武汉大学数学物理方法第二章
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数学物理方法第二章
数学物理方法第二章
线性代数也是数学物理方法中的重要内容。
在物理学中，许多问题可以通过线性代数的方法进行求解。
线性代数的基本内容包括向量、矩阵和线性方程组等。
向量可以表示空间中的一个点或者一个物理量，而矩阵可以表示多个向量组成的矩阵。
线性方程组通常用于求解多个物理量之间的关系。
线性代数的方法在物理学中可以应用于向量场、矩阵算符、量子力学等领域。
概率统计是研究随机事件发生及其规律性的一门学科，也是数学物理方法中的重要组成部分。
在物理学中，许多现象是随机的，无法通过确定性的数学方法直接解决。
概率统计的基本概念包括概率、随机变量和概率分布等。
概率可以描述一个事件发生的可能性大小，而随机变量可以表示随机事件对应的数值。
通过概率分布，可以推导出随机事件的统计规律。
概率统计的方法在物理学中可以应用于热力学、量子力学、统计物理学等领域。
综上所述，数学物理方法第二章主要介绍了微积分、线性代数和概率统计在数学物理中的应用。
微积分通过导数和积分描述了物理学中的变化率和累积量，线性代数通过向量和矩阵描述了多个物理量之间的关系，概率统计通过概率、随机变量和概率分布描述了随机事件发生的规律性。
这些方法在物理学中一直扮演着重要的角色，对于解决物理学中的问题具有不可替代的作用。
武汉大学数学物理方法2_5推迟势
M Tat 内的源的影响都迭加起来。M点受到源
r 的影响的时刻 t，比源发出的时刻 t − a r 迟了 ，故称之为推迟势。 a
四、例题 求解波动问题：
u tt − a ∆ u = 2 ( y − t ) u |t = 0 = 0 u | = 0 t t =0
2
( −∞ < x , y , z < ∞ )
解：
令 u = u I + u II
I 2 I 使： u tt − a ∆ u = 0 I u |t = 0 = 0 I 2 u t |t = 0 = x + yz
u tt II − a 2 ∆ u II = 2 ( y − t ) II u |t = 0 = 0 II u t |t = 0 = 0
§2.5 推迟势
一、定解问题
u tt − a 2 ∆ u = f ( M , t ) u |t = 0 = 0 u | = 0 t t =0
这是一个具有零值初始条件的有源空间波问题。
二、求解 利用冲量原理，先 考虑无源问题：
v tt − a 2 ∆ v = 0 v |t =τ = 0 v | = f 公式：
1 ∂ ϕ ( M ′) u (M ,t) = [ ∫∫ M ds 4 π a ∂ t s at at ψ ( M ′) + ∫∫ M ds ] s at at
可得：
1 v ( M , t ;τ ) = 4π a
∫∫
M sa ( t −τ )
f ( M ′, τ ) ds a (t − τ )
u(M , t) =
1 t f ( M ′, τ ) = dsd τ M ∫ ∫∫ 4π a 0 s a ( t −τ ) a (t − τ )
r 的影响的时刻 t，比源发出的时刻 t − a r 迟了 ，故称之为推迟势。 a
四、例题 求解波动问题：
u tt − a ∆ u = 2 ( y − t ) u |t = 0 = 0 u | = 0 t t =0
2
( −∞ < x , y , z < ∞ )
解：
令 u = u I + u II
I 2 I 使： u tt − a ∆ u = 0 I u |t = 0 = 0 I 2 u t |t = 0 = x + yz
u tt II − a 2 ∆ u II = 2 ( y − t ) II u |t = 0 = 0 II u t |t = 0 = 0
§2.5 推迟势
一、定解问题
u tt − a 2 ∆ u = f ( M , t ) u |t = 0 = 0 u | = 0 t t =0
这是一个具有零值初始条件的有源空间波问题。
二、求解 利用冲量原理，先 考虑无源问题：
v tt − a 2 ∆ v = 0 v |t =τ = 0 v | = f 公式：
1 ∂ ϕ ( M ′) u (M ,t) = [ ∫∫ M ds 4 π a ∂ t s at at ψ ( M ′) + ∫∫ M ds ] s at at
可得：
1 v ( M , t ;τ ) = 4π a
∫∫
M sa ( t −τ )
f ( M ′, τ ) ds a (t − τ )
u(M , t) =
1 t f ( M ′, τ ) = dsd τ M ∫ ∫∫ 4π a 0 s a ( t −τ ) a (t − τ )
