高中数学必修2直线和圆

直线与圆的位置关系知识集结知识元不含有参数的直线与圆位置关系知识讲解1．直线与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系2．判断直线与圆的位置关系的方法直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．圆心到直线的距离d＝①相交：d＜r②相切：d＝r③相离：d＞r（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．由消元，得到一元二次方程的判别式△①相交：△＞0②相切：△＝0③相离：△＜0．例题精讲不含有参数的直线与圆位置关系例1.已知点P在单位圆x2+y2=1上运动，P到直线3x﹣4y﹣10=0与x=3的距离分为d1、d 2，则d1+d2的最小值是．例2.点P是直线x+y﹣2=0上的动点，点Q是圆x2+y2=1上的动点，则线段PQ长的最小值为．例3.经过圆x2+y2﹣2x+2y=0的圆心且与直线2x﹣y=0平行的直线方程是（）A．2x﹣y﹣3=0B．2x﹣y﹣1=0C．2x﹣y+3=0D．x+2y+1=0含有参数类型直线与圆的位置关系知识讲解1．直线与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系2．判断直线与圆的位置关系的方法直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．圆心到直线的距离d＝①相交：d＜r②相切：d＝r③相离：d＞r（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．由消元，得到一元二次方程的判别式△①相交：△＞0②相切：△＝0③相离：△＜0．例题精讲含有参数类型直线与圆的位置关系例1.已知△ABC的三边长为a，b，c，满足直线ax+by+2c=0与圆x2+y2=4相离，则△ABC是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上情况都有可能例2.直线ax﹣y+a=0（a≥0）与圆x2+y2=9的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．相切或相离例3.圆x2+y2+4x﹣2y﹣1=0上存在两点关于直线ax﹣2by+2=0（a＞0，b＞0）对称，则的最小值为（）A．8B．9C．16D．18简单切线类型知识讲解1．圆的切线方程圆的切线方程一般是指与圆相切的直线方程，特点是与圆只有一个交点，且过圆心与切点的直线垂直切线．圆的切线方程的类型：（1）过圆上一点的切线方程：对于这种情况我们可以通过圆心与切点的连线垂直切线求出切线的斜率，继而求出直线方程（2）过圆外一点的切线方程．这种情况可以先设直线的方程，然后联立方程求出他们只有一个解（交点）时斜率的值，进而求出直线方程．例题精讲简单切线类型例1.设点A为圆（x﹣1）2+y2=1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|=1，则P点的轨迹方程为（）A．y2=2x B．（x﹣1）2+y2=4C．y2=﹣2x D．（x﹣1）2+y2=2例2.已知圆的方程是x2+y2=1，则经过圆上一点M（1，0）的切线方程是（）A．x=1B．y=1C．x+y=1D．x﹣y=1例3.'已知圆C的方程为x2+y2﹣2x+4y﹣3=0，直线l：x﹣y+t=0．若直线l与圆C相切，求实数t的值.'简单弦长问题知识讲解弦长问题一、求直线与圆相交时的弦长有三种方法(1)交点法：将直线方程与圆的方程联立，求出交点A，B的坐标，根据两点间的距离公式|AB|＝求解．(2)弦长公式：如图所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝|x1－x2|＝|y1－y2|(直线l的斜率k存在)．(3)几何法：如图，直线与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有()2＋d2＝r2，即|AB|＝2.通常采用几何法较为简便。

