第三章空间向量与立体几何

变式训练
已知 a＝(1,2，12)，b＝(12，－12，1)，c＝(－2,3， －12)，d＝(1，－32，14)．
求证：a⊥b，c∥d.
证明： ∵ a＝ (1,2，12)， b＝ (12，－12，1)， ∴a·b＝1×12＋2×(－12)＋12×1＝0. ∴ a⊥ b. ∵ c＝ (－ 2,3，－12)， d＝ (1，－32，14)， ∴ c＝－ 2(1，－32，14)＝－ 2d. ∴ c∥ d.
(1)求证：EF⊥CF； (2)求E→F与C→G所成角的余弦值； (3)求 CE 的长． [分析] 可建立空间直角坐标系，利用向量的坐 标形式解题．
[解] 建立如图 3 所示的空间直角坐标系 D－xyz， 则 D(0,0,0)，E(0,0，12)，C(0,1,0)， F(12，12，0)，G(1,1，12)．
[解] (1)如图 1，以 D 为原点，DA，DC，DD1 所在的直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，设 AA1＝a，
则 B(4,4,0)，N(2,2，a)， A(4,0,0)，M(2,4，a2)，
图1
∴B→N＝ (－ 2，－ 2， a)， A→M＝ (－ 2, 4，a)，
2 由B→N⊥A→M得B→N·A→M ＝ 0， ∴4－8＋a2＝0，a＝2 2，
b32.
2．空间中向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，设 A(a1，a2，a3)，B(b1， b2， b3)，则： (1)A→B＝ (b1－ a1， b2－ a2， b3－ a3)； (2)AB＝ |A→B|＝
b1－ a1 2＋ b2－ a2 2＋ b3－ a3 2.
如何理解空间向量的坐标运算与平面向量的坐 标运算间的关系？
|E→F|＝ |C→G|＝

高二数学选修2－1 第三章 第1节 空间向量及其运算人教实验B 版（理）【本讲教育信息】一、教学内容：选修2—1 空间向量及其运算二、教学目标：1．理解空间向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律。

2．理解共线向量定理和共面向量定理及其意义。

3．掌握空间向量的数量积的计算，掌握空间向量的线性运算，掌握空间向量平行、垂直的充要条件及向量的坐标与点的坐标的关系；掌握夹角和距离公式。

三、知识要点分析： 1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量注：向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图）b a AB OA OB+=+=b a-=-=)(R a OP ∈=λλ运算律：（1）加法交换律：a b b a+=+（2）加法结合律：)()(c b a c b a++=++（3）数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(3．共线向量定理：对于空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb .4．共面向量定理：如果两个向量b a ,不共线，那么向量p 与向量b a ,共面的充要条件是存在有序实数组),(y x ，使得b y a x p +=。

5．空间向量基本定理：如果三个向量c ,b ,a 不共面，那么对空间任一向量p ，存在唯一的有序实数组（x ，y ，z ），使c z b y a x p ++= 6．夹角定义：b a ,是空间两个非零向量，过空间任意一点O ，作b OB a OA ==,，则AOB ∠叫做向量a 与向量b 的夹角，记作><b a , 规定：π>≤≤<b a ,0特别地，如果0,>=<b a ，那么a 与b 同向；如果π>=<b a ,，那么a 与b 反向；如果90b ,a >=<，那么a 与b 垂直，记作b a ⊥。

3.1.3 空间向量基本定理 3.1.4 空间向量的坐标表示学习目标1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题.2.理解正交基底、基向量及向量的线性组合的概念.3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．知识点一 空间向量基本定理思考 只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底吗？答案 不一定，只需三个向量不共面，就可作为空间向量的一组基底，不需要两两垂直．梳理 空间向量基本定理(1)定理内容：不共面．3e ，2e ，1e 条件：三个向量①②结论：对空间中任一向量p ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3.(2)基底：(3)推论：①条件：O ，A ，B ，C 是不共面的四点．②结论：对空间中任意一点P ，都存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使得OP →＝x OA →＋y OB →＋z OC →. 知识点二 空间向量的坐标表示思考 若向量AB →＝(x 1，y 1，z 1)，则点B 的坐标一定为(x 1，y 1，z 1)吗？答案 不一定．由向量的坐标表示知，若向量AB →的起点A 与原点重合，则B 点的坐标为(x 1，y 1，z 1)，若向量AB →的起点A 不与原点重合，则B 点的坐标就不为(x 1，y 1，z 1)． 梳理 (1)空间向量的坐标表示：①向量a 的坐标：在空间直角坐标系O －xyz 中，分别取与x 轴、y 轴、z 轴方向相同的单位向量i ，j ，k 作为基向量，对于空间任意一个向量a ，根据空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使a ＝x i ＋y j ＋z k ，有序实数组(x ，y ，z )叫做向量a 在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标，记作a ＝(x ，y ，z )．②向量OA →的坐标：在空间直角坐标系O －xyz 中，对于空间任意一点A (x ，y ，z )，向量OA →是确定的，即OA →＝(x ，y ，z )．(2)空间中有向线段的坐标表示： 设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，①坐标表示：AB →＝OB →－OA →＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)．②语言叙述：空间向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标． (3)空间向量的加减法和数乘的坐标表示： 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则：(4)空间向量平行的坐标表示：若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，且a ≠0，则a ∥b ⇔b 1＝λa 1，b 2＝λa 2，b 3＝λa 3(λ∈R )．1．若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则{－a ，b,2c }也可构成空间的一个基底．(√) 2．若向量AP →的坐标为(x ，y ，z )，则点P 的坐标也为(x ，y ，z )．(×)3．在空间直角坐标系O －xyz 中向量AB →的坐标就是B 点坐标减去A 点坐标．(√)类型一 空间向量基本定理及应用命题角度1 空间基底的概念例1 已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC →＝e 1＋e 2－67e 3，试判断{OA →，OB →，OC →}能否作为空间的一个基底．解 假设OA →，OB →，OC →共面，由向量共面的充要条件知存在实数x ，y ，使OA →＝x OB →＋y OC →成立．所以OA →＝e 1＋2e 2－e 3。

