小学奥数 数的整除之四大判断法综合运用(一) 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)

拓展、一位采购员买了72个微波炉，在记账本上记下这笔账。

由于他不小心，火星落在账本上把这笔账的总数烧掉了两个数字。

账本是这样写的：72个微波炉，共用去□679□元（□为被烧掉的数字），请你帮忙把这笔账补上。

应是__________元。

（注：微波炉单价为整数元）。

36792
例4、五位数能被12整除，这个五位数是____________。

42972
拓展、六位数7E36F5 是1375的倍数，求这个六位数。

713625
拓展、一个五位数98
3ab能被11和9整除，这个五位数是。

39798
例5、五位数
能同时被2,3,5整除，则A=______，B=______。

48
A1
B
5/2/8 0
拓展、要使六位数能被36整除，而且所得的商最小，问A，B，C各代表什么数字？0 1 5
拓展、已知7位自然数427
62xy是99的倍数，则x= ,y=
2 4
2、若9位数2008□2008能够被3整除，则□里的数是
3、173□是个四位数。

数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的 3个四位数，依次可以被9，11，6整除。

”问：数学老师先后填入的3个数字之和是多少？
4、判断306371能否被7整除？能否被13整除？
5、判断能否被3，7，11，13整除．
6、试说明形式的6位数一定能被11整除．。

小学生奥数数的整除知识点及练习题1.小学生奥数数的整除知识点基本概念和符号：1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。

2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“”；因为符号“∵”，所以的符号“∴”；2.小学生奥数数的知识点整除判断方法：1、能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。

2、能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。

3、能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。

4、能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。

5、能被7整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。

②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。

6、能被11整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。

②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。

③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。

7、能被13整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。

②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。

3.小学生奥数数的知识点整除的性质：1、如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c 整除。

2、如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b 整除。

3、如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c 整除。

4、如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。

4.小学生奥数数的整除练习题1、判断下列各数能否被27或37整除：（1）__-__（2）__-__96解：（1）__-__=2，673，135，2+673+135=810。

因为810能被27整除，不能被37整除，所以__-__能被27整除，不能被37整除。

（2）__-__96=8，990，615，496，8+990+615+496=2109。

小学奥数—数的整除之四大判断法综合运用小学奥数是培养学生数学思维能力、观察能力和逻辑推理能力的重要方式之一、在小学奥数中，数的整除是一个重要的概念和技巧。

数的整除是指一个数能够整除另一个数，即一个数可以被另一个数整除，这在小学中学习，通常会讲解四大判断法，即整除的特征判断法、整除的除数判断法、整除的因子判断法和整除的位数判断法。

