数学建模之统计回归模型
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第7章统计回归模型数学建模知识讲解
0.55
9.26
模型求解 MATLAB 统计工具箱
y01 x 12 x 23 x 2 2由数据 y,x1,x2估计
[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,alpha)
输入 y~n维数据向量
输出 b~的估计值
x= [1 x1 x2 x22] ~n4数
据矩阵, 第1列为全1向量
3
0.3486
[0.0379 0.6594 ]
R2=0.9054 F=82.9409 p=0.0000
y的90.54%可由模型确定 F远超过F检验的临界值
p远小于=0.05
模型从整体上看成立
2的置信区间包含零点 (右端点距零点很近)
x2对因变量y 的 影响不太显著
x22项显著
可将x2保留在模型中
销售量预测 y ˆˆ0ˆ1 x 1ˆ2 x 2ˆ3 x 2 2
广告费用，及同期其它厂家同类牙膏的平均售价
销售 周期
1
本公司价 格(元)
3.85
其它厂家 价格(元)
3.80
广告费用 (百万元)
5.50
价格差 （元）
-0.05
销售量 (百万支)
76.75
0.25
8.51
29
3.80
3.85
5.80
0.05
7.93
30
3.70
4.25
6.80
第七章 统计回归模型
7.1 牙膏的销售量 7.2 软件开发人员的薪金 7.3 酶促反应 7.4 投资额与国民生产总值和
物价指数
数学建模的基本方法 机理分析 测试分析
由于客观事物内部规律的复杂及人们认识程度的限制, 无法分析实际对象内在的因果关系，建立合乎机理规 律的数学模型。 通过对数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型
统计建模-回归分析
多元线性回归模型构建 与解读
多元线性回归模型形式
多元线性回归模型0 + beta_1X_1 + beta_2X_2 + ldots +
beta_pX_p + epsilon$
解释变量与被解释变量
02
$X_1, X_2, ldots, X_p$ 为解释变量，$Y$ 为被解释变量
在所有无偏估计量中，OLS估计量的方差最 小
模型假设检验与诊断
模型的显著性检验
模型的诊断
使用F检验对模型的显著性进行检验， 判断模型中是否至少有一个解释变量 对被解释变量有显著影响
通过残差图、QQ图等方法对模型的 拟合效果进行诊断，检查模型是否满 足线性、同方差等假设
回归系数的显著性检验
使用t检验对每个回归系数的显著性进 行检验，判断每个解释变量是否对被 解释变量有显著影响
5. 预测与结果分析
利用拟合好的模型进行未来一个月的销售额预测，并对 预测结果进行分析和解读。
06
总结回顾与拓展延伸
本次课程重点内容总结
回归模型的基本原理
通过最小二乘法等优化算法，拟合自变 量和因变量之间的线性或非线性关系。
模型的评估与选择
通过比较不同模型的预测精度、解释 性、稳定性等指标，选择最优模型。
医学领域
研究药物剂量与疗效之间的非线性关系，为合理 用药提供依据。
金融领域
分析股票价格与市场指数之间的非线性关系，预 测市场走势及风险。
环境科学
探讨污染物浓度与环境因素之间的非线性关系， 为环境保护和治理提供决策支持。
04
回归模型诊断与优化策 略
残差分析及其意义
残差定义
实际观测值与回归模型预测值之间的差异。
多元线性回归模型形式
多元线性回归模型0 + beta_1X_1 + beta_2X_2 + ldots +
beta_pX_p + epsilon$
解释变量与被解释变量
02
$X_1, X_2, ldots, X_p$ 为解释变量，$Y$ 为被解释变量
在所有无偏估计量中，OLS估计量的方差最 小
模型假设检验与诊断
模型的显著性检验
模型的诊断
使用F检验对模型的显著性进行检验， 判断模型中是否至少有一个解释变量 对被解释变量有显著影响
通过残差图、QQ图等方法对模型的 拟合效果进行诊断，检查模型是否满 足线性、同方差等假设
回归系数的显著性检验
使用t检验对每个回归系数的显著性进 行检验，判断每个解释变量是否对被 解释变量有显著影响
