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15.3分式方程

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人教版数学八年级上册15.3分式方程的解法(教案)

人教版数学八年级上册15.3分式方程的解法(教案)
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）理解分式方程的定义：重点强调分式方程的形式特点，即方程中包含有分母，且分母不为零，让学生充分理解这一核心内容。
举例：如方程2/x = 3/(x+1)，其中x≠0。
（2）掌握分式方程的解法：包括消元法、代入法、加减法等，特别是消元法在求解分式方程中的应用。
举例：消元法求解方程2/x = 3/(x+1)：
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解分式方程的基本概念。分式方程是指含有分母的方程，它是代数方程的一种特殊形式。分式方程在解决实际问题时具有重要作用，能够帮助我们处理比例、速率、百分比等问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设小明和小红的糖果总数为10个，要平均分给两人，我们可以建立分式方程x/2 = 10，其中x表示每人应得的糖果数。通过解这个方程，我们可以得到答案。
2.提升学生的数学建模素养：使学生能够将实际问题抽象为分式方程模型，并运用所学方法求解，从而提高解决实际问题的能力；
3.增强学生的数学运算能力：让学生熟练掌握分式方程的消元、代入、加减等解法，培养他们准确、迅速地进行数学运算的能力。
这些核心素养目标与新教材的要求相符，旨在帮助学生形成系统的数学知识体系，提高数学思维品质和解决问题的综合能力。
难点解析：代入法中，学生可能会遇到以下困难：
-不清楚应该将哪个表达式代入另一个表达式中；
-在代入过程ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，容易忽视方程中的限制条件（如分母不为零）；
-计算过程中可能因粗心导致错误。
（3）分式方程在实际问题中的应用：学生需要学会将实际问题抽象为分式方程，并正确求解。
难点解析：实际问题抽象为分式方程时，学生可能会遇到以下问题：

新人教版八年级数学上册《15.3 分式方程》课件

新人教版八年级数学上册《15.3 分式方程》课件

当x=3时会产生增根，即6-a=3，解得 a=3.所以，当a=3时，此分式方程会产生增 根.
探究 新知
例3 照相机成像应用了一个重要的光
学原理，即 1 1 1 ( f v) .其中f表示 f uv
照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的 距离，v表示胶片（像）到镜头的距离.如 果一架照相机f已固定，那么就要依靠调 整u、v来使成像清晰.问在f、v已知的情况 下，怎样确定物体到镜头的距离u？
探究 新知
例 1解 分 式 方 程 ss50.
x xv
分析：
解：方程的两边x同(x乘 v),得 按照解数字
s(xv)x(s50).
系数的分式
去 括 号 ， 得 s x s v s x 5 0 x . 方程的步骤
移 项 ， 合 并 同 类 项 得 5 0 x s v . 解得x sv .
50
6a33a.
故 x 6 a 是 原 方 程 的 解 .
探究 新知
例 2 当 a为 何 值 时 ， 分 式 方 程x 2a x3 x3
会 产 生 增 根 ？
问题1：分式方程何时有增根？
分式方程产生增根，则增根一定是使原 分式方程的最简公分母为0的值，即x=3.
问题2：当x=3时，这个分式方程会产 生增根，怎样利用这个条件求出a的值？
(2) 7 1 z x xk 6 . x2x x2x x21 x3
温故 知新
3.解分式方程的一般步骤：
①在方程的左右两边同乘最简公分母， 将分式方程化为整式方程；
②解这个整式方程；
③将整式方程的解代入最简公分母， 看结果是不是0，使最简公分母为0的根 是增根，必须舍去.
温故 知新
4.问题：某次列车平均提速v km/h.用相同的 时间，列车提速前行驶 s km，提速后比提速前多 行驶50 km，提速前列车的平均速度为多少？

