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原名《变分及有限元素法原理》教案现在用名《计算固体力学》讲义参考书1．诸德超. 升阶谱有限元素法.国防工业出版社；2．胡海昌. 弹性力学的变分原理及其应用.科学出版社，1981。
3．冯康. 弹性结构的数学理论.科学出版社，1987。
4．胡海昌. 变分法；教授本课程的基本思想：回答如下问题“计算”主要体现在有限元离散数值方法上。
为了讲清楚和帮助学生理解如何才能高精度、高效和可靠地得到所需要的数值结果，需要如下知识：有限元方法的理论基础是什么？如何进行有限元离散？（精度和效率）如何构造的单元以及单元的性能（收敛性）是什么？（精度和效率）有限元的计算结果与精确解和试验结果的关系是什么？（精度）有限元静动力平衡方程是如何求解的（差分及各种各样的求解方法）？（精度和效率）如何保证有限元结果向正确解收敛？（精度和效率）为何有限元得到如此普遍的应用？（商用软件的开发和能够求解问题的广泛性）有限元适合求解什么样的问题？（适用性和可靠性）总的思路：基本原理（变分原理和各种工程理论）――单元及性能（低阶、高阶及非协调）――离散平衡方程的求解――结果的特征分析变分原理包括：最小势能原理，Rayleigh商和Hamilton变分原理；工程理论：杆、梁（Euler和Timoshenko）、板（Kirchhof和Midlin）理论和平面理论。
单元的阶次：基本单元，高阶单元，升阶谱单元单元的协调性：杆、梁和平面单元是协调的，但板单元基本是不协调的。
离散平衡方程的求解：各种差分方法和算法（保结构和不保结构，人工阻尼现象）结果的特性：协调单元的结果，非协调单元的结果第1讲强调变分原理的数学和物理含义；强调变分原理的运算法则；强调变分原理与弹性力学的等价性。
要求同学熟练掌握最小势能原理、Hamilton变分原理与Rayleigh商。
一、引言1．解决实际问题的基本步骤图1.1 实际问题的分析步骤2．力学体系为了建立力学模型，首先应该知道基本的力学体系。
计算固体力学由于工程设计的巨大市场需要，有限元软件的发展是非常迅速。
利用有限元软件解决工程和科学计算问题成为有限元理论应用于工程设计和科学研究实践的主要形式。
从解决单一学科的结构分析软件发展到解决多学科的多功能综合分析软件。
其集成化、智能化、可视化和网络化的功能越来越强，成为工程技术人员和科研工作者的必备工具软件。
目前，我国引进的大型有限元软件常见的有SAP系列，ADINA,MSC/NASTRAN,MSC Marc, ANSYS,ASKA等。
这些有限元软件设计者提供了丰富的单元库和求解器，强大而可靠的分析功能，且很多已移植到WINDOWS环境，完全的CAD 式操作方式和强大的前后处理功能，使分析工作变得轻松和容易。
以上软件开发中所依据的理论与假定是什么，如果我们光会用软件，那不是一名合格的设计师。
而究其本源，答案就在固体力学和它的发展上。
固体力学的发展历史固体力学理论的发展经历了四个阶段：基本概念形成的阶段；解决特殊问题的阶段；建立一般理论、原理、方法、数学方程的阶段；探讨复杂问题的阶段。
在这一时期，固体力学基本上是沿着研究弹性规律和研究塑性规律，这样两条平行的道路发展的，而弹性规律的研究开始较早。
弹性固体的力学理论是在实践的基础上于17世纪发展起来的。
英国的胡克于1678年提出：物体的变形与所受外载荷成正比，后称为胡克定律；瑞士的雅各布第一•伯努利在17世纪末提出关于弹性杆的挠度曲线的概念；而丹尼尔第一•伯努利于18世纪中期，首先导出棱柱杆侧向振动的微分方程；瑞士的欧拉于1744年建立了受压柱体失稳临界值的公式，又于1757年建立了柱体受压的微分方程，从而成为第一个研究稳定性问题的学者；法国的库仑在1773年提出了材料强度理论，他还在1784年研究了扭转问题并提出剪切的概念。
这些研究成果为深入研究弹性固体的力学理论奠定了基础。
法国的纳维于1820年研究了薄板弯曲问题，并于次年发表了弹性力学的基本方程；法国的柯西于1822年给出应力和应变的严格定义，并于次年导出矩形六面体微元的平衡微分方程。
固体力学
1.课程概述
22.张量分析基础
3.运动与变形
4.应力与平衡
55.固体材料的本构关系
6.弹性力学的基本理论
7.弹塑性力学问题88.固体力学专题
7.弹塑性力学问题
7.1 引言
7.2 经典弹塑性本构关系
72
7.3 Mises流动理论（J2流动理论）
7.4 Mises形变理论（J2形变理论）
7.5 Tresca流动理论（混合硬化）
75T
7.6 塑性力学基本假设
7.7 弹塑性力学问题的求解方法简介
7.8 弹塑性力学问题的简单实例
78
2
2
例题
例二
