初中七年级数学课件 垂线的性质

解：∵∠BOE＝∠NOE， ∴∠BON＝2∠EON＝40°， ∴∠NOC＝180°－∠BON
＝180°－40°＝140°， ∠MOC＝∠BON＝40°. ∵AO⊥BC， ∴∠AOC＝90°， ∴∠AOM＝∠AOC－∠MOC＝90°－40°＝50°， ∴∠NOC＝140°，∠AOM＝50°.
垂线的画法及基本事实
如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足为O.
符号语言：
①判定：∵∠AOD=90°,（已知） ∴AB⊥CD.（垂直的定义）
A
D
反之，若直线AB与CD垂直,垂足为O，则∠AOD=90°.
O
符号语言：
C
B
②性质：∵ AB⊥CD ,（已知）
∴ ∠AOD=90° .（垂直的定义） (∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°)
A.4
B.3
C. 2
D. 1
(1)如图1，若直线m、n相交于点O,∠1＝90°,则m⊥n；
(2)若直线AB、CD相交于点O，且AB⊥CD，则∠BOD =___9_0_°_； (3)如图2，BO⊥AO，∠BOC与∠BOA的度数之比为1∶5，那么∠COA＝_7_2_°_, ∠BOC的补角为 162°.
条? 一条
B
l
垂线的性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
注意： 1.“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外； 2.“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性.
点到直线的距离
如图，从A点向已知直线 l 画一条垂直的线段和几条不垂直的线段.
下面四种判定两条直线的垂直的方法，正确的有（ A ）个

垂线的定义及特点
1 定义
垂线是与一个直线或平面相交，并与其垂直的线段或射线。
2 特点
垂线与直线或平面的交点形成直角。它们在二维和三维空间中有着重要的几何性质。
垂线在日常生活中的应用
建筑设计
垂线被用于确保建筑结构的垂直性和水平性。
地图制作
垂线可以帮助我们确定地图上的位置和方向。
医学成像
垂线被用于测量和诊断人体内部的结构。
2
通过这个点，作直线的垂线。
3
步骤三
测量并标出垂线的长度。
点到平面的垂线
点到平面的距离
垂线是从一个点到一个平面的 最短距离。
平面的特性
平面上的所有垂线垂直于该平 面。
垂线的性质
垂线和平面相交时，形成相互 垂直的直线和平面。
如何作出点到平面的垂线？
1
步骤一
选择一个平面上的点作为垂线的起点。
2
步骤二
已知一个直角三角形的两条边，求解第三条边的长度。
作直线垂直于该平面，并通过起点。
3
步骤三
标出垂线的终点。
垂线的斜率
1 定义
垂线的斜率是直角两条边之间的比值。
2 计算法
通过计算垂线的两个端点的坐标，可以求得垂线的斜率。
垂线方程的推导
1 定义
2 推导过程
垂线方程可以表达点到直线或平面的垂线。
根据垂线的性质和数学原理，可以推导出 垂线方程的一般形式。
如何求垂线方程？
1
步骤二
2
计算垂线的斜率。
3பைடு நூலகம்
步骤一
确定垂线的起点和终点的坐标。
步骤三
使用垂线的斜率和起点的坐标，写出 垂线方程。
垂线的交点

如果两条直线相交形成的角为直角， 那么这两条直线互相垂直。
02
相交线的性质与Biblioteka 定相交线的定义总结词
相交线的定义是指两条直线在某一点 交汇，形成一定的角度。
详细描述
相交线是几何学中的基本概念，指的 是两条直线在某一点交汇，并且形成 一定的角度。这个交汇点被称为交点 ，而这两条直线被称为相交线。
相交线的性质
道路建设
在道路建设中，垂线用于 确定道路的垂直方向，保 证道路的平整和安全。
相交线在生活中的应用
交通标志
相交线被广泛应用于交通标志的 制作，如交叉路口的指示牌和交
通信号灯。
织物图案
在纺织业中，相交线用于制作各种 图案和纹理，增加织物的美观性和 实用性。
建筑设计
在建筑设计中，相交线用于构建各 种几何形状和图案，增加建筑的艺 术性和视觉效果。
同旁内角互补判定法
如果两条直线被一条横截线所截，同旁内角互补，则这两条直线平 行。
04
垂线、相交线与平行线在实际 生活中的应用
垂线在生活中的应用
建筑测量
在建筑行业中，垂线被广 泛应用于测量垂直度，确 保建筑物的稳定性和安全 性。
机械制造
在机械制造中，垂线用于 确定物体的垂直位置，确 保机器的精确运转。
。
03
平行线的性质与判定
平行线的定义
01
02
03
平行线的定义
在同一平面内，两条永不 相交的直线称为平行线。
平行线的表示方法
在几何图形中，用符号 “//”表示两条直线是平 行的。
平行线的性质
平行线具有一些特殊的性 质，如传递性、同位角相 等、内错角相等、同旁内 角互补等。
平行线的性质

