高中数学必修二直线与圆测试卷(二)

高中数学必修2圆的方程单元检测题一、 知识要点1、 圆心为),(b a C ，半径为r 的圆的标准方程为：2、 .特殊地，当0==b a 时，圆心在原点的圆的方程为： .3、 圆的一般方程022=++++F Ey Dx y x ，圆心为点 ，半径r = ，其中0422>-+F E D .4、 二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax ，表示圆的方程的充要条件是：5、设圆222)()(γ=-+-b y a x ；直线0=++C By Ax判断直线与圆的位置关系的两种方法分别是 ；6、设两圆的半径分别为R ，γ)(γ>R 、圆心距为d ，判断两圆的位置关系的两种方法分别是 ；7、过圆1C ：011122=++++F y E x D y x 和直线0=++C By Ax 的交点的圆系方程是8、过圆1C ：011122=++++F y E x D y x 和圆2C ：022222=++++F y E x D y x 的交点的圆系方程是 11122F y E x D y x +++++0)(22222=++++F y E x D y x λ)1(-≠λ，1-≠λ时，消去22,y x 得过两圆交点的直线方程．基础训练1.以两点A(-3,-1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是（ ）A 、100)2()1(22=++-y xB 、100)2()1(22=-+-y xC 、25)2()1(22=-+-y xD 、25)2()1(22=+++y x2.0≠=C A 且0=B 是方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的（ ）A.充分非必要条件 B 、必要非充分条件C 、充要条件D 、既非充分也非必要条件3.圆心为(1,2)且与直线51270x y --=相切的圆的方程为 ． 4.圆1)1()2(22=-+-y x 关于A (1,2)对称的圆的方程为 。

专题：直线与圆的方程探究点一：直线的倾斜角和斜率 例1：设直线l 的方程是210x By α+-=，倾斜角； （1）试将B α表示为的函数；（2）若263ππα<<，试求B 的取值范围；（3）若B ∈(,2)(1)α-∞-∞，+，求的取值范围。

［规律方法］在已知斜率或倾斜角之中任一个量的取值范围，来求另一个量的取值范围时，首先要注意斜率不存在与2a π=的特殊情况对解题的影响，然后要注意利用正切函数来帮助确定相应的范围。

练习：1：设直线的斜率为k ，且k <则直线的倾斜角α的取值范围为________2．直线sin 10x y α-+=的倾斜角的变化范围为（ ）A ．2π（0，）B ．π（0，）C ．44ππ（-,）D ．30,)44πππ[,][ 3．若直线l 的方程为tan 2y x α=+，则（ ） A ．l α一定是直线的倾斜角 B ．l α一定不是直线的倾斜角C ．l πα-一定是直线的倾斜角D ．l α不一定是直线的倾斜角4．已知直线(1,2)(2,3),(3,0)l P A B ---过点且与以为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围为__________［规律与方法］（1）要注意倾斜角的取值范围是［0,180)︒︒（2）一般地，知斜率的范围求倾斜角范围时一定要借助于正切函数的图象，以增强直观性；反之知倾斜角求斜率，有如下规律：“含垂线取两边，不含垂线取中间。

”探究点二：直线的方程及两直线的位置关系例2：210ABC BC x y A∆-+=∠中，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为y=0，若点B的坐标为（1，2），求点A 和点C的坐标。

练习：5．过点P（2，3）且在两轴上的截距相等的直线方程为___________。

6．过点22(1,1A x y=-+=作圆的切线，则切线方程为__________。

7．已知A（3，1），B（—1，2），若ACB∠的平分线在1y x=+，则AC所在的直线方程是_________。

2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：人教A版（2019）选择性必修第一册第一章~第三章（空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线）。

5．难度系数：0.65。

第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．5．如图，在平行六面体ABCD 则AC'的长为（）A．98562+B．【答案】A-'【解析】平行六面体ABCD A故选：A7．已知椭圆的方程为2 9 x+的周长的最小值为（）A．8B 【答案】C则由椭圆的中心对称性可知可知12AF BF 为平行四边形，则可得2ABF △的周长为2AF A ．0B ．【答案】D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．则21242||222y y m HC ++===12||4||22yy p AB HM ++===所以||2sin ||2(HC m HMN HM m ∠==因为20m ≥，所以212(1)m ∈三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．则11,22BN BA BD DM =+ 所以1122BN DM BA ⎛⋅=+ ⎝ 1144BA BC BD BC =⋅+⋅-uu r uu u r uu u r uu u r四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知两直线1:20l x y ++=和2:3210l x y -+=的交点为P ．(1)直线l 过点P 且与直线310x y ++=平行，求直线l 的一般式方程；(2)圆C 过点()1,0且与1l 相切于点P ，求圆C 的一般方程．【解析】（1）直线l 与直线310x y ++=平行，故设直线l 为130x y C ++=，（1分）联立方程组203210x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，解得11x y =-⎧⎨=-⎩．（3分）∴直线1:20l x y ++=和2:3210l x y -+=的交点()11P --，．16．（15分）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，124AA AB ==，点E 在线段1CC 上，且14CC CE = ，点F 为BD 中点.(1)求点1D 到直线EF 的距离；(2)求证：1A C ⊥面BDE .【解析】（1）如图,以D 为原点，以,DA DC 正四棱柱111ABCD A B C -()()(10,0,4,0,2,1,1,1,0D E F ∴则点1D 到直线EF 的距离为：17．（15分）18．（17分）如图，在四棱锥P ABCD -中，M 为棱PC 的中点.(1)证明：BM ∥平面PAD ；(2)若5PC =，1AB =，（2）1AB = ，2DC ∴=，又PD 222PC PD DC ∴=+，则PD DC ⊥又平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PD ∴⊥平面ABCD ，（7分）19．（17分）416（2）（i ）由题意知直线l 的方程为联立221416x y ⎧-=⎪⎨，化简得(4m 2（ii ）1212232,41m y y y y m -+=-直线AD 的方程为11y y x =+。

圆与圆的位置关系 直线与圆的方程的应用 检测题一、题组对点训练对点练一 圆与圆的位置关系1．两圆x2＋y2＝r2，(x －3)2＋(y ＋1)2＝r2外切，则正实数r 的值是________． 解析：由题意得，2r ＝(3－0)2＋(－1－0)2＝10，即r ＝102. 答案：1022．已知圆C ：x2＋y2－8x ＋15＝0，直线y ＝kx ＋2上至少存在一点P ，使得以点P 为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则实数k 的最小值是________．解析：将圆C 的方程化为标准方程，得(x －4)2＋y2＝1，故圆心为C(4,0)，半径r ＝1.又直线y ＝kx ＋2上至少存在一点P ，使得以点P 为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，所以点C 到直线y ＝kx ＋2的距离小于或等于2，即|4k －0＋2|k2＋1≤2，解得－43≤k ≤0，所以实数k 的最小值是－43. 答案：－433．圆O1：x2＋y2－4y ＋3＝0和圆O2：x2＋y2－16y ＝0的位置关系是( )A ．相离B ．相交C ．相切D ．内含解析：选D 因为r1＝1，r2＝8，|O1O2|＝(0－0)2＋(2－8)2＝6，则|O1O2|＜r2－r1.所以两圆内含．4．若两圆x2＋y2＝m 和x2＋y2＋6x －8y －11＝0有公共点，则实数m 的取值范围是( )A．(－∞，1) B．(121，＋∞)C．[1,121] D．(1,121)解析：选C x2＋y2＋6x－8y－11＝0化成标准方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝36.圆心距为d＝(0＋3)2＋(0－4)2＝5，若两圆有公共点，则|6－m|≤5≤6＋m，∴1≤m≤121.5．求与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4相切于点A(4，－1)且半径为1的圆的方程．解：设所求圆的圆心为P(a，b)，则(a－4)2＋(b＋1)2＝1. ①(1)若两圆外切，则有(a－2)2＋(b＋1)2＝1＋2＝3, ②联立①②，解得a＝5，b＝－1，所以，所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1；(2)若两圆内切，则有(a－2)2＋(b＋1)2＝|2－1|＝1, ③联立①③，解得a＝3，b＝－1，所以，所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝1.综上所述，所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1或(x－3)2＋(y＋1)2＝1.对点练二直线与圆的方程的应用6．一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过( )A．1.4米B．3.5米C．3.6米D．2米解析：选B 建立如图所示的平面直角坐标系．如图设蓬顶距地面高度为h ，则A(0.8，h －3.6)所在圆的方程为： x2＋(y ＋3.6)2＝3.62，把A(0.8，h －3.6)代入得0.82＋h2＝3.62.∴h ＝40.77≈3.5(米)．7．某公园有A 、B 两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路2 km 和2 2 km ，且A 、B 景点间相距2 km ，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设在何处？解：所选观景点应使对两景点的视角最大．由平面几何知识知，该点应是过A 、B 两点的圆与小路所在的直线相切时的切点．以小路所在直线为x 轴，B 点在y 轴正半轴上建立平面直角坐标系．由题意，得A(2，2)，B(0,22)，设圆的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝b2，由A 、B 两点在圆上，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝42，b ＝52，由实际意义知a ＝0，b ＝2，∴圆的方程为x2＋(y －2)2＝2，切点为(0,0)，∴观景点应设在B 景点在小路的投影处．8．为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O 处向东走1 km 是储备基地的边界上的点A ，接着向东再走7 km 到达公路上的点B ；从基地中心O 向正北走8 km 到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D ，修建一条由D 通往公路BC 的专用线DE ，求DE 的最短距离．解：以O 为坐标原点，过OB ，OC 的直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，则圆O 的方程为x2＋y2＝1.因为点B(8,0)，C(0,8)，所以直线BC 的方程为x 8＋y 8＝1，即x ＋y ＝8.当点D 选在与直线BC 平行的直线(距BC 较近的一条)与圆的切点处时，DE 为最短距离．所以DE 长的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1) km. 二、综合过关训练1．半径长为6的圆与x 轴相切，且与圆x2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程为( )A ．(x －4)2＋(y －6)2＝6B ．(x ±4)2＋(y －6)2＝6C ．(x －4)2＋(y －6)2＝36D ．(x ±4)2＋(y －6)2＝36解析：选D ∵半径长为6的圆与x 轴相切，设圆心坐标为(a ，b)，则b ＝6(b ＝－6舍去)．再由a2＋32＝5，可以解得a ＝±4，故所求圆的方程为(x ±4)2＋(y －6)2＝36.2．已知点M 在圆C1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4上，点N 在圆C2：(x －1)2＋(y ＋2)2＝4上，则|MN|的最大值是( )A ．5B ．7C ．9D ．11解析：选C 由题意知圆C1的圆心C1(－3,1)，半径长r1＝2；圆C2的圆心C2(1，－2)，半径长r2＝2.因为两圆的圆心距d＝[1－(－3)]2＋[(－2)－1]2＝5＞r1＋r2＝4，所以两圆相离，从而|MN|的最大值为5＋2＋2＝9.故选C.3．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )A．(x－5)2＋(y－7)2＝25B．(x－5)2＋(y－7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15C．(x－5)2＋(y－7)2＝9D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9解析：选D 设动圆圆心为(x，y)，若动圆与已知圆外切，则(x－5)2＋(y＋7)2＝4＋1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝25；若动圆与已知圆内切，则(x－5)2＋(y＋7)2＝4－1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝9.4．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝( )A．4 B．4 2C．8 D．8 2解析：选C ∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等．设两圆的圆心分别为(a，a)，(b，b)，则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2，即a，b为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根，整理得x2－10x＋17＝0，∴a＋b＝10，ab＝17.∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32，5．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为23，则a ＝__________.解析：由已知两个圆的方程作差可以得到相应弦的直线方程为y＝1a，利用圆心(0,0)到直线的距离d＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a1＝22－(3)2＝1，解得a＝1.答案：16．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＝0.(1)当m＝1时，判断圆C1和圆C2的位置关系；(2)是否存在实数m，使得圆C1和圆C2内含？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．解：(1)当m＝1时，圆C1的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆心为C1(1，－2)，半径长为r1＝3，圆C2的方程为(x＋1)2＋y2＝1，圆心为C2(－1,0)，半径长为r2＝1，两圆的圆心距d＝(1＋1)2＋(－2－0)2＝22，又r1＋r2＝3＋1＝4，r1－r2＝3－1＝2，所以r1－r2＜d＜r1＋r2，所以圆C1和圆C2相交．(2)不存在实数m，使得圆C1和圆C2内含．理由如下：圆C1的方程可化为(x－m)2＋(y＋2)2＝9，圆心C1的坐标为(m，－2)，半径为3.假设存在实数m，使得圆C1和圆C2内含，即(m＋1)2＜0，此不等式无解．故不存在实数m，使得圆C1和圆C2内含．7．一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？解：以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图)，其中取10 km为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2＋y2＝9，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线l的方程为x7＋y4＝1，即4x＋7y－28＝0.圆心(0,0)到航线4x＋7y－28＝0的距离d＝|28|42＋72＝2865，而半径r＝3，∴d>r，∴直线与圆相离，即轮船不会受到台风的影响．。

直线与圆的方程综合复习（含答案）一． 选择题1.已知点A(1,. 3),B(-1,33),则直线AB 的倾斜角是（ C ） A 3B 6C 23D 562.已知过点A(-2,m)和B （m,4）的直线与直线2x+y-1=0平行，则m 的值为（ C ） A 0 B 2 C -8 D 103.若直线L 1:ax+2y+6=0与直线L 2:x+(a-1)y+(2a -1)=0平行但不重合，则a 等于（ D ）A -1或2B 23C 2D -14.若点A （2，-3）是直线a 1x+b 1y+1=0和a 2x+b 2y+1=0的公共点，则相异两点 （a 1，b 1）和（a 2，b 2）所确定的直线方程是( A ) A.2x-3y+1=0 B.3x-2y+1=0 C.2x-3y-1=0 D.3x-2y-1=05.直线xcos θ+y-1=0 (θ∈R )的倾斜角的范围是 ( D )A.[)π，0B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ43,4C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,4ππD.⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,434,06.“m=12”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m-2）x+(m+2y)-3=0相互垂直”的（ B ）A 充分必要条件B 充分而不必要条件C 必要而不充分条件D 既不充分也不必要条件7.已知A(7,-4)关于直线L 的对称点为B （-5,6），则直线L 的方程为（B ） A 5x+6y-11=0 B 6x-5y-1=0 C 6x+5y-11=0 D 5x-6y+1=0 8.已知直线1l 的方向向量a=(1,3),直线2l 的方向向量b=(-1,k).若直线2l 经过点（0,5）且1l 2l ，则直线2l 的方程为（ B ）A x+3y-5=0B x+3y-15=0C x-3y+5=0D x-3y+15=0 9. 过坐标原点且与圆2x +2y -4x+2y+52=0相切的直线方程为（ A ）A y=-3x 或y= 13xB y=3x 或y= -13xC y=-3x 或y= -13xD y=3x 或y= 13x10.直线x+y=1与圆2x +2y -2ay=0(a>0)没有公共点,则a 的取值范围是（A ）A (02-1,)B (2-1, 2+1)C (-2-1, 2-1)D (0, 2+1) 11.圆2x +2y -4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是（ C ）A 36B 18C 62D 5212.以直线：y=kx-k 经过的定点为P 为圆心且过坐标原点的圆的方程为（D ）， A 2x +2y +2x=0 B 2x +2y +x=0 C 2x +2y -x=0 D 2x +2y -2x-013.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果定点P 满足PA=2PB,则定点P 的轨迹所 包围的面积等于（ B ）A B 4 C 8 D 914.若直线3x+y+a=0过圆2x +2y +2x-4y=0的圆心，则a 的值为（ B ）A 1B -1C 3D -315.若直线2ax-by+2=0 (a ＞0,b ＞0)始终平分圆x 2+y 2+2x-4y+1=0的周长，则ba11+的最小值是（ C ）A.41B.2C.4D.2116.若直线y=k(x-2)+4与曲线y=1+24x -有两个不同的交点，则k 的取值范围是 （ A ）A.⎥⎦⎤⎝⎛43,125 B.⎪⎭⎫⎝⎛+∞,125 C.⎥⎦⎤⎝⎛43,21D.⎪⎭⎫⎝⎛125,17.设两圆1C ,2C 都和两坐标轴相切，且过点（4,1），则两圆心的距离 ︱1C 2C ︱等于（ C ）A 4B 42C 8D 8218.能够使得圆x 2+y 2-2x+4y+1=0上恰有两个点到直线2x+y+c=0距离等于1的c的一个值为 （ C ） A.2B.5C.3D.3519.若直线by ax +=1与圆x 2+y 2=1有公共点，则( D )A.a 2+b 2≤1B.a 2+b 2≥1C.2211ba +≤1 D.2211ba +≥120.已知A （-3，8）和B （2，2），在x 轴上有一点M ，使得|AM|+|BM|为最短，那么点M 的坐标为（ B ） A.(-1,0)B.(1,0)C.⎪⎭⎫⎝⎛0522，D. ⎪⎭⎫⎝⎛522,021.直线y=kx+3与圆2(3)x+2(2)y =4相交于M 、N 两点，若︱MN ︱≥23,则k 的取值范围是（ A ）A [-34,0] B [-∞,-34] [0，∞） C [-33,33] D [-23,0] 22.（广东理科2）已知集合{(,)|,A x y x y =为实数，且221}x y +=，{(,)|,B x y x y =为实数，且}y x =，则AB 的元素个数为（C ）A ．0B ．1C ．2D ．3 23.（江西理科9）若曲线02221=-+x y x C ：与曲线 0)(2=--m mx y y C ：有四个不同的交点,则实数m 的取值范围是 ( B ) A. )33,33(-B. )33,0()0,33( -C. ]33,33[-D. ),33()33,(+∞--∞ 答案：B 曲线0222=-+x y x 表示以()0,1为圆心，以1为半径的圆，曲线()0=--m mx y y 表示0,0=--=m mx y y 或过定点()0,1-，0=y 与圆有两个交点，故0=--m mx y 也应该与圆有两个交点，由图可以知道，临界情况即是与圆相切的时候，经计算可得，两种相切分别对应3333=-=m m 和，由图可知，m 的取值范围应是)33,0()0,33( -二．填空题24．已知圆C 经过)3,1(),1,5(B A 两点，圆心在X 轴上，则C 的方程为10)2(22=+-y x ___________。

