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分式方程〔1〕一、教课目的1．知识目标 :(1)理解分式方程的意义 ;(2)认识解分式方程的根本思路和解法;(3)理解解分式方程时可能无解的原由,并掌握分式方程的验根方法.2.能力目标 :经历“实质问题 --- 分式方程 ---整式方程〞的过程 ,展开学生剖析问题﹑解决问题的能力 ,浸透数学的转变思想 ,培育学生的应意图识 .3.感情目标 :在活动中培育学生乐于研究﹑合作学习的习惯,培育学生努力找寻解决问题的进步心 ,领会数学的应用价值 .二、教课要点和难点1.要点：解分式方程的根本思路和解法．2.难点：理解解分式方程时可能无解的原由.3．疑点及剖析和解决方法：解分式方程的根本思想是将分式方程转变成整式方程 (转变思想 )，根本方法是去分母 (方程左右两边同乘最简公分母)，而正是这一步有可能使方程产生增根．让学生在学习中议论进而理解、掌握．三、教课过程(一 )创建情境，导入新课问题：一艘轮船在静水中的最大航速为90 km 所用时间 , 与以最大航速逆流航行30 km/h,它以最大航速沿江顺水航行60 km 所用时间相等 , 江水的流速为多少 ?剖析：设江水的流速为v km/h，那么轮船顺水航行的速度为〔30＋ v〕 km/h，逆流航行的速度为〔 30－v〕 km/h，顺水航行 90 km 所用的时间为90小时，逆流航行 60 km 所用的时间为60 30＋ v30－ v小时。
可列方程90＝60 30＋ v30－ v这个方程和我们从前所见过的方程不一样，它的主要特色是：分母中含有未知数，这类方程就是我们今日要研究的分式方程．(二)研究新知 :1.教师提出以下问题让学生研究:(1)方程90＝60与从前所学的整式方程有何不一样? 30＋ v30－ v(2)什么叫分式方程 ?9060(3)如何解分式方程＝呢?如何查验所求未知数的值是原方程30＋ v30－ v的解 ?(4)你能联合上述研究活动概括出解分式方程的根本思路和做法吗?(学生思虑﹑议论后在全班沟通)2.依据学生研究结果进行概括:(1)分式方程的定义 (板书 ):分母里含有未知数的方程叫分式方程．从前学过的方程都是整式方程练习：判断以下各式哪个是分式方程．在学生回复的根基上指出(1)、(2)是整式方程， (3)是分式， (4)是分式方程．(2)解分式方程90＝60的根本思路是：将分式方程化为整式方程 . 30＋ v30－ v.这也是解分式方程的一般思路和做法 .1103.模仿上边解分式方程的做法,试试解分式方程x5x225,并查验所得的解 ,你发现了什么 ?与你的伙伴沟通 .4.思虑 :上边两个分式方程中,为何90＝60①去分母后所得整式30＋ v30－ v110方程的解就是①的解,而x5x225 ②去分母后所得整式方程的解却不是②的解呢 ?学生疏组议论上述结果产生的原由,并相互沟通 .5.概括 :(1)增根：将分式方程变成整式方程时，方程两边同乘以一个含有未知数的整式，并约去分母，有可能产生不合适原方程的解〔或根〕，这类根往常称为增根(2)解分式方程一定进行查验 :将整式方程的解代入最简公分母 ,假如最简公分母的值不为 0,那么整式方程的解是原分式方程的解;否那么 ,这个解不是原分式方程 的解 .(三)牢固练习 : 1.在方程x7 x 156 1 x②2x①3 8268x 81 1③④ x x 021 x 12x中是分式方程的有〔 〕A. ①和②B.②和③C.③和④D.④和①2.解分式方程 :(1) 12(2) 1212xx 3x1 x 2(四)讲堂小结 :1.经过本节课的学习 ,你有哪些收获 ?2.在本节课的学习过程中 ,你有什么领会 ? 与伙伴沟通 .指引学生总结得出 :解分式方程的一般步骤：(1)．在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程．(2)．解这个整式方程．(3)．把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否是零；使最简公分母为零的根不是原方程的解，一定舍去．四 .板书设计 :分式方程〔 1〕一、分式方程的定义二. 解分式方程的一般步骤： 三 、 解 分 式 方 程分母里含有未知数的(1)．在方程的两边都乘以最方程叫分式方程简公分母，约去分母，化为整90＝60式方程．30＋ v30－ v110 x 5 x2 25(2)．解这个整式方程．(3)．把整式方程的根代入最学生饰演区简公分母，看结果是否是零；使最简公分母为零的根不是原方程的解，一定舍去．五 .教课反省1、一孔之见的人，多不谦逊；见多识广有本事的人，必定谦逊。