15.3 分式方程

15.3 分式方程

当分子为零,即 5-x=0 时, 解得 x=5; 当分子不为零,而分母相等时,得 (x-4)(x-3)=(x-2)(x-1),解得 x=2, 检验:x=5,x=2时,各分母都不为 0. 故 x=5,x=2都是原分式方程的解.
5 5 5
拓展点一
拓展点二
拓展点三
拓展点四
15.3
分式方程
知识点一
知识点二
知识点三
知识点一 分式方程的定义 分母中含未知数的方程叫做分式方程. 名师解读 理解分式方程要注意,所给的式子必须具备三个特 征:(1)含有分母;(2)分母中含有未知数;(3)是方程.
知识点一
知识点二
知识点三
知识点二 分式方程的解法 (1)解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程,具体做法 是“去分母”,即方程两边乘最简公分母,这也是解分式方程的一般方 法. (2)解分式方程的一般步骤: ①去分母,把分式方程转化为整式方程; ②求出整式方程的解; ③检验,看求出的整式方程的解是不是分式方程的解; ④得出结论.
知识点一
知识点二
知识点三
(3)一般地,解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使 原方程中分母为0,因此应做如下检验: 将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则 整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的 解. 名师解读 一般步骤可简化为“一去”,即去分母化分式方程为整 式方程;“二解”,即解整式方程;“三验”,即验根;“四答”,即写出答案.
解析:去分母得 x+m-3m=3x-9,整理得 2x=-2m+9,解得 x=
故选 B. 答案:B
拓展点一

拓展点二
拓展点三
拓展点四
拓展点一

人教版数学八年级上册《15.3分式方程》教学反思

人教版数学八年级上册《15.3分式方程》教学反思

《15.3分式方程》教学反思本节课作为分式方程的第一节课，是在学生掌握了一元一次方程的解法及分式混合运算的基础上展开的，既是前一节的深化，同时解决了解方程的问题，又为以后的教学内容——“分式方程的应用”打下了良好的基础，在教材中占有很重要的地位与作用。

本节课的教学重点是探索分式方程概念、明确分式方程与整式方程的区别和联系、会解可化为一元一次方程的分式方程。

教学难点是如何将分式方程转化成整式方程以及明白解分式方程为什么要检验，如何检验。

我采用的教学方法是“先学后教，合作交流”，让学生在明确了学习目标的前提下先利用5分钟时间自学课本内容，并思考以下问题：1、什么叫分式方程？2、分式方程与整式方程的区别是什么？3、解分式方程的基本思路是什么？具体做法是什么？依据是什么？4、解分式方程为什么必须检验？如何检验？5、解分式方程的一般步骤有哪些？6、解分式方程应注意哪些问题？自学后在小组内互相交流、解疑，之后分小组展示，结合六大问题共同学习本节课所有内容。

然后当堂完成课堂检测、反馈，最后归纳本节课所有知识点和方法。

对于本节课，我认为比较满意的有以下几点:1、在课堂上，把思考留给学生，把更多的思维空间留给学生。

让学生自主学习、小组内交流，充分发挥学生的主观能动性。

整节课基本上都是学生在说、在做、在展示。

我主要在做题方法上指导，思维方式上点拨。

改变那种让学生在自己后面亦步亦趋的习惯，从而成为爱动脑、善动脑的学习者。

2、积极正确的引导、点拨。

保证学生掌握正确知识和清晰的解题思路。

由于学生总结的语言有限，我就把本节课的重点内容：解分式方程的思路，步骤，如何检验等都用多媒体形式给学生展示出来。

还有在解分式方程过程中容易出现的问题都给学生做了强调。

3、对于本节课难点的突破、重点的突出选用了一个产生增根的分式方程作为典型例题贯穿始终，既让学生明白了如何去分母，又让学生清楚了为什么要检验及如何检验，环环紧扣，处理得比较恰当。

人教版八年级数学上册：15.3分式方程(教案)

