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信号与系统4.7.8系统零极点分布决定时域和频域特性

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由系统函数的零极点决定时域特性

由系统函数的零极点决定时域特性


(3): 由因果关系决定：
完全解= z.i.r +z.s.r z.i.r: 没有外加的激励信号，只由起 始状态（起始时刻系统储能）所产生 的响应。 z.s.r: 不考虑起始时刻系统的储能（起 始状态为零），由系统外加激励信号产 生的响应。
*自由响应与强迫响应
R( s ) E ( s ).H ( s )
h ( t ) 2e
t t 3t
rzi (t ) c1e c2 e
例：求下列各系统函数的z-p点分布及h(t)的 波形。
s 1 1. H ( s ) 2 2 ( s 1) 2 s 2. H ( s ) 2 2 ( s 1) 2 ( s 1) 3. H ( s ) 2 2 ( s 1) 2
2.极-零图(见p209所示图) 二.零极点与时域波形的对应关系 1.左半开平面的极点(在负实轴上，一，二，m阶)； 不在负实轴上（复数共 轭成对。)
极 零图
a0 e t
a0 s

( 2)

a1 s a0 t [(a0 a1 )t a1 ]e ...... t 0 2 (s )
z-p点都受约束。 i1
4个转移函数：
u1

System
i2
u2

I 2 ( s) u 2 ( s) YT ( s) , Z T ( s) u1 ( s) I 1 ( s) u 2 ( s) I 2 ( s) k u ( s) , k i ( s) u1 ( s) I1 ( s)
极点影响小结：
• 极点落在左半平面— h(t) 逞衰减趋势 • 极点落在右半平面— h(t)逞增长趣势 • 极点落在虚轴上只有一阶极点— h(t) 等幅振荡，不能有重极点 • 极点落在原点— h(t)等于 u(t)
信号系统课程设计系统函数的零极点分布决定时域特性

信号系统课程设计系统函数的零极点分布决定时域特性

信号系统课程设计--系统函数的零极点分布决定时域特性成绩评定表课程设计任务书摘要本文详细分析了系统函数零极点的分布与冲击响应时域特性之间的关系。

首先论述了如何通过MATLAB软件绘制出系统函数的零极点分布图。

然后根据系统函数极点的不同分布情况，通过MATLAB软件绘制出冲击响应的时域函数，通过对图像的观察和比较，得出了极点的类型决定时间函数的时间连续形式，极点在S平面的位置决定时间函数的波形特点。

最后，在极点相同，但零点不同的情况下，通过比较时域函数的波形，得出零点分布与时域函数的对应关系，即零点分布的情况只影响到时域函数的幅度和相位。

关键词：系统函数的零极点；时域特性；MATLAB软件目录1课程设计目的 (1)2实验原理 (1)3实现过程 (1)3.1MATLAB简介 (1)3.2系统函数极点分布情况 (2)3.2.1极点为单实根 (2)3.2.2极点为共轭复根 (2)3.2.3极点为重根 (2)3.2.4用MATLAB绘制系统函数的零极点分布图 (2)3.3系统函数的零极点分布与冲击响应时域特性的关系 (6)3.3.1用MATLAB绘制冲击响应的时域函数 (6)3.3.2极点的类型决定时间函数的时间连续形式 (19)3.3.3极点在S平面的位置决定时间函数的波形特点 (19)3.3.4零点分布与时域函数的对应关系 (19)4设计体会 (23)5参考文献 (24)1 课程设计目的1.掌握系统函数的零极点分布与系统冲激响应时域特性之间的关系。

2.学习MATLAB 软件知识及应用。

3.利用MATLAB 编程，完成相应的信号分析和处理。

2 实验原理拉普拉斯变换将时域函数f(t)变换为s 域函数F(s)；反之，拉普拉斯逆变换将F(s)变换为相应的f(t)。

由于f(t)与F(s)之间存在一定的对应关系，故可以从函数F(s)的典型形式透视出f(t)的内在性质。

当F(s)为有理函数时，其分子多项式和分母多项式皆可分解为因子形式，各项因子指明了F(s)零点和极点的位置，显然，从这些零点和极点的分布情况，便可确定原函数的性质。

