最新圆与方程教案教学讲义PPT课件

练习
1.点(2a, 1 a)在圆x2 + y2 = 4的内部,求实数 a 的 取值范围. 2.根据下列条件，求圆的方程：
（1）求过两点A(0,4)和B(4,6),且圆心在直线xy+1=0上的圆的标准方程。
（2）圆心在直线5x-3y=8上，又与两坐标轴相 切，求圆的方程。
（3）求以C(1,3)为圆心，且和直线3x-4y-7=0
程，并判断点 M1(5,7)， M2( 5,1)是否在这个圆上。
解：圆心是 A(2,3，) 半径长等于5的圆的标准方程 是：
(x2)2(y3)225
把 M1(5,7的)坐标代入方程 (x2)2(y3)225 左右两边相等，点M 1 的坐标适合圆的方程，所以点
M
在这个圆上；
1
把点 M2( 5,1的)坐标代入此方程，左右两边不 相等，点 M的2坐标不适合圆的方程，所以点 M不2在 这个圆上．
跟踪训练 已知两点M(3,8)和N(5,2)． (1)求以MN为直径的圆C的方程； (2)试判断P1(2,8)，P2(3,2)，P3(6,7)是在圆上，在 圆内，还是在圆外？
解：(1)法一：设圆心 C(a，b)，半径为 r， 则由 C 为 MN 的中点得 a＝3＋2 5＝4，b＝8＋2 2＝5， 由两点间的距离公式得
解2:设圆C的方程为 (xa)2(yb)2r2,
∵圆心在直线l:x-y+1=0上 圆经过A(1,1),B(2,-2)
待定系数法
a b1 0 (1a)2 (1b)2 r2
(2a)2 (2b)2 r2
a 3
b
2
r 5
圆 心 为 C 的 圆 的 标 准 方 程 为 ( x + 3 ) 2 ( y 2 ) 2 2 5 .

03
圆的方程的应用
解析几何中的应用
确定点与圆的位置关系
通过圆的方程，可以判断一个点是否在圆上、 圆内或圆外。
求解圆的切线方程
利用圆的方程，可以求出过某一点的圆的切线 方程。
求解圆心和半径
根据圆的方程，可以求出圆心的坐标和半径的长度。
几何图形中的应用
判断两圆的位置关系
通过比较两个圆的方程，可以判断两圆是相交、相切还是相 离。
03
frac{E}{2})$ 和半径 $frac{sqrt{D^2 + E^2 - 4F}}{2}$。
圆的参数方程
圆的参数方程为 $x = a + rcostheta$，$y = b + rsintheta$，其中 $(a, b)$ 是圆 心坐标，$r$ 是半径，$theta$ 是 参数。
该方程通过参数 $theta$ 描述了 圆上任意一点的坐标。
$(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$ ，其中$(h, k)$是圆心坐标，$r$是半 径。
不在同一直线上的三个点可以确定一 个圆，且该圆只经过这三个点。
圆的基本性质
1 2
圆的对称性
圆关于其直径对称，也关于经过其圆心的任何直 线对称。
圆的直径与半径的关系
直径是半径的两倍，半径是直径的一半。
该方程描述了一个以 $(h, k)$ 为圆心，$r$ 为
半径的圆。
当 $r = 0$ 时，方程描 述的是一个点 $(h, k)$。
圆的一般方程
01
圆的一般方程为 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$。
02
该方程可以表示任意一个圆，其中 $D, E, F$ 是常数。

