微分几何习题解答(曲线论)

第二章 曲面论§1曲面的概念1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。

证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。

3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。

解 ϑr =}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ；法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。

第一章 曲线论§2 向量函数5. 向量函数)(t r具有固定方向的充要条件是)(t r×)('t r= 0 。

分析：一个向量函数)(t r一般可以写成)(t r=)(t )(t e的形式，其中)(t e为单位向量函数，)(t 为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e的长度固定）。

证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t )(t e ，若)(t r具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r=)('t e ，所以 r ×'r = ' （e ×e ）=0 。

反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t )(t e求微商得'r =' e + 'e ，于是r ×'r =2 （e ×'e ）=0 ，则有 = 0 或e ×'e =0 。

当)(t = 0时，)(t r=0 可与任意方向平行；当0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e具有固定长， e ·'e= 0） ，所以'e =0 ，即e为常向量。

所以，)(t r 具有固定方向。

6．向量函数)(t r平行于固定平面的充要条件是（r r 'r ''r ）=0 。

分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r的关系。

证 若)(t r 平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n 为常向量，且)(t r·n = 0 。

微分几何试题及答案1. 曲线的微分几何描述- 给定曲线 \( r(t) = (x(t), y(t), z(t)) \)，求其速度向量\( \mathbf{v}(t) \) 和加速度向量 \( \mathbf{a}(t) \)。

2. 曲面的第一基本形式- 已知曲面 \( S \) 由参数方程 \( x(u,v), y(u,v), z(u,v) \) 给出，求曲面 \( S \) 的第一基本形式。

3. 高斯曲率和平均曲率- 对于曲面 \( S \)，给出其高斯曲率 \( K \) 和平均曲率 \( H \) 的定义，并说明它们之间的关系。

4. 测地线的性质- 解释什么是测地线，并给出测地线在曲面上的性质。

5. 曲面的第二基本形式- 已知曲面 \( S \) 的法向量场 \( \mathbf{n}(u,v) \)，求曲面 \( S \) 的第二基本形式。

6. 曲面的高斯映射- 给出曲面 \( S \) 的高斯映射的定义，并解释其几何意义。

7. 曲面的内蕴几何与外蕴几何- 描述曲面的内蕴几何与外蕴几何的区别，并给出一个例子。

8. 微分几何在物理学中的应用- 简述微分几何在广义相对论中的应用。

答案1. 曲线的微分几何描述- 速度向量 \( \mathbf{v}(t) = \frac{dr(t)}{dt} = (x'(t),y'(t), z'(t)) \)，其中 \( x'(t), y'(t), z'(t) \) 分别是\( x(t), y(t), z(t) \) 的导数。

- 加速度向量 \( \mathbf{a}(t) = \frac{d\mathbf{v}(t)}{dt} = (x''(t), y''(t), z''(t)) \)。

2. 曲面的第一基本形式- 第一基本形式由曲面的度量张量给出，即 \( g_{ij} =\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u_i} \cdot \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u_j} \)。

微分几何试题及答案一、选择题1. 曲线在某点的曲率是该点处曲线的：A. 切线斜率B. 切线方向C. 法线方向D. 切线与法线夹角的正弦值答案：D2. 曲面在某点的第一基本形式是：A. 曲面的高斯曲率B. 曲面的平均曲率C. 曲面的法向量D. 曲面在该点的切平面答案：D二、填空题1. 给定曲线 \( y = x^2 \) ，求其在点 \( x = 1 \) 处的曲率。

答案：\( \kappa = 4 \) （在 \( x = 1 \) 处）2. 曲面 \( z = x^2 + y^2 \) 在点 \( (1, 1, 2) \) 处的高斯曲率\( K \) 是：答案：\( K = 4 \) （在点 \( (1, 1, 2) \) 处）三、简答题1. 简述微分几何中“切空间”的概念。

答案：切空间是微分几何中描述曲面或流形上某一点处所有可能的切向量的集合，它是一个线性空间，可以看作是曲面或流形在某一点的局部线性近似。

2. 解释什么是高斯映射，并说明其几何意义。

答案：高斯映射是曲面上每一点处法向量的映射，它将曲面的每一点映射到其对应的法线方向。

几何意义上，高斯映射描述了曲面在某一点处的局部弯曲程度。

四、计算题1. 给定曲线 \( \vec{r}(t) = (t, t^2, t^3) \) ，求其在 \( t =1 \) 处的曲率。

答案：首先求导得到速度向量 \( \vec{r'}(t) = (1, 2t, 3t^2) \)和加速度向量 \( \vec{r''}(t) = (0, 2, 6t) \) 。

在 \( t = 1 \) 处，速度向量为 \( (1, 2, 3) \) ，加速度向量为 \( (0, 2, 6)\) 。

曲率 \( \kappa \) 由公式 \( \kappa = \frac{||\vec{r'}\times \vec{r''}||}{||\vec{r'}||^3} \) 计算得到，代入数值得到\( \kappa = \frac{12}{27} = \frac{4}{9} \) 。

第二章 曲面论§1曲面的概念1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。

证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。

3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。

解 ϑr =}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ；法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。

第一章 曲线论§2 向量函数5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r= 0 。

分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。

证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r=λ'λ（e ×e ）=0 。

反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r×'r =2λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。

当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ≠0时，有e ×'e=0，而（e ×'e 2)=22'e e -(e·'e2)＝2'e ，（因为e具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e为常向量。