本文将综合运用这四大判断法，解决一些与数的整除相关的问题。

首先，整除的特征判断法是指整数n能够被整数m整除的充要条件是n的特征之积能够被m的特征之积整除。

这个特征指的是数的各位数字之和。

例如，对于一个数234，它的特征就是2+3+4=9、如果一个数的特征之积能够被另一个数的特征之积整除，那么这个数就能被另一个数整除。

例如，对于一个数36，它的特征之积是3×6=18，而另一个数9的特征之积是9，18能够被9整除，所以36能够被9整除。

其次，整除的除数判断法是指一个整数n是否能够被一个整数m整除的充要条件是n能够被m的约数整除。

这个方法利用了约数的概念。

约数是指一个数能够整除另一个数的整数。

例如，对于一个数15，它的约数有1、3、5、15，这些数都能够整除15，所以15能够被1、3、5、15整除。

如果一个数能够被另一个数的约数整除，那么这个数就能被另一个数整除。

再次，整除的因子判断法是指整数n是否能够被一个整数m整除的充要条件是m是n的因子。

这个方法利用了因子的概念。

因子是指一个数能够整除另一个数的整数。

例如，对于一个数21，它的因子有1、3、7、21，这些数都能够整除21，所以21能够被1、3、7、21整除。

如果一个数是另一个数的因子，那么这个数就能被另一个数整除。

最后，整除的位数判断法是指一个整数n是否能够被一个整数m整除的充要条件是n的位数能够被m的位数整除。

这个方法利用了位数的概念。

位数是指一个数的十进制表示中，不含小数点的位数。

例如，对于一个数5678，它的位数是4，而另一个数28的位数是2，4能够被2整除，所以5678能够被28整除。

数的整除一、解答题（共15小题，满分0分）1．判断能否被3，7，11，13整除．2．试说明形式的6位数一定能被11整除．3．在1998后面添上两个数字构成一个六位数，它能够同时被7和8整除，所添的两个数字是多少？4．求被179整除的最小和最大的四位数．5．一个五位数减去其各位数字之和后变为，则x是多少？6．首位数字是9，各位上的数字互不相同的7位数中，能被6整除最小数是多少？？7．养殖专业户郝大爷共养鸡鸭810只，卖出鸡只数的，鸭只数的75%，剩下鸡鸭只数相同，求原来鸡鸭各养了多少只？8．五个三位数，前四个数分别是123、345、567、789．已知五个数的平均数是9的倍数，第5个数最大是多少？9．五个数之和是308．这五个数分别被2、3、5、7、11整除，且商相同，求这五个数．10．一个数乘以91后乘积的后三位是193，这个数最小是多少？11．一个各位数字全是1的自然数能被33333整除，问这个数最小是多少？12．某六位数能被17和19整除，求．13．五位数能被36整除，求这样的五位数．14．是105的倍数，求．15．给你一个六位数：（1）试求出所有这样的x、y的组合，使该六位数能被9整除；（2）根据（1）的结果说明该六位数一定不能被72整除；（3）试求出所有这样的x、y的组合，使该六位数能被24整除；（4）试求出所有这样的x、y的组合，使该六位数能被55整除；（5）试求出所有这样的x、y的组合，使该六位数能被91整除．数的整除参考答案与试题解析一、解答题（共15小题，满分0分）1．判断能否被3，7，11，13整除． 考点：数的整除特征．专题：整除性问题．分析： 首先判定能否被3整除，因为能同时被7、11、13整除的最小数为1001，把这个数写成1001×98666+766，探讨766能否被7，11，13整除即可．解答： 解：因为9+8+7+6+5+4+3+2=44，不能被3整除；因为98765432=1001×98666+766，766不能被7整除；766不能被11整除；766不能被13整除；所以不能被3，7，11，13整除．点评： 掌握能被3，7，11，13整除数的特征是解决问题的关键，注意问题的灵活处理．2．试说明形式的6位数一定能被11整除．考点：数的整除特征．专题：整除性问题．分析：根据被11整除数的特征：把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数（包括0），那么，原来这个数就一定能被11整除．由此说明即可．解答：解：=100010010=1001c=1001×（10010）因为11能整除1001，所以形式的6位数一定能被11整除．点评：此题考查数的整除特征，掌握被11能出数的特征是解决问题的根本．3．在1998后面添上两个数字构成一个六位数，它能够同时被7和8整除，所添的两个数字是多少？考点：数的整除特征．专题：整除性问题．分析： 不妨设，添加的两个数字为，则8能被8整除，则可以是00，08，16，24，32，40，48，56，64，72，80，88，96；且7能整除1998，也就是整除3，相当于整除20，进一步验证得出答案即可． 解答： 解：设添加的两个数字为，8能整除1998，则可以为：00，08，16，24，32，40，48，56，64，72，80，88，96；7能整除199828542×7+6，也就是7能整除6，经过验证可知，08，64．所以所添的两个数字是08或64．点评： 此题考查能被7，8整除的数的特征，解答此题还要有较强的分析推理能力．4．求被179整除的最小和最大的四位数．考点：数的整除特征．专题：整除性问题．分析： 先求出1000÷179的商，该商+1后，与179相乘的积即为所求的被179整除的最小四位数；先求出9999÷179的商，然后用商与179相乘的积即为所求的被179整除的最大四位数．解解：1000÷179=5…105，答：179×（5+1）=179×6=1074．9999÷179=55…154，179×55=9845；答：被179整除的最小的四位数是1074，最大的四位数是9845．点评：此题考查了数的整除特征，明确倍数的求法，是解答此题的关键．5．一个五位数减去其各位数字之和后变为，则x是多少？考点：数字问题．专题：数性的判断专题．分析：五位数与各位数字和的差为7，已知万位为7，那么47应是9的倍数，进一步解决问题．解答：解：设原来的三位数是，由题意得：110﹣（）=7，99999999997，因此，五位数减去各们数字之和一定是9的倍数，可得47=9（或18，或27，36）经验证，只有47=27符合题意，因此5点评：设原来的三位数是，五位数减去各们数字之和一定是9的倍数，然后通过验证推出结果．6．首位数字是9，各位上的数字互不相同的7位数中，能被6整除最小数是多少？？考点：数的整除特征．专题：整除性问题．分析：首位数字确定，要使最小，不妨设为901234x，x是偶数，且9+1+2+3+418+（1）要能被3整除，求得2或8，最小且不重复就是8．解答：解：要使最小，不妨设为901234x，x是偶数，则9+1+2+3+418+（1）需能被3整除，则2或8，2与前面的数字重复，所以x取8．所以能被6整除最小数是9012348．点评：此题考查被一个数整除的数的特征，掌握被2或3整除数的特征是解决问题的关键．7．养殖专业户郝大爷共养鸡鸭810只，卖出鸡只数的，鸭只数的75%，剩下鸡鸭只数相同，求原来鸡鸭各养了多少只？考点：分数和百分数应用题（多重条件）．专题：分数百分数应用专题．分析： 根据“卖出鸡只数的，鸭只数的75%，剩下鸡鸭只数相同”，可知鸡×（1﹣80%）=鸭×（1﹣75%），所以鸡：鸭=（1﹣75%）：（1﹣80%）=5：4．那么鸡有810÷（5+4）×5=450（只），进而求出鸭的只数．解答： 解：（1﹣75%）：（1﹣80%）=5：4鸡有：810÷（5+4）×5=810÷9×5=450（只）鸭有：810﹣450=360（只）答：原来鸡养了450只，鸭养了360只．点评：此题先求出鸡鸭只数的比，是解答此题的关键．8．五个三位数，前四个数分别是123、345、567、789．已知五个数的平均数是9的倍数，第5个数最大是多少？考点：平均数问题；整除性质．专题：平均数问题；整除性问题．分析：123+345+567+789=1824，根据题意“已知五个数的平均数是9的倍数”所以得出这五个三位数的能既能被5整除，又能被9整除，因为能被5整除，所以个位数是0或5，因为求这个五位数最大是900多，1824+900=2724，因为这5个三位数的和能被9整除，所以各个数位上数的和能被9整除，然后分析当这五个数的和的个位是0或5时，要求的数的大小，然后进行比较，进而得出结论．