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25
两圆相离条件（内含和外离）
内含
两圆圆心之间的距离小于两圆半径之差。
外离
两圆圆心之间的距离大于两圆半径之和。
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26
判断方法总结及示例
要点一
判断方法
首先根据两圆圆心距和半径和、半径差的大小关系，确定 两圆的位置关系类型（相交、相切、相离），然后根据具 体类型进一步判断是相交、内切、外切、内含还是外离。
04
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05
4. 从中可以看出，圆心坐标 为 $(2, -3)$，半径 $r = 1$
。
12
03
圆的图像与性质分析
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13
圆心位置对图像影响
圆心决定圆的位置
在平面直角坐标系中，圆心的坐标决定了圆在平面上的位置。
圆心与圆上任一点的距离等于半径
根据圆的定义，圆心到圆上任意一点的距离都等于半径，因此圆心的位置会影响圆的整体形状和大小 。
$(x - a)^{2}$ 和 $(y - b)^{2}$ 分别表示 点 $(x, y)$ 到圆心 $(a, b)$ 的水平和垂 直距离的平方。
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$r$ 表示圆的半径， 即从圆心到圆上任一 点的距离。
10
从一般方程到标准方程的转换
一般方程形式为
$x^{2} + y^{2} + Dx + Ey + F = 0$
当两个质点发生碰撞时，可以通过它们的运动轨迹（即两个圆的 方程）来求解碰撞点的坐标。
分析物体的受力情况
在某些物理问题中，可以通过分析物体运动轨迹的形状（如圆形 或椭圆形）来推断物体所受的力。
31

当$theta = 0$时，点为$(a, b)$ ；当$theta = frac{pi}{2}$时，点 为$(a - r, b)$；当$theta = pi$ 时，点为$(a - r, b + r)$。
03 圆的方程的求解
直接求解法
总结词
通过已知条件直接代入求解。
适用范围
适用于已知圆心和半径的情况。
工程设计
在工程设计中，圆的面积和周长公 式同样必不可少，如设计圆形机械 零件、计算圆形结构件的承载能力 等。
06 圆的对称性和极 坐标方程
圆的对称性
01
02
03
圆的对称性定义
圆关于其圆心具有对称性 ，即圆心是圆上任意两点 的中点。
圆的对称性质
圆关于其直径也具有对称 性，即直径将圆分成两个 相等的部分。
$frac{sqrt{D^2 + E^2 4F}}{2}$。
圆的参数方程
圆的参数方程：$x = a + rcostheta, y = b + rsintheta$， 其中$(a, b)$是圆心坐标，$r$是 半径，$theta$是参数。
圆的参数方程通过参数$theta$描 述了一个圆上的点的坐标。
圆的基本性质
01
圆是中心对称图形，即圆心是圆上任何一对对称点 的对称中心。
02
圆是旋转对称图形，即旋转任意角度后与原图重合 。
03
圆的直径是半径的两倍，且直径平分半径。
圆的应用
圆在日常生活中的应用非常广 泛，如车轮、钟表、餐具等。
在工程和科学领域中，圆也常 用于建筑设计、机械制造和天 文观测等方面。
在数学领域中，圆是基础几何 图形之一，可用于研究圆的性 质和定理，以及解决相关的数 学问题。

_____5______．
解析：圆 C : x2 y2 25 的圆心为C(0,0) ，半径r = 5 ， 因为 AC (8 0)2 (6 0)2 10 5 ，所以点 A 在圆外， 所以 AP 的最小值为 AC r 10 5 5 ，故答案为：5.
总结一下
圆的标准方程
6.已知 A2,2、 B2,6 ，则以 AB 为直径的圆的标准方程为_x_2____.y4 2 8
解析：线段 AB 的中点坐标为0, 4 ， AB 2 22 2 62 4 2 ，
所以，所求圆的半径为 2 2 ，故所求圆的标准方程为 x2 y 42 8 .
7.已知点 A(8, 6) 与圆C : x2 y2 25 ，P 是圆 C 上任意一点，则 AP 的最小值是
求圆的标准方程的两种方法
1.待定系数法.先设圆的标准方法 x a 2 y b 2 r2 ，再根据条件列出关于 a， b，r 的三个独立方程，通过解方程组求出 a，b，r 的值，从而得到圆的标准方程， 如例题 2 的解法.这是一种代数解法. 2.直接求解法.先根据题目条件求出圆心和半径，直接写出圆的标准方程，如例 3 的解法，这种解法往往需要圆的几何性质.
例 3 已知圆心为 C 的圆经过 A(1，1) ，B(2 ，2) 两点，且圆心 C 在直线l : x y 1 0 上， 求此圆的标准方程.
分析：设圆心 C 的坐标为 a,b .由已知条件可知， CA CB ，且a b 1 0 ， 由此可以求出圆心坐标和坐标.
解：解法1：
设圆心 C 的坐标为 (a ，b) . 因为圆心 C 在直线 l : x y 1 0 上，所以 a b 1 0 .① 因为 A，B 是圆上两点，所以| CA| | CB | . 根据两点间距离公式，有 (a 1)2 (b 1)2 (a 2)2 (b 2)2 ， 即 a 3b 3 0 .② 由①②可得 a 3，b 2 . 所以圆心 C 的坐标是 (3， 2) . 圆的半径 r | AC | (1 3)2 (1 2)2 5 .

