高一数学必修二第四单元直线与圆的位置关系的知识点

§4.2直线、圆的位置关系4.2.1直线与圆的位置关系学习目标 1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系.3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题．知识点直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判断方法几何法：设圆心到直线的距离为d＝|Aa＋Bb＋C|A2＋B2d<r d＝r d>r代数法：由⎩⎪⎨⎪⎧Ax＋By＋C＝0，(x－a)2＋(y－b)2＝r2，消元得到一元二次方程，可得方程的判别式ΔΔ>0Δ＝0Δ<01．若直线与圆有公共点，则直线与圆相交．(×)2．如果直线与圆组成的方程组有解，则直线和圆相交或相切．(√)3．若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解．(√)类型一直线与圆的位置关系的判断例1求实数m的取值范围，使直线x－my＋3＝0与圆x2＋y2－6x＋5＝0分别满足：①相交；②相切；③相离．解圆的方程化为标准形式为(x－3)2＋y2＝4，故圆心(3,0)到直线x－my＋3＝0的距离为d＝6m2＋1，圆的半径为r＝2.6＜2，①若相交，则d＜r，即m2＋1所以m＜－22或m＞22；6＝2，所以m＝±22；②若相切，则d＝r，即m2＋16＞2，所以－22＜m＜2 2.③若相离，则d＞r，即m2＋1反思与感悟直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．跟踪训练1对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是() A．相离B．相切C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心答案 C解析直线y＝kx＋1恒过定点(0,1)，由定点(0,1)在圆x2＋y2＝2内，则直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2一定相交．又直线y＝kx＋1不过圆心(0,0)，则位置关系是相交但直线不过圆心，故选C.类型二切线问题命题角度1求切线方程例2过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线方程．解因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，所以点A在圆外．①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y＋3＝k(x－4)，即kx－y－4k－3＝0.设圆心为C，因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，所以|3k －1－3－4k |k 2＋1＝1，即|k ＋4|＝k 2＋1，所以k 2＋8k ＋16＝k 2＋1，解得k ＝－158.所以切线方程为－158x －y ＋152－3＝0，即15x ＋8y －36＝0. ②若直线斜率不存在，圆心C (3,1)到直线x ＝4的距离为1，这时直线x ＝4与圆相切，所以另一条切线方程为x ＝4. 综上，所求切线方程为15x ＋8y －36＝0或x ＝4. 引申探究若例2的条件不变，求其切线长． 解 因为圆心C 的坐标为(3,1)，设切点为B ，则△ABC 为直角三角形，|AC |＝(3－4)2＋(1＋3)2＝17，又|BC |＝r ＝1， 则|AB |＝|AC |2－|BC |2＝(17)2－12＝4，所以切线长为4.反思与感悟 求过某一点的圆的切线方程，首先判定点与圆的位置关系，以确定切线的数目． (1)求过圆上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程：如果斜率存在且不为0，先求切点与圆心连线的斜率k ，则由垂直关系，切线斜率为－1k ，由点斜式方程可求得切线方程．如果k ＝0或斜率不存在，则由图形可直接得切线方程为y ＝y 0或x ＝x 0. (2)求圆外一点P (x 0，y 0)的圆的切线时，常用几何方法求解：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即kx －y －kx 0＋y 0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k ，进而切线方程即可求出．但要注意，若求出的k 值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出．跟踪训练2 若点P (1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________．答案 x ＋2y －5＝0解析 点P (1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，可得此圆的方程为x 2＋y 2＝5，所以该圆在点P 处的切线方程为1×x ＋2×y ＝5，即x ＋2y －5＝0. 命题角度2 已知直线与圆相切，求圆的方程例3 过点A (4,1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2，1)，则圆C 的方程为________________． 答案 (x －3)2＋y 2＝2 解析 由已知k AB ＝0，所以AB 的中垂线方程为x ＝3.①过B 点且垂直于直线x －y －1＝0的直线方程为y －1＝－(x －2)，即x ＋y －3＝0，②联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0，所以圆心坐标为(3,0)，半径r ＝(4－3)2＋(1－0)2＝2，所以圆C 的方程为(x －3)2＋y 2＝2.反思与感悟 圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题. 跟踪训练3 已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( ) A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2 B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 答案 B解析 设圆心为C (a ，－a )， 则|a ＋a |2＝|a ＋a －4|2，解得a ＝1，所以r ＝|1＋1|2＝2，圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.故选B. 类型三 弦长问题例4 (1)过圆x 2＋y 2＝8内的点P (－1,2)作直线l 交圆于A ，B 两点．