第三章 空间向量与立体几何(B卷)

第三章 空间向量与立体几何1 空间向量加减法运用的三个层次空间向量是处理立体几何问题的有力工具，但要用好向量这一工具解题，必须熟练运用加减法运算． 第1层 用已知向量表示未知向量例1 如图所示,M ，N 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，P ,Q 是MN 的三等分点，用向量错误!,错误!,错误!表示错误!和错误!。

解 错误!＝错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＝12错误!＋错误!(错误!－错误!）＝错误!错误!＋错误!(错误!－错误!错误!)＝错误!错误!＋错误!×错误!(错误!＋错误!)＝错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!；错误!＝错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!（错误!－错误!）＝错误!错误!＋错误!（错误!－错误!错误!）＝错误!错误!＋错误!×错误!（错误!＋错误!)＝错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!。

点评用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立．第2层化简向量例2如图，已知空间四边形ABCD，连接AC、BD.设M、G分别是BC、CD的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果的向量．(1）错误!＋错误!＋错误!;（2)错误!＋错误!(错误!＋错误!）；（3）错误!－错误!（错误!＋错误!)．解(1）错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!。

(2）错误!＋错误!（错误!＋错误!）＝错误!＋错误!错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!.（3) 错误!－错误!（错误!＋错误!）＝错误!－错误!＝错误!。

错误!、错误!、错误!如图所示．点评要求空间若干向量之和,可以通过平移，将它们转化为首尾相接的向量，如果首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为0。

描述：例题：高中数学选修2-1(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案第三章 空间向量与立体几何 3.2 空间向量在立体几何中的应用一、学习任务1. 理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量．2. 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系．3. 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；能用向量方法判断一些简单的空间线面的平行和垂直关系．4. 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题；体会向量方法在研究几何问题中的作用．二、知识清单异面直线所成的角线面角 二面角空间向量的应用三、知识讲解1.异面直线所成的角设直线 是异面直线，过空间一点 分别作直线 的平行线 ，我们把直线 所成的锐角或直角叫做异面直线 所成的角，或异面直线 的夹角．a ,b O a ,b ,a ′b ′,a ′b ′a ,b a ,b 如图，在正方体 中，求：（1）异面直线 与 所成的角；（2） 与 所成的角．解：（1）因为 ，而 ，所以 ，即 与 所成角为 ．（2）如下图，连接 ，，因为 ，所以 与 所成的角即为与 所成的角．又 ，所以 为正三角形，所以 和 所成的角为ABCD −A 1B 1C 1D 1AB A 1D 1A D 1D C 1∥AB A 1B 1⊥A 1D 1A 1B 1⊥AB A 1D 1AB A 1D 190∘A B 1B 1D 1A ∥D B 1C 1A B 1A D 1D C 1A D 1A =A =D 1B 1B 1D 1△A B 1D 1A D 1A B 1A平面平行，或在平面内，则称直线和平面所成的角是，即 与 60A D 1D C 求直线 与 平面 AP P ∠AP B =∠AP Rt△AP D描述：例题：3.二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角（dihedral angle）．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱 、面分别为 ， 的二面角记作二面角．有时为了方便，也可在 ， 内（棱以外的半平面部分）分别取点 ， ，将这个二面角记作二面角．如果棱记作 ，那么这个二面角记作二面角或．在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角.两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．AB αβα−AB −βαβP Q P −AB −Q l α−l −βP −l −Q α−l −βl O O αβl OA OB OA OB ∠AOB 如图，在正方体 中，，，， 分别是 ，， 和 的中点．（1）求证：；（2）求二面角 的平面角的正切值．解：（1）因为 ， 均为所在棱的中点，所以 ．而 ，所以 ．又因为 ， 均为所在棱的中点，所以 和 均为等腰直角三角形．所以 ，所以 ， ，故．而 ，所以 ．（2）在平面 中，过点 作 于点 ，连接 ．由（1）知 ，又 ，所以 ．ABCD −A 1B 1C 1D 1E F M N A 1B 1BC C 1D 1B 1C 1平面 MNF ⊥平面 ENF M −EF −N N F NF ⊥平面 A 1B 1C 1D 1MN ⊂平面 A 1B 1C 1D 1NF ⊥MN M E △MN C 1△NE B 1∠MN =∠NE =C 1B 145∘∠MNE =90∘MN ⊥NE MN ⊥平面 NEF MN ⊂平面 MNF 平面 MNF ⊥平面 NEF NEF N NG ⊥EF G MG MN ⊥平面 NEF EF ⊂平面 NEF MN ⊥EFEF ⊥ MNGM −EF −N ，并且 交坐标平面 AD ∥BC AD（2）求证：证明：建立如图所示的空间直角坐标系．平面 BDP ⊥使 和 成 角，求 、 间的距离．AB CD 60B D −→−−→−−→−22A−CD−E （3）求二面角立空间直角坐标系．()∴d=63 2。

第3章 单元检测(B 卷)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1．在以下命题中，不正确的个数为________． ①|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件； ②若a∥b ，则存在惟一的实数λ，使a ＝λb ； ③若a·b ＝0，b·c ＝0，则a ＝c ；④若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一基底； ⑤|(a·b )·c |＝|a|·|b|·|c |. 2．已知a 与b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是________． 3．若向量a ＝(1，x,2)，b ＝(2，－1,2)，且a ，b 夹角的余弦值为89，则x ＝________.4．若a ＝e 1＋e 2＋e 3，b ＝e 1－e 2－e 3，c ＝e 1＋e 2，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3({e 1，e 2，e 3}为空间的一个基底)，且d ＝x a ＋y b ＋z c ，则x ，y ，z 分别为__________． 5．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 值是________． 6．已知a ＝(2，－1,2)，b ＝(2,2,1)，则以a ，b 为邻边的平行四边形的面积为________． 7.在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与所成角的余弦值为________． 8.如图所示，∠BAD ＝90°的等腰直角三角形ABD 与正三角形CBD 所在平面互相垂直，E 是BC 的中点，则AE 与平面BCD 所成角的大小为________． 9.如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ∥FE ，AB ⊥AD ，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12AD ，则异面直线BF 与DE 所成的角的大小为________．10.已知四面体ABCD 的六条棱长都是1，则直线AD 与平面ABC 的夹角的余弦值为________． 11．已知四边形ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD →＝5a ＋6b －8c ，对角线AC ，BD 的中点分别为E ，F ，则EF →＝__________.12．如果向量a ＝(1,0,1)，b ＝(0,1,1)分别平行于平面α，β且都与此两平面的交线l 垂直，则二面角α—l —β的大小是________． 13.如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，二面角B —A 1C 1—B 1的正切值为________．14．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角B ＝________. 二、解答题(本大题共6小题，共90分) 15．(14分)如图所示，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，连结PA 、PB 、PC 、PD ，点E 、F 、G 、H 分别为△PAB 、△PBC 、△PCD 、△PDA 的重心，应用向量共面定理证明：E 、F 、G 、H 四点共面．16．(14分)如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H、M、N分别是正方体六个表面的中心，试确定平面EFG和平面HMN的位置关系．如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，AB＝BC＝2，BB1＝3，D 为A1C1的中点，F在线段AA1上，(1)AF为何值时，CF⊥平面B1DF?(2)设AF＝1，求平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB＝2EF，∠BFC ＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．(1)求证：FH∥平面EDB；(2)求证：AC⊥平面EDB；(3)求二面角B—DE—C的大小．19.(16分)已知直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2，底面ABCD是直角梯形，∠A为直角，AB∥CD，AB＝4，AD＝2，DC＝1，求异面直线BC1与DC所成角的余弦值．20．(16分)在底面是直角梯形的四棱锥S —ABCD 中，∠ABC ＝90°，SA ⊥面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12.求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值．第3章 空间向量与立体几何(B)1．4解析 ①不正确，由|a |－|b |＝|a ＋b |知a 与b 反向，a 与b 共线，但a 与b 共线不一定有|a |－|b |＝|a ＋b |；②不正确，应加上条件b ≠0；③不正确，当b ＝0时，a 与c 不一定相等；④正确；⑤不正确，应为|(a·b )·c |≤|a|·|b|·|c |. 2.π3解析 由已知(a －2b )·a ＝0，(b －2a )·b ＝0∴a 2＝2ab ＝b 2.∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b |＝a·b |a |2＝12，∴〈a ，b 〉＝π3. 3．－2或255解析 cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b |＝6－x 35＋x 2＝89，解得x ＝－2或x ＝255.4.52，－12，－1 解析 d ＝x a ＋y b ＋z c ＝(x ＋y ＋z )e 1＋(x －y ＋z )e 2＋(x －y )e 3＝e 1＋2e 2＋3e 3，空间任一向量都可以用一个空间基底惟一表示，从而得到⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝1，x －y ＋z ＝2，x －y ＝3.解得x ＝52，y ＝－12，z ＝－1.5.756.65解析 因为|a |＝|b |，所以平行四边形为菱形， 又a ＋b ＝(4,1,3)，a －b ＝(0，－3,1)， |a ＋b |＝26，|a －b |＝10， S ＝12|a ＋b ||a －b |＝12×26×10＝65. 7.25解析 建立如图所示，空间直角坐标系D —xyz ， 则AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1，→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，12，AM →·→＝12，|AM →|＝|→|＝52，所以cos 〈AM →，→〉＝1252×52＝25. 8．45°9．60°解析 以点A 为坐标原点，AB ，AD ，AF 分别为x ，y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系A —xyz ，设AB ＝1，依题意得B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，E (0,1,1)，F (0,0,1)． BF →＝(－1,0,1)，DE →＝(0，－1,1)，于是cos 〈BF →，DE →〉＝BF →·DE →|BF →||DE →|＝0＋0＋12×2＝12.所以异面直线BF 与DE 所成的角的大小为60°.10.3311．3a ＋3b －5c解析 取AD 中点P ，连结EP ，FP ， 则PF →＝12AB →，EP →＝12CD →，所以EF →＝EP →＋PF →＝12AB →＋12CD →＝12(6a ＋6b －10c )＝3a ＋3b －5c .12．60°或120°解析 cos 〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |＝0＋0＋12×2＝12，所以a 与b 夹角为60°或120°，即α—l —β大小为60°或120°.13. 2 14.π6解析 由题意知m·n ＝0，∴3cos A －sin A ＝0， ∴tan A ＝3，A ＝π3，又∵a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，即sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin 2C ，sin(A ＋B )＝sin 2C ，sin(π－C )＝sin 2C ，sin C ＝sin 2C ，∴sin C ＝1，∴C ＝π2，∴B ＝π6.15．证明 分别延长PE 、PF 、PG 、PH 交对边于M 、N 、Q 、R .∵E 、F 、G 、H 分别是所在三角形的重心， ∴M 、N 、Q 、R 为所在边的中点，顺次连结M 、N 、Q 、R ，所得四边形为平行四边形，且有PE →＝23PM →，PF →＝23PN →，PG →＝23PQ →，PH →＝23PR →.∵MNQR 为平行四边形，∴EG →＝PG →－PE →＝23PQ →－23PM →＝23MQ →＝23(MN →＋MR →) ＝23(PN →－PM →)＋23(PR →－PM →)＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫32PF →－32PE →＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫32PH →－32PE →＝EF →＋EH →.∴由共面向量定理得E 、F 、G 、H 四点共面． 16．解 如图，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2，易得E (1,1,0)，F (1,0,1)，G (2,1,1)， H (1,1,2)，M (1,2,1)，N (0,1,1)． ∴EF →＝(0，－1,1)，EG →＝(1,0,1)， HM →＝(0,1，－1)，HN →＝(－1,0，－1)．设m ＝(x 1，y 1，z 1)，n ＝(x 2，y 2，z 2)分别是平面EFG 、平面HMN 的法向量， 由⎩⎪⎨⎪⎧ m ·EF →＝0m ·EG →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－y 1＋z 1＝0x 1＋z 1＝0，令x 1＝1，得m ＝(1，－1，－1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·HM →＝0n ·HN →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧y 2－z 2＝0－x 2－z 2＝0，令x 2＝1，得n ＝(1，－1，－1)．∴m ＝n ，故m ∥n ，即平面EFG ∥平面HMN .17．解 (1)因为直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，BB 1⊥面ABC ，∠ABC ＝π2.以B 点为原点，BA 、BC 、BB 1分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系．因为AB ＝BC ＝2，从而B (0,0,0)，A (2，0,0)，C (0，2，0)，B 1(0,0,3)，A 1(2，0,3)，C 1(0，2，3)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，3.所以CA 1→＝(2，－2，3)，设AF ＝x ，则F (2，0，x )，CF →＝(2，－2，x )，B 1F →＝(2，0，x －3)，B 1D →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，0. CF →·B 1D →＝2·22＋(－2)·22＋x ·0＝0， 所以CF →⊥B 1D →.要使CF ⊥平面B 1DF ，只需CF ⊥B 1F .由CF →·B 1F →＝2＋x (x －3)＝0，得x ＝1或x ＝2，故当AF ＝1或2时，CF ⊥平面B 1DF .(2)由(1)知平面ABC 的法向量为n 1＝(0,0,1)．设平面B 1CF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·CF →＝0，n ·B 1F →＝0，得⎩⎨⎧ 2x －2y ＋z ＝0，2x －2z ＝0，令z ＝1得n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，322，1， 所以平面B 1CF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值cos 〈n ，n 1〉＝11×2＋92＋1＝3015. 18．(1)证明 ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ⊥BC .又EF ∥AB ，∴EF ⊥BC .又∵EF ⊥FB ，BC ∩FB ＝B ，∴EF ⊥平面BFC .∴EF ⊥FH ，∴AB ⊥FH .又BF ＝FC ，H 为BC 的中点，∴FH ⊥BC .∴FH ⊥平面ABC .以H 为坐标原点，HB →为x 轴正向，HF →为z 轴正向，建立如图所示坐标系．设BH ＝1，则A (1，－2,0)，B (1,0,0)，C (－1,0,0)，D (－1，－2,0)，E (0，－1,1)，F (0,0,1)．设AC 与BD 的交点为G ，连结GE ，GH ，则G (0，－1,0)，∴GE →＝(0,0,1)，又HF →＝(0,0,1)，∴HF →∥GE →.又∵GE ⊂平面EDB ，HF 不在平面EDB 内，∴FH ∥平面EDB .(2)证明 ∵AC →＝(－2,2,0)，GE →＝(0,0,1)，∴AC →·GE →＝0，∴AC ⊥GE .又AC ⊥BD ，EG ∩BD ＝G ，∴AC ⊥平面EDB .(3)解 BE →＝(－1，－1,1)，BD →＝(－2，－2,0)， CD →＝(0，－2,0)，CE →＝(1，－1,1)． 设平面BDE 的法向量为n 1＝(1，y 1，z 1)， 则BE →·n 1＝－1－y 1＋z 1＝0，DB →·n 1＝－2－2y 1＝0，∴y 1＝－1，z 1＝0，即n 1＝(1，－1,0)． 设平面CDE 的法向量为n 2＝(1，y 2，z 2)，则n 2·CD →＝0，y 2＝0，n 2·CE →＝0,1－y 2＋z 2＝0，z 2＝－1，故n 2＝(1,0，－1)，cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝12·2＝12， 即〈n 1，n 2〉＝60°，即二面角B —DE —C 为60°.19．解 以D 为坐标原点，以DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．则A (2,0,0)，B (2,4,0)，C (0,1,0)，C 1(0,1,2)，∴DC →＝(0,1,0)，BC 1→＝(－2，－3,2)，|DC →|＝1， |BC 1→|＝22＋32＋22＝17.∴cos 〈DC →，BC 1→〉＝DC →·BC 1→|DC →||BC 1→|＝－317＝－31717. ∴异面直线DC 与BC 1所成的角的余弦值为31717. 20．解建立如图所示的空间直角坐标系A —xyz ， 则A (0,0,0)，B (－1,0,0)，C (－1,1,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0， S (0,0,1)，SA →＝(0,0，－1)，SB →＝(－1,0，－1)，SC →＝(－1,1，－1)，SD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，－1. 设平面SAB 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)． 平面SCD 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 平面SAB 与平面SCD 所成的角为θ.由n 1·SA →＝0与n 1·SB →＝0.可得n 1＝(0,1,0)．由n 2·SC →＝0与n 2·SD →＝0，可得n 2＝(1,2,1)．∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝21×6＝63. ∴cos θ＝63，sin θ＝33，∴tan θ＝22. 即面SCD 平面SBA 所成的二面角的正切值为22.。

