人教新课标版数学高一- 人教数学必修2能力提升 4-2-3 直线与圆的方程的应用

一、选择题1．一辆卡车宽1.6m ，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6m)则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过( )A ．1.4mB ．3.5mC ．3.6mD ．2.0m[答案] B[解析] 圆半径OA ＝3.6，卡车宽1.6，∴AB ＝0.8，∴弦心距OB ＝ 3.62－0.82≈3.5.2．与圆x 2＋y 2－ax －2y ＋1＝0关于直线x －y －1＝0对称的圆的方程是x 2＋y 2－4x ＋3＝0，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] C[解析] x 2＋y 2－4x ＋3＝0化为标准形式为(x －2)2＋y 2＝1，圆心为(2,0)， ∵(2,0)关于直线x －y －1＝0对称的点为(1,1)， ∴x 2＋y 2－ax －2y ＋1＝0的圆心为(1,1)．∵x 2＋y 2－ax －2y ＋1＝0，即为(x －a 2)2＋(y －1)2＝a 24，圆心为(a 2，1)，∴a2＝1，即a ＝2.3．直线2x －y ＝0与圆C ：(x －2)2＋(y ＋1)2＝9交于A 、B 两点，则△ABC (C 为圆心)的面积等于( )A ．2 5B ．2 3C ．4 3D ．4 5[答案] A[解析] ∵圆心到直线的距离d ＝|4＋1|5＝5，∴|AB |＝29－d 2＝4，∴S △ABC ＝12×4×5＝2 5..4．点P 是直线2x ＋y ＋10＝0上的动点，直线P A 、PB 分别与圆x 2＋y 2＝4相切于A 、B 两点，则四边形P AOB (O 为坐标原点)的面积的最小值等于( )A ．24B ．16C ．8D ．4[答案] C[解析] ∵四边形P AOB 的面积S ＝2×12|P A |×|OA |＝2OP 2－OA 2＝2OP 2－4，∴当直线OP 垂直直线2x ＋y ＋10＝0时，其面积S 最小．5．若直线ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交，则点P (a ，b )的位置是( ) A ．在圆上 B ．在圆外 C ．在圆内 D ．以上都不对[答案] B[解析] 由|0＋0－1|a 2＋b2<1，∴a 2＋b 2>1. 6．(2008年山东高考题)已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．10 6B ．20 6C ．30 6D ．40 6[答案] B[解析] 圆心坐标是(3,4)，半径是5，圆心到点(3,5)的距离为1，根据题意最短弦BD 和最长弦(即圆的直径)AC 垂直，故最短弦的长为252－12＝46，所以四边形ABCD 的面积为12×AC ×BD ＝12×10×46＝20 6.7．方程1－x 2＝kx ＋2有唯一解，则实数k 的范围是( ) A ．k ＝±3 B ．k ∈(－2,2) C ．k <－2或k >2D ．k <－2或k >2或k ＝±3 [答案] D[解析] 由题意知，直线y ＝kx ＋2与半圆x 2＋y 2＝1(y ≥0只有一个交点．结合图形易得k <－2或k >2或k ＝±3.8．(拔高题)台风中心从A 地以每小时20 km 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险地区，城市B 在A 的正东40 km 外，B 城市处于危险区内的时间为( )A ．0.5 hB ．1 hC ．1.5 hD ．2 h[答案] B[解析] 建系后写出直线和圆的方程，求得弦长为20千米，故处于危险区内的时间为2020＝1(h)．二、填空题9．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－4x ＋1＝0.则x －y 的最大值和最小值分别是________和________．yx 的最大值和最小值分别是________和________． x 2＋y 2的最大值和最小值分别是______和______． [答案] 2＋6，2－6；1，－1；7＋43，7－4 3[解析] (1)设x －y ＝b 则y ＝x －b 与圆x 2＋y 2－4x ＋1＝0有公共点， 即|2－b |12＋12≤3，∴2－6≤b ≤2＋ 6故x －y 最大值为2＋6，最小值为2－ 6 (2)设yx ＝k ，则y ＝kx 与x 2＋y 2－4x ＋1＝0 有公共点，即|2k |1＋k2≤ 3 ∴3≤k ≤3，故yx 最大值为3，最小值为－ 3 (3)圆心(2,0)到原点距离为2，半径r ＝ 3 故(2－3)2≤x 2＋y 2≤(2＋3)2由此x 2＋y 2最大值为7＋43，最小值为7－4 3.10．如下图所示，一座圆拱桥，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m ，水面宽12 m ，当水面下降1 m 后，水面宽为________m.[答案] 251[解析] 如下图所示，以圆拱拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y 轴，建立直角坐标系，设圆心为C ，水面所在弦的端点为A ，B ，则由已知得A (6，－2)，B (－6，－2)．设圆的半径为r ，则C (0，－r )，即圆的方程为x 2＋(y ＋r )2＝r 2. ①将点A的坐标(6，－2)代入方程①，解得r＝10.∴圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.②当水面下降1 m后，可设点A′的坐标为(x0，－3)(x0>0)，将A′的坐标(x0，－3)代入方程②，求得x0＝51.所以，水面下降1 m后，水面宽为2x0＝251.11．已知直线x－2y－3＝0与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝9相交于E，F两点，圆心为点C，则△CEF的面积等于________．[答案]2 5[解析]∵圆心C(2，－3)到直线的距离为d＝|2＋6－3|1＋(－2)2＝5，又R＝3，∴|EF|＝2R2－d2＝4.∴S△CEF＝12|EF|·d＝2 5.12．若点P在直线l1：x＋y＋3＝0上，过点P的直线l2与曲线C：(x－5)2＋y2＝16相切于点M，则|PM|的最小值________．[答案] 4[解析]曲线C：(x－5)2＋y2＝16是圆心为C(5,0)，半径为4的圆，连接CP，CM，则在△MPC中，CM⊥PM，则|PM|＝|CP|2－|CM|2＝|CP|2－16，当|PM|取最小值时，|CP|取最小值，又点P在直线l1上，则|CP|的最小值是点C到直线l1的距离，即|CP|的最小值为d＝|5＋3|1＋1＝42，则|PM|的最小值为(42)2－16＝4.三、解答题13．如图所示，已知直线l 的解析式是y ＝43x －4，并且与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点．一个半径为1.5的圆C ，圆心C 从点(0,1.5)开始以每秒0.5个单位的速度沿着y 轴向下运动，当圆C 与直线l 相切时，求该圆运动的时间．[解析] 设运动的时间为t s ，则t s 后圆心的坐标为(0,1.5－0.5t )．∵圆C 与直线l ：y ＝43x －4，即4x －3y －12＝0相切，∴|4×0－3×(1.5－0.5t )－12|32＋42＝1.5.解得t ＝6或16.即该圆运动的时间为6 s 或16 s.14．设有一个半径为3 km 的圆形村落，甲、乙两人同时从村落中心出发，甲向东，而乙向北前进，甲出村后不久，改变前进方向．沿着相切于村落边界的方向前进，后来恰好与乙相遇，设甲、乙两人的速度都一定，其比为3:1，此二人在何处相遇？[解析] 如图，以村落中心为坐标原点，以东西方向为x 轴，南北方向为y 轴建立直角坐标系．设甲向东走到D 转向到C 恰好与乙相遇．