若直线l 的倾斜角为135°，则弦AB 的长为________． 答案30解析 由题意知直线l 的方程为y －2＝－(x ＋1)， 即x ＋y －1＝0，圆心O (0,0)到直线l 的距离为d ＝|－1|2＝22，则有|AB |＝2r 2－d 2＝28－12＝30. (2)圆心为C (2，－1)，截直线y ＝x －1的弦长为22的圆的方程为___________． 答案 (x －2)2＋(y ＋1)2＝4解析 设圆的半径为r ，由条件，得圆心到直线y ＝x －1的距离为d ＝|2＋1－1|2＝ 2.又直线y ＝x －1被圆截得的弦长为22， 即半弦长为2，∴r 2＝2＋2＝4，得r ＝2， ∴所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝4.(3)如果一条直线经过点M ⎝⎛⎭⎫－3，－32且被圆x 2＋y 2＝25所截得的弦长为8，求这条直线的方程．解 圆x 2＋y 2＝25的半径长r 为5，直线被圆所截得的弦长l ＝8，所以弦心距d ＝r 2－⎝⎛⎭⎫l 22＝52－42＝3.因为圆心O (0,0)到直线x ＝－3的距离恰为3，所以直线x ＝－3是符合题意的一条直线．设直线y ＋32＝k (x ＋3)也符合题意，即圆心到直线kx －y ＋⎝⎛⎭⎫3k －32＝0的距离等于3，于是⎪⎪⎪⎪3k －32k 2＋1＝3，解得k ＝－34.故直线的方程为3x ＋4y ＋15＝0.综上可知，满足题意的直线有两条，对应的方程分别为x ＝－3和3x ＋4y ＋15＝0. 反思与感悟 求直线与圆相交时的弦长有三种方法(1)交点法：将直线方程与圆的方程联立，求出交点A ，B 的坐标，根据两点间的距离公式 |AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2求解．(2)弦长公式：如图所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|(直线l 的斜率k 存在)．(3)几何法：如图，直线与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，圆的半径为r ，弦长为|AB |，则有⎝⎛⎭⎫|AB |22＋d 2＝r 2，即|AB |＝2r 2－d 2.通常采用几何法较为简便．跟踪训练4 已知直线l ：kx －y ＋k ＋2＝0与圆C ：x 2＋y 2＝8. (1)证明：直线l 与圆相交；(2)当直线l 被圆截得的弦长最短时，求直线l 的方程，并求出弦长． (1)证明 ∵l ：kx －y ＋k ＋2＝0， 直线l 可化为y －2＝k (x ＋1)， ∴直线l 经过定点(－1,2)， ∵(－1)2＋22<8， ∴(－1,2)在圆C 内， ∴直线l 与圆相交．(2)解 由(1)知，直线l 过定点P (－1,2)， 又圆C ：x 2＋y 2＝8的圆心为原点O ， 则与OP 垂直的直线截得的弦长最短． ∵k OP ＝－2，∴k l ＝12，∴直线l ：y －2＝12(x ＋1)，即x －2y ＋5＝0.圆心到直线l 的距离d ＝|5|12＋22＝5，设直线l 与圆交于A ，B 两点， |AB |＝2r 2－d 2＝28－5＝2 3.∴直线l 的方程为x －2y ＋5＝0，弦长为2 3.1．若直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则b 的值是( ) A ．－2或12 B ．2或－12 C ．－2或－12 D ．2或12答案 D解析 圆的方程为x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0， 可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，由圆心(1,1)到直线3x ＋4y －b ＝0的距离为|7－b |5＝1，得b ＝2或12，故选D.2．过原点的直线与圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为________． 答案 2x －y ＝0解析 设所求直线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0.由于直线kx －y ＝0被圆截得的弦长等于2，圆的半径是1，因此圆心到直线的距离等于12－⎝⎛⎭⎫222＝0，即圆心(1,2)位于直线kx －y ＝0上．于是有k －2＝0，即k ＝2，因此所求直线方程是2x －y ＝0.3．过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________． 答案 2 2解析 设点A (3,1)，易知圆心C (2,2)，半径r ＝2. 当弦过点A (3,1)且与CA 垂直时为最短弦，|CA |＝(2－3)2＋(2－1)2＝ 2.∴半弦长＝r2－|CA|2＝4－2＝ 2.∴最短弦的长为2 2.4．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为________．答案(x＋1)2＋y2＝2解析令y＝0，得x＝－1，所以直线x－y＋1＝0与x轴的交点为(－1,0)，即为圆心．因为直线x＋y＋3＝0与圆C相切，所以圆心C到直线x＋y＋3＝0的距离等于半径，即r＝|－1＋0＋3|2＝2，所以圆C的方程为(x＋1)2＋y2＝2.5．直线y＝kx＋3与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，且|MN|≥23，则k的取值范围是________．答案(－∞，0]解析因为|MN|≥23，所以圆心(1,2)到直线y＝kx＋3的距离不大于22－(3)2＝1，即|k＋1|k2＋1≤1，解得k≤0.1．判断直线与圆位置关系的途径主要有两个：一是圆心到直线的距离与圆的半径进行大小比较；二是直线与圆的方程组成的方程组解的个数．两者相比较，前者较形象、直观，便于运算．2．与圆有关的弦长、切线问题常利用几何法求解，但注意验证所求直线的斜率不存在的情形，避免漏解．一、选择题1．若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝R2外，则直线x0x＋y0y＝R2与圆的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定答案 B解析因为点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝R2外，所以x20＋y20＞R2，圆心到直线x0x＋y0y＝R2的距离为|R2|x20＋y20＜R2R＝R，所以直线与圆相交，故选B.2．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是()A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案 C解析 圆(x －a )2＋y 2＝2的圆心C (a,0)到直线x －y ＋1＝0的距离为d ，则d ≤r ＝2⇔|a ＋1|2≤2⇔|a ＋1|≤2⇔－3≤a ≤1.3．