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2.2.1对数与对数运算（一）一【学习目标】 （一） 教学知识点1.对数的概念；2．对数式与指数式的互化． （二） 能力训练要求1.理解对数的概念；２．能够进行对数式与指数式的互化；３．培养学生数学应用意识． 二、教学重点：对数的定义． 三、教学难点：对数概念的理解． 四【新课讲授】(导学)假设2002年我国国民生产总值为a 亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？列出表达式： （自学）知识点1 ： 对数的概念1.对数定义：一般地，如果 ，)1,0(≠>a a 且则数 b 叫做以a 为底 N 的对数， 记作 ，其中a 称为对数的底，N 称为真数. （b N N a a b =⇔=log ）（1）底数的取值范围 ；真数的取值范围（2）对数式和指数式关系式 子名称 a b N指数式 对数式思考1．将下列指数式写成对数式： （1）62554= （2）64126=- （3）273=a(4)73.531=m ）（知识点2 两种重要对数1.常用对数：以10为底的对数叫做常用对数N 10log 简记作 ． 思考2：5log 10简记作； 5.3log 10简记作2.自然对数：用以无理数e=2.71828……为底的对数叫自然对数， N e log 简记作思考3：3log e 简记作 10log e 简记作 思考4． 将下列对数式写成指数式：（1）416log 21-=； （2）7128log 2=； （3）201.0lg -=； （4）303.210ln =．知识点三 : 重要公式：⑴负数与零没有对数； ⑵01log =a ， 1log =a a ⑶对数恒等式N aNa =log五【典例欣赏】（互学） 1对数概念应用例1.求下列各式中x 的取值范围：(1)log 2(x －10)；(2)log (x －1)(x ＋2)；(3)log (x ＋1)(x －1)2.2对数基本运算例2求下列各式中的x 的值：（1）32log 64-=x ；（2）68log =x ；（3）x =100lg ；（4）x e =-2ln 。
§2.2.1 对数与对数运算（3）1. 能较熟练地运用对数运算性质解决实践问题；2. 加强数学应用意识的训练，提高解决应用问题的能力.6669复习1：对数的运算性质及换底公式.如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 ，则（1）log ()a MN = ；（2）log a M N= ； （3） log n a M = .换底公式log a b = .复习2：已知 2log 3 = a ， 3log 7 = b ，用 a ，b 表示42log 56.复习3：1995年我国人口总数是12亿，如果人口的年自然增长率控制在1.25℅，问哪一年我国人口总数将超过14亿？ （用式子表示）二、新课导学※ 典型例题例1 20世纪30年代，查尔斯.里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大. 这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为：0lg lg M A A =-，其中A 是被测地震的最大振幅，0A 是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中距离造成的偏差）.（1）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001, 计算这次地震的震级（精确到0.1）；（2）5级地震给人的振感已比较明显，计算7.6级地震最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍？（精确到1）小结：读题摘要→寻找数量关系→利用对数计算.例2当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．根据些规律，人们获得了生物体碳14含量P 与生物死亡年数t 之间的关系．回答下列问题：（1）求生物死亡t 年后它机体内的碳14的含量P ，并用函数的观点来解释P 和t 之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？（2）已知一生物体内碳14的残留量为P ，试求该生物死亡的年数t ，并用函数的观点来解释P 和t 之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？（3）长沙马王墓女尸出土时碳14的余含量约占原始量的76.7%，试推算古墓的年代？反思：① P 和t 之间的对应关系是一一对应；② P 关于t 的指数函数(x P =，则t 关于P 的函数为 . ※ 动手试试练1. 计算：（1）0.21log35-； （2）49log 3log 2⋅-.练2. 我国的GDP 年平均增长率保持为7.3%，约多少年后我国的GDP 在2007年的基础上翻两番？三、总结提升※ 学习小结1. 应用建模思想（审题→设未知数→建立x 与y 之间的关系→求解→验证）；2. 用数学结果解释现象.※ 知识拓展在给定区间内，若函数()f x 的图象向上凸出，则函数()f x 在该区间上为凸函数，结合图象易得到1212()()()22x x f x f x f ++≥； 在给定区间内，若函数()f x 的图象向下凹进，则函数()f x 在该区间上为凹函数，结合图象易得到1212()()()22x x f x f x f ++≤. ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 25()a -（a ≠0）化简得结果是（ ）. A ．－a B ．a 2 C ．｜a ｜ D ．a2. 若 log 7［log （log 2x ）］＝0，则12x =（ ）.A. 3B.C.D.3. 已知35a b m ==，且112a b+=，则m 之值为（ ）.A ．15BC ．D ．2254. 若3a ＝2，则log 38－2log 36用a 表示为 .5. 已知lg 20.3010=，lg1.07180.0301=，则 lg 2.5= ；1102= ．1. 化简：（1）222lg5lg8lg5lg 20(lg 2)3+++； （2）()()24525log 5+log 0.2log 2+log 0.5.2. 若()()lg lg 2lg 2lg lg x y x y x y -++=++，求x y 的值．。
