垂线的定义 画法

四年级数学上册教案-5.1垂线的画法-人教版一、教学目标1. 让学生理解垂线的概念，掌握垂线的性质。

2. 学会使用直尺和圆规画垂线。

3. 培养学生的观察能力和动手操作能力。

二、教学内容1. 垂线的概念和性质2. 画垂线的方法三、教学重点与难点1. 教学重点：垂线的概念和性质，画垂线的方法。

2. 教学难点：如何正确使用直尺和圆规画垂线。

四、教学过程1. 导入新课通过复习旧知识，引导学生回顾直线的概念和性质，为新课的学习做好铺垫。

2. 讲解垂线的概念和性质（1）教师讲解垂线的概念：如果两条直线相交成直角，其中一条直线叫作另一条直线的垂线。

（2）教师讲解垂线的性质：一条直线的垂线有无数条，且都相交于同一点。

3. 演示画垂线的方法（1）教师用直尺和圆规演示如何画垂线。

（2）学生跟随教师一起操作，学会画垂线的方法。

4. 练习画垂线学生分组练习画垂线，教师巡回指导，纠正错误。

5. 巩固练习（1）教师出示一些练习题，让学生独立完成。

（2）教师点评学生的练习，讲解典型错误。

6. 课堂小结教师引导学生总结本节课所学内容，强调垂线的概念、性质和画法。

五、课后作业1. 让学生完成课后练习题，巩固所学知识。

2. 让学生回家后，向家长讲解垂线的概念和性质，以及如何画垂线。

六、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高教学效果。

七、附录1. 教学课件2. 练习题及答案注：本教案适用于人教版四年级数学上册第五单元第一节《垂线的画法》。

重点关注的细节：垂线的性质与画法在四年级数学上册的“垂线的画法”这一节中，垂线的性质与画法是学生需要掌握的核心知识点。

因此，对于这个重点细节，我们需要进行详细的补充和说明。

一、垂线的性质1. 定义：如果两条直线相交成直角，其中一条直线叫作另一条直线的垂线。

2. 垂线的唯一性：在平面几何中，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直。

3. 垂线的传递性：如果直线l垂直于直线m，直线m垂直于直线n，那么直线l垂直于直线n。

2.2 垂线【知识精华点击】课标要求1. 了解垂直概念,能说出垂线的性质“经过一点,能画出已知直线的一条垂线, 并且只能画出一条垂线”,会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线；2. 了解垂线段的概念,了解垂线段最短的性质,体会点到直线的距离的意义, 并会度量点到直线的距离.本节重点是两条直线互相垂直的概念、性质和画法，“垂线段最短”的性质,点到直线的距离的概念及其简单应用；难点是画给定直线的垂线以及对点到直线的距离的概念的理解. 教材详析1.垂线(1)定义：当两条直线相交成的4个角中，有一个角是直角时，就叫做这两条直线互相垂直。

其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。

理解垂直要注意以下三点：①掌握垂直的表示法垂直用符号“⊥”来表示，如图 2.2-1，“直线AB 垂直于直线CD ， 垂足为O”可记为AB ⊥CD,垂足为O ，并在图中任意一个角处作上直角记号,OD C B A图2.2-1②理解垂直与相交的关系垂直是相交的特殊情形，即相交成的角是直角时就是垂直。

所以两条直线互相垂直就一定相交，反过来，两条直线相交就不一定互相垂直。

③弄清“互相垂直”与“垂线”的联系和区别“互相垂直”是两条直线间的一种特殊位置关系，“垂线”则是两条直线互相垂直时其中的一条直线对另一条直线的称呼。

两条直线“互相垂直”时，其中的一条直线就是另一条直线的“垂线”。

反之，如果一条直线是另一条直线的“垂线”，那么这两条直线就一定互相垂直。

(2)几何推理：包括正用（判定）和反用（性质）的推理过程。

如图2.2-1， 判定：∵∠AOB=90°,∴AB ⊥CD ； 性质：∵AB ⊥CD ，∴∠AOB=90°。

(3)垂直的性质过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.(4) 垂线的画法①通过直线上的已知点画与这条直线垂直的直线（如图2.2-2（1））：第一步：把三角板的一条直角边与直线重合；第二步：沿着直线左右移动三角板，使直角顶点与直线上的已知点重合；第三步：沿另一条直角边画一条直角边画一条直线。