第二章直线与圆单元过关检测能力提高B 版 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知直线l 过点()1,2P -且与线段AB 的延长线有公共点，若()2,3A --，()3,0B ，则直线l 的斜率的取值范围是（ ）A ．1,52⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．13,25⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．13,25⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．[)1,5,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦2．已知,a b 满足21a b +=，则直线30ax y b ++=必过定点（ ）A ．1,23⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．11,26⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．11,26⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．12,3⎛⎫- ⎪⎝⎭3．若动点()()1122,,,A x y B x y 分别在直线1:70l x y +-=和2:50l x y +-=上移动，则AB 中点M 到原点距离的最小值为( )A ．32B ．23C ．33D ．424．圆22:4440C x y x y ++-+=关于直线20x y -+=对称的圆的方程是（ ）A ．224x y +=B ．22(2)(2)4-++=x yC ．22(2)4x y -+=D ．22(2)4x y ++=5．若对圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点(,)P x y ，34349x y a x y -++--的取值与x ，y 无关，则实数a 的取值范围是( )A ．4a ≤B ．46a -≤≤C ．4a ≤或6a ≥D ．6a ≥6．我们把顶角为36︒的等腰三角形称为黄金三角形．．．．．．其作法如下：①作一个正方形ABCD ；②以AD 的中点E 为圆心，以EC 长为半径作圆，交AD 延长线于F ；③以D 为圆心，以DF 长为半径作⊙D ；④以A 为圆心，以AD 长为半径作⊙A 交⊙D 于G ，则ADG ∆为黄金三角形．根据上述作法，可以求出cos36︒=ABCD7．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点Q 、P 的距离之比||||MQ MP λ=(0,1)λλ>≠，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为221x y +=，定点Q 为x 轴上一点，1,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭且2λ=，若点(1,1)B ，则2||||MP MB +的最小值为（ ） ABCD8．数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知ABC ∆的顶点为A (0,0)，B (4,0)，(C ，则该三角形的欧拉线方程为( )A0y --=B．0x -= C20y --=D．20x --=二、多选题9．下列说法错误的是（ ）A ．“1a =-”是“直线210a x y -+=与直线20x ay --=互相垂直”的充要条件B ．直线sin 20x y α++=的倾斜角θ的取值范围是30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ C ．过()11,x y ，()22,x y 两点的所有直线的方程为112121y y x x y y x x --=-- D ．经过点(1,1)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-=10．已知圆22111:0M x y D x E y F ++++=与圆22222:0N x y D x E y F ++++=的圆心不重合，直线()()121212:0l D D x E E y F F -+-+-=．下列说法正确的是（ ）A ．若两圆相交，则l 是两圆的公共弦所在直线B ．直线l 过线段MN 的中点C ．过直线l 上一点P （在两圆外）作两圆的切线，切点分别为A ，B ，则PA PB =D ．直线l 与直线MN 相互垂直 11．以下四个命题表述正确的是（ ）A ．直线()()34330m x y m m R ++-+=∈恒过定点()3,3--B ．圆224x y +=上有且仅有3个点到直线:20l x y -+=的距离都等于1C ．曲线22120C :x y x ++=与曲线222480C :x y x y m +--+=恰有三条公切线，则4m =D ．已知圆22:4C x y +=，点P 为直线142x y +=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，则直线AB 经过定点(1,2) 12．已知圆22:5,,O x y A B +=为圆O 上的两个动点，且2,AB M =为弦AB 的中点()22,C a ，()22,2D a +.当,A B 在圆O 上运动时，始终有CMD ∠为锐角，则实数a 的可能取值为（ ） A ．-3B ．-2C ．0D ．1三、填空题13．已知直线l ：y x b =+被圆C ：22(3)(2)6x y -+-=截得的弦长等于该圆的半径，则b =______．14．在平面直角坐标系中，若直线l 与圆221:1C x y +=和圆()()222:525249C x y -+-=都相切，且两个圆的圆心均在直线l 的下方，则直线l 的斜率为__________．15．如图，O 是坐标原点，圆O 的半径为1，点A （-1，0），B （1，0），点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，圆O 上按逆时针方向运动.若点P 的速度大小是点Q 的两倍，则在点P 运动一周的过程中，AP AQ ⋅的最大值是_______.16．以三角形边BC ，CA ，AB 为边向形外作正三角形BCA '，CAB '，ABC '，则AA '，BB '，CC '三线共点，该点称为ABC 的正等角中心．当ABC 的每个内角都小于120º时，正等角中心点P 满足以下性质：（1）120APB APC BPC ；（2）正等角中心是到该三角形三个顶点距离之和最小的点（也即费马点）．由以上性质得222222(1)(1)(2)x y x y x y +-++++-+的最小值为_________四、解答题 17．已知P 是直线3480x y ++=上的动点，PA 、PB 是圆22:2210C x y x y +--+=的两条切线，A 、B 是切点.（1）求四边形PACB 面积的最小值；（2）直线上是否存在点P ，使60BPA ︒∠=？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由.18．已知直线20x y -+=和圆22:8120C x y x +-+=，过直线上的一点()00,P x y 作两条直线PA ，PB与圆C 相切于A ，B 两点.（1）当P 点坐标为()2,4时，求以PC 为直径的圆的方程，并求直线AB 的方程；（2）设切线PA 与PB 的斜率分别为1k ，2k ，且127k k ⋅=-时，求点P 的坐标.19．已知()0,3A ，,B C 为222(0)x y r r +=>上三点.（1）求r 的值；（2）若直线BC 过点(0，2)，求ABC 面积的最大值；（3）若D 为曲线22(1)4(3)x y y ++=≠-上的动点，且AD AB AC =+，试问直线AB 和直线AC 的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.20．已知两个定点(0,4)A ，(0,1)B ， 动点P 满足||2||PA PB =，设动点P 的轨迹为曲线E ，直线l ：4y kx =-.（1）求曲线E 的轨迹方程；（2）若l 与曲线E 交于不同的C 、D 两点，且120COD ∠=︒ (O 为坐标原点)，求直线l 的斜率； （3）若1k =，Q 是直线l 上的动点，过Q 作曲线E 的两条切线QM 、QN ，切点为M 、N ，探究：直线MN 是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由.21．如图，已知圆22:1O x y +=，点(),4P t 为直线4y =上一点，过点P 作圆O 的切线，切点分别为,M N .（Ⅰ）已知1t =，求切线的方程；（Ⅱ）直线MN 是否过定点?若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由；（Ⅲ）若1t >，两条切线分别交y 轴于点,A B ，记四边形PMON 面积为1S ，三角形PAB 面积为2S ，求12S S ⋅的最小值.22．已知圆22:1O x y +=和点()1,4M --.（1）过点M 向圆O 引切线，求切线的方程；（2）求以点M 为圆心，且被直线212y x =-截得的弦长为8的圆M 的方程；（3）设P 为（2）中圆M 上任意一点，过点P 向圆O 引切线，切点为Q ，试探究：平面内是否存在一定点R ，使得PQ PR为定值？若存在，请求出定点R 的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

1．已知直线和圆有两个交点，则的取值范围是（） A． B．C． D．2．圆x2+y2-2acos x-2bsin y-a2sin=0在x轴上截得的弦长是（）A．2a B．2|a| C．|a| D．4|a|3．过圆x2+y2-2x+4y- 4=0内一点M（3，0）作圆的割线，使它被该圆截得的线段最短，则直线的方程是（）A．x+y-3=0 B．x-y-3=0C．x+4y-3=0 D．x-4y-3=04．若直线(1+a)x+y+1=0与圆x2+y2-2x=0相切，则a的值为（）A．1或-1 B．2或-2 C．1 D．-1 5．若直线3x+4y+c=0与圆(x+1)2+y2=4相切，则c的值为（）A．17或-23 B．23或-17 C．7或-13 D．-7或13 6．若P(x,y)在圆 (x+3)2+(y-3)2=6上运动，则的最大值等于（）A．-3+2 B．-3+ C．-3-2 D．3-2 7．圆x2+y2+6x-7=0和圆x2+y2+6y-27=0的位置关系是（）A．相切 B．相交 C．相离 D．内含8．若圆x2+y2=4和圆x2+y2+4x-4y+4=0关于直线对称，则直线的方程是（）A．x+y=0 B．x+y-2=0 C．x-y-2=0 D．x-y+2=01．9．圆的方程x2+y2+2kx+k2-1=0与x2+y2+2(k+1)y+k2+2k=0的圆心之间的最短距离是（）A． B．2 C．1 D．10．已知圆x2+y2+x+2y=和圆(x-sin)2+(y-1)2=, 其中0900, 则两圆的位置关系是（）A．相交B．外切 C．内切 D．相交或外切11．与圆(x-2)2+(y+1)2=1关于直线x-y+3=0成轴对称的曲线的方程是（）A．(x-4)2+(y+5)2=1 B．(x-4)2+(y-5)2=1C．(x+4)2+(y+5)2=1 D．(x+4)2+(y-5)2=112．圆x2+y2-ax+2y+1=0关于直线x-y=1对称的圆的方程为x2+y2=1, 则实数a 的值为（）A．0 B．1 C． 2 D．213．已知圆方程C1：f(x,y)=0，点P1(x1,y1)在圆C1上，点P2(x2,y2)不在圆C1上，则方程：f(x,y)- f(x1,y1)-f(x2,y2)=0表示的圆C2与圆C1的关系是（）A．与圆C1重合 B．与圆C1同心圆C．过P1且与圆C1同心相同的圆 D．过P2且与圆C1同心相同的圆14．自直线y=x上一点向圆x2+y2-6x+7=0作切线，则切线的最小值为___________．15．如果把直线x-2y+=0向左平移1个单位，再向下平移2个单位，便与圆x2+y2+2x-4y=0相切，则实数的值等于__________．16．若a2+b2=4, 则两圆(x-a)2+y2=1和x2+(y-b)2=1的位置关系是____________．17．过点(0,6)且与圆C: x2+y2+10x+10y=0切于原点的圆的方程是____________．18．已知圆C：(x-1)2+(y-2)2=25, 直线：（2m+1）x+(m+1)y-7m-4=0(m R),证明直线与圆相交；(2) 求直线被圆C截得的弦长最小时，求直线的方程．19．求过直线x+3y-7=0与已知圆x2+y2+2x-2y-3=0的交点，且在两坐标轴上的四个截距之和为-8的圆的方程．20．已知圆满足：（1）截y轴所得弦长为2，（2）被x轴分成两段弧，其弧长的比为3：1，（3）圆心到直线：x-2y=0的距离为，求这个圆方程．21．求与已知圆x2+y2-7y+10=0相交，所得公共弦平行于已知直线2x-3y-1=0且过点（-2，3），（1，4）的圆的方程．参考答案：经典例题：解：设圆C圆心为C(x, y), 半径为r，由条件圆C1圆心为C1(0, 0)；圆C2圆心为C2(1, 0)；两圆半径分别为r1＝1, r2＝4，∵圆心与圆C1外切∴|CC1|＝r+r1，又∵圆C与圆C2内切，∴|CC2|＝r2-r （由题意r2>r），∴|CC1|+|CC2|＝r1+r2，即 , 化简得24x2+25y2-24x-144＝0, 即为动圆圆心轨迹方程.当堂练习：1.D;2.B;3.A;4.D;5.D;6.A;7.B;8.D;9.A; 10.D; 11.D; 12.D; 13.D; 14.; 15. 13或3; 16. 外切; 17. (x-3)2+(y-3)3=18;18. 证明：（1）将直线的方程整理为（x+y-4）+m(2x+y-7)=0，由,直线过定点A（3，1），（3-1）2+（1-2）2=5<25，点A在圆C的内部，故直线恒与圆相交.（2）圆心O（1，2），当截得的弦长最小时，AO，由kAO= -, 得直线的方程为y-1=2(x-3)，即2x-y-5=0.19. 解：过直线与圆的交点的圆方程可设为x2+y2+2x-2y-3+(x+3y-7)=0,整理得x2+y2+（2+）x+（3-2）y-3-7=0，令y=0，得x2+y2+（2+）x -3-7 =0圆在x轴上的两截距之和为x1+x2= -2-,同理，圆在y轴上的两截距之和为2-3，故有-2-+2-3=-8，=2，所求圆的方程为x2+y2+4x+4y-17=0.20. 解：设所求圆圆心为P（a,b），半径为r，则点P到x轴、y轴的距离分别为|b|、|a|，由题设知圆P截x轴所对劣弧对的圆心角为900，知圆P截x轴所得弦长为r，故r2=2b2, 又圆P被 y轴所截提的弦长为2，所以有r2=a2+1，从而2b2-a2=1. 又因为P（a,b）到直线x-2y=0的距离为，所以d==，即|a-2b|=1, 解得a-2b=1,由此得,于是r2=2b2=2, 所求圆的方程是(x+1)2+(y+1)2=2或(x-1)2+(y-1)2=2.21. 解：公共弦所在直线斜率为，已知圆的圆心坐标为（0，），故两圆连心线所在直线方程为y-=-x, 即3x+2y-7=0,设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,由, 所求圆的方程为x2+y2+2x-10y+21=0.。

驻市一高2009~2010学年度暑假作业高一数学必修二（直线与圆）第I 卷（选择题60分）一、选择题（下列各题都有四个选择项，其中一项正确，请选出，每题5分，共60分）1．若A （3，5）、B （a ，7）、C （－1，－3）三点共线，则a 值为（）A ．2B ．3C ．4D ．52．已知 a c > 0 ,b c < 0，那么直线 a x +b y + c ＝0不通过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．直线kx －y + 1－3 k = 0，当k 变化时，所有直线都通过点（）A ．（0，0）B ．（0，1）C ．（ 2 ，1）D ．（ 3 ，1）4．点A （ a ，6 ）到直线3 x －4 y = 2的距离不小于4，则 a 的取值范围是（）A ．a ≥346B ．a ≤－2C ．a ≥346或a ≤2 D ．a ≤－2或a ≥3465．直线012ay x和直线01)13(ayx a平行则（）A ．61aB ．0aC ．32aD ．61a或0a 6．过原点O 作直线L 的垂线，垂足为A （2，3），则L 的方程是A ．2x －3y －13＝0B ．2x ＋3y －13＝0C ．2x －3y ＋13＝0D ．2x ＋3y ＋13＝0 7．过点P( 2 , 3)并且在两轴上截距的绝对值相等的直线有（）条。

A ．3B ．2C ．1D ．08．经过点)1,2(M 作圆522yx的切线，则切线的方程为：A ．52yx B ．52y xC ．052y xD ．250xy 9．圆C ：1)3()1(22y x 关于直线x －y －1＝0对称的曲线方程为（）A ．1)4(22y x B ．1)4(22y x C ．1)4(22yxD ．1)4(22yx10．设直线过点(0，a)，其斜率为1，且与圆x 2+y 2=2相切，则 a 的值为（）A ．±2B ．±2B ．±2 2D ．±411．直线1xy与圆2220(0)xyay a 没有公共点，则a 的取值范围是A．(0,21) B．(21,21) C．(21,21) D．(0,21)12．如果把直线x －2 y + ＝0按向量a＝（－1，－2）平移后所得直线与圆（x +1）2 + ( y －2)2＝5相切，则实数的值是（）A．13或－3 B．13或3 C．－13 或3 D．－13或－3一、选择题(60分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12选项第Ⅱ卷（选择题90分）二、填空题（每题5分，共20分）13．已知点A（7 ，－4）、B（－5 ，6）关于直线L对称，则L的方程是14．曲线y = ︳x ︳与圆x 2+ y 2＝4所围成的最大区域的面积是15．两圆x 2+ y 2－10 x －10 y＝0 ，x 2+ y 2＋6 x ＋2 y －40 = 0公共弦的长是16．已知直线 a x + y + 2 = 0与点 A （－2 ，1），点B（3 ，2），当直线与线段AB总相交时，实数a的取值范围是三、解答题（共6大题，共70分）17．（12分）已知圆过点P （2，－1），和直线x －y＝1相切，且它的圆心在直线y＝－2x上，求这个圆的方程。

高中数学必修二直线和圆练习一、选择题1．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）A ．012=-+y xB ．052=-+y xC ．052=-+y xD ．072=+-y x2．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为（ ）A ．0B ．8-C ．2D ．103．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（ ）A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限 4．直线l 与两直线1y =和70x y --=分别交于,A B 两点，若线段AB 的中点为 (1,1)M -，则直线l 的斜率为（ ）A ．23B ．32C ．32-D ． 23-. 5. 圆C 1:x 2+y 2+4x-4y+7=0和圆C 2:x 2+y 2-4x-10y+13=0的公切线有( )A.2条B.3条C.4条D.以上均错6. 已知空间两点A(1,3,5)、B(-3,1,3),则线段AB 的中点坐标为( )A.(-1,2,4)B.(2,1,1)C.(1,0,4)D.(3,3,-1)7.若直线(1+a)x+y+1=0与圆x 2+y 2-2x=0相切，则a 的值为( )A.1、-1B.2、-2C.1D.-18.已知圆C ：(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)及直线l ：x-y+3=0，当直线l 被圆C 截得的弦长为32时，则a 等于( ) A.2 B.22-C.12-D.12+二、填空题1．点(1,1)P - 到直线10x y -+=的距离是________________.2.经过点P(1,2)与圆x 2+y 2=1相切的直线方程为______________.3.与两平行直线x+3y-5=0和x+3y-3=0相切,圆心在直线2x+y+3=0上的圆的方程是________.4. 已知圆x2+y2-4x+6y-12=0的内部有一点A(4，-2)，则以A为中点的弦所在的直线方程为______________________.三、解答题1．求经过点(2,2)A-并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程。