第二章 基本初等函数2.2.1对数与对数运算（2）【导学目标】1．学生掌握对数的运算性质，知道对数换底公式；2．会用对数的性质解决一些实际问题；3. 在对数的运算性质、换底公式的推导中，体会数学推理过程，体验探究成功.【自主学习】 知识回顾：1.对数的概念；2.同底数幂的运算性质：=⋅n m a a ；=÷n m a a . 新知梳理：引例： 由=⋅n m a a ，如何探讨)(log MN a 和log a M 、log a N 之间的关系？ （以)(log MN a ＝M a log ＋N a log 为例）．m n m n a a a +⋅=，设m M a =，n N a =，则有MN = ___ __ .由对数的定义，有 __，N a log =n ，=+=n m MN a )(log .同样地，依照上述过程，由指数幂的运算性质________ 和_____ ___，得到对数运算的其他性质．2. 如果0a >,且1a ≠，0M >，0N >，那么,(1)log ()a MN = _ ___________；(2)log a MN = _______ ____________ ； (3)log n a M = _____ ____ （n ∈R ）． (4))(log )(m a b n = .()0,,≠∈∈n R n R m 对点练习：1.若0>a ，1≠a ，0>x ，0>y ，y x >，下列式子中正确的个数是（ ）①⋅x a log y a log =)(log y x a +②x a log y a log -=)(log y x a - ③)(log yx a =x a log y a log ÷④=)(log xy a x a log y a log ⋅A.0B.1C. 2D.3 对点练习：2.5lg 2lg +=3.对数换底公式若0a >,且1a ≠；0c >，且1c ≠；0b >，则log a b = ________ ．推导：对点练习：3. 2log 3log 32⋅的值为（ ）A.21B.1C. 23 D.2 一般的,有log log a b b a ⋅=___________思考探究:1.b a log 与a b log 是什么关系?2.a c b c b a log log log ⋅⋅=3.当0>⋅N M ，则式子)(log N M a ⋅=N M a a log log +，成立吗？为什么？【合作探究】典例精析例题1： 用x a log ，y a log ，z a log 表示下列各式．（1）z xy a log ； （2）32log zy x a .变式训练1：已知a =2lg ，b =3lg ，用b a ,表示108lg ．例题2： 求下列各式的值：（1） )24(log 572⨯； （2） 5100lg .变式训练2：求下列各式的值： ⑴278log 32； ⑵5.0lg 85lg 5.12lg +-； （3）16log 9log 4343-.【课堂小结】。
高中数学 2.2.1 对数与对数运算导学案（2）新人教A版必修1§§2.2.1 对数与对数运算（2）学习目标1. 掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程；2. 能较熟练地运用对数运算法则解决问题..学习过程一、课前准备（预习教材P64~ P66，找出疑惑之处）复习1：（1）对数定义：如果x a N=(0,1)a a>≠，那么数x叫做，记作 .（2）指数式与对数式的互化：复习2：幂的运算性质.（1）m na a=；（2）()m n a=；（3）()n ab= .复习3：根据对数的定义及对数与指数的关系解答：（1）设log2am=，log3a n=，求m n a+；（2）设loga M m=，log a N n=，试利用m、n表示log(a M·)N．二、新课导学※学习探究探究任务：对数运算性质及推导问题：由p q p qa a a+=，如何探讨log a MN和log a M、log a N之间的关系？问题：设loga M p=, log a N q=，由对数的定义可得：M=p a，N=q a ∴MN=p a q a=p q a+，（1）loglog mn a anb b m=；（2）1log log abb a =.练3. 计算：（1）7lg142lg lg7lg183-+-；（2）lg 243lg9. 三、总结提升 ※ 学习小结①对数运算性质及推导；②运用对数运算性质；③换底公式.※ 知识拓展① 对数的换底公式log log log babNN a=； ② 对数的倒数公式1log log abb a =.③ 对数恒等式：log log nn aa N N =， 学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列等式成立的是（ ） A ．222log (35)log 3log 5÷=- B ．222log (10)2log (10)-=- C ．222log (35)log 3log 5+= D ．3322log (5)log 5-=-2. 如果lgx =lga +3lgb －5lgc ，那么（ ）. A ．x =a +3b －c B ．35ab x c= C ．35ab x c= D ．x =a +b 3－c 33. 若()2lg 2lg lg y x x y -=+，那么（ ）. A ．y x = B ．2y x =C ．3y x =D ．4y x = 4. 计算：（1）99log 3log 27+= ；（2）2121log log 22+= . 5. 计算：315lglg 523+= .课后作业 1. 计算：（1lg 27lg83lg 10+-； （2）2lg 2lg2lg5lg5+⋅+.2. 设a 、b 、c 为正数，且346ab c==，求证：。
