第6讲 因式分解

教育教学讲义
学员姓名：年级：学科教师：
上课时间：辅导科目：数学课时数：2
课题因式分解
教学目标讲解因式分解的三种方法 1 提取公因式法2用乘法公式因式分解3特殊的因式分解
教学内容
课前检测
知识梳理
6.1因式分解
谁能以最快速度求：当a=101，b=99时，a2－b2的值?
概念．像这样，把一个多项式化成几个整式的积的形式叫因式分解，有时，也把这一过程叫分解因式．
①左边是多项式，右边是整式；②右边是整式的乘积的形式．
1．填空(整式乘法，因式分解)
2．这两种运算是什么关系?(互逆)
图示表示：。

因式分解是代数运算中最重要的恒等变形。

因式分解是把一个多项式在一个范围（如实数范围内分解，即所有项均为实数）化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。

因式分解方法灵活，技巧性强。

学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养解题技能、发展思维能力都有着十分独特的作用。

学习它，既可以复习整式的四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、思维发展性、运算能力，又可以提高综合分析和解决问题的能力。

分解因式注意点：确定公因式的方法：用提公因式法进行因式分解时，要做到准确迅速地确定公因式，需考虑以下因素：1、第一项有负号，先把负号作为公因式的符号；2、公因式系数是各项系数的最大公约数；3、公因式中的字母是各项都含有的字母；4、公因式中的字母的次数是各项相同字母的最低次幂；5、若有某项与公因式相同时，该项保留公因式是1，而不是0；6、若多项式作为项的一个因式，且各项均含有相同的因式，就应把它作为一个整体提出。

提取公因式时候容易出现的错误：1、提公因式时丢项分解因式：4a²b-6ab²+2ab错解：4a²b-6ab²+2ab=2ab（2a–3b）错误原因：误认为最后一项提取公因式2ab后，该项不存在而省略。

正解：4a²b-6ab²+2ab =2ab（2a–3b+1）2、提公因式时不完全提取分解因式：6（a–b）²–12（a–b）错解：6（a–b）²–12（a–b）=2（a–b）（3a–3b–6）错误原因：没有按提取公因式的规则找出公因式：即系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的积。

正解：6（a–b）²–12（a–b）=6（a–b）（a–b–2）3、提取公因式后，有同类项不合并分解因式：x(x+y)²–x(x+y)(x–y)错解：x(x+y)²–x(x+y)(x–y)= x(x+y)[(x+y)–(x–y)]错误原因：分解因式时，能合并同类项而没有合并，造成分解不彻底．正解：x(x+y)²–x(x+y)(x–y)= x(x+y)[(x+y)–(x–y)]= x(x+y)(x+y–x+y)=2xy(x+y)分解方法可归纳如下：1、提公因式法提取公因式法是因式分解的最基本的方法之一，就是如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

因式分解讲解一、辅导内容提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法四种基本方法的掌握。

二、学习指导因式分解是代数的重要内容，它是整式乘法的逆变形，在通分、约分、解方程以及三角函数式恒等变形中有直接应用。

重点是掌握提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法四种基本方法。

难点是根据题目的形式和特征恰当选择方法进行分解，以提高综合解题能力。

三、考点阐述考点1 提公因式法和公式法 常用公式：（1）))((22b a b a b a +-=- （2）222)(2b a b ab a ±=+± （3）))((2233b ab a b a b a +-+=+ （4）))((2233b ab a b a b a ++-=- 补充公式：（1）2222)(222c b a ca bc ab c b a ++=+++++（2）))((3222333ca bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++例1 （1）33xy y x -； （2）x x x 2718323+-（3）()112---x x （4）()()3224x y y x ---分析：①因式分解时，无论有几项，首先考虑提取公因式。

提公因式时，不仅注意数，也要注意字母，字母可能是单项式也可能是多项式，一次提尽。

②当某项完全提出后，该项应为“1”③注意()()n na b b a 22-=-，()()1212++--=-n n a b b a④分解结果（1）不带中括号；（2）数字因数在前，字母因数在后；单项式在前，多项式在后；（3）相同因式写成幂的形式；（4）分解结果应在指定范围内不能再分解为止；若无指定范围，一般在有理数范围内分解。