设D ，C 两点的坐标分别为(a,0)，(0，b )，其中a ＞3，b ＞3，则CD 方程为x a ＋yb ＝1.设乙的速度为v ，则甲的速度为3v .依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧aba 2＋b 2＝3，a 2＋b 2＋a 3v＝bv .解得⎩⎨⎧a ＝5，b ＝154.∴乙向北走3.75 km 时两人相遇．15．某圆拱桥的示意图如下图所示，该圆拱的跨度AB 是36 m ，拱高OP 是6 m ，在建造时，每隔3 m 需用一个支柱支撑，求支柱A 2P 2的长．(精确到0.01 m)[分析] 建系→求点的坐标→求圆的方程→求A 2P 2的长[解析] 如图，以线段AB 所在的直线为x 轴，线段AB 的中点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点A ，B ，P 的坐标分别为(－18,0)，(18,0)，(0,6)．设圆拱所在的圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. 因为A ，B ，P 在此圆上，故有⎩⎪⎨⎪⎧182－18D ＋F ＝0，182＋18D ＋F ＝0，62＋6E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝0，E ＝48，F ＝－324.故圆拱所在的圆的方程是x 2＋y 2＋48y －324＝0. 将点P 2的横坐标x ＝6代入上式，解得 y ＝－24＋12 6.答：支柱A 2P 2的长约为126－24.[点评] 在实际问题中，遇到有关直线和圆的问题，通常建立坐标系，利用坐标法解决．建立适当的直角坐标系应遵循三点：①若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴；②常选特殊点作为直角坐标系的原点；尽量使已知点位于坐标轴上．建立适当的直角坐标系，会简化运算过程．16．如图，直角△ABC 的斜边长为定值2m ，以斜边的中点O 为圆心作半径为n 的圆，直线BC 交圆于P 、Q 两点，求证：|AP |2＋|AQ |2＋|PQ |2为定值．[证明]如上图，以O为坐标原点，以直线BC为x轴，建立平面直角坐标系，于是有B(－m,0)，C(m,0)，P(－n,0)，Q(n,0)．设A(x，y)，由已知，点A在圆x2＋y2＝m2上．|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2＝(x＋n)2＋y2＋(x－n)2＋y2＋4n2＝2x2＋2y2＋6n2＝2m2＋6n2(定值)．。

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课时提升作业(二十八)直线与圆的方程的应用一、选择题(每小题3分,共18分)1.若直线y=ax+b通过第一、二、四象限,则圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的圆心位于( ) A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选B.由于直线通过第一、二、四象限,所以a<0,b>0,故圆心位于第二象限.2.(2014·济宁高一检测)直线2x-y=0与圆C:(x-2)2+(y+1)2=9交于A,B两点,则△ABC(C为圆心)的面积等于( )A.2B.2C.4D.4【解析】选A.因为圆心到直线的距离d==,所以=2=4,所以△ABC的面积为×4×=2.3.点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2内,则直线x0x+y0y=r2和已知圆的公共点个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.无法确定【解析】选A.因为+<r 2,圆心到直线x0x+y0y=r2的距离d=>r,故直线与圆相离,选A.【举一反三】若将本题改为“点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2外”,其余条件不变,又如何求解?【解析】选C.因为+> r 2,圆心到直线x0x+y0y=r2的距离d =< r,故直线与圆相交,选C.4.(2013·江西高考)过点(,0)引直线l与曲线y=相交于A,B 两点,O为坐标原点,当△AOB的面积取最大值时,直线l的斜率等于( )A. B.- C.± D.-【解题指南】圆心到直线的距离与直线的斜率有关,△AOB为等腰三角形,所以AB的长度也可用圆心到直线的距离表示,进而△AOB的面积可表示为圆心到直线的距离d的函数,借助二次函数思想可以求解出当△AOB的面积取最大值时的d,进而可以求出直线的斜率. 【解析】选B.曲线y=表示以(0,0)为圆心,以1为半径的上半圆.设直线l的方程为y=k(x-),即kx-y-k=0.若直线与半圆相交,则k≤0,圆心到直线的距离为d=(d<1),弦长为|AB|=2,△AOB的面积为S=|AB|d=d=,易知当d2=时S 最大,解=得k2=,故k=-.5.若直线l1:2x-5y+20=0和直线l2:mx+2y-10=0与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆,则实数m的值为( )A.5B.-5C.±5D.以上都不对【解析】选A.圆的内接四边形对角互补,因为x轴与y轴垂直,所以直线l1与直线l2垂直,直线A1x+B1y+C1=0与直线A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是A1A2+B1B2=0,所以2×m+(-5)×2=0,解得m=5.6.(2014·昆明高一检测)已知两点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足=2,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )A.9πB.8πC.4πD.π【解析】选 C.设P(x,y),由=2得,=2,化简得x2+y2-4x=0,即(x-2)2+y2=4,所以P的轨迹是半径为2的圆,其面积为4π.二、填空题(每小题4分,共12分)7.设村庄外围所在曲线的方程可用(x-2)2+(y+3)2=4表示,村外一小路方程可用x-y+2=0表示,则从村庄外围到小路的最短距离为.【解析】因为圆心到直线的距离为,从村庄外围到小路的最短距离为-2.答案:-2【变式训练】(2013·保定高一检测)已知实数x,y满足2x+y+5=0,那么的最小值为( )A. B. C.2 D.2【解析】选A.表示点(x,y)与原点的距离,所以其最小值为原点到2x+y+5=0的距离,故d==.8.(2014·大同高一检测)如图所示,一座圆拱桥,当水面在某位置时,拱顶离水面2m,水面宽12m,当水面下降1m后,水面宽为m.【解析】如图所示,以圆拱拱顶为坐标原点,以过拱顶的竖直直线为y轴,建立直角坐标系,设圆心为C,水面所在弦的端点为A,B,则由已知得A(6,-2),B(-6,-2).设圆的半径为r,则C(0,-r),即圆的方程为x2+(y+r)2=r2.①将点A的坐标(6,-2)代入方程①,解得r=10.所以圆的方程为x2+(y+10)2=100.②当水面下降1m后,可设点A′的坐标为A′(a,-3)(a>0),将A′(a,-3)代入方程②,求得a=.所以,水面下降1m后,水面宽为2a=2(m).答案:29.(2013·蚌埠高一检测)设有一个半径为3km的圆形村落,甲、乙两人同时从村落中心出发,甲向东,而乙向北前进,甲出村后不久,改变前进方向.沿着相切于村落边界的方向前进,后来恰好与乙相遇,设甲、乙两人的速度都一定,其比为3∶1,二人相遇时乙向北走了km.【解析】如图,以村落中心为坐标原点,以东西方向为x轴,南北方向为y轴建立直角坐标系.设甲向东走到D转向到C恰好与乙相遇.设D,C两点的坐标分别为(a,0),(0,b),其中a>3,b>3,则CD方程为+=1.