5. 预测与结果分析
利用拟合好的模型进行未来一个月的销售额预测，并对 预测结果进行分析和解读。
06
总结回顾与拓展延伸
本次课程重点内容总结
回归模型的基本原理
通过最小二乘法等优化算法，拟合自变 量和因变量之间的线性或非线性关系。
模型的评估与选择
通过比较不同模型的预测精度、解释 性、稳定性等指标，选择最优模型。
医学领域
研究药物剂量与疗效之间的非线性关系，为合理 用药提供依据。
金融领域
分析股票价格与市场指数之间的非线性关系，预 测市场走势及风险。
环境科学
探讨污染物浓度与环境因素之间的非线性关系， 为环境保护和治理提供决策支持。
04
回归模型诊断与优化策 略
残差分析及其意义
残差定义
实际观测值与回归模型预测值之间的差异。
统计回归模型数学建模演示文稿
销售额在 7.83203.7 29（百万元）以上
第七页，共42页。
模型改进
x1和x2对y 的影响独立 x1和x2对 y的影响 有交互作 用
第八页，共42页。
y 0 1x1 2 x2 3 x22
参数 参数估计值
置信区间
0
17.3244
[5.7282 28.9206]
1
1.3070
[0.6829 1.9311 ]
[11139 11261]
a1
498
[494 503]
a2
7041
[6962 7120]
a3
-1737
[-1818 -1656]
a4
-356
[-431 –281]
a5
-3056
[-3171 –2942]
a6
1997
[1894 2100]
R2= 0.9998 F=36701 p=0.0000
200 100
价格差较小时增加的 速率更大
价格差较小时更需要靠广告 来吸引顾客的眼球
第十一页，共42页。
完全二次多项式模型
y 0 1x1 2 x2 3 x1x2 4 x12 5 x22
MATLAB中有命令rstool直接求解
yˆ
10 9.5
9 8.5
8 7.5
0
0.2
0.4
5.5
6
6.5
7
x1
x2
价格差 x1=0.3
yˆ x10.3 32.4535 8.0513x2 0.6712x22
x2 7.5357
yˆ
yˆ yˆ x10.3
10.5
x10.1 10
价格优势会使销售量增加 9.5 9
第七页，共42页。
模型改进
x1和x2对y 的影响独立 x1和x2对 y的影响 有交互作 用
第八页，共42页。
y 0 1x1 2 x2 3 x22
参数 参数估计值
置信区间
0
17.3244
[5.7282 28.9206]
1
1.3070
[0.6829 1.9311 ]
[11139 11261]
a1
498
[494 503]
a2
7041
[6962 7120]
a3
-1737
[-1818 -1656]
a4
-356
[-431 –281]
a5
-3056
[-3171 –2942]
a6
1997
[1894 2100]
R2= 0.9998 F=36701 p=0.0000
200 100
价格差较小时增加的 速率更大
价格差较小时更需要靠广告 来吸引顾客的眼球
第十一页，共42页。
完全二次多项式模型
y 0 1x1 2 x2 3 x1x2 4 x12 5 x22
MATLAB中有命令rstool直接求解
yˆ
10 9.5
9 8.5
8 7.5
0
0.2
0.4
5.5
6
6.5
7
x1
x2
价格差 x1=0.3
yˆ x10.3 32.4535 8.0513x2 0.6712x22
x2 7.5357
yˆ
yˆ yˆ x10.3
10.5
x10.1 10
价格优势会使销售量增加 9.5 9
建模方法论ch10统计回归模型
10.2 软件开发人员的薪金
建立模型研究薪金与资历、管理责任、教育程度的关系. 建立模型研究薪金与资历、管理责任、教育程度的关系. 分析人事策略的合理性，作为新聘用人员薪金的参考. 分析人事策略的合理性，作为新聘用人员薪金的参考. 46名软件开发人员的档案资料 名软件开发人员的档案资料
编 号 01 02 03 04 … 薪金 13876 11608 18701 11283 … 资 历 1 1 1 1 … 管 理 1 0 1 0 … 教 育 1 3 3 2 … 编 号 42 43 44 45 46 薪金 27837 18838 17483 19207 19346 资 历 16 16 16 17 20 管 理 1 0 0 0 0 教 育 2 2 1 2 1