所以，)(t r 具有固定方向。

6．向量函数)(t r平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。

分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r的关系。

曲线论练习题1．曲线r =()r s 在P 点的基本向量为,,,αβγ 在P 点的曲率k (s )，挠率为(),s τ则β= . ① ()k s α ； ② ()()k s s ατγ- ； ③ ()s τα- ； ④ ()().-k s s ατγ+2．曲线r =()r s 在P(s )点的基本向量为,,,αβγ 在P 点的曲率k (s )，挠率为()s τ，则γ= . ① ()k s β ； ② ()s τβ ； ③()()k s s ατγ-+ ； ④ ().s τβ-3. 曲线r =()r s 在P (s )点的基本向量为,,,αβγ 在P 点的曲率k (s )，挠率为(),s τ则下式 不正确.①()k s αβ=- ； ②()()-k s s βατγ=+ ； ③()k s αβ= ； ④().s γτβ=- 4．曲线r =()r s 在P(s )点的基本向量为,,,αβγ 在P 点的曲率k (s )，挠率为(),s τ则k (s)= .① αβ⋅ ； ② βα⋅ ； ③ αβ⋅ ； ④ .γβ⋅5．曲线r =()r s 在P(s )点的基本向量为,,,αβγ 在P 点的曲率k (s )，挠率为(),s τ则()s τ= .① αβ⋅ ； ② βγ-⋅ ； ③ βα⋅ ； ④ .γβ-⋅6．曲线r =()r t 在P 点的曲率k ，挠率为,τ则下式 不正确. ①2||||r r k r '''⨯=' ； ②3||||r r k r '''⨯=' ； ③||k r = ； ④2(,,).()r r r r r τ''''''='''⨯ 7．曲线()= r r t 在P 点的曲率k ，挠率为,τ则下式 不正确.① 2(,,)r r r r τ= ； ② 2(,,)r r r k τ= ； ③2(,,)()r r r r r τ''''''='''⨯ ； ④(,,).||r r r r r τ''''''='''⨯ 8．设曲线 (C )：(),r r t = 以下 不是(C )为平面曲线的充要条件.① (C )的密切平面固定； ② (C )的副法向量γ =常向量； ③ (C )的曲率k =0； ④ (C )的挠率τ=0.9．若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是 .①直线； ② 平面曲线； ③ 球面曲线； ④ 圆柱螺线.10．若曲线Γ的曲率、挠率都为非零常数，则曲线Γ是 .①平面曲线； ② 球面曲线； ③圆柱螺线； ④ 直线.11．曲线 (C )是一般螺线，则以下命题 不正确.① (C )的切线与一固定方向成固定角； ② (C )的副法线与一固定方向成固定角；③ (C )的主法线与一固定方向垂直； ④ (C )的副法线与一固定方向垂直.12．曲线(C )在条件 下不一定是一般螺线.① 切向量与一固定方向成固定角； ② 主法向量与一固定方向成固定角；③ 副法向量与一固定方向成固定角； ④ 曲率与挠率之比为常数.13．若曲线的切向与一固定方向成固定角，则以下命题 不正确.① 曲线的主法线与固定方向垂直； ② 曲线的副法线与固定方向成定角；③ 曲线的副法线与固定方向垂直； ④ 曲线的曲率与挠率之比为常数.1．向量函数()r r t = 具有固定长度，则()()r t r t '= .2．非零向量()r t 对任意t 有则()()0r t r t '⨯= 的充要条件是 .3．非零向量函数()r r t = 具有固定方向，则()()r t r t '⨯= .4．非零向量()r t 平行于固定平面的充要条件是 .5． 函数()r t 关于t 的旋转速度等于其微商的模().' r t6．向量{cos ,sin ,}t r t t e λ= 具有固定长度，则λ= .7．向量{,3,}r t t a = 具有固定方向，则a = .8．非零向量()r t 满足(,,)0r r r '''= ，其充要条件是()r t .9．对光滑曲线()r r t = ，它上面使 的点叫做曲面的正常点.10．曲线()r r t =的点都是 时，称该曲线为正则曲线. 11．向量函数r a tb =+ （其中,a b 为常向量，0b ≠ ）表示的曲线是 .12．圆柱螺线 (){cos ,sin ,}r t a t a t bt = 在3t=π处的切向量是 . 13．圆柱螺线 (){cos ,sin ,}r t a t a t bt = 在6t=π处的法面方程是 .14．光滑曲线()r r t = 上从点()r a 到()(0)r t t >的弧长()t σ= . 15．设曲线(),r r s = s 是曲线的自然参数，则()rs = . 16．过空间曲线上一点P 的切线和P 的邻近一点Q 作一平面σ， 当点Q 沿曲线趋于P 时，平面σ的极限位置平面π称为曲线在P 点的 .17．P (s )是2C 类曲线(C )：()r r s = 上一点，（s 为其自然参数），则||r r 是曲线(C )在P (s )的 向量. 18．挠率是零的曲线一定是 曲线.19．已知,a b 是非零常向量，则曲线r a tb =+ 的曲率k = .20．曲线的挠率0,τ=则该曲线的基本向量中， 是常向量.21．半径为R 的圆的曲率k = .22．半径为R 的圆的挠率τ= .23．在曲线上一点附近，曲线穿过在该点的法平面和 平面，但从不穿过该点的 平面.24．曲线的的主法向量β 总是指向曲线 方向.25．如果曲线是一般螺线，则这曲线的曲率与挠率之比k τ. 26．如果一曲线是一般螺线，则它的副法线与一固定方向 .27．如果一曲线的切向量与一固定方向成固定角，则曲线的主法线与这一固定方向 .28．如果一曲线的切向与一固定方向成固定角，则曲线的副法线与这一固定方向 .1. 求圆柱螺线cos ,sin ,x a t y a t z t ===在点(,0,0)a 处的密切平面和主法线.2. 求圆柱螺线cos ,sin ,x t y t z t ===在点(1,0,0)处的基本向量,,αβγ 和密切平面、副法线.3. 求曲线{sin ,cos ,}t r t t t t te = 在原点的切线和法平面.4. 求圆柱螺线 {cos ,sin ,}r t t t = 在(0,1,)2π点的切线和法平面.5. 求圆柱螺线3cos ,3sin ,4x a t y a t z at ===从它与xy 平面的交点到任意点的弧长.6. 求曲线323,x a y = 22xz a =在平面3a y =与9y a =之间的弧长. 7. 求曲线23(){,,}23t t r t t = 的曲率和挠率. 8．求圆柱螺线{cos ,sin ,}r t t t = 的曲率和挠率.9．证明曲线2213222512x=+t+t ,y=-t+t ,z t =-为平面曲线，并求出它所在的平面方程.10．证明：如果一条曲线的所有法平面包含常向量e，那么这条曲线是直线或平面曲线.11. 设在两条曲线Γ、Γ的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的切线平行，证明它们在对应点的主法线副法线也分别平行.挠曲线Γ、Γ的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的副法线平行，证明它们在对应点的切线和主法线也分别平行.12. 设在两条曲线Γ、Γ的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的主法线平行，证明它们在对应点的切线成固定角副法线也成固定角.13. 证明：如果曲线的所有切线都经过一个定点，则此曲线是直线.14. 如果曲线的所有密切平面都经过一个定点，则此曲线是平面曲线. 15. 证明一条曲线()r r s = 是一般螺线的充要条件是(,,)0.r rr =16. 证明一条曲线的所有切线不可能都是另一条曲线的切线.。

第二章曲面论§ 1曲面的概念1.求正螺面r ={ u cos v ,u sin v , bv }的坐标曲线.解u-曲线为r ={u cos v0,u sin v0,bv 0}= {0,0 , bv0} + u { cos v0, sinv0,0}, 为曲线的直母线；v-曲线为r ={ u0cos v , u0 sin v ,bv }为圆柱螺线.2 .证明双曲抛物面r ={ a (u+v) , b (u-v ) ,2uv }的坐标曲线就是它的直母线。

证u-曲线为r ={ a (u+v。

), b (u-v。

)，2u v o}={ a v。

，b v。

，0}+ u{a,b,2 v。

} 表示过点{ a v。

，b v。

,。

}以{a,b,2 v。

}为方向向量的直线;v-曲线为「= {a ( u0 +v) , b ( u 0 -v ) ,2 u 0 v} = {a u。

，b u。

，。

} +v{a,-b,2 u。

} 表示过点(a u。

, b u。

，。

)以{a,-b,2 u。

}为方向向量的直线。

3.求球面r ={acos ；：sin「,a cos；： sin ;:, a si n二}上任意点的切平面和法线方程。

saa. n解r ={ -a sin 二cos「，-a sinsin ：:,acos「：} , r .匸{-a cossin ：:, a coscos 「,0}x - a cos、：cos「y - a cos 二sin「z - a sin 二任意点的切平面方程为- a sin 二cos ：：「：-a sinsin「 a cos=0「a cos、：sin「 a cos、：cos「0即xcos ：cos + ycos ：sin + zsin 二-a = 0 ；x a cos、：cos「y a cos、：sin「z a sin 二。

cos 二cos「cossin「sin 二2 24.求椭圆柱面令斗=1在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此 a b 曲面只有一个切平面。