解的唯一性
对于简单方程，一般有唯一解；对于多元 方程，可能有多个解。
方程的分类
一元二次方程
只含有一个未知数，且未 知数的最高次数为2的方 程。
一元一次方程
只含有一个未知数，且未 知数的最高次数为1的方 程。
多元一次方程
含有两个或更多未知数， 且未知数的最高次数为1 的方程。
高次方程
当未知数的最高次数大于 1时，称为高次方程。
04
圆与方程的关系
圆的方程表示
圆的标准方程
$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$，其中$(a, b)$为圆心， $r$为半径。
圆的参数方程
$x = a + r\cos\theta$，$y = b + r\sin\theta$，其中$(a, b)$为 圆心，$r$为半径，$\theta$为参 数。
圆与方程的综合应用
如何利用圆与方程解决实际问题？如 何将圆与方程的知识与其他数学知识 结合？
谢谢您的聆听
THANKS
周长和面积的比值是π，这是一个无理数 。
03
方程的基本概念
方程的定义
方程
含有未知数的等式，通过 求解未知数，可以得出未知数，且未 知数的次数为1的方程。
多元方程
含有两个或更多未知数的 方程。
方程的解
定义
满足方程的未知数的值称为方程的解。
解法
通过移项、合并同类项、去括号、去分母 等步骤，将方程简化，求得未知数的值。
05
圆与方程的应用
生活中的圆与方程应用
01
02
03
太阳的轨迹
利用圆的方程可以描述太 阳在天空中的运动轨迹。
地球的形状

分析时间序列的目的
描述反映经济规律 验证各项方针政策的实施效果
推断制定各项方针政策 规划经济发展计划 平衡国民经济有效高速发展 减少政策风险
分析时间序列的方法
描述方法： 平均发展水平 时距扩大法 移动平均修匀法
预测方法：移动平均预测法 最小平方法 指数平滑预测法 自回归预测法 季节指数的编制与应用
典型例题
例2 写出圆心为 A(2,3，) 半径长等于5的圆的方 程，并判断点 M1(5,7，) M2( 5,1是) 否在这个 圆上．
y
点M2在哪里？
o
x
M2
M2
A
M1
点与圆的位置关系
怎样判断点 M0(在x0圆,y0) (xa)内2 呢(？y 还b 是)2在圆r2外呢？
y
M3
o
x
M2 A
M1
点与圆的位置关系
描述方法
平均发展水平 主要是时点现象求平均问题
时距扩大法
移动平均修匀法
预测方法
1、移动平均预测法 简单移动平均预测法 加权移动平均预测法 （请注意权数的选择和应用）
最小平方法
最小平方法的原理与前面回归分析所用 的方法是一样的，其趋势方程为： Yc=a+bt 求解参数a、b的标准方程组为 ∑y=na+b ∑t ∑ty=a∑t+b∑t2
解：圆心是 A(2,3，) 半径长等于5的圆的标准
方程是：
(x2)2(y3)225
把 M1(5,7的)坐标代入方程 (x2)2(y3)225 左右两边相等，点M 1 的坐标适合圆的方程，所以点
M 1在这个圆上；
把点 M2( 5,的1)坐标代入此方程，左右两边不 相等，点 M的2坐标不适合圆的方程，所以点 M不2在 这个圆上．