§2.2.1对数与对数运算3（换底公式及对数的应用）班级：高一（ ） 姓名： 学号：学习目标：1、理解并掌握对数的换底公式2、运用对数运算性及公式质解决有关问题学习重点、难点：对数的换底公式，对数运算性质及公式的灵活应用自主预习：一、知识梳理：问题引入：数学史上，人们通过大量努力，制作了常用对数表、自然对数表，只要通过查表就可求出任意正数的常用对数或自然对数。
那么有没有方法把其他底的对数转换为以10或e 为底的对数呢？对数的底数能否随意转换?探究：设M b a =log （0>a 且 1≠a ,b>0）由对数的意义有，b a M =，显然M a ＞0，两边取常用对数得：_______________∵ 0>a ，∴M b a lg lg =•，又1≠a ,∴0lg ≠a ，∴M a b lg lg = ，即 【总结】更一般地，可得对数的换底公式：【归纳提升】1. 注意换底公式的结构特点：右边分子、分母所换的底必须是同一底，且为真数的对数除以底数的对数。
2. 当b ≠1且b ＞0时，存在倒数关系：二、自我检测1、计算下列各式的值 (1) log 98 log 3227 ; (2) 235111log log log 125323••三、学点探究探究1：对于底不同的对数的运算例1、 计算（1）32log 9log 38⨯ （2）a c c a log log •（3）)2log 2(log )3log 3(log 9384+⋅+变式训练一：应用对数换底公式化简下列各式1、（1）16log 25log 9log 125274••（2）)3log 3)(log 2log 2(log 8493++方法小结1：利用换底公式“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想，在解题过程中应注意：1、针对具体问题，选择恰当的底数；2、注意换底公式与对数运算法则结合使用3、换底公式的正用与逆用探究2、对数换底公式的应用例2、已知518,9log 18==b a ，用a 、b 来表示45log 36变式训练二：1、30log ,53,2log 33表示、用b a a b ==2.已知32=x ，y =38log 4，则x+2y= .3.设p =3log 8，q =5log 3，则lg5= （用含p 、q 的式子表示） 课后作业：1、应用对数换底公式化简下列各式(1) 84log 27log 9； (2) log 225 log 34 log 59 ;2、 若0>a 且 1≠a ，x ，y ∈R 且xy ＞0则下列各式正确的是 ： ① x x a a log 2log 2= ； ②||log 2log 2x x a a =； ③y x xy a a a log log )(log +=； ④||log ||log )(log y x xy a a a +=3、已知lg2=a,lg3=b ，用a,b 表示代数式log 2716=4、已知 lgN=alnN ; lnN=b lgN, 则a= , b=5、已知514,7log 14==b a ，求28log 356、设3a =4b =36，求21a b +的值7、已知m a =8log ,n a =5log ,请求n m a 2+的值.课后反思：。
学生班级姓名小组号评价必修一 2.2.1对数与对数运算（一）【学习目标】1.深刻理解对数的定义，熟练进行对数的计算及指数式与对数式的互化，掌握对数的性质，培养积极合作探究的能力；2. 自主学习，积极讨论，踊跃展示，探究对数应用的规律和方法；【重点和难点】教学重点：对数的概念；教学难点：对数式与指数式的互化.【使用说明及学法指导】1. 先预习课本P 62~63，然后开始做导学案；2．对比学习过的指数函数及指数式，结合课本学习对数的概念；预习案一．知识梳理1.对数定义：如果x a N (0,1)a a ，那么数x 叫做，记作.式子名称a x N a x =Nlog a N=x2.常用对数：3.自然对数：4.log 1a ，log a a ，没有对数。
二．问题导学1.如何实现对数式与指数式的互化？2.常用对数和自然对数是如何定义的？3.真数为1的对数值是什么？当真数与底数相同时呢？三.预习自测1. 将下列指数式化成对数式，对数式化成指数式. （1）53243；（2）51232；（3）430a （4）1() 1.032m ；（5）12log 164；（6）2log 1287；2. 求下列各式的值.（1）5log 25= ；（2）21log 16；（3）lg 10000 ；3. 探究log ?n a a l o g ?a N a四.我的疑问：探究案一．合作探究探究1.下列指数式化为对数式，对数式化为指数式. （1）2100.01；（2）712128；（3）327a ；（4）12log 325；（5）lg0.001=3；（6）ln100=4.606. 变式：12log 32?lg0.001=？探究2.例2求下列各式中x 的值：（1）642log 3x ；（2）log 86x ；（3）lg 4x ；（4）3ln e x . 二．课堂训练与检测1.若2log 3x ，则x （）A. 4B. 6C. 8D. 92. (1)log (1)n n n n = （）.A. 1B. －1C. 2D. －23. 对数式2log (5)a a b 中，实数a 的取值范围是（）.A ．(,5)B ．(2,5)C ．(2,)D ．(2,3)(3,5)4. 计算：21log (322).5. 若log (21)1x ，则x=________，若2log 8y ，则y=___________.三.课堂小结。