高中数学直线和圆的位置关系新课标人教版必修2(A) 教学目标(一)使学生掌握直线和圆的三种位置关系的定义及其判定方法和性质；(二)通过直线和圆的位置关系的探究，向学生渗透类比、分类、数形结合的思想，培养学生观察、分析和发现问题的能力；(三)使学生从运动的观点来观察直线和圆相交、相切、相离的关系、培养学生的辩证唯物主义观点.教学重点和难点直线与圆的三种位置关系是重点；直线和圆的三种位置关系的性质和判定的正确运用是难点.教学过程设计一、类比联想，提出问题1.前面已经研究了点和圆的位置关系，请学生回忆，点和圆有几种位置关系?它们的数量特征分别是什么?在学生回答的基础上，教师投影打出点和圆的三种位置关系：点在圆内、在圆上、在圆外.d＜r d＝r；点在圆外 d＞r.2.如果把点换成一条直线，直线和圆又有哪几种位置关系呢?(板书课题)二、根据图形运动变化，发现规律、传授新知1.尝试活动让学生在纸上画一个圆，把直尺边缘看成一条直线，任意移动直尺，观察有几种位置关系.2.电脑演示在学生尝试活动的基础上，教师电脑演示图7-98：一个已知圆O与一条直线l发生相对运动的情况.将圆向上逐步运动，让学生观察，把观察到的情况说出来.教师引导学生答出：在图7-98中，直线和圆由有两个交点逐渐缩至一个点最后完全消失.在学生回答的基础上，教师指出：由直线与圆的公共点的个数，得出以下直线和圆的三种位置关系：(1)相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交.这时直线叫做圆的割线.(2)相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切.这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点.(3)相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离.给出以上定义后，教师强调：(1)直线与圆有唯一公共点的含义是“有且仅有”，这与直线与圆有一个公共点的含义不同.(2)直线和圆除了上述三种位置关系外，有第四种关系吗?即一条直线和圆的公共点能否多于两个?为什么?对于问题(2)可让学生展开讨论，后教师指出：由于同一直线上的三点不可能作圆，因而直线不可能与圆有三个交点，故直线与圆不可能有第四种位置关系.3.直线与圆的位置关系的数量特征.直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样进行数量分析呢?提出问题，让学生思考，教师引导学生观察图7-98，发现：由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系.图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径.学生回答后，教师总结并板书：如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么(1)直线l和⊙O相交 d＜r；(2)直线l和⊙O相切 d＝r；(3)直线l和⊙O相离 d＞r.在讲点与圆的位置关系时若引用了符号“”，可再巩固一下；若没有引用，这里应解释符号“”的意义.这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定.以上三个命题的正确性是通过观察得到的，可鼓励程度好的学生课后对它们加以证明.现以(3)为例证明如下.证明：判定定理.过O作OA⊥l于A，则OA＝d.在直线l上任取另一点B，并连结OB.则在Rt△OAB中，OB＞OA＞r.所以l上任意一点均在⊙O的外部.即直线l与⊙O没有公共点，l与⊙O相离.证明：性质定理.假设d不大于r,则d＝r或d＜r.由判定定理可知，当d＝r时，l与⊙O相切；当d＜r时，l与⊙O相交，都与已知直线l与⊙O相离矛盾，因此d＞r.三、例题分析，课堂练习例在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3厘米，BC＝4厘米，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系?为什么?(1)r＝2厘米；(2)r＝2.4厘米；(3)r＝3厘米.分析：因为题目给出了⊙O的半径，所以解题关键是求圆心C到直线AB的距离，也就是要求出Rt△ABC斜边AB上的高.为此，可过C点向AB作垂线段CD，然后可根据CD的长度与r进行比较，确定⊙C与AB的关系.让学生自己作出回答，教师板书解题过程，并画出相应的图形.(图7-100)练习1 填空(投影打出)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，若以C为圆心，r为半径和圆，那么：(1)当直线AB与⊙C相离时，r的取值范围是；(2)当直线AB与⊙C相切时，r的取值范围是；(3)当直线AB与⊙C相交时，r的取值范围是；练习2 如图7-101，已知∠AOB＝30°，M为OB上一点，且OM＝5厘米，以M为圆心、以r为半径的圆与直线OA有怎样的位置关系?为什么?(1)r＝2厘米；(2)r＝4厘米；(3)r＝2.51厘米；四、课堂小结问：这节课学习了哪些具体内容?用到了哪些数学思想方法?应注意什么问题?在学生回答的基础上教师归纳；1.投影打出直线与圆的位置关系表.直线和圆的位置关系相交相切相离公共点个数 2 1 0圆心到直线距离d与半径r的关系 d＜r d＝r d＞r公共点名称交点切点无直线名称割线切线无2.本节课类比点和圆的位置关系，从运动变化的观点来研究直线和圆的位置关系；利用了分类的思想把直线和圆的位置关系分为三类来讨论；用了数形结合的思想，通过d的r这两个数量之间的关系来研究直线和圆的位置关系.3.学习时应注意弄清直线与圆的位置关系的性质与判定使用的区别与联系.五、布置作业课本p.115.习题7.3.A组.1(1)，2，3.板书设计课堂教学设计说明这份教案为1课时，对于定理的证明不必向学生讲，可作为程度好的学生的课外作业.。