专题5.4垂线（知识讲解）1.理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质；2.理解并运用“垂线段最短”解决实际问题；3.理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离；4.能依据对顶角、邻补角及垂直的概念与性质，进行简单的计算.1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．特别说明：(1)记法：直线a 与b 垂直，记作：a b ⊥；直线AB 和CD 垂直于点O，记作：AB⊥CD 于点O.(2)垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：90AOC ∠=° 判定性质CD⊥AB．：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．特别说明：(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．3．垂线的性质：（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．特别说明：（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性．（2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题．4．点到直线的距离：定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．特别说明：（1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度．【典型例题】类型一、垂线➽➼定义的理解➼➻垂直✬✬直角1．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，下列条件：90AOD ∠=︒①；AOC BOC ∠=∠②；AOC BOD ∠=∠③，其中能说明AB CD ⊥的有（）A ．①B ．①或②C ．①或③D ．①或②或③【答案】B 【分析】根据垂直定义“当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直”进行判定即可．解：90AOD ∠=︒①，可以得出AB CD ⊥，故符合题意；180AOC BOC ∠+∠=︒ ②，AOC BOC ∠=∠，故符合题意，90AOC BOC ∴∠=∠=︒，可以得出AB CD ⊥；AOC BOD ∠=∠③，不能得到AB CD ⊥，故不符合题意；故能说明AB CD ⊥的有①②．故选：B ．【点拨】此题主要考查了垂直定义，关键是通过条件计算出其中一个角为90︒．举一反三：【变式1】如图，同一平面内的三条直线交于点O ，130∠=︒，260∠=︒，AB 与CD 的关系是（）A ．平行B ．垂直C ．重合D ．以上均有可能【变式2】如图，120∠=︒，则2∠的度数是（）A．50︒B．60︒C．70︒D．80︒【答案】C【分析】根据图象可得：∠1+∠2=90°，代入求解即可得出结果．解：∵∠1+∠2+90°=180°，∴∠1+∠2=90°，∵∠1=20°，∴∠2=70°，故选：C．【点拨】题目主要考查角度计算，从图中得出∠1+∠2=90°是解题关键．类型二、垂线➽➼垂线的画法条射线重合，折痕a即为所求，下列判断正确的是（）A．只有嘉嘉对B．只有淇淇对C．两人都对D．两人都不对【答案】C【分析】根据垂直的定义即可解答．解：嘉嘉利用量角器画90°角，可以画垂线，方法正确；淇淇过点A将纸片折叠，使得以A为端点的两条射线重合，折痕a垂直直线l，方法正确，故选：C．【点拨】本题主要考查了作图、垂线的定义，掌握垂直的定义是解答本题的关键．举一反三：【变式1】下列用三角板过点P画AB的垂线CD，正确的是（）【变式2】过一条线段外一点，作这条线段的垂线，垂足在()A．这条线段上B．这条线段的端点处C．这条线段的延长线上D．以上都可以【答案】D【分析】画一条线段的垂线就是画线段所在直线的垂线，进而得出答案.解答：由垂线的定义知，画一条线段的垂线，垂足可以在线段上，可以是线段的端点，也可以在线段的延长线上.故选D.【点拨】本题主要考查线段垂线的画法，正确把握垂线的定义是关键.类型三、垂线➽➼点到直线的距离✬✬垂线段画法3．如图，90AOB ∠=︒，P 是OB 上的一点，用刻度尺分别度量点P 到直线OA 和到直线OC 的距离．【答案】点P 到直线OA 的距离约为2cm ，点P 到直线OC 的距离约为1.1cm【分析】过点P 作PD OC ⊥，用刻度尺分别度量PO 和PD 的长度，即可得到点P 到直线OA 和到直线OC 的距离．【详解】解：过点P 作PD OC ⊥，用刻度尺分别度量，可得点P 到直线OA 的距离约为2cm ，点P 到直线OC 的距离约为1.1cm ．【点拨】本题考查了点到直线的距离，解题的关键是清楚点到直线的距离是垂线段的长度．举一反三：【变式1】如图，AB 、CD 、NE 相交于点O ，OM 平分BOD ∠，OM ON ⊥，55AOC ∠=︒．(1)线段______的长度表示点M 到NE 的距离；(2)比较MN 与MO 的大小（用“＜”号连接）：____________，并说明理由：____________；(3)求AON ∠的度数．