4-1 不定积分的概念与性质

第4章 不定积分§4.1 不定积分的概念与性质教学内容：一．原函数1.定义：设)(),(x f x F 是定义在区间I 上的函数，若对任意的I x ∈，都有)()(x f x F ='，或x x f x F d )()(d =，则称)(x F 是)(x f 在区间I 上的一个原函数．2.定理：（原函数存在定理）若函数()f x 在区间I 上连续，则在该区间上一定存在可导函数()F x ，使得对任意x I ∈都有()()F x f x '=，即区间上的连续函数一定有原函数．3.若)(x F 是)(x f 在区间I 上的一个原函数，即)('x F =)(x f ，则C x F +)(也是)(x f 在区间I 上的原函数．即一个函数如果存在原函数，则其原函数有无穷多个.4.定理：设函数()F x 是()f x 在区间I 上的一个原函数，那么()f x 在区间I 上的任意一个原函数可以表示为()F x C +，其中C 是任意常数．二．不定积分的概念定义：如果)(x F 是)(x f 在区间I 上的一个原函数，则()f x 在区间I 上带有任意常数的原函数C x F +)(称为)(x f 在区间I 上的不定积分，记作()d f x x ⎰，即()d f x x ⎰=C x F +)(，其中，⎰称为积分号，)(x f 称为被积函数，()d f x x 称为被积表达式，x 称为积分变量，任意常数C 称为积分常数．三．不定积分的几何意义对于确定的常数C ，()F x C +表示坐标平面上一条确定的曲线；当C 取不同的值时，C x F +)(表示一簇曲线．由()()f x dx F x C =+⎰可知，()f x 的不定积分是一簇曲线，这些曲线都可以通过一条曲线向上或向下平移而得到，它们在具有相同横坐标的点处有互相平行的切线．四．不定积分的性质性质1. (1)[()d ]f x x ' ⎰=)(x f ， 或 d[()d ]f x x ⎰=()d f x x ；(2) ⎰+='C x F x x F )(d )(， 或⎰+=C x F x F )()(d .性质2.⎰⎰=x x f k x x kf d )(d )(（k 为非零常数）.性质3.⎰⎰⎰±=±x x fx x f x x f x f d )(d )(d )]()([2121.五．基本积分公式表1．d k x kx C =+⎰（k 为常数）； 2．11d 1x x x C μμμ+=++⎰（1μ≠-）；3．1d ln ||x x C x =+⎰； 4．d ln x xa a x C a =+⎰；5．e d e x x x C =+⎰； 6．sin d cos x x x C =-+⎰；7．cos d sin x x x C =+⎰； 8．2sec d tan x x x C =+⎰；9．2csc d cot x x x C =-+⎰； 10．sec tan d sec x x x x C =+⎰；11．csc cot d csc x x x x C =-+⎰； 12．21d arctan arccot 1x x C x C x =+=-++⎰；13．d arcsin arccos x x C x C =+=-+.六．例题讲解例1.求不定积分 (1)2d x x ⎰； （2）1d x x ⎰．例2.若池塘结冰的速度由d d yt=给出，其中y 是自结冰起到时刻t 冰的厚度，k 是正常数，求结冰厚度y 关于时间t 的函数．例3.已知某曲线经过点(0,1)，并且该曲线在任意一点处的切线的斜率等于该点横坐标的平方，试求该曲线的方程．例4.距离地面0x 处，一质点以初速度0v 铅直上抛，不计阻力，求它的运动规律．例5.求e 5d x xx -⎰． 例6.求x xx d 1⎰． 例7.求23)d x x - ．例8.求2(1)d x x x - ⎰． 例9.求221d (1)x x x x x ++ +⎰． 例10.求22d 1x x x +⎰．例11.求42d 1x x x +⎰. 例12.求2tan d x x ⎰． 例13.求2sin d 2x x ⎰． 例14.求22d sin cos x x x ⎰． 例15.求221d .sin cos22x x x ⎰例16.设()2||3f x x '=+，且(2)15f =，求()f x .。