3.2.2 利用向量解决平行、垂直问题1．用向量方法证明空间中的平行关系(1)证明线线平行设直线l，m的方向向量分别是a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔□01a∥b⇔□02 a＝λb⇔□03a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(2)证明线面平行设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔□04a⊥u⇔□05a·u＝0⇔□06a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(3)证明面面平行①设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔□07u∥v⇔u＝λv⇔□08a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．②由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可．2．用向量方法证明空间中的垂直关系(1)证明线线垂直设直线l1的方向向量u1＝(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量u2＝(a2，b2，c2)，则l1⊥l2⇔□09u1⊥u2⇔□10u1·u2＝0⇔□11a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)证明线面垂直设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量v＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔□12 u∥v⇔□13u＝λv(λ∈R)⇔□14a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(3)证明面面垂直若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔□15u ⊥v⇔□16u·v＝0⇔□17a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若两直线方向向量的数量积为0，则这两条直线一定垂直相交．( )(2)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.( )(3)两个平面垂直，则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直．( )答案 (1)× (2)√ (3)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若直线l 1的方向向量为u 1＝(1,3,2)，直线l 2上有两点A (1,0,1)，B (2，－1,2)，则两直线的位置关系是________．(2)若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－4)，则直线l 与平面α的位置关系为________．(3)已知两平面α，β的法向量分别为u 1＝(1,0,1)，u 2＝(0,2,0)，则平面α，β的位置关系为________．(4)若平面α，β的法向量分别为(－1,2,4)，(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为________．答案 (1)垂直 (2)垂直 (3)垂直 (4)－10探究1 利用空间向量解决平行问题例1 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点，求证： (1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .[证明] (1)如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz ，则有D (0,0,0)，A (2,0,0)，C 1(0,2,2)，E (2,2,1)，F (0，0,1)，B 1(2,2,2)， 所以FC 1→＝(0,2,1)，DA →＝(2,0,0)，AE →＝(0,2,1)．设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量，则n 1⊥DA →，n 1⊥AE →， 即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA →＝2x 1＝0，n 1·AE →＝2y 1＋z 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1，令z 1＝2，则y 1＝－1，所以n 1＝(0，－1,2)． 因为FC 1→·n 1＝－2＋2＝0，所以FC 1→⊥n 1.又因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE . (2)因为C 1B 1→＝(2,0,0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量． 由n 2⊥FC 1→，n 2⊥C 1B 1→，得 ⎩⎪⎨⎪⎧n 2·FC 1→＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C 1B 1→＝2x 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2.令z 2＝2，得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)， 因为n 1＝n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F . 拓展提升利用向量法证明平行问题的两种途径(1)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系； (2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明．【跟踪训练1】 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝2，P ，Q ，R ，S 分别是AA 1，D 1C 1，AB ，CC 1的中点．求证：PQ ∥RS .证明 证法一：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .则P (3,0,1)，Q (0,2,2)，R (3,2,0)，S (0,4,1)， PQ →＝(－3,2,1)，RS →＝(－3,2,1)，∴PQ →＝RS →，∴PQ →∥RS →，即PQ ∥RS . 证法二：RS →＝RC →＋CS →＝12DC →－DA →＋12DD 1→，PQ →＝PA 1→＋A 1Q →＝12DD 1→＋12DC →－DA →，∴RS →＝PQ →，∴RS →∥PQ →，即RS ∥PQ . 探究2 利用空间向量解决垂直问题例2 如图，在四棱锥E －ABCD 中，AB ⊥平面BCE ，CD ⊥平面BCE ，AB ＝BC ＝CE ＝2CD ＝2，∠BCE ＝120°.求证：平面ADE ⊥平面ABE .[证明] 取BE 的中点O ，连接OC ，则OC ⊥EB ， 又AB ⊥平面BCE .∴以O 为原点建立空间直角坐标系Oxyz .如图所示．则由已知条件有C (1，0,0)，B (0，3，0)，E (0，－3，0)，D (1,0,1)，A (0，3，2)． 设平面ADE 的法向量为n ＝(a ，b ，c )，则n ·EA →＝(a ，b ，c )·(0,23，2)＝23b ＋2c ＝0，n ·DA →＝(a ，b ，c )·(－1，3，1)＝－a ＋3b ＋c ＝0.令b ＝1，则a ＝0，c ＝－3， ∴n ＝(0,1，－3)．∵AB ⊥平面BCE ，∴AB ⊥OC ，又OC ⊥EB ，且EB ∩AB ＝B ，∴OC ⊥平面ABE ， ∴平面ABE 的法向量可取为m ＝(1,0,0)． ∵n ·m ＝(0,1，－3)·(1,0,0)＝0， ∴n ⊥m ，∴平面ADE ⊥平面ABE . 拓展提升利用向量法证明几何中的垂直问题的两条途径(1)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的垂直关系． (2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行证明．证明线面垂直时，只需直线的方向向量与平面的法向量平行或直线的方向向量与平面内两相交的直线的方向向量垂直．在判定两个平面垂直时，只需求出这两个平面的法向量，再看它们的数量积是否为0.【跟踪训练2】 如右图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，D 1B 1的中点．求证：EF ⊥平面B 1AC .证明 证法一：设AB →＝a ，AD →＝c ，AA 1→＝b ，则EF →＝EB 1→＋B 1F →＝12(BB 1→＋B 1D 1→)＝12(AA 1→＋BD →)＝12(AA 1→＋AD →－AB →)＝12(－a ＋b ＋c )，∵AB 1→＝AB →＋AA 1→＝a ＋b .∴EF →·AB 1→＝12(－a ＋b ＋c )·(a ＋b )＝12(b 2－a 2＋c ·a ＋c ·b ) ＝12(|b |2－|a |2＋0＋0)＝0. ∴EF →⊥AB 1→，即EF ⊥AB 1，同理，EF ⊥B 1C . 又AB 1∩B 1C ＝B 1， ∴EF ⊥平面B 1AC .证法二：设正方体的棱长为2，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的直角坐标系，则A (2,0,0)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)，E (2,2,1)，F (1,1,2)．∴EF →＝(1,1,2)－(2,2,1) ＝(－1，－1,1)．AB 1→＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2)，AC →＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)，∴EF →·AB 1→＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0.EF →·AC →＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝2－2＋0＝0， ∴EF →⊥AB 1→，EF →⊥AC →， ∴EF ⊥AB 1，EF ⊥AC . 又AB 1∩AC ＝A ， ∴EF ⊥平面B 1AC .证法三：同法二得AB 1→＝(0,2,2)，AC →＝(－2,2,0)， EF →＝(－1，－1,1)．设面B 1AC 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则AB →1·n ＝0，AC →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋2z ＝0，－2x ＋2y ＝0，取x ＝1，则y ＝1，z ＝－1，∴n ＝(1,1，－1)，∴EF →＝－n ，∴EF →∥n ，∴EF ⊥平面B 1AC . 探究3 与平行、垂直有关的探索性问题例3 如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)证明：AP ⊥BC ；(2)在线段AP 上是否存在点M ，使得平面AMC ⊥平面BMC ？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．[解] (1)证明：如图，以O 为原点，以射线OD 为y 轴的正半轴，射线OP 为z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz .则O (0,0,0)，A (0，－3,0)，B (4,2,0)，C (－4,2,0)，P (0,0,4)， AP →＝(0,3,4)，BC →＝(－8,0,0)，由此可得AP →·BC →＝0，所以AP →⊥BC →，即AP ⊥BC .(2)假设存在满足题意的M ，设PM →＝λPA →，λ≠1，则PM →＝λ(0，－3，－4)．BM →＝BP →＋PM →＝BP →＋λPA →＝(－4，－2,4)＋λ(0，－3，－4)＝(－4，－2－3λ，4－4λ)，AC →＝(－4,5,0)．设平面BMC 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 平面APC 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧BM →·n 1＝0，BC →·n 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4x 1－(2＋3λ)y 1＋(4－4λ)z 1＝0，－8x 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝2＋3λ4－4λy 1，可取n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，2＋3λ4－4λ.由⎩⎪⎨⎪⎧AP →·n 2＝0，AC →·n 2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3y 2＋4z 2＝0，－4x 2＋5y 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝54y 2，z 2＝－34y 2，可取n 2＝(5,4，－3)，由n 1·n 2＝0，得4－3×2＋3λ4－4λ＝0，解得λ＝25，故PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－65，－85，AM →＝AP →＋PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，95，125，所以AM ＝3.综上所述，存在点M 符合题意，AM ＝3. 拓展提升利用向量解决探索性问题的方法对于探索性问题，一般先假设存在，利用空间坐标系，结合已知条件，转化为代数方程是否有解的问题，若有解满足题意则存在，若没有满足题意的解则不存在．【跟踪训练3】 如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4.(1)求证：BC 1⊥平面AB 1C ；(2)在AB 上是否存在点D ，使得AC 1∥平面CDB 1.解 (1)证明：由已知AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，因而△ABC 是∠ACB 为直角的直角三角形，由三棱柱是直三棱柱，则CC 1⊥平面ABC ，以CA ，CB ，CC 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，从而CA →＝(3,0,0)，BC 1→＝(0，－4,4)，则BC 1→·CA →＝(0，－4,4)·(3,0,0)＝0，则BC 1→⊥AC →，所以BC 1⊥AC .又四边形BCC 1B 1为正方形，因而BC 1⊥B 1C .又∵B 1C ∩AC ＝C ，∴BC 1⊥平面AB 1C .(2)假设存在点D (x ，y,0)，使得AC 1∥平面CDB 1，CD →＝(x ，y,0)，CB 1→＝(0,4,4)， 设平面CDB 1的法向量m ＝(a ，b ，c )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CD →＝0，m ·CB 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧xa ＋yb ＝0，4b ＋4c ＝0.令b ＝－x ，则c ＝x ，a ＝y ，所以m ＝(y ，－x ，x )，而AC 1→＝(－3,0,4)，则AC 1→·m ＝0，得－3y ＋4x ＝0.① 由D 在AB 上，A (3,0,0)，B (0,4,0)得x －3－3＝y4，即得4x ＋3y ＝12，② 联立①②可得x ＝32，y ＝2，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，0，即D 为AB 的中点． 综上，在AB 上存在点D ，使得AC 1∥平面CDB 1，点D 为AB 的中点．1.利用向量证明线线平行的两种思路一是建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示证明；二是用基底思路，通过向量的线性运算，利用共线向量定理证明.2.向量法证明线线垂直的方法用向量法证明空间中两条直线相互垂直，其主要思路是证明两条直线的方向向量相互垂直．具体方法为：(1)坐标法：根据图形的特征，建立适当的空间直角坐标系，准确地写出相关点的坐标，表示出两条直线的方向向量，证明其数量积为0.(2)基向量法：利用向量的加减运算，结合图形，将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来．利用数量积运算说明两向量的数量积为0.3.向量法证明线面垂直的方法(1)向量基底法，具体步骤如下：①设出基向量，用基向量表示直线的方向向量；②找出平面内两条相交直线的方向向量并分别用基向量表示；③分别计算直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量的数量积.(2)坐标法，具体方法如下：方法一：①建立空间直角坐标系；②将直线的方向向量用坐标表示；③将平面内任意两条相交直线的方向向量用坐标表示；④分别计算直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量的数量积.方法二：①建立空间直角坐标系；②将直线的方向向量用坐标表示；③求平面的法向量；④说明平面的法向量与直线的方向向量平行.4.证明面面垂直的两种思路一是证明其中一个平面过另一个平面的垂线，即转化为线面垂直；二是证明两平面的法向量垂直.1．已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则线段AB与坐标平面( ) A．xOy平行B．xOz平行C．yOz平行D．yOz相交答案 C解析 因为AB →＝(9,2,1)－(9，－3,4)＝(0,5，－3)，所以AB ∥平面yOz .2．若两个不同平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－1)，v ＝(－3，－6,3)，则( ) A ．α∥β B ．α⊥βC ．α，β相交但不垂直D ．以上均不正确 答案 A解析 ∵v ＝－3u ，∴α∥β.3．已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量为u ＝(1，－3，z )，向量v ＝(3，－2,1)与平面α平行，则z 等于( )A ．3B ．6C ．－9D ．9 答案 C解析 ∵l ⊥α，v 与平面α平行，∴u ⊥v ，即u ·v ＝0，∴1×3＋3×2＋z ×1＝0，∴z ＝－9.4．在三棱锥P －ABC 中，CP ，CA ，CB 两两垂直，AC ＝CB ＝1，PC ＝2，在如图所示的空间直角坐标系中，下列向量中是平面PAB 的法向量的是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12 B ．(1，2，1) C ．(1,1,1) D ．(2，－2,1) 答案 A解析 PA →＝(1,0，－2)，AB →＝(－1,1,0)，设平面PAB 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，则x －2＝0，即x ＝2；－x ＋y ＝0，即y ＝x ＝2.所以n ＝(2,2,1)．因为⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12＝12n ，所以A正确．5．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为棱BB 1的中点，在棱DD 1上是否存在点P ，使MD ⊥平面PAC?解 如图，建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，M ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12.假设存在P (0,0，x )满足条件，则PA →＝(1,0，－x )，AC →＝(－1,1,0)．设平面PAC 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则由⎩⎪⎨⎪⎧ PA →·n ＝0，AC →·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－xz 1＝0，－x 1＋y 1＝0.令x 1＝1得y 1＝1，z 1＝1x ，即n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，1x ， 由题意MD →∥n ，由MD →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，－1，－12，得x ＝2， ∵正方体棱长为1，且2>1，∴棱DD 1上不存在点P ，使MD ⊥平面PAC .。

→
d＝|AP1|＝___||_A_P_|_c_o_s_∠_P_A__N_|__＝___|_A_|Pn_·|_n_| __．
1．已知直线 l 过点 A(1，－1，2)，和 l 垂直的一个向量为 n＝
(－3，0，4)，则 P(3，5，0)到 l 的距离为( )
A．5
B．14
C.154
D.45
答案：C
2．已知直线 l 与平面 α 相交于点 O，A∈l，B 为线段 OA 的中
d＝
|B→C|2－B→|CA→·′AC→′|C2＝
16 4－14
＝2
35 7.
用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系； (2)求直线的方向向量； (3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向 量上的射影长； (4)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到 直线的距离之间的转化．
则 A(4，0，0)，B(0，3，0)，P0，0，95， 所以A→B＝(－4，3，0)，A→P＝－4，0，95， 所以A→P在 AB 上的投影长为|A→P|A·→BA→| B|＝156， 所以点 P 到 AB 的距离为 d＝ |A→P|2－1562＝ 16＋8215－22556＝3. 答案：3
点到直线的距离 如图，在空间直角坐标系中有长方体 ABCD-A′B′C′D′， AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求点 B 到直线 A′C 的距离．
又 AC∥平面 PEF，
所以
AC
到平面
PEF
的距离为
17 17 .
用向量法求点面距的步骤 (1)建系：建立恰当的空间直角坐标系； (2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标； (3)求向量：求出相关向量的坐标； (4)利用公式即可求得点到平面的距离．