§4.8由系统函数零、极点分布决定频响特性

§4.8由系统函数零、极点分布决定频响特性

m 0
m
sin(ω 0 t )
⋅ H( s )
m
0 2 0
2
2 0
2
H(− jω) = H0 e− jϕ0 0
K − jω 0 = ( s + j ω 0 ) R ( s ) K
jω 0
=
K − jω 0 s + jω 0
+
K jω 0 s − jω 0
+
Kn K1 K2 + + ⋅⋅⋅+ s − p1 s − p2 s − pn
θ1
−
1
ψ1
O
1 RC
σ
0.5
π ϕ(ω) = −arctan CRω 2
0
2 1.5 1 0.5 0
π ω= 0 ϕ(ω) = 2 1 π ω= ϕ(ω) = RC 4 ω= ∞ ϕ(ω) = 0
0
2
4
6
8
10
0
2
4
6
8
10
返回
例4-8-2
研究下图所示RC低通滤波网络 研究下图所示RC低通滤波网络 + 的频响特性。 的频响特性。 v1(t ) V2(jω) H(jω) = − V (jω) 1 解: 写出网络转移函数表达式 V2(s) 1 1 H(s) = = ⋅ 1 V (s) RC 1 s+ RC
∏(s − P )
i =1 i
见 可 H(jω)的 性 零 点 位 有 。 特 与 极 的 置关
令分子中每一项 jω− z j = Nj e 分母中每一项
jψj
− ∏( jω p )
i =1 i
jω− P = Mi ejθi i
系统的零极点分布决定时域特性

系统的零极点分布决定时域特性

目录一、引言 (1)二、Matlab入门 (2)2.1 Matlab7.0介绍 (2)2.2利用Matlab7.0编程完成习题设计 (2)三、利用Matlab7.0实现系统函数的零极点分布决定时域特性的设计 (4)3.1系统函数的零极点分布决定时域特性的基本原理 (4)3.2编程设计及实现 (5)3.3运行结果及其分析 (6)四、结论 (11)五、参考文献 (12)一、引言《信号与系统》课程是一门实用性较强、涉及面较广的专业基础课，该课程是将学生从电路分析的知识领域引入信号处理与传输领域的关键性课程,对后续专业课起着承上启下的作用. 该课的基本方法和理论大量应用于计算机信息处理的各个领域,特别是通信、数字语音处理、数字图像处理、数字信号分析等领域,应用更为广泛。

我们选择Matlab语言作为辅助教学工具，借助Matlab强大的计算能力和图形表现能力，将《信号与系统》中的概念、方法和相应的结果，以图形的形式直观地展现给我们，大大的方便我们迅速掌握和理解老师上课教的有关信号与系统的知识。

Matlab是当前最优秀的科学计算软件之一，也是许多科学领域中分析、应用和开发的基本工具。

Matlab全称是Matrix Laboratory,是由美国Mathworks公司于20世纪80年代推出的数学软件，最初它是一种专门用于矩阵运算的软件，经过多年的发展，Matlab 已经发展成为一种功能全面的软件，几乎可以解决科学计算中的所有问题。

而且MATLAB 编写简单、代码效率高等优点使得Matlab在通信、信号处理、金融计算等领域都已经被广泛应用。

它具有强大的矩阵计算能力和良好的图形可视化功能，为用户提供了非常直观和简洁的程序开发环境，因此被称为第四代计算机语言。

Matlab 强大的图形处理功能及符号运算功能，为我们实现信号的可视化及系统分析提供了强有力的工具。

Matlab强大的工具箱函数可以分析连续信号、连续系统，同样也可以分析离散信号、离散系统，并可以对信号进行各种分析域计算，如相加、相乘、移位、反折、傅里叶变换、拉氏变换、z变换等等多种计算。

信号与系统(第四版)第四章课后答案

信号与系统(第四版)第四章课后答案


第5-10页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
4.1 拉普拉斯变换
四、常见函数的单边拉普拉斯变换
1. (t ) 1, 2.( t) 或1 3. ( t ) s, 4. 指数信号e
1
s
, 0

1 s s0
s0t
(t 2)
f1(t) 1 0 1 f2(t) 1 t
例1：e (t 2) e
-t
2
e
(t 2)
e
2

1 s 1
e
2s
-1 0
第5-17页
■
1
t
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
4.2 拉普拉斯变换性质
1 1e sT
例2： 单边冲激 T(t ) 1 e sT e s 2T 例3： 单边周期信号 fT(t ) (t ) f1(t ) f1(t T ) f1(t 2T ) F1(s )(1 e sT e s 2T )
8 e 2 s
s
f(t ) 1 0 1 y(t ) 2 4 t
二、尺度变换
2s
2
(1 e 2 s 2s e 2 s )
2 e 2 s 2 (1 e 2 s 2s e 2 s ) s
第5-16页
■
0
2
4
t
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
拉氏逆变换的物理意义
f (t )
2 j 1

