完备.解：设｛a n ｝的公比为q,则 S 2n =S n +q nS n =S n (1+q n) S 3n =S n +q nS n +q 2nS n =S n (1+q n+q 2n) ∴S 2n +S 22n -S n (S 2n +S 3n )=S 2n +S 2n (1+q n )2-S 2n ［(1+q n)+(1+q n+q 2n)］ =S 2n +S 2n (1+q n )2-S 2n ［1+(1+q n )2］=0 ∴S 2n +S 22n =S n (S 2n +S 3n ).评析 本题的结论是等比数列的又一性质：(S 2n -S n )2=S n (S 3n -S 2n ),即S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 成等比数列.例3 已知数列｛a n ｝满足条件：a 1=1,a 2=r(r ＞0)，且｛a n a n+1｝是公比为q(q ＞0)的等比数列.设b n =a 2n-1+a 2n ，求数列｛b n ｝的前n 项和S n .分析 121+++n n n n a a a a =q ⇒n n a a 2+=q ⇒n n b b 1+=q. 解：∵121+++n n n n a a a a =q ∴a n+2=a n q ， ∴n n b b 1+=n n n n a a a a 2122212-++=n n n n a a q a q a 212212++--=q, 且q≠0,b 1=1+r≠0∴｛b n ｝是首项为1+r ，公比为q 的等比数列，评析 解题的关键是等比数列｛b n ｝的发现，只要紧抓等比数列的定义来分析，就能使隐含着的条件显露出来，促成问题的快速解决.【课本难题解答】课本第133页练习第4题：当q=1时，S 7=7a 1，S 14-S 7=14a 1-7a 1=7a 1 S 21-S 14=21a 1-14a 1=7a 1，从而S 7(S 21-S 14)=(S 14-S 7)2当q≠1时，S 7=q q a --1)1(71;S 14=q q a --1)1(141;S 21=q q a --1)1(211;可得S 7(S 21-S 14)=(S 14-S 7)2.也可以这样证明：S 14-S 7=(a 1+a 2+…+a 14)-(a 1+a 2+…+a 7) =a 8+a 9+…+a 14=a 1q 7+a 2q 7+…+a 7q 7=(a 1+a 2+…+a 7)q 7=q 7S 7 同理可得S 21-S 14=q 14S 7 因此S 7(S 21-S 14)=(S 14-S 7)2可类似证明S k ,S 2k -S k ,S 3k -S k 成等比数列. 【命题趋势分析】1.数列内容在高考试题中占比重较大，等比数列的前n 项和多次出现在中难题上.因此，对数列的综合问题要引起重视，注意应用题的练习，提高数学建模能力.2.灵活应用通项公式与前n 项和公式是高考考查的重点，同时要注意运用函数的观点揭示分析和解决有关等比数列的综合题.3.在历届高考试题中等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式经常融进各种类型的题目中.我们要在熟练掌握，灵活应用上下功夫，同是，还要注意等差、等比数列的综合运用.4.等比数列是最基本的数列.等比数列的定义是研究等比数列的性质和判定，推导前n 项和公式的出发点和依据；通项公式与前n 项和公式联系着五个基本量：a 1,q,n,a n ,S n ，任知其中三个量，可以求得另外两量是本章中最基本的、经常遇到的、必须熟练解决的基本问题.5.等比数列前n 项和公式的推导方法“错位相减法”要予以重视，在求由等差、等比数列组成的积数列的和时也要应用此方法.6.在解等比数列求和有关问题时，根据问题的实际，有时需分q=1和q≠1两种情况分类讨论. 【典型热点考题】例1 设｛a n ｝是由正数组成的等比数列，S n 是其前n 项和，证明：2log log 25.05.0++n n S S ＞log 0.5S n+1.分析 只需证明S n S n+2＜S 2n+1.解：∵S n+1=a 1+qS n ,S n+2=a 1+qS n+1 ∴S 2n+1-S n S n+2 =S n+1(a 1+qS n )-S n (a 1+qS n+1) =a 1(S n+1-S n )=a 1a n+1＞0 ∴S n S n+2＜S 2n+1 ∴log 0.5(S n S n+2)＞log 0.5S 2n+1.∴2log log 25.05.0++n n S S ＞log 0.5S n+1.