如果圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0与x 轴相切于原点，则( ) A ．E ≠0，D ＝F ＝0 B ．D ≠0，E ≠0，F ＝0 C ．D ≠0，E ＝F ＝0 D ．F ≠0，D ＝E ＝0答案 A解析 由题意得，圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2， 在y 轴上，F ＝0，且半径为⎪⎪⎪⎪－E 2＝12D 2＋E 2－4F ， 化简可得E ≠0，D ＝F ＝0.4．若直线x －y ＝2被圆(x －a )2＋y 2＝4所截得的弦长为22，则实数a 的值为( ) A ．0或4 B ．0或3 C ．－2或6 D ．－1或 3 答案 A解析 由圆的方程，可知圆心坐标为(a,0)，半径r ＝2.又直线被圆截得的弦长为22，所以圆心到直线的距离d ＝22－⎝⎛⎭⎫2222＝ 2.又d ＝|a －2|2，所以|a －2|＝2，解得a ＝4或a ＝0.故选A.5．直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a ＜3)相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点为C (－2,3)，则直线l 的方程为( ) A ．x －y ＋5＝0 B ．x ＋y －1＝0 C ．x －y －5＝0 D ．x ＋y －3＝0答案 A解析 由圆的一般方程，可得圆心为M (－1,2)．由圆的性质易知，M (－1,2)与C (－2,3)的连线与弦AB 垂直，故有k AB ×k MC ＝－1，即得k AB ＝1.故直线AB 的方程为y －3＝x ＋2，整理得x －y ＋5＝0.6．与圆C ：x 2＋y 2－4x ＋2＝0相切，且在x ，y 轴上的截距相等的直线共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 答案 C解析 圆C 的方程可化为(x －2)2＋y 2＝2.可分两种情况讨论：(1)直线在x ，y 轴上的截距均为0，易知直线斜率必存在，设直线方程为y ＝kx ，则|2k |1＋k2＝2，解得k ＝±1；(2)直线在x ，y 轴上的截距均不为0，则可设直线方程为x a ＋y a ＝1(a ≠0)，即x ＋y －a ＝0(a ≠0)，则|2－a |2＝2，解得a ＝4(a ＝0舍去)．因此满足条件的直线共有3条．7．圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线l ：x ＋y ＋1＝0的距离为2的点有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个答案 C解析 圆的一般方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8.圆心坐标为(－1，－2)，圆的半径为22，圆心到直线l 的距离为|－1－2＋1|12＋12＝22＝ 2.因此和直线l 平行的圆的直径的两端点及与直线l 同侧且与直线l 平行的圆的切线的切点到直线l 的距离都为 2. 二、填空题8．已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________. 答案 4±15解析 圆心C (1，a )到直线ax ＋y －2＝0的距离为|a ＋a －2|a 2＋1.因为△ABC 为等边三角形，所以|AB |＝|BC |＝2，所以⎝⎛⎭⎪⎪⎫|a ＋a －2|a 2＋12＋12＝22， 解得a ＝4±15.9．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为________． 答案 10 2解析 圆的方程化为标准形式为(x －1)2＋(y －3)2＝10，由圆的性质可知最长弦|AC |＝210，最短弦BD 恰以E (0,1)为中点，且与AC 垂直，设点F 为其圆心，坐标为(1,3)．故|EF |＝5，∴|BD |＝210－(5)2＝25，∴S 四边形ABCD ＝12|AC |·|BD |＝10 2. 10．一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为________． 答案 －43或－34解析 由已知得点(－2，－3)关于y 轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性知，反射光线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.由反射光线与圆相切，则有d ＝|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，解得k ＝－43或k ＝－34. 11．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆x 2－6x ＋y 2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为________． 答案 7解析 切线长的最小值在直线y ＝x ＋1上的点与圆心的距离最小时取得，圆心(3,0)到直线的距离为d ＝|3－0＋1|2＝22，圆的半径为1，故切线长的最小值为d 2－r 2＝8－1＝7.三、解答题12．已知圆C 和y 轴相切，圆心C 在直线x －3y ＝0上，且被直线y ＝x 截得的弦长为27，求圆C 的方程．解 设圆心坐标为(3m ，m )，∵圆C 和y 轴相切，∴圆C 的半径为3|m |.∵圆心到直线y ＝x 的距离为|2m |2＝2|m |， 由半径、弦心距、半弦长的关系，得9m 2＝7＋2m 2，∴m ＝±1.∴所求圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.四、探究与拓展13．过点A (11,2)作圆x 2＋y 2＋2x －4y －164＝0的弦，其中弦长为整数的有________条． 答案 32解析 由题意可知过点A (11,2)的最短的弦长为10，最长的弦长为26，所以弦长为整数的有2＋2×(26－10－1)＝32(条)．14．已知圆C 过点M (0，－2)，N (3,1)，且圆心C 在直线x ＋2y ＋1＝0上，则圆C 的方程为________．答案 x 2＋y 2－6x ＋4y ＋4＝0解析 设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧ －D 2－E ＋1＝0，4－2E ＋F ＝0，10＋3D ＋E ＋F ＝0，解得D ＝－6，E ＝4，F ＝4，∴圆C 的方程为x 2＋y 2－6x ＋4y ＋4＝0.。