设乙的速度为v,则甲的速度为3v.依题意,得=3且=,解得a=5,b=,所以乙向北走km时两人相遇.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)10.等边△ABC中,点D,E分别在边BC,AC上且=,=,AD,BE相交于点P.求证:AP⊥CP.【解题指南】要证AP⊥CP,可转化为直线AP,CP的斜率之积等于-1即可,由此以B为原点,BC边所在直线为x轴,线段BC长的为单位长,建立平面直角坐标系.【证明】以B为原点,BC边所在直线为x轴,线段BC长的为单位长,建立平面直角坐标系.则A(3,3),B(0,0),C(6,0).由已知,得D(2,0),E(5,).直线AD的方程为y=3(x-2).直线BE的方程为y=(x-5)+.解以上两方程联立成的方程组,得x=,y=.所以,点P的坐标是.直线PC的斜率k PC=-,因为k AP·k PC=3×=-1,所以,AP⊥CP.11.(2014·徐州高一检测)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4和直线l:x+2y+2=0,直线n经过圆C外定点A(1,0).若直线n与圆C相交于P,Q两点,与l交于N点,且线段PQ的中点为M,求证:|AM|·|AN|为定值.【解析】方法一:设P(x1,y1),Q(x2,y2),又由题意知直线与圆相交,斜率必定存在,且不为0,可设直线n的方程为kx-y-k=0,由得N.再由得(1+k2)x2-(2k2+8k+6)x+k2+8k+21=0,所以x1+x2=得M.所以|AM|·|AN|=·=·=6为定值.方法二:由题意知直线与圆相交,斜率必定存在,且不为0,可设直线n的方程为kx-y-k=0,由得N,又直线CM与n垂直,由得M.所以|AM|·|AN|=|y M-0|·|y N-0|=|y M·y N|==6,为定值.一、选择题(每小题4分,共16分)1.由y=和圆x2+y2=4所围成的较小扇形的面积是( )A. B.π C. D.【解析】选B.由题意知围成的较小扇形的面积为圆面积的,所以S=πr2=π,故选B.2.(2014·汕头高一检测)过直线x=2上一点M向圆+=1作切线,则M到切点的最小距离为( ) A.4 B.4 C.6 D.3【解析】选A.因为切线长、直线上的点与圆心连线长及半径构成直角三角形的三边长,所以直线上的点与圆心的距离最小时,切线长最小,先求圆心到直线的距离d=2+5=7,再求M到切点的最小距离为=4.3.(2014·襄阳高一检测)如图所示,已知直线l的解析式是y=x-4,并且与x轴、y轴分别交于A,B两点.一个半径为1.5的圆C,圆心C从点(0,1.5)开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动,当圆C与直线l相切时,该圆运动的时间为( )A.6sB.6s或16sC.16sD.8s或16s【解析】选B.设运动的时间为ts,则ts后圆心的坐标为(0,1.5-0.5t).因为圆C与直线l:y=x-4相切,所以=1.5.解得t=6或16.即该圆运动的时间为6s或16s.4.(2014·潍坊高一检测)与圆x2+y2-ax-2y+1=0关于直线x-y-1=0对称的圆的方程是x2+y2-4x+3=0,则a= ( )A.0B.1C.2D.3【解题指南】两圆关于直线对称,则圆的半径不变,已知圆与对称圆的圆心坐标关于直线对称.【解析】选C.x2+y2-4x+3=0化为标准形式为(x-2)2+y2=1,圆心为(2,0),因为(2,0)关于直线x-y-1=0对称的点为(1,1),所以x2+y2-ax-2y+1=0的圆心为(1,1).故=1,a=2.二、填空题(每小题5分,共10分)5.若点P(x,y)满足x2+y2=25,则x+y的最大值是.【解析】令x+y=z,则=5,所以z=±5,即-5≤x+y≤5,所以x+y的最大值是5.答案:5【拓展延伸】数形结合思想在解题中的运用利用数形结合求解问题时,关键是抓住“数”中的某些结构特征,联想到解析几何中的某些方程、公式,从而挖掘出“数”的几何意义,实现“数”向“形”的转化,如本题由x+y联想直线的截距.6.已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC,BD,则四边形ABCD的面积为.【解析】圆心坐标是(3,4),半径是5,圆心到点(3,5)的距离为1,根据题意最短弦BD和最长弦(即圆的直径)AC垂直,故最短弦的长为2=4,所以四边形ABCD的面积为×AC×BD=×10×4=20.答案:20三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2014·南昌高一检测)中国南海某岛驻岛部队的地面雷达搜索半径为200海里,外国一海洋测量船正在在该海岛正东250海里处以每小时20海里的速度沿西北方向航行,问该海岛雷达能否发现该外国测量船,如能,求能观测到该测量船的时间长.【解析】以该岛为原点,正东、正北方向分别为x,y轴,建立直角坐标系.则雷达最大观测范围是一个圆,其方程为:x2+y2=2002,外国测量船的航行路线所在的直线方程为:x+y=250,海岛到外国测量船的航行路线距离为:d==125≈176.77<200,故能被观测到.航行路线被圆截得的弦|BC|=2=50≈187.1所以能观测到的时间为t==9.355(小时).【变式训练】如图,某海面上有O,A,B三个小岛(面积大小忽略不计),A岛在O岛的东北方向20km处,B岛在O岛的正东方向10km处.(1)以O为坐标原点,O的正东方向为x轴正方向,1km为单位长度,建立平面直角坐标系,试写出A,B的坐标,并求A,B两岛之间的距离.(2)已知在经过O,A,B三个点的圆形区域内有未知暗礁,现有一船在O 岛的南偏西30°方向距O岛20km处,正沿东北方向行驶,若不改变方向,试问该船有没有触礁的危险?【解析】(1)因为A在O的东北方向20km,B在O的正东方向10km,所以A(20,20),B(10,0),由两点间的距离公式知|AB|==10(km).(2)设过O,A,B三点所在圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将O(0,0),A(20,20),B(10,0)代入上式得解得: D=-10,E=-30,F=0,所以圆的方程为x2+y2-10x-30y=0,圆心坐标为(5,15),r=5.设船起初所在的点为C,则C(-10,-10),且该船航线所在直线的斜率为1,由点斜式方程知:l船:y+10=x+10,即:x-y+10-10=0,因为==5<5,所以有触礁的危险.8.(2013·四川高考)已知圆C的方程为x2+(y-4)2=4,点O是坐标原点.直线l:y=kx与圆C交于M,N两点.(1)求k的取值范围.(2)设Q(m,n)是线段MN上的点,且=+.请将n表示为m 的函数.【解题指南】(1)求解时要抓住直线与圆有两个交点,所以在求解k的取值范围时可以利用判别式进行求解.(2)利用=+找到m,n的关系.【解析】(1)将y=kx代入x2+(y-4)2=4中,得(1+k2)x2-8kx+12=0.(*) 由Δ=(-8k)2-4(1+k2)×12>0,得k2>3.所以,k的取值范围是(-∞,-)∪(,+∞).(2)因为M,N在直线l上,可设点M,N的坐标分别为(x1,kx1),(x2,kx2),则|OM|2=(1+k2),|ON|2=(1+k2),又|OQ|2=m2+n2=(1+k2)m2.由=+,得=+,即=+=.由(*)式可知,x1+x2=,x1x2=,所以m2=.因为点Q在直线y=kx上,所以k=,代入m2=中并化简,得5n2-3m2=36.由m2=及k2>3,可知0<m2<3,即m∈(-,0)∪(0,).根据题意,点Q在圆C内,则n>0,所以n==.于是,n与m的函数关系为n=(m∈(-,0)∪(0,)).关闭Word文档返回原板块。