【答案】(1)MO ；(2)MO MN <，是因为垂线段最短；(3)62.5︒【分析】（1）根据点到直线的距离求解即可；（2）根据垂线段最短求解即可；（3）根据垂直的定义和角之间的关系求解即可．（1）解：线段MO 的长度表示点M 到NE 的距离，故答案为：MO ；（2）解：比较MN 与MO 的大小为：MO MN <，是因为垂线段最短，故答案为：MO MN <，是因为垂线段最短；（3）解：55BOD AOC ∠=∠=︒ ，OM 平分BOD ∠，27.5BOM ∴∠=︒，18018027.59062.5AON BOM MON ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．【点拨】本题考查了点到直线的距离、角平分线、垂线段最短，解题的关键是掌握点到直线的距离．【变式2】已知：点P 是直线MN 外一点，点A 、B 、C 是直线MN 上三点，分别连接PA 、PB 、PC ．（1）通过测量的方法，比较PA 、PB 、PC 的大小，直接用“>”连接；（2）在直线MN 上能否找到一点D ，使PD 的长度最短？如果有，请在图中作出线段PD ，并说明它的理论依据；如果没有，请说明理由．【答案】（1）PA PB PC >>；（2）见解析，垂线段最短【分析】(1)直接测量，比较大小即可；(2)作MN 的垂线，垂足为D ，PD 即所求．解：（1）通过测量可知， 3.7PA =cm ， 3.2PB =cm ， 2.8PC =cm ，故PA PB PC >>；（2）过点P 作PD MN ⊥，则PD 最短．理由：垂线段最短【点拨】本题考查了垂线段最短的性质，解题关键是能熟练的测量线段的长度，知道垂线段最短．类型四、垂线➽➼点到直线的距离✬✬垂线段的长4．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，8cm AC =，6cm BC =，10cm AB =，点P 从点A 出发，沿射线AB 以2/cm s 的速度运动，点Q 从点C 出发，沿线段CB 以1cm /s 的速度运动，P 、Q 两点同时出发，当点Q 运动到点B 时P 、Q 停止运动，设Q 点的运动时间为t 秒．（1）当t =______时，2BP CQ =；（2）当t =______时，BP BQ =；（3）画CD AB ⊥于点D ，并求出CD 的值；（4）当t =______时，有2ACP ABQ S S = ．举一反三：【变式1】如图，点A、点B是直线l上两点，AB＝10，点M在直线l外，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，若点P为直线l上一动点，连接MP，则线段MP的最小值是____．【答案】4.8【分析】根据垂线段最短可知：当MP⊥AB时，MP有最小值，利用三角形的面积可列式计算求解MP的最小值．解：当MP⊥AB时，MP有最小值，∵AB＝10，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，∴AB•MP＝AM•BM，即10MP＝6×8，解得MP＝4.8．故答案为：4.8．【点拨】本题主要考查垂线段最短，三角形的面积，找到MP最小时的P点位置是解题的关键．【变式2】如图，在三角形ABC中，AC＝5，BC＝6，BC边上的高AD＝4，若点P在边AC 上（不与点A，C重合）移动，则线段BP最短时的长为_________________．中考真题专练4．（2022·江苏常州·中考真题）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（）A ．垂线段最短B ．两点确定一条直线C ．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D ．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行【答案】A【分析】根据垂线段最短解答即可．解：行人沿垂直马路的方向走过斑马线，体现的数学依据是垂线段最短，故选：A ．【点拨】本题考查垂线段最短，熟知垂线段最短是解答的关键．举一反三：【变式1】（2022·河南·中考真题）如图，直线AB ，CD 相交于点O ，EO ⊥CD ，垂足为O ．若∠1＝54°，则∠2的度数为（）A ．26°B ．36°C ．44°D ．54°【答案】B 【分析】根据垂直的定义可得90COE ∠=︒，根据平角的定义即可求解．解： EO ⊥CD ，90COE ∴∠=︒，12180COE ∠+∠+∠=︒ ，2180905436∴∠=︒-︒-︒=︒．故选：B ．【点拨】本题考查了垂线的定义，平角的定义，数形结合是解题的关键．【变式2】（2021·北京·中考真题）如图，点O 在直线AB 上，OC OD ⊥．若120AOC ∠=︒，则BOD ∠的大小为（）A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒【变式3】（2021·浙江杭州·中考真题）如图，设点P 是直线l 外一点，PQ l ⊥，垂足为点Q ，点T 是直线l 上的一个动点，连接PT ，则（）A ．PT PQ≥2B ．PT PQ ≤2C ．PT PQ ≥D ．PT PQ≤【答案】C 【分析】根据垂线段距离最短可以判断得出答案．【详解】解：根据点P 是直线l 外一点，PQ l ⊥，垂足为点Q ，∴是垂线段，即连接直线外的点P与直线上各点的所有线段中距离最短，PQ=，当点T与点Q重合时有PQ PT≥，综上所述：PT PQ故选：C．【点拨】本题考查了垂线段最短的定义，解题的关键是：理解垂线段最短的定义．。