j
j
F (s)est ds
拉普拉斯变换§4.08由系统函数零、极点分布决定频响特性

拉普拉斯变换§4.08由系统函数零、极点分布决定频响特性


jω z
m
jω p
i 1 i
j 1 n
令分子中每一项 j ω z j N j e
分母中每一项
jψ j
j ω Pi M i e jθi 将 j ω z j、 j ω - pi 都看作两矢量之差，将 矢量图画于复
t
频域：H(s)的全部极点落在s左半平面。 其收敛域包括虚轴： 拉氏变换 存在 傅里叶变换 存在
X
H(s)和频响特性的关系
设系统函数为 H s ，激励源e t Em sinω0t 系统的稳态响应 rmm t Em H0 sinω0 t 0
平面内。
X
画零极点图
零点 ： jω N j e z j
jω
jψ j
极点 ： j ω M i e jθi pi
jω
θi
Mi
pi
Nj
ψj
σ
O
Nj
zj
j
σ
O
zj
jω 是滑动矢量， jω 矢量变, 则N j、ψ j 和 M i、θ i 都 发生变化。
X
由矢量图确定频率响应特性
N1 e jψ1 N 2 e jψ2 N m e jψm H jω K M1 e jθ 1 M 2 e jθ 2 M n e jθ n
X
通带
O
阻带
c 截止频率
H j

O
c

带通滤波器
H j
带阻滤波器
O
c1
c 2

O
c1
c 2

X
三．根据H(s)零极图绘制系统的频响特性曲线
H jω H s s jω K
4.8由系统函数零、极点分布决定频响特性

4.8由系统函数零、极点分布决定频响特性


j j z j ) N je j j ( j pi ) M ie ji
H(
j)
k
N1e j1 N2e j 2 M1e j1 M 2e j2
Nme j m M ne jn
k N N N e 1 2
m j[(1 2 m )(1 2 n )]
M1M 2 M n
e j0t
Em H 0e j0 2j
e j0t
n i 1
kie pit
rss (t)
Em H 0 2j
[e j(0t0 )
e ] j(0t0 )
Em H 0
sin( 0t
0 )
2
稳定系统 : H (s) 输入激励 : e(t) Em sin(0t)
稳态响应 : rss (t) Em H0 sin(0t 0 )
通带
阻带
截止频率
带通
高通 带阻
4
频响特性曲线的几何作图法
m
(s zj)
H (s) k
j 1 n
(s pi )
i 1
m
( j z j )
H ( j) k
j 1 n
( j pi )
i 1
M1
p1
N1
z1
j z1 N1e j1 j p1 M1e j1
5
m
( j z j )
H ( j) k
H ( j0 )
H (s) s j0
H ( j0 ) e j0
H0e j0
H ( j) H (s) H ( j) e j() s j
H ( j)为系统的频率响应特性,其幅度 H ( j) 称为幅频特性(或幅度特性); 其相位 ( )称为
相频特性(或相位特性).
系统函数零极点分布决时域特性课件

系统函数零极点分布决时域特性课件


总结词
零点位置影响系统瞬态响应的速度和幅 度，极点位置影响系统阻尼和振荡特性 。
VS
详细描述
零点位置影响系统输出的初始状态。如果 存在接近虚轴的零点，系统的输出会迅速 达到稳定值。极点位置影响系统的阻尼特 性和振荡频率，靠近虚轴的极点会导致系 统阻尼慢，振荡时间长。
零极点分布与系统稳态误差的关系
总结词
零点位置对系统稳态误差的影响
总结词
零点位置影响系统稳态误差，靠近虚轴的零点导致稳态误差 增大。
详细描述
系统函数的零点位置也会影响系统的稳态误差。如果零点靠 近虚轴，系统的稳态误差会增大。这是因为这些零点使得系 统的极点在复平面的右侧，导致系统的极点远离虚轴，从而 使得系统的稳态误差增大。
04
极点分布对时域特性的影响
极点位置远离虚轴
系统瞬态响应较慢，因为远离虚轴的 极点会导致系统具有较小的时间常数 ，从而减缓瞬态响应。
极点位置对系统稳态误差的影响
极点位置靠近虚轴
系统稳态误差较小，因为虚轴附近的极点会导致系统具有较大的增益，从而减 小稳态误差。
极点位置远离虚轴
系统稳态误差较大，因为远离虚轴的极点会导致系统具有较小的增益，从而增 大稳态误差。
零点位置对系统瞬态响应的影响
总结词
零点位置影响系统瞬态响应，靠近虚轴的零点导致瞬态响应速度变慢。
详细描述
系统函数的零点位置也会影响系统的瞬态响应特性。如果零点靠近虚轴，系统的瞬态响应速度 会变慢。这是因为这些零点使得系统的极点在复平面的右侧，导致系统的极点远离虚轴，从而 使得系统的动态响应速度变慢。
稳态误差
系统在输入信号的作用下，实际 输出与理想输出之间的偏差。
误差类型
包括静态误差和动态误差，静态误 差是指系统在稳态下的误差，动态 误差是指系统在过渡过程中产生的 误差。
信号与系统系统函数的零极点分析