武汉大学数学物理方法2_3泊松公式
(2) 由定义可知：
u (M 0 , t 0 ) =
Z
M ( x, y, z)
lim u ( r , t )
r→0 t → t0
ρ
M 0 ( x0 , y0 , z0 )
∴ 要求 u ( M 0 , t 0 ) 必须求 u ( r , t )
x = x0 + r sin θ cos ϕ y = y 0 + r sin θ sin ϕ z = z + r cos θ 0
∂u r 2 − ( x − x 0 ) 2 ∂ 2 u x − x 0 2 ) = + 2 ( 3 r ∂r r ∂r
类似的可得：
∂ 2 u ∂u r 2 − ( y − y0 ) 2 ∂ 2 u y − y 0 2 = + 2( ) 2 3 ∂r r ∂y r ∂r
∂ 2 u ∂u r 2 − ( z − z 0 ) 2 ∂ 2 u z − z 0 2 = + 2( ) 2 3 ∂r r ∂z r ∂r
又因为在直角坐标系中：
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∆u = + + 2 2 2 ∂x ∂y ∂z
由x和r的关系，可得：
∂ u ∂ u ∂r ∂ u x − x0 = = ∂ x ∂ r ∂x ∂r r ∂ 2 u ∂u ∂ x − x0 ∂ 2 u ∂r x − x0 = ( )+ 2 ⋅ 2 ∂x ∂r ∂x r ∂r ∂x r
故有：
∂ 2 u ∂ 2 u ∂ 2 u ∂ u 3r 2 − r 2 ∂ 2 u r 2 ∆u = + + 2 = + 2 2 3 ∂r ∂x ∂y ∂z r ∂r 2 r 2
2 ∂u ∂ 2 u 1 ∂ 2 (r u ) = + = 2 2 r ∂r ∂r r ∂r
武汉大学：数学物理方法课件1_2三类数理方程的导出
Q u q= = K tS n
k 导热率
(3)热源强度:单位时间,单位体积放出热量
Q F= tV
2,分析: (1)研究的问题: [热量流动,是由温差造成]设u为温度 (2)已知:
Q C,ρ,k是常数
(3)方法: 与上面的方法相同
∴ u = u ( x,t )是一维问题
3,研究,建立方程: (1)考虑任一 x段在 t时间热量情况:
§1.2
三类数理方程的导出
一,弦的横振动: 1,物理模型:细长柔软弦,紧绷于A,B 之间,做微小横振动,求运动规律
2,分析:
α
(1)研究何问题: u(x , t) 为弦位移, 取如图所示坐标系 即平衡位置
α
1
2
T2
T1
x
x + x
(2)已知:
线密度 ρ ( x , t ) = ρ (t ), 重量不计 张力 T ( x, t )为切线方向 u 2 ux = 是小量 , u x = 0 x (3)研究方法:
2
∴由胡克定律可得: T ( x , t ) = T ( x ), (t ) = ρ ρ
又 sin x =
tgx 1 + tg 2 x
2
=
ux 1+ ux
2
= ux
∴ cos x = 1 + u x = 1 即 cos x1 = cos x2 = 1
代入<1> T1 = T2 = T 代入<2>
T [u x ( x + x1t ) u x ( x,t )] + F ( x + η 2 x1t ) x
ψ h ih = ψ + U ( r )ψ t 2
《数学物理方法》课程二
f g
(z) (z)
f (z)g(z) f (z)g(z) [ g ( z )]2
df (z) dz
1 dz
， dF (w) dz
dF dw
dw dz
df
(zn ) nzn1, (ez ) ez
(cos z) sin z ， (sin z) cos z
难点：初等多值函数及其支点，支割线的概 念；已知解析函数的实部(或虚部)求该解 析函数的方法
§2.1 解析函数
一、导数的定义
设函数
在区域D上有定义，
且
，如果极限
f (z z) f (z)
lim
z 0
z
存在，则称此极限为函数
在z 点的导
数，记为： 或
，这时称函数
在z 点可微 (或可导）.
微，即
lim f (z z) f (z) f (z)
z0
z
若记
, 其中,
则前式可变为
由于 先看
lim u iv f (z) x0 x iy
y0
无论按何方式趋于零，上式总成立。 沿实轴趋于零的情况。此时
f (z) lim u iv lim u i lim v u i v
在极坐标系中，
，
哥西-黎曼条件为
三、解析函数的定义
定义：如果函数
在区域D上处处
可微，则称 是区域D上的解析函数，或称
在D上解析．
讨论：
1)有时说：“函数 在某点解析”，是指
在该点的某一邻域内处处可微.
2)“函数 在闭区域 上解析”，是指
它在包含 的某个区域上解析.