人教版八年级数学上册：15.3 分式方程教课设计设计分式方程教课目标教课要点教课难点教课过程预习导1．领会分式方程到整式方程的转变思想。
2．掌握分式方程的解法。
掌握分式方程的解法。
认识增根产生的原由及分式验根的必需性。
教课内容增补调整1．等式性质有哪些？2．解以下一元一次方程（1）x1 x（2） 2x 1 x 12324学教阅读课文，回答以下问题：解分式方程一般要经历几个步骤？解分式方程的依照是什么？学解分式方程的基本思想是转变，即把分式方程转变为何是分式方程的增根？增根产生的原由是什么？研如何进行验根？1 / 3人教版八年级数学上册：15.3 分式方程 教课设计设计合作研究研究 1：解以下分式方程讨1 1 32 480 600 ○ 2 x ○ x 45 x 2x研究 2：小组议论说一说解上边方程时出现的问题？谈一谈验根的必需性。
解分式方程用到了那些思想。
研究 3：若对于 x 的方程 m 1 2x 1 有增根，求 m 的值。
x 2 2 x当若分式方程 1 7 x 4 有增根，则增根为x 3 3 x方程 3 4 x 的解为 x70 x 5 堂解方程 1 3x 4 4 3x 检测若对于 x 的方程 ax1 0 有增根，求 a 的值。
x 1延已知： x 2 4x 1 0 ，求 x 2 12 的值 x 2 / 3人教版八年级数学上册：15.3 分式方程教课设计设计伸拓展总结反省1．本节课你有哪些收获？2．预习时的疑难解决了吗？你还有哪些迷惑？3．你以为老师上课过程中还有哪些须要注意或改良的地方3 / 3。
15．3分式方程(一)一、教学目标：1．了解分式方程的概念, 和产生增根的原因.2．掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根.二、重点、难点1．重点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根.2．难点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根.三、教学过程：（一）板书标题，呈现教学目标：1．了解分式方程的概念, 和产生增根的原因.2．掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根.（二）引导学生自学：阅读P26-29练习，并思考下列问题:1.分式方程的概念？2.解整式方程的一般步骤？解分式方程的一般步骤又是什么？3.为什么有的分式方程去分母后得到的整式方程的解就是原方程的解，而有的分式方程去分母后得到的整式方程的解就不是原方程的解？4．分式方程为什么要检验？检验的方法的理论根据是什么？8分钟后，检查自学效果（三）学生自学，教师巡视：学生认真自学，并完成P29练习（四）检查自学效果：1．学生回答老师所提出的问题2．学生回答P29练习（五）引导学生更正，归纳：1．更正学生错误；2．分母中含未知数的方程叫做分式方程.3．要使学生掌握解分式方程的基本思路是将分式方程转化整式方程，具体的方法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母.4．P28例1.找对最简公分母x(x-3),方程两边同乘x(x-3),把分式方程转化为整式方程，整式方程的解必须验根这道题还有解法二：利用比例的性质“内项积等于外项积”，这样做也比较简便.5．P28例2.找对最简公分母(x-1)(x+2),方程两边同乘(x-1)(x+2)时,不要整数1漏乘最简公分母(x-1)(x+2)，整式方程的解必须验根.（六）课堂练习1．解方程 (1)01152=+-+x x (2) x x x 38741836---=- (3)01432222=---++x x x x x (4)4322511-=+-+x x2．X 为何值时，代数式xx x x 231392---++的值等于2？作业：1．习题15.3第1题(B 本)2．《感悟》P14-16 分式方程(一)3.预习P29-31练习.。