2
根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组;
3
解出a，b，r或D，E，F得到标准方程或一般方程.
例题精讲 ——例2
已知线段AB的端点B的坐标是(4，3)，端点A在圆 + 1
求线段AB的中点M的轨迹方程.
点M的轨迹方程是指
点M的坐标( ，y)满足的关
系式．轨迹是指点在运动
变化过程中形成的图形、
解析： (1)表示点(0,0).
(2)表示以( 1, −2)为圆心， 11为半径的圆.
(3) 2 + 2 + 2 − 2 = 0 ⇒ + 2 + 2 = 2 + 2 ，当a=b=0
时,表示点(0，0)；当a，b 不同时为0时，表示以(− a，0)为圆心，
2 + 2 为半径的圆.
探究 方程 2 + 2 + + + = 0（2）中的D，E，F满足什么条
件时这个方程表示圆？
因此，当2 + 2 − 4 > 0时，方程x 2 + y 2 + Dx + Ey + F =
0表示一个圆．
我们把方程x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0叫做圆的一般方程.
标和半径.
解:设圆的方程是 2 + 2 + + + = 0 ①.
因为O，M1，M2三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解．把它
们的坐标依次代入方程①，得到关于D，E，F的一个三元一次方程组
=0
= −8
ቐ + + + 2 = 0 ，解这个方程组，得ቐ = 6 ，

思考8:方程 y 4(x1)2 与 y4(x1)2 表示的曲线分别是什么？
知识探究二：点与圆的位置关系
思考1:在平面几何中，点与圆有哪几种 位置关系？
思考2:在平面几何中，如何确定点与圆
的位置关系？
A A A
O
O
O
OA<r
OA=r
OA>r
思考3:在直角坐标系中，已知点M(x0，
y0)和圆C：
x2y2D xE yF0
思考3:方程 x2y22x4y10
与 x2y22x4y60表示的图形
都是圆吗？为什么？
思考4:方程 x2y2D xE yF0可化
为 (xD )2(yE )2D 2E 24F，
2
2
4
它在什么条件下表示圆？
思考5:当 D2E24F0或 D2E2时4F ，0
y B
AM
o
x
例4 已知点P（5，3），点M在圆 x2+y2-4x+2y+4=0上运动，求|PM|的最 大值和最小值.
P y
o
A Mx
C
B
小结作业
1.任一圆的方程可写成 x2y2D xE yF0 的形式，但方程 x2y2D xE yF0表示 的曲线不一定是圆，当D2E24F0 时， 方程表示圆心为( D , E ) ，半径为
方程
x2y2D xE yF 表 示0什么图
形？
思考6:方程 x2y2D xE yF0 (D2E24F0)叫做圆的一般方程，其 圆心坐标和半径分别是什么？
圆心为( D , E ) ，半径为 1 D2 E2 4F
22
2
思考7:当D=0，E=0或F=0时，
圆 x2y2D xE yF0的位置分别 有什么特点？

•
9巧妙结合故事情节，在尖锐的矛盾冲 突中， 充分深 刻显示 人物复 杂内心 世界， 突出了 对人物 性格的 刻画， 使其有 血有肉 ，栩栩 如生。
•
10保尔身上的人格特征或完美的精神 操守： 自我献 身的精 神、坚 定不移 的信念 、顽强 坚韧的 意志
•
11把记叙、描写、抒情和议论有机地 融合为 一体， 充满诗 情画意 。如描 写百草 园的景 致，绘 声绘色 ，令人 神往。
灵活应用:对任意实数k,圆C: x2+y2-6x-8y+12=0与 直线L:kx-y-4k+3=0的位置关系是( A )
A 相交 B相切 C相离 D与k值有关
圆的弦长
2.已 知 圆 C: x2(y1)25,直 线 l:mxy1m0 (1)证 明 ： 对 mR,直 线 l与 圆 C总 有 两 个 不 同 的 交 点 ； （ 2） 设 直 线 l与 圆 C交 于 A,B两 点 ， 若AB=17求 m的 值
人教版《第四章 圆与方程》PPT完美课件17
求过圆外一点的（x0,y0）的切线方程：
（1）几何法： 设切线的方程为：y-y0=k(x-x0), 由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，切 线斜率即可求出。
（2）代数法：设切线的方程为：y-y0=k(x-x0), 代入圆方程得 一个关于x的一元二次方程，
mm ,
2 2 ( 1 )2 5
因 为 直 线 与 圆 无 公 共 点 ， dr,即 m5 m5或 m5
5 故 当 m 5 或 m 5 时 ， 直 线 与 圆 无 公 共 点 。 y
（2）如图，有平面几何垂径定理知
r2d21 2,即 5m 21 得 m 25 5
d
r0
x