第三章 空间向量与立体几何测试卷与答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若A ，B ，C ，D 为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是( ) ①AB →＋2BC →＋2CD →＋DC →； ②2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →； ③AB →＋CA →＋BD →； ④AB →－CB →＋CD →＋AD →. A ．①② B ．②③ C ．②④D ．①④解析： ①中，原式＝AB →＋2BD →＋DC →＝AB →＋BD →＋BD →＋DC →＝AD →＋BC →，不符合题意；②中，原式＝2(AB →＋BC →＋CD →＋DA →)＋(AC →＋CD →＋DA →)＝0；③中，原式＝CD →，不符合题意；④中，原式＝(AB →－AD →)＋(CD →－CB →)＝0.故选C.答案： C2．已知向量a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1，l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则( ) A ．x ＝6，y ＝15 B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝152解析： ∵l 1∥l 2，∴a ∥b ，则32＝x 4＝y 5，∴x ＝6，y ＝152.答案： D3．在下列四个命题中，真命题为( )A ．已知三向量a ，b ，c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一地写成p ＝x a ＋y b ＋z cB ．若a ，b ，c 三向量两两不共线，则空间任意一个向量p 总可以写成p ＝x a ＋y b ＋z cC ．若a ，b ，c 不共面，则空间任意一个向量p 总可以唯一地写成p ＝x a ＋y b ＋z cD ．若a ，b ，c 三向量两两不共线，则x a ＋y b ＋z c ＝0的充要条件是x ＝y ＝z ＝0 解析： 对于空间作为基底的三向量a ，b ，c 必须要有限制，即不共面，故C 正确． 答案： C4．若两点A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，当|AB →|取最小值时，x 的值等于( )A ．19B ．－87C.87D.1914解析： AB →＝(1－x,2x －3，－3x ＋3)， 则|AB →|＝(1－x )2＋(2x －3)2＋(－3x ＋3)2 ＝14x 2－32x ＋19 ＝14⎝⎛⎭⎫x －872＋57. 故当x ＝87时，|AB →|取最小值．答案： C5．已知A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，则AB →与AC →的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°解析： AB →＝(0,3,3)，AC →＝(－1,1,0)，|AB →|＝32，|AC →|＝2，AB →·AC →＝3， ∴cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝12，∴〈AB →，AC →〉＝60°. 答案： C6．已知向量AM →＝⎝⎛⎭⎫0，1，12，AN →＝⎝⎛⎭⎫－1，12，1，则平面AMN 的一个法向量是( ) A ．(－3，－2,4) B ．(3,2，－4) C ．(－3，－2，－4)D ．(－3,2，－4)解析： 设平面AMN 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AM →＝0，n ·AN →＝0，即⎩⎨⎧y ＝－z 2，x ＝34z ，令z ＝4，则n ＝(3，－2,4)，由于(－3,2，－4)＝－(3，－2,4)，可知选项D 符合． 答案： D7．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．若|a |＝3，且a 分别与AB →，AC →垂直，则向量a 为( )A ．(1,1,1)B ．(－1，－1，－1)或(1,1,1)C ．(－1，－1，－1)D ．(1，－1,1)或(－1,1，－1)解析： 设a ＝(x ，y ，z )，AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋z 2＝3，－2x －y ＋3z ＝0，x －3y ＋2z ＝0，解得a ＝(1,1,1)或(－1，－1，－1)．答案： B8．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A.34a 2B.12a 2C.14a 2 D ．a 2解析： 如下图，AE →＝12(AB →＋AC →)，AF →＝12AD →，AE →·AF →＝14(AB →·AD →＋AC →·AD →)＝14(a 2cos 60°＋a 2cos 60°)＝14a 2. 答案： C9．已知三棱锥S －ABC 中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA ＝3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为( )A.34B.54C.74D.34解析： 建系如图，则S (0,0,3)，A (0,0,0)，B (3，1,0)，C (0,2,0)．∴AB →＝(3，1,0)，SB →＝(3，1，－3)，SC →＝(0,2，－3)．设面SBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·SB →＝3x ＋y －3z ＝0，n ·SC →＝2y －3z ＝0.令y ＝3，则z ＝2，x ＝3，∴n ＝(3，3,2)．设AB 与面SBC 所成的角为θ，则sin θ＝|n ·AB →||n ||AB →|＝3＋34×2＝34.答案： D10．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析： 建系如图，设AB ＝1，则B (1,0,0)，A 1(0,0,1)，C 1(0,1,1)，A (0,0,0)．∴BA 1→＝(－1,0,1)，AC 1→＝(0,1,1)． ∴cos 〈BA 1→，AC 1→〉＝BA 1→·AC 1→|BA 1→||AC 1→|＝12·2＝12. ∴〈BA 1→，AC 1→〉＝60°，即异面直线BA 1与AC 1所成的角等于60°. 答案： B11．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( )A.12B.23C.33D.22解析： 建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为1，则DA 1→＝(1,0,1)，DE →＝⎝⎛⎭⎫1，1，12. 设平面A 1DE 的法向量n 1＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·DA 1→＝0，n 1·DE →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＋z2＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－z ，y ＝z 2.令z ＝1，∴n 1＝⎝⎛⎭⎫－1，12，1. 平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0,0,1)， ∴cos 〈n 1，n 2〉＝11＋14＋1·1＝23. 答案： B12．如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则O 到平面ABC 1D 1的距离为( )A.12B.24C.22D.32解析： 连接A 1D ，则O ⎝⎛⎭⎫12，12，1，C 1(0，1,1)．易知平面ABC 1D 1的一个法向量n ＝DA 1→＝(1,0,1)，与之同向的单位向量为n 0＝⎝⎛⎭⎫22，0，22，∴d ＝|C 1O →·n 0|＝24.答案： B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 13．如图所示，在几何体A －BCD 中，AB ⊥面BCD ，BC ⊥CD ，且AB ＝BC ＝1，CD ＝2，点E 为CD 中点，则AE 的长为________．解析： AE →＝AB →＋BC →＋CE →， ∵|AB →|＝|BC →|＝1＝|CE →|， 且AB →·BC →＝AB →·CE →＝BC →·CE →＝0.又∵AE →2＝(AB →＋BC →＋CE →)2，∴AE →2＝3，∴AE 的长为 3. 答案：314．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 夹角的正弦值是________． 解析： 如图，以DA ，DC ，DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，B (1，1,0)，C 1(0,1,1)，易证AC 1→是平面A 1BD 的一个法向量．AC 1→＝(－1,1,1)，BC 1→＝(－1,0,1)． cos 〈AC 1→，BC 1→〉＝1＋13×2＝63.所以BC 1与平面A 1BD 夹角的正弦值为63. 答案：6315．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 共面，则λ＝________. 解析： 由已知可发现a 与b 不共线，由共面向量定理可知，要使a ，b ，c 共面，则必存在实数x ，y ，使得c ＝x a ＋y b ，即⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝7－x ＋4y ＝53x －2y ＝λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝337y ＝177λ＝657.答案：65716．如图，在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为△ABC 的重心，E 是BD 上一点，BE ＝3ED ，以{AB →，AC →，AD →}为基底，则GE →＝________.解析： GE →＝AE →－AG →＝AD →＋DE →－23AM →＝AD →＋14DB →－13(AB →＋AC →)＝AD →＋14AB →－14AD →－13AB →－13AC →＝－112AB →－13AC →＋34AD →.答案： －112AB →－13AC →＋34AD →三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)四棱锥P －OABC 的底面为一矩形，PO ⊥平面OABC ，设OA →＝a ，OC →＝b ，OP →＝c ，E ，F 分别是PC 和PB 的中点，用a ，b ，c 表示BF →，BE →，AE →，EF →.解析： BF →＝12BP →＝12(BO →＋OP →)＝12(c －b －a )＝－12a －12b ＋12c .BE →＝BC →＋CE →＝－a ＋12CP →＝－a ＋12(CO →＋OP →)＝－a －12b ＋12c .AE →＝AP →＋PE →＝AO →＋OP →＋12(PO →＋OC →)＝－a ＋c ＋12(－c ＋b )＝－a ＋12b ＋12c .EF →＝12CB →＝12OA →＝12a .18．(本小题满分12分)如图，在空间直角坐标系中，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，在线段AA 1上是否存在点F ，使CF ⊥平面B 1DF ，若存在，求出AF ；若不存在，说明理由．解析： 假设存在F 点，使CF ⊥平面B 1DF ， 不妨设AF ＝b ，则F (2a,0，b )，CF →＝(2a ，－2a ，b )，B 1F →＝(2a,0，b －3a )， B 1D →＝⎝⎛⎭⎫22a ，22a ，0.∵CF →·B 1D →＝a 2－a 2＋0＝0，∴CF →⊥B 1D →恒成立．由B 1F →·CF →＝2a 2＋b (b －3a )＝b 2－3ab ＋2a 2＝0，得b ＝a 或b ＝2a . ∴当AF ＝a 或AF ＝2a 时，CF ⊥平面B 1DF .19．(本小题满分12分)三棱柱OAB －O 1A 1B 1中，平面OBB 1O 1⊥平面OAB ，∠O 1OB ＝60°，∠AOB ＝90°且OB ＝OO 1＝2，OA ＝ 3.求异面直线A 1B 与AO 1所成角的余弦值．解析： 以O 为原点，分别以直线OA ，OB 为x 轴、y 轴，过O 点且与平面AOB 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系O －xyz ，则O 1(0,1，3)，A (3，0,0)，A 1(3，1，3)，B (0,2,0)， A 1B →＝(－3，1，－3)，O 1A →＝(3，－1，－3)． 设A 1B 与AO 1所成的角为α，则 cos α＝|A 1B →·O 1A →||A 1B →||O 1A →|＝17.故异面直线A 1B 与AO 1所成角的余弦值为17.20．(本小题满分12分)如图，在直棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AC ⊥BD ，BC ＝1，AD ＝AA 1＝3.(1)证明：AC ⊥B 1D ；(2)求直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值．解析： (1)证明：易知，AB ，AD ，AA 1两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设AB ＝t ，则相关各点的坐标为A (0,0,0)，B (t,0,0)，B 1(t ，0,3)，C (t,1,0)，C 1(t,1,3)，D (0,3,0)，D 1(0,3,3)．从而B 1D →＝(－t,3，－3)，AC →＝(t,1,0)，BD →＝(－t,3,0)． 因为AC ⊥BD ，所以AC →·BD →＝－t 2＋3＋0＝0. 解得t ＝3或t ＝－3(舍去)．于是B 1D →＝(－3，3，－3)，AC →＝(3，1,0)． 因为AC →·B 1D →＝－3＋3＋0＝0，所以AC →⊥B 1D →， 即AC ⊥B 1D .(2)由(1)知，AD 1→＝(0,3,3)，AC →＝(3，1,0)，B 1C 1→＝(0,1,0)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面ACD 1的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AD 1→＝0，即⎩⎨⎧3x ＋y ＝0，3y ＋3z ＝0.令x ＝1，则n ＝(1，－3，3)． 设直线B 1C 1与平面ACD 1所成角为θ，则 sin θ＝|cos 〈n ，B 1C 1→〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·B 1C 1→|n |·|B 1C 1→|＝37＝217. 即直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值为217. 21．(本小题满分12分)在三棱锥S －ABC 中，△ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA ＝SC ＝23，M ，N 分别为AB ，SB 的中点．(1)证明：AC ⊥SB ；(2)求二面角N －CM －B 的余弦值．解析： (1)证明：取AC 中点O ，连接SO ，BO ，由于SA ＝SC ， ∴SO ⊥AC .又∵△ABC 为正三角形， ∴BO ⊥AC .又∵BO ∩SO ＝O ，且BO ，SO 在平面SBO 上，∴AC ⊥平面SBO ，∴AC ⊥SB . (2)∵平面SAC ⊥平面ABC ，SO ⊥AC ， ∴SO ⊥平面ABC ，∴SO ⊥OB .以点O 为原点，OA ，OB ，OS 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则A (2,0,0)，B (0,23，0)，S (0，0，22)，C (－2,0,0)．∴M (1，3，0)，N (0，3，2)，∴MN →＝(－1,0，2)，MC →＝(－3，－3，0)． 设平面MNC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·MN →＝0，n ·MC →＝0，即⎩⎨⎧－x ＋2z ＝0，－3x －3y ＝0，∴⎩⎨⎧x ＝2z ，y ＝－3x .取z ＝1，得n ＝(2，－6，1)．又OS →＝(0,0,22)是平面BCM 的法向量，易知所求二面角θ为锐角，∴cos θ＝|n ·OS →||n ||OS →|＝223×22＝13， ∴二面角N －CM －B 的余弦值为13. 22．(本小题满分14分)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA 1＝AC ＝CB ＝22AB .(1)求证：BC 1∥平面A 1CD .(2)求二面角D －A 1C －E 的正弦值．解析： (1)证明：连接AC 1，交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点．又D 是AB 的中点，连接DF ，则BC 1∥DF .因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD .(2)由AC ＝CB ＝22AB ，得AC ⊥BC . 以C 为坐标原点，CA →的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz .设CA ＝2，则D (1,1,0)，E (0,2,1)，A 1(2,0,2)，CD →＝(1,1,0)，CE →＝(0,2,1)，CA 1→＝(2,0,2)．设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A 1CD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·CD →＝0，n ·CA 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋y 1＝0，2x 1＋2z 1＝0. 可取n ＝(1，－1，－1)．同理，设m 是平面A 1CE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CE →＝0，m ·CA 1→＝0，可取m ＝(2,1，－2)．从而cos〈n，m〉＝n·m|n||m|＝33，故sin〈n，m〉＝63.即二面角D－A1C－E的正弦值为6 3.。