武汉大学：数学物理方法课件2_1Bessel函数
+1 :
ν
(ν - ν )C0 = 0, 设 C0 ≠ 0
2 2
2 2 ( ν + 1) ν C1 = 0 → C 1 = 0
x v+k :
2 2 ( ν + k ) ν C k + C k -2 = 0
Ck -2 ∴ Ck = （3） k (2ν + k )
n m
n m ——称之为
J n ( x)
0 x 的第m个零点如： 1 = ?
0 , x2 =?
③本征值问题（9）～（10）或（9）’～（10）’
n 本征值为： m
k
=
n xm 本征函数为：y = Jn ρ a
n xm a
证：∵ 由（9）’=1有：y ( x ) = J n ( x ) 而由（10）’ 有 J n (ka ) = 0 即 ∴
由书p353，常微方程的级数解法知，
1 p( x ) = , x ν q( x ) = 1 - x
2
∴ x＝0为（1）的正则奇点，故
k+ρ y = C x ∑ k 1．令
∞
k =0
代入（1）：
∑(k + ρ)(k + ρ -1)Ck x + ∑(k + ρ)Ck x + ∑Ck x
(-1) x y = J ±ν ( x ) = ∑ k = 0 k ! Γ( ±ν + k + 1) 2
∞ k 2 k +ν
（**）
当 ν ≠ n : y c = Cν Jν ( x ) + dν J -ν ( x ) 当 ν = n : J - n ( x ) = (-1) J n ( x ) 2.
ν
(ν - ν )C0 = 0, 设 C0 ≠ 0
2 2
2 2 ( ν + 1) ν C1 = 0 → C 1 = 0
x v+k :
2 2 ( ν + k ) ν C k + C k -2 = 0
Ck -2 ∴ Ck = （3） k (2ν + k )
n m
n m ——称之为
J n ( x)
0 x 的第m个零点如： 1 = ?
0 , x2 =?
③本征值问题（9）～（10）或（9）’～（10）’
n 本征值为： m
k
=
n xm 本征函数为：y = Jn ρ a
n xm a
证：∵ 由（9）’=1有：y ( x ) = J n ( x ) 而由（10）’ 有 J n (ka ) = 0 即 ∴
由书p353，常微方程的级数解法知，
1 p( x ) = , x ν q( x ) = 1 - x
2
∴ x＝0为（1）的正则奇点，故
k+ρ y = C x ∑ k 1．令
∞
k =0
代入（1）：
∑(k + ρ)(k + ρ -1)Ck x + ∑(k + ρ)Ck x + ∑Ck x
(-1) x y = J ±ν ( x ) = ∑ k = 0 k ! Γ( ±ν + k + 1) 2
∞ k 2 k +ν
（**）
当 ν ≠ n : y c = Cν Jν ( x ) + dν J -ν ( x ) 当 ν = n : J - n ( x ) = (-1) J n ( x ) 2.
武汉大学：数学物理方法课件1_2Legendre多项式
n
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
最高幂系: cl ,当n = 0 l c0 , 当l - 2n = 0, 即n = 2 最低幂系:
l -1 c1 , 当l - 2n = 1,即n = 2
( -1) ( 2l - 2n ) ! l-2 n ∴ Pl ( x ) = ∑ l x n = 0 2 n ! ( l - n ) ! ( l - 2n ) !
( 3)
k + 2 )( k + 1) ( = lim k →∞ l ( l + 1) - k ( k + 1)
x < 1 收敛
=1
∴y(x)当
x > 1 发散 x = 1 收敛?发散?
2.由高斯判 Re µ > 1 收敛
∞
则 ∑ f k当
k =1
Re µ ≤ 1
发散
将x = ±1代入 ( 6 ) 和 ( 7 ) 得 :
0 1
1 = ( 3 x 2 - 1) 2
(12 )
e.g.
d 求 1- x2 y′ ( x ) + 6 y = 0的一特解 dx
( )
1 y = p2 ( x ) = ( 3 x 2 - 1) 2
五、Legendre多项式的其他表示
l 1 dl 2 1.微分式 Pl ( x ) = l x -1 l 2 l ! dx
l
d
P0 ( x ) = 1
P 1 (x) = x Pl (1) ≡ 1
LL
“在数学物理中一个方法的成功不是由于巧妙 的谋略，或幸运的偶遇，而是因为他表达着物理真理 的某个方面。” O.G.沙顿《数学的应用》1954
y0 ( x ) = c0 + c2 x 2 + ... + c2 n x 2 n + c2 n + 2 x 2 n
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
最高幂系: cl ,当n = 0 l c0 , 当l - 2n = 0, 即n = 2 最低幂系:
l -1 c1 , 当l - 2n = 1,即n = 2
( -1) ( 2l - 2n ) ! l-2 n ∴ Pl ( x ) = ∑ l x n = 0 2 n ! ( l - n ) ! ( l - 2n ) !