《2.2.1对数与对数运算 （1）》导学案主编： 班次 姓名【学习目标】其中2、3是重点和难点1．理解对数的概念；能够说明对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的相互转化。
2．掌握对数式与指数式的相互转化。
3．对数概念的理解。
【课前导学】预习教材第62-63页，找出疑惑之处，完成新知学习。
1、定义：一般地，如果 (0,1)a a >≠，那么x 叫做 。
记作 ，其中a 叫做对数的 ，N 叫做 。
2、定义：我们通常将以10为底的对数叫做 ，并把常用对数 简记作 ；在科学技术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫 ，并把自然对数 简记作 。
3、指数与对数间的关系 （0,1a a >≠时， ⇔ ）。
4、 没有对数，log 1a = ， log a a = 。
【预习自测】首先完成教材上P64第1、2、3、4题，然后做自测题。
1、若2(01)y x x x =>≠且，则（ ）A.2log y x =B. 2log x y =C. log 2y x =D. log 2x y =2、若log 4a=，则a,b 之间的关系正确的是（ ）A.4a =64b a = C.43b a = D.a =3、1327x =的对数表达式为 ，x= 。
4、2log 16x =的指数表达式为 ，x= 。
5、计算21log 16= ， 2.5log 2.5= ，0.4log 1= 。
【课中导学】首先独立思考探究，然后合作交流展示。
探究一：思考1:若42＝M ，则M ＝？若22-＝N ，则N ＝？思考2:若2x ＝16，则x ＝？若2x ＝14,则x ＝？若4x ＝8，则x ＝？若2x ＝3，则x ＝？ 思考3:满足2x ＝3的x 的值，我们用2log 3表示，即2log 3x =，并叫做“以2为底3的对数”。
那么满足2x ＝16，2x ＝14，4x ＝8的x 的值可分别怎样表示？ 思考4:一般地，如果x a ＝N （a>0，且a ≠1），那么数x 叫做什么？怎样表示？思考5: 满足10,x xN e N ==（其中e=2.7182818459045…）的x 的值可分别怎样表示？这样的对数有什么特殊名称？探究二：思考1:当a>0，且a ≠1时，若x a ＝N ，则x ＝log a N ，反之成立吗？思考2:在指数式x a ＝N 和对数式x ＝log a N 中，a ，x ，N 各自的地位有什么不同？思考3:当a>0，且a ≠1时，log (2),log 0a a -存在吗？为什么？由此能得到什么结论？思考4:根据对数定义，log 1log a a a 和（a>0，a ≠1）的值分别是多少？思考5:若x a ＝N ，则x ＝log a N ，二者组合可得什么等式？例1、将下列指数式写成对数式：35125= ，712128-=，327a =，2100.01-=例2、将下列对数式写成指数式：12log 325=-，lg0.001=-3，ln100=4.606例3. 求下列各式中x 的值：642log 3x =； log 86x =-； lg 4x =； 3ln e x =【自我评价】你完成本节导学案的情况为（ ）A.很好B.较好C.一般D.较差【基础检测】当堂达标练习，（时量：5分钟 满分：10分）计分：1、计算2log = 。
课题：2.2.1对数与对数运算（3）一、三维目标：知识与技能:（1）在对数运算性质的基础上,利用指数式与对数式之间的关系探索发现换底公式；（2）能够利用换底公式进行对数的化简和运算。
过程与方法：（1）先从特殊的常用对数和自然对数入手,利用计算器进行对数的运算,从中发现对于底数不是10或e 为底的对数需要寻求办法把对数进行转换为常用对数或自然对数；（2）学会把未知的问题转化为已知的问题去思考解决。
情感态度与价值观：了解对数的运算过程中出现的问题,体会数学运算的处理。
二、学习重、难点：重点：对数的换底公式、利用对数的运算性质和换底公式进行化简计算。
难点：对数的换底公式。
三、学法指导：观察、思考、探究。
四、知识链接：B 如何求解206.1=x 中的x ?分析：206.1=x ⇒ 2log 06.1=x ；206.1=x ⇒ 2log 06.1log 1010=x ⇒ 2log 06.1log 1010=⋅x ⇒06.1log 2log 1010=x ； ∴06.1log 2log 2log 101006.1=猜测：bN N a a b log log log = （0a >且1a ≠，0>b 且1≠b ，0>N ） 五、学习过程： B 问题1、模仿上面证明过程证明换底公式b N N a a b log log log =.特例：a N =时，bb a a a a a b log 1log log log ==； αβa a βlog b =log b α；a logb a =b B 例1、计算下列各式的值：① log log ∙49332； ② 1681log 27log 32；③ 3log 13log 15.132+； ④ 10log 5lg 10log 2lg 550+；⑤37log 4log 37+； ⑥95log 4log 235+.C 例2、已知3log 2a =，b =7log 3，试用a 、b 表示4log 7.C 例3、已知方程x 2＋x log 26＋log 23＝0的两根为α和β，求(14)α·(14)β的值。