①( AB + BC )+ CC1 ;②( AA1 + A1D1 )+ D1C1 ;③( AB + BB1 )+ B1C1 ;④ ( AA1 + A1B1 )+ B1C1 .
解析:(2)①( AB + BC )+ CC1 = AC + CC1 = AC1 ; ②( AA1 + A1D1 )+ D1C1 = AD1 + D1C1 = AC1 ; ③( AB + BB1 )+ B1C1 = AB1 + B1C1 = AC1 ; ④( AA1 + A1B1 )+ B1C1 = AB1 + B1C1 = AC1 .
3.1.1 空间向量及其加减运算 3.1.2 空间向量的数乘运算
课标要求:1.经历向量及其运算由平面到空间推广的过程,了解空间向量的 概念.2.掌握空间向量的加法、减法和数乘运算.3.理解空间共线向量和共 面向量定理及推论.
自主学习 课堂探究
知识探究
自主学习
1.空间向量及其长度的定义 与平面向量一样,在空间,我们把 具有大小和方向的量 叫做空间向量,
解析:容易判断D是假命题,共线的单位向量是相等向量或相反向量.故
选D.
2.空间两向量a,b互为相反向量,已知向量|b|=3,则下列结论正确的是
(D)
(A)a=b
(B)a+b为实数0
(C)a与b方向相同
(D)|a|=3
3.在下列条件中,使 M 与 A,B,C 一定共面的是( C )
(A) OM =3 OA -2 OB - OC (B) OM + OA + OB + OC =0

2019/8/29
最新中小学教学课件
30
规律方法 利用向量的数量积，求异面直线所成的角的 方法：①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量； ②将求异面直线所成角的问题转化为求向量夹角问题； ③利用向量的数量积求角的大小；④证两向量垂直可转 化为数量积为零.
3.1.5 空间向量的数量积
15
跟踪演练2 如图所示，正四面体ABCD的每条棱
④|a·b|≤|a|·|b|
3.1.5 空间向量的数量积
8
预习导学
挑战自我，点点落实
要点一 空间向量的数量积运算
例1 已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，
E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点.试计算： (1)B→C·E→D1；(2)B→F·A→B1；(3)E→F·F→C1. 解 如图，设A→B＝a，A→D＝b，A→A1＝c，
3.1.5 空间向量的数量积
1234
27
课堂小结
空间向量的数量积要找到两个向量的模和夹角；利用数量 积求两异面直线所成的角，关键在于在异面直线上构造向 量，找出两向量的关系；证明两向量垂直可转化为证明两 个向量的数量积为零，求线段长度转化为求向量的模.
3.1.5 空间向量的数量积
28
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。

第三章 空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算§3.1.1空间向量及其加减运算 §3.1.2空间向量的数乘运算1. 下列命题中不正确的命题个数是( )①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB +BC + CD +DA =0；②对空间任意点O 与不共线的三点A 、B 、C ，若OP =x OA +y OB +z OC （其中x 、y 、z ∈R ），则P 、A 、B 、C 四点共面；③若a 、b 共线，则a 与b 所在直线平行。

A .1B .2C .3D .42.设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG =3GG 1，若OG =x OA +y OB +z OC ，则（x ，y ，z ）为( )A .（41，41，41） B .（43，43，43） C .（31，31，31） D .（32，32，32） 3．在平行六面体ABCD －EFGH 中，AG xAC y AF z AH =++，________.x y z ++=则4.已知四边形ABCD 中，AB =a －2c ，CD =5a +6b －8c ，对角线AC 、BD 的中点分别为E 、F ，则EF =_____________.5.已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且P A ⊥平面ABCD ，M 、N 分别为PC 、PD 上的点，且M 分PC 成定比2，N 分PD 成定比1，求满足MN xAB yAD z AP =++的实数x 、y 、z 的值.§3.1.3空间向量的数量积运算1.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA =2AB ，E 为1AA 重点，则异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值为( ) A .1010 B . 15 C .31010 D . 352．如图，设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足0AB AC ⋅=，_ _ D_ A_ P_ N _ B_ M0AC AD ⋅=，0AB AD ⋅=，则△BCD 的形状是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定的3．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1 为正方体，则下列命题中错误的命题为__________．;221111111①(A A+A D +A B )=3(A B )()0;C ⋅-=1111②A A B A A 60;︒11向量与向量的夹角为AD A B ③ ⋅⋅11111立方体ABCD-A B C D 的体积为|AB AA AD |;④4．如图，已知：平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD =60° （1）证明：C 1C ⊥BD ； （2）当1CDCC 的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明． §3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示§3.1.5空间向量运算的坐标表示1．已知向量(2，2，3)OA =-，(，1，4)OB x y z =-，且平行四边形OACB 的对角线的中点坐标为M 31(0，，)22-，则(，，)x y z =( ) A ．(2，4，1)--- B ．(2，4，1)-- C ．(2，4，1)-- D ．(2，4，1)--2．已知(2，2，4)a =-，(1，1，2)b =-，(6，6，12)c =--，则向量、、a b c ( ) A ．可构成直角三角形 B ．可构成锐角三角形C ．可构成钝角三角形D ．不能构成三角形3．若两点的坐标是A （3cosα，3sinα，1），B （2cosθ，2sinθ，1），则|AB |的取值范围是( ) A ．[0，5] B ．[1，5] C ．（1，5） D ．[1，25] 4.设点C （2a +1，a +1，2）在点P （2，0，0）、A （1，－3，2）、B （8，－1，4）确定的平面上，则a 的值为 .5.如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底边长为a ，侧棱长为2a .建立适当的坐标系，⑴写出A ，B ，A 1，B 1的坐标；⑵求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.C 1 B 1 A 1B A3.2立体几何中的向量方法1．到一定点（1，0，1）的距离小于或等于2的点的集合为( ) A ．222{(,,)|(1)(1)4}x y z x y z -++-≤ B ．222{(,,)|(1)(1)4}x y z x y z -++-= C ．222{(,,)|(1)(1)2}x y z x y z -++-≤ D ．222{(,,)|(1)(1)2}x y z x y z -++-=2. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成角的余弦值为( ) A ．42B ．32C ．33D ．23 3. 已知斜三棱柱111ABC A B C -，90BCA ∠=，2AC BC ==，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知11BA AC ⊥. （1）求证：1AC ⊥平面1A BC ； （2）求1C 到平面1A AB 的距离； （3）求二面角1A A B C --余弦值的大小.B 4. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中， AB =1，13AC AA ==，∠ABC =60°. (1)证明：1AB A C ⊥；（2）求二面角A —1A C —B 的大小.5. 如右图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P 为侧棱S D 上的点. （1）求证：AC ⊥SD ；（2）若SD ⊥平面P AC ，求二面角P-AC-D 的大小 （3）在（2）的条件下，侧棱S C 上是否存在一点E ， 使得BE ∥平面P AC .若存在，求S E ：EC 的值； 若不存在，试说明理由.CBA C 1B 1 A1 D 1C 1B 1A 1DABC_ C_ _ A_S_ F_ B参考答案第三章 空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算§3.1.1空间向量及其加减运算 §3.1.2空间向量的数乘运算1.A2.A3.324.3a +3b －5c5.如图所示，取PC 的中点E ，连结NE ，则MN EN EM =-.∵1122EN CD BA ===12AB -，EN PM PE =-=211326PC PC PC -=，连结AC ，则PC AC AP AB AD AP =-=+- ∴11()26MN AB AB AD AP =--+-=211366AB AD AP --+，∴211,,366x y z =-=-=.§3.1.3空间向量的数量积运算1.C2.B3. ③④4.（1）设1,,CB a CD b CC c === ，则||||a b =，BD CD CB b a =-=- ，所以1()||||cos 60||||cos 600CC b a c b c a c b c a c ⋅=-⋅=⋅-⋅=︒-︒=BD ，11BD CC BD CC ∴⊥⊥即 ；（2）1,2,CD x CD CC ==1设则 2CC =x， 111,BD AA C C BD A C ⊥∴⊥ 面 ，11:0x AC CD ∴⋅= 只须求满足， 设1,,A A a AD b DC c ===，11,A C a b c C D a c =++=-，2211242()()6A C C D a b c a c a a b b c c xx ∴⋅=++⋅-=+⋅-⋅-=+-， 令24260x x +-=，则2320x x --=，解得1x =，或23x =-（舍去）， 111,.A C C BD ∴=⊥1CD 时能使平面CC §3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示§3.1.5空间向量运算的坐标表示_ C_ D_ A_P_ N _ B_ M _ EA1.A2.D3.B4.165. （1）建系如图，则A （0，0，0） B （0，a ，0） A 1（0，0，2a )，C 1（-23a ，a 2,2a) (2)解法一：在所建的坐标系中，取A 1B 1的中点M ， 于是M （0，a 2,2a），连结AM ，MC 1 则有13(,0,0)2MC =-(0,,0)AB a =，1(0,02)AA a =， ∴10MC AB ⋅=，110MC AA ⋅=，所以，MC 1⊥平面ABB 1A 1.因此，AC 1与AM 所成的角就是AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.13(,2)22a AC a a =-，(0,2)2aAM a =， ∴2194a AC AM ⋅=，而|13||3,||2AC a AM a ==，由cos<1,AC AM >=1132||||AC AM AC AM ⋅=∴<1,AC AM >=30°.∴AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°.3.2立体几何中的向量方法1.A2.C3.（1）如右图，取AB 的中点E ，则//DE BC ，因为BC AC ⊥， 所以DE AC ⊥，又1A D ⊥平面ABC ， 以1,,DE DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系， 则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()2,1,0B ，()10,0,A t ，()10,2,C t ，()10,3,AC t =，()12,1,BA t =--，()2,0,0CB =，由10AC CB ⋅=，知1A C CB ⊥， 又11BA AC ⊥，从而1AC ⊥平面1A BC .（2）由1AC ⋅2130BA t =-+=，得3t =设平面1A AB 的法向量为(),,n x y z =，(13AA =，()2,2,0AB =，所以130220n AA y z n AB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，设1z =，则()3,3,1n =-， 所以点1C 到平面1A AB 的距离1AC n d n⋅==221. （3）再设平面1A BC 的法向量为(),,m x y z =，(10,3CA =-，()2,0,0CB =， 所以13020m CA y z m CB x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，设1z =，则()0,3,1m =， 故cos ,m n m n m n⋅<>==⋅7可知二面角1A A B C --7. 4.（1）三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，11AB AA AC AA ∴⊥⊥，，Rt ABC ∆，1,3,60AB AC ABC ==∠=︒，由正弦定理030ACB ∠=.090BAC ∴∠=AB AC ⊥即 .如右图，建立空间直角坐标系，则 1(0,0,0),(1,0,0)3,0),3)A B C A1(1,0,0),(0,3,3)AB AC ∴==， 110030(3)0AB AC ⋅=⨯+⨯-=， 1AB A C ∴⊥.(2) 如图可取(1,0,0)m AB ==为平面1AA C 的法向量， 设平面1A BC 的法向量为(,,)n l m n =， 则10,0,3BC n AC n BC ⋅=⋅==-又（，，），303,330l m l m n m m n ⎧-+=⎪∴∴==⎨-=⎪⎩. 不妨取1,(3,1,1)m n ==则，22222231101015cos ,5(3)11100m n m n m n ⋅⨯+⨯+⨯<>===⋅++⋅++.1A AC BD ∴--15二面角的大小为arccos 5. 5. （1）连结BD ，设AC 交于BD 于O ，由题意知SO ABCD ⊥平面.以O 为坐标原点，OB OC OS ，，分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系O xyz -如右图.设底面边长为a ，则高62SO a =.于是 62(0,0,),(,0,0)22S a D a -，2(0,,0)2C a ，2(0,,0)2OC a =，26(,0,)22SD a =--，0OC SD ⋅= ，故OC SD ⊥.从而 AC SD ⊥. (2)由题设知，平面PAC 的一个法向量26()2DS a =，平面DAC 的一个法向量600a OS =（，，，设所求二面角为θ，则3cos OS DS OS DSθ⋅==，得所求二面角的大小为30°. （3）在棱SC 上存在一点E 使//BE PAC 平面.由（2）知DS 是平面PAC 的一个法向量，且2626),(0,)DS CS ==（. 设,CE tCS = 则226(,(1),)222BE BC CE BC tCS a a t at =+=+=--，而 103BE DC t ⋅=⇔=.即当:2:1SE EC =时，BE DS ⊥.而BE 不在平面PAC 内，故//BE PAC 平面.作 者 于华东 责任编辑 庞保军_ C_ A_S_ F_ BO。