高中数学直线和圆知识点复习总结
高中数学中的直线和圆的总结有很多知识点，本文就针对这些知识点进行一个总结，同学们可以查阅，以便加深对直线和圆的理解。

首先，在直线方面需要知道的是什么？
一、直线的定义
直线是平面上双等距平行的两条线，可以用一元二次方程来表示。

二、直线的性质
1、平等的距离及同一平面的
直线的夹角相等，距离也相等，两直线交于一点，其中一条直线经过这一点，另一条不经过，而在同一平面上的两直线是相互垂直的。

2、直线的交点
当两条直线在有限空间内相交时，这种相交是称之为直线的交点。

三、直线的位置关系
1、平行
当两条直线从同一个方向平行可以认为这两条直线平行。

接下来，要总结一下圆知识点了。

圆是位于平面中心点到圆上任一点的距离相等的一种曲线，而圆的半径则是指这种距离。

1、圆心在圆的任一点的距离是一致的
2、圆的封闭图形
圆是一种封闭的曲线，无论是确定它的定义还是它的性质，都建立在它是一种封闭图形的基础之上。

1、圆内和内接四边形外接圆
内接四边形外接圆是指圆心和任意两个顶点形成的距离都相等的圆，这圆就是内接四边形外接圆。

当一条直线与圆的关系有六种：即相切、相交、内切、外切、内含和外公切线，因此理解这一关系也是重要的。

以上就是高中数学直线和圆知识点复习总结，希望可以帮助读者们更加深入理解这些概念，提升高中数学学习的能力，顺利通过高考。

直线与圆、圆与圆的位置关系—知识讲解（基础）【学习目标】1.理解并掌握直线与圆、圆与圆的各种位置关系；2.理解切线的判定定理、性质定理和切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，并熟练掌握以上内容解决一些实际问题；3.了解两个圆相离(外离、内含)，两个圆相切(外切、内切)，两圆相交，圆心距等概念．理解两圆的位置关系与d、r1、r2数量关系的等价条件并灵活应用它们解题．【要点梳理】要点一、直线和圆的位置关系1．直线和圆的三种位置关系：(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．2．直线与圆的位置关系的判定和性质．直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么要点诠释：这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．要点二、切线的判定定理、性质定理和切线长定理1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点诠释：切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可. 2．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.3．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 4．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.5．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.6．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).要点三、圆和圆的位置关系1．圆与圆的五种位置关系的定义两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交.两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含.2．两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系：设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2，两圆心O1O2的距离为d，则：两圆外离d＞r1+r2两圆外切d=r1+r2两圆相交r1-r2＜d＜r1+r2 (r1≥r2)两圆内切d=r1-r2 (r1＞r2)两圆内含d＜r1-r2 (r1＞r2)要点诠释：(1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数分类，又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交；(2) 内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点；(3) 具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合.【典型例题】类型一、直线与圆的位置关系【高清ID号： 356966 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】1．（优质试题•盐城）如图，在△ABC中，∠CAB=90°，∠CBA=50°，以AB为直径作⊙O交BC 于点D，点E在边AC上，且满足ED=EA．（1）求∠DOA的度数；（2）求证：直线ED与⊙O相切．【答案与解析】（1）解；∵∠DBA=50°，∴∠DOA=2∠DBA=100°，（2）证明：连接OE．在△EAO与△EDO中，，∴△EAO≌△EDO，∴∠EDO=∠EAO，∵∠BAC=90°，∴∠EDO=90°，∴DE与⊙O相切．【总结升华】本题考查了切线的判定，连接OE构造全等三角形是解题的关键．举一反三：【高清ID号： 356966 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】【变式】如图，P点是∠AOB的平分线OC上一点，PE⊥OA于E，以P为圆心，PE为半径作⊙P .求证：⊙P与OB相切.【答案】作PF⊥OB于F，则可证明△OEP≌△OFP，所以PF=PE，即F在圆P上，故⊙P与OB相切.2．（优质试题•黄石）如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC交⊙O于D，D是BC的中点．（1）求BC的长；（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E，求证：直线DE是⊙O的切线．【思路点拨】（1）根据圆周角定理求得∠ADB=90°，然后解直角三角形即可求得BD，进而求得BC即可；（2）要证明直线DE是⊙O的切线只要证明∠EDO=90°即可．【答案与解析】证明：（1）解：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，又∵∠ABC=30°，AB=4，∴BD=2，∵D是BC的中点，∴BC=2BD=4；（2）证明：连接OD．∵D是BC的中点，O是AB的中点，∴DO是△ABC的中位线，∴OD∥AC，则∠EDO=∠CED又∵DE⊥AC，∴∠CED=90°，∠EDO=∠CED=90°∴DE是⊙O的切线．【总结升华】此题主要考查了切线的判定以及含30°角的直角三角形的性质．解题时要注意连接过切点的半径是圆中的常见辅助线．类型二、圆与圆的位置关系3．(1)已知两圆的半径分别为3cm，5cm，且其圆心距为7cm，则这两圆的位置关系是( )A．外切 B．内切 C．相交 D．相离(2)已知⊙O1与⊙O2相切，⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，则O1O2的长是( )A．1cm B．5cm C．1cm或5cm D．0.5cm或2.5cm【答案】（1）C ；（2）C.【解析】(1)由于圆心距d＝7cm，R+r＝5+3＝8(cm)，R-r＝5-3＝2(cm)．∴ R-r＜d＜R+r，故这两圆的位置关系是相交．(2)两圆相切包括外切和内切，当⊙O1与⊙O2外切时，d＝O1O2＝R+r＝3+2＝5(cm)；当⊙O1与⊙O2内切时，d＝O1O2＝R-r＝3-2＝1(cm)．【总结升华】由数量确定位置或由位置确定数量的依据是：①两圆外离⇔d＞R+r；②两圆外切⇔d＝R+r；③两圆相交⇔R-r＜d＜R+r；④两圆内切⇔d＝R-r；⑤两圆内含⇔d＜R-r．4．已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于A点，直线l与⊙O1、⊙O2分别切于B，C点，若⊙O1的半径r1=2cm，⊙O2的半径r2=3cm．求BC的长．【思路点拨】首先连接O1B，O2C，O1O2，过点O1作O1D⊥O2C于D，由直线l与⊙O1、⊙O2分别切于B，C 点，可得四边形O1BCD是矩形，即可知CD=O1B=r1=2cm，BC=O1D，然后在Rt△O2DO1中，利用勾股定理即可求得O1D的长，即可得BC的长．【答案与解析】【总结升华】此题考查了相切两圆的性质、切线的性质、矩形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，掌握相切两圆的性质．举一反三：【变式】如图所示，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O与BC相切于点B，则AC等于( )A．．【答案】因为以AB为直径的⊙O与BC相切于点B，所以∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，AC=C．。

