华师大版-数学-七年级上册-学案：垂线--垂线的定义与性质

《垂线》教学设计学习目标：1、理解垂线的概念，会用三角尺、量角器过一点画一条直线的垂线；2、理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离。

学习重难点：1、垂线的定义是针对直线给出的，但可推广到射线、线段，画一条线段或线的垂线时，就是画它所在的直线的垂线；2、我们应注意：“垂线”是相对于直线来讲的，“垂足”是两条垂线的交点，他们是特殊位置关系下直线、点的名称；“垂直”是描述两条直线的特殊位置关系的文字表达，“⊥”则是其“符号”表达，“90°”又是这种特殊位置关系的“数量刻画”，他们在图形上有特殊标记“┓”；3、“点到垂足的线段”和“点到直线的距离”是两个很重要但又易混淆的概念。

前者用来描述图形，而后者强调的是数量，是指直线外一点到垂足的线段的长度。

因此，诸如“画点A到直线l 的距离”等说法是错误的。

学习过程：一、复习引入：上节棵学习了两直线相交所成的四个角中的对顶角，今天进一步研究两直线相交的情况，观察下图，当直线CD 绕O 点旋转可得：图（1）（3）中夹角1是锐角或钝角（不是直角）图（2）中夹角∠1是直角时，可以证明∠2、∠3、∠4也是直角．1、垂直定义：定义1、当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条是另一条的垂线，它们的交点叫垂足。

2、表示法：直线AB 与CD 互相垂直，可写成“AB ⊥CD ”或“CD ⊥AB ”，但不能写成“直线AB 、CD 互相⊥”用符号语言进行判断推理：a 、∵∠BOC ＝90°， ∴AB ⊥CDb 、∵AB ⊥CD ，∴∠BOC ＝900或∠BOD ＝∠DOC ＝∠AOC ＝900A B C D 1 2 3 O 4 (2) A BC D1 (1) OOA B C D 1 (3)说明：（1）两直线互相垂直，不一定像日常生活中的水平线与铅垂线那样．事实上，不管两直线的位置如何，只要它们有一个夹角是900，它们就互相垂直了．（2）垂线是指两条直线的位置关系，而不能说“AB 是垂线”． 3、垂线的画法（用①落、②靠、③画垂线的作图方法）（1）过一点画直线l 的垂线．（2）过P 点作直线a 、b 的垂线．（3）过A 、B 、C 三点分别作△ABC 对边的垂线．4、垂线的性质：在同一平面内，经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直．A B C CA B ． l P． l ．lP ．P a b5、点到直线的距离平面外一点到直线的距离是指经过这点与直线垂直的垂线段的长度。

垂线-华东师大版七年级数学上册教案
一、教学目标
1.理解垂线的意义和特点，掌握垂线的作图方法；
2.能够确定垂线、垂心；
3.能够应用垂线定理和垂心定理解决与垂线相关的数学问题。

二、教学内容
本节课的教学内容是垂线定理和垂心定理，其中包括：
1.垂线的定义及相关概念；
2.垂线的作图方法；
3.垂线定理的定义和推导；
4.垂心定理的定义和推导；
5.垂线定理和垂心定理的应用。