3.2.3 直线与平面的夹角课后导练基础达标1.直线a与平面α内任一条线所成最小的角为θ，a是平面α的斜线，b是平面α内与a 异面的任意直线，则a与b所成的角（）πA.最小值为θ,最大值为π-θB.最小值为θ,最大值为2πC.最小值为θ,无最大值D.无最小值，最大值为2答案：B2.如右图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1C1与平面ABC1D1所成的角（）A.30°B.60°C.45°D.90°答案：A3.正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B和面BB1D1D所成的角为（）A.15°B.45°C.60°D.30°答案：D4.如左下图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是CC1的中点，求BE与平面B1BD所成角的余弦值________________.15答案：55.如右上图，S是△ABC所在平面外一点，SA，SB，SC两两垂直，判断△ABC的形状_________. 答案：锐角三角形6.四面体S-ABC中，SA、SB、SC两两垂直，∠SBA=45°，∠SBC=60°，M为AB的中点，求：（1）BC与平面SAB所成的角；（2）SC与平面ABC所成角的正弦值.解析：(1)如右图,∵SA、SB、SC两两垂直,∴SC⊥面SAB.∴∠CBS 是BC 与平面SAB 所成的角. ∵∠CBS=60°,∴BC 与平面SAB 所成的角为60°.(2)连结MC,在Rt△ASB 中,∠SBA=45°,则SM⊥AB. 又SC⊥面SAB, ∴SC⊥AB,∴AB⊥面SMC.过S 作SO⊥MC 于点O,则SO⊥AB, ∴SO⊥面ABC,∴∠ SCM 是SC 与平面ABC 所成的角. 设SB=a,则SC=3a,SM=22a, 在Rt△CSM 中,CM=214a, ∴sin∠SCM=77=MC SM . 7.在Rt△ABC 中，∠A=90°，AB=3，AC=4，PA 是平面ABC 的斜线，∠PAB=∠PAC=60°，（1）求PA 与平面ABC 所成角的大小；（2）PA 的长等于多少时，点P 在平面ABC 上的射影O 恰好在BC 边上？解：(1)如右图,过P 作PO⊥平面ABC 于O,则∠PAO 为PA 与平面ABC 所成的角, 易证AO 为∠BAC 的平分线,则∠OAB=45°.由公式cosθ=cosθ1·cosθ2可得 cos∠PAO=OABPAB∠∠cos cos=2245cos 60cos =οο, ∴∠PAO=45°.∴PA 与平面ABC 所成的角为45°.(2)若O∈BC,在△AOB 中, BO=715,sinB=54, 由正弦定理可求得AO=2712. ∴PA=724sin =B AO f, 即PA=724时,点P 在平面ABC 上的射影O 恰好在BC 边上.8.如右图,在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,P 是侧棱CC 1上的一点,CP=m. 试确定m,使得直线AP 与平面BDD 1B 1所成角的正切值为32.解：建立如右图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,,m),C(0,1,0),D(0,0,0), B 1(1,1,1),D 1(0,0,1)所以=(-1,1,0),1BB =(0,0,1),=(-1,1,m),=(-1,1,0),又由·=0,·1BB =0知, 为平面BB 1D 1D 的一个法向量. 设AP 与平面BB 1D 1D 所成的角为θ, 则sinθ=cos(2π-θ) =2222||||mAC AP +•=依题意有22)23(123222+=+•m,解得m=31,故当m=31时，直线AP 与平面BDD 1B 1所成角的正切值为32. 9.如右图，已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=2，AA 1=4，E 为BC 的中点，F 为直线CC 1上的动点，设FC F C λ=1C 1F=λFC.当λ=3时，求EF 与平面ABCD 所成的角.解析：如右图建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),E(1,2,0).当λ=3时,F(0,2,1),EF =(-1,0,1).设平面ABCD 的法向量为n ,则n =(0,0,1).设EF 与n 的夹角为θ,则cosθ=22||||=n EF ∴EF 与平面ABCD 所成的角为45°. 综合运用10.如下图所示，正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，对角线BD 1=8，BD 1与侧面BC 1所成的角为30°. 求：BD 1和底面ABCD 所成的角.解：正四棱柱AC 1中,CC 1⊥底面A 1C 1, ∴CC 1⊥D 1C 1,∵底面是正方形,∴D 1C 1⊥B 1C 1, ∴D 1C 1⊥侧面BC 1, ∴D 1C 1⊥BC 1,∴∠D 1BC 1就是BD 1与侧面BC 1所成的角. ∴∠D 1BC 1=30°,∵D 1B=8,∴D 1C 1=4,B 1D 1=24=BD.∵D 1D⊥底面AC,∴∠D 1BD 就是BD 1与底面AC 所成的角. △D 1BD 中,cos∠D 1BD=228241==BD BD . ∴∠D 1BD=45°,即BD 1和底面ABCD 所成的角为45°.11.正三棱柱ABC-A 1B 1C 1底面边长为a ，侧棱长为2a.(1)建立适当的坐标系，并写出点A 、B 、A 1、C 1的坐标； （2）求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角. 解：(1)以点A 为坐标原点O,以AB 所在直线为Oy 轴,以AA 1所在直线为Oz 轴,以经过原点且与平面ABB 1A 1垂直的直线为Ox 轴,建立空间直角坐标系, 由已知,得A(0,0,0)、B(0,a,0)、A 1(0,0,2a)、C 1(-23a,2a,2a). (2)坐标系如右图，取A 1B 1的中点M ，于是有M （0，2a,2a ）,连结AM 、MC 1,有1MC =(23-a,0,0)且AB =(0,a,0),1AA =(0,0,2a).由于1MC ·=0,1MC ·1AA =0,∴MC 1⊥面ABB 1A 1.∴AC 1与AM 所成的角就是AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角. ∵1AC =(23-a,2a ,2a),AM =(0,2a,2a), ∴1AC ·=0+42a +2a 2=49a 2.而|1AC |=2222443a a a ++=3a,|AM |=2224a a +=23a.∴cos〈1AC ,AM 〉=23233492=•a a a. ∴1AC 与AM 所成的角,即AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°. 12.如下图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求证：A 1C⊥平面C 1BD.证明：因为ABCD-A 1B 1C 1D 1是正方体,所以A 1A⊥平面ABCD. 连结AC,则AC 是A 1C 在平面ABCD 内的射影. 又BD⊥AC,故由三垂线定理知BD⊥A 1C. 又A 1B 1⊥平面B 1BCC 1,连结B 1C,则B 1C 是A 1C 在平面B 1BCC 1内的射影. 因为BC 1⊥B 1C,所以由三垂线定理知 BC 1⊥A 1C.因为BD∩BC 1=B ， 所以A 1C⊥平面C 1BD. 拓展研究13.如下图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点.（1）证明PA∥平面EDB ；（2）求EB 与底面ABCD 所成的角为正切值.分析：如下图所示建立空间直角坐标系,D 是坐标原点,设DC=a.(1)证明:连结AC,AC 交BD 于G,连结EG. 依题意得A(a,0,0),P(0,0,a),E(0,2a ,2a ). 因为底面ABCD 是正方形,所以G 是此正方形的中心. 故点G 的坐标为(2a ,2a,0).所以=(a,0,-a). =(2a ,0,-2a).所以=2. 这表明PA∥EG.而EG ⊂平面EDB 且PA ⊄平面EDB ，因为PA∥平面DEB. (2)解:依题意得B(a,a,0),C(0,a,0).取DC 的中点F(0,2a,0),连结EF,BF. 因为=(0,0,2a ),=(a,2a,0),=(0,a,0).所以·=0, ·=0.所以FE⊥FB,FE⊥DC.所以EF⊥底面ABCD,BF 为BE 在底面ABCD 内的射影. ∠EBF 为直线EB 与底面ABCD 所成的角. ||=2a ,||=22)2(a a +=25a.所以25252||==a aFB . 所以,EB 与底面ABCD 所成的角的正切值为55.。