第二章直线与圆单元过关检测 基础A 卷解析版学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若圆22220x y x y m ++-+=m =（ ） A ．32-B ．-1C ．1D ．32【答案】B 【分析】将圆的方程化为标准方程，即可求出半径的表达式，从而可求出m 的值. 【详解】由题意，圆的方程可化为()()22112x y m ++-=-，=1m =-. 故选：B. 【点睛】本题考查圆的方程，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 2．若直线l 的倾斜角α满足203πα≤<，且2πα≠，则其斜率k 满足（ ）．A ．0k <≤B ．k >C ．0k ≥，或k <D ．0k ≥，或3k <-【答案】C 【分析】由直线的倾斜角的范围，得到斜率的范围，求解即可. 【详解】由02πα≤<，得tan 0α≥，由223ππα<<，tan α<，故0k ≥，或k <所以本题答案为C.【点睛】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，注意倾斜角的范围，正切函数在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭和,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上都是单调增函数．3．点(4,2)P -与圆224x y +=上任一点连线的中点的轨迹方程是（ ） A ．22(2)(1)1x y -++= B ．22(2)(1)4x y -++= C ．22(4)(2)4x y ++-= D ．22(2)(1)1x y ++-= 【答案】A 【解析】试题分析：设圆上任一点为()00,Q x y ，PQ 中点为(),M x y ，根据中点坐标公式得，0024{22x x y y =-=+，因为()00,Q x y 在圆224x y +=上，所以22004x y +=，即()()2224224x y -++=，化为22(2)(1)1x y -++=，故选A.考点：1、圆的标准方程；2、“逆代法”求轨迹方程.【方法点晴】本题主要考查圆的标准方程、“逆代法”求轨迹方程，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标(),x y ，根据题意列出关于,x y 的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把,x y 分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将()()00{x g x y h x ==代入()00,0=f x y .本题就是利用方法④求M 的轨迹方程的.4．下列直线中，斜率为43-，且经过第一象限的是（ ） A ．3470x y ++= B ．4370x y ++= C ．43420x y +-= D ．44420x y +-=【答案】C 【分析】 根据条件斜率为43-，且经过第一象限，依次讨论选项，即得解. 【详解】由直线的斜率为43-，故可排除A ，D 又B 中直线4370x y ++=在x,y 轴的截距分别为77,43--，故不经过第一象限，排除B 故选：C 【点睛】本题考查了直线的方程与图像，考查了学生概念理解，综合分析，数学运算的能力，属于基础题. 5．顺次连接点()4,3A -，()2,5B ，()3,2C ，()3,0D -所构成的图形是（ ） A ．平行四边形 B ．直角梯形C ．等腰梯形D ．以上都不对【答案】A 【分析】由四个点的坐标可求出AB k ，BC k ，CD k ，AD k 根据斜率关系以及线段的长度，即可得结果. 【详解】因为()4,3A -，()2,5B ，()3,2C ，()3,0D -， 所以()531243AB k -==--，52323BC k -==--，()201333CD k -==--，()30343AD k -==----所以AB CD k k =，BC AD k k =， 所以四边形ABCD 是平行四边形. 故选：A 【点睛】本题主要考查了两直线平行的条件，考查了直线的斜率公式，属于基础题.6．经过点(0,1)P -作直线l ，若直线l 与连接(1,2),(2,1)A B -的线段总有公共点，则l 的倾斜角的取值范围是（ ） A ．0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π B ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【答案】D 【分析】结合图形利用,PA PB 的斜率得到直线l 的斜率的取值范围，从而可得直线l 的倾斜角的取值范围. 【详解】设直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，1(2)101PA k ---==--，11102PB k --==-，由图可知，11k -≤≤，所以04πα≤≤或34παπ≤<. 故选：D 【点睛】关键点点睛：求直线倾斜角的取值范围的关键是求出直线的斜率的取值范围，结合图象，利用,PA PB 的斜率可得所要求的斜率的取值范围. 7．集合(){}22,4M x y x y =+≤，()()(){}222,11,0N x y x y r r =-+-≤>,且MN N =,则r 的取值范围是() A ．()21 B ．(]0,1C ．(0,22-D ．(]0,2 【答案】C 【分析】由题意知集合M 与N 中的两个圆内含或内切，由圆心距与半径差的关系可得结果. 【详解】由M N N ⋂=得N M ⊆，∴圆224x y +=与圆()()22211x y r -+-=内切或内含，∴22r -≥022r <≤故选C.【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，考查了集合间关系的转化，属于基础题.8．已知圆221:(2)(3)1C x y -+-=，圆222:(3)(4)9C x y -+-=，,M N 分别为圆12,C C 上的点，P 为x 轴上的动点，则||||PM PN +的最小值为( )A 17B 171C ．622-D ．524【答案】D 【分析】求出圆1C 关于x 轴的对称圆的圆心坐标A ，以及半径，然后求解圆A 与圆2C 的圆心距减去两个圆的半径和，即可求得||||PM PN +的最小值，得到答案． 【详解】如图所示，圆1C 关于x 轴的对称圆的圆心坐标3(2,)A -，半径为1， 圆2C 的圆心坐标为(3,4),，半径为3，由图象可知，当,,P M N 三点共线时，||||PM PN +取得最小值， 且||||PM PN +的最小值为圆3C 与圆2C 的圆心距减去两个圆的半径之和， 即22231(32)(34)4524AC --=-+---=-， 故选D ．【点睛】本题主要考查了圆的对称圆的方程的求解，以及两个圆的位置关系的应用，其中解答中合理利用两个圆的位置关系是解答本题的关键，着重考查了数形结合法，以及推理与运算能力，属于基础题．评卷人 得分二、多选题9．过点(4,1)A 且在两坐标轴上截距相等的直线方程是（ ） A ．5x y += B ．5x y -=C ．40x y -=D ．04=+y x【答案】AC 【分析】分两种情况求解，过原点时和不过原点时，结合所过点的坐标可求. 【详解】当直线过坐标原点时，直线方程为40x y -=；当直线不过坐标原点时，设直线方程为x y a +=，代入点(4,1)A 可得5a =， 即5x y +=.故选：AC. 【点睛】直线在两坐标轴上截距相等时，有两种情况：一是直线经过坐标原点；二是直线斜率为1-.10．（多选）已知直线l 经过点(3,4)，且点(2,2),(4,2)A B --到直线l 的距离相等，则直线l 的方程可能为（ ）A ．23180x y +-=B ．220x y --=C ．220x y ++=D ．2360x y -+=【答案】AB 【分析】由题可知直线l 的斜率存在，所以设直线l 的方程为4(3)y k x -=-，然后利用点到直线的距离公式列方程，可求出直线的斜率，从而可得直线方程 【详解】当直线l 的斜率不存在时，显然不满足题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为4(3)y k x -=-，即430kx y k -+-=．=，所以2k =或23k =-， 所以直线l 的方程为220x y --=或23180x y +-=． 故选：AB 【点睛】此题考查直线方程的求法，考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题11．已知圆22:4O x y +=和圆22:4240M x y x y +-+=+相交于A 、B 两点，下列说法正确的为（ ） A ．两圆有两条公切线 B ．直线AB 的方程为22y x =+C ．线段AB 的长为65D ．圆O 上点E ，圆M 上点F ，EF 3【答案】AD 【分析】由圆与圆相交可判断A ；两圆方程作差可判断B ；利用垂径定理可判断C ；转化为圆心间的距离可判断D. 【详解】对于A ，因为两圆相交，所以两圆有两条公切线，故A 正确；对于B ，因为圆22:4O x y +=，圆22:4240M x y x y +-+=+， 两圆作差得4244x y -+=-即24y x =+， 所以直线AB 的方程为24y x =+，故B 错误； 对于C ，圆22:4O x y +=的圆心为()0,0，半径为2，则圆心到直线AB 的距离d ==， 所以2245452255AB，故C 错误； 对于D ，圆22:4240M x y x y +-+=+的圆心()2,1M -，半径为1，所以max 213EF OM =++=，故D 正确. 故选：AD.12．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λ（1λ≠）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xOy 中，已知()4,2A -，()2,2B ，点P 满足2PA PB=，设点P 的轨迹为圆C ，下列结论正确的是（ ）A ．圆C 的方程是()()224216x y -+-= B ．过点A 向圆C 引切线，两条切线的夹角为3πC ．过点A 作直线l ，若圆C 上恰有三个点到直线l 距离为2，该直线斜率为5±D ．在直线2y =上存在异于A ，B 的两点D ，E ，使得2PDPE= 【答案】ABD 【分析】根据()4,2A -，()2,2B ，点P 满足2PA PB=，设点(),P x y ，求出其轨迹方程，然后再逐项运算验证.【详解】因为()4,2A -，()2,2B ，点P 满足2PA PB=，设点(),P x y ，则2=，化简得：228440x y x y +--+=，即 ()()224216x y -+-=，故A 正确；因为8,4AC R ==，所以1sin22R AC α==，则 26απ=，解得 3πα=，故B 正确；易知直线的斜率存在，设直线:420l kx y k -++=，因为圆C 上恰有三个点到直线l 距离为2，则圆心到直线的距离为：2d ==，解得15k =±，故C 错误； 假设存在异于A ，B 的两点(),2D m ，(),2E n2=，化简得：2222284124033m n n m x y x y --+++-+=，因为点P 的轨迹方程为：228440x y x y +--+=，所以22288341243m nn m -⎧=-⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩解得126m n =⎧⎨=⎩或 42m n =-⎧⎨=⎩（舍去），故存在 ()()12,2,6,2D E ，故D 正确；故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题关键是根据2PA PB=求出点P 的轨迹方程，进而再根据直线与圆的位置关系求解.三、填空题13．已知圆221:1C x y +=，圆222:(4)25C x y -+=，则两圆公切线的方程为________. 【答案】10x += 【分析】首先判断两圆的位置关系，根据位置关系再求两圆公切线方程. 【详解】解析圆221:1C x y +=，圆心为(0,0)，半径为1；圆222:(4)25C x y -+=，圆心为(4,0)，半径为5. 易知两圆内切，切点为(1,0)-，又两圆圆心都在x 轴上， 所以两圆公切线的方程为1x =-，即10x +=. 故答案为：10x += 【点睛】本题考查两圆的位置关系，公切线方程，属于基础题型.14．已知直线(34)30mx m y +-+=与直线230x my ++=互相垂直，则实数m 的值是______． 【答案】0或23【分析】利用直线垂直的性质得到2(34)0m m m +-=，解方程即得解. 【详解】∵直线(34)30mx m y +-+=和直线230x my ++=垂直，2(34)0m m m ∴+-=解得0m =或23. 故答案为：0或23.15．光线从点(1,4)射向y 轴，经过y 轴反射后过点(3,0)，则反射光线所在的直线方程是________. 【答案】30x y +-=（或写成3y x =-+） 【解析】 【分析】光线从点(1,4)射向y 轴，即反射光线反向延长线经过(1,4)关于y 轴的对称点(1,4)-，则反射光线通过(1,4)-和(3,0)两个点，设直线方程求解即可。