评析 由a 1＞0，q ＞0及qS n S n+2=qS n (a 1+qS n+1)＜a 1qS n+1+q 2S n S n+1=qS 2n+1，亦可推得S n S n+2＜S 2n+1. 例2 设等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若S 3+S 6=2S 9，求数列的公比q. 分析 由条件式建立一个关于q 的方程.解：若q=1,则S 3+S 6-2S 9=-9a 1≠0，与题设矛盾，故q≠1. 从而，依题意得q q a --1)1(31+q q a --1)1(61=q q a --1)1(291,整理得q 3(q 3-1)(2q 3+1)=0,∵q≠0,q≠1 ∴2q 3+1=0, ∴q=-243.评析 解题过程中运用了分类讨论的思想.例3 设｛a n ｝是正数组成的数列，其前n 项和为S n ，且对于所有自然数n ，a n 与2的等差数列等于S n 与2的等比中项.(1)写出｛a n ｝的前3项.(2)求｛a n ｝的通项公式(写出推理过程).(3)令b n =21(n n a a 1++1+n na a ),n∈N 求证：b 1+b 2+…+b n -n=122+n n.解：(1)当n=1时，有221+a =12S ,而S 1=a 1 ∴221+a =12a .∴a 1=2.当n=2时有222+a =22S ,而S 2=a 1+a 2=2+a 2∴222+a =)2(22a +∴a 2=6或a 2=-2(舍)当n=3时，有223+a =32S而S 3=a 1+a 2+a 3=8+a 3∴223+a =)8(23a +.∴a 3=10.故前3项为2，6，10.(2)由题意有22+n a =n S 2(n∈N +) ∴S n =81(a n +2)2.由此知S n+1=81(a n+1+2)2. ∴a n+1=S n+1-S n =81［(a n+1+2)2-(a n +2)2］整理得 (a n+1+a n )(a n+1-a n -4)=0 而 a n+1+a n ≠0∴a n+1-a n =4 ∴｛a n ｝为等差数列，其中a 1=2，d=4 ∴a n =a 1+(n-1)d ，∴a n =4n-2(3)令c n =b n -1，则b 1+b 2+…+b n -n=c 1+c 2+…+c n且c n =21(n n a a 1++1+n na a -2)∵a n =4n-2,a n+1=4n+2∴c n =21［(1212-+n n -1)+( 1212+-n n -1)］=121-n -121+n∴b 1+b 2+…+b n -n=c 1+c 2+…+c n=(1-31)+(31-51)+…+(121+n -121-n ) =1-121+n ∴b 1+b 2+…+b n -n=122+n n评析 ①已知a n 与S n 的混和递推关系，一般有两条途径可供转化.均是利用当n≥2时，a n =S n -S n-1，一条路可转化为关于a n 与a n-1的递推关系，另一条路是转化为关于S n 与S n-1的递推关系.如本例就是转化为a n 的.又如：已知数列｛a n ｝的前n 项和满足S 1=4，当n≥2时，a n =21-+n n S S ，试求｛a n ｝的通项公式.读者不妨去试一试!②在(3)题中，数列求和的方法是裂项法.例4 已知等差数列｛a n ｝的第二项a 2=5，前10项之和S 10=120.若从数列｛a n ｝中依次取出第2项，第4项，第8项， (2)项，按原来顺序组成一个新数列｛b n ｝，且这个数列的前n 项之和为T n ，试比较T n+1与2T n 的大小.解：设｛a n ｝的公差为d,则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅+=+120291010511d a d a ∴⎩⎨⎧==231d a ∴a n =3+(n-1)·2=2n+1 数列b n =n2a=2·2n+1∴T n =n+2(21+22+23+…+2n ) =n+2·21)21(2--n =2n+2+n-4T n+1-2T n =(2n+3+n-3)-2(2n+2+n-4) =5-n当n ＞5，n∈N 时，T n+1＜2T n ，当n=5时，T n+1=2T n当1≤n≤5时，即n=1,2,3,4时，T n+1＞2T n . 【知识验证实验】计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”，如(1101)2表示二进制的数，将它转换成十进制的形式是1×23+1×22+0×21+1×20＝13，那么将二进制数转换成十进制数的形式是(B)A.217-2B.216-1C.216-2D.215-1【知识探究学习】某县位于沙漠地带，人与自然进行长期的斗争，到1998年底全县土地面积的绿化率已达40%，从1999年开始，每年将出现这样的局面，即到前一年年末还存在沙漠面积的20%将被绿化，与此同时，由于各种原因，到前一年年末已被绿化的面积的5%又将重新被沙化.