第三章空间向量与立体几何综合测试题（含详解新人教A版选修2-1）x第三章空间向量与立体几何综合测试题（含详解新人教A版选修2-1）(时间：100分钟；满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a＝(λ＋1,0,2λ)，b＝(6,2μ－1,2)，若a∥b，则λ与μ的值分别为()A.15，12B．5,2C．－15，－12D．－5，－2解析：选A.a∥b，则存在m∈R，使得a＝mb，又a＝(λ＋1,0,2λ)，b＝(6,2μ－1,2)，则有λ＋1＝6m，0＝－，2λ＝2m，可得λ＝15，μ＝12.2．已知A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)三点，则△ABC是() A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．等腰三角形解析：选A.AB→＝(3,4，－8)，BC→＝(2，－3,1)，CA→＝(－5，－1,7)，∴BC→•CA→＝－10＋3＋7＝0.∴BC⊥CA.∴△ABC是直角三角形．3．已知在空间四边形OABC中，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，点M 在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则MN→等于()A.12a－23b＋12cB．－23a＋12b＋12cC.12a＋12b－12cD.23a＋23b－12c解析：选B.因MN→＝ON→－OM→＝12(OB→＋OC→)－23OA→＝12b ＋12c－23a.4．已知a＝(1,0,1)，b＝(－2，－1,1)，c＝(3,1,0)，则|a－b＋2c|等于() A．310B．210C.10D．5解析：选A.|a－b＋2c|＝－b＋，∵a－b＋2c＝(1,0,1)－(－2，－1,1)＋2(3,1,0)＝(9,3,0)，∴|a－b＋2c|＝92＋32＋0＝310.5．给出下列命题：①已知a⊥b，则a•(b＋c)＋c•(b－a)＝b•c；②A、B、M、N为空间四点，若BA→、BM→、BN→不能构成空间的一个基底，则A、B、M、N四点共面；③已知a⊥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；④已知{a，b，c}是空间的一个基底，则基向量a，b可以与向量m＝a ＋c构成空间另一个基底．其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：选C.当a⊥b时，a•b＝0，a•(b＋c)＋c•(b－a)＝a•b＋a•c＋c•b －c•a＝c•b＝b•c，故①正确；当向量BA→、BM→、BN→不能构成空间的一个基底时，BA→、BM→、BN→共面，从而A、B、M、N四点共面，故②正确；当a⊥b时，a，b不共线，任意一个与a，b不共面的向量都可以与a，b构成空间的一个基底，故③错误；当{a，b，c}是空间的一个基底时，a，b，c不共面，所以a，b，m也不共面，故a，b，m可构成空间的另一个基底，故④正确．6．在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是()A.OM→＝2OA→－OB→－OC→B.OM→＝15OA→＋13OB→＋12OC→C.MA→＋MB→＋MC→＝0D.OM→＋OA→＋OB→＋OC→＝0解析：选C.空间的四点M、A、B、C共面只需满足OM→＝xOA→＋yOB→＋zOC→，且x＋y＋z＝1，或存在实数x，y使得MC→＝xMA→＋yMB→. 7．在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k分别是x轴、y轴、z轴的方向向量，设a为非零向量，且〈a，i〉＝45°，〈a，j〉＝60°，则〈a，k〉＝()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：选C.如图所示，设|a|＝m(m＞0)，a＝OP→，PA⊥平面xOy，则在Rt△PBO中，|PB|＝|OP→|•cos〈a，i〉＝22m，在Rt△PCO中，|OC|＝|OP→|•cos〈a，j〉＝m2，∴|AB|＝m2，在Rt△PAB中，|PA|＝|PB|2－|AB|2＝24m2－m24＝m2，∴|OD|＝m2，在Rt△PDO中，cos〈a，k〉＝|OD||OP|＝12，又0°≤〈a，k〉≤180°，∴〈a，k〉＝60°.8．已知点A(－3,4,3)，O为坐标原点，则OA与坐标平面yOz所成角的正切值为()A.34B.35C.53D．1解析：选B.A点在面yOz上的射影为B(0,4,3)且|OB|＝5，所以OA与平面yOz所成角θ满足tanθ＝|AB||OB|＝35.9.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量中能作为平面AEF的法向量的是()A．(1，－2,4)B．(－4,1，－2)C．(2，－2,1)D．(1,2，－2)解析：选B.设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则A(1,0,0)，E(1,1，12)，F(12，0,1)．故AE→＝(0,1，12)，AF→＝(－12，0,1)．由AE→•n＝0，AF→•n＝0，即y＋12z＝0，－12x＋z＝0，所以y＝－12z，x＝2z.当z＝－2时，n＝(－4,1，－2)，故选B.10．正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BD1－B1的大小为() A．90°B．60°C．120°D．45°解析：选C.如图，以C为原点建立空间直角坐标系Cxyz，设正方体的边长为a，则A(a，a,0)，B(a,0,0)，D1(0，a，a)，B1(a,0，a)，于是BA→＝(0，a,0)，BD1→＝(－a，a，a)，BB1→＝(0,0，a)．设平面ABD1的法向量为n＝(x，y，z)，则n•BA→＝(x，y，z)•(0，a,0)＝ay＝0，n•BD1→＝(x，y，z)•(－a，a，a)＝－ax＋ay＋az＝0.∵a≠0，∴y＝0，x＝z.令x＝z＝1，则n＝(1,0,1)，同理，平面B1BD1的法向量m＝(－1，－1,0)．由于cos〈n，m〉＝n•m|n||m|＝－12，而二面角A－BD1－B1为钝角，故为120°.二、填空题(本大题共5小题，把答案填在题中横线上)11．已知a＝(2，－1,0)，b＝(k,0,1)，若〈a，b〉＝120°，则k＝________. 解析：∵cos〈a，b〉＝a•b|a||b|＝2k5•k2＋1＝－12＜0，∴k＜0，且k2＝511.∴k＝－5511.答案：－551112．若a＝(2,3，－1)，b＝(－2,1,3)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为________．解析：cos〈a，b〉＝a•b|a||b|＝－27，得sin〈a，b〉＝357，由公式S＝|a||b|sin〈a，b〉可得结果．答案：6513.如图，空间四边形OABC，点M，N分别为OA，BC的中点，且OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，用a，b，c表示MN→，则MN→＝________. 解析：MN→＝ON→－OM→＝12(OB→＋OC→)－12OA→＝－12a＋12b＋12c.答案：－12a＋12b＋12c14．点P是棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1内一点，且满足AP→＝34AB→＋12AD→＋23AA1→，则点P到棱AB的距离为__________．解析：如图所示，过P作PQ⊥平面ABCD于Q，过Q作QE⊥AB于E，连接PE.∵AP→＝34AB→＋12AD→＋23AA1→，∴PQ＝23，EQ＝12，∴点P到棱AB的距离为PE＝PQ2＋EQ2＝56.答案：5615．如图所示，在棱长为4的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是棱CC1的中点，则异面直线D1E与AC所成的角的余弦值是________．解析：如图，建立空间直角坐标系，则A(4,0,0)，C(0,4,0)，D1(0,0,4)，E(0,4,2)，AC→＝(－4,4,0)，D1E→＝(0,4，－2)．cos〈AC→，D1E→〉＝1632×20＝105.∴异面直线D1E与AC所成角的余弦值为105.答案：105三、解答题(本题共5小题，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，CM＝2MA，A1N＝2ND，且AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，试用a，b，c表示向量MN→.解：∵MN→＝MA→＋AA1→＋A1N→＝－13AC→＋AA1→＋23A1D→＝－13(AB→＋AD→)＋AA1→＋23(A1A→＋A1D1→)＝－13AB→－13AD→＋13AA1→＋23AD→＝－13a＋13b＋13c，∴MN→＝－13a＋13b＋13c.17．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，M为四边形ABCD 的中心．求证：对A1B1上任一点N，都有MN⊥AP.证明：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，P0，0，12，M12，12，0，N(1，y,1)．∴AP→＝－1，0，12，MN→＝12，y－12，1.∴AP→•MN→＝(－1)×12＋0×y－12＋12×1＝0，∴AP→⊥MN→，即A1B1上任意一点N都有MN⊥AP.18.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，AB＝1，BM⊥PD于点M.(1)求证：AM⊥PD；(2)求直线CD与平面ACM所成角的余弦值．解：(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB.∵AB⊥AD，AD∩PA＝A，∴AB⊥平面PAD.∵PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，又∵BM⊥PD，AB∩BM＝B，∴PD⊥平面ABM.∵AM⊂平面ABM，∴AM⊥PD.(2)如图所示，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0，2,0)．∵AM⊥PD，PA＝AD，∴M为PD的中点，∴M的坐标为(0,1,1)．∴AC→＝(1,2,0)，AM→＝(0,1,1)，CD→＝(－1,0,0)．设平面ACM的一个法向量为n＝(x，y，z)，由n⊥AC→，n⊥AM→可得x＋2y＝0y＋z＝0，令z＝1，得x＝2，y＝－1.∴n＝(2，－1,1)．设直线CD与平面ACM所成的角为α，则sinα＝|CD→•n||CD→|•|n|＝63.∴cosα＝33，即直线CD与平面ACM所成角的余弦值为33.19.如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.(1)证明：PA⊥BD；(2)若PD＝AD，求二面角A－PB－C的余弦值．解：(1)证明：因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝3AD，从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD.又因为PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD.又因为AD∩PD＝D，所以BD⊥平面PAD，故PA⊥BD.(2)如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz，则A(1,0,0)，B(0，3，0)，C(－1，3，0)，P(0,0,1)，AB→＝(－1，3，0)，PB→＝(0，3，－1)，BC→＝(－1,0,0)．设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，则n•AB→＝0，n•PB→＝0，即－x＋3y＝0，3y－z＝0，因此可取n＝(3，1，3)．设平面PBC的法向量为m，则m•PB→＝0，m•BC→＝0，可取m＝(0，－1，－3)，〈m，n〉等于二面角A－PB－C的平面角，cos 〈m，n〉＝－427＝－277.故二面角A－PB－C的余弦值为－277.20.如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝2，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，O为AD中点．(1)求证：PO⊥平面ABCD；(2)求异面直线PB与CD所成角的余弦值；(3)求点A到平面PCD的距离．解：(1)证明：如图所示，以O为坐标原点，OC→、OD→、OP→的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.则A(0，－1,0)，B(1，－1,0)，C(1,0，0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)．所以OP→＝(0,0,1)，AD→＝(0,2,0)，OP→•AD→＝0，所以，PO⊥AD，又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD，所以PO⊥平面ABCD.(2)CD→＝(－1,1,0)，PB→＝(1，－1，－1)，所以cos〈PB→，CD→〉＝PB→•CD→|PB→||CD→|＝－1－13×2＝－63，所以异面直线PB与CD 所成的角的余弦值为63.(3)设平面PCD的法向量为n＝(x0，y0，z0)，CP→＝(－1,0,1)，CD→＝(－1,1,0)，由n•CP→＝0n•CD→＝0，得－x0＋z0＝0－x0＋y0＝0，即x0＝y0＝z0，取x0＝1，得平面PCD的一个法向量为n＝(1,1,1)．又AC→＝(1,1,0)，从而点A到平面PCD的距离d＝|AC→•n||n|＝23＝233.。