4.2.3 直线与圆的方程的应用问题导学一、直线与圆的方程的实际应用活动与探究1有一种大型商品，A，B两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每千米的运费A地是B地的两倍，若A，B两地相距10千米，顾客选择A地或B地购买这种商品的运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？迁移与应用一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？利用直线与圆的方程解决实际问题的程序是：(1)认真审题，明确题意；(2)建立直角坐标系，用坐标表示点，用方程表示曲线，从而在实际问题中建立直线与圆的方程；(3)利用直线与圆的方程的有关知识求解问题；(4)把代数结果还原为实际问题的解释．二、坐标法在平面几何中的应用活动与探究2如图所示，在圆O上任取C点为圆心，作一圆C与圆O的直径AB相切于D，圆C与圆O交于E，F，且EF与CD相交于H．求证：EF平分CD．迁移与应用AB为圆的定直径，CD为直径，过点D作AB的垂线DE，延长ED到P，使|PD|＝|AB|，求证：直线CP必过一定点．坐标法解决几何问题，要先建立适当的坐标系，用坐标、方程表示出相应的几何元素，如点、直线、圆等，将几何问题转化为代数问题来解决，通过代数的运算得到结果，分析结果的几何意义，得到几何结论．其中建立适当的坐标系是解题的关键，一般建系时要坚持如下原则：①若有两条互相垂直的直线，一般以它们分别为x 轴和y 轴； ②充分利用图形的对称性；③让尽可能多的点落到坐标轴上，或关于坐标轴对称； ④关键点的坐标易于求得． 三、与圆有关的最值问题活动与探究3已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0．求： (1)yx 的最大值和最小值； (2)y －x 的最大值和最小值； (3)x 2＋y 2的最大值和最小值．迁移与应用1．已知直线l ：3x ＋4y －1＝0，圆x 2＋y 2＋6x ＋8＝0上的点到直线l 的最小距离是__________，最大距离是__________．2．实数x ，y 满足x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，求yx －4的最大值和最小值．求与圆上的点的坐标有关的最值问题时，常常根据式子的结构特征，寻找它的几何意义，进而转化成与圆的性质有关的问题解决，其中构造斜率、截距、距离是最常用的方法．当堂检测1．过圆x 2＋y 2－8x －2y ＋10＝0内一点M (3,0)的最长弦所在直线的方程是( ) A ．2x －y －6＝0 B ． 2x ＋y －6＝0 C ．x ＋y －3＝0 D ．x －y －3＝02．实数x ，y 满足x 2＋y 2－4y ＋3＝0，则yx 的取值范围是( )A ．[－3，3]B ．(－∞，3)C ．[－3，＋∞)D ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)3．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为( )A．0.5小时B．1小时C．1.5小时D．2小时4．直线l：x－2y－3＝0与圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝9交于E，F两点，则△EOF(O是坐标原点)的面积为________．5．如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝12米，拱高CD＝4米，则拱桥的直径为________．答案：课前预习导学【预习导引】(1)适当坐标和方程代数(2)代数问题(3)代数运算结果课堂合作探究【问题导学】活动与探究1思路分析：建系，把实际问题转化为数学问题求解．解：以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，如图所示．设A(－5,0)，则B(5,0)．在坐标平面内任取一点P(x，y)，设从A地运货到P地的运费为2a元/千米，则从B地运货到P 地的运费为a 元/千米．若P 地居民选择在A 地购买此商品，则2a(x ＋5)2＋y 2＜a(x －5)2＋y 2，整理得⎝⎛⎭⎫x ＋2532＋y 2＜⎝⎛⎭⎫2032．即点P 在圆C ：⎝⎛⎭⎫x ＋2532＋y 2＝⎝⎛⎭⎫2032的内部． 也就是说，圆C 内的居民应在A 地购物． 同理可推得圆C 外的居民应在B 地购物． 圆C 上的居民可随意选择A ，B 两地之一购物．迁移与应用 解：以台风中心为坐标原点，以东西方向为x 轴建立直角坐标系(如图所示)，其中取10 km 为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x 2+y 2=9，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线l 的方程为1,74x y+=即4x +7y －28=0，圆心(0,0)到直线4x +7y －28=0的距离d=半径r =3．∵d ＞r ，∴直线与圆相离，∴轮船不会受到台风的影响．活动与探究2 思路分析：建立适当坐标系，设出圆O 和圆C 的方程，利用两圆相交求公共弦的方程，证明CD 与EF 的交点是线段CD 的中点．证明：以AB 所在直线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系． 如图，设|AB |=2r ，D (a ,0)，则|CD ∴C (a ．∴圆O ：x 2＋y 2＝r 2，圆C ：(x －a )2＋(y －r 2－a 2)2＝r 2－a 2．两方程作差得直线EF 的方程为2ax ＋2r 2－a 2y ＝r 2＋a 2．令x ＝a ，得y ＝12r 2－a 2，∴H ⎝⎛⎭⎫a ，12r 2－a 2，即H 为CD 的中点．∴EF 平分CD ．迁移与应用 证明：以线段AB 所在的直线为x 轴，以AB 的中点为原点，建立直角坐标系，如图，设圆的方程为x 2+y 2=r 2，直径AB 位于x 轴上，动直径为CD ．令C (x 0，y 0)，则D (－x 0，－y 0)， ∴P (－x 0，－y 0－2r )． ∴直线CP 的方程为y －y 0＝－y 0－2r －y 0－x 0－x 0(x －x 0)，即(y 0＋r )x －(y ＋r )x 0＝0．∴直线CP 过直线x ＝0与直线y ＋r ＝0的交点(0，－r )，即直线CP 过定点(0，－r )． 活动与探究3 思路分析：本题可将yx 和y －x 转化成与直线斜率、截距有关的问题，x 2＋y 2可看成是点(x ，y )与点(0,0)距离的平方，然后结合图形求解．解：(1)如图，方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆．设yx ＝k ，即y ＝kx ，易知圆心(2,0)到y ＝kx 的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值．由|2k －0|k 2＋1＝3，解得k 2＝3． ∴k ＝3或k ＝－3．∴yx的最大值为3，最小值为－3． (2)设y －x ＝b ，则y ＝x ＋b ，由点到直线的距离公式，得|2－0＋b |2＝3，即b ＝－2±6．∴y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－6．(3)x 2＋y 2表示圆上的一点与原点的距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心的连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为(2－0)2＋(0－0)2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－43．迁移与应用 1．1 3 解析：圆心到直线的距离加、减圆的半径，就是所求的最大值与最小值．∵圆的方程为(x ＋3)2＋y 2＝1，∴|3×(－3)＋4×0－1|32＋42±1＝2±1．∴最小距离为1，最大距离为3．2．解：原方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，表示以P (－1,2)为圆心，2为半径的圆． 设k ＝yx －4，几何意义是：圆上点M (x ，y )与点Q (4,0)连线的斜率．由图可知当直线MQ 是圆的切线时，k 取最大值与最小值． 设切线为y －0＝k (x －4)，即kx －y －4k ＝0．圆心P 到切线的距离|－k －2－4k |k 2＋1＝2，化简为21k 2＋20k ＝0，解得k ＝0或k ＝－2021．∴y x －4的最大值为0，最小值为－2021．【当堂检测】 1．D 2．D 3．B 4．65 5 5．13米。