圆圆的位置关系知识点总结圆的位置关系是几何学中一个重要的概念，涉及到圆与直线、圆与圆之间的相对位置关系。

下面是关于圆的位置关系的知识点总结。

一、圆与直线的位置关系：1.外切：当直线与圆相切于圆的一点时，我们称这条直线与圆外切。

2.内切：当直线与圆只在圆的内部与圆相切时，我们称这条直线与圆内切。

3.交于两点：当直线与圆相交并有两个交点时，我们称这条直线与圆相交于两点。

4.不相交：当直线与圆没有交点时，我们称这条直线与圆不相交。

二、圆与圆的位置关系：1.相切：当两个圆相切于圆的一点时，我们称这两个圆相切。

2.相交：当两个圆有交点时，我们称这两个圆相交。

3.重合：当两个圆的圆心和半径完全相同时，我们称这两个圆重合。

4.内含：当一个圆完全在另一个圆内部时，我们称这个圆在另一个圆内含。

5.相离：当两个圆没有交点，且一个圆的外部不与另一个圆的内部相交时，我们称这两个圆相离。

三、判别圆与直线的位置关系的方法：1.利用距离：计算直线上一点到圆心的距离，根据距离与圆的半径的大小关系来判断圆与直线的位置关系。

-当直线上一点到圆心的距离等于圆的半径时，这条直线与圆相切。

-当直线上一点到圆心的距离大于圆的半径时，这条直线与圆相交。

-当直线上一点到圆心的距离小于圆的半径时，这条直线与圆不相交。

2.利用方程：通过圆的方程和直线的方程来求解相交的点，根据求解得到的交点的数量来判断圆与直线的位置关系。

四、判别圆与圆的位置关系的方法：1.利用距离：计算两个圆心之间的距离，根据距离与两个圆的半径之和、之差的大小关系来判断圆与圆的位置关系。

-当两个圆心之间的距离等于两个圆的半径之和时，这两个圆相交。

-当两个圆心之间的距离大于两个圆的半径之和时，这两个圆相离。

-当两个圆心之间的距离等于两个圆的半径之差的绝对值时，一个圆完全包含在另一个圆内即一个圆内含于另一个圆。

-当两个圆心之间的距离大于两个圆的半径之差的绝对值，但小于两个圆的半径之和时这两个圆相交于两个交点。

高中数学必修2 直线与圆的位置关系【一】、圆的定义及其方程．（1）圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆，定点叫做圆心，定长就是半径；（圆心是定位条件，半径是定型条件） （2）圆的标准方程： ；圆心),(b a圆的一般方程：)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x ；圆心 ，半径为 ；【二】、点与圆的位置关系（仅以标准方程为例，其他形式，则可化为标准式后按同样方法处理）设),(00y x P 与圆222)()(r b y a x =-+-；若P 到圆心之距为d ； ①P 在在圆C 外 ； ②P 在在圆C 内 ； ③P 在在圆C 上 ； 【三】、直线与圆的位置关系：设直线0:=++C By Ax l 和圆222)()(:r b y a x C =-+-，圆心C 到直线l 之距为d ，由直线l 和圆C 联立方程组消去x （或y ）后，所得一元二次方程的判别式为∆，则它们的位置关系如下：相离 ；相切 ；相交 ； 注意：这里用d 与r 的关系来判定，称为几何法，只有对圆才实用，也是最简便的方法；利用∆判定称为代数法，对讨论直线和二次曲线的位置关系都适应。

【四】、两圆的位置关系：（1）代数法：解两个圆的方程所组成的二元二次方程组；若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切；若无实数解，两圆相离。

（2）几何法：设圆1O 的半径为1r ，圆2O 的半径为2r①两圆外离 ； ②两圆外切 ； ③两圆相交 ； ④两圆内切 ⑤两圆内含 ；（五）已知圆C ：(x-a)2+(y-b)2=r 2(r>0)，直线L ：Ax+By+C=01．位置关系的判定：判定方法1：联立方程组得到关于x(或y)的方程(1)△>0相交；(2)△=0相切；(3)△<0相离。

判定方法2：若圆心(a，b)到直线L的距离为d(1)d<r相交；(2)d=r相切；(3)d>r相离。

数学高一直线与圆知识点在高中数学学科中，直线与圆是重要的几何图形，它们的相互关系也是我们必须深入了解的知识点。

下面将从不同角度介绍直线与圆的相关知识。

一、直线的基本概念与性质直线是最常见的几何图形之一，它具有以下基本概念与性质。

1. 定义：直线是由无数个点连成的轨迹，它没有起点和终点，并且内部的任意两点可以连成一条直线。

2. 点斜式方程：直线可以通过点和斜率来表示，一般形式为y= kx + b，其中k为斜率，b为常量。

3. 平行与垂直线：两条直线平行的充要条件是它们的斜率相等；两条直线垂直的充要条件是它们的斜率的乘积为-1。

4. 直线与直线的位置关系：两条直线可能相交、平行或重合。

5. 直线与平面图形的关系：直线可以与平面图形相交于一个或多个点，通过这些交点可以研究直线与图形的性质。

二、圆的基本概念与性质圆是另一种重要的几何图形，它有独特的定义和性质。

1. 定义：圆是由一个不动定点到平面上所有距离相等于这个定点与平面上其他点的距离的轨迹。

这个不动定点称为圆心，所有距离相等的线段称为半径，常用r表示。

2. 圆的方程：圆的方程一般形式为：(x - a)² + (y - b)² = r²，其中(a, b)为圆心的坐标，r为半径的长度。

3. 弧长与扇形面积：圆上的弧可以通过圆心角来确定长度，圆心角为1弧度时所对应的弧长度等于半径的长度。

圆的扇形面积等于圆心角所对应的弧长除以圆的周长再乘以圆的面积。

4. 圆内接与外切：如果一个三角形的三边分别和一个圆相切，那么这个三角形叫做这个圆的内切三角形。

如果一个四边形的四边分别和一个圆相切，那么这个四边形叫做这个圆的内切四边形。

三、直线与圆的相交关系直线与圆的相交关系给了我们更多的图形特性来研究。

1. 直线与圆的位置关系：直线可以与圆相离、相切或相交于两个交点。

2. 切线定理：直线若与圆相切，那么切点和圆心连线垂直。

3. 弦：直线在圆内部所对应的线段称为弦，弦的中垂线通过圆心。

直线和圆的位置关系知识点归纳整理直线和圆的位置知识点直线和圆有三种位置关系1.交点:当一条直线和一个圆有两个公共点时，称为直线和圆的交点。

此时直线称为圆的割线，公共点称为交点。

2.相切:当直线与圆有唯一的公共点时，称为直线与圆相切，然后直线称为圆相切。

3.分离:当一条直线和一个圆没有共同点时，称为直线和圆分离。

直线与圆的三种位置关系的判定与性质（1）数量法：通过比较圆心O到直线距离d与圆半径的大小关系来判定。

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有：直线l与⊙O相交d<r；直线l与⊙O相切d=r；直线l与⊙O相离d>r；(2)共点法:通过确定一条直线和一个圆的共点数来确定。