第三章 空间向量及立体几何3.1空间向量及其运算§3.1.1空间向量及其加减运算 §3.1.2空间向量的数乘运算1. 下列命题中不正确的命题个数是( ) ①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB +BC + CD +DA =0；②对空间任意点O 及不共线的三点A 、B 、C ，若OP =x OA +y OB +z OC （其中x 、y 、z ∈R ），则P 、A 、B 、C 四点共面；③若a 、b 共线，则a 及b 所在直线平行。

A .1 B .2 C .3 D .42.设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG =3GG 1，若OG =x OA +y OB +z OC ，则（x ，y ，z ）为( )A .（41，41，41） B .（43，43，43） C .（31，31，31） D .（32，32，32） 3．在平行六面体ABCD －EFGH 中，AG xAC y AF z AH =++，________.x y z ++=则4.已知四边形ABCD 中，AB =a －2c ，CD =5a +6b －8c ，对角线AC 、BD 的中点分别为E 、F ，则EF =_____________.5.已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别为PC 、PD 上的点，且M 分PC 成定比2，N 分PD 成定比1，求满足MN xAB y AD z AP =++的实数x 、y 、z 的值.§3.1.3空间向量的数量积运算1.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA =2AB ，E 为1AA 重点，则异面直线BE 及1CD 所形成角的余弦值为( )A .1010 B . 15C .31010 D . 352．如图，设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足0AB AC ⋅=，0AC AD ⋅=，0AB AD ⋅=，则△BCD 的形状是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定的3．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1 为正方体，则下列命题中错误的命题为__________．4．如图，已知：平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD =60° （1）证明：C 1C ⊥BD ；_C_D_A_P_ N_B_M（2）当1CDCC 的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明． §3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示§3.1.5空间向量运算的坐标表示1．已知向量(2，2，3)OA =-，(，1，4)OB x y z =-，且平行四边形OACB 的对角线的中点坐标为M 31(0，，)22-，则(，，)x y z =( ) A ．(2，4，1)--- B ．(2，4，1)-- C ．(2，4，1)-- D ．(2，4，1)--2．已知(2，2，4)a=-，(1，1，2)b =-，(6，6，12)c =--，则向量、、a b c ( )A ．可构成直角三角形B ．可构成锐角三角形C ．可构成钝角三角形D ．不能构成三角形3．若两点的坐标是A （3cosα，3sinα，1），B （2cosθ，2sinθ，1），则|AB |的取值范围是( ) A ．[0，5] B ．[1，5] C ．（1，5） D ．[1，25]4.设点C （2a +1，a +1，2）在点P （2，0，0）、A （1，－3，2）、B （8，－1，4）确定的平面上，则a 的值为 .5.如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底边长为a ，侧棱长为2a .建立适当的坐标系，⑴写出A ，B ，A 1，B 1的坐标；⑵求AC 1及侧面ABB 1A 1所成的角.3.2立体几何中的向量方法1．到一定点（1，0，1）的距离小于或等于2的点的集合为( ) A ．222{(,,)|(1)(1)4}x y z x y z -++-≤ B ．222{(,,)|(1)(1)4}x y z x y z -++-= C ．222{(,,)|(1)(1)2}x y z x y z -++-≤ D ．222{(,,)|(1)(1)2}x y z x y z -++-=2. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1及平面A 1BD 所成角的余弦值为( ) A ．42 B ．32 C ．33 D ．23 3. 已知斜三棱柱111ABC A B C -，90BCA ∠=，2AC BC ==，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知11BA AC ⊥.（1）求证：1AC ⊥平面1A BC ；D 1C 1B 1A 1DABCC 1 B 1 A 1B A（2）求1C 到平面1A AB 的距离；（3）求二面角1A A B C --余弦值的大小.B 4. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中， AB =1，1AC AA ==(1)证明：1ABA C ⊥； （2）求二面角A —1A C —B 的大小.5. 如右图，四棱锥S-ABCD 棱S D 上的点. （1）求证：AC ⊥SD ；（2）若SD ⊥平面PAC ，求二面角P-AC-D 的大小 （3）在（2）的条件下，侧棱S C 上是否存在一点E ， 使得BE ∥平面PAC .若存在，求S E ：EC 的值； 若不存在，试说明理由.参考答案第三章 空间向量及立体几何3.1空间向量及其运算§3.1.1空间向量及其加减运算 §3.1.2空间向量的数乘运算1.A2.A3.324.3a +3b －5c5.如图所示，取PC 的中点E ，连结NE ，则MN EN EM =-. 连结AC ，则§3.1.3空间向量的数量积运算1.C2.B3. ③④4.（1）设1,,CB a CD b CC c === ，则||||a b =，BD CD CB b a =-=- ，所以1()||||cos 60||||cos 600CC b a c b c a c b c a c ⋅=-⋅=⋅-⋅=︒-︒=BD ，11BD CC BD CC ∴⊥⊥即 ； （2）1,2,CD x CD CC ==1设则 2CC =x， 设1,,A A a AD b DCc ===，11,A C a b c C D a c =++=-，2211242()()6A C C D a b c a c a a b b c c xx ∴⋅=++⋅-=+⋅-⋅-=+-，令24260xx +-=，则2320x x --=，解得1x =，或23x =-（舍去），_C_D _A_P_ N _B _M _EA 1§3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示§3.1.5空间向量运算的坐标表示 1.A 2.D 3.B 4.165. （1）建系如图，则A （0，0，0） B （0，a ，0）A 1（0，0，2a )，C 1（-23a ，a 2,2a) (2)解法一：在所建的坐标系中，取A 1B 1的中点M ， 于是M （0，a 2,2a），连结AM ，MC 1则有所以，MC 1⊥平面ABB 1A 1.因此，AC 1及AM 所成的角就是AC 1及侧面ABB 1A 1所成的角.∴2194a AC AM ⋅=，而|13||3,||2AC a AM a ==，由cos<1,AC AM >=1132||||AC AM AC AM ⋅=，∴ <1,AC AM >=30°. ∴AC 1及侧面ABB 1A 1所成的角为30°. 3.2立体几何中的向量方法 新 课 标 第 一网1.A2.C3. （1）如右图，取AB 的中点E ，则//DE BC ，因为BC AC ⊥，所以DEAC ⊥，又1A D ⊥平面ABC ，以1,,DE DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系， 则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()2,1,0B ，()2,0,0CB =，由10AC CB ⋅=，知1A C CB ⊥， 又11BA AC ⊥，从而1AC ⊥平面1A BC .（2）由1AC ⋅2130BA t =-+=，得t =.设平面1A AB 的法向量为(),,n x y z =，(1AA =，()2,2,0AB =，所以10220n AA y n AB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，设1z =，则()3,n =-，所以点1C 到平面1A AB 的距离1AC n d n⋅==7. （3）再设平面1A BC 的法向量为(),,m x y z =，(10,CA =-，()2,0,0CB =，所以13020m CA y z m CB x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，设1z =，则()0,3,1m =，故cos ,m n m n m n⋅<>==⋅77-，根据法向量的方向，可知二面角1A A B C --的余弦值大小为77. 4.（1）三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，由正弦定理030ACB∠=.如右图，建立空间直角坐标系， 则1(0,0,0),(1,0,0)(0,3,0),(0,0,3)A B C A(2) 如图可取(1,0,0)m AB ==为平面1AA C 的法向量，设平面1A BC 的法向量为(,,)n l m n =，则10,0,130BC n AC n BC ⋅=⋅==-又（，，）， 不妨取1,(3,1,1)mn ==则，1A AC BD ∴--15二面角的大小为arccos 5. 5. （1）连结BD ，设AC 交于BD 于O ，由题意知SO ABCD ⊥平面.以O 为坐标原点，OB OC OS ，，分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系O xyz -如右图.设底面边长为a ，则高62SO a =.于是 62(0,0,),(,0,0)22S a D a -，2(0,,0)2C a ，2(0,,0)2OC a =，26(,0,)22SD a a =--，0OC SD ⋅= ，故OC SD ⊥.从而 AC SD ⊥. (2)由题设知，平面PAC 的一个法向量26()2DSa =，平面DAC 的一个法向量600aOS =（，，，设所求二面角为θ，则3cos OS DS OS DSθ⋅==，得所求二面角的大小为30°._C_A_S_F_BO（3）在棱SC 上存在一点E 使//BE PAC 平面.由（2）知DS 是平面PAC 的一个法向量，且),(0,)DS CS ==.设,CEtCS = 则((1)BE BC CE BC tCS t =+=+=-，而 103BE DC t ⋅=⇔=.即当:2:1SE EC =时，BE DS ⊥.而BE 不在平面PAC 内，故//BE PAC 平面. 作 者 于华东 责任编辑 庞保军。