人教版八年级数学上册：15.3分式方程(教案)
-对本节课所学内容进行总结，巩固知识点
-鼓励学生在日常生活中发现并解决分式方程问题，提高数学素养
7.课后作业（课后自主完成）
-针对本节课所学内容，布置课后习题，巩固所学知识
-鼓励学生自主探索、拓展学习，提高解题能力
五、教学反思
在本次分式方程的教学中，我发现学生们对于分式方程的概念和求解方法的理解总体上是不错的。他们能够跟随我的讲解，逐步掌握去分母、移项等基本操作。然而，我也注意到，部分学生在面对高次分式方程或者分式方程组时，会感到困惑，这成为了他们学习的难点。
举例：重点讲解分式方程2/(x-3) = 1/(x+2)，突出求解过程中每一步的关键操作，如交叉相乘去分母，合并同类项等。
2.教学难点
-分式方程去分母的技巧：对于复杂的分式方程，如何选择合适的去分母方法，避免出现计算错误。
-高次分式方程的求解：涉及高次方程的求解，如何运用降次或其他数学方法简化问题。
人教版八年级数学上册：15.3分式方程（教案）
一、教学内容
人教版八年级数学上册：15.3分式方程
1.分式方程的定义与特点
2.分式方程的求解方法：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1
3.应用题：利用分式方程解决实际生活中的问题
4.分式方程的常见类型及解题技巧
a.简单分式方程
b.复杂分式方程
c.高次分式方程
三、教学难点与重点
1.教学重点
-分式方程的定义及其基本性质：理解分式方程中分子、分母的关系，掌握分式方程的基本形式。
-分式方程的求解方法：重点讲解去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤，强调每一步的运算规则。
-分式方程的验根方法：教会学生如何检验求得的解是否满足原方程，确保解的正确性。

15.3 分式方程第1课时

15.3 分式方程第1课时

1 10 = 2 的过程，你能概括出解分式方程的基本思 x-5 x - 25
路和一般步骤吗？解分式方程应该注意什么？
基本思路 将分式方程化为整式方程一般步骤： （1）去分母； （2）解整式方程； （3）检验． 注意： 由于去分母后解得的整式方程的解不一定是原分式 方程的解，所以需要检验．
例 解下列方程： 2 3 x 3 （） 1 = ； （2） -1= ． x -3 x x-1 （x-1） x+ 2） （
课件说明
• 学习目标： 1．了解分式方程的概念． 2．会用去分母的方法解可化为一元一次方程的简单 的分式方程，体会化归思想和程序化思想． 3．了解解分式方程根需要进行检验的原因． • 学习重点：
利用去分母的方法解分式方程．
问题1 为了解决引言中的问题，我们得到了方程 90 60 ．仔细观察这个方程，未知数的位置有什 = 30+v 30-v 么特点？
练习 解下列方程： 1 2 2 4 （） = 1 ； （2） = 2 . 2 x x+ 3 x-1 x -1
课堂小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）解分式方程的基本思路和一般步骤是什么？解 分式方程应该注意什么？
布置小结
教科书习题15.3第1（1）～（4）题．
ห้องสมุดไป่ตู้
解得 v=6.
追问 的解吗？
90 60 = 你得到的解 v=6 是分式方程 30+v 30-v
问题4
1 10 = 2 . 解分式方程： x-5 x - 25
1 10 = 2 追问1 你得到的解 x =5 是分式方程 x-5 x - 25 的解吗？该如何验证呢？
x =5 是原分式方程变形后的整式方程的解，但不是

15.3分式方程(第1课时)-教学设计

15.3分式方程教学设计
第1课时
前言：
本节内容从本章引言中的航行问题说起，列出分母中含有未知数的方程，然后分析这样的方程的特点，给出分式方程的概念，接着由分式方程的特点引出解分式方程的基本思路，即通过去分母使分式方程化为整式方程，再解出未知数。

在教学过程中要重视分式方程的特殊性，突出其解法的关键步骤：化分式方程为整式方程和检验。

本节知识都是进一步学习数学时必须具备的基础知识，打好基础很重要，因此教学中应注意通过必要的练习使学生切实地掌握它们。

一、教学任务分析
二、教学流程安排
三、教学过程设计
活动二诱导尝试，探究新知
：如何解分式方程=
：如何解分式方程=
=
(2)
(3)-1=
的值比分式
为何值时，分式方程+k=无解。