答案：（1）()()y x y x xy -+； （2）()233-x x ；（3）()()21--x x ； （4）()()y x y x -+-222考点2 十字相乘法例2 （1） 893+-x x （2）32231222xy y x y x -+；（3）()222164x x -+ （4）22103y xy x --分析：对于二次三项齐次式，将其中一个字母看作“末知数”，另一个字母视为“常数”。

因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)；(2) (a±b)2 = a2±2ab+b2———a2±2ab+b2=(a±b)2；(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)；例.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

1初二秋季·第6讲·提高班·教师版小人物与大人物满分晋级漫画释义6因式分解的高端 方法及恒等变形代数式11级因式分解的高端方法及恒等变形代数式10级因式分解的常用方法及应用 代数式7级 因式分解的 概念和基本方法2初二秋季·第6讲·提高班·教师版换元法作为一种因式分解的常用方法，其实质是整体思想，当看作整体的多项式比较复杂时，应用换元法能够起到简化计算的作用．【引例】 分解因式：2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++ 【解析】 令248x x u ++=，原式2232()(2)u xu x u x u x =++=++ 又∵248u x x =++∴原式22(48)(482)x x x x x x =++++++22(58)(68)x x x x =++++ 2(2)(4)(58)x x x x =++++典题精练思路导航例题精讲知识互联网题型一：换元法3初二秋季·第6讲·提高班·教师版【例1】 分解因式：⑴()()22353x x x x -----；⑵()()221212xx x x ++++-；⑶()()()()135715x x x x +++++．【解析】 ⑴解法一：令24x x y --=，则原式()()113y y =-+-()()22y y =-+()()2262x x x x =----()()()()1223x x x x =+-+- 解法二：令23x x y --=，则 原式()23y y =--223y y =-- ()()13y y =+-()()223133x x x x =--+--- ()()2226x x x x =----()()()()1223x x x x =+-+-；⑵令21x x y ++=，则原式()112y y =+-212y y =+- ()()34y y =-+()()2225x x x x =+-++ ()()()2125x x x x =-+++．备注：观察题中的形式，可以选择中间值作为整体替换的量，这样能应用平方差公式进行计算，会节省计算量．下面很多题也都可以有多种换元的办法，不一一给出了． ⑶原式()()()()173515x x x x =+++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()228781515x x x x =+++++，设287x x y ++=，则原式()815y y =++()()281535y y y y =++=++()()22810812x x x x =++++ ()()()226810x x x x =++++．【例2】 分解因式：⑴()()()()461413119x x x x x ----+4初二秋季·第6讲·提高班·教师版⑵()()()()166********x x x x --+-+【解析】⑴原式()()22467112719x x x x x =-+-++，设2671x x t -+=， 原式()()()222422693971t x t x t x x x =++=+=-+⑵原式()()()()()()226142624425241622416825x x x x x x x x =--+-+=-+--+ 设224162x x t -+=，原式()()()2221025524163t t t x x =-+=-=--基本方法示例剖析拆项添项法：为了分组分解，常常采用拆项添项的方法，使得分成的每一组都有公因式可提或者可以应用公式.常用思路：1、对于按某一字母降幂排列的三项式，拆开中项是最常见的.2、配方法是一种特殊的添项法，配完全平方的时候，往往需要添上一个适当的项或者讲某一项适当改变，然后在用提取公因式或公式法解决.例如：因式分解：4231x x -+()()()4222222221111x x x x x x x x x =-+-=--=---+例题精讲思路导航题型二：拆、添项及配方法5初二秋季·第6讲·提高班·教师版【引例】 分解因式：32332a a a +++【解析】 解法一：原式()323311a a a =++++()3311a =++()()()211111a a a ⎡⎤=+++-++⎣⎦()()221a a a =+++．解法二：原式()()()322222a a a a a =+++++()()()2222a a a a a =+++++()()221a a a =+++．解法三：原式()()322222a a a a a =+++++()()22121a a a a a =+++++ ()()221a a a =+++．解法四：原式()()321333a a a =-+++()()()221131a a a a a =-+++++ ()()221a a a =+++．【点评】分组方法不唯一，此题解法一、四是将常数2拆项后再分组；解法二、三是将二次项、一次项都拆项后再分解．