4.2.3 直线与圆的方程的应用整体设计教学分析直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用.本小节设置了一些例题,分别说明直线与圆的方程在实际生活中的应用,以及用坐标法研究几何问题的基本思想及其解题过程.三维目标(1)理解直线与圆的位置关系的几何性质；(2)利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算,解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.(3)会用“数形结合”的数学思想解决问题.让学生通过观察图形,理解并掌握直线与圆的方程的应用,培养学生分析问题与解决问题的能力.重点难点教学重点：求圆的应用性问题.教学难点:直线与圆的方程的应用.课时安排1课教学过程导入新课思路1.如图1,某城市中的高空观览车的高度是100 m,图1在离观览车约150 m处有一建筑物,某人在离建筑物100 m的地方刚好可以看到观览车,你根据上述数据,如何求出该建筑物的高度？要解决这个问题,我们继续研究直线与圆的方程的应用,教师板书课题:直线与圆的方程的应用.思路2.同学们,前面我们学习了圆的方程、直线与圆的位置关系、圆和圆的位置关系,那么如何利用这些关系来解决一些问题,怎样解决?带着这些问题我们学习直线与圆的方程的应用.教师板书课题:直线与圆的方程的应用.推进新课新知探究提出问题①你能说出直线与圆的位置关系吗？②解决直线与圆的位置关系,你将采用什么方法？③阅读并思考教科书上的例4,你将选择什么方法解决例4的问题？④你能分析一下确定一个圆的方程的要点吗？⑤你能利用“坐标法”解决例5吗？活动：学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,发散思维.①学生回顾学习的直线与圆的位置关系的种类；②解决直线与圆的位置关系,可以采取两种方法；③首先考虑问题的实际意义,如果本题出在初中,我们没有考虑的余地,只有几何法,在这里当然可以考虑用坐标法,两种方法比较可知哪个简单；④回顾圆的定义可知确定一个圆的方程的条件；⑤利用“坐标法”解决问题的关键是建立适当的坐标系,再利用代数与几何元素的相互转化得到结论.讨论结果：①直线与圆的位置关系有三类:相交、相切、相离.②解决直线与圆的位置关系,将采用代数和几何两种方法,多数情况下采用圆心到直线的距离与半径的关系来解决.③阅读并思考教科书上的例4,先用代数方法及坐标法,再用几何法,作一比较.④你能分析一下确定一个圆的方程的要点,圆心坐标和半径,有时关于D 、E 、F 的三个独立的条件也可.⑤建立适当的坐标系,具体解法我们在例题中展开.应用示例思路1例1 讲解课本4.2节例4,解法一见课本.图2解法二：如图2,过P 2作P 2H⊥OP.由已知,|OP|=4,|OA|=10.在Rt△A OC 中,有|CA|2=|CO|2+|OA|2设拱圆所在的圆的半径为r,则有r 2=(r-4)2+102.解得r=14.5.在Rt△CP 2H 中,有|CP 2|2=|CH|2+|P 2H|2.因为|P 2H|=|OA 2|=2,于是有|CH|2=r 2-|OA 2|2=14.52-4=206.25.又|OC|=14.5-4=10.5,于是有|OH|=|CH|-|CO|=25.206-10.5≈14.36-10.5=3.86. 所以支柱A 2P 2的长度约为3.86 cm.点评：通过课本解法我们总结利用坐标法解决几何问题的步骤是：第一步：建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算,解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论. 把两种解法比较可以看出坐标法通俗易懂,几何法较难想,繁琐,因此解题时要有所选择. 变式训练已知圆内接四边形的对角线互相垂直,求证：圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.图3解:如图3,以四边形ABCD 互相垂直的对角线CA 、DB 所在直线分别为x 轴、y 轴,建立适当的平面直角坐标系,设A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d).过四边形ABCD 的外接圆的圆心O 1分别作AC 、BD 、AD 的垂线,垂足分别为M 、N 、E,则M 、N 、E 分别为线段AC 、BD 、AD 的中点,由线段的中点坐标公式,得1O x =x m =2c a +,1O y =y n =2d b +,x E =2a ,y E =2d .所以|O 1E|=222221)222()222(c b d d b a c a +=-++-+. 又|BC|=22c b +,所以|O 1E|=21|BC|. 点评:用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何元素、点、直线、圆.将几何问题转化为代数问题,然后通过代数运算解决代数问题,最后解释代数运算结果的几何意义,得到几何问题的结论.例2 有一种大型商品,A 、B 两地都有出售,且价格相同,某地居民从两地之一购得商品后回运的运费是：每单位距离A 地的运费是B 地运费的3倍,已知A 、B 两地相距10 km,居民选择A 或B 地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低.求A 、B 两地的售货区域的分界线的曲线形状,并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点.活动：学生先审题,然后思考或讨论,学生有困难教师可以提示引导,建立适当的坐标系,这里以AB 所在直线为x 轴,线段AB 的中点为原点建立直角坐标系较简单,假设一点距A 地近,且费用低,列方程或不等式.解:以AB 所在直线为x 轴,线段AB 的中点为原点建立直角坐标系,则A(－5,0),B(5,0).设某地P 的坐标为(x,y),且P 地居民选择A 地购买商品的费用较低,并设A 地的运费为3a 元/km,则B 地运费为a 元/km.由于P 地居民购买商品的总费用满足条件：价格+A 地运费≤价格+B 地运费,即3a 22)5(y x ++≤a 22)5(y x +-,整理得(x+425)2+y 2≤(415)2. 所以以点C(-425,0)为圆心,415为半径的圆就是两地居民购货的分界线.圆内的居民从A 地购货费用较低,圆外的居民从B 地购货费用较低,圆上的居民从A 、B 两地购货的总费用相等,因此可以随意从A 、B 两地之一购货.点评:在学习中要注意联系实际,重视数学在生产、生活和相关学科中的应用,解决有关实际问题时,关键要明确题意,掌握建立数学模型的基本方法.思路2例1 求通过直线2x-y+3=0与圆x 2+y 2+2x-4y+1=0的交点,且面积最小的圆的方程.活动:学生思考或交流,教师提示引导,求圆的方程无非有两种方法:代数法和几何法. 解法一:利用过两曲线交点的曲线系,设圆的方程为x 2+y 2+2x-4y+1+λ(2x-y+3)=0,配方得标准式(x+1+λ)2+(y-2-2λ)2=(1+λ)2+(2+2λ)2-3λ-1, ∵r 2=45λ2+λ+4=45(λ+52)2+519, ∴当λ=-52时,半径r=519最小.∴所求面积最小的圆的方程为5x 2+5y 2+6x-18y-1=0.