画垂线的三种方法
画垂线是画图的一种必要技能，有三种常用的方法。

第一种方式是刻度法，通过观察物体的长短来确定各点的位置，画出一条垂线。

这需要理清概念，找准端点，观察客观实物，比较长短，画出一条准确的垂线。

第二种方式是轴对称法，即找出一条轴对称的线，将物体两边完整地对称画出来，然后再根据几何定理逐步将两端连接起来，最终画出一条精准的垂线。

第三种方式是直角三角形法，先画一个类似右角三角形的图形，根据直角三角
形的相关定理确定图形的一条边，最后根据图形进行笔画得出垂线。

以上三种方法可以助你完美画出图形上的垂线，选择合适的方法，结合观察和
计算，你可以画出准确无误的垂线。

一、垂线的性质性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

性质2：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

简称：垂线段最短。

二、垂线的定义：1.两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。

其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

2.直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”)，读作“AB 垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）。

三、垂直的判定：垂线的定义。

四、垂线的画法1.画垂线有两种情况，一种是已知一条直线，过这个直线之外的一个点画这个直线的垂线；另一种情况是已知一条直线，过这个线上的某一点作这个直线的垂线。

这两种情况画垂线都需要用到工具，有直尺、直角三角尺还有笔。

2.第一种情况，首先把直尺放好，直尺的一条边要和已知的那条直线重合，然后把直角三角尺的其中一个直角边靠在直尺上，保持三角尺的另一个边和直尺垂直的情况下，慢慢移动直角三角尺，直到直线外的某一点和直尺三角尺的另一条边重合，最后沿着直角三角尺的另一条边过直线外的那一点画出来直线，这条直线就是那条已知直线的垂线。

3.第二种情况，也是要先把直尺作为一个标准放好，直尺的一条边要和已知的直线重合在一起，把直角三角形的一个直角边靠在直尺上，保持直尺不动，直角三角尺慢慢移动，直到直角三角尺的顶点和已知的那个点重合，沿着直角三角尺的另一条直角边过已知的点画一条直线，这条直线就是要画的垂线。

五、线线垂直的性质和判定定理如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直。

线线垂直是指两条线是垂直关系，分为平面两直线垂直和空间两直线垂直两种。

平面两直线垂直：两直线垂直→斜率之积等于1；两直线斜率之积等于1→两直线垂直。

空间两直线垂直：所成角是直角，两直线垂直。

六、线面垂直的判定方法⑴定义(反证法);⑵判定定理:⑶b⊥α,a∥ba⊥α; （线面垂直性质定理）⑷α∥β,a⊥βa⊥α（面面平行性质定理）;⑸α⊥β，α∩β=l，a⊥l，a β a⊥α（面面垂直性质定理）。