x2=6.5
0 0.2 0.4 0.6
8.5
8
8
7.5 -0.2
x1
7.5 -0.2
0
0.2
0.4
0.6
x1
10 9.5 9 8.5 8 7.5 5
ˆ y
10.5 10
ˆ y
x1=0.2
6 7 8
9.5 9 8.5
x2
8
5
6
7
8
x2
交互作用影响的讨论
价格差 x1=0.1 价格差 x1=0.3
ˆ y
销售 周期 1 2 … 29 30
基本模型
y ~公司牙膏销售量 公司牙膏销售量 x1~其他厂家与本公司价格差 其他厂家与本公司价格差 其他厂家与本公司 x2~公司广告费用 公司广告费用
y 10
9.5 9 8.5 8 7.5 7 -0.2 0 0.2 0.4 0.6
y = β 0 + β 1 x1 + β 2 x 2 + β x + ε
《数学建模》课件：第十章 统计回归模型
根据自变量个数和经验函数形式的不同，回归 分析可以分为一元回归、多元回归、线性回归、多 项式（完全二次、交叉二次等）回归等许多类别。
回归和拟合比较相近，但并不一样。对拟合而言， 一个Y变量对应一个X变量，而回归分析的一个Y变 量则有可能对应多个X变量。从这个角度说，拟合 也属于回归的一种。
/view/0aa4c90c844769eae009ed7d.html? re=view （回归分析的基本理论及软件实现）
linear（线性）： y 0 1 x1 m xm
purequadratic（纯二次）：
y 0 1x1 m xm
n
jj
x
2 j
j1
interaction（交叉）： y 0 1x1 m xm jk x j xk
1 jkm
quadratic（完全二次）： y 0 1x1 m xm jk x j xk
6.80
0.55
9.26
问题分析
注意到牙膏是生活必需品，顾客在购买同类 产品时常常会更在意不同品牌之间的价格差异， 而不是他们价格本身。
因此，在研究各因素对销售量的影响时，用价 格差代替公司销售价格和其他厂家平均价格更为合 适。 下面建立牙膏销售量与价格差、广告费之间的关系 模型。
基本模型
y 10
(1) beta=nlinfit(X,Y,function,beta0) (2) [beta,r,J]=nlinfit(X,Y,function,beta0)
10.1 牙膏的销售量
问 建立牙膏销售量与价格、广告投入之间的模型; 题 预测在不同价格和广告费用下的牙膏销售量.
收集了30个销售周期本公司牙膏销售量、价格、
1
xn1
xn2
回归和拟合比较相近，但并不一样。对拟合而言， 一个Y变量对应一个X变量，而回归分析的一个Y变 量则有可能对应多个X变量。从这个角度说，拟合 也属于回归的一种。
/view/0aa4c90c844769eae009ed7d.html? re=view （回归分析的基本理论及软件实现）
linear（线性）： y 0 1 x1 m xm
purequadratic（纯二次）：
y 0 1x1 m xm
n
jj
x
2 j
j1
interaction（交叉）： y 0 1x1 m xm jk x j xk
1 jkm
quadratic（完全二次）： y 0 1x1 m xm jk x j xk
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0.55
9.26
问题分析
注意到牙膏是生活必需品，顾客在购买同类 产品时常常会更在意不同品牌之间的价格差异， 而不是他们价格本身。
因此，在研究各因素对销售量的影响时，用价 格差代替公司销售价格和其他厂家平均价格更为合 适。 下面建立牙膏销售量与价格差、广告费之间的关系 模型。
基本模型
y 10
(1) beta=nlinfit(X,Y,function,beta0) (2) [beta,r,J]=nlinfit(X,Y,function,beta0)
10.1 牙膏的销售量
问 建立牙膏销售量与价格、广告投入之间的模型; 题 预测在不同价格和广告费用下的牙膏销售量.