章末检测（二） 直线和圆的方程A 卷本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分150分,考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．已知圆C 以点(2,－3)为圆心,半径等于5,则点M (5,－7)与圆C 的位置关系是( ) A ．在圆内 B ．在圆上 C ．在圆外D ．无法判断解析：选B 点M (5,－7)到圆心(2,－3)的距离d ＝5－22＋－7＋32＝5,故点M 在圆C 上．2．已知过点M (－2,a ),N (a,4)的直线的斜率为－12,则|MN |＝( )A ．10B ．180C ．6 3D ．6 5解析：选 D 由k MN ＝a －4－2－a ＝－12,解得a ＝10,即M (－2,10),N (10,4),所以|MN |＝－2－102＋10－42＝65,故选D.3．若直线mx ＋ny ＋3＝0在y 轴上的截距为－3,且它的倾斜角是直线3x －y ＝33的倾斜角的2倍,则( )A ．m ＝－3,n ＝1B ．m ＝－3,n ＝－3C ．m ＝3,n ＝－3D ．m ＝3,n ＝1解析：选D 依题意得：直线3x －y ＝33的斜率为3,∴其倾斜角为60°.∴－3n＝－3,－m n＝tan 120°＝－3,得m ＝3,n ＝1.4．经过点M (2,1)作圆x 2＋y 2＝5的切线,则切线方程为( ) A.2x ＋y －5＝0 B.2x ＋y ＋5＝0 C ．2x ＋y －5＝0D ．2x ＋y ＋5＝0解析：选C ∵M (2,1)在圆上,∴切线与MO 垂直． ∵k MO ＝12,∴切线斜率为－2.又过点M (2,1),∴y －1＝－2(x －2),即2x ＋y －5＝0.5．直线l 过点A (3,4)且与点B (－3,2)的距离最远,那么l 的方程为( )A ．3x －y －13＝0B ．3x －y ＋13＝0C ．3x ＋y －13＝0D ．3x ＋y ＋13＝0解析：选C 由已知可知,l 是过A 且与AB 垂直的直线,∵k AB ＝2－4－3－3＝13,∴k l ＝－3,由点斜式得,y －4＝－3(x －3),即3x ＋y －13＝0.6．若直线l ：y ＝kx ＋1(k ＜0)与圆C ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝2相切,则直线l 与圆D ：(x －2)2＋y 2＝3的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定解析：选A 依题意,直线l 与圆C 相切,则|－2k －1＋1|k 2＋1＝2,解得k ＝±1.又k ＜0,所以k ＝－1,于是直线l 的方程为x ＋y －1＝0.圆心D (2,0)到直线l 的距离d ＝|2＋0－1|2＝22＜3,所以直线l 与圆D 相交,故选A. 7．已知圆C ：x 2＋y 2－2x －2my ＋m 2－3＝0关于直线l ：x －y ＋1＝0对称,则直线x ＝－1与圆C 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不能确定解析：选A 由已知得C ：(x －1)2＋(y －m )2＝4,即圆心C (1,m ),半径r ＝2,因为圆C 关于直线l ：x －y ＋1＝0对称,所以圆心(1,m )在直线l ：x －y ＋1＝0上,所以m ＝2.由圆心C (1,2)到直线x ＝－1的距离d ＝1＋1＝2＝r 知,直线x ＝－1与圆C 相切．故选A.8．已知在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为x 2＋y 2＝－2y ＋3,直线l 经过点(1,0)且与直线x －y ＋1＝0垂直,若直线l 与圆C 交于A ,B 两点,则△OAB 的面积为( )A ．1 B. 2 C ．2D ．2 2解析：选A 由题意,得圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4,圆心为(0,－1),半径r ＝2.因为直线l 经过点(1,0)且与直线x －y ＋1＝0垂直,所以直线l 的斜率为－1,方程为y －0＝－(x －1),即为x ＋y －1＝0.又圆心(0,－1)到直线l 的距离d ＝|0－1－1|2＝2,所以弦长|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝2 2.又坐标原点O 到弦AB 的距离为|0＋0－1|2＝12,所以△OAB的面积为12×22×12＝1.故选A.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的四个选项中,有多个选项是符合题目要求的,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9．过点A (1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零,则该直线方程可能为( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x ＋y －3＝0 C ．2x －y ＝0D ．x －y －1＝0解析：选AC 当直线过原点时,可得斜率为2－01－0＝2,故直线方程为y ＝2x ,即2x －y ＝0；当直线不过原点时,设直线方程为x a ＋y －a ＝1,代入点(1,2),可得1a －2a＝1,解得a ＝－1,直线方程为x －y ＋1＝0,故所求直线方程为2x －y ＝0或x －y ＋1＝0.故选A 、C.10．直线x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －1＝0有两个不同的交点的充分不必要条件可以是( )A ．0＜m ＜1B ．m ＜1C ．－2＜m ＜1D ．－3＜m ＜1解析：选AC 圆x 2＋y 2－2x －1＝0的圆心为(1,0),半径为 2.因为直线x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －1＝0有两个不同的交点,所以直线与圆相交,因此圆心到直线的距离d ＝|1＋m |1＋1＜2,所以|1＋m |＜2,解得－3＜m ＜1,求其充分条件,即求其子集,故由选项易得A 、C 符合．故选A 、C.11．已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝72,若直线l ：x ＋y －m ＝0垂直于圆C 的一条直径,且经过这条直径的一个三等分点,则直线l 的方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x ＋y －4＝0C ．x ＋y －8＝0D ．x ＋y －10＝0解析：选AD 根据题意,圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝72,其圆心C (3,3),半径r ＝62,若直线l ：x ＋y －m ＝0垂直于圆C 的一条直径,且经过这条直径的一个三等分点,则圆心到直线的距离为22,则有d ＝|6－m |1＋1＝22,变形可得|6－m |＝4,解得m ＝2或10,即l 的方程为x＋y －2＝0或x ＋y －10＝0.12．已知直线l 1：x －y －1＝0,动直线l 2：(k ＋1)x ＋ky ＋k ＝0(k ∈R),则下列结论正确的是( )A ．存在k ,使得l 2的倾斜角为90°B ．对任意的k ,l 1与l 2都有公共点C ．对任意的k ,l 1与l 2都不重合D ．对任意的k ,l 1与l 2都不垂直解析：选ABD 对于动直线l 2：(k ＋1)x ＋ky ＋k ＝0(k ∈R),当k ＝0时,斜率不存在,倾斜角为90°,故A 正确；由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，k ＋1x ＋ky ＋k ＝0，可得(2k ＋1)x ＝0,对任意的k ,此方程有解,可得l 1与l 2有交点,故B 正确；因为当k ＝－12时,k ＋11＝k －1＝k－1成立,此时l 1与l 2重合,故C 错误；由于直线l 1：x －y －1＝0的斜率为1,动直线l 2的斜率为k ＋1－k＝－1－1k≠－1,故对任意的k ,l 1与l 2都不垂直,故D 正确．第Ⅱ卷(非选择题,共90分)三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分．把答案填在题中横线上) 13．若过点P (1－a,1＋a )与点Q (3,2a )的直线的倾斜角是钝角,则实数a 的取值范围是________．解析：k ＝2a －1＋a 3－1－a ＝a －1a ＋2<0,得－2<a <1.答案：(－2,1)14．若两平行直线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313,则c ＋2a的值为________．解析：由题意,得63＝a －2≠c－1,所以a ＝－4,c ≠－2.所以直线6x ＋ay ＋c ＝0的方程可化为3x －2y ＋c2＝0.由两平行线间的距离公式,得⎪⎪⎪⎪⎪⎪c 2＋113＝21313,即⎪⎪⎪⎪⎪⎪c2＋1＝2,解得c ＝2或－6,所以c ＋2a＝－1或1. 答案：－1或115．若圆O ：x 2＋y 2＝5与圆O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R)相交于A ,B 两点,且两圆在点A 处的切线互相垂直,则线段AB 的长为________．解析：连接OO 1,记AB 与OO 1的交点为C ,如图所示,在 Rt △OO 1A 中,|OA |＝5,|O 1A |＝25,∴|OO 1|＝5,∴|AC |＝5×255＝2,∴|AB |＝4.答案：416．已知直线l ：mx －y ＝1,若直线l 与直线x ＋m (m －1)y ＝2垂直,则m 的值为________；动直线l ：mx －y ＝1被圆C ：x 2－2x ＋y 2－8＝0截得的最短弦长为________．解析：因为直线mx －y ＝1与直线x ＋m (m －1)y ＝2垂直,所以m ×1＋(－1)×m (m －1)＝0.解得m ＝0或m ＝2.动直线l ：mx －y ＝1过定点(0,－1),圆C ：x 2－2x ＋y 2－8＝0化为(x －1)2＋y 2＝9,圆心(1,0)到直线mx －y －1＝0的距离的最大值为0－12＋－1－02＝2,所以动直线l被圆C 截得的最短弦长为29－22＝27.答案：0或2 27四、解答题(本大题共6小题,共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知直线l 经过点P (－2,1),且与直线x ＋y ＝0垂直． (1)求直线l 的方程；(2)若直线m 与直线l 平行且点P 到直线m 的距离为2,求直线m 的方程． 解：(1)由题意得直线l 的斜率为1,故直线l 的方程为y －1＝x ＋2,即x －y ＋3＝0. (2)由直线m 与直线l 平行, 可设直线m 的方程为x －y ＋c ＝0,由点到直线的距离公式得|－2－1＋c |2＝2,即|c －3|＝2,解得c ＝1或c ＝5.故直线m 的方程为x －y ＋1＝0或x －y ＋5＝0.18．(本小题满分12分)已知从圆外一点P (4,6)作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线,切点分别为A ,B .(1)求以OP 为直径的圆的方程； (2)求直线AB 的方程．解：(1)∵所求圆的圆心为线段OP 的中点(2,3), 半径为12|OP |＝ 124－02＋6－02＝13,∴以OP 为直径的圆的方程为(x －2)2＋(y －3)2＝13. (2)∵PA ,PB 是圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线, ∴OA ⊥PA ,OB ⊥PB ,∴A ,B 两点都在以OP 为直径的圆上．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，x －22＋y －32＝13，得直线AB 的方程为4x ＋6y －1＝0.19．(本小题满分12分)如图,已知点A (2,3),B (4,1),△ABC 是以AB 为底边的等腰三角形,点C 在直线l ：x －2y ＋2＝0上．(1)求AB 边上的高CE 所在直线的方程； (2)求△ABC 的面积．解：(1)由题意可知,E 为AB 的中点, ∴E (3,2),且k CE ＝－1k AB＝1,∴CE 所在直线方程为：y －2＝x －3,即x －y －1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，x －y －1＝0，得C (4,3),∴|AC |＝|BC |＝2,AC ⊥BC ,∴S △ABC ＝12|AC |·|BC |＝2.20．(本小题满分12分)已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ,N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若OM ―→·ON ―→＝12,其中O 为坐标原点,求|MN |. 解：(1)由题设可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 因为直线l 与圆C 交于两点, 所以|2k －3＋1|1＋k 2＜1. 解得4－73＜k ＜4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1, 整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0. 所以x 1＋x 2＝41＋k 1＋k 2,x 1x 2＝71＋k2.OM ―→·ON ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k 1＋k1＋k2＋8. 由题设可得4k 1＋k1＋k 2＋8＝12,解得k ＝1, 所以直线l 的方程为y ＝x ＋1.故圆心C 在直线l 上,所以|MN |＝2.21．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中,曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ,B 两点,点C 的坐标为(0,1),当m 变化时,解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ,B ,C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值． 解：(1)不能出现AC ⊥BC 的情况,理由如下： 设A (x 1,0),B (x 2,0),则x 1,x 2满足x 2＋mx －2＝0, 所以x 1x 2＝－2. 又C 的坐标为(0,1),故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12,所以不能出现AC ⊥BC 的情况．(2)证明：由(1)知BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，12, 可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22. 由(1)可得x 1＋x 2＝－m , 所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2，y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22，x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2，y ＝－12.所以过A ,B ,C 三点的圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，－12,半径r ＝m 2＋92.故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＝3,即过A ,B ,C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．22．(本小题满分12分)已知圆M ：x 2＋(y －4)2＝4,P 是直线l ：x －2y ＝0上的动点,过点P 作圆M 的切线PA ,切点为A .(1)当切线PA 的长度为23时,求点P 的坐标．(2)若△PAM 的外接圆为圆N ,试问：当点P 运动时,圆N 是否过定点？若过定点,求出所有的定点的坐标；若不过定点,请说明理由．解：(1)由题可知圆M 的圆心为M (0,4),半径r ＝2. 设P (2b ,b ),因为PA 是圆M 的一条切线,所以∠MAP ＝90°.在Rt △MAP 中,|MP |2＝|AM |2＋|AP |2,故|MP |＝22＋232＝4.又|MP |＝0－2b2＋4－b2＝ 5b 2－8b ＋16,所以 5b 2－8b ＋16＝4,解得b ＝0或85.所以点P 的坐标为(0,0)或⎝ ⎛⎭⎪⎫165，85. (2)设点P 的坐标为(2b ,b )．因为∠MAP ＝90°,所以△PAM 的外接圆圆N 是以MP 为直径的圆, 且MP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫b ，b ＋42, 所以圆N 的方程为(x －b )2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －b ＋422＝4b 2＋b －424,即(2x ＋y －4)b －(x 2＋y 2－4y )＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4＝0，x 2＋y 2－4y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝85，y ＝45，所以圆N 过定点(0,4)和⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45. B 卷本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分150分,考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．已知直线l 1：ax ＋3y ＋1＝0,l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋1＝0互相平行,则a 的值是( ) A ．－3 B ．2 C ．－3或2D ．3或－2解析：选A 由直线l 1与l 2平行,可得⎩⎪⎨⎪⎧a a ＋1＝2×3，a ×1≠2，解得a ＝－3.2．直线l 过点(－3,0),且与直线y ＝2x －3垂直,则直线l 的方程为( ) A ．y ＝－12(x －3)B ．y ＝－12(x ＋3)C ．y ＝12(x －3)D ．y ＝12(x ＋3)解析：选B 因为直线y ＝2x －3的斜率为2,所以直线l 的斜率为－12.又直线l 过点(－3,0),故所求直线的方程为y ＝－12(x ＋3),选B.3．已知P ,Q 分别是直线3x ＋4y －5＝0与6x ＋8y ＋5＝0上的动点,则|PQ |的最小值为( )A ．3 B.32 C.32D. 3解析：选B 由于所给的两条直线平行,所以|PQ |的最小值就是这两条平行直线间的距离．由两条平行直线间的距离公式,得d ＝|－10－5|62＋82＝32,即|PQ |的最小值为32. 4．半径长为6的圆与x 轴相切,且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切,则此圆的方程为( ) A ．(x －4)2＋(y －6)2＝6 B ．(x ±4)2＋(y －6)2＝6 C ．(x －4)2＋(y －6)2＝36D ．(x ±4)2＋(y －6)2＝36解析：选D ∵半径长为6的圆与x 轴相切,设圆心坐标为(a ,b ),则b ＝6.再由a 2＋32＝5,可以解得a ＝±4,故所求圆的方程为(x ±4)2＋(y －6)2＝36.5．直线l 1与直线l 2：3x ＋2y －12＝0的交点在x 轴上,且l 1⊥l 2,则直线l 1在y 轴上的截距是( )A ．－4B ．4C ．－83D.83解析：选C 设直线l 1的斜率为k 1,直线l 2的斜率为k 2,则k 2＝－32.∵l 1⊥l 2,∴k 1k 2＝－1,∴k 1＝－1k 2＝－1－32＝23.设直线l 1的方程为y ＝23x ＋b ,直线l 2与x 轴的交点为(4,0)．将点(4,0)代入l 1方程,得b ＝－83.6．在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中,BA ⊥CA ,A 1A ＝BA ＝CA ,点M ,N 分别是AC ,AB 的中点,过点C 作平面α,使得α∥A 1M ,α∥B 1N ,若α∩B 1C 1＝P ,则C 1PPB 1的值为( ) A.12 B.13 C.14D.15解析：选B 因为AB ,AC ,AA 1两两垂直, 所以以A 为原点,以AB ,AC ,AA 1为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系(图略),设AB ＝2,则A 1M ―→＝(0,1,－2),B 1N ―→＝(－1,0,－2), 设C 1P PB 1＝μ,则CP ―→＝CC 1―→＋C 1P ―→ ＝(0,0,2)＋μ1＋μ(2,－2,0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2μ1＋μ，－2μ1＋μ，2,因为α∥ A 1M ,α∥B 1N ,所以存在实数x ,y , 使得CP ―→＝x A 1M ―→＋y B 1N ―→,由向量相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧2μ1＋μ＝－y ，－2μ1＋μ＝x ，2＝－2x －2y ，消去x ,y 得4μ1＋μ＋4μ1＋μ＝2,所以μ＝13,即C 1P PB 1＝13.7．二面角的棱上有A ,B 两点,直线AC ,BD 分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB .已知AB ＝4,AC ＝6,BD ＝8,CD ＝217,则该二面角的大小为( )A ．150°B ．45°C ．60°D ．120°解析：选C 因为CA ―→·AB ―→＝0,AB ―→·BD ―→＝0, 所以由CD ―→＝CA ―→＋AB ―→＋BD ―→,两边平方得,CD ―→2＝CA ―→2＋AB ―→2＋BD ―→2＋2(CA ―→·AB ―→＋AB ―→·BD ―→＋CA ―→·BD ―→), 所以(217)2＝62＋42＋82＋2×6×8cos〈CA ―→,BD ―→〉, 所以cos 〈CA ―→,BD ―→〉＝－12,所以〈CA ―→,BD ―→〉＝120°,因为二面角的大小为锐角,所以该二面角的大小为60°.8．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1,圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9,M ,N 分别是圆C 1,C 2上的动点,P 为x 轴上的动点,则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2D.17解析：选A 圆C 1,C 2的图象如图所示．设P 是x 轴上任意一点,则|PM |的最小值为|PC 1|－1,同理|PN |的最小值为|PC 2|－3,则|PM |＋|PN |的最小值为|PC 1|＋|PC 2|－4.作C 1关于x 轴的对称点C ′1(2,－3),连接C ′1C 2,与x 轴交于点P ,连接PC 1,可知|PC 1|＋|PC 2|的最小值为|C ′1C 2|＝3－22＋4＋32＝52,则|PM |＋|PN |的最小值为52－4.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的四个选项中,有多个选项是符合题目要求的,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9．以下四组向量是平面α,β的法向量,则能判断α,β平行的是( ) A ．a ＝(1,2,1),b ＝(1,－2,3) B ．a ＝(8,4,－6),b ＝(4,2,－3) C ．a ＝(0,1,－1),b ＝(0,－3,3) D ．a ＝(18,19,20),b ＝(1,－2,1)解析：选BC 因为在选项B 中a ＝2b ,所以a ∥b ,所以α∥β,选项C 中－3a ＝b ,所以α∥β,而选项A 、D 中 a 不平行于b ,所以α不平行于β,所以只有选项B 、C 能判断α,β平行．10．在同一平面直角坐标系中,直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0不可能是( )解析：选ACD 由题意l 1：y ＝－ax －b ,l 2：y ＝－bx －a ,当a ,b 同号时,l 1与l 2的斜率与截距也同号,此时选项A 、C 不可能正确,选项B 正确；当a ,b 异号时,l 1与l 2的斜率与截距也异号,此时选项D 不可能正确．11．实数x ,y 满足x 2＋y 2＋2x ＝0,则下列关于yx －1的判断正确的是( )A.y x －1的最大值为 3B.y x －1的最小值为－ 3C.yx －1的最大值为33D.yx －1的最小值为－33解析：选CD 由x 2＋y 2＋2x ＝0得(x －1)2＋y 2＝1,表示以(－1,0)为圆心、1为半径的圆,yx －1表示圆上的点(x ,y )与点(1,0)连线的斜率,易知,y x －1最大值为33,最小值为－33. 12．已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1,则下列命题中正确的是( ) A ．异面直线AD 1与BD 所成角的正弦值为12B ．直线AD 1与平面BDC 1平行C ．正方体外接球的表面积为3πD ．B 1C 1与平面BDC 1所成角的正弦值为33解析：选BCD 如图所示,在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中,连接AB 1,B 1D 1,BD ,AD 1,BC 1,A 1C ,因为BD ∥B 1D 1,所以∠AD 1B 1就是异面直线AD 1与BD 所成角． 又∠AD 1B 1＝60°,所以异面直线AD 1与BD 所成角的正弦值为32,A 错误． 因为AD 1∥BC 1,AD 1⊄平面BDC 1,BC 1⊂平面BDC 1, 所以AD 1∥平面BDC 1,B 正确． 正方体外接球的直径为2R ＝3, 所以R ＝32,S ＝4πR 2＝3π,C 正确． 以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则C (0,1,0),A 1(1,0,1),B 1(1,1,1),C 1(0,1,1)．所以CA 1―→＝(1,－1,1),B 1C 1―→＝(－1,0,0)． 因为CA 1⊥平面BDC 1,所以CA 1―→为平面BDC 1的法向量,B 1C 1―→与CA 1―→夹角的余弦值的绝对值即为B 1C 1与平面BDC 1所成角的正弦值|cos 〈CA 1―→,B 1C 1―→〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪CA 1―→·C 1B 1―→|CA 1―→||C 1B 1―→|＝13＝33,D 正确． 第Ⅱ卷(非选择题,共90分)三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分．把答案填在题中横线上) 13．在平面直角坐标系中,若圆Q ：x 2＋y 2－4ax ＋2ay ＋5a 2－1＝0上所有的点都在第二象限内,则实数a 的取值范围是________．解析：依题意,圆Q 的方程可化为(x －2a )2＋(y ＋a )2＝1,圆心为Q (2a ,－a ),半径为r ＝1.若圆Q 上所有的点都在第二象限内,则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＜－1，－a ＞1，解得a ＜－1.答案：(－∞,－1)14．已知空间直角坐标系中三点A ,B ,M ,点A 与点B 关于点M 对称,且已知A 点的坐标为(3,2,1),M 点的坐标为(4,3,1),则B 点的坐标为______________．解析：设B 点的坐标为(x ,y ,z ),则有x ＋32＝4,y ＋22＝3,z ＋12＝1,解得x ＝5,y ＝4,z ＝1,故B 点的坐标为(5,4,1)． 答案：(5,4,1)15．在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中,AD ＝AA 1＝1,AB ＝2,点E 在棱AB 上移动,则直线D 1E 与A 1D 所成角的大小是________,若D 1E ⊥EC ,则AE ＝________.解析：长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中以D 为原点,DA 为x 轴,DC 为y 轴,DD 1为z 轴,建立空间直角坐标系,又AD ＝AA 1＝1,AB ＝2,点E 在棱AB 上移动,则D (0,0,0),D 1(0,0,1),A (1,0,0),A 1(1,0,1),C (0,2,0),设E (1,m,0),0≤m ≤2,则D 1E ―→＝(1,m ,－1),A 1D ―→＝(－1,0,－1),所以D 1E ―→·A 1D ―→＝－1＋0＋1＝0,所以直线D 1E 与A 1D 所成角的大小是90°,因为D 1E ―→＝(1,m ,－1),EC ―→＝(－1,2－m,0),D 1E ⊥EC , 所以D 1E ―→·EC ―→＝－1＋m (2－m )＋0＝0, 解得m ＝1,所以AE ＝1. 答案：90° 116．设点M (x 0,1),若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ,使得∠OMN ＝45°,则x 0的取值范围是________．解析：由题意可知M 在直线y ＝1上运动,设直线y ＝1与圆x 2＋y 2＝1相切于点P (0,1)．当x 0＝0即点M 与点P 重合时,显然圆上存在点N (±1,0)符合要求；当x 0≠0时,过M 作圆的切线,切点之一为点P ,此时对于圆上任意一点N ,都有∠OMN ≤∠OMP ,故要存在∠OMN ＝45°,只需∠OMP ≥45°.特别地,当∠OMP ＝45°时,有x 0＝±1.结合图形可知,符合条件的x 0的取值范围为[－1,1]．答案：[－1,1]四、解答题(本大题共6小题,共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知直线l 的倾斜角为135°,且经过点P (1,1)． (1)求直线l 的方程；(2)求点A (3,4)关于直线l 的对称点A ′的坐标． 解：(1)∵k ＝tan 135°＝－1, ∴l ：y －1＝－(x －1),即x ＋y －2＝0. (2)设A ′(a ,b ),则⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －3×－1＝－1，a ＋32＋b ＋42－2＝0，解得a ＝－2,b ＝－1,∴A ′的坐标为(－2,－1)．18．(本小题满分12分)已知△ABC 的三个顶点A (－1,0),B (1,0),C (3,2),其外接圆为圆H .(1)求圆H 的标准方程；(2)若直线l 过点C ,且被圆H 截得的弦长为2,求直线l 的方程． 解：(1)设圆H 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0), 则由题意,可知⎩⎪⎨⎪⎧1－D ＋F ＝0，1＋D ＋F ＝0，9＋4＋3D ＋2E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝0，E ＝－6，F ＝－1，所以圆H 的标准方程为x 2＋(y －3)2＝10.(2)设圆心到直线l 的距离为d ,则1＋d 2＝10,所以d ＝3.若直线l 的斜率不存在,即l ⊥x 轴时,则直线方程为x ＝3,满足题意； 若直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为y ＝k (x －3)＋2, 圆心到直线l 的距离为d ＝|－3k －1|－12＋k2＝3,解得k ＝43, 所以直线l 的方程为4x －3y －6＝0.综上可知,直线l 的方程为x ＝3或4x －3y －6＝0.19．(本小题满分12分)已知三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等,A 1在底面ABC 内的射影为△ABC 的中心．(1)求异面直线AA 1与BC 的夹角；(2)求侧棱AB 1与底面ABC 所成角的正弦值．解：设O 是A 1在底面ABC 内的射影,选AB ―→,AC ―→,AA 1―→作为基向量．由已知可得AB ―→,AC ―→,AA 1―→两两间的夹角均为60°,设棱长均为a .(1)AA 1―→·BC ―→＝AA 1―→·(AC ―→－AB ―→)＝AA 1―→·AC ―→－AA 1―→·AB ―→ ＝|AA 1―→||AC ―→|cos 60°－|AA 1―→||AB ―→|cos 60° ＝12a 2－12a 2＝0. 所以〈AA 1―→,BC ―→〉＝90°,所以异面直线AA 1与BC 的夹角为90°.(2)易知平面ABC 的一个法向量为OA 1―→,且OA 1―→＝AA 1―→－13AB ―→－13AC ―→,AB 1―→＝AB ―→＋AA 1―→,所以OA 1―→·AB 1―→＝23a 2,易求得|OA 1―→|＝63a ,|AB 1―→|＝3a .所以侧棱AB 1与底面ABC 所成角的正弦值为 |cos 〈AB 1―→,OA 1―→〉|＝|OA 1―→·AB 1―→||OA 1―→||AB 1―→|＝23.20．(本小题满分12分)已知圆H 被直线x －y －1＝0,x ＋y －3＝0分成面积相等的四部分,且截x 轴所得线段的长为2.(1)求圆H 的方程；(2)若存在过点P (a,0)的直线与圆H 相交于M ,N 两点,且|PM |＝|MN |,求实数a 的取值范围．解：(1)设圆H 的方程为(x －m )2＋(y －n )2＝r 2(r ＞0),因为圆H 被直线x －y －1＝0,x ＋y －3＝0分成面积相等的四部分,所以圆心H (m ,n )一定是两互相垂直的直线x －y －1＝0,x ＋y －3＝0的交点,易得交点坐标为(2,1),所以m ＝2,n ＝1.又圆H 截x 轴所得线段的长为2,所以r 2＝12＋n 2＝2. 所以圆H 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝2. (2)设N (x 0,y 0),由题意易知点M 是PN 的中点, 所以M ⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋a 2，y 02.因为M ,N 两点均在圆H 上,所以(x 0－2)2＋(y 0－1)2＝2,①⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋a 2－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 02－12＝2,即(x 0＋a －4)2＋(y 0－2)2＝8,② 设圆I ：(x ＋a －4)2＋(y －2)2＝8, 由①②知圆H 与圆I 有公共点,从而22－2≤|HI |≤22＋2, 即2≤a －22＋1－22≤32,整理可得2≤a 2－4a ＋5≤18,解得2－17≤a ≤1或3≤a ≤2＋17,所以实数a 的取值范围是[2－17,1]∪[3,2＋17]．21．(本小题满分12分)已知圆C: x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0,O 为坐标原点,动点P 在圆C 外,过P 作圆C 的切线,设切点为M .(1)若点P 运动到(1,3)处,求此时切线l 的方程； (2)求满足条件|PM |＝|PO |的点P 的轨迹方程． 解：把圆C 的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4, ∴圆心为C (－1,2),半径r ＝2.(1)当l 的斜率不存在时,此时l 的方程为x ＝1,C 到l 的距离d ＝2＝r ,满足条件． 当l 的斜率存在时,设斜率为k ,得l 的方程为y －3＝k (x －1),即kx －y ＋3－k ＝0, 则|－k －2＋3－k |1＋k2＝2,解得k ＝－34. ∴l 的方程为y －3＝－34(x －1),即3x ＋4y －15＝0.综上,满足条件的切线l 的方程为x ＝1或3x ＋4y －15＝0.(2)设P (x ,y ),则|PM |2＝|PC |2－|MC |2＝(x ＋1)2＋(y －2)2－4,|PO |2＝x 2＋y 2. ∵|PM |＝|PO |,∴(x ＋1)2＋(y －2)2－4＝x 2＋y 2, 整理,得2x －4y ＋1＝0,∴点P 的轨迹方程为2x －4y ＋1＝0.22．(本小题满分12分)如图,四棱锥S ­ABCD 的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的2倍,P 为侧棱SD 上的点．(1)求证：AC ⊥SD ；(2)若SD ⊥平面PAC ,求二面角P ­AC ­D 的大小；(3)在(2)的条件下,侧棱SC 上是否存在一点E ,使得BE ∥平面PAC ？若存在,求SE ∶EC 的值；若不存在,试说明理由．解：(1)证明：连接BD ,设AC 交BD 于点O ,由题意知SO ⊥平面ABCD ,以O 点为坐标原点,OB ―→,OC ―→,OS ―→分别为x 轴,y 轴,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系如图所示．设底面边长为a ,则SO ＝62a . 则S ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，62a ,D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，0，0,C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22a ，0,B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，0，0, 所以OC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22a ，0,SD ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，0，－62a ,∴OC ―→·SD ―→＝0,∴OC ⊥SD , 即AC ⊥SD .(2)由题意知,平面PAC 的一个法向量为DS ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，0，62a ,平面DAC 的一个法向量为OS ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫0，0，62a ,二面角Ρ­AC ­D 的大小为θ,易知θ为锐角, 则cos θ＝OS ―→·DS ―→|OS ―→||DS ―→|＝32,故所求二面角P ­AC ­D 的大小为30°. (3)在棱SC 上存在一点E ,使BE ∥平面PAC . 由(2)知DS ―→是平面PAC 的一个法向量,且DS ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，0，62a ,CS ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－22a ，62a ,BC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，22a ，0,设CE ―→＝t CS ―→(0≤t ≤1), 则BE ―→＝BC ―→＋CE ―→＝BC ―→＋t CS ―→ ＝⎝⎛⎭⎪⎫－22a ，22a 1－t ，62at . 由BE ―→·DS ―→＝0,得t ＝13,即当SE ∶EC ＝2∶1时,BE ―→⊥DS ―→, 而BE 不在平面PAC 内,故BE ∥平面PAC .。