习题答案1p.41 习题2.3 1. 求下列曲线的曲率：(2) ()323()3,3,3r t t t t t t =−+；(4) ()33()cos ,sin ,cos2r t t t t =.解. (2) ()22()31,2,1r t t t t '=−+，)2|()|321r t t '=+,()()6,1,r t t t ''=−, ()22()()181,2,1r t r t t t t '''⨯=−−+,)2|()()|181r t r t t '''⨯=+, 2213(1)t κ=+.(4) ()1()sin 23cos ,3sin ,42r t t t t '=−−，5|()||sin 2|2r t t '=,()()1()cos23cos ,3sin ,4sin 23sin ,3cos ,02r t t t t t t t ''=−−+,()()21()()sin 23cos ,3sin ,43sin ,3cos ,04r t r t t t t t t '''⨯=−−⨯()23sin 24cos ,4sin ,34t t t =−−，25|()()|sin 24r t r t t '''⨯=，225|sin 2|t κ=，(2(21)t k π≠+). 4. 求曲线222229,3x y z x z ⎧++=⎪⎨−=⎪⎩在()2,2,1处的曲率和密切平面方程. 解. 设曲线的弧长参数方程为()()(),(),()r s x s y s z s =, ()(0)2,2,1r =，0(0)r α=，00(0)r κβ=. 则(),(),()x s y s z s 满足题给的方程组，所以有2222212,26x y y z +=+=.对上式求导得22220,20,1xx yy yy zz x y z +=+=++=. (1)再求导，得22222(2),2(2),0xx yy x y yy zz y z xx yy zz +=−++=−+++=. (2)在()2,2,1处，由(1)解出2x y z =−=，13x =±. 不妨设122333,,x y z ==−=. 所以()()01,,1,2,23x y z α==−.代入(2)得2242,,22033x y y z x y z +=−+=−−+=.所以001(0)(0,1,1)3r κβ==−−，03κ=，01,1)β=−−. 于是()0001(0,1,1)1)1,2,232γαβ=⨯=⨯−−=−−.所以在()2,2,1处，曲率为03κ=，密切平面方程为4(2)(2)(1)0x y z −+−−−=，即490x y z +−−=.7. 证明：若一条正则曲线在各点的切线都经过一个固定点，则它必定是一条直线. 证明. 设曲线C 的弧长参数方程为()r r s =，它的Frenet 标架为{};,,r αβγ，曲率和挠率分别为,κτ. 再设定点为a (常向量). 由条件，a 和()r s 都在C 的过()r s 点的切线上，所以(())//()r s a s α−. 故可设()()()r s a s s λα=+.对上式求导，利用Frenet 公式可得()()()()()()s s s s s s αλαλκβ=+.所以()0s κ=，C 是直线. □ p. 47 习题2.41. 计算习题2.3第1题中各曲线的挠率.(2) ()323()3,3,3r t t t t t t =−+；(4) ()33()cos ,sin ,cos2r t t t t =.解. (2) ()22()31,2,1r t t t t '=−+，)2|()|321r t t '=+,()()6,1,r t t t ''=−, ()22()()181,2,1r t r t t t t '''⨯=−−+，)2|()()|181r t r t t '''⨯=+，()()61,0,1r t '''=−，()216(),(),()r t r t r t ''''''=，()()222(),(),()1|()()|31r t r t r t r t r t t τ''''''=='''⨯+. (4) ()1()sin 23cos ,3sin ,42r t t t t '=−−，5|()||sin 2|2r t t '=,()()1()cos23cos ,3sin ,4sin 23sin ,3cos ,02r t t t t t t t ''=−−+,()()21()()sin 23cos ,3sin ,43sin ,3cos ,04r t r t t t t t t '''⨯=−−⨯()23sin 24cos ,4sin ,34t t t =−−，()()()2sin 23cos ,3sin ,42cos23sin ,3cos ,0r t t t t t t t '''=−−−+ ()1sin 23cos ,3sin ,02t t t +−，25|()()|sin 24r t r t t '''⨯=，()332(),(),()4t r t r t r t ''''''=，()2(),(),()|()()|r t r t r t r t r t τ''''''=='''⨯, (2(21)t k π≠+). 4. 假定()r r s =是正则弧长参数曲线，它的挠率0τ≠，曲率κ不是常数，并且222111d a ds κτκ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， (1) 其中a 为常数. 证明该曲线落在一个球面上.证明. 由条件(1)，求导得1111110d d d d ds ds ds ds κκττκκ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 因为κ不是常数，上式说明110d d ds ds τκτκ⎡⎤⎛⎫+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. (2) 设它的Frenet 标架为{};,,r αβγ. 考虑向量函数111()()()()()()()d r s r s s s s s s ds βγκκτ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. (3) 对上式求导，利用Frenet 公式和(2)式，得111111[]()0d d d d r ds ds ds ds αβκατγγτβκττκκκ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=++−+++−= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.所以r c =是常向量. 代入(3)得到111()()()()()()d c r s s s s s s ds βγκκτ⎛⎫−=+ ⎪⎝⎭， ()2222111()d a r s c ds κτκ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=− ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 这说明()r s 在以c 为中心，以a 为半径的球面上. □10. 设()r t 是单位球面上经度为t ，纬度为2t π−的点的轨迹. 求它的参数方程，并计算它的曲率和挠率.解. 单位球面的参数方程为cos cos ,cos sin ,sin x y z θϕθϕθ===，(,)[/2,/2][,]θϕππππ∈−⨯−. 其中ϕ为经度，θ为纬度. 将,2t t πϕθ==−代入，得曲线的参数方程()2()sin cos ,sin ,cos r t t t t t =.于是()()cos2,sin 2,sin r t t t t '=−，|()|1r t '=+.()()2sin 2,2cos2,cos r t t t t ''=−−，()()()2sin cos2cos sin 2,2sin sin 2cos cos2,2r t r t t t t t t t t t '''⨯=−+()()2sin cos 2(0,0,1)cos2,sin 2,0sin 2,cos2,0t t t t t t =++−，|()()|cos r t r t '''⨯=.()()()4sin (0,0,1)4cos2,4sin 2,sin cos2,sin 2,0r t t t t t t t '''==−+−−,()6sin (),(),()t r t r t r t ''''''=−.所以32cos |()()||()|1sin r t r t r t t κ'''⨯=='+， ()222(),(),()6sin |()()|cos 4(1sin )r t r t r t tr t r t t t τ''''''−=='''⨯++. p. 55 习题2.51，6. 设正则曲线C 的曲率κ处处不为零. 则下述命题是等价的：(a )C 是一般螺线(即C 的切向量与固定方向成定角)； (b )C 的主法线与固定平面平行； (c )C 的挠率与曲率之比:τκ是常数.证明. 设曲线C 的弧长参数方程为()r r s =，它的Frenet 标架为{};,,r αβγ，曲率和挠率分别为0,κτ≠.(a )⇒(b ). 设固定方向的单位向量为n . 则cos (,)n n αα=∠是常数. 因为0κ≠，求导得到0n β=，即主法线方向与固定方向n 垂直. 所以主法线与以n 为法向量的一个固定平面垂直.(b )⇒(c ). 设固定平面的单位法向量为n . 则0n β=. 于是()0d n n dsακβ==. 