解答：解：123+345+567+789=1824，因为能被5整除，所以个位数是0或5，因为求这个五位数最大是900多，1824+900=2724因为这5个三位数的和能被9整除，所以各个数位上数的和能被9整除，当个位是0时，2+7+9+0=18，能被9整除，所以这个数的和是2790，则要求的数为：2790﹣1824=966；当个位是5时，2+7+4+5=18，能被9整除，所以这个数的和是2745，则要求的数为：2745﹣1824=921；因为921＜966所以要求的三位是最大是966．答：第5个数最大是966．点评： 此题考查了数的整除特征，明确能被5和9整除的数的特征，是解答此题的关键．9．五个数之和是308．这五个数分别被2、3、5、7、11整除，且商相同，求这五个数． 考点：整除性质．专题：整除性问题．分析： 先求出2、3、5、7、11的和，然后用308除以这五个数的和，求出商，然后用商分别乘2、3、5、7、11，即可求出这五个数．解答：解：2+3+5+7+11=28，308÷28=11，所以这五个数分别是：2×11=22，3×11=33，5×11=55，7×11=77，11×11=121；答：这五个数分别是22，33，55，77，121．点评： 求出2+3+5+7+11的和，然后用308除以28，求出商，是解答此题的关键．10．一个数乘以91后乘积的后三位是193，这个数最小是多少？考点：最大与最小．专题：整除性问题．分析：因为是193，3只能和1×3才出3．所以这个数的最后一个数是3，又3×90=270，十位90﹣70=20，则这个数的十应是2，即后两位是23，91×23=2093，百位还差1，只要找个数与1相乘得1相乘得1就可以了，1与1相乘得了，则这个数最小是123，即123×91=11193．解答：解：由于1×3=3，则这个数个位是3，3×90=270，十位90﹣70=20，1×20=20，则这个数的十应是2，即后两位是23，91×23=2093，百位还差1，1与1相乘得1，则这个数最小是123，即123×91=11193．答：这个数最小是123．点评：首先根据题意确定这个数的个位是3，然后逐步进行推理是完成本题的关键．11．一个各位数字全是1的自然数能被33333整除，问这个数最小是多少？考点：整除性质．专题：整除性问题．分析：先把33333分解质因数：33333=3×11111，能被33333整除，那么所有的1加起来能被3整除，所以可能有6，9，12，15个1；但是33333是5位数，很明显6个、9个、12个都不能整除，位数不合适，只能是15个．也就是111111*********÷33333=3333366667；由此解答即可．解答：解：能被33333整除，那么所有的1加起来能被3整除，所以可能有6，9，12，15个1；但是33333是5位数，很明显6个、9个、12个都不能整除，位数不合适，只能是15个，即这个数最小是111111*********；答：这个数最小是111111*********．点评：明确能被3和11111整除的数的特征，是解答此题的关键．12．某六位数能被17和19整除，求．考点：整除性质；位值原则．题：分析： 根据六位数2322能被17和19整除，得出这个六位数能被17×19=323整除，再假设出这个六位数最大值与最小值，进而得出它们商的取值范围，进而得出符合要求的答案．解答： 解：因为六位数2322能被17和19整除，所以这个六位数能被17×19=323整除，这个数最小为230022，故230022÷323=712..46，这个数最大为239922，故239922÷323=742…256，因为23□□22能被323整除，商一定为3位数，且个位数一定为4，符合要求的只有714，724，734．故试一下323×714=230622，323×724=233852，323×734=237082， 只有323×714=230622符合要求，故原数为：230622；答：06．点评： 此题主要考查了数的整除性，根据已知得出23□□22除以323商的取值范围以及个位数的特点是解题关键．13．五位数能被36整除，求这样的五位数．考点：整除性质；位值原则．题：分析： 36=4×9，能被36整除，就要能同时被4和9整除，能被4整除的数：后两位能被4整除；能被9整除的数：各位数字的和能被9整除；由此可知：y 可能是2或6，如果2，则28+9+2能被9整除，6；如果6，则28+9+6能被9整除，2；由此即可求出这个五位数．解答： 解：36=4×9，能被36整除，就要能同时被4和9整除， 能被4整除的数：后两位能被4整除；能被9整除的数：各位数字的和能被9整除；由此可知：y 可能是2或6，如果2，则28+9+2能被9整除，6；如果6，则28+9+6能被9整除，2；所以这个五位数是26892或22896．答：这个五位数是26892或22896．点评：明确能被4和9整除的数的特征，是解答此题的关键．14．是105的倍数，求． 考点：数的整除特征．专整除性问题．题：分析：首先105=3×5×7，能被3整除则2+7能被3整除，能被5整除，则末尾是0或5，进一步验证是否能被7整除得出答案即可．解答：解：因为105=3×5×7，则2+7能被3整除，能被5整除，则末尾是0或5，当0时，2+70能被3整除，则0，3，6，9；当5时，2+75能被3整除，则1，4，7；则能被7整除的只有200760．所以6，0．点评：此题考查被一个数整除的数的特征，掌握被3、5、7整除数的特征是解决问题的关键．15．给你一个六位数：（1）试求出所有这样的x、y的组合，使该六位数能被9整除；（2）根据（1）的结果说明该六位数一定不能被72整除；（3）试求出所有这样的x、y的组合，使该六位数能被24整除；（4）试求出所有这样的x、y的组合，使该六位数能被55整除；（5）试求出所有这样的x、y的组合，使该六位数能被91整除．考点：整除性质；位值原则．专题：整除性问题．分析：（1）由已知要求需（8+7+3+2）能被9整除，即2能被9整除，且0≤x，y＜10，由此列举即可；（2）验证（1）中的11组结果，容易得到没有结果符合条件；（3）欲使该6位数被24整除，则首先必须是偶数，且2能被3整除，即要求2能被6整除，这样的组合只可能如下（0，6）（1，4）（2，2）（3，0）（2，8）（3，6）（4，4）（5，2）（6，0）（5，8）（6，6）（7，4）（8，2）（9，0）（8，8）（9，6），又要求该六位数能被8整除，即要求3被8整除，这样可以得到（2，8），（3，6），（4，4），（5，2）（6，0）几个组合；（4）为使能整除55，首先y只可能是0或者5，其次偶数位减奇数位整除11．因此即2x﹣y﹣2能被11整除，这样组合仅有（9，5）一组；（5）为使能整除91，则要求87x﹣3能被91整除，则8751，31027，即要求51=1027，由此得出（x，y）=（2，6）．解答：解：（1）由已知要求需（8+7+3+2）能被9整除，即2能被9整除，且0≤x，y＜10，因此（x，y）只能是如下组合（0，9）、（1，7）、（2，5）、（3，3）、（4，1）、（5，8）、（6，6）、（7，4）、（8，2）、（9，9）；（2）验证（1）中的11组结果，容易得到没有结果符合条件；（3）欲使该6位数被24整除，则首先必须是偶数，且2能被3整除，即要求2能被6整除，这样的组合只可能如下（0，6）（1，4）（2，2）（3，0）（2，8）（3，6）（4，4）（5，2）（6，0）（5，8）（6，6）（7，4）（8，2）（9，0）（8，8）（9，6），又要求该六位数能被8整除，即要求3被8整除，这样可以得到只有（2，8），（3，6），（4，4），（5，2）（6，0）；（4）为使能整除55，首先y只可能是0或者5，其次偶数位减奇数位整除11．因此即2x﹣y﹣2能被11整除，这样组合仅有（9，5）一组；（5）为使能整除91，则要求87x﹣3能被91整除，则8751，31027，即要求51=1027，由此得出（x，y）=（2，6）．点评：此题考查了整除的性质，明确能被9整除及能被11整除的特征，是解答此题的关键．。