第1课时对数函数的概念、图象及性质学习目标知识梳理1．对数函数的概念一般地，函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．2．对数函数的图象及性质(0，＋∞)3．反函数指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)和对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数．两者的定义域和值域正好互换．名师导学知识点1 对数函数的概念【例】(1)已知对数函数f(x)＝(m2－3m＋3)·log m x，则m＝________．(2)已知对数函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫4，12. ①求f (x )的解析式； ②解方程f (x )＝2.【解】 (1)由对数函数的定义可得m 2－3m ＋3＝1，即m 2－3m ＋2＝0，也就是(m －1)(m －2)＝0，解得m ＝1或m ＝2. 又因为m >0，且m ≠1，所以m ＝2.(2)①由题意设f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，由函数图象过点⎝⎛⎭⎫4，12可得f (4)＝12， 即log a 4＝12，所以4＝a 12，解得a ＝16， 故f (x )＝log 16x .②方程f (x )＝2，即log 16x ＝2， 所以x ＝162＝256.反思感悟判断一个函数是对数函数的方法变式训练1．若函数f (x )＝log (a ＋1)x ＋(a 2－2a －8)是对数函数，则a ＝________． 解析：由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －8＝0，a ＋1>0，a ＋1≠1，解得a ＝4.答案：42．点A (8，－3)和B (n ，2)在同一个对数函数图象上，则n ＝________． 解析：设对数函数为f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)． 则由题意可得f (8)＝－3，即log a 8＝－3， 所以a －3＝8，即a ＝8－13＝12.所以f (x )＝log 12x ，故由B (n ，2)在函数图象上可得f (n )＝log 12n ＝2，所以n ＝⎝⎛⎭⎫122＝14. 答案：14知识点2 与对数函数有关的定义域问题 【例】求下列函数的定义域． (1)y ＝log a (3－x )＋log a (3＋x )； (2)y ＝log 2(16－4x )； (3)y ＝log 1－x 5.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧3－x >0，3＋x >0，得－3<x <3，∴函数的定义域是(－3,3)． (2)由16－4x >0，得4x <16＝42， 由指数函数的单调性得x <2，∴函数y ＝log 2(16－4x )的定义域为(－∞，2)．(3)依题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，1－x ≠1，得x <1且x ≠0，∴定义域为(－∞，0)∪(0,1)．反思感悟求含对数式的函数定义域关键是真数大于0，底数大于0且不为1.如需对函数式变形，需注意真数、底数的取值范围是否改变． 变式训练求下列函数的定义域： (1)y ＝lg(x ＋1)＋3x 21－x ；(2)y ＝log x －2(5－x )．解：(1)要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x <1，所以－1<x <1.所以该函数的定义域为(－1，1)．(2)要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧5－x >0，x －2>0，x －2≠1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x <5，x >2，x ≠3，所以2<x <5，且x ≠3.所以该函数的定义域为(2，3)∪(3，5)．知识点3 对数型函数的图象【例1】已知a ＞0，且a ≠1，则函数y ＝x ＋a 与y ＝log a x 的图象只可能是( )【解析】 当a ＞1时，函数y ＝log a x 为增函数，且直线y ＝x ＋a 与y 轴的交点的纵坐标大于1；当0＜a ＜1时，函数y ＝log a x 为减函数，且直线y ＝x ＋a 与y 轴的交点的纵坐标在0到1之间，只有C 符合，故选C.【答案】 C【例2】画出下列函数的图象，并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调性： (1)y ＝log 3(x －2)； (2)y ＝|lo |21x g .【解】 (1)函数y ＝log 3(x －2)的图象如图①.其定义域为(2，＋∞)，值域为R ，在区间(2，＋∞)上是增函数．(2)y ＝|lo |21x g ＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，0<x ≤1，log 2x ，x >1，其图象如图②.其定义域为(0，＋∞)，值域为[0，＋∞)，在(0，1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．【例3】如图，若C 1，C 2分别为函数y ＝log a x 和y ＝log b x 的图象，则( )A ．0＜a ＜b ＜1B ．0＜b ＜a ＜1C ．a ＞b ＞1D ．b ＞a ＞1【解析】 作直线y ＝1，则直线与C 1，C 2的交点的横坐标分别为a ，b ，易知0＜b ＜a ＜1.【答案】 B反思感悟有关对数型函数图象问题的应用技巧(1)求函数y ＝m ＋log a f (x )(a ＞0，且a ≠1)的图象过定点时，只需令f (x )＝1求出x ，即得定点为(x ，m )．(2)给出函数解析式判断函数的图象，应首先考虑函数对应的基本初等函数是哪一种；其次找出函数图象的特殊点，判断函数的基本性质、定义域、单调性以及奇偶性等；最后综合上述几个方面将图象选出，解决此类题目常采用排除法．