2021-2022学年上学期期末卷02高二数学(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅰ卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅰ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．测试范围：人教2019选择性必修第一册、选择性必修第二册第一章。

5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．直线3450x y ++=与圆2210x y +=相交与A ，B 两点，则AB 的长等于（ ）． A ．3 B ．4 C ．6 D ．1 2．已知{},,a b c 是空间的一个单位正交基底，若向量p 在基底{},,a b c 下的坐标为()3,2,1，则它在基底{},,a b a b c +-下的坐标为（ ）． A ．15,,122⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．51,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．151,,22⎛⎫⎪⎝⎭ D ．51,,122⎛⎫ ⎪⎝⎭3．若方程22121x y m m -=++表示的曲线为C ，则（ ）A ．21m -<<-是C 为椭圆的充要条件B ．21m -<<-是C 为椭圆的充分条件 C ．0m >是C 为双曲线的充分不必要条件D ．0m >是C 为双曲线的必要不充分条 4．圆22:68240C x y x y ++-+=关于直线y x =对称的圆的方程为（ ）A ．()()22431x y -++= B ．()()224349x y -+-= C ．()()22431x y ++-= D ．()()224349x y +++= 5．在数列{n a }中，1a =2，11n n n a a a +=-，2022a =（ ）A ．2B ．1C ．12D ．－16．直线:l y x m =-+与曲线x =m 的取值范围是（ ）．A．2,⎡-⎣ B．(2⎤--⎦ C．(2⎤-⎦ D．2,⎡⎣7．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，直线AC 与1BC 之间的距离是（ ）ABC ．12D ．138．已知点F 为抛物线C ：24y x =的焦点，点()1,0F '-，若点Р为抛物线C 上的动点，当PF PF'取得最大值时，点P 恰好在以F ，F '为焦点的椭圆上，则该椭圆的离心率为（ ）A ．12 BC1 D1二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知E ，F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱BC 和CD 的中点，则（ ）A ．1A D 与11B D 是异面直线B ．1A D 与EF 所成角的大小为45︒C ．1A F 与平面1B EB 所成角的余弦值为13D ．二面角11C D B B --10．圆221:20x y x O +-=和圆222:280O x y x y ++-=的交点为A ，B ，则有（ ） A ．公共弦AB 所在直线方程为20x y -= B ．线段AB 中垂线方程为220x y +-=C ．公共弦ABD ．P 为圆1O 上一动点，则P 到直线AB1 11．等差数列{}n a 的首项为正数，其前n 项和为n S .现有下列命题，其中是真命题的有（ ）A ．若n S 有最大值，则数列{}n a 的公差小于0B ．若6130a a +=，则使0n S >的最大的n 为18C ．若90a >，9100a a +<，则{}n S 中9S 最大D ．若90a >，9100a a +<，则数列{}n a 中的最小项是第9项12．双纽线也称伯努利双纽线，是指定线段AB 长度为2a ，动点M 满足2MA MB a ⋅=，那么M 的轨迹称为双纽线.已知曲线1C 为双纽线，下列选项判断正确的是（ ） A ．曲线C 过点()0,0B．曲线C上的点的纵坐标的取值范围是⎡⎣C ．曲线C 关于x 轴对称D ．P 为曲线C 上的动点，,A B 的坐标为()0,1和()0,1-，则PAB △面积的最大值为2第Ⅰ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知直线1:230l ax y +-=与()2:3140l x a y +-+=，若12l l ⊥，则实数a 的值为______．14．若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且105113S S =，则105a a =______． 15．已知()()1,1,0,1,0,2ab ==-，且ka b +与2a b -的夹角为钝角，则实数k 的取值范围为_____． 16．已知点P 为抛物线C ：2y x 上的动点，过点P 作圆M ：22(2)1x y +-=的一条切线，切点为A ，则PA PM⋅的最小值为____________．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）已知直线1:260l x y -+=和2:10l x y-+=的交点为P ．（1）若直线l 经过点P 且与直线343:50x y l --=平行，求直线l 的方程；（2）若直线m 经过点P 且与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线m 的方程．18.（本小题满分12分）问题：平面直角坐标系xOy 中，圆C 过点A （6，0），且___________. （在以下三个条件中任选一个，补充在横线上.）①圆心C 在直线:2780l x y -+=上，圆C 过点B （1，5）；②圆C 过点(1,5)B 和(5,1)D -；③圆C 过直线:3580l x y +-=和圆226160x y y ++-=的交点. （1）求圆C 的标准方程；（2）求过点A 的圆C 的切线方程.19.（本小题满分12分）已知在数列{}n a 中，11a =-，且()13232,n n a a n n n +-=-+≥∈N .（1）求2a ，3a ，并证明数列{}n a n -是等比数列；（2）求{}n a 的通项公式；（3）求12n a a a ++⋅⋅⋅+的值.20.（本小题满分12分）如图1，在四边形ABCD 中，//,222AD BC AD AB BC CD ===，E 是AD 的中点，将ABE △沿BE 折起至A BE'的位置，使得二面角A BE C '--的大小为120︒（如图2），M ，N 分别是,'A D BC 的中点． （1）证明：MN ∥平面A BE '．（2）求二面角A BD C '--的余弦值．21.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足2112312222n n a a a a n -+++⋅⋅⋅+=，21log n n n a b a +=-，*N n ∈. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设112(2)n n n n n c b b +++=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：14n T <.22.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，动点Р与定点F (2，0)的距离和它到定直线l ：32x =P 的轨迹为曲线E .（1）求曲线E 的方程；（2）设过点A0)两条互相垂直的直线分别与曲线E 交于点M ，N (异于点A )，求证：直线MN 过定点.。

人教版高中数学必修2圆与方程章末测验（含两套，附答案）第四章 圆与方程章末测验一一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若直线340x y b +-=与圆()()22111x y -+-=相切，则b 的值是（ ） A ．2-或12B ．2或12-C ．2或12D ．2-或12-2．点A (3，－2,4)关于点(0,1，－3)的对称点的坐标是（ ） A ．(－3,4，－10) B ．(－3,2，－4) C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，12D ．(6，－5,11)3．过点P (－2,4)作圆O ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线m ：ax －3y ＝0与直线l 平行，则直线l 与m 间的距离为（ ） A ．4B ．2C ．85 D ．1254．过圆x 2＋y 2＝4外一点M (4，－1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是（ ） A ．4x －y －4＝0 B ．4x ＋y －4＝0 C ．4x ＋y ＋4＝0D ．4x －y ＋4＝05．直线l ：ax －y ＋b ＝0，圆M ：x 2＋y 2－2ax ＋2by ＝0，则l 与M 在同一坐标系中的图形可能是（ ）6．若圆C 1：(x －a )2＋(y －b )2＝b 2＋1始终平分圆C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的周长，则实数a ，b 应满足的关系式是（ ）A ．a 2－2a －2b －3＝0 B ．a 2＋2a ＋2b ＋5＝0 C ．a 2＋2b 2＋2a ＋2b ＋1＝0D ．3a 2＋2b 2＋2a ＋2b ＋1＝07．设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程是（ ） A ．(x －1)2＋y 2＝4 B ．(x －1)2＋y 2＝2 C ．y 2＝2xD ．y 2＝－2x8．设直线2x －y －3＝0与y 轴的交点为P ，点P 把圆(x ＋1)2＋y 2＝25的直径分为两段，则这两段之比为（ ） A ．73或37B ．74或47C ．75或57D ．76或679．若x 、y 满足x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，则x 2＋y 2的最小值是（ ） A ．5－5B ．5－ 5C ．30－10 5D ．无法确定10．过圆x 2＋y 2－4x ＝0外一点(m ，n )作圆的两条切线，当这两条切线相互垂直时，m 、n 满足的关系式是（ ） A ．(m －2)2＋n 2＝4 B ．(m ＋2)2＋n 2＝4 C ．(m －2)2＋n 2＝8D ．(m ＋2)2＋n 2＝811．若圆x 2＋y 2＝4和圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程为（ ） A ．x ＋y ＝0 B ．x ＋y －2＝0 C ．x －y －2＝0D ．x －y ＋2＝012．直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2有且只有一个公共点，则b 的取值范围是（ ） A ．|b |＝ 2 B ．－1<b <1或b ＝－ 2 C ．－1<b ≤1D ．－1<b ≤1或b ＝－ 2二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．点M (1,2，－3)关于原点的对称点是________．14．两圆x 2＋y 2＋4y ＝0，x 2＋y 2＋2(a －1)x ＋2y ＋a 2＝0在交点处的切线互相垂直，那么实数a 的值为________．15．已知P (3,0)是圆x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0内一点，则过点P 的最短弦所在直线方程是________，过点P 的最长弦所在直线方程是________．16．已知圆心在x 轴上，半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆O 的方程是________．三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(10分)已知三条直线l 1：x －2y ＝0，l 2：y ＋1＝0，l 3：2x ＋y －1＝0两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程．18．(12分)在三棱柱ABO－A′B′O′中，∠AOB＝90°，侧棱OO′⊥面OAB，OA＝OB＝OO′＝2．若C为线段O′A的中点，在线段BB′上求一点E，使|EC|最小．19．(12分)已知A(3,5)，B(－1,3)，C(－3,1)为△ABC的三个顶点，O、M、N分别为边AB、BC、CA的中点，求△OMN的外接圆的方程，并求这个圆的圆心和半径．20．(12分)已知动直线l：(m＋3)x－(m＋2)y＋m＝0与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝9．（1）求证：无论m为何值，直线l与圆C总相交．（2）m为何值时，直线l被圆C所截得的弦长最小？请求出该最小值．21．(12分)矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1,1)在AD边所在直线上．（1）求AD边所在直线的方程；（2）求矩形ABCD外接圆的方程．22．(12分)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0．（1）若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求此切线的方程．（2）从圆C 外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求使得|PM |取得最小值的点P 的坐标.答 案1． C 2． A 3． A 4． A 5． B 6． B 7． B 8． A 9． C 10． C 11． D 12． D 13． (－1，－2，3) 14． －215． x ＋y －3＝0，x －y －3＝0 16． (x ＋2)2＋y 2＝2 17． ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝94．18． E (0,2,1)为线段BB ′的中点．19． x 2＋y 2＋7x －15y ＋36＝0，⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，152，12130．20． （1）见解析；（2）m 为－52时，最小值为27．21． （1）3x ＋y ＋2＝0；（2）(x －2)2＋y 2＝8．22． （1）y ＝(2±6)x 或x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0；（2）⎝ ⎛⎭⎪⎫－310，35．第四章 圆与方程章末测验二一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．圆22240x y x y ++-=的圆心坐标为（ ） A ．()1,2-B ．()1,2-C ．()1,2D ．()1,2--2．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0与圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是（ ） A ．外离B ．相交C ．外切D ．内切3．圆x 2＋2x ＋y 2＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个4．设直线过点(a,0)，其斜率为－1，且与圆x 2＋y 2＝2相切，则a 的值为（ ） A ．± 2B ．±2C ．±2 2D ．±45．已知点A (x,1,2)和点B (2,3,4)，且|AB |＝26，则实数x 的值是（ ） A ．－3或4B ．6或2C ．3或－4D ．6或－26．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为（ ） A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0 B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0 C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝07．直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧， 则a 2＋b 2＝（ ） A ． 2B ．2C ．1D ．38．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交于P ，Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为原点)，则k 的值为（ ）A ．－3或 3B ． 3C ．－2或 2D ． 29．设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为（ ） A ．6B ．4C ．3D ．210．已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为（ ） A ．53B ．213C ．253D ．4311．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为（ ）A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝012．若圆C：x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三个不同的点到直线l：x－y＋c＝0的距离为22，则c的取值范围是（）A．[－22，22] B．(－22，22)C．[－2,2] D．(－2,2)二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．已知点A(1,2,3)，B(2，－1,4)，点P在y轴上，且|PA|＝|PB|，则点P的坐标是__________________.14．已知圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A、B两点，则线段AB 的中垂线方程为__________________.15．过点A(1，2)的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝__________________.16．在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________________.三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．(10分)求经过两点A(－1,4)，B(3,2)且圆心C在y轴上的圆的方程．18．(12分)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，M为BD1的中点，N在A1C1上，且|A1N|＝3|NC1|，试求MN的长．19．(12分)已知过点A(－1,0)的动直线l与圆C：x2＋(y－3)2＝4相交于P，Q两点，M是PQ的中点，l与直线m：x＋3y＋6＝0相交于N.（1）求证：当l与m垂直时，l必过圆心C；（2）当|PQ|＝23时，求直线l的方程．20．(12分)某市气象台测得今年第三号台风中心在其正东300km处，以40km/h的速度向北偏西60°方向移动．据测定，距台风中心250 km的圆形区域内部都将受玻台风影响，请你推算该市受台风影响的持续时间．21．已知点(0,1)，(3＋22，0)，(3－22，0)在圆C上．（1）求圆C的方程；（2）若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．22．(12分)如下图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上．（1）若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； （2）若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．答 案1． B 2． B 3． B 4． B 5． D 6． C 7． B 8． A 9． B 10． B 11． A 12． C 13． (0，－76，0)14． x ＋y －3＝0 15．2216． (x －1)2＋y 2＝2. 17． x 2＋(y －1)2＝10． 18．64a ． 19． （1）见证明；（2）x ＝－1或4x －3y ＋4＝0． （1）证明：因为l 与m 垂直，且k m ＝－13，所以k l ＝3，故直线l 的方程为y ＝3(x ＋1)，即3x －y ＋3＝0. 因为圆心坐标为(0,3)满足直线l 方程， 所以当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ． 20． 见解析．【解析】以该市所在位置A 为原点，正东方向为x 轴的正方向，正北方向为y 轴的正方向建立直角坐标系．开始时台风中心在B (300,0)处，台风中心沿倾斜角为150°方向直线移动，其轨迹方程为y ＝－33(x －300)(x ≤300)．该市受台风影响时，台风中心在圆x 2＋y 2＝2502内，设直线与圆交于C ，D 两点，则|CA |＝|AD |＝250，所以台风中心到达C 时，开始受影响该市，中心移至点D 时，影响结束，作AH ⊥CD 于点H ，则|AH |＝100313＋1＝150，|CD |＋2|AC |2－|AH |2＝400，∴t ＝4004＝10(h)．即台风对该市的影响持续时间为10小时．21． （1）(x －3)2＋(y －1)2＝9；（2）－1． 22． （1）y ＝3或3x ＋4y －12＝0；（2）[0，125]．。