【例3】 ⑴因式分解：若1x y +=-，则43222234585x x y x y x y xy xy y ++++++的值等于( )A 0B 1-C 1D 3⑵若点P 的坐标()a b ，满足22221016=0a b a b ab ++++，求点P 的坐标．【解析】 ⑴43222234585x x y x y x y xy xy y ++++++()()()()()()()()()()()()()()()()()43322222233432233222232222244444433321x x y x y x y x y xy x y xy xy y x x y x y x y xy x y xy x y y x y x x y x y xy xy y xy x x y xy x y y x y xy x xy y x y =+++++++++=+++++++++⎡⎤=-++++++⎣⎦⎡⎤=-++++++⎣⎦=++=+=故选C ．⑵原式2222=8162=0a b ab a b ab +++++典题精练6初二秋季·第6讲·提高班·教师版()()22=4=0ab a b +++=4=0ab a b ∴-+，=2=2a b ∴-，或=2=2a b -，点P 的坐标为()22-，或()22-，【例4】 分解因式：⑴4224x x y y ++⑵224443x x y y --+- ⑶4322321x x x x ++++【解析】 ⑴ 原式4224222x x y y x y =++-()()2222x y xy =+-()()2222x y xy x y xy =+++-⑵ 原式22(441)(44)x x y y =-+--+22(21)(2)x y =---(212)(212)x y x y =-+---+ (23)(21)x y x y =+--+⑶法一4322321x x x x ++++43222221x x x x x =+++++ 2[(1)]2(1)1x x x x =++++ 2[(1)1]x x =++22(1)x x =++法二4324323222321=1x x x x x x x x x x x x ++++++++++++()()()()222222=111=1x x x x x x x x x x ++++++++++【例5】 分解因式：⑴343115x x -+ ⑵32256x x x +-- ⑶32374x x +-⑷432433x x x x ++++【解析】 ⑴ 原式343015x x x =--+()()()()()()()()2212115212121521253x x x x x x x x x x =+---=-+-=--+⑵ 原式()()32256x x x x =++--7初二秋季·第6讲·提高班·教师版()()()()()()()()2216116132x x x x x x x x x x =++-+=++-=++-⑶ 法一：原式()()322364x x x =++-()()()()()()()()2232222321232x x x x x x x x x x =++-+=++-=++-法二：原式()()3223344x x x =++-()()()()()()()()223141113441232x x x x x x x x x x =++-+=++-=++-法三：原式()()3223294x x x =-+-()()()()()()()()2232323232321232x x x x x x x x x x =-++-=-++=++-⑷法一：原式4322()(333)x x x x x =+++++22222(1)3(1)(3)(1)x x x x x x x x =+++++=+++法二：原式4232(3)(3)(3)x x x x x =+++++22(3)(1)x x x =+++【探究对象】 对拆项、添项法的探究【探究目的】 熟练运用拆项、添项法进行因式分解. 【探究1】因式分解：()2231b a x abx +-- 【解析】 原式=()()211ax ax bx -++．点评：对于三项式的因式分解，如果用拆项、添项法来分解的话，拆开中项是首选的方法，如果式子中的括号不利于我们拆添项，或不利于分组分解，可以通过去括号来整理式 子，整理完后在继续分解.【探究2】因式分解：323233332a a a b b b ++++++ 【解析】 原式=()()2221a b a ab b a b ++-++++．8初二秋季·第6讲·提高班·教师版点评：此题前三项比完全立方公式少了1，四五六项比完全立方公式少1，所以想办法通过拆项或添项凑成完全立方公式就可以进行因式分解.此类题要求学生对常用乘法公式及其变形掌握熟练.【探究3】因式分解：462x +【解析】 原式=()()228484x x x x +++-点评：遇到类似的题目，只有两项，项数很少，不能拆开中项，可以采取“无中生有”的方法，添上需要的式子，最后在减去相同的式子，目的还是凑成公式，完成因式分解.例题中有类似的题目，难度相对比较大，学生不容易想到.【备选例题】326116x x x +++【解析】先拆项，后分组，再提取公因式，最后再十字相乘.原式()()()()()()()()()3222556615161123x x x x x x x x x x x x x =+++++=+++++=+++ 点评：此题对于学生来说，分解到最后的结果为()()2156x x x +++，因为没有学十字相乘法分解因式，所以学生分解到此阶段就分解不下去了，教师可以在此铺垫一下下节课学 习的十字相乘法，强调因式分解一定要分解到不能在分解为止.【引例】 矩形的周长28cm ，两边长为cm x 、cm y ，且32230x x y xy y +--=，求矩形的面积． 