(3)根据对数函数图象判断底数大小的方法：作直线y ＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小． 变式训练1．在同一坐标系中，函数y ＝2－x 与y ＝log 2x 的图象是( )解析：选A.函数y ＝2－x＝⎝⎛⎭⎫12x过定点(0，1)，单调递减，函数y ＝log 2x 过定点(1，0)，单调递增，故选A.2．已知函数y ＝log a (x ＋b )(a ＞0且a ≠1)的图象如图所示．(1)求实数a 与b 的值；(2)函数y ＝log a (x ＋b )与y ＝log a x 的图象有何关系？解：(1)由图象可知，函数的图象过点(－3，0)与点(0，2)，所以可得0＝log a (－3＋b )与2＝log a b ，解得a ＝2，b ＝4.(2)函数y ＝log a (x ＋4)的图象可以由y ＝log a x 的图象向左平移4个单位得到．当堂测评1．已知函数f (x )＝log a (x －1)＋4(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点Q ，则Q 点坐标是( ) A ．(0，5) B ．(1，4) C ．(2，4) D ．(2，5)解析：选C.令x －1＝1，即x ＝2.则f (x )＝4.即函数图象恒过定点Q (2，4)．故选C. 2．函数y ＝log 2|x |的图象大致是( )解析：选A.函数y ＝log 2|x |是偶函数，且在(0，＋∞)上为增函数，结合图象可知A 正确． 3．点(2，4)在函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)的反函数的图象上，则f ⎝⎛⎭⎫12＝________． 解析：因为点(2，4)在函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)的反函数的图象上，所以点(4，2)在函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)的图象上，因此log a 4＝2，即4＝a 2，又a >0，所以a ＝2，所以f (x )＝log 2x ，故f ⎝⎛⎭⎫12＝log 212＝－1. 答案：－14．若函数y ＝log a (x ＋a )(a >0且a ≠1)的图象过点(－1，0)． (1)求a 的值； (2)求函数的定义域．解：(1)将点(－1，0)代入y ＝log a (x ＋a )(a >0且a ≠1)中，有0＝log a (－1＋a )，则－1＋a ＝1，所以a ＝2.(2)由(1)知y ＝log 2(x ＋2)，由x ＋2>0，解得x >－2，所以函数的定义域为{x |x >－2}．。
第二章 基本初等函数§2.2.1对数与对数运算一、【学习目标】1. 理解对数的概念，掌握指数式与对数式的互化；2. 熟练运用对数的运算性质，掌握化简,求值的技巧。
【重点、难点】对数的概念和指数式与对数式的互化，对数运算性质的应用；对数概念的理解，对数运算化简、求值技巧。
二、学习过程【情景创设】1. 通过与指数式的比较，引出对数定义与性质；2. 结合幂的运算性质，推导出对数的运算性质。
【导入新课】1. 对数的概念一般地，若 ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
2. 指数式与对数式的互化 log x a a N N x =⇔=3. 两种特殊的对数（1） 对数10log lg N N 记为（2） 对数e log ln N N 记为(e=2.71828…)4. 结论（1） 没有对数（2）1的对数为 ，同底的对数为 ，即log 10,log 1.a a a ==5. 对数的运算性质（1）log log log a a a M N MN += （0M > ， 0N > ， 0a >且1a ≠）（2）log log log a a a M M N N-= （0M > ， 0N > ， 0a >且1a ≠） （3）log log n a a n M M = （0M >， 0N > ， 0a >且1a ≠ ， n N +∈）三、典例分析例1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1）54=625 (2)61264-= (3)1() 5.733m =(4) 3log 92= (5)5log 1253= (6) 12log 164=-例2 用log a x ，log a y ，log a z 表示下列各式。
（1）log a xy z （2）log a例3 求下列各式的值。
（1）752log (42)⨯ （2）【变式拓展】1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：2(1)416= 21(2)39-= 1(3)()53m =255(4)log 2= 412(5)log 2=- 11000(6)log 3=-2．计算下列各式的值（1）23log (279)⨯ （2）7log （3）7lg142lg lg 7lg183---（4）lg 243lg9 （5四、总结反思1. 理解对数的概念，掌握指数式与对数式的互。