人教A版高中数学必修2课题：4.2.1直线与圆的位置关系【教材分析】《直线、圆的位置关系》是圆与方程这一章的重要内容。

它是学生在初中平面几何中已学过直线与圆的三种位置关系，以及在前面几节学习了直线与圆的方程的基础上，从代数角度，运用解析法进一步研究直线与圆的位置关系，它既是对圆的方程的应用和拓展，又是研究圆和圆的位置关系的基础，并且为后续研究直线和圆锥曲线的位置关系奠定思想基础，具有承上启下的作用。

【学生学情分析】在初中，学生已经直观的讨论过直线与圆的位置关系,前阶段又学习了直线方程和圆的方程。

本节课主要以问题为载体，帮助学生复习、整理已有的知识结构，让学生利用已有的知识，探究直线与圆的位置关系的判断方法。

通过学生参与问题的解决，让学生体验有关的数学思想，培养“数形结合”的意识。

【教学目标】（一）知识与技能：理解直线与圆三种位置关系；能根据直线、圆的方程，用代数法和几何法判断直线与圆位置关系；掌握直线和圆的位置关系判定的应用，会求弦长.（二）方法与过程：通过对直线与圆的位置关系的探究活动，经历知识的建构过程，培养学生独立思考、自主探究、合作交流的学习方式；强化学生用解析法解决几何问题的意识，培养学生分析问题和灵活解决问题的能力．（三）情感态度与价值观：让学生亲生经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣，感受“方程思想”、“数形结合”等数学思想的内涵，养成良好的思维习惯.【教学重点与难点】重点：直线与圆的位置关系的判断方法.难点：灵活的运用“数形结合”解决直线和圆相关的问题．【课型】新课【课时安排】1节课【教法、学法指导、教学手段】教法“引导-探究”教学法、“命名”教学法、“题组”教学法；学法：观察发现、自主探究、合作交流、变式学习、归纳总结、应用提高;教学手段：多媒体教学【教学准备】学生学情，课件、教学设计，学生课堂练习题；彩色粉笔，翻页笔。

间的位置关系呢？方法一：可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的方法二，由直线l(–问题6过点M【板书设计】有两个公共点直线和圆相交有惟一公共点直线和圆相切直线和圆相离。