3.2.3 直线与平面的夹角3.2.4 二面角及其度量自我小测1．在棱长为1的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E 为CC 1的中点，则直线A 1B 与平面BDE 所成的角为( )A.π6B.π3C.π2D.5π62．已知ABCD 是正方形，E 是AB 的中点，将△DAE 和△CBE 分别沿DE ，CE 折起，使AE 与BE 重合，A ，B 两点重合后记为点P ，那么二面角P ­CD ­E 的大小为( )A ．30° B．45° C ．60° D．90°3．在三棱锥P ­ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝12PA ，点O ，D 分别是AC ，PC 的中点，OP ⊥底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值为( ) A.216 B.833 C.21060 D.210304．AB ⊥平面α于B ，BC 为AC 在α内的射影，CD 在α内，若∠ACD ＝60°，∠BCD ＝45°，则AC 和平面α所成的角为( )A ．90° B．60° C．45° D．30°5．二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为( )A ．150° B．45° C．60° D．120°6．AB ∥α，AA ′⊥α， A ′是垂足，BB ′是α的一条斜线段，B ′为斜足，若AA ′＝9，BB ′＝63，则直线BB ′与平面α所成角的大小为__________．7．如图所示，将边长为a 的正三角形ABC 沿BC 边上的高线AD 将△ABC 折起，若折起后B ，C ′间距离为a 2，则二面角B ­AD ­C ′的大小为__________．8．等腰直角△ABC 的斜边AB 在平面α内，若AC 与α成30°角，则斜边上的中线CM 与平面α所成的角为__________．9．如图所示，ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，求SC 与平面ABCD 所成的角．10．如图，在四棱锥P ­ ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，PD ⊥底面ABCD .(1)证明：PA ⊥BD ；(2)设PD ＝AD ，求二面角A ­PB ­C 的余弦值．11．正方体ABCD ­A ′B ′C ′D ′的棱长等于2，E ，F 分别是B ′D ′，AC 的中点．求：(1)直线AB ′和平面ACD ′所成角的正弦值；(2)二面角B ′­CD ′­A 的余弦值．。

2022年广州市高二教研资料空间向量与立体几何B卷高中数学高考选修2-1第三章《空间向量与立体几何》训练卷B卷供稿人吴坚（广大附中）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．已知a(某,4,3),b(3,2,y),且a//b,则某y（）A.－4B.9C.－9D.a(0,1,1)b(1,2,1)2．已知、，则a与b的夹角为（）A．30B．60C．90D．1503．已知A，B，C三点不共线，点O是平面ABC外的一点，在下列条件中能说明M与A，B，C四点共面的是（）64911111OAOBOCB.OMOAOBOC22233C.OMOAOBOCD.OM2OAOBOCA.OM4．已知OA(1,2,3)，OB(2,1,2)，OP(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当QAQB取得最小值时，点Q的坐标为（）131123448447（A）(,,)（B）(,,)（C）(,,)（D）(,,)2432343333333125．点P是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1内一点，且满足APABADAA1，则423点P到棱AB的距离为（）A．464D．145126．如图，空间四边形OABC中，OAa,OBb,OCc，点M在OA上，且OM=2MA，点N为BC的中点，则MN等于（）D121221A．abcB．abc332232C．211111abcD．abc3222227．已知PA，PB，PC是从P引出的三条射线，每两条的夹角都是60o，则直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为（）1363B.C.D.23328．正四棱锥SABCD的高SO2，底边长AB2，则异面直线BD和SC之间的距离（）A．A．155B．5255C．D．55109．已知ABCA1B1C1是各条棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点．点C1到平面AB1D的距离（）A．2a4B．232aC．a84D．2a210.如图，正方体ABCDA1B1C1D1，则下列四个命题：①P在直线BC1上运动时，三棱锥AD1PC的体积不变；②P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；③P在直线BC1上运动时，二面角PAD1C的大小不变；④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是过D1点的直线A．①③④B．③④C．①③D．①②③二、填空题（本大题共6小题，每题5分，共30分）11.已知点A(1，2，11)、B(4，2，3)，C(6，1，4)，则ABC的形状是．12.设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG=3GG1，若OG=某OA+yOB+zOC，则（某，y，z）为.13.已知向量a(1,1,0),b(1,0,2)，a在b方向上的射影是____________.14．若a(2,1,1)，b(2,1,3)，则与a,b均垂直的单位向量的坐标为__________________．15．正四棱锥P-ABCD的所有棱长都相等，E为PC中点，则直线AC 与平面BDE所成的角为________16.在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，ACD90，将它沿对角线AC折起，使AB和CD成60°角，则B、D之间的距离是三、解答题（本大题共5题，共70分）17.（本小题14分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA14，点D是AB的中点.（1）求证：ACBC1；（2）求证：AC1∥平面CDB1;（3）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值.18.（本小题14分）如图4，正方体ABCDA1B1C1D1中，点E在棱CD 上。