直线l与⊙O相交d<r2个公共点；直线l与⊙O相切d=r有唯一公共点；直线l与⊙O相离d>r无公共点。

切线知识点切线的定义:在平面中，与圆只有一个公共交点的直线称为圆的切线。

切线的判定定理:通过半径外端并垂直于该半径的直线为圆的切线。

切线的性质定理:圆的切线垂直于通过切点的半径。

切线长度:圆的切线上的点与切点之间的线段通过圆外一点的长度，称为该点到圆的切线长度。

切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.如图，PA，PB是⊙O的两条切线，B切点分别为A，B，则PA=PB，∠OPA=∠OPB.判断直线与圆位置关系的方法1、代数法:联立线性方程和圆方程，解方程，方程无解，直线与圆分离，方程有一组解，直线与圆相切，方程有两组解，直线与圆相交。

2、几何法:求出圆心到直线的距离d，半径为r。

d>r，则直线与圆相离，d=r，则直线与圆相切，d<r，则直线与圆相交。

如何判断直线和圆的位置关系平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1、由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，(其中B不等于0)，代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的方程如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。

直线与圆知识点总结1. 直线与圆的位置关系：- 直线与圆可能相交于两个点，这种情况称为相交。

- 直线与圆可能与圆外部割线相切于一点，这种情况称为相切。

- 直线可能与圆没有交点，这种情况称为相离。

2. 判断直线与圆的位置关系：- 使用勾股定理可以判断直线与圆是否相交。

设直线的方程为ax + by + c = 0，圆的方程为(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)为圆心的坐标，r为半径。

将直线的方程代入圆的方程，计算方程的解。

若方程的解为实数，且解满足直线的方程，则直线与圆相交；若方程的解为实数，但解不满足直线的方程，则直线与圆相离；若方程的解为复数，则直线与圆相切。

- 使用两点式可以判断直线与圆的位置关系。

设直线上两点为(x₁, y₁)和(x₂, y₂)，圆的方程为(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)为圆心的坐标，r为半径。

计算直线的斜率m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)，若直线的斜率存在且非零，则直线与圆相交或相离；若直线的斜率不存在或为0，则直线可能与圆相切或相离。

将直线的方程代入圆的方程，计算方程的解。

若方程的解为实数，且解满足直线的方程，则直线与圆相交；若方程的解为实数，但解不满足直线的方程，则直线与圆相离；若方程的解为复数，则直线与圆相切。

3. 求直线与圆的交点：- 设直线的方程为ax + by + c = 0，圆的方程为(x - h)² + (y - k)²= r²，其中(h, k)为圆心的坐标，r为半径。

将直线的方程代入圆的方程，得到一个关于x的二次方程。

解这个方程即可得到直线与圆的交点的x坐标。

将得到的x坐标代入直线的方程，可以求得对应的y坐标。

4. 求直线与圆的切点：- 设直线的方程为ax + by + c = 0，圆的方程为(x - h)² + (y - k)²= r²，其中(h, k)为圆心的坐标，r为半径。

直线与圆的位置关系知识点总结在平面几何中，直线与圆的位置关系是一个重要且基础的知识点。

理解和掌握它们之间的关系，对于解决许多几何问题具有关键作用。

接下来，咱们就详细聊聊直线与圆的位置关系。

一、直线与圆的位置关系的定义直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离。

当直线与圆有两个公共点时，我们称直线与圆相交。

想象一下，就好像直线穿过了圆，与圆有两个交点。

当直线与圆只有一个公共点时，称直线与圆相切。

这时候，直线就像是轻轻触碰了一下圆，只有那一个瞬间的接触点。

当直线与圆没有公共点时，就是直线与圆相离。

直线和圆仿佛处在两个完全不同的世界，没有任何交集。

二、判断直线与圆位置关系的方法1、几何法通过比较圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小来判断。

若 d ＜ r，则直线与圆相交。

比如，圆的半径是 5，圆心到某条直线的距离是 3，因为 3 ＜ 5，所以直线与圆相交。

若 d ＝ r，则直线与圆相切。

比如半径为 6 的圆，圆心到某直线距离恰好为 6，那这条直线就与圆相切。

若 d ＞ r，则直线与圆相离。

比如圆半径 4，圆心到某直线距离 7，因为 7 ＞ 4，所以直线与圆相离。

2、代数法将直线方程与圆的方程联立，消去其中一个变量（比如 y），得到一个关于另一个变量（比如 x）的一元二次方程。

通过判断这个一元二次方程的根的判别式Δ 的值来确定位置关系。

若Δ ＞ 0，则直线与圆相交，意味着有两个不同的交点。

若Δ ＝ 0，则直线与圆相切，只有一个交点。

若Δ ＜ 0，则直线与圆相离，没有交点。

三、直线与圆相交1、弦长公式当直线与圆相交时，所形成的线段称为弦。

弦长的计算可以通过勾股定理来推导。

设直线方程为 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0，圆的方程为（x a)²＋（y b)²＝ r²，直线与圆的交点为 P(x₁, y₁)，Q(x₂, y₂)。

