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材料力学之压杆稳定引言材料力学是研究物体内部受力和变形的学科，压杆稳定是其中的一个重要内容。
压杆稳定是指在受到压力作用时，压杆能够保持稳定，不发生失稳或破坏的现象。
本文将介绍压杆稳定的基本原理、稳定条件以及一些常见的失稳形式。
压杆的受力分析在进行压杆稳定分析前，我们首先需要对压杆受力进行分析。
压杆通常是一根长条形材料，两端固定或铰接。
在受到外部压力作用时，压杆会受到内部的压力，这些压力会导致杆件产生变形和应力。
在分析压杆稳定性时，我们主要关注压杆的弯曲和侧向稳定性。
压杆的基本原理压杆的稳定性是由杆件的弯曲和侧向刚度共同决定的。
当压杆弯曲和侧向刚度足够大时，压杆能够保持稳定。
所以，为了提高压杆的稳定性，我们可以采取以下几种措施：1.增加杆件的截面面积，增加抗弯能力；2.增加杆件的高度或长度，增加抗弯刚度；3.增加杆件的横向剛性，增加抗侧向位移能力；4.添加支撑或加固结构，增加整体稳定性。
压杆的稳定条件压杆稳定的基本条件是在承受外部压力时，内部应力不超过材料的极限强度。
当内部应力超过材料的极限强度时，压杆将会发生失稳或破坏。
在实际工程中，我们一般采用压杆的临界压力比来判断压杆的稳定性。
临界压力比是指杆件在失稳前的临界弯曲载荷与临界弯曲载荷之比。
当临界压力比大于1时，压杆是稳定的；当临界压力比小于1时，压杆是不稳定的。
临界压力比的计算可以采用欧拉公式或者Vlasov公式等方法。
这些方法能够给出压杆在不同边界条件下的临界压力比。
在工程实践中，我们可以根据具体问题选择合适的方法来计算临界压力比。
压杆的失稳形式压杆失稳通常有两种形式：弯曲失稳和侧向失稳。
弯曲失稳压杆的弯曲失稳是指杆件在受到外部压力作用时，发生弯曲变形并导致失稳。
在弯曲失稳中，压杆的弯曲形态可以分为四种：1.局部弯曲失稳：杆件出现弯曲局部失稳，形成凸起或凹陷；2.局部弯扭失稳：杆件出现弯曲和扭曲共同失稳；3.全截面失稳：整个杆件截面均发生失稳；4.全体失稳：整个杆件完全失稳并失去稳定性。
第八章 压杆稳定在某些特殊情况下（特别是杆件受压时），尽管杆件满足强度及刚度设计要求，但是，由于受力状态的改变，使得杆件仍然处于不安全状态，这种情形就是稳定的范畴。
§8.1压杆稳定的概念物体保持静止或匀速直线状态称平衡状态。
工程中的平衡状态主要指静止的平衡状态。
杆件受到压力后，保持静止的平衡状态可能是稳定的，也可能是不稳定的。
平衡状态的稳定性定义为：杆件在荷载作用下处于一定的位置（初始平衡位置）保持的平衡状态称（初始平衡状态），受到微小外界扰动使其偏离初始平衡位置，若外界扰动除去后仍能回到初始平衡位置，则称杆件的初始平衡状态是稳定的平衡状态；若外界扰动除去后不能回到初始平衡位置，且偏离初始平衡位置越来越远，则称杆件的初始平衡状态是不稳定的平衡状态；若外界扰动除去后不能回到初始平衡位置，但仍能停留在新的平衡位置，则称杆件的初始平衡状态是临界平衡状态，也称随遇平衡状态。
压杆稳定问题就是指受压杆件处于静止的平衡状态的稳定性问题。
图8.1工程中实际的压杆，其轴线不可避免的存在初弯曲，即压杆未受力时，已呈微弯状态，这时可简化为具有微小弯曲的压杆模型，如图8.1(a)所示，称为初弯曲压杆。
杆件所受轴向压力的作用线，实际上也不可能与杆件轴线绝对重合，即存在初偏心，这时可简化为具有小偏心矩的压杆模型，如图8.1(b)所示，称为小偏心压杆。