【解析】 由题得2()28x y +=，则14x y +=∵32230x x y xy y +--= ∴22()()0x x y y x y +-+= ∴22()()0x y x y +-=∴()()()0x y x y x y ++-= ∵14x y += ∴0x y -= ∴77x y ==， ∴49S xy ==矩例题精讲题型三：恒等变形9初二秋季·第6讲·提高班·教师版【例6】 ⑴设2=3x z y +，试判断222944x y z xz -++的值是不是定值，如果是定值，求出它的值；否则，请说明理由；⑵证明：对于任意自然数n ，223232n n n n ++-+-一定是10的倍数；⑶已知：2x bx c ++（b 、c 为整数）是42625x x ++及4234285x x x +++的公因式，求b 、c 的值．【解析】 ⑴把222944x y z xz -++进行因式分解得：()()()2229=2323x z y x z y x z y +-+++-把2=3x z y +代入式子得原式是定值为0； ⑵ 原式()()223322n n n n ++=+-+()()22133122110352103102n n n nn n -=+-+=⨯-⨯=⨯-⨯∴223232n n n n ++-+-一定是10的倍数；⑶4242262510254x x x x x ++=++-()()()()22222522525x x x x x x =+-=++-+∵42625x x ++及4234285x x x +++有公因式 ∴()()422234285531x x x x mx x nx +++=++++ ∴30528n m m n +=⎧⎨+=⎩即26m n =-⎧⎨=⎩即()()42223428525361x x x x x x x +++=-+++∴42625x x ++及4234285x x x +++的公因式为225x x -+ 即2a =-，5b =．【备注】例7之后可以让同学们尝试大除法．【探究对象】 整式恒等变形用到的公式主要有平方差公式、完全平方公式、立方和和立方差公式外，还用到下面的公式及变形：()3322333a b a a b ab b ±=±+±222333()()3a b c a b c ab bc ca a b c abc ++++---=++-【探究目的】熟练运用基本乘法公式及变形后，以此为基础对更复杂的整式恒等变形进行探究. 典题精练10 初二秋季·第6讲·提高班·教师版【探究1】若0a b c ++=，3330a b c ++=，求证：2011201120110a b c ++=. 【解析】 由0a b c ++=可知33()a b c +=-，故有322333223333330a a b ab b c a a b ab b c +++=-⇒++++=． 又3330a b c ++=，故22330a b ab +=，即()0ab a b +=． 若0a =，则b c =-，2011201120110a b c ++=； 若0b =，同理有2011201120110a b c ++=；若0a b +=，则0c =，同理也有2011201120110a b c ++=．【探究2】已知3x y z ++=，且333(1)(1)(1)0x y z -+-+-=，求证,,x y z 中至少有一个为1. 【解析】 设1,1,1x a y b z c -=-=-=，则3330,0a b c a b c ++=++=.由3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=++++---可知，0abc = 故,,a b c 中至少有一个为0，即1,1,1x y z ---中至少有一个为0故,,x y z 中至少有一个为1.【备选例题】 设3x y z m ++=，求证：333()()()3()()()0m x m y m z m x m y m z -+-+-----=. 【解析】 原式中的式子太多，不妨采用换元法. 设,,m x a m y b m x c -=-=-=，则要证明的结论变为33330a b c abc ++-=，已知条件变为0a b c ++=. 等式左边的这个式子我们非常熟悉，可变形为222()()a b c a b c ab bc ca ++++---，而0a b c ++=，故原式得证.【探究3】若1a b c ++=，2222a b c ++=，33383a b c ++=，求：①abc 的值；②444a b c ++的值.【解析】 ①由1a b c ++=可知，2222221a b c ab bc ca +++++=又2222a b c ++=，故12ab bc ca ++=-而222333()()3a b c a b c ab bc ca a b c abc ++++---=++-，故333532a b c abc ++-=． 又33383a b c ++=，故118abc =．②4442222222222222222()22242()a b c a b c a b b c c a a b b c c a ++=++---=-++， a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2=(ab +bc +ca )2-2ab 2c -2abc 2-2a 2bc =14-2abc (a +b +c ) 1152141836=-⨯⨯=， 从而可知，4445567424361818a b c ++=-⨯=-=．【例7】 阅读：把多项式2310x x --分解因式得()()231052x x x x --=-+，由此对于方程23100x x --=可以变形为()()520x x -+=，解得5x =或2x =-．观察多项式2310x x --的因式()5x -、()2x +，与方程23100x x --=的解5x =或2x =-之间的关系．可以发现，如果5x =、2x =-是方程23100x x --=的解，那么()5x -、()2x +是多项式2310x x --的因式．这样，若要把一个多项式分解因式，可以通过其对应方程的解来确定其中的因式．例如：对于多项式332x x -+．