解法二:利用平面几何知识,以直线与圆的交点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)连线为直径的圆符合要求. 由⎩⎨⎧=+-++=+-,0142,03222y x y x y x 消去y,得5x 2+6x-2=0. ∴判别式Δ＞0,AB 中点横坐标x 0=221x x +=-53,纵坐标y 0=2x 0+3=59, 即圆心O′(-53,59). 又半径r=21|x 1-x 2|·221+=519, ∴所求面积最小的圆的方程是(x+53)2+(y-59)2=519. 点评:要熟练地进行圆的一般式与标准式之间的互化,这里配方法十分重要,方法二用到求弦长的公式|AB|=|x 1-x 2|·21k +;对于圆的弦长,还可以利用勾股定理求得,即|AB|=22d r -,其中r 为圆半径,d 为圆心到弦的距离.变式训练设圆满足①截y 轴所得弦长为2,②被x 轴分成两段弧,弧长之比为3∶1,在满足条件①②的所有圆中,求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程.图4解:关键确定圆心坐标和半径.如图4.设圆心A(a,b),则半径r=2|b|.由截y 轴的弦长为2,知a 2+1=r 2=2b 2,又圆心A 到l 的距离d=51|a-2b|, ∴5d 2=a 2+4b 2-4ab≥a 2+4b 2-2(a 2+b 2)=2b 2-a 2=1,当且仅当a=b 时等号成立.这里由⎪⎩⎪⎨⎧==+=,2,1,2222r b r a b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⎪⎩⎪⎨⎧===.2,1,12,1,1r b a r b a 或∴圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2.例2 已知x,y 是实数,且x 2+y 2-4x-6y+12=0,求(1)xy 的最值;(2)x 2+y 2的最值;(3)x+y 的最值;(4)x-y 的最值.活动：学生思考或交流,教师引导,数形结合,将代数式或方程赋予几何意义.解:(x-2)2+(y-3)2=1表示以点C(2,3)为圆心,1为半径的圆. (1)xy 表示圆C 上的点P(x,y)与坐标原点O(0,0)连线的斜率k, 故当y=kx 为圆C 的切线时,k 得最值. ∵21|32|k k +-=1,∴k=2±323. ∴xy 的最大值为2+323,最小值为2-323. (2)设x 2+y 2表示圆C 上的点P(x,y)与坐标原点O(0,0)连结的线段长的平方,故由平面几何知识,知当P 为直线OC 与圆C 的两交点P 1、P 2时,OP 12与OP 22分别为OP 2的最大值、最小值.∴x 2+y 2的最大值为(2232++1)2=14+213, 最小值为(2232+-1)2=14-213. (3)令x+y=m,当直线l:x+y=m 与圆C 相切时,l 在y 轴上截距m 取得最值. ∵2|32|m -+=1,∴m=5±2.∴x+y 的最大值为5+2,最小值为5-2.(4)令x-y=n,当直线l′:x -y=n 与圆C 相切时,l′在y 轴上截距的相反数n 取得最值. ∵2|32|n --=1,∴n=-1±2.∴x -y 的最大值为-1+2,最小值为-1-2.点评:从“数”中认识“形”,从“形”中认识“数”,数形结合相互转化是数学思维的基本方法之一.“数学是一个有机的统一体,它的生命力的一个必要条件是所有的各个部分不可分离地结合.”(希尔伯特)数形结合的思维能力不仅是中学生的数学能力、数学素养的主要标志之一,而且也是学习高等数学和现代数学的基本能力.本题是利用直线和圆的知识求最值的典型题目.例3 已知圆O 的方程为x 2+y 2=9,求过点A(1,2)所作的弦的中点的轨迹.活动：学生回想求轨迹方程的方法与步骤,思考讨论,教师适时点拨提示,本题可利用平面几何的知识.解法一:参数法(常规方法)设过A 的弦所在的直线方程为y-2=k(x-1)(k 存在时),P(x,y),则⎩⎨⎧-+==+),2(,922k kx y y x 消y,得(1+k 2)x 2+2k(2-k)x+k 2-4k-5=0.。

4．2.3直线与圆的方程的应用基础梳理用坐标方法解决平面几何问题的“三部曲”：练习1：(x－a)2＋(y－b)2＝r2表示圆心在(a，b)，半径为r的圆．练习2：y＝1－x2表示圆心在(0，0)，半径为1的半圆．练习3：y＝b－r2－（x－a）2表示圆心在(a，b)，半径为r的下半圆．►思考应用用坐标方法解决平面几何问题的工具是什么？解析：用坐标方法解决平面几何问题的基本思想就是用代数的方法解决几何问题，而建立它们联系的主要工具就是平面直角坐标系．自测自评1．方程x 2＋y 2＋2ax －2ay ＝0(a ≠0)表示的圆(D )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于直线x －y ＝0对称D ．关于直线x ＋y ＝0对称解析：该圆的圆心(－a ，a)，在直线x ＋y ＝0上，故关于直线x ＋y ＝0对称．2．若直线x ＋y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝m 相切，则m 为(B ) A ．0或2 B ．2 C .2 D ．无解解析：圆心(0，0)到直线x ＋y ＋m ＝0的距离d ＝|m|2＝m ，m ＝2. 3．以(23，0)为圆心，截直线y ＝3x 所得的弦长为8的圆的方程为解析：由圆心为(23，0)，设圆的方程为(x －23)2＋y 2＝r 2，利用r 2＝42＋d 2，其中d ＝∣23·3∣32＋12＝3，得r ＝5，故圆的方程(x －23)2＋y 2＝25.4．圆C 1：x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0和圆C 2：x 2＋y 2－4x －10y ＋13＝0的公切线有(B )A ．1条B ．3条C ．4条D ．以上均不正确解析：圆C 1的方程即：(x ＋2)2＋(y －2)2＝1，圆心C 1(－2，2)，半径为1.圆C 2的方程即(x －2)2＋(y －5)2＝16，圆心C 2(2，5)，半径为4，两圆的圆心距为（2＋2）2＋（5－2）2＝5，正好等于两圆半径之和，故两圆相切，故两圆公切有三条．基础达标1．若直线3x ＋4y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，则k 的值等于(A )A ．1或－19B ．10或－10C ．－1或－19D ．－1或19解析：圆方程为(x －3)2＋y 2＝22，∵圆与直线相切，∴圆心到切线距离等于半径．∴|9＋k|5＝2，∴k ＝1或－19. 2．如果实数x ，y 满足等式(x －1)2＋y 2＝34，那么y x的最大值是(B ) A .12 B .33 C .32D . 3 解析：y x的几何意义是圆上的点P(x ，y)与原点连线的斜率，结合图形得，斜率的最大值为3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝ 3. 3．方程x(x 2＋y 2－1)＝0和x 2－(x 2＋y 2－1)2＝0表示的图形是(C )A ．都是两个点B ．一条直线和一个圆C ．前者是一条直线和一个圆，后者是两个圆D ．前者为两个点，后者是一条直线和一个圆4．设A 为圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝4上的动点，PA 是圆C 的切线，且|PA|＝1，则点P 的轨迹方程是________．答案：(x ＋1)2＋y 2＝55．下图所示是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．这个圆的圆拱跨度AB ＝20 m ，拱高OP ＝4 m ，建造时每间隔4 m 需要用一根支柱支撑，求支柱A 2P 2的高度(精确到0.01 m )．