初弯曲压杆和为小偏心压杆在轴向压力作用下除产生压缩变形外，还要产生弯曲变形。
实质上是偏心受压杆件。
如果小偏心压杆的偏心距极小（近似等于零）或初弯曲压杆的微小弯曲极小（近似等于零），则压杆简化学习指导本章分4节内容，本章的学习目标是：（１）学习掌握压杆稳定的工程概念、压杆临界力的欧拉公式、压杆稳定的工程计算及提高压杆稳定性的措施。
（２）了解工程中常见的压杆稳定现象，掌握压杆稳定工程计算的基本方法，培养工作岗位有关受压构件设计的能力。
本章重点难点为：稳定的工程概念、压杆稳定的工程计算；理解两类稳定问题的实质。
178第二十三章 压杆稳定一、 内容提要1、稳定的概念压杆的稳定性：压杆保持初始直线平衡状态的能力。
压杆的失稳：压杆丧失直线形状的平衡状态。
临界载荷：保持压杆稳定平衡时杆件所能承受的最大外力。
2、临界应力的计算大柔度杆（ ）中柔度杆（ ）小柔度杆（ ） 说明：(1)压杆的临界应力在稳定问题中相当于强度问题中的极限应力，是确定稳定许用应力的依据。
(2)一种材料的极限应力是由材料本身的性质决定的。
压杆的临界应力除决定于材料外，还与杆的柔度有关，(3)根据 的值判断压杆的类别（大柔度杆、中柔度杆或小柔度杆），选用相应的计算临界力的公式。
3、压杆的稳定计算压杆的稳定性条件其中 安全系数法折减系数法说明(1)与强度问题类似，稳定计算也存在三方面的问题：稳定校核、截面设计、计算许可载荷。
（2）杆件丧失稳定是一种整体性行为，横截面的局部削弱对稳定的临界应力影响不大，因此在稳定计算时采用横截面的毛面积。
二、 基本要求1. 明确稳定平衡、不稳定平衡和临界载荷的概念，理解两端铰支压杆临界载荷公式的推导过程。
2. 理解长度系数的力学意义，熟练掌握四种常见的约束形式下细长压杆的临界载荷的计算。
p s λλλ≤≤p λλ>s λλ<22λπσE cr =λσb a cr -=scr σσ=λ[]crA N σσ≤=[]w crcr n σσ=[][]σϕσ=cr1793. 明确压杆柔度、临界应力和临界应力总图的概念，熟练掌握大柔度、中柔度和小柔度三类压杆的判别方法及其临界载荷的计算和稳定性的校核方法。
4. 了解根据压杆稳定性条件设计杆件截面的折减系数法。
5. 了解提高压杆稳定性的主要措施。
三、 典型例题分析例1 三根圆截面压杆直径均为 ，材料为 钢， MPa b 12.1=)， ， ， , 两端均为铰支，长度分别为 且 , 试计算各杆的临界力。
解 （1）有关数据（2）计算各杆的临界力1杆 属大柔度杆2杆 属中柔度杆3杆属小柔度杆mm d 160=MPa E5102⨯=MPa p 200=σMPa s 240=σ,,,321l l l m l l l 542321===,304(MPa a =3A 2222210202.016.044mm d A -⨯==⨯==ππ45441022.316.06464md I -⨯=⨯==ππm d i 04.0416.04===1=μ10010200102611=⨯⨯==πσπλpp E5712.1240304=-=-=ba ss σλ10012504.05111=>=⨯==p il λμλKNl EIP cr 2540)(212==μπ5.6204.05.2122=⨯==il μλMPab a cr 2342=-=λσKNA P cr cr 46801021023426=⨯⨯⨯=⋅=-σ2.3104.025.1133=⨯==il μλ180例2 截面为 的矩形木柱，长 ， 。