观察可知，当1x =时，332x x -+0=，则332x x -+()1x A =-，其中A 为整式，即()1x -是多项式332x x -+的一个因式，若要确定整式A ，则可用竖式除法．23232222103232222x x x x x x x x x x x x x x +--+⋅-+----+-+∴()()()()()()()232321211212x x x x x x x x x x -+=-+-=--+=-+． 填空：⑴ 分解因式22x x --=___________⑵ 观察可知，当x = 时，32530x x x +-+=，可得 是多项式3253x x x +-+的一个因式．分解因式：3253x x x +-+= ；⑶ 已知：()321x mx x B +-=+，其中B 为整式，则分解因式：32x mx +-= ． （海淀期末）【解析】 ⑴ ()()12x x +-⑵ 1；()1x -；()()213x x -+ ⑶ ()()212x x +-【点评】 此题是因式分解方法中“因式定理或余数定理”的运用，虽然不会直接考到，但与一元二次方程密切相关，可以了解一下，这种方法不必深入拓展，到此为止即可.训练1. ⑴若a ，b 为有理数，且2222440a ab b a -+++=，则22a b ab += ．⑵求224243a b a b +--+的最值． （北大附中测试题）【解析】 ⑴ 222244a ab b a -+++22222244()(2)0a ab b a a a b a =-++++=-++=，所以2a b ==-，则2216a b ab +=-．⑵ 22224243(1)(21)11a b a b a b +--+=-+-+≥，所以有最小值1．训练2. 计算9999991999n n n ⨯+个个个分析：可将1999n 个用100999n n +个个表示．【解析】 解法一：原式9999999991000n n n n =⨯++个个个个999(9991)10n n n =++个个10(9991)n n =+个210n =解法二：原式299929991n n =+⨯+个个2(9991)n =+个()210n =210n =备注：999101n n =-个是一种常用的变形．又如()13331013nn =-个．训练3. 因式分解42231x x -+【解析】42422222222312125(1)(5)(15)(15)x x x x x x x x x x x -+=++-=+-=+++-训练4. 小学生王琼和他的妹妹王倩的年龄分别是a 岁和b 岁，并且2117a ab +=，试求王琼和王倩的年龄． 【解析】 ∵2117a ab +=∴()1173313a a b +==⨯⨯∵a 为王琼的年龄∴有实际情况得913a a b =+=， ∴94a b ==， ∴王琼9岁，王倩4岁．思维拓展训练(选讲)1099910n nn =⋅+个题型一 换元法 巩固练习【练习1】 分解因式：()()223248390x x x x ++++- 【解析】 原式()()()()12212390x x x x =++++-()()()()12322190x x x x =++++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2225325290x x x x =++++-，令2253x x y ++=，则 原式()190y y =--290y y =-- ()()910y y =+-()()222512257x x x x =+++- ()()()22512271x x x x =+++-．题型二 拆、添项及配方法 巩固练习【练习2】 分解因式：22268x y x y -++-【解析】22222226821(69)(1)(3)x y x y x x y y x y -++-=++--+=+--(13)(13)(4)(2)x y x y x y x y =+-+++-=-++-【练习3】 分解因式： 841x x ++【解析】848444242121(1)(1)x x x x x x x x x ++=++-=+++- 422422242(12)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x =++-+-=++-+-+题型三 恒等变形 巩固练习【练习4】 已知35a b b c -=-=，2221a b c ++=，求ab bc ca ++的值. 【解析】 由35a b b c -=-=可知，65a c -=，故2222221()()()()2ab bc ca a b c a b b c c a ⎡⎤++=++--+-+-⎣⎦1993621()225252525=-⨯++=-.复习巩固【练习5】 已知2a b +=，8a b ⋅=-，求()()()22a a b ab a b b a b +-+++的值． 【解析】 ∵2a b +=，8a b ⋅=-∴()222220a b a b ab +=+-=原式=()()()()222356a b a b ab a b a b ab ⎡⎤++-=++-=⎣⎦测1. 已知2246130a b a b +--+=，求a b +的值．【解析】 ∵2246130a b a b +--+=，∴2244690a a b b -++-+=∴()()22230a b -+-=，∴2030a b -=⎧⎨-=⎩，∴23a b =⎧⎨=⎩，∴5a b +=测2. 因式分解： 22268x y x y -++-【解析】22222226821(69)(1)(3)x y x y x x y y x y -++-=++--+=+-- (13)(13)(4)(2)x y x y x y x y =+-+++-=-++-测3. 因式分解22(1)(2)12x x x x ++++- 【解析】 原式=2(1)(2)(5)x x x x -+++课后测第十五种品格：创新因地制宜日本有一支探险队，历尽千辛万苦来到南极。