收集了30个销售周期本公司牙膏销售量、价格、
1
xn1
xn2
数学建模作业-统计回归模型
统计回归模型摘要本文通过两个关于统计归回问题的解决，理解有关回归问题的解决办法，和对处理统计回归问题是的数学知识加以学习、巩固，学会用MA TLAB处理有关数学模型问题。
通过对数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型；其中，回归模型是用统计分析方法建立的最常用的一类模型，不涉及回归分析的数学原理和方法，通过实例讨论如何选择不同类型的模型，对软件得到的结果进行分析，对模型进行改进。
（当然，这是我初次用MA TLAB做回归问题，里面肯定会有很多不理想之处，就请老师多多指点。
）问题一：是有关牙膏的销售量问题。
问题二：软件开发人员的薪金问题。
一、问题的提出问题一一家技术公司人事部门为研究软件开发人员的薪金与他们的资历、管理责任、教育程度等因素之间的关系，要建立一个数学模型，以便分析公司人事策略的合理性，并作为新聘用人员薪金的参考。
他们认为目前公司人员的薪金总体上是合理的，可以作为建模的依据，于是调查来46名软件开发人员的档案资料，如表4，其中资历一列指从事专业工作的年数，管理一列中1表示管理人员，0表示非管理人员，教育一列中1表示中学程度，2表示大学分析与假设 按照常识，薪金自然随着资历的增长而增加，管理人员的薪金应高于非管理人员，教育程度越高薪金也越高。
薪金记作y ，资历记作x1，为了表示是否管理人员，定义：210,x ⎧=⎨⎩，管理人员非管理人员为了表示3种教育程度，定义：31,0,x ⎧⎨⎩中学其它41,0,x ⎧⎨⎩大学其它这样，中学用x3=1，x4=0表示，大学用x3=0,x4=1表示，研究生则用x3=0，x4=0表示。
为简单起见，我们假定资历对薪金的作用是线性的，即资历每加一年，薪金的增长是常数；管理责任、教育程度、资历诸因素之间没有交互作用，建立线性回归模型。
基本模型 薪金y 与资历x1,管理责任x2，教育程度x3，x4之间的多元线性回归模型为011223344y a a x a x a x a x ε=+++++ （1）其中014,,a a a …，是待估计的回归系数，ε是随机误差。
统计回归模型(1)
31 20 25 19 39 33 17 37 23 39
141 32 86 21 231 187 22 205 57 265
128.4 34.48 67.34 29.56 255.66 154.89 21.18 218 31 218.31 52.44 255 66 255.66
12.6 -2.48 18.66 -8.56 -24.66 32.11 0.82 -13 31 -13.31 4.56 9 34 9.34
*残差有线性趋势，模型不恰当
V = 0.194 0 194d − 45 45.7 7
2
直径 板英尺 预测值 残差 直径 板英尺 预测值 残差
36 28 28 41 19 32 22 38 25 17
192 113 88 294 28 123 51 252 56 16
205.72 -13.72 106.4 6.6 106.4 280.41 24.33 152.96 48.2 234 44 234.44 75.55 10 37 10.37 -18.4 13.59 3.67 -29.96 29.96 2.8 17 56 17.56 -19.55 5 63 5.63
V = 0.00431 000431d3 V = 0.152d 2 V = 0.194d − 45.7
2
458536 462278 0.9919 0 9919 155986 159698 0.977
V = 0.00426 000426d3 + 2.08 208 3712
3910
12895 449383 462278 0.9721 155788 159698 0.976
• 当人们对研究对象的内在特性和各因素间的 关系有比较充分的认识时，一般用机理分析 方法建立数学模型 • 由于客观事物内部规律的复杂性及人们认识 程度的限制 无法分析实际对象内在的因果 程度的限制,无法分析实际对象内在的因果 关系，建立合乎机理规律的数学模型，通常 的办法是搜集大量的数据 基于对数据的统 的办法是搜集大量的数据，基于对数据的统 计分析方法去建立模型(找出与数据拟合最 好的模型)
数学建模 回归分析模型
非线性回归模型的实际应用
预测人口增长
非线性回归模型可以用来描述人口增长的动态变 化，预测未来人口数量。