( 3)
k + 2 )( k + 1) ( = lim k →∞ l ( l + 1) - k ( k + 1)
x < 1 收敛
=1
∴y(x)当
x > 1 发散 x = 1 收敛?发散?
2.由高斯判 Re µ > 1 收敛
∞
则 ∑ f k当
k =1
Re µ ≤ 1
发散
将x = ±1代入 ( 6 ) 和 ( 7 ) 得 :
0 1
1 = ( 3 x 2 - 1) 2
(12 )
e.g.
d 求 1- x2 y′ ( x ) + 6 y = 0的一特解 dx
( )
1 y = p2 ( x ) = ( 3 x 2 - 1) 2
五、Legendre多项式的其他表示
l 1 dl 2 1.微分式 Pl ( x ) = l x -1 l 2 l ! dx
l
d
P0 ( x ) = 1
P 1 (x) = x Pl (1) ≡ 1
LL
“在数学物理中一个方法的成功不是由于巧妙 的谋略，或幸运的偶遇，而是因为他表达着物理真理 的某个方面。” O.G.沙顿《数学的应用》1954
y0 ( x ) = c0 + c2 x 2 + ... + c2 n x 2 n + c2 n + 2 x 2 n
数学物理方法第二章 第二讲PPT课件
，设
L
为：
|
z
|
2a
(a 0) .
1
【解法
1】显然被积函数
f
(z)
z 3a z2 a2
在积分区域
L
内部有两个奇点 z1 a, z2 a ．设 l1 仅含奇点 z1 ，l2 仅含
奇点 z2 ，利用复合闭路柯西积分定理和有界域的柯西
积分公式有
21
1
1
I
dz
(za)(z3a)dz (za)(z3a)dz
L(z2 a2)(z3a) l1
za
l2
za
1
1
2πi(za)(z3a) |za 2πi(za)(z3a) |za
2πi 1 2πi 1 πi 2a(2a) (2a)(4a) 4a2
22
【解法 2】 若将上式逆时针方向转化为顺时针方向
1
积分，则被积函数 f (z) z2 a2 在 L 外部仅有一个奇点
z 3a
z
3a ，且当|
z
|
时，
f
(z)
z2
1 a2
0
，满足无界区域
的柯西积分公式条件． 故有
I
dz
dz
L (z2 a2 )(z 3a)
L (z2 a2 )(z 3a)
1
L
(z2 a2) (z 3a)
dz
2πi
z2
1
a2
|z3a
πi 4a2
23
特别说明：显然当积分区域内部的奇点 多于外部的奇点时，考察是否满足无界区域 的柯西积分公式条件，如果满足则可简化计 算．
| z | 时 f (z) ；0
（3）应用有界区域公式的积分沿着逆时针方向进
数学物理方法第二章
证明：对 [ f (z)]n 应用柯西公式
[ f (z)]n 1 [ f ( )]n d
2 i l z
若 |f(z)| 在l上极大值为M，|z| 的极小值为，l的长为s
f (z) n M n s
2
1
f
(z)
M
s
2
n
n
f (z) M
21
Liouville定理：如 f(z) 在全平面上解析，并且是有界 的，即 |f(z)| N，则 f(z) 必为常数。
f (z)dz f (z)dz f (z)dz f (z)dz
l
l1
l2
ln
13
柯西定理总结 1. 闭单通区域上的解析函数沿境界线的积分为零。
2. 闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方向 的积分和为零。
3. 闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时针方向的 积分等于沿所有内境ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ线逆时针方向的积分的和。
P Q y x
由于复变函数的积分可转化为两个实变线积分
z2
z2
z2
f (z)dz udx vdy i vdx udy
z1
z1
z1
因此可得到复变函数的积分与路径无关的充要条件
7
单连通区域柯西定理： 如果函数f (z)在闭单连通域B上解析，则沿B上任
一分段光滑闭曲线l（也可以是B的边界），有
f (z) f ()dz
max f (z) f ()
2 0
C z
18
如果l是圆周z= +reiθ，
f () 1 2 f ( rei )d 2 0
这就是说，一个解析函数在圆心处的值等于它
在圆周的平均值。
武汉大学数学物理方法2_3Cauchy公式
e.g.
