数学建模之统计回归模型

统计回归模型摘要本文通过两个关于统计归回问题的解决，理解有关回归问题的解决办法，和对处理统计回归问题是的数学知识加以学习、巩固，学会用MA TLAB处理有关数学模型问题。

通过对数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型；其中，回归模型是用统计分析方法建立的最常用的一类模型，不涉及回归分析的数学原理和方法，通过实例讨论如何选择不同类型的模型，对软件得到的结果进行分析，对模型进行改进。

（当然，这是我初次用MA TLAB做回归问题，里面肯定会有很多不理想之处，就请老师多多指点。

）问题一：是有关牙膏的销售量问题。

问题二：软件开发人员的薪金问题。

一、问题的提出问题一一家技术公司人事部门为研究软件开发人员的薪金与他们的资历、管理责任、教育程度等因素之间的关系，要建立一个数学模型，以便分析公司人事策略的合理性，并作为新聘用人员薪金的参考。

他们认为目前公司人员的薪金总体上是合理的，可以作为建模的依据，于是调查来46名软件开发人员的档案资料，如表4，其中资历一列指从事专业工作的年数，管理一列中1表示管理人员，0表示非管理人员，教育一列中1表示中学程度，2表示大学分析与假设 按照常识，薪金自然随着资历的增长而增加，管理人员的薪金应高于非管理人员，教育程度越高薪金也越高。

薪金记作y ，资历记作x1，为了表示是否管理人员，定义：210,x ⎧=⎨⎩，管理人员非管理人员为了表示3种教育程度，定义：31,0,x ⎧⎨⎩中学其它41,0,x ⎧⎨⎩大学其它这样，中学用x3=1，x4=0表示，大学用x3=0,x4=1表示，研究生则用x3=0，x4=0表示。

为简单起见，我们假定资历对薪金的作用是线性的，即资历每加一年，薪金的增长是常数；管理责任、教育程度、资历诸因素之间没有交互作用，建立线性回归模型。

基本模型 薪金y 与资历x1,管理责任x2，教育程度x3，x4之间的多元线性回归模型为011223344y a a x a x a x a x ε=+++++ （1）其中014,,a a a …，是待估计的回归系数，ε是随机误差。

统计回归模型姓名：姚敏俊 班级：08数学（1）班 学号 08070210025摘要随着社会经济的飞速发展，社会人员更关心的是自己的社会福利和工资待遇问题。

在这里我们就中学教师的工资待遇问题建立了模型，并对模型作出了一系列讨论。

如：教师的薪金与他们的工作时间1x 、性别2x 、学历4x 、以及培训情况6x 等因素之间的关系。

我们首先利用MATLAB(程序见附录五)软件作出薪金与老师工作时间的散点图，如图（二），然后假设工作时间与教师薪金为线性关系，其关系式如模型（一）；再运用统计回归模型分别从各个方面特别考虑了中学女教师的工资待遇是否受她们的婚姻状况3x 的影响。

经过对模型的各个变量的逐步回归和作残差图，详见图我们从众多变量中挑选出了对教师薪金y 影响最大的变量4x 及1x ，各个变量对教师的薪金的影响的回归系数如图（三），程序见附录（二）。

从影响系数的表图中我们得出了学历对教师的薪金的影响最大。

经过对模型的分析、讨论和进一步的优化，此模型还可以运用到市场调查、教师调研、影响农作物生长的的因素等等相关问题上。

模型（一）：ε+*+*+*+*+*+*+*+=776655443322110x a x a x a x a x a x a x a a y 模型（二）：44110x a x a a y *+*+=关键词：散点图 线性关系 统计回归模性 回归系数 逐步回归一、问题重述每地人事部门研究中学教师的薪金与他们的资历、性别、教育程度、及培训情况等因素之间的关系，要建立一个数学模型，分析人事策略的合理性，特别是考察女教师是否受到不公正的待遇，以及她们的婚姻状况是否会影响收入。

为此，从当地教师中随机选中3414位进行观察，然后从中保留了90个观察对象，得到关键数据。

二、问题分析与假设分析：本题要求我们分析教师薪金与他们的资历、性别、教育程度及培训情况等因素之间的关系。

按到日常生活中的常识，教师薪金应该与他们的资历、受教育程度有密切关系，资历高、受教育程度高其薪金也应该相应的要高，与其性别、婚姻状况应该没有必然的联系。

数学建模大作业摘要某公司想用全行业的销售额作为自变量来预测公司的销售额，题目给出了1977—1981此公司的销售额和行业销售额的分季度数据表格。

通过对所给数据的简单分析，我们可以看出：此公司的销售额有随着行业销售额的增加而增加的趋势，为了更加精确的分析题目所给的数据，得出科学的结论，从而达到合理预测的目的。

我们使用时间序列分析法，参照课本统计回归模型例4，做出了如下的统计回归模型。

在问题一中，我们使用MATLB数学软件，画出了数据的散点图，通过观察散点图，发现公司的销售额和行业销售额之间有很强的线性关系，于是我们用线性回归模型去拟合，发现有很好的拟合性。

但是这种情况下，并没有考虑到数据的自相关性，所以我们做了下面几个问题的分析来对这个数学模型进行优化。

在问题二中，通过建立了公司销售额对全行业销售额的回归模型，并使用DW检测诊断随机误差项的自相关性。

通过计算和查DW表比较后发现随即误差存在正自相关，也就是说前面的模型有一定的局限性，预测结果存在一定的偏差，还有需要改进的地方。

在问题三中，因为在问题二中得出随即误差存在正自相关，为了消除随机误差的自相关性，我们建立了一个加入自相关后的回归模型。

并对其作出了分析和验证，我们发现加入自相关后的回归模型更加合理。

通过使用我们建立的模型对公司的销售额进行预测，发现和实际的销售额很接近，也就是说模型效果还不错。

关键词：销售额、回归模型、自相关性一、问题提出某公司想用全行业的销售额作为自变量来预测公司的销售额，下表给出了1977-1981年公司销售额和行业销售额的分季度数据（单位：百万元）.（1）画出数据的散点图，观察用线性回归模型拟合是否合适。