信号与系统系统函数的零极点分析


信号与系统
5.7.2 系统零极点与冲激响应模式的关系
1 H (s) 2 s
1、极点的影响 极点在原点
h(t ) tu (t ), t , h(t )
重 极 点
1 极点在实轴上 H (s) 2 ( s a) h(t ) t et u(t )，α 0，t ，h(t ) 0
0 ，响应为增长形式，

决定了振荡的快慢， 离实轴越远，
振荡越快，称为振荡频率。若 0 ，响应不振荡。
信号与系统
系统零极点与系统时域响应的关系
2、零点的影响 系统零点分布只影响系统时域响应的幅度和相位，对时域响应模式没有 影响。比如已知系统函数及相应响应
H1 (s)
s 1 (s 1) 2 32
r 1 k 1
m
令 有
j zr N r e jr
m
j pk M k e jk
j r N e r j k M e k k 1 r 1 n m
H ( ) K
( j zr ) ( j pk )
k 1 r 1 n
K
信号与系统
五．零极点与系统频率响应的关系
两系统函数仅是零点不同，它们对应的冲激响应仅是响应幅度和相位不同， 响应波形的模式均为衰减振荡模式
信号与系统 二、系统函数的极点、零点与系统频率特性的关系
5.7.3 系统零极点与系统频率响应的关系
频率特性 频率特性指系统在正弦信号激励下稳态响应随信号频率的变化情况。
实际上就是系统的傅里叶变换
主要是指幅频特性和相频特性。
信号与系统
五．零极点与系统频率响应的关系
例：已知系统的零极点图如图所示，定性画出各系统对应的幅频特性
4.7由系统函数零、极点分布决定时域特性

4.7由系统函数零、极点分布决定时域特性


H (s) A(s) K (s z1 )(s z2 ) (s z j ) (s zm ) B(s) (s p1 )(s p2 ) (s pk ) (s pn )
m
(s zj )
j 1
K n
(s pk )
k 1
z1 ,z2 zm 系统函数的零点
p1 , p2 pn 系统函数的极点
§4.7 由系统函数零、极点分布决定 时域特性
• 序言 • H(s)零、极点与h(t)波形特征 • H(s) 、E(s)的极点分布与自由响
应、强迫响应特性的对应
一．序言
第 2
页
冲激响应h(t)与系统函数H(s) 从时域和变换域两方
面表征了同一系统的本性。 在s域分析中，借助系统函数在s平面零点与极点
H(s)只能研究系统的零状态响应
•自由响应的极点只由系统本身的特性所决定，与激励
函数的形式无关，然而系数 Ai , Ak与Hs, Es都有关。
X
暂态响应和稳态响应
第 11
页
瞬态响应是指激励信号接入以后，完全响应中瞬时出现
的有关成分，随着t增大，将消失。
稳态响应＝完全响应－瞬态响应
左半平面的极点产生的函数项和瞬态响应对应。
i 1
k 1
自由响应分量 ＋强制响应分量
X
第
几点认识
10
页
•响应r(t)由两部分组成：
系统函数的极点自由响应分量；
激励函数的极点强迫响应分量。
•定义系统行列式（特征方程）的根为系统的固有频率
（或称“自然频率”、“自由频率”）。
H(s)的极点都是系统的固有频率；以简明、直观地给出系统响应的许多
规律。系统的时域、频域特性集中地以其系统函数的
天津商业大学2023年《818 信号与系统》考研专业课考试大纲

天津商业大学2023年《818 信号与系统》考研专业课考试大纲

天津商业大学2023年硕士研究生招生考试（初试）自命题科目考试大纲科目代码：818科目名称：信号与系统一、考试要求《信号与系统》是为招收信息与通信工程学术硕士生而设置的具有选拔性质的自命题初试科目。