医学研究
在医学研究中，非线性回归模型可以用来分析药 物对病人体内生理指标的影响。
经济预测
在经济领域，非线性回归模型可以用来预测经济 增长、通货膨胀等经济指标。
多元回归模型的实际应用
01
社会学研究
模型检验
对模型进行检验，包括残差分析、拟 合优度检验等，以确保模型的有效性 和可靠性。
非线性回归模型的参数估计
最小二乘法
梯度下降法
通过最小化预测值与实际值之间的平方误 差，求解出模型中的未知参数。
通过迭代计算，不断调整参数值，以最小 化预测值与实际值之间的误差。
牛顿法
拟牛顿法
基于泰勒级数展开，通过迭代计算，求解 出模型中的未知参数。
线性回归模型的评估与检验
残差分析
分析残差分布情况，检查是否 存在异常值、离群点等。
拟合优度检验
通过计算判定系数、调整判定 系数等指标，评估模型的拟合 优度。
显著性检验
对模型参数进行显著性检验， 判断每个自变量对因变量的影 响是否显著。
预测能力评估
利用模型进行预测，比较预测 值与实际值的差异，评估模型
基于牛顿法的改进，通过迭代计算，求解 出模型中的未知参数，同时避免计算高阶 导数。
非线性回归模型的评估与检验
残差分析
对模型的残差进行统计分析，包括残差 的分布、自相关性、异方差性等，以评
估模型的可靠性。
预测能力评估
使用模型进行预测，比较预测值与实 际值的误差，评估模型的预测能力。
拟合优度检验
通过比较实际值与预测值的相关系数 、决定系数等指标，评估模型的拟合 优度。
数学建模——回归分析模型 ppt课件
有最小值：
n n i 1 i 1
i
2 2 ( y a bx ) i i i
ppt课件
ˆx ˆi a ˆ b y i
6
数学建模——回归分析模型
一元线性回归模型—— a, b, 2估计
n ( xi x )( yi y ) ˆ i 1 b n ( xi x )2 i 1 ˆ ˆ y bx a
数学建模——回归分析模型
Keep focused Follow me —Jiang
ppt课件
1
数学建模——回归分析模型
• • • • • 回归分析概述 几类回归分析模型比较 一元线性回归模型 多元线性回归模型 注意点
ppt课件
2
数学建模——回归分析模型
回归分析 名词解释：回归分析是确定两种或两种以上变数 间相互赖的定量关系的一种统计分析方法。 解决问题：用于趋势预测、因果分析、优化问题 等。 几类常用的回归模型：
可决系数（判定系数） R 2 为:
可决系数越靠近1，模型对数据的拟合程度越好。 ppt课件 通常可决 系数大于0.80即判定通过检验。 模型检验还有很多方法，以后会逐步接触
15
2 e ESS RSS i R2 1 1 TSS TSS (Yi Y )2
数学建模——回归分析模型
2 i i 1
残差平 方和
13
数学建模——回归分析模型
多元线性回归模型—— 估计 j 令上式 Q 对 j 的偏导数为零，得到正规方程组，
用线性代数的方法求解，求得值为：
ˆ ( X T X )1 X TY
ˆ 为矩阵形式，具体如下： 其中 X , Y ,
数学建模统计回归模型
统计回归模型姓名：姚敏俊 班级：08数学（1）班 学号 08070210025摘要随着社会经济的飞速发展，社会人员更关心的是自己的社会福利和工资待遇问题。
在这里我们就中学教师的工资待遇问题建立了模型，并对模型作出了一系列讨论。
如：教师的薪金与他们的工作时间1x 、性别2x 、学历4x 、以及培训情况6x 等因素之间的关系。
我们首先利用MATLAB(程序见附录五)软件作出薪金与老师工作时间的散点图，如图（二），然后假设工作时间与教师薪金为线性关系，其关系式如模型（一）；再运用统计回归模型分别从各个方面特别考虑了中学女教师的工资待遇是否受她们的婚姻状况3x 的影响。
经过对模型的各个变量的逐步回归和作残差图，详见图我们从众多变量中挑选出了对教师薪金y 影响最大的变量4x 及1x ，各个变量对教师的薪金的影响的回归系数如图（三），程序见附录（二）。
从影响系数的表图中我们得出了学历对教师的薪金的影响最大。
经过对模型的分析、讨论和进一步的优化，此模型还可以运用到市场调查、教师调研、影响农作物生长的的因素等等相关问题上。
模型（一）：ε+*+*+*+*+*+*+*+=776655443322110x a x a x a x a x a x a x a a y 模型（二）：44110x a x a a y *+*+=关键词：散点图 线性关系 统计回归模性 回归系数 逐步回归一、问题重述每地人事部门研究中学教师的薪金与他们的资历、性别、教育程度、及培训情况等因素之间的关系，要建立一个数学模型，分析人事策略的合理性，特别是考察女教师是否受到不公正的待遇，以及她们的婚姻状况是否会影响收入。