这说明cos n αθ=是常数，其中(,)n θα=∠. 因为0n β=，可设()()()()n s s s s λαμγ=+.用()s α与等式两边作内积，得()()cos s s n λαθ==是常数. 再由n 是单位向量可知222()1()sin s s μλθ=−=也是常数. 不妨设sin μθ=，则上式成为cos ()sin ()n s s θαθγ=+求导得到0[cos ()sin ()]()s s s θκθτβ=−.所以():()cot s s τκθ=是常数.(c )⇒(a ). 设():()cot s s τκθ=是常数. 令()cos ()sin ()n s s s θαθγ=+. 则()[cos ()sin ()]()0n s ss s θκθτβ'=−=.所以n 是常向量，从而切方向α与固定方向n 成定角(,)n θα=∠. □ 4. 证明：曲线()(,2cos sin )r t t t t t =+−和曲线122()(2cos ,2sin ,)u u r u u =−可以通过刚体运动彼此重合.证明. 对曲线1:C 11()r r u =作参数变换2u v =，可知1C 是圆柱螺线：1(2cos ,2sin ,2)r v v v =−. (2,2a b ==−)它的曲率和挠率分别为114κ=，114τ=−. 因此只要证明曲线:C ()r r t =的曲率14κ=，挠率14τ=−，从而根据曲线论基本定理，它们可以通过刚体运动彼此重合. 直接计算可得()(1,2sin ,cos )r t t t t '=+−，|()|22r t '=，()(3sin ,2cos ,sin )r t t t t ''=−−， ()()(23cos 2,4sin ,2cos )r t r t t t t '''⨯=−−−−2(1,2sin cos )t t t =−+，|()()|42r t r t '''⨯=，14κ=.()(,2sin ,cos )r t t t t '''=−，()8(),(),()r t r t r t ''''''=−，14τ=−. □注. 此类证明题，一般是由等式1()()t u κκ=确定一个函数()u u t =，然后证明1()(())t u t ττ=. p. 63 习题 2.62. 作正则参数曲线C 关于一张平面的对称曲线C *. 证明：曲线C 和C *在对应点的曲率相同，挠率的绝对值相同而符号相反.证明. 设曲线C 的弧长参数方程为()r r s =，它的Frenet 标架为{};,,r αβγ，曲率和挠率分别为0,κτ≠. 再设∏是过定点a ，以n 为单位法向量的平面. 由上图可见()r s OR =在n 方向的投影向量[()]PR n r s n =⋅，从而()r s 在平面∏上的投影向量()()[()]OP r s PR r s n r s n =−=−⋅.同理，a 在n 方向的投影向量()PQ n a n =⋅. 用11()r s OR =表示()r s 关于平面∏的对称点. 由于Q 是R 和1R 的中点，12PR PR PQ +=，所以111()2()[()]2()[()]()2[()]2().r s OR OP PR OP PQ PRr s n r s n n a n n r s n r s n r s n n a n ==+=+−=−⋅+⋅−⋅=−⋅+⋅ 求导得1()()2[()]r s s n s n αα'=−⋅，2221|()|14[()]4[()]1r s n s n s αα'=−⋅+⋅=.()r s 1()r s naQ1R R所以s 也是C *的弧长参数. 设C *的Frenet 标架为{}1111;,,r αβγ，曲率和挠率分别为1κ和1τ. 则112()r n n ααα==−⋅.再求导，得1112()[2()]n n n n κβααακββ==−⋅=−⋅.于是11||2()n n κακββκ==−⋅=，12()n n βββ=−⋅.由此得1112()2()2[()()]2[()]2()2(),n n n n n n nn n n n n n γαβγαββαγβααβγαβγγγγ=⨯=−⋅⨯−⋅⨯=−⋅−⋅⨯=−⨯⨯⨯=−⨯⨯=−+⋅2111[2()][2()][2()]n n n n n n τβγββτβτβτββτ=−⋅=−+⋅−⋅=−−⋅=−. 所以有1κκ=，1ττ=−. □3. 如果正则参数曲线的向径()r s 关于弧长s 的n 阶导数是()()()()()()()()n n n n r s a s s b s s c s s αβγ=++，求它的1n +阶导数.解. 由Frenet 公式可得(1)()()()().n n n n n n n n n n n n n n r a a b b c c a b b a c c b ακββκατγγτβκακτβτγ+=+++−++−=−++−++p. 69 习题2.74. 假定曲线:()C r r s =和曲线:()C r r s =的曲率处处不为零，且它们之间存在一一对应，使得曲线C 在每一点的主法线是曲线C 在对应点的次法线. 证明：曲线C 和C 在对应点之间的距离λ为常数，并且曲线C 的曲率和挠率满足关系式22()κλκτ=+.证明. 设曲线C 和C 的弧长参数方程分别为()r r s =和11()r r s =，它们之间的一一对应由函数关系()s s s =给出. 再设它们的Frenet 标架分别为{};,,r αβγ和{}1111;,,r αβγ，曲率和挠率分别为,κτ和11,κτ.由条件，可设1(())()()()r s s r s f s s β=+， (1)1(())()s s s γεβ=， (2)其中1ε=±. 对(1)式两边求导，得1()s f f ααβκατγ''=++−+. (3) 再用(2)两边分别与(1)两边作内积，得0f '=，所以f 为常值函数. 这说明C 和C 在对应点之间的距离1|(())()|||r s s r s f λ−==为常数.将(3)重写为1(1)s f f ακατγ'=−+. (4)上式再求导，得22111(1)s s f f f f ακβκακκβτγτβ'''''+=−+−+−.用(2)两边分别与上式两边作内积，得22()f κκτ=+. 因为0κ>，所以0f f λ==>，即有22()κλκτ=+. □8. 证明：圆柱螺线的渐伸线是落在与其轴线垂直的平面内的一条曲线，并且它也是圆柱螺线所在圆柱面与该平面的交线的渐伸线.证明. 1.以圆柱螺线的轴线为z 轴，建立空间直角坐标系. 它的参数方程为()(cos ,sin ,)r t a t a t bt =. 因为()(sin ,cos ,)r t a t a t b '=−，2|()|r t a '=，从0t =开始计算的弧长为()s t =. 由于单位切向量为21()sin ,cos ,)t a t a t b a α=−，根据定理7.3，渐伸线方程为1()()(())()(cos ,sin ,)sin ,cos ,)r t r t c s t t a t a t bt a t a t b α=+−=+−，其中c 是任意一个取定的常数. 记c =. 则渐伸线方程可以写成1()(cos ,sin ,)()(sin ,cos ,)r t a t a t bt c t a t a t b =+−−()cos ()sin ,sin ()cos ,a t a c t t a t a c t t cb =−−+−. (1)它是落在与其轴线(z 轴)垂直的平面z cb =内的一条曲线.2. 圆柱螺线所在圆柱面与该平面的交线是平面z cb =内的一个圆()(cos ,sin ,)r t a t a t cb =.它的弧长为()s t at =. 单位切向量为()(sin ,cos ,0)t t t α=−.所以它的一般的渐伸线方程为()1()()(())()cos ()sin ,sin ()cos ,r t r t c s t t a t c at t a t c at t cb α=+−==−−+−. (2)在(2)中取c ac =，就得到上面的渐伸线(1). □ 注. 在工业上，圆的渐伸线一般被用来作为齿轮的齿廓线. p.75 习题2.81. 求下列平面曲线的相对曲率r κ. (2) 双曲线：(cosh ,sinh )r a t b t =，t ∈.(4) 摆线：((sin ),(1cos ))r a t t a t =−−，[0,2]t π∈.(6) 曳物线：()cos ,ln(sec tan )sin r a t a t t a t =+−，[0,/2)t π∈.解. (2) (sinh ,cosh )r a t b t '=，(cosh ,sinh )r a t b t ''=，2||sinh r a '=，22223/2(sinh cosh )r aba tb t κ=−+.(4) (1cos ,sin )r a t t '=−，(sin ,cos )r a t t ''=，r κ=(0,2)t π∈. (6) 1sin (1,tan )sin ,cos cos r a a t t t t t ⎛⎫'==−−− ⎪⎝⎭，||tan r a t '=， 2cos (1,tan )sin (0,sec )r a t t a t t ''=−+，11cot tan r a t a tκ−=−=−，(0,/2)t π∈.2. 设平面曲线在极坐标系下的方程是()ρρθ=，其中ρ是极距，θ是极角. 求曲线的相对曲率的表达式.