错因分析:用法向量的夹角判断二面角的大小时出现错误,根据法向量 的方向可知,二面角为钝角,而不是锐角. 正解:以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系, 设正方体的棱长为1, 则D(0,0,0),A1(1,0,1),C1(0,1,1).
由题意知 DA1 =(1,0,1)是平面 ABD1 的一个法向量,
证明:如图所示,以点D为坐标原点,DA,DC,DP所在直线为x轴,y轴,z轴 建立空间直角坐标系.
(1)连接 AC,AC 交 BD 于点 G,连接 EG.
设 DA=a,PD=DC=b,
则 A(a,0,0),P(0,0,b),E(0, b , b ). 22
因为四边形 ABCD 是矩形,所以 G( a , b ,0). 22
( 5 ,0, 2 5 ).
5
5
因为 N(1,1,0),所以 MN =(-1,1,-1),故点 N 到平面 MA1C1 的距离 d=| MN · n0|=1.
四、易错易误辨析 1.混淆向量与实数的运算性质致误 【典例4】 已知a,b都是非零向量,且向量a+3b与7a-5b垂直,向量a-4b与 7a-2b垂直,求向量a,b的夹角.
DC1 =(0,1,1)是平面 BCD1 的一个法向量.
所以 cos< DA1 , DC1 >=
DC1 DA1 DC1 DA1
=1 2
,
所以 cos< DA1 , DC1 >=60°. 所以二面角 A-BD1-C 的大小为 120°.
真题体验
1.(2017·全国Ⅰ卷)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP =90°. (1)证明:平面PAB⊥平面PAD;
因为 PA =(a,0,-b), EG =( a ,0,- b ).

实数入与向量a的积是一个向量，记作2a,其长度和方向规定如下:学习目标：㈠知识目标：1•空间向量；2•相等的向量；3•空间向量的加减与数乘运算及运算律；㈡能力目标：1•理解空间向量的概念，掌握其表示方法；2•会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；3•能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题.㈢情感目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物.学习重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律.学习难点：应用向量解决立体几何问题.学习方式：讨论式.学习过程：I .复习［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？［生］既有大小又有方向的量叫向量.向量的表示方法有:［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下.［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：(1) 1副=丨川a|(2) 当心0时，2与a同向；当；＜0时，2与a反向；当后0时，2= 0.［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律加法交换律：a+ b= b+ a加法结合律：(a+ b) + c= a+( b+ c)数乘分配律：2a+ b) = ?a+ b［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用.请同学们认真阅读课本P26〜P27内容。

n.学习新课［师］如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量. 例如空间的一个平移就是一个向量•那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢？［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.［师］由以上知识可知，向量在空间中是可以平移的•空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示.因此我们说空间任意两个向量是共面的［师］空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢？第三章空间向量与立体几何3•实数与向量的积:3.1空间①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB .•向量的加法:2•向量的减法:三肃形沬则乎行四边形;去刚［生］空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：0［师］空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢？请大家验证这些运算律. ［生］空间向量加法与数乘向量有如下运算律：⑴加法交换律：a + b = b + a ；⑵加法结合律：（a + b ） + c =a + （b + c ）; ⑶数乘分配律：2（a + b ）=入a+入b［师］空间向量加法的运算律要注意以下几点：表示的向量，这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广.川.巩固练习课本P 92练习IV .小结：⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量.即:平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平一 一 一 —— —— 1——⑵ AB AD AA';⑶ AB AD 严1OB OA AB =a+b ,的几何体，叫做 平行六面体•记作ABCD —A B C'.D'OP)a ( R)AB OB OA （指向被减向量），平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱. 解：（见课本P 27）A 1A 2 A 2A 3 A 3A 4 A n 1 A n A A n因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量. ⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量•即：A l A 2 A 2 A 3 A 3 A 4A n 1A nAnA⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立. 因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则. 例1已知平行六面体 ABCD A' B'C'D'（如图），化简下列向 量表达式，并标出化简结果的向量: ⑴ AB BC ;移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度” 的平移包含平面的平移.关于向量算式的化简，要注意解题格式、步骤和方法.V .课后作业预习课本P 92〜P 96，预习提纲： ⑴怎样的向量叫做共线向量？ ⑵两个向量共线的充要条件是什么？ ⑶空间中点在直线上的充要条件是什么？ ⑷什么叫做空间直线的向量参数表示式？ ⑸怎样的向量叫做共面向量？⑹向量p 与不共线向量a 、b 共面的充要条件是什么？ ⑺空间一点P 在平面MAB 内的充要条件是什么？，空间说明：由第2小题可知，始点相同且不在同一个平面内的三个向量之 和,等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所 BAD AA').⑷丄(AB3说明：平行四边形ABCD平移向量a到A B C'的'迹所形成空间向量及其运算（2）M P XM A 或对空间任一点 o ,有oP oM X M A①一、 学习目标：1 •理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论； 2 •掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式.二、 学习重、难点：共线、共面定理及其应用. 三、 学习过程： （一） 复习回顾：空间向量的概念及表示； （二） 新课学习： 1.共线（平行）向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或 平行向量。

