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2. 圆的一般方程与圆的标准方程的联系
一般方程
配方
标准方程(圆心,半径)
展开
3. 给出圆的一般方程,如何求圆心和半径?
-
(用配方法求解16)
小结求圆的方程
几何方法
求圆心坐标 （两条直线的交点） （常用弦的中垂线）
待定系数法
设方程为 (x-a)2 +(y-b)2 =r2 (或x2 + y2 +Dx+Ey+F =0)
(1) x2+y2-2x+4y-4=0 (2) 2x2+2y2-12x+4y=0
是 圆心（1，-2）半径3 是 圆心（3，-1）半径 10
(3) x2+2y2-6x+4y-1=0 不是 (4) x2+y2-12x+6y+50=0 不是
(5) x2+y2-3xy+5x+2y=0 不是
-
8
练习
1. 已知圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为(-2,3),
它表示以
-
D 2
,-
E 2
为圆心,
以
D2 +E2 -4F r=
为半径的圆;
2
-
5
(2)当D2＋E2－4F＝0时，方 程 表 示 一 个
点 (- D ,- E ) ； 22
(3)当D2＋E2－4F＜0时，方程无实数解,不 表示任何图形．
所以形如x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0）可表示圆的方程
求半径
列关于a，b，r（或D，E，F）
（圆心到圆上一点的距离）
的方程组
写出圆的标准方程
解出a，b，r（或D，E，F）， -写出标准方程（或一般方程1）7
巩固：
(1)已知 x2+ 圆 y2+D+ xE+ yF=0的圆心
(-2,3),半径 4,则 为 D=_4 _E_=-_6_F_=_-3__
(2)x2 +y2 -2ax-y+a=0表示 ,
方法一： 几何方法
y
M1(1,1) M2(4,2)
0
x
圆心：两条弦的中垂线的交点
-
半径：圆心到圆上一点12
举例
例1： 求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2） 的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.
方法二： 解：设所求圆的标准方程为：
（x-a）2+（y-b）2=r2
待定系数法 因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上
方法三：x 2 + y 2 + D x + E y + F = 0 ( D 2 + E 2 - 4 F 0 )
待定系数法 因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上，则
F=0
D+E+F+2=0
4D+2E+F+20=0
所求圆的方程为:
F=0
解得
D=-8
E=6
x2+y2-8x+6y=0 即（-x-4）2+（y+3）2=2145
2.2 圆的一般方程
-
1
复习
圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2 特征：直接看出圆心与半径
指出下面圆的圆心和半径：
(x-1)2+(y+2)2=2 (x+2)2+(y-2)2=5
(x+a)2+(y-2)2=a2 (a≠0)
-
2
动动手
把圆的标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2 展开，得
2
故 它 表 示 以 （ - 1 ， 3 ） 为 圆 心 ,为圆心，a 为半径的圆
42 为半径的圆. 2
-
10
[小结一]:
(1)圆的一般方程与圆的标准方程的联系:
一般方程
配方
展开
标准方程
圆 (- D 心 ,- E )半 , 1径 D 2+ E 2- 4 F
22
2
-
11
举例
例1： 求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2） 的方程，并ห้องสมุดไป่ตู้出这个圆的半径和圆心坐标.
(1 )2 x2+2y2+4 x- 1y 2 - 1=0
(2)x2+y2+2ax=0(a0)
解 ： (1 )由 2 x 2+ 2 y2+ 4 x- 1 2 y- 1 = 0(2)由x2 +y2 +2ax=0
得 x2+y2+2x-6y-1=0 2
得（x+a)2 +y2 =a2 0
即 ： （ x+1)2+(y-3)2=21 故它表示以（-a,0）
半径为4,则D,E,F分别等于
D
(A)4,-6,3
(B)-4,6,3
(C)-4,6,-3
(D)4,-6,-3
2. 2. x2+y2-2ax-y+a=0 是圆的方程的充要条件是
( A)a 1 2
(B)a 1 2
1
(C)a=
1 2
(D)a 2
D
-
9
例2：下列方程各表示什么图形?若是圆则求出 圆心、半径.
小结二
注意:求圆的方程时,要学会根据题目条件,恰 当选择圆的方程形式:
①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标 准方程较简单.
②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般 方程用待定系数法求解.
(特殊情况时,可借助图象求解更简单)
-
15
小结
1. 本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为
x2+y2+Dx+Ey+F=0 D2+E2-4F0
-
6
圆的一般方程：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2+E2-4F>0)
圆的一般方程与标准方程的关系：
1
（1）a=-D/2，b=-E/2，r= 2
D2 +E2 -4F
（2）标准方程易于看出圆心与半径
一般方程突出形式上的特点：
①x2与y2系数相同并且不等于0；
②没有xy这样的二次项
-
7
例1、判断下列方程能否表示圆的方程,若 能写出圆心与半径
方程都表示的曲线是圆呢？ 2.下列方程表示什么图形？
（1）x2+y2-2x+4y+1=0； （2）x2+y2-2x-4y+5 =0； （3）x2+y2-2x+4y+6=0.
-
4
将 x2+y2+D x+E y+F=0
左边配方，得
(x+D)2+(y+E)2=D 2+E2-4F
2
2
4
（1）当 D2+E2-4F>0 时,
（a）2+（b）2=r2 （1-a）2+（1-b）2=r2 （4-a）2+（2-b）2=r2
所求圆的方程为：
a=4
解得
b=-3
r=5
即（x-4）2-+（y+3）2=25 13
举例
例1： 求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2）
的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.
解：设所求圆的一般方程为：
x2 + y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0
由于a, b, r均为常数
令 - 2 a = D ,- 2 b = E ,a 2 + b 2 - r 2= F
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
-
3
思考
1.是不是任何一个形如 x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