不定积分的概念与性质及基本积分公式不定积分是微积分中的重要概念，它是定积分的逆运算。

不定积分表示函数的原函数，也就是通过积分求导得到原函数。

在具体计算不定积分时，需要使用一些基本积分公式和性质。

一、不定积分的概念：不定积分是解决反向运动问题的方法，也就是求导的逆运算。

给定一个函数f(x)，它的不定积分表示为∫f(x)dx，其中f(x)称为被积函数，x为积分变量，∫表示不定积分。

二、不定积分的性质：1. 常数性质：∫kdx = kx + C，其中k为常数，C为任意常数。

2. 线性性质：∫(u+v)dx = ∫udx + ∫vdx，其中u、v为可导函数。

3. 反向性质：如果F(x)是f(x)的一个原函数，则有∫f(x)dx = F(x) + C，其中C为任意常数。

三、基本积分公式：1.幂函数积分公式：a. ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n≠-1b. ∫1/x dx = ln，x， + C。

c. ∫(1+x^2) dx = x + (1/3)x^3 + C。

d. ∫(1-x^2) dx = x - (1/3)x^3 + C。

e. ∫(1+x^2)^(-1/2) dx = arcsin(x) + C。

2.指数函数与对数函数积分公式：a. ∫e^x dx = e^x + C。

b. ∫a^x dx = (a^x)/(lna) + C，其中a>0且a≠1c. ∫(1+x)^n dx = (1/(n+1))*(1+x)^(n+1) + C，其中n≠-1d. ∫(lnx) dx = xlnx - x + C。

3.三角函数积分公式：a. ∫sin(x) dx = -cos(x) + C。

b. ∫cos(x) dx = sin(x) + C。

c. ∫tan(x) dx = -ln，cos(x)， + C。

d. ∫cot(x) dx = ln，sin(x)， + C。

e. ∫sec(x) dx = ln，sec(x) + tan(x)， + C。

第四章 不定积分§4-1 不定积分的概念与性质一、不定积分的概念1.原函数定义定义1：如果在区间I 上，可导函数()F x 的导数为()f x ，即对任一xI ，都有()()F x f x 或()()dF x f x dx ，则称()F x 为()f x 在区间I 上的一个原函数。

例：(sin )cos x x ，则sin x 是cos x 的一个原函数；1(sin 1)(sin )(sin 3)cos 2x xx x ，则都是cos x 的原函数。

2.原函数性质定理1：如果()f x 在区间I 上连续，则在该区间原函数一定存在。

定理2：如果()F x 是()f x 的一个原函数，则()F x C 是()f x 的全体原函数，且任一原函数与()F x 只差一个常数。

例：验证2211cos 2,sin 2,cos 233x x x 都是sin 2x 的原函数 证：2211(cos 2)sin 233(sin 2)sin 2(cos 2)sin 2x x x x xx，则三个函数都是sin 2x 的原函数3.不定积分定义定义2：()f x 的全体原函数称为()f x 的不定积分，记作()f x dx ，其中称为积分号，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式，x 称为积分变量。

说明：如果()F x 是()f x 在区间I 上的一个原函数，则()F x C 就是()f x 的不定积分，即()()f x dxF x C例1：求23x dx解：因为32()3x x ，所以3x 是23x 的一个原函数则233x dx x C例2：求1dx x解：当0x时，1(ln )x x当0x 时，11ln()x xx 所以1 ln ||(0)dx x C xx4.不定积分几何意义在相同横坐标的点处切线是平行的，切线斜率都为()f x ，可由()yF x 沿y 轴平移得到。

例：一条积分曲线过点(1,3)，且平移后与231y x x 重合，求该曲线方程解：设2()31f x x x C由于曲线过(1,3) 则3131C ，2C2()31f x xx二、不定积分性质性质1：[()()]()()f x g x dx f x dx g x dx性质2：()(0)()0(0)kf x dx k kf x dxdxC k性质3：(())(),()()f x dx f x f x dx f x C三、基本积分表(1)kdx kx C (k 是常数) (2)111ααx dxx C α(3)1ln ||dx x C x (4)x xe dx e C (5)ln x xa a dxC a(6)sin cos xdxxC(7)cos sin xdx x C (8)221sec tan cos dx xdx x C x(9)221csc cot sin dx xdx x C x (10)sec tan sec x xdx xC(11)csc cot csc x dx xC (12)21arctan 1dxx C x(13)21arcsin 1dx x C x例1：求51dx x解：55154111514dx x dxx CC x x例2：求x xdx解：313522223512x x xdx x dxCx C例3：求3(sin )xx dx解：433(sin )sin cos 4x x x dx xdxx dxxC例4：求2(1)x dx x解：22(1)211(2)x x x dx dx x dx xx x2122ln ||2x xdx dxdx xx C x注：根式或多项式函数需化成αx 形式，再利用公式。