一选择题（共55分，每题5分）1. 已知直线经过点A(0,4)和点B （1，2），则直线的斜率为（ ）A.3 2 C. 2 D. 不存在 2．过点(1,3)-且平行于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）A ．072=+-y xB ．012=-+y xC ．250x y --=D ．052=-+y x3. 在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是（ ）x y O x y O x y O xyOA B C D 4．若直线2=0和231=0互相垂直，则（ ） A ．32- B ．32 C ．23- D ．23 5.过(x 1，y 1)和(x 2，y 2)两点的直线的方程是( )112121112112211211211211...()()()()0.()()()()0y y x x A y y x x y y x x B y y x x C y y x x x x y y D x x x x y y y y --=----=-------=-----=6、若图中的直线L 1、L 2、L 3）A 、K 1﹤K 2﹤K 3B 、K 2﹤K 1﹤K 3C 、K 3﹤K 2﹤K 1xoD 、K 1﹤K 3﹤K 27、直线235=0关于直线对称的直线方程为（ ） A 、325=0 B 、235=0 C 、325=0 D 、325=08、与直线236=0关于点(11)对称的直线是（ ） A.326=0 B.237=0 C. 3212=0 D. 238=09、直线5210=0在x 轴上的截距为a,在y 轴上的截距为b,则（ ） 25; 25-; 2-5; 2-5-.10、直线27与直线327=0的交点是（ ） A (31) B (-1,3) C (-31) D (3,1)11、过点P(41)且与直线346=0垂直的直线方程是（ ） A 4313=0 B 4319=0 C 3416=0 D 348=0二填空题（共20分，每题5分）12. 过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 _ ；13两直线23y －0和x －12=0的交点在y 轴上，则k 的值是L 114、两平行直线0962043=-+=-+y x y x 与的距离是 。

第四章圆与方程单元检测(时间： 120 分钟，满分： 150 分)一、选择题 (此题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分)1．直线 y ＝ x ＋ 10 与曲线 x 2＋y 2＝ 1 的地点关系是 ()．A ．订交B ．相离C ．相切D ．不可以确立2．圆心在 y 轴上，半径为 1，且过点 (1,2)的圆的方程为 ( )． A ． x 2＋ (y －2)2＝1 B ． x 2＋ (y ＋ 2)2＝ 1 C ．( x － 1) 2＋ (y －3) 2＝ 1D ． x 2＋ (y － 3)2＝ 13．点 P(x ， y ， z)知足x 1 2 y 1 2 z 1 22，则点 P 在()．A ．以点 (1,1，－ 1)为圆心，2 为半径的圆上B ．以点 (1,1，－ 1) 为中心，2 为棱长的正方体内 C ．以点 (1,1，－ 1) 为球心， 2 为半径的球面上 D ．没法确立4．圆 x 2 ＋y 2＝4 与圆 x 2＋ y 2＋ 4x － 4y ＋ 4＝ 0 对于直线 l 对称，则 l 的方程是 ()．A ． x ＋ y ＝ 0B ． x ＋ y －2＝ 0C ．x － y － 2＝ 0D ． x － y ＋ 2＝ 05．圆 C 1：x 2＋ y 2＋2x ＋ 2y － 2＝ 0 与 C 2：x 2＋ y 2－ 4x － 2y ＋1＝ 0 的公切线有且只有 ( )．A ．1 条B ．2 条C ．3 条D ．4 条 6．把圆 x 2 ＋ y 2＋2x － 4y － a 2－2＝ 0 的半径减小一个单位则正好与直线3x － 4y － 4＝ 0 相切，则实数 a 的值为 ( )．A ．－ 3B ． 3C ．－3或 3D ．以上都不对7．过点 P(2,3)向圆 x 2＋ y 2＝ 1 作两条切线 PA 、 PB ，则弦 AB 所在直线的方程为 ()．A ． 2x － 3y － 1＝ 0B ． 2x ＋ 3y － 1＝ 0C ．3x ＋ 2y － 1＝ 0D ． 3x － 2y － 1＝ 08．与圆 x 2＋ y 2－ ax －2y ＋ 1＝ 0 对于直线 x － y － 1＝0 对称的圆的方程为＝0，则 a 等于 ( )．A ． 0B ． 1C ． 2D ．3229．圆 x ＋(y ＋1) ＝ 3 绕直线 kx －y － 1＝ 0 旋转一周所得的几何体的表面积为 x 2 ＋y 2－ 4x ＋ 3()．A ． 36πB ． 12πC ．4 3D ． 4π10．动圆 x 2＋ y 2－ (4m ＋2)x － 2my ＋ 4m 2＋4m ＋ 1＝ 0 的圆心的轨迹方程是 ( ) ．A ． 2x － y － 1＝ 0B ． 2x － y － 1＝0(x ≠ 1)C ．x － 2y － 1＝0(x ≠ 1)D ．x － 2y － 1＝ 011．若过定点 M(－ 1,0)且斜率为 k 的直线与圆 x 2＋ 4x ＋ y 2－ 5＝0 在第一象限内的部分有交点，则 k 的取值范围是 ( )．A ． 0 k 5B ．5 k 0C ． 0 k13D ． 0＜ k ＜ 512．直线 y ＝kx ＋ 3 与圆 (x － 3)2＋ (y － 2)2＝ 4 订交于 M ， N 两点，若 MN2 3 ，则 k的取值范围是 ()．A ． [3,0]B ． (－∞，3 ]∪[0 ，＋ ∞)44C ． [3 , 3 ]D ．[ 2,0]3 33二、填空题 (此题共 4 小题，，每题 4 分，共 16 分)13．过直线 l ：y ＝ 2x 上一点 P 作圆 C ：(x － 8)2＋ (y － 1)2＝ 2 的切线 l 1， l 2，若 l 1，l 2 对于直线 l 对称，则点 P 到圆心 C 的距离为 __________ ．14．点 P 为圆 x2＋ y2＝ 1 上的动点，则点P 到直线3x－ 4y－ 10＝ 0 的距离的最小值为__________．15．已知圆 C 经过 A(5,1) ，B(1,3)两点，圆心在 x 轴上，则 C 的方程为 ________．16．已知圆 C 过点 (1,0)，且圆心在 x 轴的正半轴上，直线 l ：y＝ x－ 1 被圆 C 所截得的弦长为 2 2 ，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为 ________．三、解答题 (此题共 6 小题，共74 分)17． (12 分)一圆和直线 l ：x＋ 2y－ 3＝0 切于点 P(1,1)，且半径为 5，求这个圆的方程．18．(12 分 )求平行于直线 3x＋223y＋5＝ 0 且被圆 x ＋ y＝ 20 截得长为6 2的弦所在的直线方程．22＝ 16 内的定点，B，C 是这个圆上的两个动点，若 BA⊥ CA，19．(12 分 )点 A(0,2)是圆 x ＋ y求 BC 中点 M 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线．222220． (12 分)圆 x ＋ y －2x－ 5＝ 0 与圆 x ＋ y ＋ 2x－ 4y－ 4＝ 0 的交点为 A、 B.(1)求线段 AB 的垂直均分线的方程；(2)求线段 AB 的长．21． (12 分 ) 已知圆C： (x－ 1)2＋ ( y－ 2)2＝ 25，直线l： (2m＋ 1)x＋ (m＋ 1)y－ 7m－ 4＝0(m∈R)．(1)证明：无论 m 为什么值时，直线和圆恒订交于两点；(2)求直线 l 被圆 C 截得的弦长最小时的方程．22．(14 分 )在平面直角坐标系xOy 中，曲线 y＝ x2－ 6x＋1 与坐标轴的交点都在圆 C 上．(1)求圆 C 的方程；(2)若圆 C 与直线 x－y＋ a＝ 0 交于 A， B 两点，且 OA⊥OB ，求 a 的值．答案与分析1.答案： B分析：圆心到直线的距离|10 |2 1.522.答案： A分析：方法一 (直接法 )：设圆心坐标为 (0， b)，则由题意知0 1 2 b 2 21，解得b＝2，故圆的方程为x2＋ (y－ 2)2＝ 1.方法二 (数形联合法 ) ：由作图依据点(1,2)到圆心的距离为 1 易知圆心为(0,2)，故圆的方程为x2＋ (y－ 2)2＝ 1.方法三 (考证法 )：将点 (1,2)代入四个选择支，清除 B ， D，又因为圆心在y 轴上，清除C.3.答案： C(x， y， z)知足到定点 (1,1，－ 1)的距离恒分析：依据两点间距离公式的几何意义，动点等于 2.4.答案： D分析：∵两圆圆心分别为(0,0)和 (－ 2,2)，∴中点为 (－ 1,1)，两圆圆心连线斜率为－ 1.∴l 的斜率为 1，且过点 (－ 1,1)．∴l 的方程为 y－ 1＝ x＋1，即 x－ y＋ 2＝ 0.5.答案： B解析：⊙C1： (x ＋ 1)2＋ (y ＋ 1)2＝ 4 ，⊙ C2： (x － 2) 2＋ (y － 1) 2＝ 4 ，C1C2＝ 2 12 1 1 213 4，∴只有 2 条公切线．∴应选 B.6.答案： C分析：圆的方程可变成 (x＋ 1)2＋ (y－ 2)2＝ a2＋ 7，圆心为 (－ 1,2)，半径为a27 ，由题意得| 13 42 4 |a27 1，3 242解得 a＝±3.7.答案： B解析：圆x2＋ y2＝ 1的圆心为坐标原点O ，以OP为直径的圆的方程为( x－1)2＋( y－3) 2＝13.24明显这两个圆是订交的，x2y 21由1 2y32 13x2 4得 2x＋3y－ 1＝ 0，这就是弦 AB 所在直线的方程．8.答案： C分析：两圆的圆心分别为(a,1)，B(2,0)，A2则 AB 的中点(a1,1) 在直线x－y－1＝0上，即a11 1 0 ，解得a＝2，应选4242择 C.9.答案： B分析：由题意，圆心为(0，－ 1)，又直线kx－ y－ 1＝ 0 恒过点 (0，－ 1)，所以旋转一周所得的几何体为球，球心即为圆心，球的半径即是圆的半径，所以 S＝ 4π(3 )2＝12π.10.答案： C分析：圆心为 (2m＋1， m)， r ＝ |m|(m≠0)．不如设圆心坐标为(x， y)，则 x＝ 2m＋ 1， y＝ m，所以 x－2y－ 1＝ 0.又因为 m≠0，所以 x≠1因.此选择 C.11.答案： A分析：圆 x2＋ 4x＋ y2－ 5＝ 0 可变形为 (x＋ 2)2＋ y2＝ 9，如下图．当 x＝ 0 时，y＝ 5 ，联合图形可得A(0, 5) ，∵ k AM＝55 ，1∴ k (0， 5) ．12.答案： A分析：圆心 (3,2) 到直线 y＝kx＋ 3的距离 d＝| 3k1| ，k21MN ＝23k 1 2，4 2 3k 21∴30 .k413.答案： 3 5 分析： 圆心 C 的坐标为 (8,1)， 由题意，得 PC ⊥ l ，∴ PC 的长是圆心 C 到直线 l 的距离．|161|即 PC ＝ 3 5 .514.答案： 1分析： ∵圆心到直线的距离为 d ＝102 ，5∴点 P 到直线 3x － 4y － 10＝ 0 的距离的最小值为 d －r ＝ 2－ 1＝ 1.15.答案： ( x － 2)2 ＋y 2＝10分析： 由题意，线段 AB 中点 M(3,2) ， k AB ＝－1k AB ＝－ 1，2 2∴线段 AB 中垂线所在直线方程为y － 2＝2(x － 3)．y 2 2 x 3得圆心 (2,0) ．由y则圆 C 的半径 r ＝ 2 1 23 210故圆 C 的方程为 (x － 2)2＋ y 2＝ 10.16.答案： x ＋ y － 3＝ 0分析： 设圆心 (a,0)，∴ (| a 1| )2( 2) 2＝ | a －1|2 ,∴ a ＝ 3.2∴圆心 (3,0)．∴所求直线方程为 x ＋ y － 3＝0. 17.解： 设圆心坐标为 C( a ， b)，圆的方程即为 (x － a)2＋ (y － b)2＝ 25.∵点 P(1,1)在圆上，则 (1－ a)2＋ (1－ b)2＝ 25.①又 l 为圆 C 的切线，则 CP ⊥ l ，∴b1 2.②a 1 联立①②解得a15a 15或b1 2 5b 125即所求圆的方程为 (x － 1－5 )2＋ (y － 1－ 2 5 )2 ＝ 25 或 (x －1＋ 5 )2＋ (y － 1＋ 2 5 )2＝25.18.解： 设弦所在的直线方程为 x ＋ y ＋c ＝ 0.①则圆心 (0,0)到此直线的距离为d ＝ | c || c | .112因为圆的半弦长、半径、弦心距恰巧组成直角三角形，所以 ( | c |) 2(3 2) 2＝20 .2由此解得 c ＝ ±2，代入①得弦的方程为 x ＋ y ＋2＝ 0 或 x －y － 2＝ 0.19.解： 设点 M(x ， y)，因为 M 是弦 BC 的中点，故 OM ⊥ BC.又∵∠ BAC ＝ 90°，∴ |MA |＝1|BC|＝ |MB |.2∵ |MB |2＝ |OB|2－ |OM |2，222，即 4 2222＋ (y － 2) 222∴|OB| ＝|MO | ＋|MA| ＝ (x ＋ y ) ＋ [(x － 0) ] ，化简为 x ＋ y － 2y －6＝ 0，即 x 2 ＋(y － 1)2＝ 7.∴所求轨迹为以 (0,1)为圆心，以7 为半径的圆．20.解： (1) 两圆方程相减，得 4x － 4y ＋ 1＝ 0，即为AB的方程．两圆圆心连线即为AB的垂直均分线，所以 AB 的垂直均分线的方程过两圆圆心，且与 AB 垂直． 则 AB 的垂直均分线的斜率为－ 1.又圆 x 2＋ y 2－ 2x － 5＝ 0 的圆心为 (1,0)，所以 AB 的垂直均分线的方程为 y ＝－ (x － 1)，即 x ＋ y － 1＝0.(2)圆 x 2＋ y 2－ 2x － 5＝ 0 的半径、圆 x 2＋y 2－ 2x － 5＝ 0 的圆心到 AB 的距离、 AB 长的一半三者组成一个直角三角形的三条边，圆x 2＋ y 2－ 2x － 5＝0 可化为 (x － 1)2＋ y 2＝ 6，所以圆心(1,0)，半径 6，弦心距|4 1 40 1| 5 2，由勾股定理得42428(|AB |25 2 2 2)()( 6，)28解得 AB ＝346.221.解： (1) 由 (2m ＋ 1)x ＋ (m ＋ 1)y － 7m － 4＝ 0，得 (2x ＋ y － 7)m ＋ x ＋ y －4＝ 0.2x y 7 0 x 3则y4 0解得1x y∴直线 l 恒过定点 A(3,1) ．又∵ (3－ 1)2＋ (1－ 2)2＝ 5＜ 25，∴ (3,1)在圆 C 的内部，故 l 与 C 恒有两个公共点．(2)当直线 l 被圆 C 截得的弦长最小时，有l ⊥ AC ，由 k AC ＝－1 ，得 l 的方程为 y － 1＝22(x － 3)，即 2x － y －5＝ 0.22.解： (1) 曲线 y ＝ x 2－ 6x ＋ 1 与 y 轴的交点为(0,1)，与 x 轴的交点为 (32 2,0) ，(3 2 2,0) ．故可设 C 的圆心为 (3， t)，则有 32＋(t －1)2＝(2 2) 2 t 2，解得 t ＝ 1.则圆 C 的半径为32＋(t －1)2 3所以圆 C 的方程为 (x － 3)2＋ (y － 1)2＝ 9.(2)设 A(x 1， y 1)， B(x 2， y 2)，其坐标知足方程组：x y a0 x 3 2y1 2 9.消去 y ，获得方程 2x 2＋ (2a － 8)x ＋ a 2－ 2a ＋ 1＝ 0.由已知可得，鉴别式 ＝ 56－16a － 4a 2＞ 0.所以 x 1,2＝ (8 2a)56 16a 4a24 ，进而 x 1＋ x 2＝ 4－ a ， x 1 x 2＝ a 22a 12.①因为 OA ⊥OB ，可得 x 1x 2＋ y 1y 2＝ 0.又 y 1＝ x 1＋ a ， y 2＝ x 2＋a ，所以 2x 1 x 2＋ a(x 1＋ x 2)＋ a 2＝ 0.② 由①，②得 a ＝－ 1，知足 ＞ 0，故 a ＝－ 1.。