因式分解常用12种方法及应用【因式分解的12种方法】把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。

因式分解的方法多种多样，现总结如下：L提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

例1.分解因式x3 -2x 2-xx，~x=x(x^_2x_ 1)2.应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。

例2.分解因式a2 +4沥+4力2解：a2 +4ab+4b2 =(a+2b)23.分组分解法要把多项式am+cm+bm十bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式。

，把它后两项分成一组，并提出公因式们从而得到ct(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n)例3.分解因式m2 +5n-mn-5m解:m2 +5n・mn・5m= m 2-5m-mn+5n =(m2 -5m )+(-mn+5n)4.十字相乘法对于mx2 ^px^-q形式的多项式，如果a^b=m, c^d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ctx+d)(bx+c)例4.分解因式7x2 -19x-6分析：1 x7=7, 2x(-3)=-6 lx2+7x(.3)=・19解：7x2-19x-6=f7x+2；(x-3；5.配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。

例5.分解因式+6x-40 解x2 +6x-40=x2 +6x+( 9) -(9 ) -40=(x+ 3)2 -(7 )2 =[(x+3)+7][(x+3) —7]=(x+10)(x-4)6.拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。

例6.分解因式bc(b^c)+ca(c-a)-ab(a+b)角学：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a^-b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)-^bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)7 .换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。