4．2.1 直线与圆的位置关系1．知道直线与圆的位置关系的分类．2．能根据方程，判断直线和圆的位置关系． 3．能够解决有关直线和圆的位置关系的问题．直线A x ＋B y ＋C ＝0与圆(x －a)2＋(y －b)2＝r 2的位置关系及判断【做一做】 直线3x ＋4y ＋12＝0与圆(x －1)＋(y ＋1)＝9的位置关系是( ) A ．过圆心 B ．相切 C ．相离 D ．相交答案：两 一 零 ＜ ＝ ＞ ＞ ＝ ＜ 【做一做】 D代数法与几何法的比较剖析：代数法的运算量较大，几何法的运算量较小，并且也简单、直观．受思维定式的影响，看到方程就想解方程组，自然就想到代数法．【例】 若直线4x －3y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＝100：①相交；②相切；③相离，试分别求实数a 的取值范围．解法一：(代数法)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y ＋a ＝0，x 2＋y 2＝100，消去y ，得25x 2＋8a x ＋a 2－900＝0.则Δ＝(8a)2－4×25(a 2－900)＝－36a 2＋90 000.①当直线和圆相交时，Δ＞0，即－36a 2＋90 000＞0，解得－50＜a ＜50； ②当直线和圆相切时，Δ＝0，解得a ＝50或a ＝－50； ③当直线和圆相离时，Δ＜0，解得a ＜－50或a ＞50. 解法二：(几何法)圆x 2＋y 2＝100的圆心为(0,0)，半径r ＝10，则圆心到直线4x －3y ＋a ＝0的距离d ＝|a|32＋42＝|a|5.①当直线和圆相交时，d<r ，即|a|5<10，所以－50＜a ＜50；②当直线和圆相切时，d ＝r ，即|a|5＝10，所以a ＝50或a ＝－50；③当直线和圆相离时，d>r ，即|a|5>10，所以a ＜－50或a ＞50.处理直线与圆的位置关系的代数法和几何法，都具有普遍性，都要熟练掌握．由这两种解法可看到，几何法比代数法运算量要小，也比较简单、直观．题型一：直线与圆的相交问题【例1】 过点(－4,0)作直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y －20＝0交于A ，B 两点，如果|AB|＝8，求直线l 的方程．反思：(1)讨论直线与圆的相交问题时，通常情况下不求出交点坐标．利用半径、半弦和弦心距组成的直角三角形，由勾股定理能解决弦长问题．(2)解答本题时易出现漏掉x ＋4＝0的错误结果，导致这种错误的原因是对直线点斜式方程存在的条件理解不透，从而思维不严密，分类不完整．题型二：直线与圆的相切问题【例2】 求经过点(1，－7)且与圆x 2＋y 2＝25相切的直线方程．反思：解决直线与圆的相切问题时，通常利用圆心到切线的距离等于半径来解决．答案：【例1】 解：将圆的方程配方得(x ＋1)2＋(y －2)2＝25，由圆的性质可得，圆心到直线l 的距离d ＝(25)2－⎝⎛⎭⎫822＝3.当l 的斜率不存在时，x ＝－4满足题意．当l 的斜率存在时，设方程为y ＝k (x ＋4)，即kx －y ＋4k ＝0.由点到直线的距离公式，得3＝|－k －2＋4k |1＋k 2，解得k ＝－512.所以直线l 的方程为5x ＋12y ＋20＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋4＝0或5x ＋12y ＋20＝0.【例2】 解：(1)当直线斜率不存在时，其方程为x ＝1，不与圆相切；(2)当直线斜率存在时，设斜率为k ，则切线方程为y ＋7＝k (x －1)，即kx －y －k －7＝0.∴|－k －7|k 2＋(－1)2＝5，解得k ＝43或k ＝－34.∴所求切线方程为y ＋7＝43(x －1)或y ＋7＝－34(x －1)，即4x －3y －25＝0或3x ＋4y ＋25＝0.1．(2011·山东济南一模)若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D ．(x －3)2＋(y －1)2＝1 2．圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0截直线5x －12y ＋c ＝0所得的弦长为8，则c 的值是( ) A ．10 B ．10或－68 C ．5或－34 D ．－683．直线l：3x－4y－5＝0被圆x2＋y2＝5所截得的弦长为__________．4．(2011·北京丰台高三期末)过点(－3,4)且与圆(x－1)2＋(y－1)2＝25相切的直线方程为__________．5．已知一个圆C与y轴相切，圆心C在直线l1：x－3y＝0上，且在直线l2：x－y＝0上截得的弦长为C的方程．答案：1．A 2.B 3.4 4.4x－3y＋24＝05．解：∵圆心C在直线l1：x－3y＝0上，∴可设圆心为C(3t，t)．又∵圆C与y轴相切，∴圆的半径为r＝|3t|.再由弦心距、半径、弦长的一半组成的直角三角形，可得2＋2＝|3t|2，解得t＝±1.∴圆心为(3,1)或(－3，－1)，半径为3.故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.。