相交线之垂线在相交线的模型中，固定木条a，转动木条b。

当b的位置变化时，a、b所成的∠α也会发生变化。

当∠α＝90°时（如图1），你能得到什么结论？我们说a与b互相垂直，记作a⊥b。

（图1）【知识梳理1】垂线的相关概念及推理1.当∠α＝90°时（如图1）此时，我们说a与b互相垂直，记作a⊥b。

（图2）2.垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足。

如图2，AB⊥CD，垂足为O。

注：（1）∠α可以是四个角中的任意一个角，不是限定不变的某一个角。

（2）在画图时，要标记直角符号“┐”，垂线是一条直线而不是线段或射线。

3.推理格式∵∠AOC＝90°（已知）∴AB⊥CD（垂直的定义）反过来也成立：∵AB⊥CD于点O（已知）∴∠AOC＝∠BOC＝∠BOD＝∠AOD＝90°（垂直的定义）注：垂直的定义既是垂直的性质，也是垂直的判定方法。

【重点剖析】遇到线段、射线的垂直问题，指的是它们所在的直线互相垂直，画线段或射线的垂线是指画它们所在直线的垂线，垂足可能在线上，也可能在其延长线上。

【知识梳理2】垂线的画法经过一点作（已知直线上或直线外），画已知直线的垂线，步骤如下：①靠线：让直角三角板的一条直角边（或某条刻度线）与已知直线重合；②靠点：沿直线移动，使直角三角板的另一条直角边经过已知点；③画线：沿直角边画线，则这条直线就是经过这个点的已知直线的垂线。

例：1.在下列各图中，过点P 画出射线AB 或线段AB 的垂线 2.过点P 作∠AOB 两边的垂线【例题精讲】例1.下列说法正确的有（ ）①两条直线相交，交点叫垂足；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③在同一平面内，一条直线有且只有一条垂线；④在同一平面内，一条线段有无数条垂线；⑤过任意一点不可能向一条射线或线段所在的直线作垂线；⑥若直线1l ⊥2l ，则1l 是2l 的垂线，2l 不是1l 的垂线。

垂线的画法及应用垂线是指与给定直线或平面相交且与其垂直的线。

我们可以通过不同的方法来画垂线，并且垂线在几何学和实际生活中有着广泛的应用。

下面我将详细介绍垂线的画法以及它的具体应用。

一、画垂线的方法1. 使用直尺和铅笔。

首先，在给定的直线上找到任意两个不同的点A和B。

然后，使用直尺将点A和B相连。

接下来，在直尺的边缘以某一点为圆心，在这条直线的两侧分别画两个相等的圆弧。

然后，使用直尺将这两个圆弧产生的交点与点A和B相连，即可得到垂线。

2. 使用量角器。

同样，在给定的直线上找到任意两个不同点A和B。

然后，在原点处放置量角器，使量角器的一个方向指向点A。

接下来，将量角器的另一个方向旋转45度，并将量角器沿着给定的直线移动，直到量角器的两个方向恰好分别与点A和点B相交为止。

此时，在给定直线上量角器相交的点就是所求的垂线。

二、垂线的应用垂线在几何学和实际生活中有许多应用，下面我将详细介绍其中的几个。

1. 三角形的垂心：在三角形ABC中，三条边的三角形外心交于一点，该点称为三角形的垂心。

垂心是通过绘制三条高线（即三个顶点到对边的垂线）相交的点得到的。

垂心具有很多重要的性质，例如垂心与三角形的三个顶点连接形成的三条直线相交于一点，并且这个点恰好是垂心。

2. 直角三角形中的中线：在直角三角形中，除斜边外的两条直角边的中垂线（即分别从直角边上的点到斜边的垂线）长度相等，且垂足也在斜边的中点。

这个性质可以用来构造等腰直角三角形，即两条直角边的长度相等的三角形。

3. 垂直平分线：垂直平分线是指平分一个线段，并且与该线段垂直的线。

垂直平分线可以通过绘制线段的两条垂线，并将其相交的点连接而得到。

垂直平分线在测量和构造等方面具有广泛的应用，例如在测量角度时可以使用垂直平分线来精确画出所需的角度。

4. 垂直投影：垂直投影是指将一个点在给定的直线或平面上的投影点。

垂直投影可以通过绘制从点到直线或平面的垂线，并将垂线与直线或平面的交点连接得到。