解. ()()()()(),()()cos ,()sin cos ,sin r x y ρθθθρθθρθθθθ===，()()()(sin ,cos )cos ,sin r ρθρθθθθθ''=+−， 2||(r ρθ'=， ()()()2()(sin ,cos )()cos ,sin cos ,sin r ρθρθθθρθθθθθ'''''=+−−()()2()(sin ,cos )()()cos ,sin ρθθθρθρθθθ'''=+−−，22223/2()2()()()[()()]r ρθρθρθρθκρθρθ'''+−='+. 6. 已知平面曲线的相对曲率()r s κ=s 是弧长参数，求它的参数方程.解. 令0()()arcsin sr s d s θκξξ==⎰，则sin(())s s θ=，cos(())s θ=[1,1]s ∈−.因此所求曲线的弧长参数方程为()2001(cos(()),sin(())))arcsin 2s s r d d s s θξθξξξξ===+⎰⎰.8. 求圆222:C x y a +=的渐伸线.解. 习题2.7第8题已经求得圆(cos ,sin )r a t a t =的渐伸线方程为 ()1()()(())()cos ()sin ,sin ()cos r t r t c s t t a t c at t a t c at t α=+−==−−+−. 特别，常数0c =的那一条渐伸线为()1()()()()cos sin ,sin cos r t r t s t t a t t t t t t α=−=+−.习题答案2p. 58 习题3.12. 在球面2222{(,,)|1}S x y z x y z =++=上，命(0,0,1)N =，(0,0,1)S =−. 对于赤道平面上的任意一点(,,0)p u v =，可以作为一的一条直线经过,N p 两点，它与球面有唯一的交点，记为p '. (1) 证明：点p '的坐标是2221u x u v =++，2221vy u v =++，222211u v z u v +−=++， 并且它给出了球面上去掉北极N 的剩余部分的正则参数表示； (2) 求球面上去掉南极S 的剩余部分的类似的正则参数表示； (3) 求上面两种正则参数表示在公共部分的参数变换； (4) 证明球面是可定向曲面.证明. (1) 设(,)r u v Op '=. 如图，,,N p p '三点共线，故有t ∈使得(1)Op tOp t ON '=+−. (1) 由于21Op ON =='，222u v Op =+，0Op ON '⋅=，0t ≠，取上式两边的模长平方，得222/(1)t u v =++. 从而22222221(,,)(,,0)(0,0,1)11u v x y z Op u v u v u v +−'==+++++ 22222222221,,111u v u v u v u v u v ⎛⎫+−= ⎪++++++⎝⎭，2(,)u v ∈. (2)由(1)可知(,,1)(0,0,1)(,,1)r Op tNp ON t u v tu tv t '==+=−+=−，又2()dt t udu vdv =−+，所以2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =−−+，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =−−+，332(1,0,)(0,1,)(0,0,1)u v r r t u u t v v t ⨯=−−+22222(,,()1)(,,1)0t tu tv t u v t tu tv t t r =−+−=−−=−≠. (3)因此(,)r r u v =给出了2\{}S N 的正则参数表示.(2)令(,,0)q u v =是,S p '两点连线与赤道平面的交点. 同理，有(1)(,,1)Op t Oq t OS t u t v t '=+−=−，222/(1)t u v =++，22222222221(,,),,111u v u vr x y z Op u v u v u v ⎛⎫−−'=== ⎪++++++⎝⎭，2(,)u v ∈. (4)2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =−+，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =−+，332(1,0,)(0,1,)(0,0,1)u v r r t u u t v v t ⨯=−−−−+22222(,,1())(,,1)0t t u t v t u v t t u t v t t r =−+=−=≠. (5)因此(4)给出了2\{}S S 的正则参数表示.(3) 由(2)和(4)式可得2222()()1u v u v ++=，从而上面两种正则参数表示在公共部分2\{,}S N S 上的参数变换公式为22u u u v =+，22vv u v =+. (6) 由(3)和(5)可知22222222222(,)(1)10(,)(1)()u v t u v u v t u v u v ∂++=−=−=−<∂+++. 所以参数变换是可允许的，并且是改变定向的参数变换.注. 如果采用复坐标，令,z u i v w u i v =+=−，则上面的参数变换可写成1/w z =. 这就是广义复平面上的共形变换.(4) 在2\{}S N 上采用(1)式给出的正则参数表示，在2\{}S S 上采用正则参数表示22222222221(,).,,111u v u v r u v u v u v u v ⎛⎫−−−= ⎪++++++⎝⎭则在公共部分的参数变换公式为22u u u v =+，22vv u v−=+. (4) 由于{}22\{},\{}S N S S 构成2S 的开覆盖，并且22222222222222222()()2222()()(,)10(,)()v u uv u v u v uv v u u v u v u v u v u v −++−−++∂==>∂+， 所以2S 是可定向的. □5 写出单叶双曲面2222221x y z a b c+−=和双曲抛物面22222x y z a b =−作为直纹面的参数方程.解. (1) 对单叶双曲面，取腰椭圆()(cos ,sin ,0)a u a u b u =，(0,2)u π∈为准线. 设直母线的方向向量为()()(),(),()l u aX u bY u cZ u =. 则直纹面的参数方程为()(,)()()(cos ()),(sin ()),()r u v a u vl u a u vX u b u vY u cvZ u =+=++.由于(,)r u v 的分量满足单叶双曲面的方程，可得222(cos ())(sin ())(())1u vX u u vY u vZ u +++−=，v ∀∈.由v 得任意性得到cos ()sin ()0uX u uY u +=，222()()()X u Y u Z u +=.因此():():()sin :cos :1X u Y u Z u u u =−±. 取()()sin ,cos ,l u a u b u c =−得()(,)(cos sin ),(sin cos ),r u v a u v u b u v u cv =−+，(,)(0,2)u v π∈⨯. (2) 对双曲抛物面，令()x a u v =+，()y b u v =−，则2z uv =. 曲面的参数方程为()(,)(),(),2r u v a u v b u v uv =+−(,,0)(,,2)(,,0)(,,2)au bu v a b u av bv u a b v =+−=−+，2(,)u v ∈.p. 94 习题3.21. 证明：一个正则参数曲面S 是球面⇔它的所有法线都经过一个固定点. 证明. “⇒”设S 是球面，参数方程为(,)r u v ，球心为a ，半径为R . 则有22((,))r u v a R −=，,u v D ∀∈. (1)微分可得()0u r r a −=，()0v r r a −=. (2)所以()//u v r a r r −⨯，从而u v r a r r λ−=⨯，即有函数(,)u v λλ=使得(,)(,)[(,)][(,)]u v a r u v u v r u v r u v λ=−⨯. (3)这说明球心a 在它的所有法线上.“⇐” 设S 的所有法线都经过一个固定点a . 则有函数(,)u v λλ=使得(3)式成立，即有u v r a r r λ−=⨯. 分别用,u v r r 作内积，可得(2). 这说明2()0d r a −=，从而(1)式成立，其中0R >(否则S 只是一个点，不是正则曲面)是常数. 因此S 是以a 为球心，以R 为半径的球面，或球面的一部分. □3. 证明：一个正则参数曲面S 是旋转面⇔它的所有法线都与一条固定直线相交.证明. “⇒”设S 是旋转面，旋转轴L 为z 轴. 它的参数方程为()(,)()cos ,()sin ,()r u v f v u f v u g v =，(()0)f v >.因为()()sin ,cos ,0u r f v u u =−，()()cos ,()sin ,()v r f v u f v u g v '''=，()()()cos ,()sin ,()u v r r f v g v u g v u f v '''⨯=−，所以S 上任意一点(,)r u v 处的法线N 的参数方程为()(,)[(,)(,)]u v X t r u v t r u v r u v =+⨯.由于z 轴的参数方程为()(0,0,1)Y s s s k ==，并且()()cos ()sin ()()0()cos ()sin (),,001u v f v u f v u g v f v g v u g v u f v r r r k '''==−⨯，所以L 与N 共面. 