第三章 空间向量与立体几何(时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2013·佛山高二检测)与向量a ＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标是( ) A ．(13，1,1)B ．(－1，－3,2)C ．(－12，32，－1)D ．(2，－3，－22)【解析】 a ＝(1，－3,2)＝－2(－12，32，－1)．【答案】 C2．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1E →＝14A 1C 1→，AE →＝xAA 1→＋y (AB →＋AD →)，则( )A ．x ＝1，y ＝12B ．x ＝1，y ＝13C ．x ＝12，y ＝1D ．x ＝1，y ＝14【解析】 AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋14A 1C 1→＝AA 1→＋14AC →＝AA 1→＋14(AB →＋AD →)，∴x ＝1，y ＝14.应选D.【答案】 D3．已知A (2，－4，－1)，B (－1,5,1)，C (3，－4,1)，D (0,0,0)，令a ＝CA →，b ＝CB →，则a ＋b 为( )A ．(5，－9,2)B ．(－5,9，－2)C ．(5,9，－2)D ．(5，－9，－2)【解析】 a ＝CA →＝(－1,0，－2)， b ＝CB →＝(－4,9,0)， ∴a ＋b ＝(－5,9，－2)． 【答案】 B4．(2013·洛阳高二检测)棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列结论不正确的是( )A.AB →＝－C 1D 1→B.AB →·BC →＝0C.AA 1→·B 1D 1→＝0 D.AC 1→·A 1C →＝0【解析】 如图AB →∥C 1D 1→，AB →⊥BC →，AA 1→⊥B 1D 1，故A 、B 、C 选项均正确． 【答案】 D5．已知向量a 、b 是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c 在直线l 上，则c ·a ＝0，且c ·b ＝0是l ⊥α的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 若l ⊥α，则l 垂直于α内的所有直线，从而有c ·a ＝0，c ·b ＝0.反之由于a 、b 是否共线没有确定，若共线，则结论不成立；若不共线，则结论成立．【答案】 B6．已知△ABC 的三个顶点为A (3,3,2)，B (4，－3,7)，C (0,5,1)，则BC 边上的中线长为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】 设BC 中点为D ，则D (2,1,4)，∴AD →＝(－1，－2,2)， ∴|AD →|＝－12＋－22＋22＝3，即BC 边上的中线长为3.【答案】 B7．(2013·岳阳高二检测)若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，且a 与b 的夹角的余弦值为89，则λ＝( )A ．2B ．－2C ．－2或255D ．2或－255【解析】 ∵cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝2－λ＋45＋λ2·9＝89，解得λ＝－2或λ＝255. 【答案】 C8．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为( ) A.23B.33C.23D.63【解析】 设正方体的棱长为1，建系如图． 则D (0,0,0)，B (1,1,0)，B 1(1,1,1)． 平面ACD 1的法向量为DB 1→＝(1,1,1)． 又BB 1→＝(0,0,1)，则cos 〈DB 1→，BB 1→〉＝DB 1→·BB 1→|DB 1→||BB 1→|＝13×1＝33. 故BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为1－332＝63. 【答案】 D9．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，BP →⊥平面ABC ，则BP →等于( )A ．(407，－157，－4)B ．(407，－157，－3)C ．(337，－157，4)D ．(337，－157，－3)【解析】 ∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝3＋5－2z ＝0，∴z ＝4，∴BC →＝(3,1,4)． ∵BP →⊥平面ABC ，∴BP →·AB →＝0，BP →·BC →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1×1＋y ×5＋－3×－2＝0，x －1×3＋y ×1＋－3×4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝407y ＝－157，∴BP →＝(337，－157，－3)．【答案】 D10．在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝435，那么二面角A －BD －P的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°【解析】 如图所示，建立空间直角坐标系， 则PB →＝(3,0，－453)，BD →＝(－3,4,0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面PBD 的一个法向量，则⎩⎨⎧n ·PB →＝0n ·BD →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ，y ，z ·3，0，－453＝0，x ，y ，z ·－3，4，0＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧3x －453z ＝0，－3x ＋4y ＝0.令x ＝1，则n ＝(1，34，543)．又n 1＝(0,0，453)为平面ABCD 的一个法向量，∴cos 〈n 1，n 〉＝n 1·n |n 1||n |＝32.∴所求二面角为30°. 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)11．(2013·北京高二检测)若a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，且a 与b 为共线向量，则x ＝________，y ＝________.【解析】 由题意得2x 1＝1－2y ＝39，∴x ＝16，y ＝－32.【答案】 16 －3212．(2013·重庆高二检测)已知点A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 的形状是________．【解析】 ∵AC →＝(5,1，－7)，BC →＝(2，－3,1)，∴AC →·BC →＝10－3－7＝0. ∴AC →⊥BC →，∴∠ACB ＝90°，又∵|AC →|≠|BC →|， ∴△ABC 为直角三角形． 【答案】 直角三角形13．已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长都等于1，且两两夹角都是60°，则对角线AC 1的长是________．【解析】 如图所示， 设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，∴a ·b ＝a ·c ＝b ·c ＝1×1×cos 60°＝12.又AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝a ＋b ＋c ， |AC 1→|＝a ＋b ＋c2＝3＋3×2×12＝ 6.【答案】 614．命题：①若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线； ②向量a 、b 、c 共面，则它们所在的直线也共面； ③若a 与b 共线，则存在惟一的实数λ，使b ＝λa ；④若A 、B 、C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，则点M 一定在平面ABC 上，且在△ABC 内部．上述命题中的真命题是________．【解析】 当b ＝0时，①不正确；a 、b 、c 共面于平面α，则a ，b ，c 所在的直线可能异面，但都与α平行，所以②不正确；③不正确．因为a ∥b ⇔b ＝λa (a ≠0)；由空间向量基本定理可知④正确．【答案】 ④三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)图115．(本小题满分12分)如图1所示的平行六面体中，求证：AC →＋AB ′→＋AD ′→＝2AC ′→. 【证明】 ∵平行六面体的六个面均为平行四边形， ∴AC →＝AB →＋AD →，AB ′→＝AB →＋AA ′→，AD ′→＝AD →＋AA ′→.∴AC →＋AB ′→＋AD ′→＝(AB →＋AD →)＋(AB →＋AA ′→)＋(AD →＋AA ′→)＝2(AB →＋AD →＋AA ′→)． 又AA ′→＝CC ′→，AD →＝BC →，∴AB →＋AD →＋AA ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AC →＋CC ′→＝AC ′→. ∴AC →＋AB ′→＋AD ′→＝2AC ′→.图216．(本小题满分12分)如图2，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，AB ＝5，BC ＝4，AA 1＝4，点D 是AB 的中点．(1)求证：AC ⊥BC 1； (2)求证：AC 1∥平面CDB 1.【证明】 ∵直三棱柱ABC －A 1B 1C 1底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5， ∴AC ，BC ，C 1C 两两垂直．如图，以C 为坐标原点，直线CA ，CB ，CC 1分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (3,0,0)，C 1(0,0,4)，B (0,4,0)，B 1(0,4,4)，D (32，2,0)．(1)∵AC →＝(－3,0,0)，BC 1→＝(0，－4,4)， ∴AC →·BC 1→＝0，∴AC ⊥BC 1.(2)设CB 1与C 1B 的交点为E ，则E (0,2,2)． ∵DE →＝(－32，0,2)，AC 1→＝(－3,0,4)，∴DE →＝12AC 1→，∴DE →∥AC 1→.∵DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1，∴AC 1∥平面CDB 1.图317．(本小题满分12分)如图3，四棱锥S－ABCD的底面是边长为2a的菱形，且SA＝SC ＝2a，SB＝SD＝2a，点E是SC上的点，且SE＝λa(0＜λ≤2)．(1)求证：对任意的λ∈(0,2]，都有BD⊥AE；(2)若SC⊥平面BED，求直线SA与平面BED所成角的大小．【解】(1)证明连接BD，AC，设BD与AC交于O.由底面是菱形，得BD⊥AC.∵SB＝SD，O为BD中点，∴BD⊥SO.又AC∩SO＝O，∴BD⊥平面SAC.又AE⊂平面SAC，∴BD⊥AE.(2)由(1)知BD ⊥SO ， 同理可证AC ⊥SO ， ∴SO ⊥平面ABCD .取AC 和BD 的交点O 为原点建立如图所示的坐标系，设SO ＝x ，则OA ＝4a 2－x 2，OB ＝2a 2－x 2.∵OA ⊥OB ，AB ＝2a ，∴(4a 2－x 2)＋(2a 2－x 2)＝4a 2， 解得x ＝a .∴OA ＝3a ，则A (3a,0,0)，C (－3a,0,0)，S (0,0，a )． ∵SC ⊥平面EBD ，∴SC →是平面EBD 的法向量． ∴SC →＝(－3a,0，－a )，SA →＝(3a,0，－a )． 设SA 与平面BED 所成角为α， 则sin α＝|SC →·SA →||SC →|·|SA →|＝|－3a 2＋a 2|3＋1a 2·3＋1a 2＝12， 即SA 与平面BED 所成的角为π6.图418．(本小题满分14分)(2012·山东高考)在如图4所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB＝CD＝CF.(1)求证：BD⊥平面AED；(2)求二面角F－BD－C的余弦值．【解】(1)证明因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，所以∠ADC＝∠BCD＝120°.又CB＝CD，所以∠CDB＝30°，因此∠ADB＝90°，即AD⊥BD.又AE⊥BD，且AE∩AD＝A，AE，AD⊂平面AED，所以BD⊥平面AED.(2)由(1)知AD⊥BD，所以AC⊥BC.又FC⊥平面ABCD，因此CA，CB，CF两两垂直．以C为坐标原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设CB＝1，则C (0,0,0)，B (0,1,0)，D (32，－12，0)，F (0,0,1)．因此BD →＝(32，－32，0)，BF →＝(0，－1,1)．设平面BDF 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则m ·BD →＝0，m ·BF →＝0，所以x ＝3y ＝3z ，取z ＝1，则m ＝(3，1,1)．由于CF →＝(0,0,1)是平面BDC 的一个法向量，则cos 〈m ，CF →〉＝m ·CF →|m ||CF →|＝15＝55，所以二面角F －BD －C 的余弦值为55.。