小学生数的整除、流水行船奥数练习题及答案1.小学生数的整除奥数练习题及答案篇1有这样的两位数，它的两个数字之和能被4整除，而且比这个两位数大1的数，它的两个数字之和也能被4整除．所有这样的两位数的和是（）。

分析：据题意可知，符合条件的两位数的两个数字之和能被4整除，而且比这个两位数大1的数，它的两个数字之和也能被4整除，如果十位数不变，则个位增加1，其和便不能整除4，因此个位数一定是9，在所有的两位数中，符合条件两位数有：39、79。

所以，所求的和是39+79=118．解答：根据题意可知，如果两位十位数不变，则个位增加1，其和便不能整除4，因此个位数一定是9，加1后，十位数也相应改变；在所有的两位数中，符合条件两位数有：39、79。

所以，所求的和是39+79= 118故答案为：1182.小学生数的整除奥数练习题及答案篇2从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行，从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的留下，其余同学出列；留下的同学第三次从左向右1至11报数，报到11的同学留下，其余同学出列，那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是（）号。

考点：整除问题。

分析：第一次报数留下的同学，最初编号都是11的倍数；这些留下的继续报数，那么再留下的学生最初编号就是11×11=121的倍数，依次类推即可得出最后留下的学生的最初编号。

解：第一次报数后留下的'同学最初编号都是11倍数；第二次报数后留下的同学最初编号都是121的倍数；第三次报数后留下的同学最初编号都是1331的倍数；所以最后留下的只有一位同学，他的最初编号是1331；答：从左边数第一个人的最初编号是1331号。