如果L 与N 处处平行，则()//u v r r k ⨯，从而()0g v '=. 此时S 是垂直于z 轴的平面()z g v c ==. 所以当S 不是垂直于z 轴的平面时，旋转面S 的所有法线都与z 轴相交.“⇐” 通过选取坐标系，不妨设固定直线为z 轴. 设S 的参数方程为(,)((,),(,),(,))r u v x u v y u v z u v =，(,)u v D ∈.由条件，S 的所有法线都与z 轴相交，所以法线不能与z 轴平行，即00(,)(,)(,)(,),,//(,)(,)(,)u v u v y z x z x y r r u v u v u v ∂∂∂⎛⎫−⨯= ⎪∂∂∂⎝⎭(0,0,1)，00(,)u v D ∀∈. 因此00(,)(,)(,)u v y z u v ∂∂，00(,)(,)(,)u v x z u v ∂∂不能全为零. 不妨设在00(,)u v 点邻近(,)0(,)y z u v ∂≠∂.通过参数变换，曲面的参数方程可以写成(,)((,),,)r u v x u v u v =，(,)u v D ∈. (1)于是(),1,0u u r x =，(),0,1v v r x =，()1,,u v u v r r x x ⨯=−−. 因为所有法线都与z 轴相交，()0,,u v r r r k ≡⨯，即有0u xx u +=. 这说明22x u +是一个仅仅依赖于v 的函数. 设222()x u f v +=，其中()0f v >. 作参数变换()cos ,u f v v v θ==. 由上式得()sin x f v θ=，S 的参数方程(1)可以改写为(,)(()sin ,()cos ,)r vf v f v v θθθ=.这是一个旋转面，由yOz 平面上的母线()y f z =绕z 轴旋转而得. □5. 设S 是圆锥面(cos ,sin ,)r v u v u v =，:,t C u v e ==是S 上的一条曲线.(1) 将曲线C 的切向量用,u v r r 的线性组合表示出来； (2) 证明：C 的切向量平分了u r 和v r 的夹角. (1) 解. C 的参数方程为()()),),),1t t t t r e e e e ==.C 的切向量为()()cos(2),sin(2),1),02(2,)(2,).t ttttu v r e t t r t e e r t e '=+−=+(2)证明. 因为(sin ,cos ,0),(cos ,sin ,1)u v r v u v u r u u =−=，在曲线C 上每一点t 处，()(2,)),0t t u r t e e =−，()(2,)),1t v r t e =.由上可知2t e r ='. 所以222cos (,)2t u u tur r e r r r e r '⋅'∠==='(,)4u r r π'∠=； 2cos (,)22t v v t v r r e r r r e r '⋅'∠==='，(,)(,)4v u r r r r π''∠==∠. □ p. 104 习题3.3 2. 设球面的参数方程是22222222222222,,au av u v a r u v a u v a u v a ⎛⎫+−= ⎪++++++⎝⎭. 求它的第一基本形式.解. 记2222/()t u v a =++. 则(,,)(0,0,1)r at u v a =−+，2u t ut =−，2v t vt =−， (,,)(1,0,0)u u r at u v a at =−+，(,,)(0,1,0)v v r at u v a at =−+.所以()22222222222222224()2()u u u a E r a t u v a a t t u a t a t u v a ==++++==++， 222222()0u v u v u v F r r a t t u v a a t t v a t t u =⋅=++++=，()22222222222222224()2()v v v a G r a t u v a a t t v a t a t u v a ==++++==++， 从而2222222224I ()()a Edu Gdv du dv u v a =+=+++. 5. 设在曲面上一点(,)u v ，由微分,du dv 的二次方程22(,)2(,)(,)0P u v du Q u v dudv R u v dv ++= (1)确定了在该点的两个切方向. 证明：这两个切方向彼此正交⇔函数,,P Q R 满足20ER FQ GP −+=，其中,,E F G 是曲面的第一基本形式.证明. 由条件，二次方程(1)有两个互异的实根:du dv 和:u v δδ，因此可以分解为两个一次因子的乘积：2211222()()Pdu Qdudv Rdv A du B dv A du B dv ++=++. (2)其中1122,,,A B A B 是关于变量(,)u v 的函数. 因为上式是关于文字,du dv 的二次多项式，比较两边的系数，得12P A A =，12212Q A B A B =+，12R B B =. (3)由(2)可知(1)所确定两个切方向为11::du dv B A =−，22::u v B A δδ=−. (4)这两个切方向彼此正交⇔()0Edu u F du v dv u Gdv v δδδδ+++= (课本(3.18)) 12121212()0EB B F B A A B GA A ⇔−++= (由(4)式)20ER FQ GP ⇔−+=. (由(3)式) □8. 已知曲面的第一基本形式为2222I ()du u a dv =++.(1) 求曲线1:0C u v +=与2:0C u v −=的交角；(2) 求曲线21:C u av =，22:C u av =−和3:1C v =所围成的曲边三角形的各个边长和各个内角.(3) 求曲线1:C u av =，2:C u av =−和3:1C v =所围成的曲边三角形的面积. 解. (1) 已知221,0,E F G u a ===+. 因为交点为(,)(0,0)u v =. 在交点处2G a =. 对于1C ，du dv =−；对于2C ，u v δδ=. 所以它们的切方向,dr r δ满足22221cos (,)1dr ra dr r a dr r du δδδ⋅−∠===±+. 于是它们的交角为221arccos 1a a −+，或221arccos 1a a −+. (2) 不妨设常数0a >. 如图，在曲纹坐标下，1C 与2C 的交点为(0,0)O ，1C 与3C 的交点为(,1)A a ，C 与C 的交点为(,1)B a −.因为是计算内角，在O 点20,0du avdv dv ==>. 同理，0,0u v =>，所以内角0O ∠=.在A 点220du avdv adv ==<，0,0u v δδ<=，所以2cos dr r A dr r du δδ⋅∠===在B 点220du avdv adv =−=−>，0,0u v δδ>=，2cos dr r B dr r du δδ⋅∠===. 所以0O ∠=，A B ∠=∠=. 曲线1C ，2C ，3C 的弧长分别为1120()()C L C a L C ===⎰⎰，3()2a C aL C du a −===⎰⎰.注. 在90版中，本题为212:a C u v =，222:a C u v =−，3:1C v =，故127 122600()(2)()aCL C a v dv a L C ===+==⎰⎰⎰，3/23/2()aC aL C du a−===⎰⎰.(3)因为dσ=，所以曲边三角形的面积110002avAOBA dσ∆−===⎰⎰⎰⎰⎰⎰(1200lnavuaa dv⎡=++⎢⎣⎰(12lna v dv⎡=++⎢⎣⎰(()(13/222213ln1ln1.a v v v a⎡⎤⎡=+−+=++⎢⎥⎣⎣⎦p. 110 习题3.41. 设空间曲线()r r s=以弧长s为参数，曲率是κ. 写出它的切线曲面的参数方程，使得相应的参数曲线构成正交曲线网.解. 设曲线()r s的Frenet标架是{};,,rαβγ. 则它的切线曲面参数方程可写为(,)()()R s t r s t sα=+.由s R tακβ=+，t Rα=可得它的第一基本形式2222I(1())2t s ds dsdt dtκ=+++. (1) 直母线(即t-曲线)0sδ=的正交轨线的微分方程为0ds dt+=，即()0d s t+=. 为此，作参数变换u s=，v s t=+. 则逆变换为s u=，t v u=−，切线曲面的参数方程为(,)()()()R u v r u v u uα=+−.在新参数下，(,)()()()()()()()()uR u v u u v u u u v u u uαακβκβ=−+−=−，(,)()vR u v uα=.第一基本形式化为2222I()()v u u du dvκ=−+.所以参数曲线构成正交曲线网. 也可将s u=，t v u=−直接代入(1)式得到上式：22222222 I[1()()]2()()()()v u u du du dv du dv du v u u du dvκκ=+−+−+−=−+. 3. 求曲线(cos sin,sin cos,)r v u k u v u k u ku=−+的参数曲线的正交轨线，其中0k>是常数.解.(sin cos,cos sin,)ur v u k u v u k u k=−−−，(cos,sin,0)vr u u=.第一基本形式为2222I(2)v k du kdudv dv=+−+.u-曲线0vδ=的正交轨线的微分方程为0Edu Fdv+=，即22(2)0v k du kdv+−=. 