（2）监理公司销售额对全行业销售额的回归模型，并用DW检验诊断随机误差项的自相关性。

二、基本假设假设一：模型中ε（对时间t ）相互独立。

三、符号说明公司销售额：y （百万）行业销售额：x （百万） 概念介绍：1.自相关：自相关（auto correlation ），又称序列相关（serial correlation ）是指总体回归模型的随机误差项之间存在的相关关系。

《数学建模与数学实验》实验报告实验2 统计回归模型先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。

然侍卫之臣不懈于内，忠志之士忘身于外者，盖追先帝之殊遇，欲报之于陛下也。

诚宜开张圣听，以光先帝遗德，恢弘志士之气，不宜妄自菲薄，引喻失义，以塞忠谏之路也。

宫中府中，俱为一体；陟罚臧否，不宜异同。

若有作奸犯科及为忠善者，宜付有司论其刑赏，以昭陛下平明之理；不宜偏私，使内外异法也。

侍中、侍郎郭攸之、费祎、董允等，此皆良实，志虑忠纯，是以先帝简拔以遗陛下：愚以为宫中之事，事无大小，悉以咨之，然后施行，必能裨补阙漏，有所广益。

将军向宠，性行淑均，晓畅军事，试用于昔日，先帝称之曰“能”，是以众议举宠为督：愚以为营中之事，悉以咨之，必能使行阵和睦，优劣得所。

亲贤臣，远小人，此先汉所以兴隆也；亲小人，远贤臣，此后汉所以倾颓也。

先帝在时，每与臣论此事，未尝不叹息痛恨于桓、灵也。

侍中、尚书、长史、参军，此悉贞良死节之臣，愿陛下亲之、信之，则汉室之隆，可计日而待也。

臣本布衣，躬耕于南阳，苟全性命于乱世，不求闻达于诸侯。

先帝不以臣卑鄙，猥自枉屈，三顾臣于草庐之中，咨臣以当世之事，由是感激，遂许先帝以驱驰。

后值倾覆，受任于败军之际，奉命于危难之间，尔来二十有一年矣。

先帝知臣谨慎，故临崩寄臣以大事也。

受命以来，夙夜忧叹，恐托付不效，以伤先帝之明；故五月渡泸，深入不毛。

今南方已定，兵甲已足，当奖率三军，北定中原，庶竭驽钝，攘除奸凶，兴复汉室，还于旧都。

此臣所以报先帝而忠陛下之职分也。

至于斟酌损益，进尽忠言，则攸之、祎、允之任也。

愿陛下托臣以讨贼兴复之效，不效，则治臣之罪，以告先帝之灵。

若无兴德之言，则责攸之、祎、允等之慢，以彰其咎；陛下亦宜自谋，以咨诹善道，察纳雅言，深追先帝遗诏。

臣不胜受恩感激。

今当远离，临表涕零，不知所言。

诡计回归总錯由子家观亨•畅内祁规律的复杂及人们认积程盛的限制，无廉分析宾际对隼内衣.的因糸关糸，建立合手机理规律的救学僕宴。

所以我们通过对數据的统计分析，我出与数据拟合录好的模型。

我们通过宾例讨论如何追择不同矣型的換型，对软件得到的姑果进行分析，对模矍进行改进J回归分析步腋如下：•收集一组阖变董和自变萤的数据• 选走因变量和令变量之间的栈型，利用數擁最小二泵准刘计算栈型中的糸救•创用统计分析方法对不同的栈4!进行比较找出与救据拟合得最好的模熨•判靳这俎栈熨是否追合于这俎數据诊斷有无不追合回归棋矍的异常數据•利用模晏对因变董做岀预測与解年卖例分析一、牙育的林a受题a :收集了30个4«@周期本心司牙青锚傅量.价格、Z4#用，A 同期其乞厂彖同典牙青的平的傳价，请根据对數据的处理建立牙育锚©董与价格、户告投入之间的棋熨预测虚不阿价格和/•告费用下的牙根据对题目中數据进行处理，作散点08分析fMATLAB；应用格PIot(x,yJ )Plotfit(x,y,1),其中x 表示y核熨建立与求解級4ty~心甸牙音補©量，冶~其它厂家与本公司价格左y = Q()+ Qz + £(1)X2~^<1广吿费用y = 0o + 0宀 + PiA + £(2)将fb. (2)或子朕立可以得到3)冷木2~解年雯受（回归变交■，角＜4）00，九卩2屆~回归余数£~建机镁迸（拔值为奉的正杰分布随机iiJ刊用MATLAB工典求解可以得到。

格式如下[b,bint,r,rint,rtat$]» regress （y,x,alpha）输入：y~n推數据向董x・[1 XiX2X2?]~nX4數据矩阵，第一刃％全1向量alpha （JL 侑水平,0.05）输出：b~p的估计值bint~b的JL传区间r ~戎；M向董y-xbrint~r 的X^rfiL 间Stats~检絵疣计回归模型；检缺统计爻：2,F,p注：其中以越揍近1越好，F运起过F检絵的临界值，p运小于a・0.05 则可行假如R2,F,p满足条件，则我们说模熨从蔓体上看成立结系分析判靳出R2,F,p均成立，刘模熨可用，但因为卩2的置信区间通i±0点，则说明此项对模型的彩响不显著所以要对棋熨进行发遗。