Ñ ò
ez dz, l = z = 1 n z
ì ez dz = 2p ie z z =0 = 2p i, (canchy公式) ïÑ l ò z ï z ï d n -1 z 2p i e Ñ l z n dz = í dz n-1 e z =0 = (n - 1)! (n 阶导数公式) ò ï ï0（Cauchy定理） ï î ③ 推论：若 j ( z ) 在曲线 l 上连续，
∴ 设
Df 1 f (x) 1 f (x)Dz - Ñ ò l (x -z)2 dx = 2pi Ñl (x -z -Dz)(x -z)2 dx ò Dz 2pi
m f (x) = M d = m x - z ax in
f (x )Dz f (x ) 1 ∴ Df - 1 Ñ l (x - z)2 dx £ 2p Ñ l x - z - Dz x - z 2 dx ò Dz 2p i ò Dz MS 1 M Dz < ×S = d3 2p 2 p d3
则
1 j(x ) f (z) = òl x - z dx 2pi p! j(z) ( p) f (z) = ò l (x -z)p+1 dx 2pi
由上述导数公式可推得： ④ 复通区域Cauchy导数公式仍成立 2．Cauchy不等式：
f
(n)
n ! MS ( z) £ 2p d n +1
d = min x - z
z =0
1 f (x ) f (z) = Ñ l x - z dx 2p i ò
fx f (x) 1 ÑCR x-zdz £Ñl x-z dx £ x - z Ñl f (x) dx ò ò ò 1 1 £ m f (x) ×2 R< z ×e2p ® ax p 0 R- z 1- R
武汉大学：数学物理方法课件2_2Cauchy定理
大家自然会产生这样的疑问：补充了条件后的证明定律，实际上是更改和增加了定理条件，这对证明原来的定理也就失去了意义。
然而本定理不是这种情况，Cauchy 定理已于1900年由Coursat 在没有条件在内连续的条件下证明了。
后来我们也会看到，在内连续是包含在条件在内解析中的。
所以在这里实质上并未增加条件，也未出现循环推理，Coursat 证明引论CH4。
Cauchy 定理很重要，人们又称之为解析函数或积分的基本定理。
注意：()f z ¢()f z ¢s s ()f z ¢s∴12()()l l f z dz f z dz=òò现在我们清楚了为什么))i OAii OAzdz zdz=òò∵z 在复平面解析，第（2）个问题还有待于解决。
三、不定积分原函数：1．定理：若在内解析则在内()f z s s 0()()zz F z f d x x =ò一单值解析，且()()F z f z ¢=2．原函数定义：若()()z f z ¢F =则称 为 的原函数，显然()z F ()f z 0()()()zz F z f d f z x x =ò为的一个原函数，∵()()F z f z ¢=当然原函数不是唯一的，任意两原函数()()z F z CF -=只差一常数即②证：∵()()z F z CF -=[]()()()()()()0z F z z F z f z f z ¢¢¢F -=F -=-=()()z F z C F -=∴即0()()zz z f Cx F =+ò4．Newton-Leibniz 公式：对于，取()()()z z z F z C f d Cx x F =+=+ò0z z =则0()z CF =∴0()()()zz f d z z x x =F -F ò但若分别以为中心作小圆，则挖去二小圆后便得一复通区域，1z =±被积函在此复通区域解析，因此我们自然考虑到复通区域Cauchy 定理是否存在？若存在，此积分应易于求出，究竟怎样求出。
数学物理方法第二章1new
0 X ( x) Ae 1）
x
Be
x
A B 0 l Ae Be
A B0
l
0
X 0 (舍)
2） 0 X ( x) Ax B
A B 0 X 0 (舍)
3） 0 令 2 ， 为非零实数 X ( x) A cos x B sin x 2 2 n A 0 n (n 1, 2,3, ) 2 l l B sin l 0 n n 2 2 X ( x ) B sin x (n 1, 2,3, ) n 特征值和函数： n 2 ， n l
n a n a n u ( x, t ) un ( x, t ) (Cn cos t Dn sin t )sin x (6) l l l n 1 n 1
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
na na n u (Cn cos t Dn sin t ) sin x l l l n 1
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
例1：设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初 位移为 ( x) x(10 x) 1000，求弦作微小横向振动时的位移。
2 2u u 4 0 x 10, t 0 t 2 10 x 2 , t 0 u (0, t ) u (10, t ) 0, x(10 x) u ( x,0) u ( x,0) 1000 , t 0, 0 x 10 解： u( x, t ) X ( x)T (t ) X (0) 0 u(0, t ) X (0)T (t ) 0 XT 104 X T u(10, t ) X (10)T (t ) 0 X (10) 0 X 1 T (1) 4 X 10 T X X 0, 0 x 10 X X 0 X (0) 0, X (10) 0 T 104 T 0
武汉大学：数学物理方法课件1_3孤波
2、确定g (u )、f (v) : uζ = f (v ) vτ = g (u ) (6) (7) f (v), g (u ) − 待定