解这个微分方程：222kdvdu dv k===+，得到u -曲线的过00(,)u v 的正交轨线为00)v u u v =−+.v -曲线0u δ=的正交轨线的微分方程为0Fdu Gdv +=，即kdu dv =. 过00(,)u v 的正交轨线为00()v k u u v =−+.p. 110 习题3.51. 证明：在悬链面(cosh cos ,cosh sin ,)r a t a t at θθ=，(,)(0,2)t θπ∈⨯与正螺面(cos ,sin ,)r v u v u au =，(,)(0,2)u v π∈⨯之间存在保长对应.证明. 悬链面的第一基本形式为22221I [(sinh cos cosh sin )(sinh sin cosh cos )]a t dt t d t dt t d dt θθθθθθ=−+++ 2222cosh ()a t dt d θ=+.正螺面的第一基本形式为222222222I (sin cos )(cos sin )()v udu udv v udu udv a du a v du dv =−++++=++2222()a v du ⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 对正螺面作参数变换，令,sinh u v a t θ==. 则(,)cosh 0(,)u v a t t θ∂=−≠∂，参数变换是可允许的. 由于,cosh du d dv a tdt θ====，正螺面的第一基本形式化为2222222221I ()cosh ()I a v a t d dt du θ⎡⎤=+=+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 根据定理5.3，在悬链面与正螺面之间存在保长对应. 对应关系式为,sinh u v a t θ==. □p. 110 习题3.51. 判断下列曲面中哪些是可展曲面？说明理由.(1) ()2234233,2,vu v r u u uv u =+++； (2) ()cos ()sin ,sin ()cos ,2r v u v v v u v v u v =−++++；(3) ()(),(),2r a u v b u v uv =+−； (4) ()cos ,sin ,sin 2r u v u v v =.解. (1) ()()234236()(),2,1,3,2v v u r a u a u u u u u u '=+=+.所以它是可展曲面，因为它是正则曲线()234(),2,a u u u u =(0u ≠)的切线面. (2) ()()()()()cos ,sin ,sin ,cos ,1r u v a v ua v v v v v v '=++=+−，其中()()cos ,sin ,a v v v v =是圆柱螺线，u u v =+. 所以它是可展曲面.(3) 令()(),,0a u au bu =，()(),,2l u a b u =−.则()()r a u v l u =+，直接计算得()2(),(),()ab a u l u l u =−''.当0ab ≠时，它是马鞍面，()0(),(),()a u l u l u ≠''，所以不是可展曲面. 当0a =或0b =时，它是平面，所以是可展曲面. 当0a =且0b =时，它不是正则曲面.(4) 令()()0,0,sin 2a v v =，()()cos ,sin ,0l v v v =. 则()()r a v ul v =+. 由于()2cos20,,v a l l =≠''，它不是可展曲面. □2. 考虑双参数直线族x uz v =+，33u y vz =+，其中,u v 是直线族的参数.(1) 求参数u 和v 之间的关系，使得由此得到的单参数直线族是一个可展曲面的直母线族；(2) 确定相应的可展曲面的类型.解. (1) 对于固定的参数,u v ，该双参数直线族中的一条直线(,)L u v 可以写成点向式：3(/3)(,):1x v y u zL u v u v −−==.设所求的函数关系为()v f u =. 则得到一个单参数直线族{}(,())u L L u f u =，它们构成的直纹面S 的方程为()()3(,),(),1(),/3,0r u t t u f u f u u =+. 于是S 是可展曲面22220()1210f u u f u f u f u c u f f '''⇔=⇔=⇔=±⇔=±+'，其中c 是任意常数. 即所求的函数关系为22u v c =±+.(2) 此时S 的参数方程为(,)()()r u t a u t l u =+，其中()()3(),(),(),1(),/3,0a u l u u f u f u u ==，2()(/2)f u u c =±+. 由于()()()0,1,l u l u f uf f '''⨯=≠−−，S 不是柱面.如果S 是锥面，则有函数()t t u =使得()()()a u t u l u c +=，其中c 为常向量. 于是()20,,a t l t l f ut t u f t t f t '''=++='''''++++，从而0t '=，0t t =是常数. 由此得00u t ±+=，矛盾.因此S 是切线曲面. 事实上，记2()(/2)f u u c ε=+，其中1ε=±. 则()2()(1,,0)(),,0a u u u ul u u u εεεε''===.取新的准线23()()(),,26u u b u a u ul u c cu u εεεε⎛⎫=−=−+−−− ⎪⎝⎭.则22()(),,,,122u u b u l u u c u c εεεεεε⎛⎫⎛⎫'==−=−−−−−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.于是S 的参数方程为()()()()()()()()r b u u t l u b u u t b u b u t b u εεε''=++=−+=+，其中(,)(,)u t u u t ε=−−是新的参数. □8. 证明：由挠率不为零的正则曲线的主法线族和次法线族分别生成的直纹面都不是可展曲面.证明. 设正则曲线C 的弧长参数方程为()a s ，曲率和挠率分别为,κτ，Frenet 标架为{};,,a αβγ.它的主法线族生成的直纹面是1:()()S r a s t s β=+. 因为()()()0(),(),()()()()(),(),()s s s s s s s a s s s ταβκατγββ==≠−+，所以1S 不是可展曲面. 同理，由()()()0(),(),()(),(),()()s a s s s s s s s τγγαγτβ==≠−可知它的次法线族生成的直纹面2:()()S r a s t s γ=+不是可展曲面. □习题答案3p. 148 习题4.11. 求下列曲面的第二基本形式：(1)√旋转椭球面：()cos cos ,cos sin ,sin r a a b ϕθϕθϕ=；(2) 旋转椭圆抛物面：()2212,,()r u v u v =+； (3) 双曲抛物面：()(),(),2r a u v a u v uv =+−；(4)√一般柱面：()(),(),r f u g u v =；(5)√劈锥曲面：()cos ,sin ,()r u v u v f v =. 解. (1) ()cos sin ,cos ,0r a θϕθθ=−，()sin cos ,sin sin ,cos r a a b ϕϕθϕθϕ=−−，()cos cos cos ,cos sin ,sin r r a b b a θϕϕϕθϕθϕ⨯=，22(,)ππϕ⇒∈−)2cos cos ,cos sin ,sin sin n b b a a ϕθϕθϕ=.又()cos cos ,sin ,0r a θθϕθθ=−，()sin sin ,cos ,0r a θϕϕθθ=−，()cos cos ,cos sin ,sin r a a b ϕϕϕθϕθϕ=−.所以2L =，0M=，N =，)222II cos d d ϕθϕ=+. (2) ()1,0,u r u =，()0,1,v r v =，(),,1u v r r u v ⨯=−−，)21,,11n u v u =−−+.()0,0,1uu r =，0uv r =，()0,0,1vv r =，)22II 1du dv u =++.(3) (),,2u r a a v =，(),,2v r a a u =−，()2,,u v r r a u v v u a ⨯=+−−. 不妨设0a >. 则)2,,2n u v v u a a =+−−+，0uu vv r r ==，()0,0,2uv r =，II 22a u v=++. (4) (),,0u r f g ''=，()0,0,1v r =，(),,0u v r r g f ''⨯=−，)21,,0n g f f ''=−'+， (),,0uu r f g ''''=，0uv vv r r ==，2II ''''''=.(5) ()cos ,sin ,0u r v v =，()sin ,cos ,v r u v u v f '=−，()sin ,cos ,u v r r f v f v u ''⨯=−，)21sin ,cos ,n f v f v u f ''=−'+，0uu r=，()sin ,cos ,0uv r v v =−，()cos ,sin ,vv r u v u v f ''=−−，)2II 2f dudv uf dv ='''−+. □ 2. 