3.2.2 空间线面关系的判定设空间两条直线l 1，l 2的方向向量分别为e 1，e 2，两个平面α1，α2的法向量分别为n 1，n 2，则有下表：思考：否垂直？[提示] 垂直1．若直线l 的方向向量a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－4)，则( )A ．l ∥αB ．l ⊥αC ．l ⊂αD ．l 与α斜交B [∵n ＝(－2,0，－4)＝－2(1,0,2)＝－2a ， ∴n ∥a ，∴l ⊥α.]2．已知不重合的平面α，β的法向量分别为n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，－1，n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，－1，13，则平面α与β的位置关系是________．平行 [∵n 1＝－3n 2，∴n 1∥n 2，故α∥β.]3．设直线l 1的方向向量为a ＝(3,1，－2)，l 2的方向向量为b ＝(－1,3,0)，则直线l 1与l 2的位置关系是________．垂直 [∵a·b ＝(3,1，－2)·(－1,3,0)＝－3＋3＋0＝0，∴a⊥b ，∴l 1⊥l 2.] 4．若直线l 的方向向量为a ＝(－1,2,3)，平面α的法向量为n ＝(2，－4，－6)，则直线l 与平面α的位置关系是________．垂直 [∵n ＝－2a ，∴n ∥a ，又n 是平面α的法向量，所以l ⊥α.]利用空间向量证明线线平行【例1】 如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为DD 1和BB 1的中点．求证：四边形AEC 1F 是平行四边形．[证明] 以点D 为坐标原点，分别以DA →，DC →，DD 1→为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12，C 1(0,1,1)，F ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12，∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12，FC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12，EC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，AF→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12， ∵AE →＝FC 1→，EC 1→＝AF →， ∴AE →∥FC 1→，EC 1→∥AF →，又∵F ∉AE ，F ∉EC 1，∴AE ∥FC 1，EC 1∥AF ， ∴四边形AEC 1F 是平行四边形．1．两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)；否则两直线相交或异面． 2．直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直．3．两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)；否则两平面相交但不垂直． 1．长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是面对角线B 1D 1，A 1B 上的点，且D 1E ＝2EB 1，BF ＝2FA 1.求证：EF ∥AC 1.[证明] 如图所示，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设DA ＝a ，DC ＝b ，DD 1＝c ，则得下列各点的坐标：A (a ，0,0)，C 1(0，b ，c )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，23b ，c ，F ⎝⎛⎭⎪⎫a ，b 3，23c . ∴FE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，b 3，c 3，AC 1→＝(－a ，b ，c )，∴FE →＝13AC 1→.又FE 与AC 1不共线，∴直线EF ∥AC 1.利用空间向量证明线面、面面平行[探究问题]在用向量法处理问题时，若几何体的棱长未确定，应如何处理？ 提示：可设几何体的棱长为1或a ，再求点的坐标．【例2】 在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是CC 1，B 1C 1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD .[思路探究][证明] 法一：如图，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1，于是DA 1→＝(1,0,1)，DB →＝(1,1,0)，MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12.设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥DA 1→，n ⊥DB →，即⎩⎪⎨⎪⎧n ·DA 1→＝x ＋z ＝0，n ·DB →＝x ＋y ＝0，取x ＝1，则y ＝－1，z ＝－1，∴平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(1，－1，－1)．又MN →·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12·(1，－1，－1)＝0，∴MN →⊥n .∴MN ∥平面A 1BD .法二：MN →＝C 1N →－C 1M →＝12C 1B 1→－12C 1C →＝12(D 1A 1→－D 1D →)＝12DA 1→，∴MN →∥DA 1→，∴MN ∥平面A 1BD .法三：MN →＝C 1N →－C 1M →＝12C 1B 1→－12C 1C →＝12DA →－12A 1A →＝12()DB →＋BA→－12()A 1B →＋BA →＝12DB →－12A 1B →.即MN →可用A 1B →与DB →线性表示，故MN →与A 1B →，DB →是共面向量，故MN ∥平面A 1BD . 1．本例中条件不变，试证明平面A 1BD ∥平面CB 1D 1.[证明] 由例题解析知，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，B 1(1,1,1)， 则CD 1→＝(0，－1,1)，D 1B 1→＝(1,1,0)， 设平面CB 1D 1的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥CD 1→m ⊥D 1B 1→，即⎩⎪⎨⎪⎧m ·CD 1→＝－y 1＋z 1＝0，m ·D 1B 1→＝x 1＋y 1＝0，令y 1＝1，可得平面CB 1D 1的一个法向量为m ＝(－1,1,1)，又平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(1，－1，－1)． 所以m ＝－n ，所以m ∥n ，故平面A 1BD ∥平面CB 1D 1.2．若本例换为：在如图所示的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE ⊥EB ，AD ∥EF ，EF ∥BC ，BC ＝2AD ＝4，EF ＝3，AE ＝BE ＝2，G 是BC 的中点，求证：AB ∥平面DEG .[证明] ∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，BE ⊂平面AEB ， ∴EF ⊥AE ，EF ⊥BE .又∵AE ⊥EB ，∴EB ，EF ，EA 两两垂直．以点E 为坐标原点，EB ，EF ，EA 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得，A (0,0,2)，B (2,0,0)，C (2,4,0)，F (0,3,0)，D (0,2,2)，G (2，2,0)，∴ED →＝(0,2,2)，EG →＝(2,2,0)，AB →＝(2,0，－2)．设平面DEG 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ED →·n ＝0，EG →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋2z ＝0，2x ＋2y ＝0，令y ＝1，得z ＝－1，x ＝－1，则n ＝(－1,1，－1)， ∴AB →·n ＝－2＋0＋2＝0，即AB →⊥n . ∵AB ⊄平面DEG ， ∴AB ∥平面DEG .1．向量法证明线面平行的三个思路(1)设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l ∥α，只需证明a ⊥u ，即a ·u ＝0.(2)根据线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，要证明一条直线和一个平面平行，在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．(3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线的向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．2．证明面面平行的方法设平面α的法向量为μ，平面β的法向量为v ，则α∥β⇔μ∥v .向量法证明垂直问题【例3】 如图所示，在四棱锥P ­ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明：(1)AE ⊥CD ； (2)PD ⊥平面ABE . [思路探究] 建系→求相关点的坐标→求相关向量的坐标→判断向量的关系→确定线线、线面关系[证明] AB ，AD ，AP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设PA ＝AB ＝BC ＝1， 则P (0,0,1)． (1)∵∠ABC ＝60°， ∴△ABC 为正三角形，∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12. 设D (0，y,0)，由AC ⊥CD ，得AC →·CD →＝0， 即y ＝233，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，0，∴CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，36，0.又AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12，∴AE →·CD →＝－12×14＋36×34＝0，∴AE →⊥CD →，即AE ⊥CD .(2)法一：∵P (0,0,1)，∴PD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，－1.又AE →·PD →＝34×233＋12×(－1)＝0，∴PD →⊥AE →，即PD ⊥AE . ∵AB →＝(1,0,0)，∴PD →·AB →＝0.∴PD ⊥AB ，又AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面ABE .法二：AB →＝(1,0,0)，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12，设平面ABE 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，14x ＋34y ＋12z ＝0，令y ＝2，则z ＝－3，∴n ＝(0,2，－3)．∵PD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，－1，显然PD →＝33n .∴PD →∥n ，∴PD →⊥平面ABE ，即PD ⊥平面ABE . 1．证明线线垂直常用的方法证明这两条直线的方向向量互相垂直． 2．证明线面垂直常用的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量； (2)证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直． 3．证明面面垂直常用的方法 (1)转化为线线垂直、线面垂直处理； (2)证明两个平面的法向量互相垂直．2．在例3中，平面ABE 与平面PDC 是否垂直，若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由．[解] 由例3，可知CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，36，0，PD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，－1，设平面PDC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CD →＝－12x ＋36y ＝0，m ·PD →＝233y －z ＝0，令y ＝3，则x ＝1，z ＝2，即m ＝(1，3，2)，由例3知，平面ABE 的法向量为n ＝(0,2，－3)， ∴m·n ＝0＋23－23＝0，∴m⊥n . 所以平面ABE ⊥平面PDC .1．应用向量法证明线面平行问题的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线．(3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表示．即用平面向量基本定理证明线面平行．2．证明面面平行的方法设平面α的法向量为n 1＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量为n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔n 1∥n 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R )．3．(1)证明线面垂直问题，可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系来证明． (2)证明面面垂直问题，常转化为线线垂直、线面垂直或两个平面的法向量垂直. 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若向量n 1，n 2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行．( )(2)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．( ) (3)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内所有直线的方向向量的数量积为0.( )(4)两个平面垂直，则其中一个平面内的直线的方向向量与另一个平面内的直线的方向向量垂直．( )[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×2．已知向量a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )，a 与b 分别是直线l 1，l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则( )A ．x ＝6，y ＝15B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝152D [∵l 1∥l 2，∴a ∥b ， ∴存在λ∈R ，使a ＝λb ， 则有2＝3λ，4＝λx,5＝λy ， ∴x ＝6，y ＝152.]3．已知平面α和平面β的法向量分别为a ＝(1,2,3)，b ＝(x ，－2,3)，且α⊥β，则x ＝________.－5 [∵α⊥β，∴a ⊥b ， ∴a ·b ＝x －4＋9＝0， ∴x ＝－5.]4．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E 为CC 1的中点，证明：平面B 1ED ⊥平面B 1BD . [证明] 以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，B 1(1,1,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，DB 1→＝(1,1,1)，DE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12，设平面B 1DE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则x ＋y ＋z ＝0且y ＋12z ＝0，令z ＝－2，则y ＝1，x ＝1，∴n 1＝(1,1，－2)．同理求得平面B1BD的法向量为n2＝(1，－1,0)，由n1·n2＝0，知n1⊥n2，∴平面B1DE⊥平面B1BD.。