设全县土地面积为P ，1998年底的绿化面积为a 1，经过n 年后绿化面积为a n+1. (1)求a 1，a 2，a 3；(2)求证：a n+1-54p ＝43(a n -54p);(3)求a n .解：(1)由题意a 1＝P·40%＝0.4P.a 2＝a 1+(P-a 1)20%-a 15%＝0.5P a 3＝a 2+(P-a 2)20%-a 25%＝0.575P(2)一般有a n+1＝a n +(P-a n )20%-a n 5%＝43a n +51P ∴ a n+1-54P ＝43a n -53P ＝43(a n -54P)(3)∴ ｛a n -54P ｝是以a 1-54P ＝-52P 为首项，43为公比的等比数列， ∴ a n -54P ＝-52P(43)n-1. ∴ a n ＝54P-52P(43)n-1.【同步达纲练习】 一、选择题1.在等比数列｛a n ｝中，S 4=2,S 8=6,a 17+a 18+a 19+a 20等于( ) A.32 B.16 C.35 D.1622.已知等比数列｛a n ｝的公比q=31，且a 1+a 3+a 5+…+a 99=60，则a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 100等于( )A.100B.80C.60D.403.一个等比数列，它的前n 项和S n =ab n+c ，其中a 、b 、c 为常数且a≠0，b≠0且b≠1，则a 、b 、c 必须满足( )A.a+b=0B.b+c=0C.a+c=0D.a+b+c=04.等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若S 10=10，S 20=30，则S 30等于( ) A.70B.90C.100D.1205.一个等比数列｛a n ｝的首项为a 1=2，公比q=3，从第m 项到第n 项(m ＜n)的和为720，则m 的值为( ) A.3B.4C.5D.66.数列｛a n ｝是由实数构成的等比数列，S n =a 1+a 2+…+a n ，则数列｛S n ｝中( ) A.任一项均不为0B.必有一项不为0C.至多有有限项为0D.或无一项为0，或有无穷多项为07.计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机价格降低31，现在的价格是8100元，则15年后，价格降低为( )A.2200元B.900元C.2400元D.3600元8.数列1，1+2，1+2+22，…，1+2+22+…+2n-1的前n 项和S n 等于( ) A.2nB.2n-nC.2n+1-n-2D.n-2n9.一个等比数列｛a n ｝共有2n+1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则a n+1为( )A.56B.65C.20D.11010.已知等比数列｛a n ｝中，a n =2·3n-1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和为( )A.3n-1 B.3(3n-1)C.419-nD. 4)19(3-n二、填空题1.已知lgx+lgx 2+…+lgx 10=110,则lgx+(lgx)2+…+(lgx)10= . 2.在等比数列｛a n ｝中，若S n =93,a n =48，公比q=2，则n= .3.S=1+a+a 2+a 3+…+a 10=. 4.等比数列首项为2，公比为3，从前项的和开始大于100.三、解答题1.已知等比数列｛a n ｝的首项a 1＞0，公比q ＞0.设数列｛b n ｝的通项b n =a n+1+a n+2(n∈N +)，数列｛a n ｝、｛b n ｝的前n 项和分别为A n 与B n ，试比较A n 与B n 的大小.2.已知数列｛a n ｝为等差数列，公差d≠0，其中1k a ,2k a ,…,nk a 恰为等比数列，若k 1=1，k 2=5，k 3=17，求k 1+k 2+…+k n 的值.3.设数列｛a n ｝的前n 项和S n =2a n -4(n∈N +)，数列｛b n ｝满足：b n+1=a n +2b n ，且b 1=2，(1)求通项a n .(2)求｛b n ｝前n 项的和T n .【素质优化训练】1.设数列｛a n ｝的前n 项和S n =3n-c ，求证：c=1是数列｛a n ｝为等比数列的充要条件.2.