不定积分的概念与基本性质在微积分中，积分是一个重要的概念和工具。

它可以看作是微分的逆运算，用于求解函数的原函数。

在不定积分中，我们将讨论不定积分的概念以及其一些基本性质。

一、不定积分的概念不定积分，又称为反导数，表示对一个函数进行积分得到的结果。

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上的不定积分可以表示为∫f(x)dx。

二、基本性质1. 线性性质：对于任意常数C，以及可积函数f(x)和g(x)，有以下公式：（1）∫[f(x)+g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx（2）∫k·f(x)dx = k·∫f(x)dx这意味着我们可以将一个复杂的函数拆分成多个简单函数的和或差的形式进行积分计算。

2. 保号性质：若在[a,b]上，有f(x)≥0，则∫f(x)dx≥0。

这个性质告诉我们，如果函数在某个区间上始终保持非负，则其在该区间上的积分也将非负。

3. 常数项性质：若函数f(x)在[a,b]上可积，且F(x)是f(x)的一个原函数，则对于任意常数C，有∫f(x)dx=F(x)+C。

这个性质表明，不定积分的结果存在无穷多个，只相差一个常数项。

4. 换元法则：设函数f(u)在区间[a,b]上可积，且u=g(x)是可导函数，且导函数g'(x)连续，则有以下公式：∫f(g(x))g'(x)dx = F(g(x)) + C其中，F(u)是f(u)的一个原函数。

换元法则为我们提供了一种通过变量代换简化计算的方法。

5. 分部积分：若函数u(x)和v(x)在区间[a,b]上可导，且连续，则有以下公式：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx这个公式将一个积分变为了另一个积分和一个乘积的形式，通常用于解决无法直接积分的情况。