第二章测评一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2021北京通州区校级月考)直线x+√3y+m=0(m∈R)的倾斜角为()A.30°B.60°C.150°D.120°2.已知直线l1:ax+2y-1=0,直线l2:8x+ay+2-a=0,则“a=-4”是“l1∥l2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(2021广东广州期中)已知三角形的三个顶点A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),则BC边上的中线所在直线的方程为()A.5x+3y-6=0B.3x-5y+15=0C.x+13y+5=0D.3x+8y+15=04.已知正方形的一组对边所在的直线方程分别为3x+2y+1=0和3x+2y+4=0,另一组对边所在的直线方程分别为4x-6y+c1=0和4x-6y+c2=0,则|c1-c2|=()A.32B.3√1313C.6√1313D.65.已知圆C经过两点A(0,2),B(4,6),且圆心C在直线l:2x-y-3=0上,则圆C的方程为()A.x2+y2-6y-16=0B.x2+y2-2x+2y-8=0C.x2+y2-6x-6y+8=0D.x2+y2-2x+2y-56=06.(2021安徽宿州期中)若圆x2+(y-a)2=4上总存在两个点到坐标原点的距离为1,则实数a的取值范围是()A.(1,3)B.[1,3]C.(-3,-1)∪(1,3)D.[-3,-1]∪[1,3]7.两圆x 2+y 2=1与x 2+y 2-2√a x-2√b y+a+b=4有且只有一条公切线,那么1a +2b 的最小值为( ) A.1 B.3+2√2C.5D.4√28.(2021山西太原模拟)已知圆M :(x-a )2+(y-b )2=3(a ,b ∈R )与圆O :x 2+y 2=1相交于A ,B 两点,且|AB|=√3,则下列错误的结论是( )A.MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是定值B.四边形OAMB 的面积是定值C.a+b 的最小值为-√2D.a ·b 的最大值为2二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.(2021福建三明期中)已知直线5x-12y+a=0与圆(x-1)2+y 2=1相切,则实数a 的值可能为 ( ) A.-8B.8C.-18D.1810.已知直线l 1:x-ay+2=0,l 2:ax+y-2=0,a ∈R ,以下结论正确的是( ) A.不论a 为何值时,l 1与l 2都互相垂直B.当a 变化时,l 1与l 2分别经过定点A (-2,0)和B (0,2)C.不论a 为何值时,l 1与l 2都关于直线x+y=0对称D.设O 为坐标原点,如果l 1与l 2交于点M ,则|MO|的最大值是2√211.(2021辽宁沈阳检测)已知实数x ,y 满足方程x 2+y 2-2x-4y+1=0,则下列说法正确的是 ( )A.x 2+y 2的最大值为2+√5B.(x+2)2+(y+1)2的最大值为22+12√2 C.x+y 的最大值为3+2√2 D.4x-3y 的最大值为812.已知圆C :(x-2)2+y 2=1,点P 是直线l :x+y=0上一动点,过点P 作圆C 的切线PA ,PB ,切点分别是A 和B ,下列说法正确的为( )A.圆C 上恰有一个点到直线l 的距离为12B.切线长PA 的最小值为1C.四边形ACBP 面积的最小值为2D.直线AB 恒过定点32,-12三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.光线沿直线7x-y-3=0入射到直线2x-y+2=0后反射,则反射光线所在直线的方程为 .14.当平面内一点P (3,2)到直线l :mx-y+1-2m=0的距离最大时,m 的值为 .15.(2021安徽黄山期中)如图,菱形OBCD 的顶点O 与坐标原点重合,边长为2,一边在x 轴的正半轴上,∠BOD=60°,则菱形的内切圆方程为 .16.(2021江苏南京期中)如图,点P 是圆O :x 2+y 2=1上一动点,过点P 的圆O 的切线l 与☉O 1:(x-a )2+(y-2)2=16始终交于A ,B 两点.(1)实数a 的取值范围是 ; (2)若a=32,|O 1P|=√392,则△O 1AB 的面积是 .四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2021浙江温州期中)已知点A (2,1),直线l :(a-1)x+y+2+a=0(a ∈R ).不论a 取何值,直线l 过定点P.(1)求点P 的坐标,及点A (2,1)到直线l 距离的最大值;(2)若直线l在两坐标轴上的截距相等,求a的值.18.(12分)求符合下列条件圆的方程.(1)圆心为点(-1,2),面积为9π;(2)与圆x2+y2-2x-2y+1=0关于y轴对称.19.(12分)(2021江苏连云港期中)已知直线l经过两条直线2x+3y+8=0和x-y-1=0的交点,且,若直线m与直线l关于点(1,0)对称,求直线m的方程.(注:试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中,完成解答,若选择多个条件分别解答,按照第一个解答计分.).①与直线3x+2y+8=0垂直;②在y轴上的截距为1220.(12分)已知圆M:x2+y2-2ax+10ay-24=0,圆N:x2+y2+2x+2y-8=0,且圆M上任意一点关于直线x+y+4=0的对称点都在圆M上.(1)求圆M的方程;(2)证明圆M和圆N相交,并求两圆公共弦的长度l.21.(12分)(2021江苏南通期中)已知方程x 2+y 2-2x+4y+4m=0. (1)若此方程表示圆,求实数m 的取值范围;(2)若m 的值为(1)中能取到的最大整数,则得到的圆设为圆E ,若圆E 与圆F 关于y 轴对称,求圆F 的一般方程.22.(12分)(2021安徽黄山期中)已知圆C :(x-1)2+(y-3)2=9,线段RQ 的端点Q 的坐标是(4,3),端点R 在圆C 上运动,且点T 满足线段RT ⃗⃗⃗⃗⃗ =2TQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,记T 点的轨迹为曲线Γ. (1)求曲线Γ的方程.(2)过点A (0,3)斜率为k 的直线l 与曲线Γ交于M ,N 两点,试探究:①设O 为坐标原点,若OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =26,这样的直线l 是否存在?若存在,求出|MN|;若不存在,说明理由. ②求线段MN 的中点D 的轨迹方程.第二章测评1.C 直线x+√3y+m=0(m ∈R )的斜率为-√33, 直线倾斜角的范围是[0°,180°),所以所求直线倾斜角为150°.2.C 直线l 1:ax+2y-1=0,直线l 2:8x+ay+2-a=0,∵a=-4时,a8=2a≠-12-a,∴l 1∥l 2,当l 1∥l 2时,a 8=2a≠-12-a,解得a=-4,∴“a=-4”是“l 1∥l 2”的充要条件.3.C 三角形三个顶点A (-5,0),B (3,-3),C (0,2),BC 的中点坐标为32,-12, ∴BC 边上中线所在直线方程是yx+5=-1232+5,整理得x+13y+5=0.4.D 正方形的一组对边所在的直线方程分别为3x+2y+1=0和3x+2y+4=0, 另一组对边所在的直线方程分别为4x-6y+c 1=0和4x-6y+c 2=0, 根据正方形的两组对边间的距离相等,可得√32+22=12√42+62,则|c 1-c 2|=6.5.C 因为圆心C 在直线l :2x-y-3=0上, 设圆心C (a ,2a-3),又圆C 经过两点A (0,2),B (4,6), 所以|CA|=|CB|,故√a 2+(2a -5)2=√(a -4)2+(2a -9)2, 解得a=3,所以圆心C (3,3),半径r=|CA|=√32+12=√10, 则圆的方程为(x-3)2+(y-3)2=10, 化为一般方程为x 2+y 2-6x-6y+8=0.6.C 根据题意,到坐标原点的距离为1的点的轨迹方程为x 2+y 2=1,是圆心为(0,0),半径r=1的圆, 若圆x 2+(y-a )2=4上总存在两个点到坐标原点的距离为1,则圆x 2+(y-a )2=4与圆x 2+y 2=1相交, 圆x 2+(y-a )2=4,圆心为(0,a ),半径R=2,则有2-1<|a|<2+1,即1<|a|<3,解可得-3<a<-1或1<a<3, 即a 的取值范围为(-3,-1)∪(1,3).7.B 根据题意,圆x 2+y 2=1,其圆心为(0,0),半径r=1,圆x 2+y 2-2√a x-2√b y+a+b=4,即(x-√a )2+(y-√b )2=4,其圆心为(√a,√b ),半径为2,若两圆有且只有一条公切线,则两圆内切,则有√a +b =2-1=1,变形可得a+b=1, 则1a +2b =1a+2b (a+b )=3+b a +2a b,又a>0,b>0,则ba+2a b ≥2√b a ×2a b=2√2,当且仅当b=√2a 时等号成立,故1a +2b ≥3+2√2,即1a +2b 的最小值为3+2√2.8.C 圆M 的圆心M (a ,b ),半径r=√3,则△MAB 为边长为√3的等边三角形,对于A,∵MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos60°=√3×√3×12=32,∴A 正确;对于B,∵OA=OB=1,AB=√3,△OAB 的高h=12, ∴S △ABO =12×12×√3=√34,∵S △MAB =√34×(√3)2=3√34, ∴S 四边形OAMB =√34+3√34=√3,∴B 正确;对于C,由B 知S 四边形OAMB =12×OM ×AB ,∴OM=√3√3=2,即√a 2+b 2=2,∴a 2+b 2=4,∵2(a 2+b 2)≥(a+b )2,∴(a+b )2≤8,∴-2√2≤a+b ≤2√2,当且仅当a=b 时取等号,∴a+b 的最小值为-2√2,∴C 错误; 对于D,由C 得,∵a 2+b 2=4≥2ab ,∴ab ≤2,当且仅当a=b 时取等号,∴ab 的最大值为2,∴D 正确. 9.BC 圆(x-1)2+y 2=1的圆心为(1,0),半径为1, ∵直线5x-12y+a=0与圆(x-1)2+y 2=1相切, ∴√52+(-12)2=1,解得a=8或a=-18.故选BC .10.ABD 直线l 1:x-ay+2=0,l 2:ax+y-2=0,a ∈R ,对于A,∵1×a-a ×1=0,∴不论a 为何值时,l 1与l 2都互相垂直,故A 正确; 对于B,当a 变化时,l 1与l 2分别经过定点A (-2,0)和B (0,2),故B 正确; 对于C,设直线l 1:x-ay+2=0上任意一点P (x ,y ), 则点P 关于直线x+y=0的对称点为P'(-y ,-x ),将点P'(-y ,-x )代入直线l 2:ax+y-2=0,可得x+ay+2=0,与不论a 取何值时,点P 恒在直线l 1上矛盾,故C 错误;对于D,联立方程组{x -ay +2=0,ax +y -2=0, 解得{x =2a -2a 2+1,y =2a+2a 2+1,故M2a -2a 2+1,2a+2a 2+1,则|MO|=√(2a -2a 2+1) 2+(2a+2a 2+1) 2=√8a 2+1≤2√2, 所以|MO|的最大值是2√2,故D 正确. 故选ABD .11.BCD 由x 2+y 2-2x-4y+1=0,知(x-1)2+(y-2)2=4, 表示圆心为M (1,2),半径为r=2的圆,对于A 选项,x 2+y 2的几何意义为圆上的点与原点距离的平方和,其最大值为(|OM|+r )2=(2+√5)2,故A 错误;对于B 选项,(x+2)2+(y+1)2的几何意义为圆上的点与点(-2,-1)距离的平方和,其最大值为(2+3√2)2=22+12√2,故B 正确;对于C 选项,设x+y=k ,则直线x+y-k=0与圆有公共点, 所以√2≤2,解得3-2√2≤k ≤3+2√2,所以x+y 的最大值为3+2√2,故C 正确;对于D 选项,设4x-3y=t ,则直线4x-3y-t=0与圆有公共点, 所以√42+(-3)2=|t+2|5≤2,解得-12≤t ≤8.所以4x-3y 的最大值为8,故D 正确.故选BCD .12.BD 对于A,∵圆C :(x-2)2+y 2=1,∴圆心C (2,0),半径r=1,∴圆心C 到直线l :x+y=0的距离为√2=√2,而√2-1<12<√2+1,故A 错误; 对于B,由圆的性质,切线长|PA|=√|PC|2-r 2=√|PC|2-1,当|PC|最小时,|PA|有最小值, 又|PC|min =√2,则|PA|min =1,故B 正确.对于C,四边形ACBP 的面积为|PA||CA|=|PA|,故四边形ACBP 的面积最小值为1,故C 错误; 对于D,设P (t ,-t ),由题意知A ,B 在以PC 为直径的圆上,又C (2,0), ∴(x-t )(x-2)+(y+t )(y-0)=0,即x 2+y 2-(t+2)x+ty+2t=0,又圆C :(x-2)2+y 2=1,即x 2+y 2-4x+3=0,故直线AB 的方程为(2-t )x+ty-3+2t=0,即2x-3-t (x-y-2)=0, 由{2x -3=0,x -y -2=0,解得x=32,y=-12, 即直线AB 恒过定点32,-12,故D 正确. 故选BD .13.x-y+3=0 由{7x -y -3=0,2x -y +2=0,得{x =1,y =4,故入射光线与反射轴的交点为A (1,4),在入射光线上再取一点B (0,-3),则点B 关于反射轴2x-y+2=0的对称点C (m ,n )在反射光线上,{2·m 2-n -32+2=0,2·n+3m =-1,解得m=-4,n=-1,故C (-4,-1).根据A ,C 两点的坐标,求得反射光线的方程为y-4=4+11+4(x-1),即x-y+3=0. 14.-1 直线l :mx-y+1-2m=0可化为m (x-2)+1-y=0, 令{x -2=0,1-y =0,解得x=2,y=1. 所以直线l 过定点M (2,1).当PM ⊥l 时,点P (3,2)到直线l :mx-y+1-2m=0的距离最大,如图所示,所以k PM ·k l =-1, 即2-13-2·m=-1,解得m=-1. 15.x-322+y-√322=34 设对角线OC ,BD 的交点为M ,菱形的对角线互相垂直,又∠BOD=60°,所以在Rt △OMB 中,∠BOC=30°,OB=2, 则OM=2×cos30°=√3,设点M (x ,y ),则y=OM ×sin30°=√32,x=OM ×cos30°=32, 所以圆心M32,√32,半径r=√32,所以菱形内切圆的方程为x-322+y-√322=34.16.(1)(-√5,√5) (2)45√716(1)根据题意,点P 是圆O :x 2+y 2=1上一动点,过点P 的圆O 的切线l 与圆O 1:(x-a )2+(y-2)2=16始终相交,则圆O 必定在圆O 1的内部,圆O :x 2+y 2=1,圆心为(0,0),半径为1,圆O 1:(x-a )2+(y-2)2=16,圆心为(a ,2),半径r=4,则有√a 2+4<4-1=3,解得-√5<a<√5,故a 的取值范围为(-√5,√5).(2)根据题意,设P 的坐标为(m ,n ),则直线AB 的方程为mx+ny=1, 若a=32,则圆O 1:x-322+(y-2)2=16,其圆心为32,2,半径r=4,又由|O 1P|=√392,即32-m 2+(2-n )2=394,变形可得m 2+n 2-3m-4n=72,即3m+4n=-52;圆心O 1到直线AB 的距离d=|3m2+2n -1|√m 2+n 2=94,|AB|=2×√r 2-d 2=2√16-8116=5√72,故△O 1AB 的面积S=12|AB|×d=45√716. 17.解(1)直线l :(a-1)x+y+2+a=0(a ∈R ),化为a (x+1)+(-x+y+2)=0, 由{x +1=0,-x +y +2=0,解得{x =-1,y =-3.∴不论a 取何值,直线l 恒过定点P (-1,-3).分析易知点A (2,1)到直线l 的距离的最大值|PA|=√9+16=5. (2)令y=0,则x=-a -2a -1(a ≠1),令x=0,则y=-a-2,由题意可知-a -2a -1=-a-2, 解得a=±2.当a=1时,易知不满足条件,所以a=±218.解(1)圆心为点(-1,2),面积为9π,所以圆的半径为3,圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=9. (2)圆x 2+y 2-2x-2y+1=0的圆心(1,1),半径为1, 此圆关于y 轴对称圆的圆心为(-1,1),半径为1. 对称圆的方程为(x+1)2+(y-1)2=1.19.解因为方程组{2x +3y +8=0,x -y -1=0的解为{x =-1,y =-2,所以两条直线2x+3y+8=0和x-y-1=0的交点为(-1,-2). 若选①,可设直线l 的方程为2x-3y+c=0,将点(-1,-2)代入方程2x-3y+c=0,可得-2+6+c=0,解得c=-4, 即有直线l 的方程为2x-3y-4=0. 在直线l 上取两点(-1,-2)和(2,0),点(-1,-2)关于点(1,0)对称的点坐标为(3,2), 点(2,0)关于点(1,0)对称的点坐标为(0,0),所以直线m 的方程为2x-3y=0. 若选②,可得直线l 的斜率为k=12-(-2)0-(-1)=52,所以直线l 的方程为y=52x+12.在直线l 上取两点(1,3)和(-1,-2),点(-1,-2)关于点(1,0)对称的点坐标为(3,2), 点(1,3)关于点(1,0)对称的点坐标为(1,-3), 所以直线m 的方程为5x-2y-11=0.20.(1)解圆M :x 2+y 2-2ax+10ay-24=0的圆心M (a ,-5a ),因为圆M 上任意一点关于直线x+y+4=0的对称点都在圆M 上,所以直线x+y+4=0经过点M ,可得a-5a+4=0,解得a=1,则圆M 的方程为x 2+y 2-2x+10y-24=0. (2)证明因为圆M 的圆心M (1,-5),半径r 1=5√2,圆N 的圆心N (-1,-1),半径r 2=√10, 所以|MN|=√(1+1)2+(-5+1)2=2√5. 因为5√2−√10<2√5<5√2+√10, 所以圆M 和圆N 相交.由{x 2+y 2-2x +10y -24=0,x 2+y 2+2x +2y -8=0,两式相减可得公共弦的直线方程为x-2y+4=0, M 到直线的距离为d=√5=3√5,所以l 22=r 12-d 2=50-45=5,解得l=2√5,则两圆公共弦的长度l=2√5.21.解(1)若此方程表示圆,则(-2)2+42-4×4m>0,m<54, 即实数m 的取值范围是-∞,54.(2)由(1)可知m=1,此时圆E :x 2+y 2-2x+4y+4=0,圆心坐标为E (1,-2),半径为1, 因为圆F 和圆E 关于y 轴对称, 所以圆F 圆心坐标是(-1,-2),半径是1, 故圆F 方程为(x+1)2+(y+2)2=1,化为一般方程为x 2+y 2+2x+4y+4=0. 22.解(1)设r (x 0,y 0),则(x 0-1)2+(y 0-3)2=9, 设T (x ,y ),因为RT⃗⃗⃗⃗⃗ =2TQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以{x 0=3x -8,y 0=3y -6, 则(3x-8-1)2+(3y-6-3)2=9, 即曲线Γ的方程为(x-3)2+(y-3)2=1. (2)设直线方程为y=kx+3,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),联立{y =kx +3,(x -3)2+(y -3)2=1,可得(1+k 2)x 2-6x+8=0,则Δ=36-32(1+k 2)>0,解得k 2<18,且有x 1+x 2=61+k 2,x 1x 2=81+k 2,所以y 1y 2=(kx 1+3)(kx 2+3)=k 2x 1x 2+3k (x 1+x 2)+9=17k 2+18k+91+k 2,①OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=81+k2+17k 2+18k+91+k 2=17k 2+18k+171+k 2=26,解得k=1,与k 2<18不符,故不存在这样的直线l ,使得OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =26; ②MN 中点坐标为x 1+x 22,y 1+y 220<k 2<18,则x 1+x 22=31+k 2,y 1+y 22=3k1+k 2+3, 即D 点坐标为31+k 2,3k1+k 2+3,又因为y D -3x D=k ,所以x D =31+k 2=31+(y D -3x D) 2,整理可得x D -322+(y D -3)2=94,即点D 的轨迹方程为x-322+(y-3)2=94.。