为此，从当地教师中随机选中3414位进行观察，然后从中保留了90个观察对象，得到关键数据。
二、问题分析与假设分析：本题要求我们分析教师薪金与他们的资历、性别、教育程度及培训情况等因素之间的关系。
按到日常生活中的常识，教师薪金应该与他们的资历、受教育程度有密切关系，资历高、受教育程度高其薪金也应该相应的要高，与其性别、婚姻状况应该没有必然的联系。
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广告费用，及同期其它厂家同类牙膏的平均售价
销售 周期
1
本公司价 格(元)
3.85
其它厂家 价格(元)
3.80
广告费用 (百万元)
5.50
价格差 （元）
-0.05
销售量 (百万支)
7.38
2
3.75
4.00
6.75
0.25
8.51
29
3.80
3.85
5.80
0.05
7.93
30
3.70
4.25
6.80
统计回归模型
第十章 统计回归模型
10.1 牙膏的销售量 10.2 软件开发人员的薪金 10.3 酶促反应 10.4 投资额与国民生产总值和
物价指数
数学建模的基本方法 机理分析 测试分析
由于客观事物内部规律的复杂及人们认识程度的限制, 无法分析实际对象内在的因果关系，建立合乎机理规 律的数学模型。 通过对数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型
yˆ 略有增加
预测区间长度更短
两模型yˆ 与x1,x2关系的比较
yˆ ˆ0 ˆ1x1 ˆ2x2 ˆ3x22 yˆ 0 ˆ1x1 ˆ2x2 ˆ3x22 ˆ4x1x2
yˆ
yˆ
9
9
8.5
x2=6.5 8.5
8
8
7.5 -0.2
yˆ
10 9.5
9 8.5
8 7.5
5
0
0.2
0.4
6
7
0.6 x1
价格差 x1=0.3
yˆ x10.3 32.4535 8.0513x2 0.6712x22
0.55
9.26
基本模型
y 10
9.5
y ~公司牙膏销售量
9
x1~其它厂家与本公司价格差
8.5 8
x2~公司广告费用
y 0 1x1 2 x2 3 x22
7.5
7
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
y 0 1x1 x1
y~被解释变量（因变量）
y 10
9.5
x1, x2~解释变量(回归变量, 自变量) 9 8.5
x1=0.2
8 x2
7.5 -0.2
yˆ
10.5 10 9.5 9 8.5 8 5
0
0.2
0.4
6
7
0.6 x1 8 x2
交互作用影响的讨论 yˆ 0 ˆ1x1 ˆ2x2 ˆ3x22 ˆ4x1x2
价格差 x1=0.1
yˆ x10.1 30.2267 7.7558x2 0.6712x22
输入 y~n维数据向量
输出 b~的估计值
x= [1 x1 x2 x22 ] ~n4数
据矩阵, 第1列为全1向量
alpha(置信水平,0.05)
bint~b的置信区间 r ~残差向量y-xb rint~r的置信区间
参数
参数估计值
置信区间
0
17.3244
[5.7282 28.9206]
1
1.3070
[0.6829 1.9311 ]
2
-3.6956
[-7.4989 0.1077 ]
3
0.3486
[0.0379 0.6594 ]
R2=0.9054 F=82.9409 p=0.0000
Stats~ 检验统计量
R2,F, p
结果分析 y 0 1x1 2 x2 3 x22
参数
参数估计值
置信区间
0
17.3244
[5.7282 28.9206]
两模型销售量预测比较
控制价格差x1=0.2元，投入广告费x2=6.5百万元
yˆ ˆ0 ˆ1x1 ˆ2x2 ˆ3x22 yˆ 8.2933 (百万支)
区间 [7.8230，8.7636]
yˆ 8.3272 (百万支)
yˆ 0 ˆ1x1 ˆ2x2 ˆ3x22 ˆ4x1x2
区间 [7.8953，8.7592]
x2对因变量y 的 影响不太显著
x22项显著
可将x2保留在模型中
销售量预测 yˆ ˆ0 ˆ1x1 ˆ2x2 ˆ3x22
价格差x1=其它厂家价格x3-本公司价格x4