由(3)启示我们对(6)(7)求导来确定f , g的形式
d (6) : uζτ = f ′(v )vτ = g (u ) f ′(v ) (8) dτ d (7) : vζτ = f (v ) g ′(u ) (9) dζ 为了与Φζη 发生关系、Φζη
类似的由 (17 )得 : Φ = 4th −1 exp [α ⋅ τ + C2 (ζ )] 由的两个表达式
1 ∴ C1 (τ ) = ατ + δ , C2 (ζ ) = ζ + δ α 1 ∴ Φ = 4th exp ζ + ατ + δ α
−1
Φ ( x, t )
x−t α Φ = 4th exp + (x + t) + δ 2 2α 1 1 1 1 −1 = 4th exp ( + α ) x + (α − ) + δ 2 α 2 α
(10) + (11) : g (u ) f ′(v) = sin u cos v g (u ) cos v 令 = =α sin u f ′(v)
于是得 : g (u ) = α sin u (12)
f (v) cos u 令 (10) − (11) : = =β sin v g ′(u )
3、u和Φ
1 1 2 2 =a ⋅ θ =a ⋅ θ θ e + 1 + 2e e + e −θ + 2
= a2 ⋅
1 (e + e ) 2
武汉大学数学物理方法2_4积分论习题课
= 1- ch | cos | +∫0 cos xdchx - ∫0 cos xshxdx
1 1 1 1 + i sh | sin | -∫0 sin xdshx + ∫0 sin xchxdx = 1- cos | ch | +ish | sin |
类似可得： 麻烦。 ∫l2 sin zdz = 1- cos | ch | +i sin | sh |, 但若用N - L公式：
二. | ∫
l
| f ( z ) || dz | f ( z )dz |≤ ∫l M ⋅ S
二复线积分的计算方法： 1由定义计算
∫
l
f ( z ) dz =
n→ ∞ max|∆ z | → 0 k =1
lim
∑ f (ξ
n
k
) ∆ zk
不常用
2.由与实线积分的关系计算:
∫ ∫
l
f ( z )dz = ∫ udx − vdy + i ∫ vdx + udy
iθ iθ e ie π π (cos θ +i sin θ ) d ie dθ θ = ∫Z iθ ∫−π e π = ∫− π iecosθ ⋅ ei sin θ dθ
= ∫− π iecosθ [cos(sin θ ) + i sin(sin θ )]dθ = 2i ∫0 e cosθ cos(sin θ )dθ = 2π i
第二章积分习题课
一.小结
一.若f ( z )在区域σ内解析, σ = σ + L上连续, 则
∫
L
f ( z ) dz = 0, L = l ∫l n n f ( z ) dz = 0 ∫l f ( z ) dz = ∑ ∫lk f ( z ) dz, L = l + ∑ l k k =1 k =1 1 f (ξ ) dξ , L = l ∫ l 2πi ξ − z n n 1 f (ξ ) f (ξ ) [∫ dξ + ∑ ∫ dξ ], L = l + ∑ l k l l k 2πi ξ − z ξ−z k =1 k =1
武汉大学数学物理方法2达朗贝尔公式
3、用初始条件定特解： 由方程<2>可得：
f1 ( x) + f 2 ( x ) = ϕ ( x ) <5>
由方程<3>可得：
df 1 ( x + at ) d ( x + at ) d ( x + at ) dt
+
t =0
df 1 ( x − at ) d ( x − at ) d ( x − at ) dt
解：
∂2 ∂ ∂2 ( 2 +2 + 3 2 )u = 0 ∂x∂y ∂x ∂y
由上式可得：
∂ ∂ ∂ ∂ ( +3 )( − )u = 0 ∂x ∂y ∂x ∂y
x = ξ + η 我们令： y = 3ξ − η
<4> <5>
∴
∂x ∂ξ = 1 ∂y = 1 ∂ξ
x = x (ξ , η ) 若引入 t = t (ξ , η )
使得： ∂ = ∂ ∂ t + ∂ ∂ x = A ( ∂ + a ∂ )
∂ξ ∂t ∂ξ ∂x ∂ξ ∂t ∂x
∂ ∂ ∂t ∂ ∂x ∂ ∂ = + = A( + a ) ∂η ∂t 将上两式带入<4>式，得到：
1 u ( x , t ) = [ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at )] 2 1 x + at + ψ (α ) d α <7> ∫ 2 a x − at
三、分析解答： 1、适定性： 含参变量求导公式： ∂ ∂t
∫
x + at
x − at
数学物理方法第二章
积分 Cf(z)dz一定.存在
证 设光滑曲 C由线参数方程给出
zz(t)x(t)i y(t), t
正方向为参数增加的方向,
参数 及 对应A 于 及起 终 B , 点 点
数学物理方法第二章
6
并 z ( t) 且 0 , t,
如f(果 z) u (x ,y) iv(x ,y)在 D 内处 , 处 那u 么 (x,y)和 v(x,y)在 D内均为连 , 续函
n
n
f(k)zk [u(k,k)xkv(k,k)yk]
k1
k1
n
i[v(k,k)xku(k,k)yk]
k1
C f(z)dz CudxvdyiCvdxudy
数学物理方法第二章
9
公式 C f(z)dz CudxvdyiCvdxudy
在形式上可以看成是
f(z)uiv与 dzdxidy相乘后求 : 积
f(z)dzf ( z ) d z f ( z ) d z f ( z ) d z .