A
1
2
D
E
例2：如图 ，已知AB. CD相交于 O, OE⊥CD于O,∠AOC=36 ° ， 求∠BOE
D
A
O
B
E C
4.找出图中互相垂直的线段：
D
D
A
.
.
.C .
B B
A
C O
E
O
2．判断以下两条直线是否垂直: ①两条直线相交所成的四个角 中有一个是直角; ②两条直线相交所成的四个角 相等; ③两条直线相交,有一组邻补角 相等; ④两条直线相交,对顶角互补.
自主探索：
如图，已知直线AB、CD都经过O点，OE 为射线，若∠1＝35° ，∠2＝55°， 求证：OE ⊥ AB
C O B
问题1：如右图， （1）∠AOC的对顶角是哪个角？ 这两个角的关系怎样？
问题2：两条直线相交，共形 成——对对顶角，————对邻 补角。
问题2：如下图，当∠AOC＝90° 时，∠BOD、∠AOD、∠BOC等 于多少度？为什么？直线AB、CD 的位置关系怎样？
结论： 当两条直线相交时，一个角是 直角等同与任意两个，三个， 四个角是直角。
垂直的记法、读法
直线AB、CD互相垂直，记作“AB⊥CD”或 “CD⊥AB”，读作“AB垂直于CD”，如果垂足为O， 记作“AB⊥CD，垂足为O”（如图）
．
垂直的定义的应用格式
如果直线AB、CD 相交于点O，∠AOC=90°（或 三个角中的一个角等于90°），那么 AB⊥CD. 这个推理过程可以写成： ∵∠AOC=90°（已知）， ∴ AB⊥CD （ 垂 直 的 定 义 ） ． 如果AB⊥CD，那么所得的四个角中，必有一个是直 角.这个推理过程可以写成:

【题后反思】注意图中各垂足的位置不一定在线段上．
垂线的性质． 【例 2】小方先从家 A 到外婆家 B 去拿渔具，然后再去河边 l 去钓鱼，怎样 走路线最短，请画出行走路线，并说明理由．
【思路分析】两点之间线段最短，连接 AB→垂线段最短，过点 B 作 l 的垂 线．
【规范解答】 连接 AB.过点 B 作 BC⊥l 于 C.则由 A→B→C 走， 路线最短． 理 由：①两点之间线段最短；②垂线段最短．
∠1＋∠2＝90°
10．如图所示，当∠1 和∠2 满足 上一个条件即可)．
时，能使 OA⊥BO(填
11．如图，已知 AC⊥BC，CD⊥AB 于点 D，AC＝3，BC＝4，则点 B 到直 线 AC 的距离等于 4 ，点 C 到直线 AB 的垂线段是线段 CD .
12．如图，直线 l1 与 l2 相交于点 O，OM⊥l1，若∠α＝44° ，则∠β＝ 46° .
第二章
相交线与平行线
1 两条直线的位置关系
第2课时 垂线及性质
垂线的概念及画法． 【例 1】如图所示，已知△ABC 中，∠BAC 是钝角．
(1)画出点 C 到 AB 的垂线段； (2)过点 A 画 BC 的垂线； (3)过点 B 到 AC 的距离是多少？
【思路分析】明确各个概念．
【规范解答】 如图： (1)线段 CF； (2)直线 AD； (3)垂线段 BE 的长度约为 1.3cm.
8．如图，有三条公路，其中 AC 与 AB 垂直，小明和小亮分别沿 AC，BC 同时出发骑车到 C 城，若他们同时到达，则下列判断中正确的是( A A．小亮骑车的速度快 B．小明骑车的速度快 C．两人一样快 D．因为不知道公路的长度，所以无法判断他们速度的快慢 )
9．若 A、B、C 是直线 l 上的三点，P 是直线 l 外一点，且 PA＝5cm，PB ＝4cm，PC＝3cm，则点 P 到直线 l 的距离( C ) A．等于 3cm C．不大于 3cm B．大于 3cm 而小于 4cm D．小于 3cm