解析：建立如下图所示直角坐标系，使圆心在y 轴上，只需求出P 2的纵坐标，就可得出支柱A 2P 2的高度．设圆心的坐标是(0，b)，圆的半径是r ，那么圆的方程是x 2＋(y －b)2＝r 2.下面确定b 和r 的值．因为P ，B 都在圆上，所以它们的坐标(0，4)，(10，0)都满足方程x 2＋(y －b)2＝r 2.于是得到方程组⎩⎨⎧02＋（4－b ）2＝r 2，102＋（0－b ）2＝r 2，解得b ＝－10.5，r 2＝14.52，所以，圆的方程是x 2＋(y ＋10.5)2＝14.52.把点P 2的横坐标x ＝－2代入圆的方程，得(－2)2＋(y ＋10.5)2＝14.52，即y ＋10.5＝14.52－（－2）2(P 2的纵坐标y ＞0，平方根取正值)．所以y ≈3.86(m )，支柱A 2P 2的高度约为3.86 m . 巩固提升 6．已知x ＋y ＋1＝0，那么（x ＋2）2＋（y ＋3）2的最小值是________．解析：（x ＋2）2＋（y ＋3）2表示点(x ，y)与点(－2，－3)之间的距离，又点(x ，y)在直线x ＋y ＋1＝0上，故最小值为点(－2，－3)到直线x ＋y ＋1＝0的距离，即d ＝|－2－3＋1|2＝2 2. 答案：2 27．当曲线y ＝1＋4－x 2与直线y ＝k(x －2)＋4有两个相异交点时，实数k 的取值范围是(C )A .⎝ ⎛⎭⎪⎫0，512B .⎝ ⎛⎦⎥⎤13，34 C .⎝ ⎛⎦⎥⎤512，34 D .⎝ ⎛⎭⎪⎫512，＋∞解析：曲线y＝1＋4－x 2表示半圆x 2＋(y －1)2＝4(y ≥1)，若直线与曲线相切则k ＝512.结合图形得直线与半圆有两个不同交点时，512<k ≤34. 8．若x ，y 满足(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，则2x ＋y 的最大值和最小值分别为________和________．x 2＋y 2的最大值和最小值分别是________和________．答案：25 －25 5＋2 5－29．设有半径为3公里的圆形村落，A ，B 两人同时从村落中心出发，A 向东而B 向北前进，A 离开村后不久，改变前进方向，斜着沿切于村落周界的方向前进，后来恰好与B 相遇．设A ，B 两人的速度都一定，其比为3∶1，问A ，B 两人在何处相遇？解析：如图所示以村落中心为坐标原点，以东西方向为x 轴建立直角坐标系，又设A向东走到D 转向到C 恰好与B 相遇，设CD 方程为x a ＋y b＝1(a>3，b>3)，设B 的速度为v ，则A 的速度为3v ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧|ab|a 2＋b 2＝3，a 2＋b 2＋a 3v ＝b v.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝154.所以B 向北走3.75公里时相遇．1．用坐标法解决平面几何问题的“三部曲”：(1)建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；(2)通过代数运算，解决代数问题；(3)把代数运算结果“翻译”成几何问题．2．直线和圆在现实生活中的应用，主要包括两大块：一块是直线和圆的直接应用，它涉及质量、重心、气象预报、购物选址等问题；二是直线和圆的方程形式，可以使我们更好地了解近代数学的发展．。

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课时提升作业(二十八)直线与圆的方程的应用(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为( )A.10B.20C.30D.40【解析】选B.圆心坐标是(3,4),半径是5,圆心到点(3,5)的距离为1.根据题意最短弦BD和最长弦(即圆的直径)AC垂直,故最短弦的长为2=4,所以四边形ABCD的面积为|AC||BD|=×10×4=20.2.已知点A(-1,1)和圆C:(x-5)2+(y-7)2=4,一束光线从A经x轴反射到圆C上的最短路程是( )A.6-2B. 8C.4D.10【解析】选B.点A关于x轴的对称点A′(-1,-1),A′与圆心(5,7)的距离为=10.所以所求最短路程为10-2=8.3.某圆拱桥的示意图如图所示,该圆拱的跨度AB是36m,拱高OP是6m,在建造时,每隔3m需用一个支柱支撑,则支柱A2P2的长为( )A.(12-24)mB.(12+24)mC.(24-12)mD.不确定【解析】选A.如图,以线段AB所在的直线为x轴,线段AB的中点O 为坐标原点建立平面直角坐标系,那么点A,B,P的坐标分别为(-18,0),(18,0),(0,6).设圆拱所在的圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0.因为A,B,P在此圆上,故有解得故圆拱所在圆的方程是x2+y2+48y-324=0.将点P2的横坐标x=6代入上式,结合图形解得y=-24+12.故支柱A2P2的长约为(12-24)m.【方法锦囊】建立适当的直角坐标系应遵循三点原则①若曲线是轴对称图形,则可选它的对称轴为坐标轴;②常选特殊点作为直角坐标系的原点;③尽量使已知点位于坐标轴上.4.圆C:(x-4)2+(y-4)2=4与直线y=kx的交点为P,Q,原点为O,则|OP|·|OQ|的值为( )A.2B.28C.32D.由k确定【解题指南】由平面几何知识可知|OP|·|OQ|等于过O点圆的切线长的平方.【解析】选B.如图,过原点O作☉C的切线OA,连结AC,OC,在Rt△OAC中,|OA|2=|OC|2-r2=32-4=28,由平面几何知识可知,|OP|·|OQ|=|OA|2=28.5.若P(x,y)在圆(x+3)2+(y-3)2=6上运动,则的最大值等于( )A.-3+2B.-3+C.-3-2D.3-2【解析】选A.设=k,则y=kx.当直线y=kx与圆相切时,k取最值.所以=,解得k=-3±2.故的最大值为-3+2.二、填空题(每小题5分,共15分)6.一条光线从点A(7,2)射入,经过x轴上点P反射后,通过圆B:(x+3)2+(y-3)2=25的圆心,则反射点P的坐标为________.【解析】B关于x轴的对称点B′(-3,-3).直线AB′:=,即5x-35=10y-20,即5x-10y-15=0,所以直线AB′与x轴交点为(3,0),所以反射点坐标为(3,0).答案:(3,0)【延伸探究】若把题干中“通过圆B:(x+3)2+(y-3)2=25的圆心”改为“与圆B:(x+3)2+(y-3)2=25相切”,则反射点的坐标为________. 【解析】圆B:(x+3)2+(y-3)2=25关于x轴对称的圆的方程为圆B′: (x+3)2+(y+3)2=25.设入射光线的方程为y-2=k(x-7)即kx-y-7k+2=0,又圆心B′(-3,-3)到kx-y-7k+2=0的距离等于半径5,所以=5,所以k=或k=0(舍),所以入射光线的方程为x-y-=0,所以入射光线与x轴交点为,所以反射点坐标为.答案:7.过点A(11,2)作圆x2+y2+2x-4y-164=0的弦,其中弦长为整数的共有________条.【解析】方程化为(x+1)2+(y-2)2=132,圆心为(-1,2),到点A(11,2)的距离为12,最短弦长为10,最长弦长为26,所以所求弦长为整数的条数为2+2×(25-11+1)=32.答案:328.(2015·烟台高一检测)已知直线x-2y-3=0与圆(x-2)2+(y+3)2=9相交于E,F两点,圆心为点C,则△CEF的面积等于________.【解析】因为圆心C(2,-3)到直线的距离为d==,又R=3, 所以|EF|=2=4.所以S△CEF=|EF|·d=2.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)9.某公园有A,B两个景点,位于一条小路(直道)的同侧,分别距小路km和2km,且A,B景点间相距2km(A在B的右侧),今欲在该小路上设一观景点,使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果,则观景点应设在何处?