第6讲一元二次方程及其求解（配方法、公式法、因式分解法）目标导航课程标准1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式；2．掌握直接开平方法解方程，会应用此判定方法解决有关问题；3．理解解法中的降次思想，直接开平方法中的分类讨论与换元思想.4．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；5．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；6．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力. 7．理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；8．正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；9．通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．知识精讲知识点01 一元二次方程的有关概念1．一元二次方程的概念通过化简后，只含有未知数(一元)，并且未知数的最高次数是(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．注意：识别一元二次方程必须抓住三个条件（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2．一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项．注意：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.3．一元二次方程的解使一元二次方程左右两边的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.4．一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.知识点02 一元二次方程的解法（一）直接开方法解一元二次方程1．直接开方法解一元二次方程：利用直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.2．直接开平方法的理论依据：平方根的定义.3．能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.注意：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.（二）配方法解一元二次方程：1．配方法解一元二次方程将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.2．配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.3．用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 注意：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±． 4．配方法的应用（1）用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.（2）用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．（3）用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． （4）用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 注意：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好． （三）公式法解一元二次方程 1．一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当 时，2．一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式： ． ①当时，原方程有两个不等的实数根 ； ②当时，原方程有两个相等的实数根 ； ③当时，原方程 实数根.3．用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.注意：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.（2）一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+=.①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：21,242b b acx a -±-=.② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a =-.③ 当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根. （四）因式分解法解一元二次方程 1．用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为 ；（2）将方程左边分解为两个一次式的 ；（3）令这两个一次式分别为 ，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2．常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 注意：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次 因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.考法01 关于一元二次方程的判定【典例1】下列方程①x 2﹣5x ＝2022，②20ax bx c ++=，③2316xx +=，④2(2)(6)1x x x -+=+，一定是关于x 的一元二次方程的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【即学即练】若()2230aa x x --+= 是关于x 的一元二次方程，则a 的值是（ ） A ．2-B ．2C ．1D ．2±考法02 一元二次方程的一般形式、各项系数的确定能力拓展【典例2】将方程2x 2＝5x －1化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为2，则一次项系数、常数项分别是（ ） A ．－5、1B ．5、1C ．5、－1D ．－5、－1【即学即练】将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是2，一次项系数是4-，常数项是3的方程是（ ） A ．2234x x +=B ．2234x x -=C ．2243x x +=D ．2243x x -=考法03 一元二次方程的解（根）【典例3】若2x =是关于x 的一元二次方程20ax x b --=的一个根，则282a b +-的值为（ ） A ．0B ．2C ．4D ．6【即学即练】若一元二次方程()221310k x x k -++-=有一个解为0x =，则k 为（ ）A ．±1B ．1C ．1-D ．0考法04 用直接开平方法解一元二次方程【典例4】方程()219x +=的解为（ ） A ．2x =，4x =-B ．2,4x x =-=C ．4,2x x ==D ．2,4x x =-=-【即学即练】一元二次方程()2116x +=可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是14x +=，则另一个一元一次方程是（ ） A ．14x -=-B ．14x -=C ．14x +=D ．14x +=-考法05 用配方法解一元二次方程【典例5】用配方法解一元二次方程 x 2-10x ＋11＝0，此方程可化为（ ） A ．（x －5）2＝14B ．（x ＋5）2＝14C ．（x －5）2 ＝36D ．（x ＋5）2 ＝36【即学即练】慧慧将方程2x 2+4x ﹣7＝0通过配方转化为（x +n ）2＝p 的形式，则p 的值为（ ） A ．7B ．8C ．3.5D ．4.5考法06 配方法在代数中的应用【典例6】已知三角形的三条边为,,a b c ，且满足221016890a a b b -+-+=，则这个三角形的最大边c 的取值范围是（ ） A ．c ＞8B ．5＜c ＜8C ．8＜c ＜13D ．