三、教学重难点
教学重点
1.理解垂线的意义和特点，掌握垂线的作图方法；
2.能够确定垂线、垂心；
3.能够应用垂线定理和垂心定理解决与垂线相关的数学问题。

教学难点
1.垂线定理和垂心定理的推导；
2.确定垂心的方法。

四、教学过程
1. 课前预习
1.了解垂线、垂心的定义及相关概念；
2.预习垂线定理和垂心定理的相关内容。

2. 导入新知
1.引入垂线的概念和定义；
2.通过例题介绍垂线的作图方法。

3. 理论讲解
1.讲解垂线定理的定义和推导；
2.讲解垂心定理的定义和推导。

4. 案例讲解
1.通过案例引出垂心及垂心的确定方法；
2.通过案例演示垂线定理和垂心定理的应用。

5. 课后练习
1.根据题目需要，利用垂线定理和垂心定理解决相关数学问题；
2.完成练习题，深入理解和掌握课堂内容。

五、教学方式
1.讲授和演示相结合；
2.个别辅导和小组讨论。

六、课堂反馈
1.点名、提问；
2.讨论、互评。

华东师大版初一数学上册《2本节课内容是在学生学习了直线及角的明白的基础上传授的，垂直是联合平面内两条直线相交的特殊的位置干系，在生活中有着普遍的应用。

传授时让学生感知生活中的垂直现象，初步明白垂线和点到线的隔断。

而且议决一系列的数学活动使学生的空间想象能力得到进一步的成长。

【知识与能力目标】明白生活中的垂直现象，理解垂直定义，并能用标记表示.掌握垂线的性质，会过一点作已知直线的垂线。

【历程与要领目标】履历垂线画法，垂线的性质以及点到直线的隔断的探索历程，尝试从不同角度寻求垂线的画法，用不同要领得到垂线的性质。

【情绪态度代价观目标】议决与生活相关联，让学生对数学产生兴趣，明白到数学的实用代价。

【传授重点】垂线、垂线段、点到直线的隔断的概念。

【传授难点】垂线的性质和点到直线的隔断。

西席准备：多媒体，课件，三角板。

学生准备：三角板，练习本。

设计意图:议决设置标题，引发学生的思考，激发学生的学习兴趣，在回忆旧知识的同时，自然切入本节课所要学习的内容。

标题1：取两根木条a、b，将它们钉在一起，稳定木条a，转动木条b。

（1）当a与b所成锐角α为35º时，别的的角分别为几多？（2）当a与b所成角α为90 º时，别的角的分别为几多？（3）在木条b的转动历程中，什么量也随之产生改变？（4）木条b与a成90º的位置有几个？此时，木条b与a所在的直线有什么位置干系？二、自主预习设计意图:议决让学生动手操纵，加深对垂线的理解，明确垂线的不同画法，锻炼了学生的实际操纵能力，开辟了他们的思维，积累了他们的数学活动阅历。

1.请学生作出两条互相垂直的直线西席勉励学生用不同的要领画垂线，学生发觉用三角尺、量角器都可以来画互相垂直的直线，然后让两位学生各自采取一种作图工具在黑板上演示作图历程。

2.垂直概念：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，叫做这两条直线互相垂直。

两条直线互相垂直，此中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

《垂线》教案教学目标理解垂线、垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线.掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离.掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理. 教学重点与难点1．教学重点：垂线的定义及性质.2．教学难点：垂线的画法.教学过程设计一.复习提问：1、对顶角的定义.2、对顶角有怎样的性质.二．依标自学：前面我们复习了两条相交直线所成的角，如果两条直线相交成特殊角直角时，这两条直线有怎样特殊的位置关系呢？日常生活中有没有这方面的实例呢？下面我们就来研究这个问题.(一)垂线的定义.(学生总结叙述)当两条直线相交的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线是互相垂直的，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图，直线AB 、CD 互相垂直，记作CD AB ⊥，垂足为O.A B CD O请同学举出日常生活中，两条直线互相垂直的实例. 注意：1、 如遇到线段与线段、线段与射线、射线与射线、线段或射线与直线垂直，特指它们所在的直线互相垂直.2、掌握如下的推理过程：(如上图).(90(垂直定义）已知），︒=∠=∠=∠=∠∴⊥AOD BOD COB AOC CD AB反之，90((AOC AB CD ∠=︒∴⊥已知），垂直定义）.(二)垂线的画法.探究：1、用三角尺或量角器画已知直线l 的垂线，这样的垂线能画出几条？2、经过直线l 上一点A 画l 的垂线，这样的垂线能画出几条？3、经过直线l 外一点B 画l 的垂线，这样的垂线能画出几条？画法：让三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使其另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线.注意：如过一点画射线或线段的垂线，是指画它们所在直线的垂线，垂足有时在延长线上.(三)垂线的性质.经过一点(已知直线上或直线外)，能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线，即：性质1过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.探究：如图，连接直线l外一点P与直线l上各点O，A，B，C，……，其中lPO (我们称PO为点P到直线l的垂线段).比较线段PO、PA、PB、PC……的长短，这些线段中，哪一条最短？性质2连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短.(四)点到直线的距离.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.PA B CO如上图，PO的长度叫做点P到直线l的距离. 三．展示提升.BCBAC⊥︒=∠AD垂足为则下列结论：90D如图，,,,(1)AB与AC互相垂直；(2)AD与AC互相垂直；(3)点C到AB的垂线段是线段AB；(4)点A到BC的距离是线段AD；(5)线段AB的长度是点B到AC的距离；(6)线段AB是点B到AC的距离.其中正确的有( ).A.1个B.2个C.3个D.4个2．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，,65OE CD OF AB DOF BOE AOC ⊥⊥∠=︒∠∠，，求和的度数.OFE D CB A四．反馈提高.1.ABC BAC ∆∠如图，已知中，为钝角.CBA的距离是多少？到）点（的垂线；点画）过（的垂线段；到）画出点（AC B BC A AB C 321小结：要掌握好垂线、垂线段、点到直线的距离这几个概念； 要清楚垂线是相交线的特殊情况，与上节知识联系好，并能正确利用工具画出标准图形；垂线的性质为今后知识的学习奠定了基础，应该熟练掌握.。