15．3分式方程(一)教学目标：1．了解分式方程的概念, 和产生增根的缘故.2．把握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根.重点难点1．重点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会查验一个数是不是原方程的增根.2．难点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会查验一个数是不是原方程的增根.教学进程一、例、习题的用意分析1． P149试探提出问题，引发学生的试探，从而引出解分式方程的解法和产生增根的缘故.2．P149的归纳明确地总结了解分式方程的大体思路和做法.3． P150试探提出问题，什么缘故有的分式方程去分母后取得的整式方程的解确实是原方程的解，而有的分式方程去分母后取得的整式方程的解就不是原方程的解，引出分析产生增根的缘故，及P151的归纳出查验增根的方式.4． P150试探提出P33的归纳出查验增根的方式的理论依照是什么？5． 教材P154习题第2题是含有字母系数的分式方程，关于学有余力的学生，教师能够点拨一下解题的思路与解数字系数的方程相似，只是在系数化1时，要考虑字母系数不为0,才能除以那个系数. 这种方程的解必需验根.二、课堂引入1．回忆一元一次方程的解法，而且解方程163242=--+x x 2．提出本章引言的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所历时刻，与以最大航速逆流航行60千米所历时刻相等，江水的流速为多少？分析：设江水的流速为v 千米/时，依照“两次航行所历时 间相同”这一等量关系，取得方程vv -=+206020100. 像如此分母中含未知数的方程叫做分式方程.三、例题讲解（P151）例1.解方程[分析]找对最简公分母x(x-3),方程两边同乘x(x-3),把分式方程转化为整式方程，整式方程的解必需验根这道题还有解法二：利用比例的性质“内项积等于外项积”，如此做也比较简便.（P151）例2.解方程[分析]找对最简公分母(x-1)(x+2),方程两边同乘(x-1)(x+2)时,学生容易把整数1漏乘最简公分母(x-1)(x+2)，整式方程的解必需验根.四、随堂练习讲义P152练习.五、课后练习1．讲义P154习题15.3第1题.2．X 为何值时，代数式x x x x 231392---++的值等于2？15．3分式方程(二)教学目标：1．会分析题意找出等量关系.2．会列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题.重点难点1．重点：利用分式方程组解决实际问题.2．难点：列分式方程表示实际问题中的等量关系.教学进程一、例、习题的用意分析本节的P152例3不同于旧教材的应用题有两点：（1）是一道工程问题应用题，它的问题是甲乙两个施工队哪个队的施工速度快？这与过去直接问甲队单独干多少天完成或乙队单独干多少天完成有所不同，需要学生依照题意，寻觅未知数，然后依照题意找出问题中的等量关系列方程.求得方程的解除要查验外，还要比较甲乙两个施工队哪个队的施工速度快，才能完成解题的全进程（2）教材的分析是填空的形式，为学生分析题意、设未知数搭好了平台，有助于学生找出题目中等量关系，列出方程.P153例4是一道行程问题的应用题也与旧教材的这种题有所不同（1）此题中涉及到的列车平均提速v 千米/时，提速前行驶的路程为s 千米，完成. 用字母表示已知数（量）在过去的例题里并非多见，题目的难度也增加了；（2）例题中的分析用填空的形式提示学生用已知量v 、s 和未知数x ，表示提速前列车行驶s 千米所用的时刻，提速后列车的平均速度设为未知数x 千米/时，和提速后列车行驶（x+50）千米所用的时刻.这两道例题都设置了带有探讨性的分析，应注意鼓舞学生踊跃探讨，当学生在探讨进程中碰到困难时，教师应启发诱导，让学生通过自己的尽力，在克服困难后体会如何探讨，教师不要替代他们试探，不要过早给出答案.教材中为学生自己动手、动脑解题搭建了一些提示的平台，给了设未知数、解题思路和解题格式，但教学目标要求学生仍是要独立地分析、解决实际问题，因此教师还要给学生一些问题，让学生发挥他们的才能，找到解题的思路，能够独立地完成任务.专门是题目中的数量关系清楚，教师就放手让学生做，以提高学生分析问解决问题的能力.二、例题讲解P152例3分析：此题是一道工程问题应用题，大体关系是：工作量=工作效率×工作时刻.这题没有具体的工作量，工作量虚拟为1，工作的时刻单位为“月”.等量关系是：甲队单独做的工作量+两队一起做的工作量=1P153例4分析：是一道行程问题的应用题, 大体关系是：速度=时间路程.这题用字母表示已知数（量）.等量关系是：提速前所用的时刻=提速后所用的时刻三、随堂练习讲义P154练习.四、课堂小结本节课你学到了什么？五、布置作业讲义P154习题15.3第3、4、五、6题.。
人教版数学八年级上册教学设计《15-3分式方程》（第1课时）一. 教材分析《15-3分式方程》是人教版数学八年级上册的教学内容，本节课的主要内容是让学生掌握分式方程的定义、解法以及应用。