【解析】所选观景点应使对两景点的视角最大.由平面几何知识可知,该点应是过A,B两点的圆与小路所在的直线相切时的切点.以小路所在直线为x轴,B点在y轴上建立空间直角坐标系(如图).则B(0,2),A(,).设过A,B两点且与x轴相切的圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=b2(b>0),因为圆心在AB中垂线上,且中垂线方程是x-y+=0,所以所以或由实际意义知应舍去,所以圆的方程为x 2+(y-)2=2,与x轴的切点即原点,所以观景点应设在B景点在小路上的射影处.10.有相距100km的A,B两个批发市场,商品的价格相同,但在某地区居民从两地运回商品时,A地的单位距离的运费是B地的2倍.问怎样确定A,B两批发市场的售货区域对当地居民有利?【解析】建立以AB所在直线为x轴,AB中点为原点的直角坐标系,则A(-50,0),B(50,0).设P(x,y),由2|PA|=|PB|,得x2+y2+x+2500=0,所以在圆x2+y2+x+2500=0内到A地购物合算;在圆x2+y2+x+2500=0外到B地购物合算;在圆x2+y2+x+2500=0上到A,B两地购物一样合算.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.若曲线y=1+与直线y=k(x-2)+4有两个交点,则实数k的取值范围为( ) A. B.C. D.【解题指南】画出曲线y=1+及直线y=k(x-2)+4的图象,利用数形结合求k的取值范围.【解析】选D.如图,曲线y=1+表示上半圆,直线y=k(x-2)+4过定点P(2,4),且A(-2,1).因为k PA=,PC与半圆相切,所以易求k PC=,所以<k≤.2.由y=|x|和圆x2+y2=4所围成的较小扇形的面积是( )A. B.π C. D.【解析】选B.由题意围成的面积为圆面积的,所以S=πr2=π,故选B.二、填空题(每小题5分,共10分)3.直线2x-y=0与圆C:(x-2)2+(y+1)2=9交于A,B两点,则△ABC(C为圆心)的面积等于________.【解析】因为圆心到直线的距离d==,所以|AB|=2=4,所以S △ABC=×4×=2.答案:24.在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2+y2=4上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c的取值范围是________.【解析】由题意知,圆心(0,0)到直线的距离小于1,即<1,|c|<13,-13<c<13.答案:(-13,13)三、解答题(每小题10分,共20分)5.AB为圆的定直径,CD为直径,自D作AB的垂线DE,延长ED到P,使|PD|=|AB|,求证:直线CP必过一定点.【证明】以线段AB所在的直线为x轴,以AB中点为原点,建立直角坐标系,如图,设圆的方程为x2+y2=r2,直径AB位于x轴上,动直径为CD.令C(x0,y0),则D(-x0,-y0),所以P(-x0,-y0-2r).所以直线CP的方程为y-y0=(x-x0),即(y0+r)x-(y+r)x0=0.所以直线CP过直线:x=0,y+r=0的交点(0,-r),即直线CP过定点(0,-r).6.(2014·江苏高考)如图,为了保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆.且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量,点A 位于点O 正北方向60m 处,点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸),tan ∠BCO=.(1)求新桥BC 的长.(2)当OM 多长时,圆形保护区的面积最大?【解析】(1)以OC,OA 为x,y 轴,向东和向北为正方向建立直角坐标系,则C(170,0),A(0,60).由题意,k BC =-,直线BC 的方程为y=-(x-170), 又k AB =-BC1k =,故直线AB 方程为y=x+60. 由解得即B(80,120), 所以|BC|==150(m).(2)设OM=t,即M(0,t),0≤t ≤60,由(1)直线BC 的一般方程为4x+3y-680=0,圆M 的半径为r=, 由题意要求由于0≤t ≤60, 因此r===136-t, 所以所以10≤t ≤35,所以当t=10时,r 取得最大值130m,此时圆的面积最大.关闭Word 文档返回原板块。

必修二《4.2.3直线与圆的方程应用》教学案学习目标(1)理解直线与圆的位置关系的几何性质；(2)利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；(3)会用“数形结合”的数学思想解决问题．学习重点直线与圆的方程的应用．学习难点直线与圆的方程的应用．教学设计一、目标展示二、自主学习三、合作探究直线与圆的方程的应用非常广泛，对于生产、生活实践以及平面几何中与直线和圆有关的问题，我们可以建立直角坐标系，通过直线与圆的方程，将其转化为代数问题来解决．本节我们通过几个例子说明直线与圆的方程在实际生活以及平面几何中的应用．四、精讲点拨例1如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．这个圆的圆拱跨度AB＝20m，拱高OP＝4 m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度(精确到0.01m)．跟踪训练1一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西60km处，受影响的范围是半径长为20km的圆形区域．已知港口位于台风中心正北30km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？例2已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证：圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半．跟踪训练2Rt△ABC的斜边BC为定长m，以斜边的中点O为圆心作半径为定长n的圆，BC所在直线交此圆于P、Q两点，求证：|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2为定值．例3．某圆拱桥的水面跨度20m，拱高4m．现有一船，宽10m，水面以上高3m，这条船能否从桥下通过？跟踪训练3设半径为3km的圆形村落，A、B两人同时从村落中心出发，A向东，B向北，A出村后不久改变前进方向，斜着沿切于村落圆周的方向前进，后来恰好与B相遇，设A、B两人的速度一定，其比为3∶1，问A、B两人在何处相遇？五、达标检测1．一辆卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的高度不得超过 ( )A．1.4米B．3.0米C．3.6米D．4.5米2．方程y＝1－x2表示的图形是( )3．如图所示，A，B是直线l上的两点，且AB＝2.两个半径相等的动圆分别与l相切于A，B点，C是两个圆的公共点，则圆弧AC，CB与线段AB围成的图形面积S的取值范围是___________．六、课堂小结1．利用坐标法解决平面几何问题，是将几何中“形”的问题转化为代数中“数”的问题，应用的是数学中最基本的思想方法：转化与化归的思想方法，事实上，数学中一切问题的解决都离不开转化与化归．所谓转化与化归思想是指把待解决的问题(或未解决的问题)转化化归为已有知识范围内可解决的问题的一种数学意识．2．利用直线与圆的方程解决最值问题的关键是由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的直观性来分析解决问题．课后作业习题4．2B组：1、2．教后反思。