3.小学生数的整除奥数练习题及答案篇3如果多位数能被7整除，那么○内的数字是（）。

考点：数的整除特征。

分析：通过计算可知，222222即6个2刚好被7整除，999999即6个9也刚好被7整除，20xx÷6=334…5。

1. 了解整除的性质；2. 运用整除的性质解题；3. 整除性质的综合运用.一、常见数字的整除判定方法 1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.5.如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数。

【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）二、整除性质知识点拨教学目标5-2-2.数的整除之四大判断法综合运用（二）性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a．用同样的方法，我们还可以得出：性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a．性质4如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除．如果b｜a，且d｜c，那么bd｜ac；例题精讲模块一、11系列【例 1】以多位数142857为例，说明被11整除的另一规律就是看奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能否被11整除.【考点】整除之11系列【难度】2星【题型】解答【解析】略【答案】142857110000041000021000810051071=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯()()()()()=⨯-+⨯++⨯-+⨯++⨯-+⨯110000114199992100118199511171()()11000014999921001899511418275=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+-+-+-因为根据整除性质1和铺垫知，等式右边第一个括号内的数能被11整除，再根据整除性质1，要判断142857能否被11整除，只需判断418275487125-+-+-=++-++()()能否被11整除，因此结论得到说明.【例 2】试说明一个4位数，原序数与反序数的和一定是11的倍数(如：1236为原序数，那么它对应的反序数为6321，它们的和7557是11的倍数．【考点】整除之11系列【难度】2星【题型】解答【解析】略【答案】设原序数为abcd，则反序数为dcba，则abcd ＋dcba 100010010100010010a b c d d c b a =+++++++()()10011101101001a b c d =+++1191101091a b c d =+++()，因为等式的右边能被11整除，所以abcd + dcba 能被11整除【例 3】 一个4位数，把它的千位数字移到右端构成一个新的4位数.已知这两个4位数的和是以下5个数的一个：①9865；②9866；③9867；④9868；⑤9869.这两个4位数的和到底是多少?【考点】整除之11系列 【难度】2星 【题型】解答【解析】 设这个4位数是abcd ，则新的4位数是bcda .两个数的和为1001110011011abcd bcda a b c d +=+++,是11的倍数.在所给的5个数中只有9867是11的倍数，故正确的答案为9867．【答案】9867模块二、7、11、13系列【例 4】 以多位数142857314275为例，说明被7、11、13整除的规律.【考点】整除之7、11、13系列 【难度】3星 【题型】解答【解析】 略【答案】142857314275142100000000085710000003141000275=⨯+⨯+⨯+142(10000000011)857(9999991)314(10011)275=⨯-+⨯++⨯-+ 14210000000011428579999998573141001314275=⨯-+⨯++⨯-+(14210000000018579999993141001)(8575314)=⨯+⨯+⨯+-+- 因为根据整除性质1和铺垫知，等式右边第一个括号内的数能被7、11、13整除，再根据整除性质1，要判断142857314275能否被7、11、13整除，只需判断857142275314-+-能否被7、11、13整除，因此结论得到说明.【例 5】 已知道六位数20279□是13的倍数，求□中的数字是几？【考点】整除之7、11、13系列 【难度】2星 【题型】填空【解析】 根据一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除的特点知道：27920=7-□□，7□是13的倍数，□是8的时候是13倍数，所以知道方格中填1。

数的整除之四大方法综合应用一、整除的定义：当两个整数a和b(b≠0)，a被b除的余数为零时(商为整数)，则称a被b整除或b整除a，也把a叫做b的倍数，b叫a的约数，记作b|a，二、数的整除性质：⑴对称性：若甲数能被乙数整除，乙数也能被甲数整除，那么甲、乙两数相等。

记作：a|b，b|a，则a＝b。

⑵传递性：若甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。

记作：若a|b，b|c，则a|c。

⑶若两个数能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能该自然数整除。

记作：若a|b，a|c，则a|(b－c)。

⑷若a|b，m≠0，则am|bm。

⑸若am|bm，m≠0，则a|b。

三、整除特征⑴1与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a。

0是任何非零整数的倍数，a≠0，a为整数，则a|0。

⑵看末位若一个整数的末位能被2和5，则这个数能被2和5整除。

若一个整数的末尾两位数能被4和25整除，则这个数能被4和25整除。

若一个整数的未尾三位数能被8和125整除，则这个数能被8和125整除。

⑶看数字和若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。

若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。

⑷看奇数位与偶数位的差若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。

⑸后三位截断法若一个数的末尾三位与前面其余数位的差分别是7、11或13整除，则这个数能被7、11、13整除求满足下面各小题条件的a ：⑴5|12a a⑵9|10a a求满足下面各小题条件的整数a ：⑴8|1234a a a a a⑵9|1234a a a a a⑶11|1234a a a a a62□是一个三位数，在□中依次填入一个数字，使所组成的三位数，能被6整除，这个数是_____。

(2008年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛五年级决赛)731□是一个四位数，在□中依次填入三个数字，使所组成的三个四位数，依次能被9、11、6整除，这三个数之和是_____。