本课程主要讨论确定性信号的时域和频域分析，线性时不变系统的描述与特性，以及信号通过线性时不变系统的时域分析与变换域分析方法。

包括连续系统与离散系统的时域分析、连续系统的频域分析、连续系统的复频域分析和离散系统的z域分析、系统的状态变量法等；要求学生牢固掌握信号与系统的时域、变换域分析的基本原理和基本方法，理解傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z变换的数学概念、物理概念与工程概念。

掌握利用信号与系统的基本理论与方法分析和解决实际问题的基本方法，能对工程中应用的简单系统建立数学模型，并对数学模型进行求解分析，并理解对应结果或结论的物理含义。

二、考试形式及时间考试形式：闭卷考试考试时间：180分钟三、考试内容（一）信号与系统基本概念掌握信号与系统的基本概念的基础上，熟悉基本信号的性质；熟悉信号的综合运算方法；掌握冲激信号的定义及运算；了解系统的基本部件及组成，熟悉微分方程和模拟框图之间的对应关系；掌握线性时不变系统的判定方法。

考核主要内容包括：1. 信号的分类2. 信号自变量的变换3. 阶跃信号与冲激信号性质及运算4. 信号的分解5. 系统模型及其分类6. 系统线性、时变性、因果、稳定性的判定（二）连续系统的时域分析了解线性系统数学模型的建立及系统的初始状态，微分方程求解思路；掌握从0_到0+状态的转换的计算；了解连续系统时域分析方法，掌握系统的零输入响应与零状态响应；掌握冲激响应的求解方法；熟悉卷积的主要性质及卷积积分的计算。

考核主要内容包括：1. 微分方程的经典求解2. 0-到0+起始点跳变值的计算3. 零输入响应和零状态响应的求解4. 系统响应的性质及判断5. 冲激响应与阶跃响应的求解5. 卷积积分的性质和计算6. 卷积法求系统的系统的零状态响应（三）傅里叶变换理解周期信号频谱的概念和常用非周期信号的频谱；熟悉周期脉冲序列的傅里叶级数，非周期单脉冲信号的频谱密度；熟练掌握信号频谱和系统函数的概念；掌握信号频带宽度的概念；熟悉傅立叶变换的主要性质；掌握卷积定理和抽样定理；理解用频域分析法求系统响应的过程原理。

系统函数的零极点分布决定时域特性

目录1.引言 (2)2.虚拟仪器开发软件Labview入门 (3)2.1 Labview简介 (3)2.2 利用Labview编程完成习题设计 (3)3.利用LabVIEW实现系统函数的零极点分布决定时域特性的设计 (20)3.1系统函数的零极点分布决定时域特性的基本原理 (20)3.2系统函数的零极点分布决定时域特性的编程设计及实现 (22)3.3运行结果及分析 (23)4. 总结 (25)5.参考文献 (25)1.引言冲激响应h(t)与系统函数H(s) 从时域和变换域两方面表征了同一系统的本性。

在s 域分析中，借助系统函数在s平面零点与极点分布的研究，可以简明、直观地给出系统响应的许多规律。

系统的时域、频域特性集中地以其系统函数的零、极点分布表现出来。

主要优点：可以预言系统的时域特性；便于划分系统的各个分量（自由／强迫，瞬态／稳态）；可以用来说明系统的正弦稳态特性。

2.虚拟仪器开发软件Labview入门2.1 Labview简介LabVIEW是一种程序开发环境，由美国国家仪器（NI）公司研制开发的，类似于C 和BASIC开发环境，但是LabVIEW与其他计算机语言的显著区别是：其他计算机语言都是采用基于文本的语言产生代码，而LabVIEW使用的是图形化编辑语言G编写程序，产生的程序是框图的形式。

LabVIEW（Laboratory Virtual Instrument Engineering Workbench）是一种用图标代替文本行创建应用程序的图形化编程语言。