§3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量的线性运算学习目标 1.了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量、共线向量等的概念.2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，了解向量加法的交换律和结合律.3.掌握数乘向量运算的意义及运算律．知识点一 空间向量的概念1．在空间中，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模． 空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，向量a 的起点是A ，终点是B ，则向量a 也可记作AB →，其模记为|a |或|AB →|. 2．几类特殊的空间向量知识点二 空间向量的加减运算及运算律1．类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算．OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b ， CA →＝OA →－OC →＝a －b . 2．空间向量加法交换律 a ＋b ＝b ＋a ， 空间向量加法结合律 (a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )． 知识点三 数乘向量运算 1．实数与向量的积与平面向量一样，实数λ与空间向量a 的乘积λa 仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作λa ，其长度和方向规定如下： (1)|λa |＝|λ||a |.(2)当λ>0时，λa 与向量a 方向相同；当λ<0时，λa 与向量a 方向相反；当λ＝0时，λa ＝0. 2．空间向量数乘运算满足以下运算律 (1)λ(μa )＝(λμ)a ； (2)λ(a ＋b )＝λa ＋λb .1．若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同．( √ ) 2．零向量没有方向．( × )3．两个有公共终点的向量，一定是共线向量．( × )4．空间向量的数乘中λ只决定向量的大小，不决定向量的方向．( × )题型一 空间向量的概念理解例1 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是( ) A ．空间向量不满足加法结合律B ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等而方向相同或相反C ．若向量AB →，CD →满足|AB →|＞|CD →|，则AB →＞CD →D ．相等向量其方向必相同考点 空间向量的相关概念及其表示方法题点 相等、相反向量 答案 D解析 A 中，空间向量满足加法结合律；B 中，|a |＝|b |只能说明a ，b 的长度相等而方向不确定；C 中，向量作为矢量不能比较大小，故选D. (2)给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同； ②在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→；③若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p .其中不正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析 两个空间向量相等，它们的起点、终点不一定相同，故①不正确；在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→成立，故②正确；③显然正确．故选B.反思感悟 在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反．跟踪训练1 (1)在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列四对向量：①AB →与C 1D 1——→；②AC 1→与BD 1→；③AD 1→与C 1B →；④A 1D →与B 1C →.其中互为相反向量的有n 对，则n 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 对于①AB →与C 1D 1→，③AD 1→与C 1B →长度相等，方向相反，互为相反向量；对于②AC 1→与BD 1→长度相等，方向不相反；对于④A 1D →与B 1C →长度相等，方向相同．故互为相反向量的有2对． (2)如图，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝3，AD ＝2，AA ′＝1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：①单位向量共有多少个？ ②试写出模为5的所有向量． ③试写出与向量AB →相等的所有向量． ④试写出向量AA ′→的所有相反向量．解 ①由于长方体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量AA ′—→，A ′A —→，BB ′—→，B ′B —→，CC ′—→，C ′C —→，DD ′—→，D ′D —→，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个．②由于长方体的左右两侧面的对角线长均为5，故模为5的向量有AD ′—→，D ′A —→，A ′D —→，DA ′—→，BC ′—→，C ′B —→，B ′C —→，CB ′—→.③与向量AB →相等的所有向量(除它自身之外)有A ′B ′—→，DC →及D ′C ′——→. ④向量AA ′—→的相反向量有A ′A —→，B ′B —→，C ′C —→，D ′D —→. 题型二 空间向量的加减运算例2 如图，已知长方体ABCD -A ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．(1)AA ′—→－CB →； (2)AA ′—→＋AB →＋B ′C ′——→.解 (1)AA ′—→－CB →＝AA ′—→－DA →＝AA ′—→＋AD →＝AD ′—→.(2)AA ′—→＋AB →＋B ′C ′——→＝(AA ′—→＋AB →)＋B ′C ′——→＝AB ′—→＋B ′C ′——→＝AC ′—→. 向量AD ′—→，AC ′—→如图所示．引申探究利用本例题图，化简AA ′—→＋A ′B ′——→＋B ′C ′——→＋C ′A —→. 解 结合加法运算AA ′—→＋A ′B ′——→＝AB ′—→，AB ′—→＋B ′C ′——→＝AC ′—→，AC ′—→＋C ′A —→＝0. 故AA ′—→＋A ′B ′——→＋B ′C ′——→＋C ′A —→＝0.反思感悟 空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果． 跟踪训练2 在如图所示的平行六面体中，求证：AC →＋AB ′—→＋AD ′→＝2AC ′—→.证明 ∵平行六面体的六个面均为平行四边形，∴AC →＝AB →＋AD →，AB ′—→＝AB →＋AA ′—→，AD ′—→＝AD →＋AA ′—→， ∴AC →＋AB ′—→＋AD ′—→＝(AB →＋AD →)＋(AB →＋AA ′—→)＋(AD →＋AA ′—→) ＝2(AB →＋AD →＋AA ′—→)． 又∵AA ′—→＝CC ′—→，AD →＝BC →， ∴AB →＋AD →＋AA ′—→＝AB →＋BC →＋CC ′—→＝AC →＋CC ′—→＝AC ′—→. ∴AC →＋AB ′—→＋AD ′—→＝2AC ′—→. 题型三 数乘向量运算例3 如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)A 1N →；(3)MP →＋NC 1→. 解 (1)AP →＝AD 1→＋D 1P →＝(AA 1→＋AD →)＋12AB →＝a ＋c ＋12b .(2)A 1N →＝A 1A →＋AN → ＝－AA 1→＋AB →＋12AD →＝－a ＋b ＋12c .(3)MP →＋NC 1→＝(MA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →)＋(NC →＋CC 1→) ＝12AA 1→＋AD →＋12AB →＋12AD →＋AA 1→ ＝32AA 1→＋32AD →＋12AB → ＝32a ＋12b ＋32c . 引申探究若把本例中“P 是C 1D 1的中点”改为“P 在线段C 1D 1上，且C 1P PD 1＝12”，其他条件不变，如何表示AP →？解 AP →＝AD 1→＋D 1P →＝AA 1→＋AD →＋23AB →＝a ＋c ＋23b .反思感悟 利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．跟踪训练3 如图，在空间四边形OABC 中，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在MN 上，且MG ＝2GN ，如图所示，记OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量OG →.解 OG →＝OM →＋MG →＝OM →＋23MN →＝12OA →＋23(MO →＋OC →＋CN →)＝12a ＋23[－12a ＋c ＋12(b －c )]＝16a ＋13b ＋13c .对空间向量的有关概念理解不清致误典例 下列说法中，错误的个数为( )①若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同； ②若向量AB →，CD →满足|AB →|＝|CD →|，AB →与CD →同向，则AB →>CD →；③若两个非零向量AB →，CD →满足AB →＋CD →＝0，则AB →，CD →互为相反向量； ④AB →＝CD →的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 相等、相反向量 答案 C解析 ①错误，两个空间向量相等，其模相等且方向相同，但与起点和终点的位置无关． ②错误，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小．③正确，由AB →＋CD →＝0，得AB →＝－CD →，所以AB →，CD →互为相反向量．④错误，AB →＝CD →的充要条件是|AB →|＝|CD →|，且AB →，CD →同向．但A 与C ，B 与D 不一定重合． 故一共有3个错误命题，正确答案为C.[素养评析] (1)掌握空间向量的相关概念是正确解答本题的关键． (2)准确把握推理的形式和规则，有利于培养学生的合乎逻辑的思维品质.1．下列命题中，假命题是( )A ．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小B ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C ．只有零向量的模等于0D ．空间中任意两个单位向量必相等 答案 D2．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，与向量AD →相等的向量共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 答案 C解析 与AD →相等的向量有A 1D 1→，BC →，B 1C 1→，共3个．3．向量a ，b 互为相反向量，已知|b |＝3，则下列结论正确的是( ) A ．a ＝bB ．a ＋b 为实数0C ．a 与b 方向相同D ．|a |＝3答案 D解析 向量a ，b 互为相反向量，则a ，b 模相等、方向相反．故D 正确．4．已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，设M ，G 分别是BC ，CD 的中点，则MG →－AB →＋AD →等于( )A.32DB → B ．3MG → C ．3GM → D ．2MG → 答案 B解析 MG →－AB →＋AD →＝MG →－(AB →－AD →)＝MG →－DB →＝MG →＋2MG →＝3MG →. 5．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，已知下列各式：①(AB →＋BC →)＋CC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1—→)＋D 1C 1→；③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1；④(AA 1→＋A 1B 1—→)＋B 1C 1—→.其中运算的结果为AC 1→的有________个．答案 4解析 根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：①(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1—→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1—→＝AC 1→； ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1—→＝AB 1→＋B 1C 1—→＝AC 1→； ④(AA 1→＋A 1B 1—→)＋B 1C 1—→＝AB 1→＋B 1C 1—→＝AC 1→. 所以4个式子的运算结果都是AC 1→.1．一些特殊向量的特性(1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的． (2)单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.(3)两个向量模相等，不一定是相等向量，反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量． 2．空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.一、选择题1．下列命题中为真命题的是( ) A ．向量AB →与BA →的长度相等B ．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆C ．空间向量就是空间中的一条有向线段D ．不相等的两个空间向量的模必不相等 考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 相等、相反向量 答案 A解析 对于选项B ，其终点构成一个球面；对于选项C ，零向量不能用有向线段表示；对于选项D ，向量a 与向量b 不相等，未必它们的模不相等，故选A. 2．已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，则AB →＋BC →＋CD →为( ) A.AD → B.BD → C.AC →D ．0 答案 A解析 AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.3．如图所示，点D 是空间四边形OABC 的边BC 的中点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则AD →为( )A.12(a ＋b )－c B.12(c ＋a )－b C.12(b ＋c )－a D ．a ＋12(b ＋c )答案 C解析 AD →＝AO →＋OD →＝－OA →＋12(OB →＋OC →)＝－a ＋12(b ＋c )．4．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，向量表达式DD 1→－AB →＋BC →化简后的结果是( ) A.BD 1→ B.D 1B → C.B 1D → D.DB 1→ 答案 A解析 如图所示，∵DD 1→＝AA 1→，DD 1→－AB →＝AA 1→－AB →＝BA 1→，BA 1→＋BC →＝BD 1→，∴DD 1→－AB →＋BC →＝BD 1→.5.在空间平移△ABC 到△A ′B ′C ′，连接对应顶点，设AA ′→＝a ，AB →＝b ，AC →＝c ，M 是BC ′的中点，N 是B ′C ′的中点，如图所示，用向量a ，b ，c 表示向量MN →等于( )A.a ＋12b ＋12cB.12a ＋12b ＋12c C ．a ＋12bD.12a 答案 D解析 MN →＝12BB ′—→＝12AA ′—→＝12a .6.如图，在四棱柱的上底面ABCD 中，AB →＝DC →，则下列向量相等的是( )A.AD →与CB →B.OA →与OC →C.AC →与DB →D.DO →与OB →答案 D解析 ∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|，AB ∥DC ，即四边形ABCD 为平行四边形，由平行四边形的性质知，DO →＝OB →.7.如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1—→＝a ，A 1D 1—→＝b ，A 1A →＝c ，则下列向量中与B 1M →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C.12a －12b ＋c D ．－12a －12b ＋c答案 A解析 B 1M →＝B 1B →＋BM →＝A 1A →＋12(BA →＋BC →)＝c ＋12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ＋c .8．P 为正六边形ABCDEF 所在平面外一点，O 为正六边形ABCDEF 的中心，则P A →＋PB →＋PC →＋PD →＋PE →＋PF →等于( )A ．2PO →B ．4PO →C ．6PO →D ．12PO → 答案 C解析 由O 是正六边形ABCDEF 的中心，得OA →＋OD →＝0，OB →＋OE →＝0，OC →＋OF →＝0，∴P A →＋PB →＋PC →＋PD →＋PE →＋PF →＝PO →＋OA →＋PO →＋OB →＋PO →＋OC →＋PO →＋OD →＋PO →＋OE →＋PO →＋OF →＝6PO →. 二、填空题9．已知向量a ，b ，c 互相平行，其中a ，c 同向，a ，b 反向，|a |＝3，|b |＝2，|c |＝1，则|a ＋b ＋c |＝________.考点 空间向量的加减运算 题点 空间向量的加减运算的应用 答案 210．在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若C A →＝a ，C B →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →＝________.答案 －a ＋b －c 解析 如图，A 1B →＝A 1A →＋AB → ＝C 1C →＋(CB →－CA →) ＝－CC 1→＋CB →－CA → ＝－c ＋b －a .11．给出下列几个命题：①方向相反的两个向量是相反向量； ②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；③对于任意向量a ，b ，必有|a ＋b |≤|a |＋|b |. 其中正确命题的序号为________． 考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 空间向量的定义与模 答案 ③解析 对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错误；对于②，若|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等，但方向没有任何联系，故不正确；只有③正确． 三、解答题12.如图所示，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，化简下列表达式．(1)AB →＋BC →； (2)AB →＋AD →＋AA ′—→；(3)AB →＋CB →＋AA ′—→； (4)AC ′—→＋D ′B —→－DC →. 解 (1)AB →＋BC →＝AC →.(2)AB →＋AD →＋AA ′—→＝AC →＋AA ′—→ ＝AC ′—→.(3)AB →＋CB →＋AA ′—→＝AB →＋DA →＋BB ′—→＝DB ′—→.(4)AC ′—→＋D ′B —→－DC →＝(AB →＋BC →＋CC ′—→)＋(DA →＋DC →＋C ′C —→)－DC →＝DC →.13.如图所示，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，M 是BB 1的中点．化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：(1)CB →＋BA 1→； (2)AC →＋CB →＋12AA 1→；(3)AA 1→－AC →－CB →. 解 (1)CB →＋BA 1→＝CA 1→. (2)因为M 是BB 1的中点， 所以BM →＝12BB 1→.又AA 1→＝BB 1→，所以AC →＋CB →＋12AA 1→＝AB →＋BM →＝AM →.(3)AA 1→－AC →－CB →＝CA 1→－CB →＝BA 1→.向量CA 1→，AM →，BA 1→如图所示．14．已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的中心为O ，则在下列各结论中正确的共有( ) ①OA →＋OD →与OB ′—→＋OC ′—→是一对相反向量； ②OB →－OC →与OA ′—→－OD ′—→是一对相反向量；③OA →＋OB →＋OC →＋OD →与OA ′—→＋OB ′—→＋OC ′—→＋OD ′—→是一对相反向量； ④OA ′—→－OA →与OC →－OC ′—→是一对相反相量． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 相等、相反向量 答案 C解析 如图所示，①OA →＝－OC ′—→，OD →＝－OB ′—→，所以OA →＋OD →＝－(OB ′—→＋OC ′—→)，是一对相反向量；②OB →－OC →＝CB →，OA ′—→－OD ′—→＝D ′A ′——→，而CB →＝D ′A ′——→，故不是相反向量； ③同①，也是正确的；④OA ′—→－OA →＝AA ′—→，OC →－OC ′—→＝C ′C —→＝－AA ′—→，是一对相反向量． 15.如图所示，在正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1中．(1)化简A 1F 1—→－EF →－BA →＋FF 1→＋CD →＋F 1A 1—→，并在图中标出表示化简结果的向量； (2)化简DE →＋E 1F 1→＋FD →＋BB 1→＋A 1E 1→，并在图中标出表示化简结果的向量． 考点 空间向量的加减运算 题点 空间向量的加减运算解 (1)A 1F 1—→－EF →－BA →＋FF 1→＋CD →＋F 1A 1—→＝AF →＋FE →＋AB →＋BB 1→＋CD →＋DC →＝AE →＋AB 1→＋0＝AE →＋ED 1→＝AD 1→.AD 1→在图中表示如下：(2)DE →＋E 1F 1→＋FD →＋BB 1→＋A 1E 1—→＝DE →＋EF →＋FD →＋BB 1→＋B 1D 1→＝DF →＋FD →＋BD 1→＝0＋BD 1→＝BD 1→.BD 1→在图中表示如下：。

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3。

1.1 空间向量的线性运算(建议用时：45分钟）[学业达标］一、选择题1．空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则错误!－错误!＋错误!＝（) A．2错误!B．3错误!C．3错误!D．2错误!【解析】错误!－错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋2错误!＝3错误!.【答案】B2．在平行六面体ABCD。

A′B′C′D′中，与向量错误!的模相等的向量有（)【导学号：15460060】A．7个B．3个C．5个D．6个【解析】｜错误!|＝|错误!｜＝｜错误!|＝｜错误!|＝｜错误!｜＝｜错误!|＝｜错误!｜＝|错误!|。

【答案】A3．在平行六面体ABCD。

A1B1C1D1中，用向量错误!，错误!，错误!表示向量错误!的结果为( ）图3­ 1.10A.错误!＝错误!－错误!＋错误!B。

错误!＝错误!＋错误!－错误!C.错误!＝错误!＋错误!－错误!D.错误!＝错误!＋错误!＋错误!【解析】错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝－错误!＋错误!＋错误!.故选B。

【答案】B4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为错误!的是（)①(错误!－错误!）－错误!；②（错误!＋错误!）－错误!；③(错误!－错误!）－错误!；④（错误!－错误!)＋错误!。