奥数题解析“数的整除”解题方法本文将要教各位同学小学奥数题目中“数的整除”这一问题的解析思路和技巧，提供给各位同学学习。

把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除.例如:判断491678能不能被11整除.—→奇位数字的和9+6+8=23—→偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11因此,491678能被11整除.这种方法叫"奇偶位差法".除上述方法外,还可以用割减法进行判断.即:从一个数里减去11的10倍,20倍,30倍……到余下一个100以内的数为止.如果余数能被11整除,那么,原来这个数就一定能被11整除.又如:判断583能不能被11整除.用583减去11的50倍(583-11×50=33)余数是33, 33能被11整除,583也一定能被11整除.11与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.2若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。

3若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。

4若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。

5若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。

6若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。

7若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。

如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的.过程，直到能清楚判断为止。

例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13-3×2=7，所以133是7的倍数;又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613-9×2=595 ， 59-5×2=49，所以6139是7的倍数，余类推。

8若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。

【导语】奥数是奥林匹克数学竞赛的简称。

1934年—1935年，前苏联开始在列宁格勒和莫斯科举办中学数学竞赛，并冠以数学奥林匹克竞赛的名称，1959年在布加勒斯特举办第xx届国际数学奥林匹克竞赛。

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1.⼩学奥数数的整除问题题⽬及答案 （1）2673135 （2）8990615496 【解题】（1）2673135=2，673，135，2+673+135=810。

因为810能被27整除，不能被37整除，所以2673135能被27整除，不能被37整除。

（2）8990615496=8，990，615，496，8+990+615+496=2，109。

　2.⼩学奥数数的整除问题题⽬及答案 从左向右编号为1⾄1991号的1991名同学排成⼀⾏，从左向右1⾄11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1⾄11报数，报数为11的'留下，其余同学出列；留下的同学第三次从左向右1⾄11报数，报到11的同学留下，其余同学出列，那么最后留下的同学中，从左边数第⼀个⼈的最初编号是（）号。

考点：整除问题。

分析：第⼀次报数留下的同学，最初编号都是11的倍数；这些留下的继续报数，那么再留下的学⽣最初编号就是11×11=121的倍数，依次类推即可得出最后留下的学⽣的最初编号． 解：第⼀次报数后留下的同学最初编号都是11倍数； 第⼆次报数后留下的同学最初编号都是121的倍数； 第三次报数后留下的同学最初编号都是1331的倍数； 所以最后留下的只有⼀位同学，他的最初编号是1331； 答：从左边数第⼀个⼈的最初编号是1331号。

3.⼩学奥数数的整除问题题⽬及答案 试问，能否将由1⾄100这100个⾃然数排列在圆周上，使得在任何5个相连的数中，都⾄少有两个数可被3整除？如果回答：“可以”，则只要举出⼀种排法；如果回答：“不能”，则需给出说明。

奥数题解析“数的整除”解题方法奥数题解析“数的整除”解题方法本文将要教各位同学小学奥数题目中“数的整除”这一问题的解析思路和技巧，提供给各位同学学习。

把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除.例如:判断491678能不能被11整除.—→奇位数字的和9+6+8=23—→偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11因此,491678能被11整除.这种方法叫"奇偶位差法".除上述方法外,还可以用割减法进行判断.即:从一个数里减去11的10倍,20倍,30倍……到余下一个100以内的数为止.如果余数能被11整除,那么,原来这个数就一定能被11整除.又如:判断583能不能被11整除.用583减去11的50倍(583-11×50=33)余数是33, 33能被11整除,583也一定能被11整除.11与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.2若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。

3若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。

4若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。

5若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。

6若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。

7若一个整数的个位数字截去，再从余下的.数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。

如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13-3×2=7，所以133是7的倍数;又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613-9×2=595 ， 59-5×2=49，所以6139是7的倍数，余类推。

小学五年级奥数：数的整除知识点汇总+例题解析.DOC数的整除问题,内容丰富,思维技巧性强。

它是小学数学中的重要课题,也是小学数学竞赛命题的内容之一。

一、基本概念和知识1.整除——约数和倍数例如：15÷3=5,63÷7=9一般地,如a、b、c为整数,b≠0,且a÷b=c,即整数a除以整除b（b不等于0）,除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0）,我们就说,a能被b整除（或者说b 能整除a）。

记作b｜a.否则,称为a不能被b整除,（或b不能整除a）,记作ba。

如果整数a能被整数b整除,a就叫做b的倍数,b就叫做a的约数。

例如：在上面算式中,15是3的倍数,3是15的约数;63是7的倍数,7是63的约数。

2.数的整除性质性质1：如果a、b都能被c整除,那么它们的和与差也能被c整除。

即：如果c｜a,c｜b,那么c｜（a±b）。

例如：如果2｜10,2｜6,那么2｜（10＋6）,并且2｜（10—6）。

性质2：如果b与c的积能整除a,那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a,那么b｜a,c｜a。

性质3：如果b、c都能整除a,且b和c互质,那么b与c的积能整除a。

即：如果b｜a,c｜a,且（b,c）=1,那么bc｜a。

例如：如果2｜28,7｜28,且（2,7）=1,那么（2×7）｜28。

性质4：如果c能整除b,b能整除a,那么c能整除a。

即：如果c｜b,b｜a,那么c｜a。

例如：如果3｜9,9｜27,那么3｜27。

3.数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面,个位数字是偶数（包括0）的整数,必能被2整除;另一方面,能被2整除的数,其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。