第八章 压杆稳定在某些特殊情况下（特别是杆件受压时），尽管杆件满足强度及刚度设计要求，但是，由于受力状态的改变，使得杆件仍然处于不安全状态，这种情形就是稳定的范畴。
§8.1压杆稳定的概念物体保持静止或匀速直线状态称平衡状态。
工程中的平衡状态主要指静止的平衡状态。
杆件受到压力后，保持静止的平衡状态可能是稳定的，也可能是不稳定的。
平衡状态的稳定性定义为：杆件在荷载作用下处于一定的位置（初始平衡位置）保持的平衡状态称（初始平衡状态），受到微小外界扰动使其偏离初始平衡位置，若外界扰动除去后仍能回到初始平衡位置，则称杆件的初始平衡状态是稳定的平衡状态；若外界扰动除去后不能回到初始平衡位置，且偏离初始平衡位置越来越远，则称杆件的初始平衡状态是不稳定的平衡状态；若外界扰动除去后不能回到初始平衡位置，但仍能停留在新的平衡位置，则称杆件的初始平衡状态是临界平衡状态，也称随遇平衡状态。
压杆稳定问题就是指受压杆件处于静止的平衡状态的稳定性问题。
图8.1工程中实际的压杆，其轴线不可避免的存在初弯曲，即压杆未受力时，已呈微弯状态，这时可简化为具有微小弯曲的压杆模型，如图8.1(a)所示，称为初弯曲压杆。
杆件所受轴向压力的作用线，实际上也不可能与杆件轴线绝对重合，即存在初偏心，这时可简化为具有小偏心矩的压杆模型，如图8.1(b)所示，称为小偏心压杆。
初弯曲压杆和为小偏心压杆在轴向压力作用下除产生压缩变形外，还要产生弯曲变形。
实质上是偏心受压杆件。
如果小偏心压杆的偏心距极小（近似等于零）或初弯曲压杆的微小弯曲极小（近似等于零），则压杆简化学习指导本章分4节内容，本章的学习目标是：（１）学习掌握压杆稳定的工程概念、压杆临界力的欧拉公式、压杆稳定的工程计算及提高压杆稳定性的措施。
（２）了解工程中常见的压杆稳定现象，掌握压杆稳定工程计算的基本方法，培养工作岗位有关受压构件设计的能力。
本章重点难点为：稳定的工程概念、压杆稳定的工程计算；理解两类稳定问题的实质。
（a）（b）（c）为理想轴心受压模型，如图8.1(c)所示。
为了说明压杆处于平衡状态的稳定性，我们取轴心受压的细长杆来研究。
图8.2图8.2(a)为一等截面的轴向受压杆，此杆在F 作用下保持直线状态。
现对该压杆施加一横向力（干扰力），使杆处于弯曲状态。
当F 值较小时，横向力去掉后，压杆在直线平衡位置左右摆动，最终仍能恢复到原来的直线形状，如图8.2（b ）所示，此时称杆的原有直线状态的平衡状态是稳定的（称为稳定平衡状态）； 当F 值较大时，横向力去掉后，压杆不仅不能恢复原有的直线形状，而是在微弯的基础上继续弯曲，发生显著的弯曲变形(甚至折断)，如图8.2（c ）所示，此时称杆的原有直线状态的平衡状态是不稳定的（称为不稳定平衡状态)；当F 值为某一数值时，横向力去掉后，杆既不能恢复原有的直线形状，也不增加其弯曲的程度，而是维持在微弯状态，如图8.2（d ）所示，此时称杆的原有直线状态的平衡是随遇的（称为随遇平衡状态）。
随遇平衡是介于稳定平衡和不稳定平衡之间的一种临界状态。
随着荷载的逐渐增大，压杆原始平衡状态由稳定的平衡状态转变为不稳定的平衡状态，这时杆件原始平衡状态丧失其稳定性，简称失稳。
受压杆件处于直线状态的平衡是否稳定，决定于压力F 的大小。
当F 小于某一值时，直线状态的平衡是稳定的，当F 大于该值时，直线状态的平衡是不稳的，其界限值称为临界力。
临界力是判别压杆是否失稳的界限。
建筑结构中的受压杆件绝不允许处于不稳定的平衡状态，所以压杆件承受的压力必须小于临界力（一般用cr F 表示）。