数列｛a n ｝为等比数列，项数为偶数且各项为正数.如果该数列所有项的和为偶数项的和的4倍，且a 2·a 4=9(a 3+a 4).问数列｛lga n ｝的前多少项的和最大?【生活实际运用】1.某种果树至少要培植五年才可以开始采果，有一农户于1988年初利用边角地种植了一批这种果树，1993年开始采果，当年的产量为156千克，1994年至1998年连续5年每年的产量平均比上一年增加50%还多34千克，从1999年起，由于管理等方面的原因导致产量开始下降，且平均每年比上一年减少10%，据估计这种情况还会继续下去.(1)1998年，该农户采得这种水果多少千克?(2)如果用S n 表示该农户从1993年起的n(n∈N)年内采得这种水果的总量，试求出用n 表示的S n 的表达式，并据此计算，到2000年，该农户共采得这种水果多少千克?(精确到1千克)2.某君有人民币若干，拟作股票投资或长期储蓄，若存入银行年利率为6%，若购某种股票年红利为24%，不考虑物价变化因素，且银行年利率及该种股票年红利不变，股份公司不再发行新股票，但每年的利息和红利可存入银行.(1)求某君购股票或储蓄x 年后所拥有人民币总额y 与x 的函数关系式；(2)问经过几年，购买股票与储蓄所拥有的人民币相等?(lg2=0.3010,lg3=0.4771,lg1.06=0.0253)参考答案【同步达纲练习】一、1.A 2.B 3.C 4.A 5.A 6.D 7.C 8.C 9.B 10.D二、1.2046 2.5 3.11或aa--11114.5三、1.1°q＞215-时，B n-A n＞0，得B n＞A n 2°q=215-时，B n-A n=0，得B n=A n.3°0＜q＜215-时，B n-A n＜0，得B n＜A n.2.3n-n-1.3.解：(1)2n+1 (2)T n=(n-1)2n+1+2.【素质优化训练】1.略2.前5项的和最大.【生活实际运用】1.解：(1)1998年的产量a6=1633(千克)(2)S n=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≤--⋅-)7.(1091633020577)6(,44868)23(4486nnnnn到2000年底的总产量S8=20577-16330·1092=7349.7≈7350(千克).2.解：(1)设某君有人民币a元，若长期储蓄，则x年后人民币总额为y=a(1+0.06)x，即y=1.06x·a.若购买股票，则x年后利息和红利总额为y=［0.24+0.24(1+0.06)+0.24(1+0.06)2+…+0.24(1+0.06)x-1］a=06.01)06.01(24.0++xa即y=4(1.06x-1)a.(2)由1.06x·a=4(1.06x-1)a，得1.06x=34，两边取以10为底的对数，得x=06.1lg3lg4lg-=0253.04771.06020.0-≈4.9368.即大约经过5年，股票与储蓄拥有的人民币相等.。
等比数列的前n项和的公式等比数列是指一个数列中任意两项的比相等的数列。
设等比数列的首项为a，公比为r，第n项为an。
求等比数列的前n项和，可以使用以下两种方法。
方法一：求和公式Sn=a*(1-r^n)/(1-r)其中，Sn表示前n项和，a表示首项，r表示公比。
证明：首先，排除r=1的特殊情况，当公比为1时，等比数列就变成公差为0的等差数列，求和公式为Sn=n*a。
当r不等于1时，我们可以通过以下方法推导求和公式：1. 首先，将等比数列的前n项表示为：a，ar，ar^2，...，ar^(n-1)。
2. 求和公式为Sn = a + ar + ar^2 + ... + ar^(n-1)。
3. 将公式的各项乘以公比r得到：ar，ar^2，ar^3，...，ar^n。
4. 两个公式相减得到：Sn - rSn = a - ar^n。
5.整理得到：Sn*(1-r)=a*(1-r^n)。
6.由此，得到求和公式：Sn=a*(1-r^n)/(1-r)。
这就是等比数列的前n项和公式。
方法二：逐项相加除了使用求和公式，我们还可以通过逐项相加求等比数列的前n项和。
逐项相加的过程如下：S1=aS2 = a + ar = a(1+r)S3 = a + ar + ar^2 = a(1+r+r^2)...Sn = a + ar + ar^2 + ... + ar^(n-1) = a(1+r+r^2+...+r^(n-1))综上所述，等比数列的前n项和公式为：Sn=a*(1-r^n)/(1-r)(r不等于1)Sn=n*a(r等于1)以上是两种方法求解等比数列前n项和的公式，可以根据具体情况选择适用的方法进行计算。