四、板书设计。

人教版八年级数学上册15.3《分式方程》教案

人教版八年级数学上册15.3《分式方程》教案
一、教学内容
人教版八年级数学上册15.3《分式方程》教案：
1.理解分式方程的概念，掌握分式方程的解法。
2.学习如何将分式方程转化为整式方程，包括去分母、去括号、移项、合并同类项等操作。
3.掌握求解分式方程的步骤，并能解决实际问题。
4.本章内容主要包括以下例题和练习：
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“分式方程在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
e.实际问题：根据已知条件，求解涉及分式的实际应用问题。
二、核心素养目标
1.培养学生的逻辑推理能力，使其能够通过观察、分析、归纳，掌握分式方程的解法，提高解决问题的能力。
2.培养学生的数学抽象思维，通过分式方程的学习，理解数学知识在实际问题中的应用，增强数学建模能力。
3.培养学生的运算能力和数据分析能力，使其在解决分式方程问题时，能够熟练运用数学运算，准确判断数据的合理性和解的正确性。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解分式方程的基本概念。分式方程是含有分式的方程，其特点是方程中至少有一个未知数在分母中。分式方程在解决实际问题中有着广泛的应用，如比例计算、速率问题等。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了分式方程在解决实际问题时如何转化为数学模型，并通过求解方程得到答案。
4.培养学生的团队合作意识，通过小组讨论和交流，共同探讨分式方程的解题策略，提高沟通能力和协作能力。

15.3分式方程-增根(教案)-人教版八年级数学上册

在学生小组讨论环节，我注意到有些学生发言积极，但也有一些学生较为沉默。为了鼓励更多学生参与讨论，我将在下一次教学中尝试采取一些激励措施，如对积极发言的学生给予表扬和奖励，以提高学生的积极性。
举例：在去分母时，要注意将等式两边的每一项都乘以分母的最小公倍数，避免漏乘或乘错。
（3）解整式方程后的检验：学生在解整式方程后，容易忽视对解的检验。教师应强调检验的重要性，并教授具体的检验方法。
举例：求解分式方程$\frac{1}{x-2} = \frac{2}{x+1}$，解得$x=5$，需将$x=5$代入原方程检验是否成立。
1.教学重点
（1）理解增根的定义：增根是指使分式方程分母为零的根。这是本节课的核心概念，教师需通过实例讲解，使学生深刻理解增根的含义。
举例：分式方程$\frac{1}{x-a}= \frac{2}{a}$，当$x=a$时，分母为零，此时$x=a$为增根。
（2）掌握求解含增根分式方程的方法：包括识别增根、去分母、求解整式方程、检验解等步骤。教师需详细讲解并举例说明每个步骤的操作方法。
2.教学难点
（1）增根的识别：对于初学者来说，判断何时会产生增根是一大难点。教师可通过列举不同类型的分式方程，帮助学生识别增根。
举例：分式方程$\frac{1}{x-a} + \frac{1}{x-b} = \frac{2}{x-c}$，增根可能为$x=a$、$x=b$或$x=c$。
（2）去分母过程中易出现的错误：在求解含增根分式方程时，去分母是关键步骤，但学生容易在此过程中出现错误。教师应详细讲解并强调注意事项。
五、教学反思
在本次教学过程中，我发现学生们对增根的概念和求解含增根分式方程的方法掌握程度有所不同。有些学生能够迅速理解并运用到实际题目中，但也有一些学生在识别增根和处理分母为零的情况时遇到困难。这让我意识到，在教学过程中，我们需要针对不同水平的学生进行有针对性的指导。