稳定的概念不同于强度的概念。
强度问题是，对轴向受压杆来说，只要横截面上的正应力不超过材料的许用应力即可。
稳定问题是，对轴向受压杆来说，杆件承受的压力超过临界力Fcr ，杆件一但受到微小干扰，表现为弯曲变形不断加大，是一种动态。
轴向受压杆特别是较细长的受压杆远不能承受按强度计算的荷载（][σA F =）。
即临界力cr F 远小于F 。
压杆失稳现象常是突然发生的，所以，结构中受压杆件的失稳常造成严重的后果，甚至导致整个结构物的倒塌。
钢结构工程上出现的较大的工程事故中，有相当一部分是受压构件失稳所致。
§8.2 细长压杆的临界力在建筑工程中，常用压杆临界力的计算都可以采用欧拉公式，不同力学模型的压杆，其（d）crF cr（c）（b）cr F （a）临界力的计算公式需要局部调整。
8.2.1两端铰支细长压杆的临界力压杆失稳变形时，材料处于弹性阶段，这类问题称为弹性稳定问题。
下面推导两端为铰支的细长杆的临界力计算公式。
如图8.3(a)。
图8.3细长的受压杆当F 达到cr F 时，既可保持直线形式的平衡，又可保持微弯状态的平衡。
杆内任一截面上的弯矩为，如图8.3(b)所示。
y F x M cp =)( （8-1）弯曲后挠曲线近似微分方程式为：EI x M dx y d )(22-= （8-2）将式(8-1)代入式(8-2)，得：y EI F dxy d cp -=22 （8-3） 令： 2k EIF cp = （8-4）则式(8-3)变为：0222=+y k dxyd （8-5） 该式即为杆微弯后弹性曲线的微分方程式，其通解为：（a）（b）kx C kx C y cos sin 21+= （8-6）式中1C 、2C 为待定常数，与杆的边界条件有关。
此杆的边界条件为：0=x 0=y ；l x = 0=y （8-7） 将边界条件(8-7)代入式(8-6)得：02=C 于是式(8-6)变为：kx C y sin 1= （8-8）将边界条件(8-7)代入式(8-8)得：0sin 1=kl C因01≠C (已知02=C ，如1C 再为零，杆则为直杆，与微弯之前提相矛盾)，所以：0sin =kl由此得： πn kl = (n=0，1，2，3，…，n) 所以：2222ln k π= （8-9） 带入式（8-4）：222l EIn F cr π= (n=0，1，2，3，…，n)式中n=0，则0=cr F ，此与讨论前提不符，这里n 应取不为零的最小值，即取n=1，所以：22lEIF cr π=（8-10）式(8-10)即为两端铰支细长压杆的临界力计算公式，该式又称为欧拉公式。
该式表明，临界力cr F 与杆件抗弯刚度EI 成正比，与杆长l 的平方成反比。
将lk π=带入式（8-8）可得杆微弯时的弹性曲线的方程式：lxC y πsin1=，此式为一半波正弦曲线，见图8.4(a)。
当n=2时，由lxC y π2sin1=可知，弹性曲线将为两个半波的正弦曲线，如图8.4(b)所示；取n=3时，弹性曲线lxC y π3sin 1=将为三个半波的正弦曲线，如图8.4(c)所示。
只有在曲线拐点处施加支承的情况下只能出现图8.4（a ）示的形式。
yx （a）F cr l /2n=1l /2f=C 1n=2cr F （b）x yoooyx（c）F crn=3图8.48.2.2其它杆端约束下细长压杆的临界力细长压杆的两端为其它支承形式时，由于杆端的支承对杆的变形起到约束作用，不同的支承形式对杆件变形的约束作用也不同，因此，同一受压杆当两端的支承情况不同时，其临界力值也就必然不同。