3．2空间向量的坐标[读教材·填要点]1．定理1设e1，e2，e3是空间中三个两两垂直的单位向量，则(1)空间中任意一个向量v可以写成这三个向量的线性组合：v＝xe1＋ye2＋ze3.(2)上述表达式中的系数x，y，z由v唯一决定，即：如果v＝xe1＋ye2＋ze3＝x′e1＋y′e2＋z′e3，则x＝x′，y＝y′，z＝z′.2．定理2(空间向量基本定理)设e1，e2，e3是空间中三个不共面的单位向量，则(1)空间中任意一个向量v可以写成这三个向量的线性组合：v＝xe1＋ye2＋ze3.(2)上述表达式中的系数x，y，z由v唯一决定，即：如果v＝xe1＋ye2＋ze3＝x′e1＋y′e2＋z′e3，则x＝x′，y＝y′，z＝z′.3．空间向量运算的坐标公式(1) 向量的加减法：(x1，y1，z1)＋(x2，y2，z2)＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)，(x1，y1，z1)－(x2，y2，z2)＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)．(2)向量与实数的乘法：a(x，y，z) ＝(ax，ay，az)．(3)向量的数量积：(x1，y1，z1)·(x2，y2，z2)＝x1x2＋y1y2＋z1z2.(4)向量v＝(x，y，z)的模的公式：|v|＝x2＋y2＋z2.(5)向量(x1，y1，z1)，(x2，y2，z2)所成的角α的公式：cos α＝x1x2＋y1y2＋z1z2x21＋y21＋z21x22＋y22＋z22.4．点的坐标与向量坐标(1)一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．(2)两点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)的距离d AB 为：d AB ＝x 2－x 12＋y 2－y 12＋z 2－z 12.(3)线段的中点坐标，等于线段两端点坐标的平均值．[小问题·大思维]1．空间向量的基是唯一的吗？提示：由空间向量基本定理可知，任意三个不共面向量都可以组成空间的一组基，所以空间的基有无数个，因此不唯一．2．命题p ：{a ，b ，c }为空间的一个基底；命题q ：a ，b ，c 是三个非零向量，则命题p 是q 的什么条件？提示：p ⇒q ，但qp ，即p 是q 的充分不必要条件．3．空间向量的坐标运算与坐标原点的位置是否有关系？提示：空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取无关，因为一个确定的几何体，其线线、线面、面面的位置关系是固定的，坐标系的不同，只会影响其计算的繁简．4．平面向量的坐标运算与空间向量的坐标运算有什么联系与区别？提示：平面向量与空间向量的坐标运算均有加减运算，数乘运算，数量积运算，其算理是相同的．但空间向量要比平面向量多一竖坐标，竖坐标的处理方式与横、纵坐标是一样的．空间向量基本定理的应用空间四边形OABC 中，G ，H 分别是△ABC ，△OBC 的重心，设OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量OG ―→和GH ―→.[自主解答] ∵OG ―→＝OA ―→＋AG ―→， 而AG ―→＝23AD ―→，AD ―→＝OD ―→－OA ―→.∵D 为BC 的中点， ∴OD ―→＝12(OB ―→＋OC ―→)∴OG ―→＝OA ―→＋23AD ―→＝OA ―→＋23(OD ―→－OA ―→)＝OA ―→＋23·12(OB ―→＋OC ―→)－23OA ―→＝13(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)＝13(a ＋b ＋c )． 而GH ―→＝OH ―→－OG ―→，又∵OH ―→＝23OD ―→＝23·12(OB ―→＋OC ―→)＝13(b ＋c )∴GH ―→＝13(b ＋c )－13(a ＋b ＋c )＝－13a .∴OG ―→＝13(a ＋b ＋c )；GH ―→＝－13a .本例条件不变，若E 为OA 的中点，试用a ，b ，c 表示DE ―→和EG ―→. 解：如图，DE ―→＝OE ―→－OD ―→＝12OA ―→－12(OB ―→＋OC ―→) ＝12a －12b －12c . EG ―→＝OG ―→－OE ―→＝13(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)－12OA ―→ ＝－16OA ―→＋13OB ―→＋13OC ―→＝－16a ＋13b ＋13c .用基表示向量时：(1)若基确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行．(2)若没给定基时，首先选择基，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求．1.如图所示，已知平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1，设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AA 1―→＝c ，P 是CA 1的中点，M 是CD 1的中点．用基底{a ，b ，c }表示以下向量：(1)AP ―→；(2)AM ―→. 解：连接AC ，AD 1， (1)AP ―→＝12(AC ―→＋AA 1―→)＝12(AB ―→＋AD ―→＋AA 1―→) ＝12(a ＋b ＋c )． (2)AM ―→＝12(AC ―→＋AD 1―→)＝12(AB ―→＋2AD ―→＋AA 1―→) ＝12a ＋b ＋12c . 空间向量的坐标运算已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3，0,4)，设a ＝AB ―→，b ＝AC ―→.(1)设|c |＝3，c ∥BC ―→，求c .(2)若ka ＋b 与ka －2b 互相垂直，求k .[自主解答] (1)∵BC ―→＝(－2，－1,2)且c ∥BC ―→， ∴设c ＝λBC ―→＝(－2λ，－λ，2λ)． ∴|c |＝－2λ2＋－λ2＋2λ2＝3|λ|＝3.解得λ＝±1，∴c ＝(－2，－1,2)或c ＝(2,1，－2)． (2)∵a ＝AB ―→＝(1,1,0)，b ＝AC ―→＝(－1,0,2)， ∴ka ＋b ＝(k －1，k,2)，ka －2b ＝(k ＋2，k ，－4)． ∵(ka ＋b )⊥(ka －2b )，∴(ka ＋b )·(ka －2b )＝0.即(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝2k 2＋k －10＝0. 解得k ＝2或k ＝－52.本例条件不变，若将(2)中“互相垂直”改为“互相平行”，k 为何值？ 解：∵ka ＋b ＝(k －1，k,2)，ka －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，设ka ＋b ＝λ(ka －2b )，则⎩⎪⎨⎪⎧k －1＝λk ＋2，k ＝λk ，2＝－4λ，∴k ＝0.已知两个向量垂直(或平行)时，利用坐标满足的条件可得到方程(组)进而求出参数的值．这是解决已知两向量垂直(或平行)求参数的值的一般方法．在求解过程中一定注意合理应用坐标形式下的向量运算法则，以免出现计算错误．2．若a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)．分别求满足下列条件的实数k 的值： (1)(ka ＋b )∥(a －3b )； (2)(ka ＋b )⊥(a －3b )．解：ka ＋b ＝(k －2,5k ＋3，－k ＋5)，a －3b ＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－16)． (1)若(ka ＋b )∥(a －3b )， 则k －27＝5k ＋3－4＝－k ＋5－16，解得k ＝－13.(2)若(ka ＋b )⊥(a －3b )，则(k －2)×7＋(5k ＋3)×(－4)＋(－k ＋5)×(－16)＝0， 解得k ＝1063.点的坐标与向量坐标在直三棱柱ABO ­A 1B 1O 1中，∠AOB ＝π2，AO ＝4，BO ＝2，AA 1＝4，D 为A 1B 1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求DO ―→，A 1B ―→的坐标．[自主解答] (1)∵DO ―→＝－OD ―→＝－(OO 1―→＋O 1D ―→) ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤OO 1―→＋12（OA ―→＋OB ―→）＝－OO 1―→－12OA ―→－12OB ―→.又|OO 1―→|＝4，|OA ―→|＝4，|OB ―→|＝2， ∴DO ―→＝(－2，－1，－4)．(2)∵A 1B ―→＝OB ―→－OA 1―→＝OB ―→－(OA ―→＋AA 1―→) ＝OB ―→－OA ―→－AA 1―→.又|OB ―→|＝2，|OA ―→|＝4，|AA 1―→|＝4， ∴A 1B ―→＝(－4,2，－4)．用坐标表示空间向量的方法步骤为：3．如图所示，PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，并且PA ＝AB ＝1.试建立适当的空间直角坐标系，求向量MN ―→的坐标．解：∵PA ＝AB ＝AD ＝1，PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ， ∴AB ―→，AD ―→，AP ―→是两两垂直的单位向量．设AB ―→＝e 1，AD ―→＝e 2，AP ―→＝e 3，以{e 1，e 2，e 3}为基底建立空间直角坐标系Axyz .法一：∵MN ―→＝MA ―→＋AP ―→＋PN ―→＝－12AB ―→＋AP ―→＋12PC ―→＝－12AB ―→＋AP ―→＋12(PA ―→＋AC ―→)＝－12AB ―→＋AP ―→＋12(PA ―→＋AB ―→＋AD ―→)＝12AD ―→＋12AP ―→＝12e 2＋12e 3， ∴MN ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12.法二：如图所示，连接AC ，BD 交于点O . 则O 为AC ，BD 的中点，连接MO ，ON ， ∴MO ―→＝12BC ―→＝12AD ―→，ON ―→＝12AP ―→，∴MN ―→＝MO ―→＋ON ―→ ＝12AD ―→＋12AP ―→ ＝12e 2＋12e 3. ∴MN ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12.解题高手多解题条条大路通罗马，换一个思路试一试已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且PA ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为PC ，PD 上的点，且PM ―→＝2MC ―→，N 为PD 的中点，求满足MN ―→＝x AB ―→＋y AD ―→＋z AP ―→的实数x ，y ，z 的值．[解] 法一：如图所示，取PC 的中点E ，连接NE ，则MN ―→＝EN ―→－EM ―→.∵EN ―→＝12CD ―→＝12BA ―→＝－12AB ―→，EM ―→＝PM ―→－PE ―→＝23PC ―→－12PC ―→＝16PC ―→，连接AC ，则PC ―→＝AC ―→－AP ―→＝AB ―→＋AD ―→－AP ―→， ∴MN ―→＝－12AB ―→－16(AB ―→＋AD ―→－AP ―→)＝－23AB ―→－16AD ―→＋16AP ―→，∴x ＝－23，y ＝－16，z ＝16.法二：如图所示，在PD 上取一点F ，使PF ―→＝2FD ―→，连接MF ， 则MN ―→＝MF ―→＋FN ―→， 而MF ―→＝23CD ―→＝－23AB ―→，FN ―→＝DN ―→－DF ―→＝12DP ―→－13DP ―→＝16DP ―→＝16(AP ―→－AD ―→)， ∴MN ―→＝－23AB ―→－16AD ―→＋16AP ―→.∴x ＝－23，y ＝－16，z ＝16.法三：MN ―→＝PN ―→－PM ―→＝12PD ―→－23PC ―→＝12(PA ―→＋AD ―→)－23(PA ―→＋AC ―→) ＝－12AP ―→＋12AD ―→－23(－AP ―→＋AB ―→＋AD ―→)＝－23AB ―→－16AD ―→＋16AP ―→，∴x ＝－23，y ＝－16，z ＝16.[点评] 利用基向量表示空间中某一向量的方法步骤为： ①找到含有空间向量的线段为一边的一个封闭图形；②结合平行四边形法则或三角形法则，用基向量表示封闭图形的各边所对应的向量； ③写出结论．1．已知空间四边形OABC ，其对角线为AC ，OB ，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，点G 是MN 的中点，则OG ―→等于( )A.16OA ―→＋13OB ―→＋13OC ―→B.14(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)C.13(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)D.16OB ―→＋13OA ―→＋13OC ―→ 解析：如图，OG ―→＝12(OM ―→＋ON ―→)＝12OM ―→＋12×12(OB ―→＋OC ―→) ＝14OA ―→＋14OB ―→＋14OC ―→ ＝14(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)． 答案：B2．已知a ＝(1，－2,1)，a ＋b ＝(－1,2，－1)，则b 等于( ) A ．(2，－4,2) B ．(－2,4，－2) C ．(－2,0，－2) D ．(2,1，－3)解析：b ＝(a ＋b )－a＝(－1,2，－1)－(1，－2,1)＝(－2,4，－2)． 答案：B3．a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，如果a 与b 为共线向量，则( ) A ．x ＝1，y ＝1 B ．x ＝12，y ＝－12C ．x ＝16，y ＝－32D ．x ＝－16，y ＝32解析：∵a ＝(2x,1,3)与b ＝(1，－2y,9)共线，故有2x 1＝1－2y ＝39，∴x ＝16，y ＝－32.答案：C4．已知点A (－1,3,1)，B (－1,3,4)，D (1,1,1)，若AP ―→＝2PB ―→，则|PD ―→|的值是________． 解析：设点P (x ，y ，z )，则由AP ―→＝2PB ―→， 得(x ＋1，y －3，z －1)＝2(－1－x,3－y,4－z )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝－2－2x ，y －3＝6－2y ，z －1＝8－2z ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3，z ＝3，即P (－1,3,3)， 则|PD ―→|＝－1－12＋3－12＋3－12＝12＝2 3. 答案：2 35．已知空间三点A (1,1,1)，B (－1,0,4)，C (2，－2,3)，则AB ―→与CA ―→的夹角θ的大小是________．解析：AB ―→＝(－2，－1,3)，CA ―→＝(－1,3，－2)，cos 〈AB ―→，CA ―→〉＝－2×－1＋－1×3＋3×－214·14＝－714＝－12， ∴θ＝〈AB ―→，CA ―→〉＝120°. 答案：120°6．已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的三等分点且|PN ―→|＝2|NC ―→|，|AM ―→|＝2|MB ―→|，PA ＝AB ＝1，求MN ―→的坐标．解：法一：∵PA ＝AB ＝AD ＝1，且PA 垂直于平面ABCD ，AD ⊥AB ，∴可设DA ―→＝i ，AB ―→＝j ，AP ―→＝k ，以i ，j ，k为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系．∵MN ―→＝MA ―→＋AP ―→＋PN ―→ ＝－23AB ―→＋AP ―→＋23PC ―→＝－23AB ―→＋AP ―→＋23(－AP ―→＋AD ―→＋AB ―→)＝13AP ―→＋23AD ―→＝13k ＋23(－DA ―→) ＝－23i ＋13k ，∴MN ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0，13.法二：设DA ―→＝i ，AB ―→＝j ，AP ―→＝k ，以i ，j ，k 为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，过M 作AD 的平行线交CD 于点E ，连接EN .∵MN ―→＝ME ―→＋EN ―→＝AD ―→＋13DP ―→＝－DA ―→＋13(DA ―→＋AP ―→)＝－i ＋13(i ＋k )＝－23i ＋13k ，∴MN ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0，13.一、选择题1．已知a ，b ，c 是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基的一组向量是( ) A ．3a ，a －b ，a ＋2b B ．2b ，b －2a ，b ＋2a C ．a,2b ，b －cD ．c ，a ＋c ，a －c解析：对于A ，有3a ＝2(a －b )＋a ＋2b ，则3a ，a －b ，a ＋2b 共面，不能作为基；同理可判断B 、D 错误．答案：C2．以正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，则与DB 1―→共线的向量的坐标可以是( )A ．(1，2，2)B ．(1,1，2)C ．(2，2，2)D ．(2，2，1)解析：设正方体的棱长为1，则由图可知D (0,0,0)，B 1(1,1,1)， ∴DB 1―→＝(1,1,1)，∴与DB 1―→共线的向量的坐标可以是(2，2，2)． 答案：C3．空间四边形OABC 中，OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，点M 在OA 上，且OM ―→＝2MA ―→，N 为BC 中点，则MN ―→为( )A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12cC.12a ＋12b －23c D.23a ＋23b －12c 解析：MN ―→＝MA ―→＋AB ―→＋BN ―→ ＝13OA ―→＋OB ―→－OA ―→＋12(OC ―→－OB ―→) ＝－23OA ―→＋12OB ―→＋12OC ―→＝－23a ＋12b ＋12c .答案：B4．若a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，且a 与b 的夹角的余弦值为89，则λ＝( )A ．2B ．－2C ．－2或255D ．2或－255解析：因为a ·b ＝1×2＋λ×(－1)＋2×2＝6－λ，又因为a ·b ＝|a ||b |·cos〈a ，b 〉＝5＋λ2·9·89＝835＋λ2，所以835＋λ2＝6－λ.解得λ＝－2或255.答案：C 二、填空题5．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－4,2，x )，c ＝(1，－x,2)，若(a ＋b )⊥c ，则x ＝________. 解析：∵a ＋b ＝(－2,1，x ＋3)， ∴(a ＋b )·c ＝－2－x ＋2(x ＋3)＝x ＋4. 又∵(a ＋b )⊥c ， ∴x ＋4＝0，即x ＝－4. 答案：－46．已知向量a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,0，λ)，若a ，b ，c 三个向量共面，则实数λ＝________.解析：由a ，b ，c 共面可得c ＝xa ＋yb ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧7＝2x －y ，0＝－x ＋4y ，λ＝3x －2y ，解得λ＝10.答案：107．若a ＝(x,2,2)，b ＝(2，－3,5)的夹角为钝角，则实数x 的取值X 围是________． 解析：a ·b ＝2x －2×3＋2×5＝2x ＋4，设a ，b 的夹角为θ，因为θ为钝角，所以cosθ＝a ·b|a ||b |<0，又|a |>0，|b |>0，所以a ·b <0，即2x ＋4<0，所以x <－2，所以实数x 的取值X 围是(－∞，2)．答案：(－∞，－2)8．已知M 1(2,5，－3)，M 2(3，－2，－5)，设在线段M 1M 2上的一点M 满足M 1M 2―→＝4MM 2―→，则向量OM ―→的坐标为________．解析：设M (x ，y ，z )，则M 1M 2―→＝(1，－7，－2)，MM 2―→＝(3－x ，－2－y ，－5－z )．又∵M 1M 2―→＝4MM 2―→，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝43－x ，－7＝4－2－y ，－2＝4－5－z ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝114，y ＝－14，z ＝－92.答案：⎝⎛⎭⎪⎫114，－14，－92三、解答题9．已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (1,2,3)，B (2，－1，5)，C (3,2，－5)． (1)求△ABC 的面积； (2)求△ABC 中AB 边上的高．解：(1)由已知得AB ―→＝(1，－3,2)，AC ―→＝(2,0，－8)， ∴|AB ―→|＝ 1＋9＋4＝14， |AC ―→|＝4＋0＋64＝217，AB ―→·AC ―→＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14，cos 〈AB ―→，AC ―→〉＝AB ―→·AC ―→|AB ―→|·|AC ―→|＝－1414×217＝－14217，sin 〈AB ―→，AC ―→〉＝1－1468＝2734. ∴S △ABC ＝12|AB ―→|·|AC ―→|·sin〈AB ―→，AC ―→〉＝12×14×217×2734＝321. (2)设AB 边上的高为CD ， 则|CD ―→|＝2S △ABC |AB ―→|＝3 6.10.如图，在空间直角坐标系中BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫32，12，0，点D 在平面yOz 上，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°.(1)求向量OD ―→的坐标；(2)设向量AD ―→和BC ―→的夹角为θ，求cos θ的值．解：(1)如图所示，过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt △BDC 中，由∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，得BD ＝1，CD ＝ 3.∴DE ＝CD ·sin 30°＝32. OE ＝OB －BD ·cos 60°＝1－12＝12，∴D 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，32，即向量OD ―→的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，32.(2)依题意：OA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，OB ―→＝(0，－1,0)，OC ―→＝(0,1,0)． 所以AD ―→＝OD ―→－OA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1，32，BC ―→＝OC ―→－OB ―→＝(0,2,0)． 设向量AD ―→和BC ―→的夹角为θ，则 cos θ＝AD ―→·BC―→|AD ―→|·|BC ―→|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×0＋－1×2＋32×0⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322·02＋22＋02＝－210＝－105.∴cos θ＝－105.。