②能被5整除的数的特征：个位是0或5。

③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。

④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。

千里之行，始于足下。

数的整除之四大判断法综合运用数的整除之四大判断法2系列：被2整除只需看末位能否被2整除被4整除只需看末两位能否被4整除被8整除只需看末三位能否被8整除，依此类推5系列：被5整除只需看末位是否为0或5被25整除只需看末两位能否被25整除，即只可能是00，25，50，75被125整除只需看末三位能否被125整除，即只可能是000，125，250…3系列：被3整除只需看各位数字之和能否被3整除被9整除只需看各位数字之和能否被9整除判断7、11、13整除特征的主意⑴倘若该数是1001的倍数，则必然能被7、11、13整除；⑵末三位一段，用前面的数减去末三位或末三位减去前面的数，倘若差是7或11或13的倍数，这个数也能被7或11或13整除；⑶从末三位开始，三位为一段，倘若奇数段数之和与偶数段数之和的差能被7或11或13整除，则该数也能被7或11或13整除。

异常的11：奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能否被11整除。

【例 1】将天然数N接写在随意一个天然数的右面，倘若得到的新整数能被N整除，那么称N为“魔术数”。

问小于1996的天然数中有多少个魔术数？第 1 页/共 3 页朽木易折，金石可镂。

【例 2】用1，9，8，8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数？【例 3】在六位数ABCDEF中，不同的字母表示不同的数字，且满意A，AB，ABC，ABCD，ABCDE，ABCDEF依次能被2，3，5，7，11，13整除。

则ABCDEF的最小值是，最大值是。

〖答案〗【例 1】14个【例 2】共有4种可能的排法：1988，1889，8918，8819千里之行，始于足下。

【例 3】210769，840736第 3 页/共 3 页。

---数的整除之四大判断法综合运用(一）.教师版————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：ﻩ5-2-1.数的整除之四大判断法综合运用（一）教学目标1.了解整除的性质;2.运用整除的性质解题；3.整除性质的综合运用.知识点拨一、常见数字的整除判定方法1.一个数的末位能被２或5整除,这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被４或2５整除,这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或１25整除，这个数就能被８或1２5整除;2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被９整除，这个数就能被９整除；３．如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被1１整除，那么这个数能被１1整除．4．如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、1１或1３整除，那么这个数能被7、11或13整除.5.如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数(如果有偶数位则拆出的数都有两个数字,如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数)的和是9９的倍数,这个数一定是9９的倍数。

【备注】（以上规律仅在十进制数中成立．)二、整除性质性质1如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除.即如果c︱ａ, c︱ｂ，那么c︱(a±b)．性质2 如果数ａ能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被ｃ整除．即如果ｂ∣a,c∣b，那么c∣a．用同样的方法，我们还可以得出:性质3如果数ａ能被数b与数ｃ的积整除，那么ａ也能被ｂ或ｃ整除.即如果bｃ∣a，那么b∣a，c∣a.性质4如果数ａ能被数b整除,也能被数c整除，且数b和数c互质,那么a一定能被ｂ与c的乘积整除.即如果ｂ∣ａ，c∣ａ,且（b，c)=1,那么bc∣a．例如:如果3∣１2,4∣12,且(3,4)=1，那么（３×4) ∣1２．性质5 如果数a能被数b整除，那么ａm也能被bm整除.如果b|a,那么bｍ|am(m为非0整数)；性质6如果数a能被数ｂ整除,且数c能被数d整除,那么aｃ也能被bd整除．如果ｂ｜a，且ｄ|c，那么ｂd｜aｃ;例题精讲模块一、2、5系列【例 1】975935972⨯⨯⨯□,要使这个连乘积的最后４个数字都是０,那么在方框内最小应填什么数？【考点】整除之2、5系列【难度】2星【题型】填空【解析】积的最后4个数字都是0,说明乘数里至少有4个因数2和4个因数5.9755539=⨯，=⨯⨯,9355187 97222243=⨯⨯,共有3个5,２个2，所以方框内至少是22520⨯⨯=．【答案】22520⨯⨯=【例 2】从５0到100的这５1个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0?【考点】整除之２、5系列【难度】4星【题型】解答【解析】首先，50、60、7０、80、９０、100中共有７个0．其次，55、6５、85、95和任意偶数相乘都可以产生一个0,而75乘以偶数可以产生2个0，50中的因数5乘以偶数又可以产生1个0,所以一共有742114+++=个0．【答案】14个连续的0【例 3】把若干个自然数1、2、3、……连乘到一起,如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少?【考点】整除之2、５系列【难度】4星【题型】解答【解析】乘积末尾的零的个数是由乘数中因数2和5的个数决定的，有一对２和5乘积末尾就有一个零．由于相邻两个自然数中必定有一个是2的倍数,而相邻5个数中才有一个５的倍数，所以我们只要观察因数5的个数就可以了．551=⨯，……,=⨯，3056=⨯，1553=⨯，2555=⨯，2054=⨯,1052发现只有25、50、75、10０、……这样的数中才会出现多个因数5，乘到55时共出现11213+=个因数5，所以至少应当写到55。