2.2.1对数与对数运算第1课时对数[学习目标] 1.理解对数的概念，掌握对数的基本性质.2.掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程.知识点一对数的概念一般地，如果a x＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.知识点二常用对数和自然对数(1)常用对数：通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lg N.(2)自然对数：在科学技术中常使用以无理数e＝2.718 28…为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把log e N记为ln N.知识点三对数与指数的关系当a＞0，且a≠1时，a x＝N⇔x＝log a N.知识点四对数的基本性质(1)负数和零没有对数.(2)log a1＝0(a＞0，且a≠1).(3)log a a＝1(a＞0，且a≠1).思考(1)lg 10，lg 100，lg 0.01，ln 1，ln e分别等于多少？(2)为什么对数式x＝log a N中规定底数a>0且a≠1?(3)为什么负数和零没有对数？答(1)lg 10＝1，lg 100＝2，lg 0.01＝－2，ln 1＝0，ln e＝1.(2)由于对数式x＝log a N中的a来自于指数式a x＝N中的a，所以当规定了a x＝N中的a>0，且a≠1时，对数式x＝log a N中的a也受到相同的限制.(3)由于a x ＝N >0，所以x ＝log a N 中的N >0，或者说负数和零没有对数.题型一 指数式与对数式的互化例1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.(1)54＝625；(2)log 216＝4；(3)10－2＝0.01； (4)5log 125＝6.解 (1)由54＝625，得log 5625＝4.(2)由log 216＝4，得24＝16.(3)由10－2＝0.01，得lg 0.01＝－2.(4)由5log 125＝6，得(5)6＝125.反思与感悟 1.对数式与指数式关系图：对数式log a N ＝b 是由指数式a b ＝N 变换而来的，两式底数相同，对数式中的真数N 就是指数式中的幂的值N ，而对数值b 是指数式中的幂指数.2.并非所有指数式都可以直接化为对数式.如(－3)2＝9就不能直接写成log (－3)9＝2，只有a ＞0且a ≠1，N ＞0时，才有a x ＝N ⇔x ＝log a N .跟踪训练1 下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )A.e 0＝1与ln 1＝0B.831＝2与log 82＝13C.log 24＝2与421＝2D.log 33＝1与31＝3答案 C解析 由指对互化的关系：a x ＝N ⇔x ＝log a N 可知A 、B 、D 都正确；C 中log 24＝2⇔22＝4. 题型二 利用对数基本性质求值例2 求下列各式的值：(1)log 33；(2)log 51；(3)3log 213；(4)log 2164；(5)lg 1＋lg 10＋10lg 5；(6)ln e ＋ln 1＋e ln 3.解 (1)log 33＝1.(2)log 51＝0.(3)3log 213＝21. (4)log 2164＝log 21(12)－6＝－6. (5)lg 1＋lg 10＋10lg 5＝0＋1＋5＝6.(6)ln e ＋ln 1＋e ln 3＝1＋0＋3＝4.反思与感悟 1.常见的公式log a 1＝0，log a a ＝1，log a N a ＝N (a >0且a ≠1).2.求log a N 的值，只需将N 写成a b 的形式再利用公式log a a b ＝b 去解.跟踪训练2 求值：(1)31log 429；(2)51log 25+. 解 (1)31log 429＝(32)31log 42＝3log 43＝4. (2)51log 25+＝5·5log 25＝5×2＝10.题型三 利用对数基本性质解方程例3 求下列各式中的x 的值.(1)log 8x ＝－23；(2)log x 27＝34； (3)log 2(log 5x )＝0；(4)log 3(lg x )＝1.解 (1)由log 8x ＝－23得x ＝823-＝(23)23-＝2－2， 故x ＝14. (2)由log x 27＝34得x 34＝27，即x 34＝33， 故x ＝(33)34＝34＝81.(3)由log 2(log 5x )＝0得log 5x ＝20＝1，故x ＝51＝5.(4)由log 3(lg x )＝1得lg x ＝3，故x ＝103＝1 000.反思与感悟 应熟练进行指数与对数间的相互转化，在解题过程中，看到对数就应想到它的指数形式，看到指数就应想到它的对数形式.(1)对数运算时的常用性质：log a a ＝1，log a 1＝0.(2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质.跟踪训练3 利用指数式、对数式的互化求下列各式中的x 值.(1)log 2x ＝－12；(2)log x 25＝2；(3)log 5x 2＝2.解 (1)由log 2x ＝－12，得221＝x ，∴x ＝22. (2)由log x 25＝2，得x 2＝25.∵x ＞0，且x ≠1，∴x ＝5.(3)由log 5x 2＝2，得x 2＝52，∴x ＝±5.∵52＝25＞0，(－5)2＝25＞0，∴x ＝5或x ＝－5.忽视对数的真数大于0致误例4 方程lg(－2x －1)＝lg(x 2－9)的根为( )A.2或－4B.－4C.2D.－2或4错解 由已知得－2x －1＝x 2－9，即x 2＋2x －8＝0，解得x ＝－4或x ＝2.故选A.正解 前同错解得x ＝－4或x ＝2.经检验，x ＝2时，－2x －1<0，x 2－9<0，与对数的真数大于0矛盾，故x ＝2舍去.所以原方程的根为x ＝－4，故选B.纠错心得 在求解对数有关问题时一定要注意对数式有意义的条件：真数大于0，底数大于0且不等于1.跟踪训练4 解方程log 3(x －1)＝log 3x ＋5.解 由题意得x －1＝x ＋5，∴(x －1)2＝x ＋5，即x 2－3x －4＝0.解得x ＝－1或x ＝4.经检验，x ＝－1不合题意，故舍去；x ＝4是原方程的解.∴原方程的解是x ＝4.1.2x ＝3化为对数式是( )A.x ＝log 32B.x ＝log 23C.2＝log 3xD.2＝log x 3 答案 B解析 ∵2x ＝3，∴x ＝log 23.2.