于平面MAB内的充要 条件是存在有序实数
论
对(x，y)，使 MP
＝ x MA＋y MB ，
或对空间任意一点O
若在l上取 AB ＝a，则①式可化 来说，有 OP ＝OM
为
OP＝ OA ＋t AB.
＋xMA＋ y MB .
小结
1.λa是一个向量.当λ＝0或a＝0时，λa＝0. 2.平面向量的数乘运算的运算律推广到空间向量的数乘运 算，结论仍然成立． 3.共线向量的充要条件及其推论是证明共线(平行)问题的重 要依据，条件b≠0不可遗漏．
4.直线的方向向量是指与直线平行或共线的向量．一条 直线的方向向量有无限多个，它们的方向相同或相反．
5.共面向量的充要条件给出了空间平面的向量表示式， 说明空间中任意一个平面都可以由一点及两个不共线的平面 向量表示出来.另外，还可以用OP ＝xOA＋yOB＋zOC ，且 x ＋y＋z＝1 判断 P,A,B,C 四点共面．
跟踪训练
5．在下列条件中，使 M 与 A,B,C 一定共面的是( ) A．OM ＝3OA－2OB－OC B．OM ＋OA＋OB＋OC ＝0 C． MA＋ MB＋ MC ＝0 D．OM ＝14OB－OA＋12OC 解析：∵ MA＋ MB＋ MC ＝0， ∴ MA＝－ MB－ MC ， ∴M 与 A,B,C 必共面．
DF ＝－CF
②
将②代入①中，两式相加得 2 EF ＝ AD＋ BC .
所以 EF ＝12 AD＋12BC ，即 EF 与 BC , AD共面．
[一点通] 利用向量法证明向量共面问题，关键是熟练 进行向量的表示，恰当应用向量共面的充要条件．解答本 题实质上是证明存在实数 x，y 使向量 EF ＝x AD＋yBC 成 立，也就是用空间向量的加、减法则及运算律，结合图形， 用 AD, BC 表示 EF .

3．1。

1空间向量及其线性运算［学习目标］1。

了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示.2。

掌握空间向量的线性运算及运算律,理解空间向量线性运算及其运算律的几何意义．知识点一空间向量的概念在空间中，我们把像位移、力、速度、加速度这样既有大小又有方向的量叫做空间向量，向量的大小叫向量的长度或模．知识点二空间向量的加减法（1)加减法定义空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．(如图)错误!＝错误!＋错误!＝a＋b;错误!＝错误!－错误!＝a－b.(2）运算律交换律：a＋b＝b＋a;结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c）．知识点三空间向量的数乘运算（1)定义实数λ与空间向量a的乘积λa仍是一个向量，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa与a方向相同;当λ〈0时,λa与a方向相反；当λ＝0时，λa＝0。

λa的长度是a的长度的|λ｜倍．如图所示．(2）运算律分配律:λ（a＋b)＝λa＋λb；结合律：λ（μa）＝(λμ)a。

知识点四共线向量定理（1）共线向量的定义与平面向量一样,如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作a∥b。

(2)充要条件对空间任意两个向量a，b(a≠0），b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b＝λa.思考（1）若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同,则终点也相同．对吗？(2）零向量没有方向．对吗？(3)空间两个向量的加减法与平面内两向量的加减法完全一致．对吗?答案(1)正确．起点相同，终点也相同的两个向量相等．(2）错误．不是没有方向，而是方向任意．（3）正确．题型一空间向量的概念例1判断下列命题的真假．(1）空间中任意两个单位向量必相等；(2)方向相反的两个向量是相反向量；(3)若｜a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；(4)向量错误!与错误!的长度相等．解（1)假命题．因为两个单位向量，只有模相等，但方向不一定相同．（2)假命题．因为方向相反的两个向量模不一定相等．（3）假命题．因为两个向量模相等时，方向不一定相同或相反，也可以是任意的．(4)真命题．因为错误!与错误!仅是方向相反，但长度是相等的．反思与感悟空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念．跟踪训练1如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中,（1)试写出与错误!相等的所有向量；(2)试写出错误!的相反向量；（3）若AB＝AD＝2,AA1＝1，求向量错误!的模．解（1）与向量AB，→相等的所有向量（除它自身之外)有错误!，错误!及错误!共3个．(2)向量错误!的相反向量为错误!，错误!，错误!，错误!。