垂线课型：新授课一、学习目标确定的依据1、课程标准（1）理解垂线、垂线段等概念，能用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线。

（2）理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离。

（3）掌握基本事实：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

2、教材分析本节课是初中数学华师大版七年级下册第5章相交线与平行线的第一部分的第二课时，垂线是平面几何所要研究的基本内容之一。

垂线的概念、画法和性质是重要的基础知识，是进一步学习平面直角坐标系、三角形的高、切线的性质和判定、以及空间里的垂直关系等知识的基础，与其他数学知识一样，它在现实生活中有着广泛的应用。

垂线的概念和性质，蕴含着“从一般到特殊”的认识规律，是培养学生思维能力的重要内容之一。

3、中招考点中招考试必考知识点4、学情分析学生已经掌握了直线、角的基础知识，并且学生在日常生活中也能看到一些垂直的现象，学生具备一些简单的分类思想，能够从实际的操作活动中进行分析、思考，这也为学生进行自主探究学习提供了可能。

二、学习目标1、知道垂线的概念，会过一点画一条直线的垂线，并会应用解决问题。

2、知道垂线段和点到直线的距离的概念，并会应用解决问题。

三、评价任务1、向同桌说出垂线的概念，在练习本上用三角尺过一点画已知直线的垂2、能将实际问题转化成点到线的距离的数学模型进而解决问题。

四、教学过程直线垂直D 、垂线段最短5．如图， ∠ABD=90°，则（1）直线 ⊥直线 ，垂足为 。

（2）过点D 有且只有 条直线与已知直线垂直。

6.已知直线AB 及一点P ，试过点P 作直线AB 的垂线。

P ·A BA ·P B7.如图所示，已知点P 和AOB ∠，过点P 分别画出AOB ∠的两边的垂线. 自学指导二自学内容：课本P164页的内容. 自学时间：3分钟有80%的学生能正确能准确的作出点到直线的垂线要点归纳1.用三角板或量角器过一点画一条直线的垂线的步骤：一放，二推，三画.2.一条直线有无数条垂线，但过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.3.点到直线的距离是指垂线段的长度而非垂线段图三ONMLA B O学习目标二知道垂线段和点到直线的距离的概念，并会应用解决问题。

学习目标知识目标：理解垂线的概念，掌握垂线的性质，会过一点作已知直线的垂线，并能运用垂线的概念及性质解决一些实际问题。

能力目标：通过动手、操作、推断、交流等活动，进一步发展空间观念，培养识图能力，推理能力和有条理的表达能力。

情感目标：合作交流，体验成功。

重点与难点重点：垂线、垂线段，点到直线的距离的概念。

难点：垂线的性质和点到直线的距离。

地位及作用：垂直是平面内的两条直线相交的一种特殊的位置关系，是空间与图形所要研究的基本问题，它在人们日常生活有着广泛有应用，也是后面进一步学习的重要基础。

学习用具：1、三角板，直尺等作图工具。

2、取两根直木条重叠，并在中间用钉钉上。

《 垂 线 》导学案导学过程设计：一、创设情景，引入新课 如右图，在点A 处有一只青蛙，要准备快速地跳到小河边BC ，你能帮它确定一条线路吗？二、分组讨论，探究新知1、转一转，理解掌握垂直的定义。

两条直线相交，所成四个角中有一个角是_____角时，我们称这两条直线__________其中一条直线是另一条的_____，他们的交点叫做_____。

如图AB 、 CD ，互相垂直，记作 。

2、画一画，探究垂线的性质。

如何过一点A作已知直线l的垂线？这样的直线你能作出多少条？画一画，想一想，由此你得出什么结论？3、量一量，探究垂线段的长。

已知直线l，过已知点P作直线l的垂线，垂足为O，线段PO叫做点A到直线l的＿＿＿,度量它的长度为＿＿＿，连结PA1、PA2、PA3、PA4、PA5并度量其长度，你发现什么结论：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

4、试一试，解决情景问题。

三、反思小结，内化新知1、你会过一点做已知直线的垂线吗？会表示吗？能画几条呢？2、垂线和垂线段所表示的意义相同吗？（从端点、长度等比较）3、举出你在生活当中见到要使用“点到直线距离”的例子。