薄壁圆筒（两端封闭）受内压p作用，已知圆筒内径为r 、壁厚为t。
试求圆筒在进入塑性状态后筒壁的弹塑性应变值。
σθ
σ
z
l
2伸时的应力应变关系为：
⎧0=s
s E σσσεσσσ≤≤⎪⎪⎨
−σ12
σσs
σσ⎪+>⎪(,
)
s
σs
2伸时的应力应变关系为
伸时的应力应变关系为：σ
⎧'
0=s
s
s
E σσεσσσσσ≤≤⎪⎪⎨
−⎪+>σ12
σσE E
⎪⎩(,
)
s
σs。
固体力学1.课程概述22.张量分析基础3.运动与变形4.应力与平衡55.固体材料的本构关系6.弹性力学的基本理论7.弹塑性力学问题88.固体力学专题7.弹塑性力学问题7.1 引言7.2 经典弹塑性本构关系727.3 Mises流动理论（J2流动理论）7.4 Mises形变理论（J2形变理论）7.5 Tresca流动理论（混合硬化）75Tresca7.6 塑性力学基本假设7.7 弹塑性力学问题的求解方法简介7.8 弹塑性力学问题的简单实例782Mises形变理论(deformation theory of plasticity) Mises流动理论属于增量型理论，它所建立的是应力增Mi流动理论属于增量型理论它所建立的是应力增量（应力率）与变形增量（变形率）之间的关系。
本节的Mises形变理论则属于全量理论，它所建立的是直Mi形变理论则属于全量理论它所建立的是直接应力与变形本身之间的关系。
限于各向同性硬化情况讨论讨论。
关于比例加载的考虑…Hencky(1924)，不考虑弹性变形与强化；Nadai(1938)不考虑弹性变形但考虑强化Nadai(1938),不考虑弹性变形但考虑强化；Ilyushin(1943),考虑弹性变形与强化。
222 Mises形变理论屈服条件与加载准则条件与加载准则以单向拉伸的为例：2 Mises 形变理论形变论Mises 形变理论若材料处于卸载状态，它一定是若材料处于卸载状态，它定是由Mises 等效应力σeq 为历史上最大值的应力状态卸载而得到的。
所以相应的弹性本构关系为：(σ*，ε*) —Mises 等效应力σeq 为历史上最大值时所对应的():−=−ε*εT σ*σq 应力张量与应变张量（出发点）。
)—(σ，ε) 则当前的应力张量与应变张量。
2 Mises 形变理论Mi Mises 形变理论若材料处于加载状态：e pε=ε+εe ?p ε=ε=T :σ问题的关键是如何得到εPMises 若材料处于加载状态则形变理论假定：（1）若材料处于加载状态，则应力σ与应变ε之间存在函数关系；（2）塑性应变εP ′平行即′的方向与应力偏量σ′平行，即εP ⁄⁄σ′。
固体力学计算方法的发展孙秀山 岑章志 刘应华（北京大学工程力学系, 北京100084）摘要本文简要回顾了固体力学计算方法的发展过程。
从早期通过解析方法求解简单问题开始，固体力学的计算方法经历了一个从精确解法到近似解法、从解析方法到数值方法的发展过程，这一过程可以依据其历史阶段分为三种类型：传统解析方法、近似求解方法（古典数值方法）和现代数值方法。
文中分析了不同发展阶段中典型固体力学计算方法的形成及其特点，探讨了这些方法对固体力学发展的作用以及影响，最后总结了这些方法之间的关系。
关键词固体力学，计算方法，发展过程，继承关系1 引言固体力学是在经典牛顿力学框架下最先发展起来的学科之一，主要研究可变形体在各种外界因素作用下，其内部各个质点所产生的位移、运动、应力、应变以及破坏等的规律，是力学中形成较早、理论性较强、应用较广的一个分支[1]。
固体力学的发展首先是建立在弹性理论基础之上的，随后在工业发展的推动下，固体力学中有关塑性理论、强度理论以及稳定理论等得到了进一步的发展[2, 3]。
在传统的固体力学理论中，一般把研究对象看作是由无限个假象的元素组合在一起的连续体，因此研究对象（连续体）中的力学量（如位移、应变、应力等）就可以假设为空间或时间的连续函数。
这样，对于一个确定的固体力学问题，借助于数学方法最终可以将其转化相应的偏微分方程（或方程组）在给定条件下的边值问题或初值问题，如经典弹性理论中L-N方程或B-M方程的狄利赫莱（Dirichlet）边值问题和诺依曼（Neumann）边值问题。
对于这类方程（或方程组）的求解一直贯穿着固体力学的整个发展阶段，成为固体力学的重要研究内容之一。
从早期通过解析方法求解简单问题开始，固体力学的计算方法依据其历史发展过程大致经历了如下三个阶段：传统的解析方法、近似求解方法（古典数值方法）和现代数值方法，其中每个阶段里都出现了多种分析方法和计算方法。
在这些方法的发展中，尤以计算机技术的出现和应用为转折点，标志着固体力学计算方法的一个飞跃，促使了固体力学无论在理论研究方面还是在实际工程应用中都有了显著的进步[4, 5]。