分式方程是初高中数学的重要衔接点，对于培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力具有重要意义。
教材通过引入实际问题，让学生在解决问题的过程中自然地接触到分式方程，并逐步引导他们理解和掌握分式方程的解法。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了整式方程的解法，对代数式有一定的了解。
但由于分式方程与整式方程在形式和思想上都有较大的区别，学生可能存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的认知差异，针对不同学生的学习情况，进行有针对性的教学。
三. 教学目标1.理解分式方程的定义，掌握分式方程的解法。
2.能够应用分式方程解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.分式方程的定义及解法。
2.分式方程在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生自然地接触到分式方程。
2.启发式教学法：在教学过程中，引导学生主动思考，发现分式方程的解法，培养学生的逻辑思维能力。
3.案例教学法：通过分析实际问题，让学生学会将分式方程应用于解决实际问题。
六. 教学准备1.教学PPT：制作包含实际问题、解题步骤和应用案例的教学PPT。
2.教学素材：准备一些实际问题，作为课堂练习和拓展应用的材料。
3.板书设计：设计清晰、简洁的板书，帮助学生理解和记忆分式方程的解法。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一个实际问题，让学生尝试解决。
在解答过程中，引导学生发现这是一个分式方程。
通过这个问题，引出本节课的主题——分式方程。
2.呈现（10分钟）讲解分式方程的定义，让学生了解分式方程的基本形式。
接着，介绍分式方程的解法，包括去分母、求解、检验等步骤。
在这个过程中，引导学生积极参与，发现问题、解决问题。
课题：15.3分式方程
课题：15.3分式方程
字。
2.解：设小红每分钟录入x 字，则 90002500220x x
=
- 解得x ＝120。
经检验是原方程的根。
220一x=100。
答：小红每分钟录入120宇，小丽每分钟录入100字。
例2、某工程队承建一所希望学校。
在施工过程中，由于改进了工作方法，工作效率提高了20％，因此，比原定工期提前1个月完工。
这个工程队原计划用几个月建成这所希望学校? 分析：如果设工程队原计划用x 个月建成这所学校，那么，改进工作方法前的工作效率为1x
，改进工作方法后的工作
效率为1
1
x -。
根据等量关系“改进工作方法前的工作效率
1
x
×(1+20％)＝改进工作方法后的工作效率”，可列出方程。
解：设工程队原计划用x 个月建成这所希望学校，根据题
意，得11
(120)1
x x +=-％。
解这个方程，得x ＝6。
经检验，x=6是原方程的根。
答：这个工程队原计划用6个月建成这所希望学校。
三、练习
某项工作，甲、乙两人合作3天后，剩下的工作由乙单独来做，用1天即可完成。
已知乙单独完成这项工作所需天数是甲单独完成这项工作所需天数的2倍。
甲、乙单独完成这项工作各需多少天? 四、课堂小结
本节课学习了列分式方程解应用，与列整式方程的步骤基本相同，但解得结果要检验，解既要是分式方程的解，又要符合题意。
课题：15.3分式方程（1）
教学目标：
理解分式方程的概念，掌握分式方程的解法，理解解分式方程时可能无解的原因，并掌握解分式方程的验根方法．
重点：
解分式方程的基本思路和解法．
难点：
理解解分式方程时可能无解的原因．
教学流程：
一、复习引入
问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它沿江以最大航速顺流航行90 km所用时间，与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等，江水的流速为多少？
题目中相等的数量关系是：t t
顺逆
＝
解：设江水的流速为v km/h.
依题意得：
9060
. 3030
v v
=
+-
追问：仔细观察这个方程，未知数的位置有什么特点？归纳：分母中含未知数的方程叫做分式方程.
二、探究
想一想：解一元一次方程的一般步骤是什么?
答案：去分母,去括号,移项,合并同类项,系数化为1
思考:如何解分式方程
9060 3030
v v
=
+-
呢?
