《数列的概念》示范公开课教案【高中数学北师大】

§1数列1．1数列的概念●三维目标1．知识与技能理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系．2．过程与方法按照观察、猜想、发现、归纳和总结的学习过程，进行启发式教学，体会归纳思想．3．情感、态度与价值观通过本节课学习，体会数学源于生活，提高数学学习兴趣．●重点难点重点：了解数列的概念，了解数列是一种特殊函数．根据数列的前n项写出它的一个通项公式．难点：将数列作为一种特殊函数去认识，了解数列与函数之间的关系．●教学建议问题/情境设计意图师生活动同学们都知道大自然是美丽的，但如果我说，大自然还是懂数学的，你相信吗？下面，请看图片．师：多媒体课件展示生动丰富的大自然场景：花菜、向日葵、菠萝等，这些事物似乎都与这列数有关：1，1，2，3，5，8，13，21……生：观察图片，投入到教学活动中来．如果细心观察，就会发现自然界的一些看似千差万别的事物，似乎都能在这一列数中找到联系，这是巧合，还是别的什么原因？同学们若感兴趣，想研究它，就需要先来学习我们今天的内容：数列的概念．●教学流程创设问题情境，提出3个问题⇒引导学生解答问题，引出数列的有关概念⇒通过例1及变式训练，使学生进一步认识数列的有关概念⇒通过例2及变式训练，使学生掌握数列的通项公式的求法⇒通过例3及互动探究，让学生掌握利用通项公式确定数列的项的问题⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正小山想利用电子邮箱发送一个E－mail，但是由于长时间未登录邮箱，从而他忘记了邮箱的密码，只记得密码由3～8这6个数字构成，如：(1)3456 78；(2)468735；(3)76538 4.1．这三组数字有什么异同之处？【提示】都是由3～8这6个数字构成，但是排列顺序不同．2．小山把上面3组数当成密码来试验时，都没有打开邮箱，他说：“仅仅知道数字及个数还不能确定密码”．那么，找到密码还需要确定什么？【提示】数字的排列顺序．1．数列的有关概念2.①一般形式：a1，a2，a3，…，a n，…；②字母表示：上面数列也记为{a n}．当n分别取1，2，3，4，…时，sin nπ2的值排成一个数列：1，0，－1，0…；当n分别取1，2，3，4，5时，sin nπ2的值排成一个数列：1，0，－1，0，1.这两个数列是同一数列吗？若不是同一数列，这两个数列有何区别与联系？【提示】不是同一数列．第一个数列有无穷多项，第二个数列共有5项，这5项恰好是第一个数列的前5项．按数列的项数，数列分为有穷数列与无穷数列．(1)项数有限的数列叫作有穷数列；(2)项数无限的数列叫作无穷数列．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．如图：图1－1－1上图表示的数可构成数列1，4，9，16，…，这个数列的第n项a n与n之间能否用一个函数式表示？怎样表示？【提示】可以．函数式可表示为a n＝n2.1．如果数列{a n}的第n项a n与n之间的函数关系可以用一个式子表示成a n ＝f(n)，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式．。

《数列的概念》本节通过6个实例，指出数列实际就是按一定次序排列的一列数，数列中的每一项和它的序号有关，并由此得出通项、首项、有穷数列等概念，进而抽象出数列可以看成是定义在正整数集或其有限子集上的函数。

实际教学时先由教师提供日常生活实例，引导学生通过对实例的分析体会数列的有关概念，再通过对数列的项数与项之间的对应关系的探究，认识数列是一种特殊的函数，最后师生共同通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式。

【知识与能力目标】通过本节学习，让学生理解数列的概念，了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项，对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式。

【过程与方法目标】通过探究、思考、交流、观察、分析等教学方式，充分发挥学生的主体作用，并通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验，大胆猜想，培养学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度。