估计x3 调整x4 控制x1
通过x1, x2预测y
控制价格差x1=0.2元，投入广告费x2=650万元
yˆ ˆ0 ˆ1x1 ˆ2x2 ˆ3x22 8.2933 (百万支)
销售量预测区间为 [7.8230，8.7636]（置信度95%）
上限用作库存管理的目标值 下限用来把握公司的现金流
若估计x3=3.9，设定x4=3.7，则可以95%的把握 知道销售额在 7.83203.7 29（百万元）以上
模型改进
x1和x2对y 的影响独立
x1和x2对y 的影响有 交互作用
y 0 1x1 2 x2 3 x22
0, 1 , 2 , 3 ~回归系数
8
7.5
~随机误差（均值为零的
正态分布随机变量）
7 5
5.5
6
6.5
x 7
7.5
2
y 0 1x2 2 x22
模型求解 MATLAB 统计工具箱
y 0 1x1 2 x2 3 x22 由数据 y,x1,x2估计
[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,alpha)
1
1.3070
[0.6829 1.9311 ]
2
-3.6956
[-7.4989 0.1077 ]
3
0.3486
[0.0379 0.6594 ]
R2=0.9054 F=82.9409 p=0.0000
y的90.54%可由模型确定 F远超过F检验的临界值
p远小于=0.05
模型从整体上看成立参数
参数估计值
置信区间
0
29.1133
[13.7013 44.5252]
1
11.1342
[1.9778 20.2906 ]
2
-7.6080
[-12.6932 -2.5228 ]
3
0.6712
[0.2538 1.0887 ]
4
-1.4777
[-2.8518 -0.1037 ]
R2=0.9209 F=72.7771 p=0.0000
参数 参数估计值
置信区间
0
17.3244
[5.7282 28.9206]
1
1.3070
[0.6829 1.9311 ]
2
-3.6956
[-7.4989 0.1077 ]
3
0.3486
[0.0379 0.6594 ]
R2=0.9054 F=82.9409 p=0.0000
y 0 1x1 2 x2 3x22 4 x1x2
回归模型是用统计分析方法建立的最常用的一类模型
• 不涉及回归分析的数学原理和方法 • 通过实例讨论如何选择不同类型的模型 • 对软件得到的结果进行分析，对模型进行改进
10.1 牙膏的销售量
问 建立牙膏销售量与价格、广告投入之间的模型 题 预测在不同价格和广告费用下的牙膏销售量
收集了30个销售周期本公司牙膏销售量、价格、
销售 周期
1
本公司价 格(元)
3.85
其它厂家 价格(元)
3.80
广告费用 (百万元)
5.50
价格差 （元）
-0.05
销售量 (百万支)
7.38
2
3.75
4.00
6.75
0.25
8.51
29
3.80
3.85
5.80
0.05
7.93
30
3.70
4.25
6.80
统计回归模型
第十章 统计回归模型
10.1 牙膏的销售量 10.2 软件开发人员的薪金 10.3 酶促反应 10.4 投资额与国民生产总值和
物价指数
数学建模的基本方法 机理分析 测试分析
由于客观事物内部规律的复杂及人们认识程度的限制, 无法分析实际对象内在的因果关系，建立合乎机理规 律的数学模型。 通过对数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型
yˆ 略有增加
预测区间长度更短
两模型yˆ 与x1,x2关系的比较
yˆ ˆ0 ˆ1x1 ˆ2x2 ˆ3x22 yˆ 0 ˆ1x1 ˆ2x2 ˆ3x22 ˆ4x1x2
yˆ
yˆ
9
9
8.5
x2=6.5 8.5
8
8
7.5 -0.2
yˆ
10 9.5
9 8.5
8 7.5
5
0
0.2
0.4
6
7
0.6 x1
价格差 x1=0.3
yˆ x10.3 32.4535 8.0513x2 0.6712x22
0.55
9.26
基本模型
y 10
9.5
y ~公司牙膏销售量
9
x1~其它厂家与本公司价格差
8.5 8
x2~公司广告费用
y 0 1x1 2 x2 3 x22
7.5
7
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
y 0 1x1 x1
y~被解释变量（因变量）
y 10
9.5