答案：先去分母，将分式方程转化为整式方程, 再解整式方程.即：利用等式的性质2，方程两边都乘(30+v)(30－v)
追问：怎样去分母呢？
答案：乘各分母的最简公分母
解：方程两边都乘(30+v)(30－v)得，
解得，v=6
90(30－v)=60(30+v)
检验：把v =6代入原方程中，左边＝右边
因此v＝6是原方程的解
即，江水的流速为6km/h.
解分式方程的一般思路：
分式方程－去分母（两边乘最简公分母）－整式方程 尝试练习：解分式方程：211055
x x =-- 解：方程两边乘最简公分母 (x +5)(x －5)得，
解得， x =5
x +5=10
检验:把x = 5 代入原方程中，发现x －5和x 2－25的值都为0，相应的分式无意义，因此x =5虽是方程x +5=10的解，但不是原分式方程
211055x x =--的解．实际上，这个分式方程无解．
思考：上面两个分式方程中，为什么90603030v v
=+-去分母后得到的整式方程的解就是它的解，而2110525
x x =-- 去分母后得到的整式方程的解，却不是原分式方程的解呢？ 归纳：一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0,所以分式方程的解必须检验.
追问：怎样检验这个整式方程的解是不是原分式的解？
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则这个解就不是原分式方程的解．
例：解方程2331213112x x x x x x =-=---+（）； （）．（）（）
解：（1）方程两边乘 x (x －3)得，
2x =3x －9
解得，x =9
检验：当x =9时， x (x －3)≠0.
所以，原分式方程的解为x =9.
（2）方程两边同乘以 (x －1) (x ＋2) , 得
x (x +2)－(x －1)(x +2)=3
解得, x = 1
检验：当x = 1 时，(x －1) (x ＋2)＝0，因此x =１不是原分式方程的解.
所以，原分式方程无解．
三、归纳
解分式方程的一般步骤
练习：
1．下列方程不是分式方程的是( ) A.1x －x ＝0 B.x 2－23x ＝15 C.21－x ＋11＋x
＝1 D.2x ＝6x －3 答案：B
2．把分式方程2x ＋4＝1x
转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以( ) A ．x B ．2x C ．x ＋4 D ．x(x ＋4)
答案：D
3．若关于x 的方程m x －4＝1－x 4－x
有增根，则增根是( ) A ．－4
B ．1
C ．4
D ．－1 答案：C
4.解方程：23=133
x x x --+- 解：方程两边乘 (x +3)(x －3)得，
(x －2)(x －3)－3 (x +3)＝(x +3) (x －3)
解得，34
x = 检验：当34x =
时， (x +3) (x －3)≠0. 分式方程 整式方程
a 是分式
方程的解 x ＝a
a 不是分式 方程的解 去分母
解整式方程
检验 目标 最简公分
最简公
所以，原分式方程的解为34
x
. 四、应用提高 已知关于x 的方程x ＋1x －2－x x ＋3＝x ＋a （x －2）（x ＋3）
的解是负数，求a 的取值范围． 解：去分母，得5x ＝a －3，
∴x ＝a －35
， 依题意得x ＜0且x≠－3，
∴a －35＜0且a －35
≠－3， 解得a ＜3且a≠－12
五、体验收获
今天我们学习了哪些知识？
1.什么是分式方程？
2.解分式方程的一般步骤是什么？
3.分式方程为什么是检验？
六、达标测评
1．下列方程：
①x －12＝16；②x －2x ＝3；③x （x －1）x ＝1；④4－x π＝x 3；⑤3x ＋x －25＝10；⑥1x ＋2y ＝7， 其中是整式方程的有__________，
是分式方程的有_______________.(填序号)
答案：①④⑤；②③⑥
2．将分式程1－2x x －1＝3x －1
去分母，得到正确的整式方程是( ) A ．1－2x ＝3 B ．x －1－2x ＝3 C ．1＋2x ＝3 D ．x －1＋2x ＝3
答案：B
3．若方程x x －4＝2＋a x －4
有增根，则a ＝____． 答案：4
4．若关于x 的分式方程m －1x －1
＝2的解为非负数，则m 的取值范围是( ) A ．m>－1 B ．m≥1 C ．m>－1且m≠1 D ．m≥－1且m≠1
答案：D
5.解方程.22213231223113122x x x x x x x x
-=-=----+（）；(）． 答案：（1）15x =
；（2）x ＝－1是增根，原方程无解 七、布置作业
教材152页练习题．。