传统文本编程语言根据语句和指令的先后顺序决定程序执行顺序，LabVIEW 则采用数据流编程方式，程序框图中节点之间的数据流向决定VI及函数的执行顺序。

VI指虚拟仪器，是LabVIEW]的程序模块。

LabVIEW 提供很多外观与传统仪器（如示波器、万用表）类似的控件，可用来方便地创建用户界面。

用户界面在LabVIEW中被称为前面板。

使用图标和连线，可以通过编程对前面板上的对象进行控制。

信号系统第四章第七节


一般性的讨论：
从零状态响应角度去分 析 : 零状态响应R(s) H(s)E(s)
设集总参数线性时不变系统的系统函数、激励 K (s z j )
m j 1 n
H ( s)
(s p )
i i 1
，E ( s)
Π
K ( s zl )
l 1
u
R( s)
(s p )
自由响应，强迫响应各分量，暂态响应分量和稳态响应分量.
解：
零输入响应
t 2 t
零状态响应
t
1 2t 3 全响应:r(t) (4e 3e ) (2e + e ）+ 2 2
自由响应 瞬态响应 自由响应 瞬态响应 强迫响应 稳态响应
t
0
零输入响应
t 2 t
零状态响应
t
1 2t 3 全响应:r(t) (4e 3e ) (2e + e ）+ 2 2
自由响应 瞬态响应 自由响应 瞬态响应 强迫响应 稳态响响应是含特征根-1,-2的分量 （2）瞬态响应与特征根-1,-2的值的正负有关 （3）特征根-1,-2与H(s)极点的关系
例:求如下系统的自由频率与H(s)的极点，并做比较
r ''(t ) 3r '(t ) 2r (t ) e '(t ) 3e(t )，e(t ) u(t ), 教材习题2-6(1)
2
j
极点：
零点：
-j
3、H(s)在s平面中零极点分布特点：
(1) H(s)的零点数和极点数必然相等。
(2) 若系统为实系统，则H(s)的零点或极点为复数时 必然共轭成对地出现（关于实轴镜像分布）。

实验八由系统函数零极点分布决定时域频域特性(精)

实验八由系统函数零、极点分布决定时域、频域特性实验目的用MA TLAB模拟系统函数零、极点分布决定时域、频域特性的过程实验原理计算零、极点可以用roots函数，若参数为传统函数H(s)的分子多项式系数b，则得到零点；若为分母多项式系数a，则得到极点。

MA TLAB还提供了zero(sys)和pole(sys)函数直接计算零、极点，其中sys表示系统传递函数。

另外，【p,z】=pzmap(sys)函数也具有计算极点p和零点z的功能。

不带返回值的pzmap(sys)则绘制出系统的零、极点分布图。

零极点和传递函数的多项式系数一样，可以作为LTI系统的描述方法。

MATLAB提供了（b,a）=zp2tf(z,p,k)和【z,p,k】=tf2zp(b,a)两个函数用于在上述两种描述方法之间进行转换，其中k为用零、极点表示传函数时的系统增益。

实验过程1.当F(s)极点（一阶）落于图所示s屏幕图中的各方框所处位置时，画出对应的f(t)波形填入方框中。

解：clear all, close all, clc;t = [0:.1:40]';figure, id = 1;for omega = .5:-.25:0for sigma = -.06:.03:.06p = sigma + j*omega;if omega ~= 0p = [p;p'];end[b a] = zp2tf([],p,1);subplot(3,5,id);impulse(b,a,t);set(gca,'YLim',[-20,20]);endend输出结果如下图所示，可见随着极点从虚轴左侧移动到右侧，其冲激响应有衰减变为发散；随着极点由实轴向上、下两侧移动，冲激响应由单调变化转为振荡变化，且振荡周期逐渐减小。

MATLAB知识点（9）-虚数单位i,j以及常量恢复和数学公式中经常以i、j作为下标一样，包括Fortran和C语言在内的打部分机器语言教科书都习惯的把这两个字符作为循环变量使用，但在MATLAB中i和j被默认为定义为表示虚数单位的常量。

4-8由系统函数零、极点分布决定频响特性


j0
Em H ( j0 ) Em H 0e j0 2j 2j
0
其中 H ( j0 ) H0e j
H ( j0 ) H0e j0
Em H 0 j (0t 0 ) j ( 0t 0 ) RS ( s) e e 2j


rs (t ) Em H0 sin(0t 0 )

N

U 2 ( s) R s H ( s) 1 U1 ( s) R 1 s sc RC
—
H ( j ) | H ( j ) | e
j ( )
N j ( ) e M
j
0, N 0, M 1 RC N M 0 90 0 90
( jω p )
i i 1
j 1 n
ψ i θl ) N1 N 2 N m j ( k e i1 l 1 M 1M 2 M n
m
n
三 .一阶二阶系统的S平面分析
已知某系统的H(s)的零极点在S平面的分 布，根据几何法确定该系统的幅频特性 和相频特性的趋势和渐近线
e(t ) Em sin 0t
稳态响应
e(t)与e(t)通过系统后产生的稳态响应有什么异同？
系统频率响应特性
H (s) |s jω0 H ( jω0 ) H 0e | H ( jω0 ) | e
jφ0
jφ ( ω0 )
当正弦信号频率 ω改变时，则： H ( s ) |s jω H ( jω) H ( jω) e