5＜c ＜13【即学即练】已知方程264x x -+=，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成()27x p -=的形式，则印刷不清楚的数字是（ ） A ．6B ．9C ．2D ．2-考法07 公式法解一元二次方程【典例7】已知关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），下列命题是真命题的有（ ）①若a ＋2b ＋4c ＝0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0必有实数根；②若b ＝3a ＋2，c ＝2a ＋2，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0必有两个不相等的实根； ③若c 是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根，则一定有ac ＋b ＋1＝0成立； ④若t 是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，则b 2﹣4ac ＝（2at ＋b ）2． A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④【即学即练】x = ）A ．22730x x ++=B ．22730x x --=C ．22730x x +-=D ．22730x x -+=考法08 因式分解法解一元二次方程【典例8】一元二次方程2560x x -+=的根是（ ） A ．12x =，23x =B ．12x =-，23x =C ．12x =，23x =-D ．12x =-，23x =-【即学即练】一个等腰三角形两边的长分别等于一元二次方程216550x x -+=的两个实数根，则这个等腰三角形周长为（ ） A ．11B ．27C ．5或11D ．21或27题组A 基础过关练1．把一元二次方程(1)(1)3x x x +-=化成一般形式，正确的是（ ） A ．2310x x --=B ．2310x x -+=C ．2310x x +-=D ．2310x x ++=2．若方程||(2)310m m x mx +++=是关于x 的一元二次方程，则（ ） A ．2m =±B ．m ＝2C ．2m ≠-D ．2m ≠±3．用配方法解方程2410x x -+=时，结果正确的是（ ） A ．()225x -= B ．()223x -= C ．()225x +=D ．()223x +=4．若关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．k ≥－1B ．k ＞－1C ．k ≥－1且k ≠0D ．k ＞－1且k ≠05．方程22240x x --=的根是（ ） A ．16x =，24x = B ．16x =，24x =- C ．16x =-，24x =D ．16x =-，24x =-6．已知关于x 的一元二次方程(x +1)2+m ＝0可以用直接开平方法求解，则m 的取值范围是________． 7．若一元二次方程240x x k -+=无实数根，则k 的取值范围是_______．分层提分8．关于x 的一元二次方程220x x k ++=有两个相等的实数根，则这两个相等的根是x 1＝x 2＝__________________．题组B 能力提升练1．如果关于x 的一元二次方程()223390m x x m -++-=，有一个解是0，那么m 的值是（ ）A ．3B ．3-C ．3±D ．0或3-2．用配方法解方程2210x x --=时，配方结果正确的是（ ） A ．2(1)2x -=B ．2(1)0x -=C ．2(1)1x -=D ．2(1)2x +=3．有关于x 的两个方程：ax 2+bx +c =0与ax 2-bx +c =0，其中abc ＞0，下列判断正确的是（ ） A ．两个方程可能一个有实数根，另一个没有实数根 B ．若两个方程都有实数根，则必有一根互为相反数C ．若两个方程都有实数根，则必有一根相等D ．若两个方程都有实数根，则必有一根互为倒数4．由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH 组成的大正方形ABCD 如图所示．连结CF ，并延长交AB 于点N ．若35AB =，3EF =，则FN 的长为（ ）A ．2B 5C ．22D ．35．已知实数a 、b 满足()()2222220a b a b +-+-=，则22a b +=________．6．如果关于x 的方程2(1)-=x m 没有实数根，那么实数m 的取值范围是__________． 7．已知方程2x 2+bx +a ＝0（a ≠0）的一个根是a ． (1)求2a +b 的值；(2)若此方程有两个相等的实数解，求出此方程的解． 8．先阅读，后解题．已知2226100m m n n ++-+=，求m 和n 的值．解：将左边分组配方：()()2221690m m n n +++-+=．即()()22130m n ++-=．∵()210m +≥，()230n -≥，且和为0，∴()210m +=且()230n -=，∴1m =-，3n =．利用以上解法，解下列问题：(1)已知：224250x x y y ++-+=，求x 和y 的值．(2)已知a ，b ，c 是ABC 的三边长，满足228625a b a b +=+-且ABC 为直角三角形，求c ．题组C 培优拔尖练1．若方程22432mx x x +-=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A ．0m >B ．0m ≠C ．2m ≠D ．2m ≠-2．若对于任意实数a ，b ，c ，d ，定义a bc d＝ad －bc ，按照定义，若11x x +- 23x x -＝0，则x 的值为（ ） A ．3B ．3-C ．3D ．3±3．对于一元二次方程()200++=≠ax bx c a ，下列说法：①若0a b c ++=，则240b ac -≥；②若方程20ax c +=有两个不相等的实根，则方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实根； ③若c 是方程20ax bx c ++=的一个根，则一定有10ac b ++=成立；②若0x 是一元二次方程20ax bx c ++=的根，则()22042b ac ax b -=+其中正确的（ ） A ．只有①②④B ．只有①②③C ．①②③④D ．只有①②4．如图，在矩形ABCD 中，AB =14，BC =7，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，P 、Q 均为CD 边上的动点（点Q 在点P 左侧），点G 为MN 上一点，且PQ =NG =5，则当MP +GQ =13时，满足条件的点P 有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个5．已知代数式A ＝3x 2﹣x ＋1，B ＝4x 2＋3x ＋7，则A ____B （填＞，＜或＝）． 6．若x m =时，代数式223x x --的为0，则代数式243m m --=________． 7．已知：关于x 的方程kx 2﹣（4k ﹣3）x ＋3k ﹣3＝0 (1)求证：无论k 取何值，方程都有实根； (2)若x ＝﹣1是该方程的一个根，求k 的值；(3)若方程的两个实根均为正整数，求k 的值（k 为整数）．8．如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如x 2＋x ＝0是“差1方程”． (1)判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由； ①x 2﹣5x ﹣6＝0； ②x 25＋1＝0；(2)已知关于x 的方程x 2﹣（m ﹣1）x ﹣m ＝0（m 是常数）是“差1方程”，求m 的值；(3)若关于x 的方程ax 2＋bx ＋1＝0（a ，b 是常数，a ＞0）是“差1方程”，设t ＝10a ﹣b 2，求t 的最大值．。

因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）a 2-b 2=(a+b)(a -b)；(2) a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4) a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2)．(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6) a 3±3a 2b+3ab 2±b 3=(a±b)3．例.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。