若log 3x ＝3，则x 等于( )A.1B.3C.9D.27答案 D解析 ∵log 3x ＝3，∴x ＝33＝27.3.化简：0.7log 80.7等于( ) A.2 2 B.8 C.18 D.2 答案 B4.已知log 2x ＝2，则x21-＝________. 答案 12解析 ∵log 2x ＝2，∴x ＝4，∴x 21-＝421-＝1214＝12. 5.若lg(ln x)＝0，则x ＝________.答案 e解析 ∵ln x ＝1，∴x ＝e.1.对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a b ＝N ⇔log a N ＝b (a ＞0，且a ≠1，N ＞0)，据此可得两个常用恒等式：(1)log a a b ＝b ；(2)log a N a ＝N .2.在关系式a x ＝N 中，已知a 和x 求N 的运算称为求幂运算，而如果已知a 和N 求x 的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算.3.指数式与对数式的互化一、选择题1.2－3＝18化为对数式为( )A.log 812＝－3B.log 81(－3)＝2 C.log 218＝－3 D.log 2(－3)＝18答案 C解析 根据对数的定义知选C. 2.有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝10；④若e ＝ln x ，则x ＝e 2.其中正确的是( )A.①③B.②④C.①②D.③④答案 C解析 lg(lg 10)＝lg 1＝0，ln(ln e)＝ln 1＝0，故①②正确；若10＝lg x ，则x ＝1010，故③错误；若e ＝ln x ，则x ＝e e ，故④错误.3.若log 3(log 2x )＝1，则x 21-等于( )A.13B.123C.122D.133答案 C解析 ∵log 3(log 2x )＝1，∴log 2x ＝3，∴x ＝23＝8，则x 21-＝18＝122. 4.方程3log 2x ＝14的解是( ) A.x ＝19 B.x ＝33 C.x ＝ 3 D.x ＝9 答案 A解析 ∵2log 3x ＝14＝2－2，∴log 3x ＝－2，∴x ＝3－2＝19. 5.已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m＋n 等于( )A.5B.7C.10D.12答案 D解析 ∵a m ＝2，a n ＝3，∴a 2m ＋n ＝a 2m ·a n ＝(a m )2·a n ＝12.6.若log x 7y ＝z ，则( )A.y 7＝x zB.y ＝x 7zC.y ＝7x zD.y ＝z 7x答案 B 解析 由log x 7y ＝z ，得x z ＝7y ，∴(7y )7＝(x z )7，则y ＝x 7z .二、填空题7.ln 1＋1)log 1)＝________. 答案 1解析 ln 1＋1)log 1)＝0＋1＝1.8.方程9x －6·3x －7＝0的解是________. 答案 x ＝log 37解析 设3x ＝t (t ＞0)，则原方程可化为t 2－6t －7＝0，解得t ＝7或t ＝－1(舍去)，∴t ＝7，即3x ＝7.∴x ＝log 37.9.若log (1－x )(1＋x )2＝1，则x ＝________. 答案 －3解析 由题意知1－x ＝(1＋x )2，解得x ＝0，或x ＝－3.验证知，当x ＝0时，log (1－x )(1＋x )2无意义， 当x ＝0时不合题意，应舍去.所以x ＝－3.10.若a ＝lg 2，b ＝lg 3，则2100b a -的值为________. 答案 43解析 ∵a ＝lg 2，∴10a ＝2.∵b ＝lg 3，∴10b ＝3. ∴2100ba -＝(10a )210b ＝43. 三、解答题11.求下列各式中的x 的值.(1)log x 27＝32； (2)log 2x ＝－23； (3)log x (3＋22)＝－2；(4)log 5(log 2x )＝0；(5)x ＝log 2719. 解 (1)由log x 27＝32，得x 32＝27，∴x ＝2723＝32＝9. (2)由log 2x ＝－23，得223-＝x ， ∴x ＝1322＝322. (3)由log x (3＋22)＝－2，得3＋22＝x －2，即x ＝(3＋22)21-＝2－1.(4)由log 5(log 2x )＝0，得log 2x ＝1.∴x ＝21＝2.(5)由x ＝log 2719，得27x ＝19，即33x ＝3－2， ∴x ＝－23. 12.(1)若f (10x )＝x ，求f (3)的值；(2)计算233log 335log 92＋＋－.解 (1)令t ＝10x ，则x ＝lg t ，∴f (t )＝lg t ，即f (x )＝lg x ，∴f (3)＝lg 3.(2)233log 335log 92＋＋－＝23·2log 32＋35log 933＝23×3＋359＝24＋27＝51. 13.已知log 2(log 21(log 2x ))＝log 3(log 31(log 3y ))＝log 5(log 51(log 5z ))＝0，试比较x ，y ，z 的大小.解 由log 2(log 21(log 2x ))＝0得，log 21(log 2x )＝1，log 2x ＝12，即x ＝221； 由log 3(log 31(log 3y ))＝0得，log 31(log 3y )＝1，log 3y ＝13，即y ＝331；由log 5(log 51(log 5z ))＝0得， log 51(log 5z )＝1，log 5z ＝15，即z ＝551. ∵y ＝331＝362＝961，x ＝221＝263＝861，∴y >x ， 又∵x ＝221＝2105＝32101，z ＝551＝5102＝25101， ∴x >z ，故y >x >z .。