【情感态度价值观目标】通过对本节的学习，让学生体会数学的科学价值和美学价值，加深学生对数学的理解和认识，激发学生学习数学的兴趣。

【教学重点】理解数列及其有关的概念，了解数列通项公式的意义，会根据数列的前几项写出它的一个通项公式。

【教学难点】根据数列的前几项，归纳出数列的一个通项公式。

电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。

一、导入部分思路1：（情境导入）引导学生阅读章前科学史上的一个真实故事，直观感受数列在科学上的应用价值，体会到小小一列数可真是不简单。

由此点明，本章主要学习有关数列的基本知识，建立等差数列和等比数列两种模型，探索它们的基本数量关系，感受它们的应用，相信你会有更大的收获。

由此进行数列概念的探究，展开新课。

思路2：（直接导入）让学生阅读章前故事后，每人随手写出5个数，教师适时指出，你写的5个数就是一个数列，由此展开新课。

二、研探新知，建构概念探究1.阅读教材P3～P4，完成下列问题。

1．数列的有关概念2.数列的表示。

数列的概念教案教学目标1．通过教学使学生理解数列的概念，了解数列的表示法，能够根据通项公式写出数列的项．2．通过数列定义的归纳概括，初步培养学生的观察、抽象概括能力；渗透函数思想．3．通过有关数列实际应用的介绍，激发学生学习研究数列的积极性．教学重点，难点教学重点是数列的定义的归纳与认识；教学难点是数列与函数的联系与区别．教学用具：电脑，课件（媒体资料），投影仪，幻灯片教学方法：讲授法为主教学过程一．揭示课题今天开始我们研究一个新课题．先举一个生活中的例子：场地上堆放了一些圆钢，最底下的一层有100根，在其上一层（称作第二层）码放了99根，第三层码放了98根，依此类推，问：最多可放多少层？第57层有多少根？从第1层到第57层一共有多少根？我们不能满足于一层层的去数，而是要但求如何去研究，找出一般规律．实际上我们要研究的是这样的一列数（板书）象这样排好队的数就是我们的研究对象——数列．（板书）第三章数列（一）数列的概念二．讲解新课要研究数列先要知道何为数列，即先要给数列下定义，为帮助同学概括出数列的定义，再给出几列数：（幻灯片）①自然数排成一列数：②3个1排成一列：③无数个1排成一列：④的不足近似值，分别近似到排列起来：⑤正整数的倒数排成一列数：⑥函数当依次取时得到一列数：⑦函数当依次取时得到一列数：⑧请学生观察8列数，说明每列数就是一个数列，数列中的每个数都有自己的特定的位置，这样数列就是按一定顺序排成的一列数．（板书）1．数列的定义：按一定次序排成的一列数叫做数列．为表述方便给出几个名称：项，项数，首项（以幻灯片的形式给出）．以上述八个数列为例，让学生练习指出某一个数列的首项是多少，第二项是多少，指出某一个数列的一些项的项数．由此可以看出，给定一个数列，应能够指明第一项是多少，第二项是多少，……，每一项都是确定的，即指明项数，对应的项就确定．所以数列中的每一项与其项数有着对应关系，这与我们学过的函数有密切关系．（板书）2．数列与函数的关系数列可以看作特殊的函数，项数是其自变量，项是项数所对应的函数值，数列的定义域是正整数集，或是正整数集的有限子集．于是我们研究数列就可借用函数的研究方法，用函数的观点看待数列．遇到数学概念不单要下定义，还要给其数学表示，以便研究与交流，下面探讨数列的表示法．（板书）3．数列的表示法数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法．相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用表示第一项，用表示第一项，……，用表示第项，依次写出成为（板书）（1）列举法．（如幻灯片上的例子）简记为．一个函数的直观形式是其图象，我们也可用图形表示一个数列，把它称作图示法．（板书）（2）图示法启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数为横坐标，相应的项为纵坐标，即以为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．有些函数可以用解析式来表示，解析式反映了一个函数的函数值与自变量之间的数量关系，类似地有一些数列的项能用其项数的函数式表示出来，即，这个函数式叫做数列的通项公式．（板书）（3）通项公式法如数列的通项公式为；的通项公式为；的通项公式为；数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．例如，数列的通项公式，则．值得注意的是，正如一个函数未必能用解析式表示一样，不是所有的数列都有通项公式，即便有通项公式，通项公式也未必唯一．除了以上三种表示法，某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式．（板书）（4）递推公式法如前面所举的钢管的例子，第层钢管数与第层钢管数的关系是，再给定，便可依次求出各项．再如数列中，，这个数列就是．像这样，如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系用一个公式来表示，这个公式叫做这个数列的递推公式．递推公式是数列所特有的表示法，它包含两个部分，一是递推关系，一是初始条件，二者缺一不可．可由学生举例，以检验学生是否理解．三．小结1．数列的概念2．数列的四种表示四．作业略。

《数列的概念》课堂教学设计一．教学内容本节内容是人民教育出版社A版教材，必修5第二章第一节第一课时《数列的概念与简单表示方法（一）》，本节可主要讲解数列的描述性和函数性定义，数列的分类，数列的通项公式，而不涉及数列的其他表示方法。

二．学生分析本节面对具有一定分析、理解、推理能力和良好数学学习习惯的普通高中高二学生，已经对函数有了较深的理解。

一般来讲学生会感觉到数学比较枯燥，特别是概念课，这就需要教师在引入概念时一定要勾起学生的兴趣。

另外这节内容和函数知识联系比较紧密，理解数列与函数的联系是本节的一个难点，这种联系不仅能为学生深入理解数列的概念和方法提供条件,而且还能为学生从整体上认识数学、体会数学的思想和方法提供机会。