初中数学人教版八年级上册15.3 分式方程


先把分式方程转化为整式方程，再把使得分式方程 中分母为零的未知数的值代入到转化后的整式方程 中，即可求得待定量的值.
列分式方程解应用题
一般步骤
列 (1)审：找出问题中已知与未知的数量关系；
分 (2)设：一般是直接设未知数，个别是间接设未知数；
式 方
(3)列：根据等量关系列出分式方程；
程 (4)解：解转化后的整式方程；
3
所以 2 m ≠2,解得m≠0.综上所述，m的取值范围为m＜6
3
且m≠0.故选C.
本题在求m的取值范围时，只注意到方程
2 x2
xm 2 x
2
的解为正数，而忽略了排除分式方程无解的情况.
题型一 解分式方程
角度a 可化为一元一次方程的分式方程
例8 解方程：
y
6y 2
12 4y
4
y2 4 y2 4y 4
角度b 解含有字母的分式方程
例9 解方程： x m x (m -2, m -1). x1 x1 x1
思路导图
方程两边同乘 （x-1）(x+1)，把 分式方程转化为 整式方程，解整 式方程
检验，将求得 的整式方程的 解代入分式方 程的最简公分 母中，检验是 否为零
写出 原分 式方 程的 解
解：方程两边同乘(x-1)(x+1)，得(m+2)x=-m.
续表
知识 解读
(1)问题中的数量关系可能不止一个，分析得出 与未知的等量关系，选择适当的未知数可以简 化方程； (2)列方程时要保持单位统一； (3)注意在分式方程应用题中检验意义的双重性， 既要检验得到的整式方程的解是否是列出的分 式方程的解，又要检验其是否符合实际意义
注意：列分式方程解应用题一定要检验，同时还要 保证其结果符合实际意义.
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分式方程
去 分 母
整式方程
再看分式方程
1 10 2 x 5 x 25
在方程的两边都乘以最简公分母 (χ +5)(χ –5),得到整式 方程：
χ+ 5 = 10
解这个整式方程，得
χ= 5
把 χ = 5 代入原分式方程检验：
1 10 的分母的值都为零. 、2 x 5 x 25
这两个分式都无意义，因此 χ= 5 虽是整式方程χ+ = 10的解，但不是原分式方程的解.
解方程:
5 3 (1) x x2 2 4 = 2 2 2x-1 4x -1 1 5x ( 3)1 x4 x4
通过例题的讲解和练习的操作,你能 总结出解分式方程的一般步骤吗?
解分式方程的一般步骤: (1)在方程的两边都乘以最简公分母,化成 整式 ____________方程; 整式 (2)解这个____________方程; 这个整式 (3)检验:把__________方程的解代入 最简公分母中 不为零 ____________.如果值_________,就 是原方程的解;如果值__________,就不 为零 舍去 是原方程的解.应当__________.
15.3分式方程
一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时,它
沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间,与以最
大航速逆流航行60千米所用时间相等, 江水的流速 为多少?
分析：设江水的流速为 v 千米/时，根据题意，得
90 60 30 v 30 v
叫
此方程与前面 所学的整式方 程有什么不同?
5
所以原分式方程无解.
90 60 上面两个分式方程中，为什么 ① 30 v 30 v
去分母后所得整式方程的解就是 ①的解，
1 10 2 ② 而 x 5 x 25
去分母后所得整式方程的解却不是 ② 的解呢？
解分式方程的一般步骤
1、在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母， 化成整式方程. 2、解这个整式方程.
பைடு நூலகம்
3、把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公 分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解； 否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去.
一化二解三检验
例1: 解分式方程
2 3 x 3 x
解：方程两边同乘χ(χ-3)，得 2χ=3χ-9 解得 χ=9 检验：χ=9时χ(χ-3) ≠0， χ=9是原方程的解。
分母中含有未知数的方程
分式方程
.
下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程.
x2 x 4 3 (1) 7 2 3 x y 1 3 (2) (4) x( x 1) 1 x2 x x 3 x x 6） x x 1 10 (3) （ 2 5 2
整式方程
1 （5）x 2 x
x 3 例2 解方程 1 x 1 ( x 1)( x 2)
解： 方程两边同乘以 (χ -1)(χ +2)，得 χ (χ +2)-(χ -1)(χ +2)=3 化简，得 χ +2=3 解得 χ =1 检验：χ =1时(χ -1)(χ +2)=0,
χ =1不是方程的解，原分式方程无解。
课本 习题
15.3
1. (1)—(8)
2x 1 3x 1 x
分式方程
90 60 如何求分式方程 的解呢 30 v 30 v
解:方程两边同乘以(30+v)(30-v), 得
90(30-v)=60(30+v)
解得
v=6.
解分式 方程的 思路是
检验:将v＝6代入原方程得: ∵左边=2.5 右边=2.5 左边=右边 ∴ v＝6是原分式方程的解