细长压杆的两端为其它支承形式时的临界力公式，推导过程与两端铰支细长压杆的临界力公式推导过程相似，这里不一一推导，结果见表8.1。
表8.1从表中可看到，各临界力公式中，只是分母中l 前边的系数不同，所以临界力公式可以写成统一形式如下：22)(l EIF cr μπ= (8-11) 式中，l μ称为计算长度，μ称为长度系数。
由各支承情况下压杆的失稳时挠曲线形状可看到，计算长度都相当于一个半波正弦曲线的弦长。
例如，一端嵌固一端自由的压杆，挠曲线为半个半波正弦曲线，其两倍相当于一个半波正弦曲线，故计算长度为2l ；一端嵌固另一端可上下移动但不能转动的情况，其挠曲线存在两个反弯点(反弯点处弯矩为零)，反弯点位于距端点1/4处，中间0.5l 部分即为一个半波正弦曲线，故计算长度为0.5l ；一端嵌固一端铰支的情况，其反弯点位于距铰支端0.7l 处(由计算所得)，0.7l 范围内的挠曲线弹相当于一个半波正弦曲线，故计算长度为0.7l 。
8.2.3 压杆稳定的计算压杆临界力计算主要介绍的内容包括：临界应力、欧拉公式的适用范围及抛物线公式，这些内容对于压杆的稳定力学分析是非常重要的。
1、临界应力临界力除以压杆的横截面面积，所得的应力称为临界应力，用cr σ表示，即：Al EIA F cr cr 22)(μπσ== （8-12） 式中令：2i AI= i 称截面的惯性半径。
式（8-12）可写成： 22)(i l Ecr μπσ=式中令： λμ=il则有：22λπσEcr = （8-13）式（10-13）是欧拉公式（8-11）的另一种表达形式。
λ称为长细比，又称为柔度。
由式(8-3)可知，长细比λ与μ、l 、i 有关。
i 决定于压杆的截面形状与尺寸，μ取决于压杆的支承情况。
从物理意义上看，λ综合地反映了压杆的长度、截面的形状与尺寸以及支承情况对临界应力的影响。
从式（10-13）可看到，当E 值一定时，cr σ与2λ成反比，说明对于由一种材制成的压杆，临界应力cr σ仅决定于长细比λ，λ值越大cr σ越小，压杆就越容易失稳。
2、欧拉公式的适用范围此近似微分方程推导时在推导该公式时，应用了挠曲线的近似微分方程：EI x M dx y d )(22-= 此近似微分方程推导时是以下式为基础的EIx M x )()(1-=ρ 而上式是建立在胡克定律εσE =的基础上，因此，欧拉公式成立的条件应该是：当压杆所受的压力达到临界力cr F 时，材料仍服从胡克定律。
也就是临界应力cr σ不能超过材料的比例极限。
也就是：σσ≤cr ，将式子p Eσλπ≤22带入可得：P Eσπλ≥令λσπ=PE上式为：PP Eσπλλ=≥ (8-14)上式就是欧拉公式的适用范围的数学表达式。
只有满足该式时，才能用欧拉公式计算压杆的临界力或临界应力，p λ是判别欧拉公式能否应用的柔度，称为判别柔度。
λ大于p λ的压杆称为大柔度杆，由此可知，欧拉公式只适用于较细长的大柔度杆。
每种材料都有自己E 值和p σ值，所以，不同材料制成的压杆p λ值也不同。
例如，Q235钢的E 和p σ，分别为E=2.06×105MPa ，p σ =200 MPa ，其p λ则为：1002001006.25≈⨯==πσπλPP E可见，对于用Q235钢制成的压杆，只有在λ≥p λ=100时，才能用欧拉公式。
§8.3 压杆稳定的计算工程中压杆稳定的计算常见的方法有抛物线公式法、折减系数法、安全因素法，本节选取折减系数这一方法为例介绍压杆稳定的计算。