三、结论通过本文的论述，我们了解了不定积分的概念和基本性质。

不定积分是对函数进行积分的逆运算，可以求解函数的原函数。

第四章 不定积分§4－1 不定积分的概念与性质一、原函数问题1 已知真空中的自由落体的瞬时速度v (t )=gt ．其中常量g 是重力加速度，又知t =0时路程s =0，求自由落体的运动规律s =s (t )．解 s '(t )=v (t )=gt ， (1) 容易验证s (t )=21gt 2+C ，(C 为任意常数)满足(1)； 又因为t =0时s =0，代入上式得C =0． 所以所求的运动规律为s =21gt 2． 问题2 设曲线y =f (x )经过原点，曲线上任一点处存在切线，且切线斜率都等于切点处横坐标的两倍，求该曲线方程．解 y '=2x . (2) 容易验证y =x 2+C ， (C 为任意常数)满足(2)；又因为原点在曲线上，故 x =0时y =0，代入上式得C =0．因此所求曲线的方程为y =x 2．两个问题本质：已知某函数的导数F '(x )=f (x )，求函数F (x )．定义1 设在某区间I 上，F '(x )=f (x )或dF (x )=f (x )dx ，则I 上的函数F (x )称为f (x )的一个原函数．例如：因为(sin x )'=cos x 或d (sin x )=cos xdx ，所以sin x 是cos x 的一个原函数；因为(21gt 2)'=gt ，所以21gt 2是gt 的一个原函数； 因为(x 2)'=2x ，所以x 2是2x 的一个原函数．二、不定积分例如：对任意常数C ，21gt 2+C 都满足(1)，x 2+C 都满(2)，所以21gt 2+C 都是gt 的原函数；x 2+C 都是2x 的原函数．又如：对任意常数C ，都有(sin x +C )'=cos x ，所以sin x +C 也都是cos x 的原函数． 由此可见，一个函数的原函数并不唯一，而是有无限个．如果F (x )是f (x )的一个原函数，即F '(x )=f (x )，那么与F (x )相差一个常数的函数G (x )=F (x )+C ，仍有G '(x )=f (x )，所以G (x )也是f (x )的原函数．反过来，设G (x )是f (x )的任意一个原函数，那么F '(x )=G '(x )=f (x )，F '(x )-G '(x )≡0，F (x )-G (x )=C ，(C 为常数)，即G (x )=F (x )+C ． 即G (x )与F (x )不过差一个常数．总结正反两个方面可得两个结论：(1)若f (x )存在原函数，则有无限个原函数；(2)若F (x )是f (x )的一个原函数，则f (x )的全部原函数构成的集合为{F (x )+C |C 为常数}.1. 不定积分的定义定义2 设F (x )是函数f (x )的一个原函数，则f (x )的全部原函数称为f (x )的不定积分，记作⎰dx x f )(，即 ⎰dx x f )(={F (x )+C |C 为常数}．习惯写法：省却等号右边的花括号，直接简写成F (x )+C ，即⎰dx x f )(=F (x )+C ．其中f (x )称为被积函数，f (x )dx 称为积分表达式，x 称为积分变量，符号“ ⎰ ”称为积分号，C 为积分常数．注意 积分号“ ⎰ ”是一种运算符号，它表示对已知函数求其全部原函数．所以在不定积分的结果中不能漏写C ．例1 由导数的基本公式，写出下列函数的不定积分：(1)⎰xdx cos ； (2)dx e x ⎰．解 (1)因为(sin x )'=cos x ，所以sin x 是cos x 的一个原函数，所以⎰xdx cos =sin x +C ．(2)因为(e x )'=e x ，所以e x 是e x 的一个原函数，所以 dx e x ⎰=e x +C ．例2 根据不定积分的定义验证：dx x x ⎰+212=ln(1+x 2)+C ．解 由于[ln(1+x 2)]'=212x x +，所以dx x x ⎰+212=ln(1+x 2)+C ． 不定积分简称积分，求不定积分的方法和运算简称积分法和积分运算．由于积分和求导互为逆运算，所以它们有如下关系：(1)[⎰dx x f )(]'=[F (x )+C ]'=f (x ) 或 d [⎰dx x f )(]=d [F (x )+C ]=f (x )dx ；(2)dx x F ⎰')(=⎰dx x f )(=F (x )+C 或 ⎰)(x dF =⎰dx x f )(=F (x )+C ．例3 写出下列各式的结果：(1)[⎰dx x e x )sin(ln ]'；(2)⎰'-dx e x][2；(3)d [⎰dx x 2)(arctan ]．解 (1) [⎰dx x e x )sin(ln ]'=e x ⋅sin(ln x )；(2) ⎰'-dx e x][22=22xe -+C ；(3) d [⎰dx x 2)(arctan ]=(arctan x )2dx ．2.不定积分的几何意义在直角坐标系中，f (x )的任意一个原函数F (x )的图形是一条曲线y =F (x )，这条曲线上任意点(x ，F (x ))处的切线的斜率F '(x )恰为函数值f (x )，称这条曲线为f (x )的一条积分曲线．f (x )的不定积分F (x )+C 则是一个曲线族， 称为积分曲线族．