C
C 1
C 2
C n
在今后讨论的积分中, 总假定被积函数是连续的, 曲线 C 是按段光滑的.
数学物理方法第二章
12
性质：
设L是简单逐段光滑曲线，f,g在L上连续，则
(1)f(z)dz f(z)d;z反转积分路径，积分反号
z2
z2
f(z)dzudxvdyivdxudy
z1
z1
z1
因此可得到复变函数的积分与路径无关的充要条件
数学物理方法第二章
24
单连通区域柯西定理：
如果函数f (z)在闭单连通域B 上解析，则沿B上任一分段光滑 闭曲线l（也可以是B的边界）， 有
f (z)dz 0
证 设光滑曲 C由线参数方程给出
zz(t)x(t)i y(t), t
正方向为参数增加的方向,
参数 及 对应A 于 及起 终 B , 点 点
数学物理方法第二章
6
并 z ( t) 且 0 , t,
如f(果 z) u (x ,y) iv(x ,y)在 D 内处 , 处 那u 么 (x,y)和 v(x,y)在 D内均为连 , 续函
n
n
f(k)zk [u(k,k)xkv(k,k)yk]
k1
k1
n
i[v(k,k)xku(k,k)yk]
k1
C f(z)dz CudxvdyiCvdxudy
数学物理方法第二章
9
公式 C f(z)dz CudxvdyiCvdxudy
在形式上可以看成是
f(z)uiv与 dzdxidy相乘后求 : 积
f(z)dzf ( z ) d z f ( z ) d z f ( z ) d z .
C
C 1
C 2
C n
在今后讨论的积分中, 总假定被积函数是连续的, 曲线 C 是按段光滑的.
数学物理方法第二章
12
性质：
设L是简单逐段光滑曲线，f,g在L上连续，则
(1)f(z)dz f(z)d;z反转积分路径，积分反号
z2
z2
f(z)dzudxvdyivdxudy
z1
z1
z1
因此可得到复变函数的积分与路径无关的充要条件
数学物理方法第二章
24
单连通区域柯西定理：
如果函数f (z)在闭单连通域B 上解析，则沿B上任一分段光滑 闭曲线l（也可以是B的边界）， 有
f (z)dz 0
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=f(z)
lifm (z ) f(z 0 ) lim ex i) p li( m e i( ) z z 0 z z 0 z z 0rex i)p z z 0 ( s
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6
Cauchy-Riemann条件 必要条件 设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域B内一点
z=x+iy可导，那么有 1. u,u,v,v在(x,y)点处存在；
1. u(x,y),v(x,y)在 (x,y)点处可微； 2.在 (x,y)点处C 满a足 u cR hyiem条 an件 n
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9
导数的计算公式
设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点z=x+iy可导，那么 d(fz)uivviu dz x x y y
极坐标下的Cauchy-Riemann条件
x y x y 2.在(x,y)点处满 Ca足 uchRyiem条 an件 n
uv, vu x y x y
逆命题不成立
f(z) RzeIm z x,y xy0 i |xy|, xy0
f(z)在z=0处不可导
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7
充分条件 设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，若u(x,y)和v(x,y)
例1：已知某解析函数 f(z)的实部u(x,y)=x2-y2，求该解析函数。
例2：已知某解析函数 f(z)的虚部
v(x,y) x x2y2,
求该解析函数。
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16
第三节 解析函数的变换性质
解析函数是一个保角映射
=f(z)
解析函数
非解析函数： =Rez
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17
解析函数将z平面上的区域变为 平面上 的区域
4. 解析函数的充分条件
设函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，若u(x,y)和v(x,y)在B内满足 (1) u(x, y)和v(x, y)在B内的偏导数存在且 ；连续 (2)在B内每一点满 Ca足uchyRieman条n件
那么f(z)在B内解析。
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13
解析函数的主要性质
性质1：设函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在B内解析，则u(x,y)=C1， v(x,y)=C2是B内的两组正交曲线
ddz12 122212
d 1 dz dz d
dF() dFd dz d dz
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4
几何意义