垂 线
授课教师：XX 日期：XX年XX月XX日
数学初中
α）
）
α
当∠α = 95°时 ， 我们说a与b互相 垂直，记作a ⊥ b
a
o
α
探索新知：在相交线的模型中,固定木条a, 转动木条b, 当b的位置变化时,a、b所成的∠α 也会发生变化.b
数学初中
A
B
C
D
o
1
探索新知：
一、垂线定义：当两条直线相交所成的四个角中，有 一个角是直角时，就说这两条直线互相垂 直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线， 它们的交点叫做垂足．符号语言：∵∠1=90°（已知）∴AB⊥CD于O （垂线定义）反之，∵ AB⊥CD于O （已知）∴∠ 1=90°（垂线定义）
B
数学初中
学以致用：1.已知：如图，AB⊥CD，垂足为O，EF为过点O的
一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是( )
A.相等 B.互余 C.互补 D.互为对顶角
B
)
2.如图，点C到线段AB的距离是指(线段 AC 的长度线段 CD 的长度线段BC 的长度线段BD 的长度
B
数学初中
数学初中
探索新知：已知一条直线，你能画出它的垂线吗？能画几条？ 结论：一条直线的垂线有无数条.
数学初中
o
贴靠移画
结论：过直线上一点有 且只有一条直线与已知直 线垂直.
过已知直线上一点能画这条直线的垂线吗？能画几条？
数学初中
o
1. 贴
靠移画结论：过直线外一点有 且只有一条直线与已知直线 垂直.
过已知直线外一点能画这条直线的垂线吗？能画几条？
数学初中
探索新知：二、垂线的性质：垂线的性质1：经过一点（已知直线上或直线外）， 能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线，即：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与 已知直线垂直.

符号表示
垂线用符号“perp”表示。
垂线的性质
1 2
唯一性
在一个平面内，过一点有且只有一条直线与已 知直线垂直。
传递性
如果两条直线互相垂直，那么它们在交点处的 斜率乘积为-1。
3
平行性
如果两条直线在同一个平面内，一条直线垂直 于这个平面，那么这条直线与另一条直线的夹 角为90度。
垂线的定理
1
直角三角形中，任意一条直角边的“邻边”的 平方等于“对边”的平方和。
在点与直线之间，连接一条垂直线 段，其长度即为点到直线的距离。
三角形的高线和中线
概念解读
三角形的高线是指过一个顶点和对边中点的直线，而中线是指连接三角形两个顶点的线段 。
性质应用
高线和中线都是线段，且互相垂直。高线的长度等于三角形一边的一半，而中线的长度等 于三角形一边的三分之一。
判定方法
在三角形中，找到一个顶点和对边中点，连接这两个点并延长至相交于一点，这个点即为 高线的交点；而中线则是连接两个顶点的线段。
学习垂线的体会和收获
深入理解垂线
通过学习垂线的定义和性质，可以更好地理解垂直和平行的关 系，以及各种几何图形的特征。
掌握解题方法
学习垂线可以掌握更多的解题方法，例如利用垂线性质证明三 角形全等、相似等。
培养数学思维
学习垂线可以培养数学思维和逻辑推理能力，以及分析问题和 解决问题的能力。
需要注意的易错点和难点
判定方法
03
在两个点之间，画一条垂线段，比较其长度与其他线段长度，
若这条垂线段最短，则这条垂线段即为最短垂线段。
点到直线的距离
概念解读
点到直线的距离是指这个点到 直线的垂线段的长度。
性质应用

小练习
1.自己画平行线，你行吗？
自己画平行线，你行吗？ 看一看，线段间有什么位置关系？
2.在你画的两条平行线 这一点到这条直线的线段的长。
哪一条最合理？为什么？ 从直线外一点到这条直线所画的所有线段中，垂直的线段最短，这条垂线段的长度叫做点到直线的距离。 平行线间的距离处处相等。 （3）在同一条直线上作两条垂线，这两条
小练习
1.自己画平行线，你行吗？ 2.在你画的两条平行线 之间画几条与平行线垂 直的线段。 3.量一量这些线段的长 度，你发现什么？
在平行线的一条直线上取两点，画垂 直线段。
平行线间的距离处处相等。
与两条平行线互相 垂直的线段的长度 都相等。
看一看，线段间有什么位置关系？ 上下两边互相平行；左右两边互相平行。
相邻的两边互相垂直。
怎样画一个长5厘米，宽2厘米的 长方形？
2厘米
5厘米
直角：相互垂直
在同一平面内， 两条直线
相交
垂线、垂足
非直角：相交
不相交：平行
从直线外一点到这条直线所画的 垂直线段最短，它的长度叫做这 点到直线的距离。
距
垂直线段
离
1、判断（对的画“√”，错的画“×”）。 （1）过直线外一点，可给这条直线作无数条
之间画几条与平行线垂 量一量这些线段的长度，你发现什么？
在同一平面内，两条直线 在平行线的一条直线上取两点，画垂直线段。 从直线外一点到这条直线所画的所有线段中，垂直的线段最短，这条垂线段的长度叫做点到直线的距离。 垂线、垂足
直的线段。 在你画的两条平行线之间画几条与平行线垂直的线段。
哪一条最合理？为什么？ （1）过直线外一点，可给这条直线作无数条 在你画的两条平行线之间画几条与平行线垂直的线段。 看一看，线段间有什么位置关系？