M1
N N H ( j ) M M
( ) ( ) ( ` )
推广：
j p1 M1e

信号与系统4.7.8系统零极点分布决定时域和频域特性


H(s)
s2
ω ω2
,
p1 jω, 在虚轴上
h(t) sinωtu(t)，等幅振荡
H(s)
(s
ω α )2
ω2
,
p1 α jω, p2 α j, 共轭根
α 0
α 0
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
若 H(s)具有多重极点，那么， 部分分式展开 式各项所对应的时间函数可能具有t,t2,t3,…与指 数函数相乘的形式，t的幂次由极点阶次决定。
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
几种典型情况的极点分布 与原函数波形的对应关系
(1)若极点位于s平面坐标原点，Hi (s)
1 s
，那么，冲
激响应就为阶跃函数，hi (t) u(t) 。
j
t
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
(2)若极点位于平面的实轴上，则冲激响应具有指数
函数形式。
17 2 16
]
10 et 10 cos(4t) 40 sin(4t)
17 17
17
10 et 10 cos(4t 760 )
17
17
强迫 响应
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
瞬态响应是指激励信号接入以后，完全响应中瞬时出现 的有关部分，随着时间增大，它将消失。
稳态响应 等于完全响应中减去瞬态响应。
如
L1[
(s
2
2s 2
)2
]
t
sin(t
)
这是幅度按线性增长的正弦振荡。
j
t sin(t)
t
j
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
几种典型情况