平行与y 轴的直线与族中每一条曲线的交点处的切线斜率都等于f (x )，因此积分曲线族可以由一条积分曲线通过平移得到．三、不定积分的基本公式(1)⎰dx =x +C ； (2)11+=⎰ααdx x x α+1+C ，(α≠-1)； (3)⎰dx x1=ln |x |+C ； (4)⎰dx e x =e x +C ； (5)⎰=aa dx a xx ln +C ； (6)⎰xdx cos =sin x +C ； (7)⎰xdx sin =－cos x +C ； (8)⎰⎰=xdx dx x 22csc sin 1=－cot x +C ； (9)⎰⎰=xdx dx x22sec cos 1=tan x +C ； (10)⎰⋅xdx x tan sec =sec x +C ； (11)⎰⋅xdx x cot csc =－csc x +C ； (12)⎰+dx x 211=arctan x +C ； (13)⎰-dx x 211=arcsin x +C ．四、不定积分的性质因为 [⎰dx x kf )(]'=[k ⎰dx x f )(]'=kf (x )，所以性质1 被积函数中的不为零的常数因子可以提到积分号之外，即⎰⎰=dx x f k dx x kf )()(， (k ≠0)．又因为{dx x f x f ⎰±)]()([21}'=[⎰⎰±dx x f dx x f )()(21]'=[dx x f ⎰)(1]'±[⎰dx x f )(2]'=f 1(x )±f 2(x )，所以性质2 两个函数的代数和的不定积分等于每个函数的不定积分的代数和，即 []⎰⎰⎰±=±dx x f dx x f dx x f x f )()()()(2121性质2可推广至有限个函数的和差．例4 求⎰-dx x e x )cos 32(．解 原式=⎰⎰⎰⎰-=-xdx dx e xdx dx e x x cos 32cos 32=2e x -3sin x +C ．注意 得到的e x 和cos x 的两个不定积分，各含有任意常数．因为任意常数的和仍然是任意常数，故可以合成最后结果中的一个C ．今后再有同样情况不再重复说明了．例5 求dx xx ⎰-23)1(． 解 dx x x x dx xx x x dx x x )133(133)1(222323-+-=-+-=-⎰⎰⎰ =⎰xdx -dx ⎰3+dx x ⎰3-⎰dx x21=21x 2-3x +3ln|x |+x 1+C ． 直接利用基本积分和性质来求积分的方法称为直接积分法．例6 求不定积分⎰-+dx e e x x )3(．解 原式=⎰⎰⎰+=+dx dx e dx e x x 3)13(=3e x +x +C ．例7 求不定积分dx xx ⎰+241． 解 原式=⎰⎰++-=++-dx xx dx x x )111(11)1(2224 =311122=++-⎰⎰⎰dx x dx dx x x 3-x +arctan x +C ． 例8 求不定积分dx x x x ⎰++)1(12222．解 原式=xdx x dx x dx x x dx x x x x 1111)111()1()1(22222222-=++=++=+++⎰⎰⎰⎰+arctan x +C . 例9 求dx x ⎰2tan ．解 原式=⎰⎰⎰-=-dx xdx dx x 22sec )1(sec =tan x -x +C ． 例10 求不定积分dx xx ⎰22cos sin 1． 解 原式=dx xx dx x x x x )sin 1cos 1(cos sin cos sin 222222+=+⎰⎰=tan x -cot x +C ． 例11 求不定积分dx x ⎰2sin 2． 解 原式=21)cos (21)cos 1(212cos 1=-=-=-⎰⎰⎰⎰xdx dx dx x dx x (x -sin x )+C ． *例12 某工厂生产一种产品，已知其边际成本MC =1601-x ，其中的x (件)为该产品产量．若当产量x =512时，成本C (512)=17240元，求成本函数C (x )．解 据边际成本的含义，有C '(x )= 16031-x ．所以C (x )=323131240)(1116016011x C x dx x =+-+⨯=+--⎰+C ． 已知C (512)=17240，代入后得 C =17240-240⨯(32512)=1880．所以这种产品的成本函数为C (x )=24032x +1880．练习4-11．什么叫f (x )的原函数？什么叫f (x )的不定积分？f (x )的不定积分的几何意义是什么？并举例说明之．2．判断下列函数F (x )是否是f (x )的原函数，为什么？(1)F (x )=-x 1，f (x )=21x， ( )； (2)F (x )=2x ，f (x )=x 2 ， ( )；(3)F (x )=21e 2x +π，f (x )=e 2x ， ( )； (4)F (x )=sin5x ，f (x )=cos5x ， ( )．3．⎰xdx x cos sin 2问=sin 2x +C ⎰xdx x cos sin 2与=-cos 2x +C 是否矛盾，为什么？ 4．写出下列各式结果．(1))2sin 21(x d ⎰； (2))sin 1(dx xd ⎰； (3)⎰'+dx x a )(22； (4)[⎰+dx x xe x )cos (sin ]'．。