数的整除（1）性质、特征、奇偶性【知识要点】：整除性质：（1）如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差（a－b）也能被c整除。

（2）如果数a能被自然数b整除，自然数b能被自然数c整除，则数a必能被数c整除。

（3）若干个数相乘，如其中有一个因数能被某一个数整除，那么，它们的积也能被这个数整除。

（4）如果一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么，这个数能被这两个互质数的积整除。

反之，若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数能分别被这两个互质数整除。

整除特征：（1）若一个数的末两位数能被4（或25）整除，则这个数能被4（或25）整除。

（2）若一个数的末三位数能被8（或125）整除，则这个数能被8（或125）整除。

（3）若一个数的各位数字之和能被3（或9）整除，则这个数能被3（或9）整除。

（4）若一个数的奇数位数字和与偶数数字和之差（以大减小）能被11整除，则这个数能被11整除。

（5）若一个数的末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被7（或13）整除，则这个数能被7（或13）整除。

奇偶性：（1）奇数±奇数=偶数（2）偶数±偶数=偶数（3）奇数±偶数=奇数（4）奇数×奇数=奇数（5）偶数×偶数=偶数（6）奇数×偶数=偶数（7）奇数÷奇数=奇数（8）…【典型例题】例1：一个三位数能被3整除，去掉它的末尾数后，所得的两位数是17的倍数，这样的三位数中，最大是几？例2：1～200这200个自然数中，能被6或8整除的数共有多少个？例3：任意取出1998个连续自然数，它们的总和是奇数还是偶数？例4：有“1”，“2”，“3”，“4”四卡片，每次取出三组成三位数，其中偶数有多少个？【精英班】【竞赛班】例6：某市举办小学生数学竞赛，共20道题，评分标准是：答对一题给5分，不答一题给1分，答错一题倒扣1分，如果1999人参赛，问参赛同学的总分是奇数还是偶数？【课后分层练习】A组：入门级1、判断306371能否被7整除？能否被13整除？2、abcabc能否被7、11和13整除?3、六位数7E36F5 是1375的倍数，求这个六位数。

一、基本观点和知识1.整除比如： 15 ÷3=5 ， 63 ÷7=9一般地，如 a 、 b 、 c 为整数， b ≠0 ，且 a ÷b=c ，即整数 a 除以整除 b （ b 不等于 0 ），除得的商 c 正好是整数而没有余数（或许说余数是0 ），我们就说， a 能被 b 整除（或者说 b 能整除 a ）7是63 的约数。

2.数的整除性质性质 1 ：假如 a 、 b 都能被 c 整除，那么它们的和与差也能被 c 整除。

比如：假如2｜10 ，2｜6，那么 2｜（ 10 ＋6），而且2｜（ 10—6）。

性质 2 ：如果 b 与 c 的积能整除 a ，那么 b 与 c 都能整除 a.即：假如 bc ｜ a ，那么 b ｜ a ， c｜ a 。

性质 3 ：如果 b 、 c 都能整除 a ，且 b 和 c 互质，那么 b 与 c 的积能整除 a 。

即：假如 b ｜ a ， c ｜ a ，且（ b ， c ） =1 ，那么 bc ｜ a 。

比如：假如 2｜28 ，7｜28，且（ 2，7）=1,那么（ 2×7）｜28 。

性质 4 ：如果 c 能整除 b ， b 能整除 a ，那么 c 能整除 a 。

即：假如 c ｜ b ， b ｜ a ，那么 c ｜ a 。

比如：假如 3｜9，9｜27，那么 3｜27。

3.数的整除特征①能被 2 整除的数的特点：个位数字是 0、2、4、6、8 的整数.②能被 3（或 9）整除的数的特点：各个数位数字之和能被 3（或 9）整除。

③能被 4（或 25 ）整除的数的特征：末两位数能被 4（或 25 ）整除。

④能被 5整除的数的特点：个位是0或5。

⑤能被8（或125）整除的数的特点：末三位数能被8（或125）整除。

⑥能被11整除的数的特点：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是0或 11 的倍数。

⑦能被7（11或13）整除的数的特点：一个整数的末三位数与末三位从前的数字所构成的数之差（以大减小）能被 7（11 或 13 ）整除。

小学奥数题解析：数的整除把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除.例如：判断491678能不能被11整除.—→奇位数字的和9+6+8=23—→偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11所以,491678能被11整除.这种方法叫"奇偶位差法".除上述方法外,还能够用割减法实行判断.即：从一个数里减去11的10倍,20倍,30倍……到余下一个100以内的数为止.如果余数能被11整除,那么,原来这个数就一定能被11整除.又如：判断583能不能被11整除.用583减去11的50倍(583-11×50=33)余数是33, 33能被11整除,583也一定能被11整除.（1）1与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.（2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。

（3）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。

(4) 若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。

（5）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。

（6）若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。

（7）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。

如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。

（8）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。

（9）若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。