一、选择题1．如果实数x 、y 满足22640x y x +-+=，那么yx的最大值是（ ）A ．23B C ．3D 2．直线1ax by +=与圆221x y +=有两个公共点，那么点(),a b 与圆22+1x y =的位置关系是（ ） A ．点在圆外B ．点在圆内C ．点在圆上D ．不能确定3．若圆222(3)(5)x y r -+-=上有且只有四个点到直线432x y +=的距离等于1，则半径r 的取值范围是（ ） A ．(4,6)B ．[4,6]C ．(,4)-∞D ．(6,)+∞4．若圆22:60,(0,0)M x y ax by ab a b +++--=>>平分圆22:4240N x y x y +--+=的周长，则2a b +的最小值为（ ）A ．8B ．9C ．16D ．205．设P 为直线2x ＋y ＋2＝0上的动点，过点P 作圆C ：x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 的面积的最小值时直线AB 的方程为（ ） A ．2x －y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．2x ＋y ＋1＝06．圆22(1)2x y ++=上一点到直线5y x =+的距离最小值为（ ） A ．1 B ．2CD ．7．已知圆C ：()()22232++-=x y ，从点()1,3P 发出的光线，经直线1y x =+反射后，光线恰好平分圆C 的周长，则入射光线所在直线的斜率为（ ）A ．2-B ．12-C ．4-D ．14- 8．已知直线l ：(3)(2)20m x m y m ++---=，点()21A --，，(22)B -，，若直线l 与线段AB 相交，则m 的取值范围为（ ）A ．(4][4)-∞-⋃+∞，， B ．(22)-， C ．3[8]2-，D ．(4)+∞，9．在平面直角坐标系xOy 中，直线240x y +-=与两坐标轴分别交于点A 、B ，圆C 经过A 、B ，且圆心在y 轴上，则圆C 的方程为（ ） A ．226160x y y ++-= B ．226160x y y +--= C ．22890x y y ++-=D ．22890x y y +--=10．两圆交于点(1,3)A 和(,1)B m ，两圆的圆心都在直线02cx y -+=上， 则m c += . A ．1B ．2C ．3D ．411．过点()3,1作圆()2211x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为（ ）A ．230x y +-=B ．230x y --=C ．430x y --=D ．430x y +-= 12．若圆x 2+y 2+ax -by =0的圆心在第二象限，则直线x +ay -b =0一定不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题13．已知过点()4,1P 的直线l 与x 轴，y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当AOB 的面积最小时，直线l 的方程为______．14．已知两条平行直线1:3460l x y -+=与2:340l x y c -+=间的距离为3，则c 的值为______.15．已知圆C 的方程是2220x y y +-=，圆心为点C ，直线:20λλ+-=l x y 与圆C 交于A 、B 两点，当ABC 面积最大时，λ=______．16．已知直线y x b =+与曲线x =恰有两个交点，则实数b 的取值范围为______. 17．将直线:10l x y +-=，20l nx y n +-=:，3:0l x ny n +-=（n *∈N ，2n ≥）围成的三角形面积记为n S ，则n n lim S →∞=___________．18．当直线:(21)(1)740()l m x m y m m R +++--=∈被圆22:(1)(2)25C x y -+-=截得的弦最短时，m 的值为____________.19．直线:20180l x y +-=的倾斜角为__________；20．过点()5,0P -作直线()()()121430m x m y m m R +-+--=∈的垂线，垂足为M ，已知点()3,11N ，则MN 的取值范围是______. 三、解答题21．已知直线l 经过点(2,5)P -，l 的一个方向向量为(4,3)d =-. （1）求直线l 的方程；（2）若直线m 与l 平行，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程. 22．已知圆C 经过点()0,1A ，()2,1B ，()3,4M ． （1）求圆C 的方程；（2）设点P 为直线l ：210x y --=上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为E ，F ．若60EPF ∠=︒，求点P 的坐标．23．如图，圆22():21M x y -+=，点(1,)P t -为直线:1l x =-上一动点，过点P 引圆M 的两条切线，切点分别为,A B .（1）若1t =，求两条切线所在的直线方程；（2）求直线AB 的方程，并写出直线AB 所经过的定点的坐标.24．已知直线l ：x ＋2y －4＝0，圆C 的圆心在x 轴的负半轴上，半径为2，且圆心C 到直线l 的距离为65. （1）求圆C 的方程；（2）由直线l 上一点Q 作圆C 的两条切线，切点分别为M ，N ，若直线MN 的斜率为1，求点Q 的坐标.25．已知圆C ：222440x y x y +-+-=，斜率为1的直线l 与圆C 交于A 、B 两点. （1）化圆的方程为标准形式，并指出圆心和半径；（2）是否存在直线l ，使以线段AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由；（3）当直线l 平行移动时，求CAB △面积的最大值. 26．如图，已知ABC 的边AB 所在直线的方程为360x y --=，()2,0M 满足BM MC =，点()1,1T -在AC 边所在直线上且满足0AT AB ⋅=.（1）求AC 边所在直线的方程； （2）求ABC 外接圆的方程；（3）求过()2,0N -的ABC 外接圆的切线方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】本题首先可求出圆的圆心与半径，然后将yx看作圆上一点(),x y 与()0,0连线的斜率，并结合图像得出当过原点的直线与圆相切时斜率最大，最后根据直线与圆相切即可得出结果. 【详解】22640x y x +-+=，即()2235x y -+=，圆心为()3,0，半径为5，yx的几何意义是圆上一点(),x y 与()0,0连线的斜率， 如图，结合题意绘出图像：结合图像易知，当过原点的直线与圆相切时，斜率最大，即yx最大， 令此时直线的倾斜角为α，则5tan α=，y x 5，故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线的斜率的几何意义的应用，考查直线与圆相切的相关性质，能否将yx看作点(),x y 与()0,0连线的斜率是解决本题的关键，考查数形结合思想，是中档题.2．A解析：A 【分析】直线1ax by +=与圆221x y +=||221a b<+，即为221a b +>，由此可得点与圆的位置关系．【详解】因为直线1ax by +=与圆221x y +=有两个公共点，1<，1>，因为点(,)b a 与221x y += 圆224x y +=的半径为1，所以点P 在圆外. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将直线与圆的位置关系的判断式和点与圆的关系的判断式联系起来.3．D解析：D 【分析】首先求圆心到直线的距离d ，再根据条件，列式1d +和半径r 比较大小，求r 的取值范围. 【详解】圆心()3,5到直线432x y +=的距离5d ==，若圆上有四个点到直线432x y +=的距离等于1，则51r >+，即6r >. 故选：D 【点睛】思路点睛：本题考查直线与圆的位置关系，与直线432x y +=距离为1的两条直线与圆有4个交点，根据点到直线的距离，建立不等式求解.4．A解析：A 【分析】由两圆的相交弦是圆N 的直径得出,a b 的关系，然后由基本不等式求得最小值． 【详解】两圆方程相减得，(4)(2)100a x b y ab +++--=，此为相交弦所在直线方程， 圆N 的标准方程是22(2)(1)1x y -+-=，圆心为(2,1)N ， ∴2(4)2100a b ab +++--=，121a b+=， ∵0,0a b >>，∴1242(2)()448b a a b a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当4b a a b =即2,4a b ==时等号成立．故选：A ．本题考查圆的方程，考查基本不等式求最值．圆的性质：（1）圆的直径平分圆；（2）相交两圆方程相减所得一次方程是两圆公共弦所在直线方程．5．D解析：D 【分析】根据圆的切线性质可知四边形PACB 的面积转化为直角三角形的面积，结合最小值可求直线AB 的方程. 【详解】由于,PA PB 是圆()()22:114C x y -+-=的两条切线，,A B 是切点，所以2||||2||PACB PAC S S PA AC PA ∆==⋅=== 当||PC 最小时，四边形PACB 的面积最小， 此时PC :11(x 1)2y -=-,即210.y x --= 联立210,220y x x y --=⎧⎨++=⎩得1,,(1,0),0x P y =-⎧-⎨=⎩PC 的中点为1(0,),||2PC ==以PC 为直径的圆的方程为2215(),24x y +-=即2210x y y +--=，两圆方程相减可得直线AB 的方程210,x y ++=故选：D.6．C解析：C 【分析】求出圆心到直线距离，减去半径得解. 【详解】圆心为(1,0)-，直线方程为5y x =+，所以d == ，圆22(1)2x y ++=上一点到直线5y x =+的距离最小值d r -=故选C ． 【点睛】圆上的点到直线的距离的最值的几何求法通常运用圆心到直线的距离加减半径得到.属于基础题.7．C【分析】根据光路可逆，易知圆心()2,3C -关于直线1y x =+的对称点M ，在入射光线上，由此可求得结果. 【详解】圆C ：()()22232++-=x y ，圆心为()2,3C -，由已知，反射光线经过()2,3C -，故C 点关于直线1y x =+的对称点M 在入射光线上．设(),M a b ，则31232122b a b a -⎧=-⎪⎪+⎨+-⎪=+⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=-⎩，即()2,1M -，且光源()1,3P ，所以入射光线的斜率13421k --==--， 故选：C. 【点睛】 关键点点睛：（1）由光线恰好平分圆C 的周长，得出所在直线经过圆心； （2）入（反）射光线关于反射面的对称直线即为反（入）射光线.8．C解析：C 【分析】根据题意得直线l 恒过点4155C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，进而得直线l 的斜率k 的取值范围为：116k ≤-或37k ≥，再根据32m k m +=--，解不等式即可得答案. 【详解】直线l 方程变形得：(1)(322)0x y m x y +-+--=. 由103220x y x y +-=⎧⎨--=⎩得4515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线l 恒过点4155C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，11354725ACk +==+，121154625BC k +==--，由图可知直线l 的斜率k 的取值范围为：116k ≤-或37k ≥，又32m k m +=--， ∴11263m m ≤--+-或3273m m -≥+-，即28m <≤或322m -≤<，又2m =时直线的方程为45x =，仍与线段AB 相交， ∴m 的取值范围为382⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，. 故选：C.【点睛】本题解题的关键在于根据直线系方程(1)(322)0x y m x y +-+--=得直线l 恒过点4155C ⎛⎫⎪⎝⎭，.考查数形结合思想，运算求解能力，是中档题. 9．A解析：A 【分析】求出点A 、B 的坐标，设圆心坐标为()0,b ，由AC BC =可求出圆心C 的坐标，并求出圆的半径，由此可求得圆C 的方程. 【详解】易知，直线240x y +-=交x 轴于点()4,0A ，交y 轴于点()0,2B ，设圆心C 的坐标为()0,b ，由AC BC =2242b b +=-，解得3b =-， 所以，圆C 的半径为325BC =--=，因此，圆C 的方程为()22325x y ++=，即为226160x y y ++-=.故选：A. 【点睛】求圆的方程，主要有两种方法：（1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线；（2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．10．C解析：C 【分析】由两圆相交且圆心都在直线02c x y -+=上可知线段AB 中点在02cx y -+=上，代入中点坐标整理即可. 【详解】由题意可知：线段AB 的中点1,22m +⎛⎫⎪⎝⎭在直线02c x y -+=上代入得：12022m c+-+= 整理可得：3m c += 本题正确选项：C 【点睛】本题考查两圆相交时相交弦与圆心连线之间的关系，属于基础题.11．A解析：A 【分析】求出以(3,1)、(1,0)C 为直径的圆的方程，将两圆的方程相减可得公共弦AB 的方程． 【详解】圆22(1)1x y -+=的圆心为(1,0)C ，半径为1，以(3,1)、(1,0)C 为直径的圆的方程为2215(2)()24x y -+-=，因为过点()3,1圆()2211x y -+=的两条切线切点分别为A ，B ，所以，AB 是两圆的公共弦，将两圆的方程相减可得公共弦AB 的方程230x y +-=， 故选：A ． 【点睛】本题考查直线和圆的位置关系以及圆和圆的位置关系、圆的切线性质，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．12．C解析：C【分析】由圆心位置确定a ，b 的正负，再结合一次函数图像即可判断出结果. 【详解】因为圆22+0x y ax by +-=的圆心坐标为,22a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 由圆心在第二象限可得0,0a b >>，所以直线0x ay b +-=的斜率10a -<，y 轴上的截距为0b a>，所以直线不过第三象限. 故选：C二、填空题13．【分析】由题意可知直线的斜率存在且不为零可设直线的方程为求出点的坐标结合已知条件可求得的取值范围并求出的面积关于的表达式利用基本不等式可求得面积的最小值及其对应的值由此可求得直线的方程【详解】由题意 解析：480x y +-=【分析】由题意可知，直线l 的斜率存在且不为零，可设直线l 的方程为()14y k x -=-，求出点A 、B 的坐标，结合已知条件可求得k 的取值范围，并求出AOB 的面积关于k 的表达式，利用基本不等式可求得AOB 面积的最小值及其对应的k 值 ，由此可求得直线l 的方程.【详解】由题意可知，直线l 的斜率存在且不为零，可设直线l 的方程为()14y k x -=-，即14y kx k =+-. 在直线l 的方程中，令0x =，可得14y k =-；令0y =，可得41k x k-=. 即点41,0k A k -⎛⎫⎪⎝⎭、()0,14B k -，由题意可得410140k k k -⎧>⎪⎨⎪->⎩，解得0k <， AOB 的面积为()1411111481688222AOBk S k k k k ⎛-⎛⎫=⨯⨯-=--≥+= ⎪ ⎝⎭⎝△，当且仅当()1160k k k-=-<时，即当14k =-时，等号成立，所以，直线l 的方程为()1144y x -=--，即480x y +-=.故答案为：480x y +-=. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点： （1）将三角形的面积利用k 加以表示；（2）在求解最值时，可充分利用基本不等式、导数、函数的单调性等知识来求解.14．或【分析】根据两平行线间的距离公式得到即可求解【详解】由题意两条平行直线与间的距离为3根据两平行线间的距离公式可得解得或即的值为或故答案为：或【点睛】两平行线间的距离的求法：利用转化法将两条平行线间解析：9-或21. 【分析】3=，即可求解.【详解】由题意，两条平行直线1:3460l x y -+=与2:340l x y c -+=间的距离为3，根据两平行线间的距离公式，可得3d ==，解得21c =或9c =-，即c 的值为9-或21. 故答案为：9-或21. 【点睛】两平行线间的距离的求法：利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离； 利用两平行线间的距离公式求解.15．或【分析】由三角形面积公式知当面积最大时即为等腰直角三角形再利用点到直线的距离公式和半径的关系可得答案【详解】圆C 的方程即圆心半径由面积公式知当时面积最大即为等腰直角三角形此时圆心C 到直线的距离为则解析：1λ=或17λ=. 【分析】由三角形面积公式in 12s S ab C =知，当ABC 面积最大时，90ACB ∠=，即ABC 为等腰直角三角形，再利用点到直线的距离公式和半径的关系可得答案. 【详解】圆C 的方程即22(1)1x y +=-，圆心(0,1)C ，半径1R =，由面积公式21sin 2ABCSR ACB =∠知，当90ACB ∠=时面积最大， 即ABC 为等腰直角三角形，此时圆心C 到直线:20λλ+-=l x y 的距离为21d λ=+，则2|12|2211d λλ-==+，解得1λ=或17λ=，故答案为：1λ=或17λ=. 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系及求三角形面积最大值的问题.16．【分析】由曲线方程可知其曲线为半圆进而画出曲线来要使直线与曲线恰有两个交点可以通过数形结合分析得解【详解】曲线有即表示一个半圆（单位圆左半部分）如图当直线经过点点时求得；当直线和半圆相切时由圆心到直 解析：)1,2⎡⎣【分析】由曲线方程可知其曲线为半圆，进而画出曲线来，要使直线与曲线恰有两个交点，可以通过数形结合分析得解. 【详解】曲线2x 1y =--有即221x y +=(0)x ，表示一个半圆（单位圆左半部分）．如图，(0,1)A 、(1,0)B -、(0,1)C -，当直线y x b =+经过点B 、点A 时，01b =-+，求得1b =； 当直线y x b =+和半圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径，可得12=，求得2b =，或2b =-（舍去），故要求的实数b 的范围为12b <， 故答案为：)1,2⎡⎣【点睛】易错点睛：本题在把方程2x 1y =--化简找其对应的曲线时，容易漏掉0x ≤，从而把曲线的范围扩大为整个单位圆，导致结果出错.在把方程转化时，一定要注意变量范围的等价性.17．【分析】求出三条直线的交点坐标从而可求得三角形的面积再求极限即可【详解】由得即同理可得到直线的距离为∴∴故答案为：【点睛】本题考查数列的极限解题关键是求出三角形的面积解析：1 2【分析】求出三条直线的交点坐标，从而可求得三角形的面积n S，再求极限即可。