三．课程标准与教材分析课程标准对数列的叙述非常简洁，在教学中如何有效地实现“提高数学科学素养”、“面向全体学生”、“倡导探究性学习”、“注重与现实生活的联系”的基本理念，是一线教师的努力所在。

关于数列的概念，课程标准的要求层次为了解，这意味着学生要对数列有一个感性的认识，并将数列与函数联系起来，这样可以加深对数列概念的理解，而且有助于运用函数的观点去研究数列，并教学过程中使学生认识数学与现实世界和实际生活的联系，培养和发展学生的数学应用意识。

（二）教材分析数列是高中数学重要内容之一，它的地位作用可以从三个方面来看：(1) 数列起着承前启后的作用．一方面，初中数学的许多内容在解决数列的某些问题中得到了充分运用，数列与前面学习的函数等知识有密切的联系；可以加深学生对函数概念的认识，使他们了解不仅可以有自变量连续变化的函数，还可以有自变量离散变化的函数。

(2) 数列是培养学生数学能力的良好题材，学习数列，要经常观察、分析、归纳、猜想、迭代的思想，还要综合运用前面的知识解决数列中的一些问题，这些都有助于学生数学能力的提高。

(3) 数列有着广泛的实际应用．如堆放物品总数的计算要用到数列的前n项和公式；又如产品规格的设计的某些问题要用到等比数列的原理；再如储蓄、分期付款的有关计算也要用数列的一些知识。

《数列的概念》教案9（北师大版必修5）第十二讲数列的概念一．知识归纳1.数列的有关概念（1）数列：按照一定次序排列的一列数。

数列是有序的。

数列是定义在自然数N*或它的有限子集{1,2,3,...,n}上的函数。

（2）通项公式：数列的第n项an与n之间的函数关系用一个公式来表示，这个公式即是该数列的通项公式。

（3）递推公式：已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与他的前一项an-1（或前几项）可以用一个公式来表示，这个公式即是该数列的递推公式。

2．数列的表示方法（1）列举法：如1，3，5，7，9，...（2）图象法：用（n, an）孤立点表示。

（3）解析法：用通项公式表示。

（4）递推法。

3．数列的分类4．数列{an}及前n项和之间的关系:二．例题讲解例1根据下面数列的前几项，写出数列的通项公式。

（1）3，5，9，17，33;（2）-2/3，4/15，-6/35，8/63，-10/99;（3）0，1，0，1，...;(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,....解：（1）（2）（3）（4）点评：1.遇到该类题型，一要观察仔细，全面，二要灵活，有时必须对式子进行变形，化简才能得到规律。

2．熟记一些常见数列的通项公式：如{n}，{n2}，幂数列{2n},{3n},符号数列{(-1)n}。

3．并非任何数列均有通项公式，而且有些有通项公式的数列其通项公式不唯一。

4．变形、联想、转化是由已知认识未知，将未知转化为已知的重要思维方法。

变式：写出下面数列的通项公式，使得它的前前四项是下列各数：（1）1，3，6，10（2）11，103，1005，10007(3) 5,55,555,5555答案：1）； 2）； 3）例2 已知下面数列的前n项和Sn, 求数列{an}的通项公式。

（1）Sn=3n2-2n（2）Sn=3n+1解：（1）当n=1时，a1=S1=1当n≥2时an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5由当n=1时， a1=1,故数列通项公式是an=6n-5。

数列的概念【考点透视】一、考纲指要1．理解数列的概念，了解数列通项公式的意义.二、命题落点1．能合理地由数列前几项写出通项公式；如例1，例3；2．掌握n 项和n S 与通项n a 的重要关系：11,1,, 2.n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩如例2，练习5.【典例精析】例1．（2005•湖南）已知数列}{n a 满足)(133,0*11N n a a a a n n n ∈+-==+，则20a =（ ）A ．0B ．3-C ．3D ．23解析：由a1=0,).(1331++∈+-=N n a a a n n n 得a2=－⋅⋅⋅⋅⋅⋅==,0,3,343a a 由此可知: 数列{an}是周期变化的,且三个一循环,所以可得:a20=a2=－.3答案：B ．例2:（2005•上海）用n 个不同的实数n a a a ,,,21 可得到!n 个不同的排列，每个排列为一行写成一个!n 行的数阵。