导数f '(z0)的幅角Argf '(z0)是曲线经过 =f(z)映射后在z0处的 转动角
=f(z)
d df(z0)dz(t0)
dttt0
dz dt
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Argf '(z0)
5
导数f '(z0)的模|f '(z0)|是经过 =f(z)映射后通过z0的任何曲线 在z0的伸缩率
设 =f(z)是某区域B内的解析函数，它将z
平面上的区域B变为 平面上的一个区域
D，而将B上的函数u(x,y)将为u( , )，则
有
x2u2 y2u2| f(z)|2 2u22u2
y
u(x,y)
u( , )
B
D
O
x
=f(z)
O
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20
第四节 平面标量场
用复变函数表示平面标量场
在物理及工程中常常要研究各种各样的场，如电磁场、声场 等，这些场均依赖于时间和空间变量。若场与时间无关，则 称为恒定场，如静电场、流体中的定常流速等。若所研究的 场在空间的某方向上是均匀的，从而只需要研究垂直于该方 向的平面上的场，这样的场称为平面场。
z0点处的导数或微商，记为
f(z0),ddf(zz)zz0
或df(z0) dz
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2
说明
如果函数 =f(z)在区域B内的每一点可导，则称f(z)在区 域B内可导 两个例子：1. 求dzn/dz=nzn-1
2. 求证 =z*在z平面上处处连续，但处处不可导 可导必连续
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3
求导法则
ddz12dd1zdd2z d dz121dd 2z2dd 1z
u r1 rv, vr1 rd du
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10
举例
de z e z dz dsinz cosz
dz
dLnz 1 dz z
dcosz sinz dz
dsinhz coshz dz
dcoshz sinhz dz
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11
第二节 解析函数
解析函数的概念
设函数 =f(z)在点z0的某邻域内处处可导，则称函数f(z)在点z0 处解析；又若f(z)在区域B内的每一点解析，则称f(z)在区域B内 是解析函数
说明
1. 解析与可导的关系 函数在某点解析，则必在该点可导；反之不然 在区域B内的解析函数 在B内可导
2. 称函数的不解析点为奇点
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12
3. 解析函数的充分必要条件
函数 f(z) 在区域B内解析当且仅当(1)实部和虚部在B内 可微；(2)实部和虚部在B内每一点满足Cauchy-Riemann 条件
举例
f (z) z2
f (z) ez
红:实部 兰:虚部
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14
性质2：若函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是区域B内的解析函数，则 u(x,y)和v(x,y)均为B内的调和函数
举例
f (z) z2
实部
虚部
f(z)sinz
实部
虚部
最大和最小值只能在边界上达到
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15
给定实部或虚部，求解析函数
解析函数可以将z平面上的一个区域变换 为 平面上的一个区域，其中区域的边界
变换为区域的边界，甚至保持边界的方向
不变；同时区域的内部变换为区域的内部
y
v
B
D
O
x =f(z)
O
u
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18
举例
y
O
/3
x
f(z)=z3
v
O
u
v y
ia
z ia
z ia
O
u
O
x
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在解析变换下调和方程式不变的
在(x,y)处满足
1. u,u,v, v在(x, y)点处存在且连续 x y x y
2.在(x, y)点处满C足auchyRieman条n 件
那么f(z)在z=x+iy处可导。
逆命题不成立
f
(z)
zz
sin
1 zz
,
z 0
0,
z 0
其实部在原点不连续
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8
充分必要条件
设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域B内一点z=x+iy可 导的充分必要条件是
第二章 解析函数
第一节 导数 第二节 解析函数 第三节 解析函数的变换性质 第四节 平面标量场
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1
第一节 导数
导数的定义
设 =f(z)是定义在区ຫໍສະໝຸດ B上的单值函数，若在B内某点z0，极限
lim lim f(z)f(z0)
z z 0
z z0
zz0
存在，则称函数f(z)在z0点处可导，并称该极限值为函数f(z)在