首先求出圆心（a, b) 到直线的距离 d ＝｜Aa ＋ Bb ＋ C| ／√（A²＋ B²) 。

直线与圆的位置关系与性质知识点总结直线与圆是几何中常见的两种基本图形，它们的位置关系与性质对于解决几何问题非常重要。

在这篇文章中，我们将总结直线与圆的常见位置关系，并讨论它们的性质。

一、直线与圆的位置关系1. 直线与圆的相交关系当直线与圆有交点时，我们可以得出以下几种情况：- 直线与圆相交于两点：直线穿过圆的中心，此时直径是直线的特例。

- 直线与圆相交于一个点：直线与圆相切，切点称为切点。

- 直线位于圆的内部，没有交点。

- 直线位于圆的外部，也没有交点。

2. 直线与圆的位置关系特例- 切线：直线与圆相切的情况，称为切线。

与圆相切的直线垂直于半径，切点在直线上的法线与从切点到圆心的半径垂直。

- 弦：直线穿过圆，但不过圆心的情况，称为弦。

通过圆心的弦称为直径，且直径是弦中最长的一条线段。

二、直线与圆的性质1. 切线定理定理一：若一条直线与圆相切于切点A，则以切点A为顶点的两条锐角与此直线所夹的圆弧相等。

定理二：若从圆外一点作直线与圆相切于切点A，则此直线与以此点为端点的弦相交处的两个锐角是一对互补角。

2. 弦长定理定理三：若两条弦相交于切点A，则两条弦分割的圆周上的弧长乘积相等。

3. 直径定理定理四：直径是穿过圆心的弦，正好是弦分割的两条弧的半径之和。

4. 割线定理定理五：若两条割线相交于切点A，则此割线与此切点所在的直线上的弦分割的互补角是一对互补角。

三、直线与圆的应用1. 问题一：判断直线是否与圆相交或相切当我们需要解决直线与圆的位置关系问题时，可以利用以下方法：- 使用坐标系和方程：设定坐标系，写出直线和圆的方程并求解交点。

- 使用定理：利用判断圆内点的方法，或使用切线定理判断直线与圆是否相切。

2. 问题二：求解直线与圆的交点坐标当直线与圆相交于两点时，我们可以利用以下方法求解交点坐标：- 使用坐标系和方程：设定坐标系，写出直线和圆的方程，联立方程并求解交点坐标。

3. 问题三：判断两条直线是否为切线或相交于切点当我们需要判断两条直线是否为切线或相交于切点时，可以利用以下方法：- 使用切线定理：若两条直线与圆相切于同一切点，则可判断它们为切线或相交于切点。

直线、圆的位置关系【知识要点梳理】1.直线与圆的位置关系判断的两种方法：代数方法（联立法）： ；几何方法（r d ,法）： ；2．直线与圆相交所得的弦长的计算方法：代数方法（联立法）： ；几何方法（弦长、弦心距、半径）：3.圆与圆的位置关系设圆1C ：(x-a)2+(y-b)2=r 12和圆2C ：(x-m)2+(y-n)2=r 22(r 1≥r 2)，且设两圆圆心距为d ，则有： 4.圆的切线求法:(1)点P 在圆上:过圆222x y r +=上．一点00(,)P x y 的圆的切线方程是200x x y y r +=;(2)若点P 在圆外,则过点P 的圆的切线有两条：设切线的斜率为k （存在），用含k 的式子表示切线的方程，利用圆心到切线的距离等于半径列方程求出k ，如果有两个解，正常现象（2条切线），如果只有一个解，则另一条切线的斜率必不存在。

5.两圆相交时的公共弦方程、两圆外切时的内公切线、两圆内切时的外公切线：两圆方程作差，消去二次项所得的直线方程即为所求。

6.圆系方程：①设圆1C ∶011122=++++F y E x D y x 和圆2C ∶022222=++++F y E x D y x ． 若两圆相交，则过交点的圆系方程为11122F y E x D y x +++++λ(22222F y E x D y x ++++)=0(λ为参数，圆系中不包括圆2C ，λ=-1时为两圆的公共弦所在直线方程)．②设圆C ∶022=++++F Ey Dx y x 与直线l ：Ax+By+C=0，若直线与圆相交，则过交点的圆系方程为F Ey Dx y x ++++22+λ(Ax+By+C)=0(λ为参数)【典型例题】题型一 直线与圆的位置关系判断例1.已知直线l ：x ＋y －5=0和圆Ｃ：0126422=-+-+y x y x ，判断直线和圆的位置关系.变式训练 1. 直线1x y +=与圆2220(0)x y ay a +-=>没有公共点，则a 的取值范围是（ ）A ．21)-B ．221)C ．(221)-D ．21)2．判断直线x －y ＋5=0和圆Ｃ：0126422=-+-+y x y x 的位置关系.题型二 直线和圆相交的弦长的求法例2．求直线l ：3x-y-6=0被圆Ｃ：04222=--+y x y x 截得的弦ＡＢ的长．变式训练1.设直线30ax y -+=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为23 a =___________．2.过点P(3,6)且被圆2522=+y x 截得的弦长为8的直线方程是（ ）A.01543=+-y xB.0643=+-y xC.01543=+-y x 或3=xD.0643=+-y x 或3=x 题型三 圆的切线问题例3.自点（－3，3）发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射线所在直线与圆074422=+--+y x y x 相切，求入射光线L 所在直线方程．变式训练1.过点P （3，－2）与圆25)1()2(22=-++y x 相切的切线方程为_________________ _．2. 分别求过点A(3,-4)、B(5,15)向圆x 2+y 2=25所引的切线方程.题型四 几种最值问题例4.已知P （x ,y ）为圆C:x 2+y 2-6x -4y +12=0上的点.（1）求y x 的最大值与最小值. （2）求22y x +的最大值与最小值 （3）求x -y 的最大值与最小值.变式训练1.若),(y x P 在圆6)3()3(22=-+-y x 上运动，则xy 的最大值是_____________2.已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求： (1)11-+x y 的最大值和最小值； (2)求y －x 的最大值和最小值； (3)求x 2＋y 2-2x 最大值和最小值．题型五 圆与圆的位置关系例5.两圆012422=++-+y x y x 和014422=--++y x y x 的公切线有_____条．变式训练1.圆0222=-+x y x 和0422=++y y x 位置关系是（ ）A ．相离B ．外切C ．相交D ．内切2.已知两圆x 2+y 2=m 与x 2+y 2+6x –8y –11=0有公共点，则实数m 的取值范围是（ ）（A ）m <1 （B ）1≤m ≤121 （C ）m >121 （D ）1<m <1213.已知圆P 与圆0222=-+x y x 外切，并与直线03=+y x 相切于点Q （3，3-），求圆P 的方程。