x1, x2~解释变量(回归变量, 自变量) 9 8.5
x1=0.2
8 x2
7.5 -0.2
yˆ
10.5 10 9.5 9 8.5 8 5
0
0.2
0.4
6
7
0.6 x1 8 x2
交互作用影响的讨论 yˆ 0 ˆ1x1 ˆ2x2 ˆ3x22 ˆ4x1x2
价格差 x1=0.1
yˆ x10.1 30.2267 7.7558x2 0.6712x22
输入 y~n维数据向量
输出 b~的估计值
x= [1 x1 x2 x22 ] ~n4数
据矩阵, 第1列为全1向量
alpha(置信水平,0.05)
bint~b的置信区间 r ~残差向量y-xb rint~r的置信区间
参数
参数估计值
置信区间
0
17.3244
[5.7282 28.9206]
1
1.3070
[0.6829 1.9311 ]
2
-3.6956
[-7.4989 0.1077 ]
3
0.3486
[0.0379 0.6594 ]
R2=0.9054 F=82.9409 p=0.0000
Stats~ 检验统计量
R2,F, p
结果分析 y 0 1x1 2 x2 3 x22
参数
参数估计值
置信区间
0
17.3244
[5.7282 28.9206]
两模型销售量预测比较
控制价格差x1=0.2元，投入广告费x2=6.5百万元
yˆ ˆ0 ˆ1x1 ˆ2x2 ˆ3x22 yˆ 8.2933 (百万支)
区间 [7.8230，8.7636]
yˆ 8.3272 (百万支)
yˆ 0 ˆ1x1 ˆ2x2 ˆ3x22 ˆ4x1x2
区间 [7.8953，8.7592]
x2对因变量y 的 影响不太显著
x22项显著
可将x2保留在模型中
销售量预测 yˆ ˆ0 ˆ1x1 ˆ2x2 ˆ3x22
价格差x1=其它厂家价格x3-本公司价格x4
估计x3 调整x4 控制x1
通过x1, x2预测y
控制价格差x1=0.2元，投入广告费x2=650万元
yˆ ˆ0 ˆ1x1 ˆ2x2 ˆ3x22 8.2933 (百万支)
销售量预测区间为 [7.8230，8.7636]（置信度95%）
上限用作库存管理的目标值 下限用来把握公司的现金流
若估计x3=3.9，设定x4=3.7，则可以95%的把握 知道销售额在 7.83203.7 29（百万元）以上
模型改进
x1和x2对y 的影响独立
x1和x2对y 的影响有 交互作用
y 0 1x1 2 x2 3 x22
0, 1 , 2 , 3 ~回归系数
8
7.5
~随机误差（均值为零的
正态分布随机变量）
7 5
5.5
6
6.5
x 7
7.5
2
y 0 1x2 2 x22
模型求解 MATLAB 统计工具箱
y 0 1x1 2 x2 3 x22 由数据 y,x1,x2估计
[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,alpha)
1
1.3070
[0.6829 1.9311 ]
2
-3.6956
[-7.4989 0.1077 ]
3
0.3486
[0.0379 0.6594 ]
R2=0.9054 F=82.9409 p=0.0000
y的90.54%可由模型确定 F远超过F检验的临界值
p远小于=0.05
模型从整体上看成立参数
参数估计值
置信区间
0
29.1133
[13.7013 44.5252]
1
11.1342
[1.9778 20.2906 ]
2
-7.6080
[-12.6932 -2.5228 ]
3
0.6712
[0.2538 1.0887 ]
4
-1.4777
[-2.8518 -0.1037 ]
R2=0.9209 F=72.7771 p=0.0000
参数 参数估计值
置信区间
0
17.3244
[5.7282 28.9206]
1
1.3070
[0.6829 1.9311 ]
2
-3.6956
[-7.4989 0.1077 ]
3
0.3486
[0.0379 0.6594 ]
R2=0.9054 F=82.9409 p=0.0000
y 0 1x1 2 x2 3x22 4 x1x2
回归模型是用统计分析方法建立的最常用的一类模型
• 不涉及回归分析的数学原理和方法 • 通过实例讨论如何选择不同类型的模型 • 对软件得到的结果进行分析，对模型进行改进
10.1 牙膏的销售量
问 建立牙膏销售量与价格、广告投入之间的模型 题 预测在不同价格和广告费用下的牙膏销售量
收集了30个销售周期本公司牙膏销售量、价格、