第三章 空间向量与立体几何单元小结
[核心速填]
1．空间向量的有关定理和推论
(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb .
(2)共线向量定理的推论：若OA →，OB →不共线，则P ，A ，B 三点共线的充要条件是OP →＝λOA →
＋μOB →
，且λ＋μ＝1.
(3)共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x ，y )，使得p ＝x a ＋y b .
(4)共面向量定理的推论：已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，则P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件是OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →
(其中x ＋y ＋z ＝1)．
(5)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，其中{a ，b ，c }叫做空间的一个基底．
2．空间向量运算的坐标表示
设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)． (1)a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)， a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)， λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)， a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3. (2)重要结论：
a ∥
b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R )； a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0. 3．模、夹角和距离公式
(1)设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则
①|a |＝a ·a
②cos 〈a ，b 〉＝
a ·b
|a ||b |＝(2)设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则
d AB ＝|AB →
|4．空间向量的结论与线面位置关系的对应关系
(1)设直线l 的方向向量是u ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量v ＝(a 2，b 2，c 2)，
则l ∥α⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0，l ⊥α⇔u ∥v ⇔u ＝k v ⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)⇔a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2(k ∈R )．
(2)设直线l ，m 的方向向量分别为a ，b ，平面α，β的法向量分别为u ，v ，则 l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝k b ，k ∈R ； l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a ·b ＝0； l ∥α⇔a ⊥u ⇔a ·u ＝0； l ⊥α⇔a ∥u ⇔a ＝k u ，k ∈R ； α∥β⇔u ∥v ⇔u ＝k v ，k ∈R ； α⊥β⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0. 5．空间向量与空间角的关系
(1)设异面直线l 1，l 2的方向向量分别为m 1，m 2，则l 1与l 2的夹角θ满足cos θ＝|cos 〈m 1，m 2〉|.
(2)设直线l 的方向向量和平面α的法向量分别为m ，n ，则直线l 与平面α的夹角θ满足sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|.
(3)求二面角的大小：
(ⅰ)如图3-1①，AB ，CD 是二面角α-l -β的两个半平面α，β内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB →，CD →〉．
图3-1
(ⅱ)如图3-1②③，n 1，n 2分别是二面角α-l -β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝cos 〈n 1，n 2〉或－cos 〈n 1，n 2〉．
[体系构建]
[题型探究]
类型一、空间向量的基本概念及运算
例1、如图3-2，在四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，S 到A 、B 、C 、D 的距离都等于2.给出以下结论：
图3-2
①SA →＋SB →＋SC →＋SD →
＝0； ②SA →＋SB →－SC →－SD →
＝0； ③SA →－SB →＋SC →－SD →
＝0； ④SA →·SB →＝SC →·SD →； ⑤SA →·SC →＝0.
其中正确结论的序号是________． 【答案】 ③④
【解析】容易推出SA →－SB →＋SC →－SD →＝BA →＋DC →
＝0，所以③正确；又因为底面ABCD 是边长为1的正方形，SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝2，所以SA →·SB →＝2·2·cos ∠ASB ，SC →·SD →
＝2·2·cos ∠CSD ，而∠ASB ＝∠CSD ，于是SA →·SB →＝SC →·SD →，因此④正确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④.
1.如图3-3，已知ABCD -A ′B ′C ′D ′是平行六面体．
设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC ′B ′对角线BC ′上的34分点，设MN →＝αAB →＋βAD
→
＋γAA ′→
，则α＋β＋γ＝________.
图3-3
【答案】3
2
[连接BD ，则M 为BD 的中点，
MN →＝MB →＋BN →＝12DB →＋34BC ′→＝12(DA →＋AB →)＋34(BC →＋CC ′→)＝12(－AD →＋AB →)＋34(AD →＋AA ′→
)＝
12AB →＋14AD →＋34
AA ′→
. ∴α＝12，β＝14，γ＝34.∴α＋β＋γ＝3
2.]
类型二、空间向量的坐标运算
例2、(1)已知a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝1
2x －2a ，则x ＝( )
A ．(0,3，－6)
B ．(0,6，－20)
C ．(0,6，－6)
D ．(6,6，－6)
(2)已知向量a ＝(x,1,2)，b ＝(1，y ，－2)，c ＝(3,1，z )，a ∥b ，b ⊥C ． ①求向量a ，b ，c ；
②求a ＋c 与b ＋c 所成角的余弦值.
【答案】(1)B [由b ＝1
2
x －2a 得x ＝4a ＋2b ，
又4a ＋2b ＝4(2,3，－4)＋2(－4，－3，－2)＝(0,6，－20)， 所以x ＝(0,6，－20)．]
(2)①∵向量a ＝(x,1,2)，b ＝(1，y ，－2)，c ＝(3,1，z )，且a ∥b ，b ⊥c ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＝1y ＝2－2
3＋y －2z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－1，y ＝－1，z ＝1，