求下列曲面的第二基本形式：(3) 3xyz k =，0k ≠是常数.解. 由条件知在曲面上30xyz k =≠，并且0yzdx xzdy xydz ++=，即 1110x dx y dy z dz −−−++=. (1)因此3111(,,)(,,)yz zx xy k x y z −−−=是曲面的法向量. 不妨设0k >. 则单位法向量()2221/2111(),,n x y z x y z −−−−−−−=++.于是()()2221/22221/2111222[()]().,,,,dn d x y z x y z x y z x dx y dy z dz −−−−−−−−−−−−−−=++−++由于()111(,,),,dr x y z dx dy dz −−−=⊥，故曲面的第二基本形式为()2221/2222222II ()dr dn x y z x dx y dy z dz −−−−−−−=−⋅=++++.如果由(1)解出111()z dz x dx y dy −−−=−+，再代入上式可得222211222222II −−−−==22222222||xy x =. □3. 求曲线()r r s =的切线曲面的第二基本形式，其中s 是该曲线的弧长参数. 解. 设正则曲线()r r s =的曲率和挠率分别为,κτ，Frenet 标架为{};,,a αβγ，它的切线曲面的参数方程为(,)()()R s t r s t s α=+.则()dR ds dt t αακβ=++，s R t ακβ=+，t R α=，s t R R t κγ⨯=−，0t >.n γ=−，dn ds τβ=，2II dR dn t ds κτ=−⋅=−. □6. 证明：如果在可展曲面S 上存在两个不同的单参数直线族，则S 是平面. 证明. 设可展曲面S 的参数方程为()()r a u vl u =+. 则沿着直母线S 的单位法向量n 是常向量，即()n n u =. 所以第二类基本量中0,0u v v v M r n N r n =−⋅≡=−⋅≡. 剩下的只要证明0L ≡，从而由定理1.1，S 是平面.为此，设在S 上任一固定点00(,)u v ，异于直母线的另一族直线中过该点的直线L 的弧长参数方程为(),()u u s v v s ==，并且00(0),(0)u u v v ==. 则L 在0s =处的单位切向量是00000000(0)(,)(0)(,)(0)[()()](0)()(0)u v r r u v u r u v v a u v l u u l u v '''''''=+=++，它不能与S 在00(,)u v 的直母线的切向量0()l u 平行，故(0)0u '≠.另一方面，因为L 是直线，有0r r '''⨯=，即//r r '''. 所以00(0)(,)0r n u v ''⋅=. 于是在00(,)u v 点成立()()20u v u r n r n r u r v n u Lu ''''''''=⋅=−⋅=−+⋅=.因为(0)0u '≠，可得00(,)0L u v =. 由于点00(,)u v 是任意的，可知0L ≡. □ p. 157 习题4.21. 设悬链面的方程是()222,ln()r u v v a u u a =+++，求它的第一、第二基本形式，并求它在点(0,0)处沿切向量2u v dr r r =+的法曲率.解. 不妨设0a >. 令sinh u a t =，则cosh a t =，(sinh cosh )t u a t t ae +=+=，ln(ln t u a =+−，cosh dudt a t ==. (1) 悬链面的方程可化为()cosh cos ,cosh sin ,ln r a t v t v t a =+，于是()sinh cos ,sinh sin ,1t r a t v t v =，()cosh sin ,cos ,0v r a t v v =− ()2cosh cos ,sin ,sinh t v r r a t v v t ⨯=−−，()1cosh cos ,sin ,sinh n t v v t −=−−.()cosh cos ,cosh sin ,0tt r a t v t v =，()sinh sin ,cos ,0tv r a t v v =−，()cosh cos ,sin ,0vv r a t v v =−.2222222222I cosh cosh ()a t dt a t dv du u a dv =+=++222222II aadt adv du adv u a=−+=−++. 在点(0,0)处，切向量2u v dr r r =+中2,1du dv ==，曲面的法曲率222244II 4II ,I 4,I (4)n a a a a a a a a κ−−=−+==+==+. □ 注. 参数(,)t v 是悬链面的等温坐标，并且参数网是正交的曲率线网. 此时22cosh ,0,E G a t F M L N a =====−=−，2121cosh a t κκ=−=，241cosh K a t =−，0H =. 4. 设曲面1S 和曲面2S 的交线为C . 设p 为曲线C 上一点，假定曲面1S 和曲面2S 在点p 处沿曲线C 的切方向的法曲率分别1κ是和2κ. 如果曲面1S 和曲面2S 在点p 处的法向量的夹角是θ，求曲线C 在点p 处的曲率κ.解. 设在p 点C 的Frenet 标架为{};,,r αβγ，曲率为0κ≠，曲面12,S S 的单位法向量分别为12,n n . 因为12,,n n β均垂直于C 的切方向，所以它们共面. 不妨设绕着α由β到1n 的有向角为ϕ，到2n 的有向角为ϕθ+，02ϕϕθπ≤<+≤. 令11(,)n θβ=∠，22(,)n θβ=∠. 则11cos κκθ=，22cos κκθ=.于是1sin κθ==2sin κθ==当0θπ<<时，只有种情况：(1)[,]πϕϕθ∈+，即ϕπϕθ≤≤+. 此时1θϕ=，22()θπϕθ=−+，所以122θθπθ+=−. 则2222121212cos cos()cos cos sin sin κθκθθκθθκθθ=+=−12κκ=−(1)因此()2222221212()()cos κκκκκκκθ−−=−.化简得42224221212()cos 2cos κκκκκθκκκθ−+=−. 因此 κ=(2)[,]πϕϕθ∉+，即ϕπ>或πϕθ>+. 此时12θπϕ=−，22()θπϕθ=−+或1θϕ=，2θϕθ=+，所以12θθθ−=±. 则同理有212cos κθκκ=+， (2)κ=当0θ=(或θπ=)时，有12θθ=(或12θθπ+=)，从而12κκ=(或12κκ=−). 此时(2)式(或(1)式)成为恒等式，无法确定κ. □7. 设C 是曲面S 上的一条非直线的渐近线，其参数方程为(),()u u s v v s ==，其中s 是弧长参数. 证明：C 的挠率是βγ1n 2n ϕθβγ1n 2n ϕθ22()()()()s u s v s u s E F G L M Nτ''''−=. 证明. 设曲面S 的参数方程为(,)r r u v =，单位法向量为(,)n u v . 设C 的弧长参数方程为(),()u u s v v s ==，Frenet 标架为{};,,r αβγ，曲率为0κ≠. 由于C是S 上的渐近线，根据定理2.4，有()()s n s γε=，其中1ε=±，():((),())n s n u s v s =. 根据Frenet 公式，()()(),,,,n n r τγβγγαγγα'''=−⋅=−⋅⨯==''.利用Lagrange 恒等式，可得()2,,()()()()()()u v u v u v v u EGF r r n r r r n r r n r r r n r r τ''''''''−=⨯=⨯⋅⨯=⋅⋅−⋅⋅.将u v r r u r v '''=+，u v n n u n v '''=+代入上式，得()()()()Lu Mv Fu Gv Mu Nv Eu Fv ''''''''=−+++++22Eu Fv Fu Gv E F E G F G u u v v Lu Mv Mu Nv L M L N M N''''++''''==++''''++ 22v u v u EF G LMN''''−=. □ p. 166 习题4.31. 求抛物面2212()z ax by =+在原点处的法曲率和主曲率.解. 曲面的参数方程为()2212,,()r x y ax by =+，故 (1,0,)x r ax =，(0,1,)y r by =，(,,1)x y r r ax by ⨯=−−，211()(,,1)ax n ax by ++=−−.(0,0,)xx r a =，0xy r =，(0,0,)yy r b =所以在原点处22I(0,0,,)dx dy dx dy =+，22II(0,0,,)dx dy adx bdy =+，2222II (0,0,,)I n adx bdy dx dy dx dyκ+==+. 不妨设a b ≤. 因为在原点处222222(0,0,,)n dx dy a dx dy a b b dx dy dx dy κ≤=+≤++，且(0,0,1,0),(0,0,0,1)n n a b κκ==，所以,a b 分别是法曲率的最大、最小值，因而是抛物面在原点的主曲率. □注. 在原点0F M ==，从而根据下一节定理4.2立即可知主曲率是,a b . 4. 证明：曲面S 上任意一点p 的某个邻域内都有正交参数系(,)u v ，使得参数曲线在点p 处的切方向是曲面S 在该点的两个彼此正交的主方向.证明. 根据第三章定理4.2，在S 上任意一点p 的某个邻域内都有正交参数。