直线与圆知识归纳直线和圆是几何中常见的基本元素，它们之间的关系和性质对于几何问题的解决至关重要。

在本文中，我们将对直线与圆的基本概念、关系以及一些重要的定理进行归纳总结。

一、直线的基本知识直线是几何中最简单的图形，它没有起点和终点，可以无限延伸。

直线由无数个点组成，我们可以通过两个点确定一条直线，这两个点称为直线上的两个端点。

直线不同于线段，线段是直线的一部分，它有起点和终点，长度是有限的。

二、圆的基本知识圆是一个平面图形，由一条曲线组成，这条曲线上的任意两点到圆心的距离都相等。

圆心是圆的中心点，半径是从圆心到任意一点的距离。

一个圆由圆心和半径唯一确定。

圆内的所有点到圆心的距离都小于半径，而到圆心的距离等于半径的点在圆上。

三、直线与圆的位置关系1. 直线与圆的位置关系分为三种情况：相离、相切和相交。

2. 当直线与圆没有交点时，称直线和圆相离。

当直线与圆有且仅有一个交点时，称直线与圆相切。

当直线与圆有两个交点时，称直线与圆相交。

四、直线与圆的性质1. 切线的性质：- 直线与圆只有一个交点时，这条直线称为圆的切线。

- 切线和半径垂直。

2. 弦的性质：- 直线与圆有两个交点时，这条直线称为圆的弦。

- 弦的中点与圆心连线垂直于弦。

3. 弧的性质：- 弦所对的弧是两个相交圆内部的部分，它们所对的弧长相等。

五、直线与圆的重要定理1. 切线定理：切线与半径的关系- 切线与半径的夹角等于该切线所对的弧所对圆心角的一半。

2. 切割定理：一条直线同时切割两个相交圆的两个切点，这两个切点的线段乘积等于这条直线与两个相交圆的切点之间的线段乘积。

3. 集中定理：多条切线共点- 若两个相离的圆内切于某一点P，那么连接圆心的线段与这个点P以及切点的两条切线共点。

4. 同位角定理：切线与弦的夹角- 同位角相等：若一条切线与一条弦相交，那么切线与弦的夹角等于这两个弧所对的圆心角的一半。

总结：直线与圆的知识是几何学的基础，掌握它们的基本概念、位置关系、性质和定理，可以帮助我们解决各类几何问题，提升几何思维能力。

直线与圆的位置关系知识点总结直线与圆的位置关系是几何学中一个重要的概念，涉及到直线和圆的交点、相切等不同情况。

本文将对直线与圆的位置关系进行总结，包括直线与圆的相交、相切以及不相交三种情况。

一、直线与圆的相交关系1. 直线与圆相交于两个交点：当直线与圆的位置关系是相交时，直线将穿过圆的两个交点。

这种情况通常出现在直线与圆的直径、弦或切线相交的情况下。

2. 直线与圆相交于一个交点：当直线与圆的位置关系是相切时，直线与圆仅有一个交点。

这种情况通常出现在直线是圆的切线的情况下。

二、直线与圆的相切关系1. 切线：当直线与圆的位置关系是相切时，直线与圆仅有一个交点，并且直线与圆的切点处的切线垂直于半径。

切线是圆上某一点的切线，它与半径的长度相等。

2. 外切线：当一条直线与圆的位置关系为外切时，直线与圆仅有一个交点，并且切点处的切线垂直于半径。

外切线的一个特点是切点处的切线与直线的延长线垂直。

3. 内切线：当一条直线与圆的位置关系为内切时，直线与圆仅有一个交点，并且切点处的切线垂直于半径。

内切线的一个特点是切点处的切线与直线的延长线垂直。

三、直线与圆的不相交关系当直线与圆的位置关系不相交时，即直线与圆没有交点。

总结：直线与圆的位置关系可以分为相交、相切以及不相交三种情况。

在相交的情况下，直线与圆相交于两个交点或一个交点。

在相切的情况下，直线与圆仅有一个交点，并且切点处的切线垂直于半径。

而不相交的情况下，直线与圆没有交点。

以上是对直线与圆的位置关系知识点的总结。

了解并掌握这些知识点对于解决相关几何问题非常重要。

希望本文能够帮助您更好地理解和应用直线与圆的位置关系。

高中数学必修 2 知识点——直线与圆整理徐福扬一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义： x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。

特别地，当直线与 x 轴平行或重合时 ,我们规定它的倾斜角为 0 度。

因此，倾斜角的取值范围是 0°≤α＜180°（2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。

直线的斜率常用k 表示。

即k tan。

斜率反映直线与轴的倾斜程度。

当0,90时， k0；当90 ,180时， k0 ；当90 时，k 不存在。

②过两点的直线的斜率公式：k y2y1( x1x2 )x2x1注意下面四点： (1)当x1x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为 90°；(2)k 与 P1、 P2的顺序无关； (3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

（3）直线方程①点斜式： y y1 k(x x1 ) 直线斜率k，且过点x1, y1注意：当直线的斜率为0°时，k=0 ，直线的方程是 y=y 1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于 x ，所以它的1方程是 x=x 。

1②斜截式：③两点式：y kx b ，直线斜率为k ，直线在 y 轴上的截距为 b y y1xx1（ x1 x2 , y1y2）直线两点x1, y1， x2 , y2y2y1x2x1④截矩式：x y1 a b其中直线 l 与x轴交于点( a,0),与y轴交于点(0,b),即 l 与x轴、y轴的截距分别为 a,b 。

⑤一般式：Ax By C 0 （A，B不全为0）注意：○1 各式的适用范围○2特殊的方程如：平行于 x 轴的直线：y b（b为常数）；平行于y轴的直线：x a （a为常数）；（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线 A0 x B0 y0C00（ A0,B0是不全为 0 的常数）的直线系：00C（ C 为常数）A xB y（二）过定点的直线系（ⅰ）斜率为 k 的直线系：y y0k x x0，直线过定点 x0 , y0；（ⅱ）过两条直线 l: A x B y C10l: A x B y C20的交111，222点的直线系方程为A1x B1 y C1A2 x B2 y C20 （为参数），其中直线l2不在直线系中。