过一点作已知直线的平行线
总结词
通过给定的一个点，使用直尺和三角板，可以作出与给定直线平行的线段。
详细描述
首先确定给定的点，然后将三角板的一条边放在该点上，另一条边与给定直线 重合，沿着这条边画一条线段，即为所求的平行线。
作平行四边形的垂线
总结词
在平行四边形中，可以通过连接 对角线上的两个端点来作出垂线 。
在地球科学中，垂线被用来测量地壳的倾斜度和地震的震源深度， 对于研究地球的运动和地震预测具有重要意义。
03 垂线的作法
过一点作已知直线的垂线
总结词
通过给定的一个点，使用直角三角板 或量角器，可以作出与给定直线垂直 的线段。
详细描述
首先确定给定的点，然后将直角三角 板的一条直角边放在该点上，另一条 直角边与给定直线重合，沿着这条直 角边画一条线段，即为所求的垂线。
01
如果一条线段与另一条直线相交 形成的角为直角，则该线段垂直 于另一条直线。
02
如果一条线段与另一条直线相交 ，且经过另一条直线上的一点， 则该线段垂直于另一条直线。
垂线定理的推论
垂线的斜率互为相反数
如果一条直线的斜率为k，则其垂线的斜率为-1/k。
垂线与原直线平行
如果一条直线平行于x轴，则其垂线与x轴垂直。
题目2
已知两条直线互相垂直，其中 一条直线的方程为y=2x+1，求 另一条直线的方程。
题目3
在直角坐标系中，点A的坐标为 (1,2)，点B的坐标为(3,4)，求线
段AB的垂直平分线的方程。
答案及解析
01 02
题目1答案及解析
垂线是两条直线相交成直角时，所形成的线段。生活中常见的例子有窗 户的边框、墙角等。解析：此题考察垂线的定义，理解垂线的概念是解 题的关键。

角为90度。
垂线的性质
垂线与给定直线相交于一点，这 一点称为垂足。
垂线与给定直线的夹角为90度， 这是垂线的唯一性。
垂线具有传递性，即如果直线a 垂直于直线b，直线b垂直于直线 c，那么直线a也垂直于直线c。
垂线的应用
在几何学中，垂线是解决许多问题的基础，如求点到直线的距离、判断两条直线是 否平行等。
利用垂线定理
垂线定理是几何学中的重要定理之一，它告诉我们一个点 到一条直线的距离是最短的，这个性质在解决几何问题时 非常有用。
利用垂线的性质
垂线有很多重要的性质，如垂直平分线定理、等腰三角形 性质等，这些性质都可以用来解决几何问题。
利用垂线解决实际问题的方法
利用垂线解决高度测量问题
在测量高度时，我们可以利用垂线的性质来计算高度，例如在建筑、地形测量 等领域。
在一些复杂的几何问题中，我们可以利用垂线定理和勾股定理来解决问题，这些 定理可以帮助我们找到解决问题的关键点。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
在工程学中，垂线也具有广泛的应用，如在建筑、道路、桥梁等工程中，需要用到 垂线来确定物体的位置和方向。
在物理学中，垂线也是非常重要的概念，如在重力学中，需要用到垂线来确定物体 的重心和平衡状态。
02 垂线的判定
直线与直线垂直的判定
01
02
03
判定定理
两条直线相交，所形成的 对角相等且互补，则这两 条直线互相垂直。
延长线段
将线段延长，使其与另一条线段 相交，形成垂足。
垂线的应用实例
建筑学
在建筑设计中，垂线用于确定建筑物的垂直方向 和垂直度。
工程学
在桥梁、隧道等工程设计中，垂线用于确定结构 的垂直度和稳定性。