47系统函数零、极点分布决定时域特性解析

§4.7 由系统函数零、极点分布决 定时域特性
• 序言
• H(s)零、极点与h(t)波形特征
• H(s) 、E(s)的极点分布与自由响 应、强迫响应特性的对应
一．序言
第 2 页
冲激响应h(t)与系统函数H(s) 从时域和变换域两方 面表征了同一系统的本性。 在s域分析中，借助系统函数在s平面零点与极点 分布的研究，可以简明、直观地给出系统响应的许多 规律。系统的时域、频域特性集中地以其系统函数的 零、极点分布表现出来。 主要优点：
•定义系统行列式（特征方程）的根为系统的固有频率 （或称“自然频率”、“自由频率”）。 H(s)的极点都是系统的固有频率； H(s)零、极点相消时，某些固有频率将丢失。
X
第
4.零点的影响
系统零点分布只影响系统时域响应的幅度和相位，对时域响应模 式没有影响。比如已知系统函数及相应响应
9 页
s 1 H1 (s) (s 1) 2 32
s4 H 2 ( s) (s 1) 2 32
h1 (t ) L1[ H1 ( s)] et cos(3t )u (t )
X
三．H(s) 、E(s)的极点分布与自由响应、 强迫响应特性的对应
激励： e( t ) E ( s )
u
第 10 页
系统函数：h( t ) H ( s) m (s z j ) (s zl ) j 1 E ( s ) lv1 H ( s) n ( s Pk ) ( s Pi )
h2 (t ) L1[ H 2 ( s)] et cos(3t )u (t ) e t sin(3t )u (t ) et [cos(3t ) sin(3t )]u (t ) e t 2 sin(3t 45o )u (t )
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第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
4.7 由系统函数零、极点分布决定时域特性
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
拉普拉斯变换将时域函数f(t)变换为S域函数F(S)；反 之，拉普拉斯逆变换将F(S)变换为相应的f(t) 。
由于f(t)与F(S)之间存在一定的对应关系，故可以从函 数的典型形式透视出内在性质。
而其零点位于
s 0 （一阶） s 1 j1 （一阶） s 1 j1 （一阶） s= （一阶）
（4.7-1）
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
将此系统函数的零、极 点图绘于图中的平面内， 用符号圆圈“o”表示零点， “x”表示极点。在同一位 置画两个相同的符号表示 为二阶，例如-1处有二阶极 点
h(t)
L1[H (s)]
n
L1[
i 1
Ki ] s pi
n
L1[
i 1
Hi (s)]
n i 1
hi (t)
n
h(t) Kie pit i 1
（4.7-3）
1）这里，Pi可以是实数，但一般情况下， Pi以成对的共轭复数形 式出现。
2）各项相应的幅值由系数Ki决定，而Ki则与零点分布情况有关。
如
L1[
(s
2
2s 2
)2
]
t
sin(t
)
这是幅度按线性增长的正弦振荡。
j
t sin(t)
t
j
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
几种典型情况
j
jω0
α
O
jω0
α
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
（单调增幅）形式。
j
eat
t
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
(3) 位于虚轴上的共轭极点给出等幅震荡。
如Hi s
s2
2
, 则hi
t
sint , 它的两个极
点位于p1 j和p2 j
sin t
j
t
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
（4）落于左半平面内的共轭极点对应于衰减振荡。
j
eat sin t
t
a
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
H(s) 1 , s
p1 0在原点， h(t) L1[H(s)] u(t)
H(s) 1 , sa
p1 a
a 0, 在左实轴上 , h(t) eat u(t), 指数衰减
a 0, 在右实轴上 , h(t) eat u(t),a 0, 指数增加
零、极点图示 由于系统函数与冲激响应是一对拉普拉斯变换式，因此， 只要知道在s平面中零、极点的分布情况，就可预言该系统 在时域方面波形的特性。
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
对于集总参数线性时不变系统，其系统函数可表示为 两个多项式之比，具有以下形式
m
K(s zj )
H(s)
j 1 m
H(s)
s2
ω ω2
,
p1 jω, 在虚轴上
h(t) sinωtu(t)，等幅振荡
H(s)
(s
ω α )2
ω2
,
p1 α jω, p2 α j, 共轭根
α 0
α 0
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
若 H(s)具有多重极点，那么， 部分分式展开 式各项所对应的时间函数可能具有t,t2,t3,…与指 数函数相乘的形式，t的幂次由极点阶次决定。
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
几种典型情况的极点分布 与原函数波形的对应关系
(1)若极点位于s平面坐标原点，Hi (s)
1 s
，那么，冲
激响应就为阶跃函数，hi (t) u(t) 。
j
t
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
(2)若极点位于平面的实轴上，则冲激响应具有指数
函数形式。
零、极点定义相同，也即Ｈ(s)的分母多项式之根构成
极点，分子多项式的根构成零点。
还可按以下方式定义：
若
lim
s p1
H
(s)
，但
s
p1
H
s s p1
等于有限值，
则s
p1处有一阶极点。若 s
p1 K
H
s
s p1
直道K
n
时才等于有限值，则H(s)在s=p1处有n阶极点。
１ 的极点即H (s)的零点，当 １ 有n阶极点时，
H (s)
H (s)
即H (s)有n阶零点。
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
例如，若
H
(s)
s[(s 1)2 (s 1)2 (s2
1] 4)
s(s 1 j1)(s 1 (s 1)2 (s j2)(s
j1) j2)
那么，它的极点位于
s 1 （二阶） s j2 （一阶） s j2 （一阶）
(1)位于s平面坐标原点的二阶或三阶极点分别给出时间
函数为t或t2/2。如H (S)
1 S2
j
h(t) t
t
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
(2)实轴上的二阶极点给出t与指数函数
的乘积。如
L1[
(
s
1 a)
2
]
teat
teat
j
t
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
(3)位于虚轴上的二阶共轭极点情况。
如
Hi
(s)
s
1
a
则 hi (t) eat ，此时，极点为
负实数 pi a 0 ，冲激响应为指数衰减（单调减幅）
形式。
j
e at
t
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
如果
Hi (s)
s
1
a
则
hi (t) eat ，这时，极点
是正实数 pi a 0 ，对应的冲激响应是指数增长
(s pi )
i 1
（4.7-2）
其中，Zj表示第j个零点的位置，pi表示第i个极点的位 置。零点有m个，极点有n个。K是一个系数。
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
如果把H(s)展开部分分式，那么，每个极点将决定一项
对应的时间函数。具有一阶极点p1,p2,…pn的系统函数其冲激 响应形式如下
当F(S)为有理函数时，其分子多项式和分母多项式都 可以分解为因子形式，各项因子指明了零点和极点的位置。 显然，从这些零点和极点的分布情况，便可确定原函数的 性质。
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
（一）零、极点分布与波形特征的对应
定义 : 系统函数H (s)零、极点的定义与一般象函数F(s)
例如，L1[
(s
a)2
2
]
eat
sin(t)
(a 0)
它的两个极点位于p1 a j 和 p2 a j ，这里。
换、连续时间系统的S域分析
落于右半平面内的共轭极点对应于增幅振荡。
例如
L1[
] eat sin(t)
(s a)2 2
极点是 p1 a j 和 p2 a j