学法指导想一想，画一画，由一般到特殊注意书写格式画一画，想一想量一量，想一想展示交流，畅所欲言四、尝试练习，自主评价1、基础知识扫描1）如图所示，直线AB 与直线CD 的位置关系是_______，记作_______，此时,•∠AOD=∠_______=∠_______ = ∠_______= 度。

课 题：5.2 垂 线＆.教学目标：1、了解垂线、垂线段等概念，理解垂线的性质，体会点到直线的距离的含义。

2、知道过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线。

＆.教学重点、难点：重点：垂线、垂线段、点到直线的距离等概念，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线。

难点：画钝角三角形的高线，垂线段与点到直线的距离的区别。

＆.教学过程： 一、教学引入1、直线公理是什么？两点确定几条直线？答案：经过两点有且只有一条直线；两点确定一条直线2、两条直线相交，只有一个交点.如图，说法：（1）直线AB 、CD 相交，交点为O ；（2）直线AB 、CD 相交于点O .二、探究新知§.探究垂线的定义：问题：如上图：让水平直线AB 不动，直线CD 绕着点O 逆时针方向旋转，在这个过程中，α∠如何变化？会出现特殊情况吗？这时这四个角大小关系如何？结论：α∠：锐角→直角→钝角。

教学方法：教师通过PPT 动画演示，启发学生观察得出结果 ＆.垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，那么这两条直线互相垂直.其中一条是另一条的垂线。

注意：（1）两条直线垂直是两条直线相交的一种特殊形式。

（2）垂直的符号“⊥”，如CD AB ⊥，垂足为O 。

（3）垂直的实质：两直线相交，知夹角为直角得垂直；知垂直得夹角为直角。

用简捷的文字语言叙述为： ∵︒=∠90AOC （已知） ∴CD AB ⊥（垂直的定义） 反之∵CD AB ⊥（已知） ∴︒=∠90AOC§.过一点画一条直线的垂线：（1）过直线外一点作已知直线的垂线。

已知：如图，P 为直线AB 外的一点，请你画出经过点P 且垂直于AB 的直线，这样的垂线有几条？借助工具：直角三角形或量角器.ABC O Dα A O BCD过直线外点P作直线AB的垂线过直线上一点P作直线AB的垂线A PAPA BP方法：靠线→找点。

（引导学生作图）（2）过直线上一点作已知直线的垂线。

课堂教学设计表教学媒体（资源）选择知识点编号学习目标媒体类型媒体内容要点教学作用使用方式所得结论占用时间媒体来源5-1-1 理解文本问题情景、新知概念。

C F垂线的概念。

5min自制5-1-2 掌握文本过一点作已知直线的垂线G E定点到直线的距离5min自制5-1-3 掌握文本过P点可以作几条直线与直线L垂直？请同学们动手画一画。

E E垂线的性质10min自制5-1-4 运用文本1．如图，过A点作BC的垂线；2．如图，过A点作BC的垂线；3．如图，过P点分别作AB、BC、CD、DA的垂线；H E过点作已知线段的垂线有时需要先延长线段，再作垂线。

15min自制①媒体在教学中的作用分为：A.提供事实，建立经验；B.创设情境，引发动机；C.举例验证，建立概念；D.提供示范，正确操作；E.呈现过程，形成表象；F.演绎原理，启发思维；G.设难置疑，引起思辨；H.展示事例，开阔视野；I.欣赏审美，陶冶情操；J.归纳总结，复习巩固；K.自定义。

②媒体的使用方式包括：A.设疑—播放—讲解；B.设疑—播放—讨论；C.讲解—播放—概括；D.讲解—播放—举例；E.播放—提问—讲解；F.播放—讨论—总结；G.边播放、边讲解；H. 边播放、边议论；I.学习者自己操作媒体进行学习；J.自定义。

板书设计课题：1、垂直2、垂线3、点到线的距离4、垂线的性质5、垂线段6、垂线的画法学生板书1 学生板书2投影探究思考（一）性质1师：生活中我们常用垂线知识解决问题，画已知直线的垂线是必不可少的基本技能1、问题1：与一条已知直线垂直的直线一共有几条？请同学们动手画一画。

2、问题2：如图（1），过P点可以作几条直线与直线L垂直？请同学们动手画一画。

3、问题3：如图（2），过P点可以作几条直线与直线L垂直？请同学们动手画一画。

这3个问题要求学生独立画图再小组内交流。

4、讨论归纳：过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直。

（二）性质21．出示图（3），过点P与直线r上各点有无数条连线，如PA、PB、PC（PC⊥a）、PD……哪条最短？（测量）实验：用一根绳子分别重合于PA、PB、PC、PD，比较它们的长度。