3．2.1 直线的方向向量及平面的法向量1．用向量表示直线的位置条件直线l上一点A表示直线l方向的向量a(即直线l的□01方向向量)形式在直线l上取AB→＝a，那么对于直线l上任意一点P，一定存在实数t使得AP→＝□02tAB→作用定位置点A和向量a可以确定直线的位置定点可以具体表示出l上的任意一点(1)通过平面α上的一个定点和两个向量来确定条件平面α内两条□03相交直线的方向向量a，b和交点O形式对于平面α上任意一点P，存在有序实数对(x，y)，使得OP→＝□04x a＋y b(2)通过平面α上的一个定点和法向量来确定平面的法向量□05直线l⊥α，直线l的方向向量，叫做平面α的法向量确定平面位置过点A，以向量a为法向量的平面是完全确定的3．空间中平行、垂直关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则线线平行l∥m⇔□06a∥b⇔□07a＝k b(k∈R)线面平行l∥α⇔□08a⊥u⇔□09a·u＝0面面平行α∥β⇔□10u∥v⇔□11u＝k v(k∈R)线线垂直 l ⊥m ⇔□12a ⊥b ⇔□13a ·b ＝0 线面垂直 l ⊥α⇔□14a ∥u ⇔□15a ＝λu (λ∈R ) 面面垂直 α⊥β⇔□16u ⊥v ⇔□17u ·v ＝01．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线上任意两个不同的点A ，B 表示的向量AB →都可作为该直线的方向向量．( ) (2)若向量n 1，n 2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行．( )(3)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．( ) (4)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)√ 2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若点A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量的坐标可以是________．(2)已知a ＝(2，－4，－3)，b ＝(1，－2，－4)是平面α内的两个不共线向量．如果n ＝(1，m ，n )是α的一个法向量，那么m ＝________，n ＝________.(3)(教材改编P 104T 2)设平面α的法向量为(1,3，－2)，平面β的法向量为(－2，－6，k )，若α∥β，则k ＝________.(4)已知直线l 1，l 2的方向向量分别是v 1＝(1,2，－2)，v 2＝(－3，－6,6)，则直线l 1，l 2的位置关系为________．答案 (1)(2,4,6) (2)120 (3)4 (4)平行探究1 点的位置向量与直线的方向向量例1 (1)若点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，72在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，23，13(2)已知O 为坐标原点，四面体OABC 的顶点A (0,3,5)，B (2,2,0)，C (0,5,0)，直线BD ∥CA ，并且与坐标平面xOz 相交于点D ，求点D 的坐标．[解析] (1)AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，72－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，12＝(1,2,3)，⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，1＝13(1,2,3)＝13AB →，又因为与AB →共线的非零向量都可以作为直线l 的方向向量．故选A.(2)由题意可设点D 的坐标为(x,0，z )， 则BD →＝(x －2，－2，z )，CA →＝(0，－2,5)．∵BD ∥CA ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝0，z ＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，z ＝5，∴点D 的坐标为(2,0,5)． [答案] (1)A (2)见解析 拓展提升求点的坐标：可设出对应点的坐标，再利用点与向量的关系，写出对应向量的坐标，利用两向量平行的充要条件解题．【跟踪训练1】 已知点A (2,4,0)，B (1,3,3)，在直线AB 上有一点Q ，使得AQ →＝－2QB →，求点Q 的坐标．解 由题设AQ →＝－2QB →，设Q (x ，y ，z )，则(x －2，y －4，z )＝－2(1－x,3－y,3－z )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝－2(1－x )，y －4＝－2(3－y )，z ＝－2(3－z )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，∴Q (0，2，6).z ＝6，探究2 求平面的法向量例2 如图，ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，求平面SCD 与平面SBA 的法向量．[解]∵AD ，AB ，AS 是三条两两垂直的线段，∴以A 为原点，分别以AD →，AB →，AS →的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立坐标系，则A (0,0,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，C (1,1,0)，S (0,0,1)，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0是平面SAB 的法向量，设平面SCD 的法向量n ＝(1，λ，u )，则n ·DC →＝(1，λ，u )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0＝12＋λ＝0，∴λ＝－12.n ·DS →＝(1，λ，u )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，1＝－12＋u ＝0，∴u ＝12，∴n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－12，12. 综上，平面SCD 的一个方向向量为n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－12，12，平面SBA 的一个法向量为AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0.拓展提升设直线l 的方向向量为u ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量v ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ⊥α⇔u ∥v ⇔u ＝k v ⇔a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2，其中k ∈R ，平面的法向量的求解方法：①设出平面的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )．②找出(或求出)平面内的两个不共线的向量的坐标：a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)．③依据法向量的定义建立关于x ，y ，z 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0.④解方程组，取其中的一个解，即得法向量，由于一个平面的法向量有无数多个，故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．【跟踪训练2】 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求证：DB 1→是平面ACD 1的一个法向量．证明 设正方体的棱长为1，分别以DA →，DC →，DD 1→为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则DB 1→＝(1,1,1)，AC →＝(－1,1,0)，AD 1→＝(－1,0,1)．于是有DB 1→·AC →DB 1→⊥AC →，即DB 1⊥AC . 同理，DB 1⊥AD 1，又AC ∩AD 1＝A ，所以DB 1⊥平面ACD 1，从而是平面ACD 1的一个法向量． 探究3 利用方向向量、法向量判断线、面 关系例3 (1)设a ，b 分别是不重合的直线l 1，l 2的方向向量，根据下列条件判断l 1与l 2的位置关系：①a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)； ②a ＝(5,0,2)，b ＝(0,4,0)； ③a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)．(2)设u ，v 分别是不同的平面α，β的法向量，根据下列条件判断α，β的位置关系： ①u ＝(1，－1,2)，v ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2，－12；②u ＝(0,3,0)，v ＝(0，－5,0)； ③u ＝(2，－3,4)，v ＝(4，－2,1)．(3)设u 是平面α的法向量，a 是直线l 的方向向量(l ⊄α)，根据下列条件判断α和l 的位置关系：①u ＝(2,2，－1)，a ＝(－3,4,2)； ②u ＝(0,2，－3)，a ＝(0，－8,12)； ③u ＝(4,1,5)，a ＝(2，－1,0)．[解] (1)①因为a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)，所以a ＝－13b ，所以a ∥b ，所以l 1∥l 2.②因为a ＝(5,0,2)，b ＝(0,4,0)，所以a ·b ＝0， 所以a ⊥b ，所以l 1⊥l 2.③因为a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)，所以a 与b 不共线，也不垂直，所以l 1与l 2的位置关系是相交或异面．(2)①因为u ＝(1，－1,2)，v ＝⎝⎛⎭⎪⎫3，2，－12，所以u ·v ＝3－2－1＝0，所以u ⊥v ，所以α⊥β.②因为u ＝(0,3,0)，v ＝(0，－5,0)，所以u ＝－35v ，所以u ∥v ，所以α∥β.③因为u ＝(2，－3,4)，v ＝(4，－2,1)．所以u 与v 既不共线，也不垂直，所以α，β相交．(3)①因为u ＝(2,2，－1)，a ＝(－3,4,2)，所以u ·a ＝－6＋8－2＝0， 所以u ⊥a ，所以直线l 和平面α的位置关系是l ∥α.②因为u ＝(0,2，－3)，a ＝(0，－8,12)，所以u ＝－14a ，所以u ∥a ，所以l ⊥α.③因为u ＝(4,1,5)，a ＝(2，－1,0)，所以u 和a 不共线也不垂直，所以l 与α斜交． 拓展提升利用向量判断线、面关系的方法(1)两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)；否则两直线相交或异面． (2)直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直．(3)两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)；否则两平面相交但不垂直．【跟踪训练3】 根据下列条件，判断相应的线、面位置关系： (1)直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)； (2)平面α，β的法向量分别是u ＝(1,3,0)，v ＝(－3，－9，0)；(3)直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(1，－4，－3)，u ＝(2,0,3)； (4)直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(3,2,1)，u ＝(－1,2，－1)． 解 (1)因为a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)，所以a ·b ＝8－6－2＝0，所以a ⊥b ，所以l 1⊥l 2.(2)因为u ＝(1,3,0)，v ＝(－3，－9,0)，所以v ＝－3u ，所以v ∥u ，所以α∥β. (3)因为a ＝(1，－4，－3)，u ＝(2,0,3)，所以a ≠k u (k ∈R )且a ·u ≠0，所以a 与u 既不共线也不垂直，即l 与α相交但不垂直．(4)因为a ＝(3,2,1)，u ＝(－1,2，－1)，所以a ·u ＝－3＋4－1＝0，所以a ⊥u ，所以l ⊂α或l ∥α.1.空间中一条直线的方向向量有无数个.2.线段中点的向量表达式：对于AP →＝tAB →，当t ＝12时，我们就得到线段中点的向量表达式．设点M 是线段AB 的中点，则OM →＝12(OA →＋OB →)，这就是线段AB 中点的向量表达式.，求出向量的横、纵、竖坐标是具有某种关系的，而不是具体的值，可设定某个坐标为常数，再表示其他坐标.(1)设n 是平面α的一个法向量，v 是直线l 的方向向量，则v ⊥n 且l 上至少有一点A ∉α，则l ∥α.(2)根据线面平行的判定定理：“如果平面外直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行”，要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量.(3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线向量确定的平面必定平行，因此要证明平面外一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可.(1)在一个平面内找到两个不共线的向量都与另一个平面的法向量垂直，那么这两个平面平行.(2)利用平面的法向量，证明面面平行，即如果a ⊥平面α，b ⊥平面β，且a ∥b ，那么α∥β.1．若平面α，β的法向量分别为a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，3，b ＝(－1,2，－6)，则( ) A ．a ∥β B ．α与β相交但不垂直 C ．α⊥β D ．α∥β或α与β重合 答案 D解析 ∵b ＝－2a ，∴b ∥a ，∴α∥β或α与β重合．2．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝2，E ，F 分别是平面A 1B 1C 1D 1，平面BCC 1B 1的中心，以点A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则直线EF 的方向向量可以是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，22B ．(1,0，2) C ．(－1,0，2) D ．(2,0，－2) 答案 D解析 由已知得E (1,1，2)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1，22，所以|EF →|＝⎝⎛⎭⎪⎫2，1，22－(1,1，2)＝⎝⎛⎭⎪⎫1，0，－22，结合选项可知，直线EF 的方向向量可以是(2,0，－2)．3．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则平面ABC 的一个单位法向量是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫33，33，－33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫33，－33，33 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33，33 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－33，－33 答案 D解析 由AB →＝(－1,1,0)，AC →＝(－1,0,1)，结合选项，验证知应选D.4．若直线l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2，则m ＝________.答案 －8解析 因为直线l ∥α，所以直线l 的方向向量与平面α的法向量垂直，所以(2，m,1)·⎝⎛⎭⎪⎫1，12，2＝2＋m 2＋2＝0，解得m ＝－8.5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是DD 1的中点，O 为底面ABCD 的中心，求证：OB →1是平面PAC 的法向量．证明 建立空间直角坐标系如右图所示，不妨设正方体的棱长为2，则A (2,0,0)，P (0,0,1)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)，O (1,1,0)，于是OB 1→＝(1,1,2)，AC →＝(－2,2,0)，AP →＝(－2，0,1)，∴OB 1→·AC →＝－2＋2＝0，OB 1→·AP →＝－2＋2＝0. ∴OB 1→⊥AC →，OB 1→⊥AP →，即OB 1⊥AC ，OB 1⊥AP . ∵AC ∩AP ＝A ，∴OB 1⊥平面PAC ，即OB 1→是平面PAC 的法向量．。