对第i 行in i i a a a ,,,21 ，记in n i i i i na a a a b )1(....32321-++-+-=，!,,3,2,1n i =．例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，2412312212621-=⨯-⨯+-=+++b b b ，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，12021b b b +++ =________.解析：在用1，2，3，4，5形成的数阵中，每一列各数之和都是360，答案：1080-.例 3.(2005•湖南)自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用xn 表示某鱼群在第n 年年初的总量，n ∈N*，且x1＞0.不考虑其它因素，设在第n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn 成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a ，123123123123123123b，C．（1）求xn+1与xn的关系式；（2）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）（3）设a＝2，b＝1，为保证对任意x1∈（0,2），都有xn＞0，n∈N*，则捕捞强度b的最大允许值是多少？证明你的结论.解析：（1）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为（2）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1， n∈N*，从而由（*）式得因为x1>0，所以a>B．猜测：当且仅当a>b，且c ba x -=1时，每年年初鱼群的总量保持不变.（3）若b的值使得xn>0，n∈N*．由xn+1=xn(3－b－xn), n∈N*, 知0<xn<3－b, n∈N*, 特别地，有0<x1<3－B．即0<b<3－x1. 而x1∈(0, 2)，所以]1,0(∈b，由此猜测b的最大允许值是1. 下证当x1∈(0, 2) ，b=1时，都有xn ∈(0, 2), n ∈N*．①当n=1时，结论显然成立.②假设当n=k 时结论成立，即xk ∈(0, 2), 则当n=k+1时，xk+1=xk(2－xk)>0.又因为xk+1=xk(2－xk)=－(xk －1)2+1≤1<2, 所以xk+1∈(0, 2)，故当n=k+1时结论也成立.由①、②可知，对于任意的n ∈N*，都有xn ∈(0,2). 综上所述，为保证对任意x1∈(0, 2), 都有xn>0， n ∈N*，则捕捞强度b 的最大允许值是1. 【常见误区】1．第n 项n a 与项数n 之间的对应关系搞错；2．不能正确地应用前n 和公式来求通项公式.【基础演练】1．已知数列{}n a 满足()00111,1n n a a a a a n -==+++≥，则当1n ≥时，n a =（ ）A ．2nB ．()112n n +C ．12n -D ．21n -2．将n2个正数1，2，3，……，n2填入使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n 阶幻方，记f(n)为n 阶幻 方对角线的和，如右图就是一个3阶幻方，可 知f(3)=15，则f(4)=（ ）A ．32B ．33C ．34D ．353．一个正整数数表如下（表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍）：则第9行中的第4个数是 （ ）A ．132B ．255C ．259D ．2604．如果()f a b +()()f a f b =⋅且(1)2f =,则=++++)2005()2006()5()6()3()4()1()2(f f f f f f f f（ ）A ．2006B ．2005C ．2004D ．10035．(2004•江苏) 设数列{an}的前n 项和为Sn ，Sn=2)13(1-n a (对于所有n ≥1)，且454a =，则1a 的数值是____________.6．已知数列{}n a，n a =()n N +∈且数列{}n a 的前n 项和9n S =，那么n 的值为 ．7．设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+-≤>>n nx y y x 300所表示的平面区域为Dn ，记Dn 内的整点个数*).(N n a n ∈（整点即横坐标和纵坐标均为整数的点）．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）记数列}{n a 的前n 项和为Sn ，且123-⋅=n nn S T .若对于一切的正整数n ，总有m T n ≤，求实数m 的取值范围．8．（2002•上海）已知函数f （x ）＝abx 的图象过点A（4，41）和B （5，1）（1）求函数f （x ）的解析式；（2）记an ＝log2f （n ），n 是正整数，Sn 是数列｛an ｝的前n 项和，解关于n 的不等式anSn≤0；（3）对于（2）中的an 与Sn ，整数96是否为数列｛anSn ｝中的项?若是，则求出相应的项数；若不是，则说明理由.9．（2002•上海春）某公司全年的纯利润为b 元，其中一部分作为奖金发给n 位职工.奖金分配方案如下：首先将职工按工作业绩（工作业绩均不相同）从大到小.由1至n 排序，第1位职工得奖金a b元，然后再将余额除以n 发给第2位职工，按此方法将奖金逐一发给每位职工.并将最后剩余部分作为公司发展基金.（1）设ak （1≤k ≤n ）为第k 位职工所得奖金额，试求a2、a3，并用k 、n 和b 表示ak ；（不必证明）（2）证明ak ＞ak ＋1（k ＝1，2，…，n －1），并解释此不等式关于分配原则的实际意义；（3）发展基金与n 和b 有关，记为Pn （b ）．对常数b ，当n 变化时，求∞→n lim Pn （b ）．。

可编辑修改精选全文完整版《数列的概念》教学设计 【知识与能力目标】 了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；理解数列的前n 项和与n a 的关系【过程与方法目标】经历数列知识的感受及理解运用的过程。

【情感态度价值观目标】通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。

【教学重点】 根据数列的递推公式写出数列的前几项【教学难点】理解递推公式与通项公式的关系Ⅰ.课题导入数列的概念 问题： 1.国际象棋的传说：每格棋盘上的麦粒数排成一列数；2. 古语：一尺之棰，日取其半，万世不竭.每日所取棰长排成一列数；3. 童谣：一只青蛙，一张嘴 ，两只眼睛，四条腿； 两只青蛙， 两张嘴 ，四只眼睛，八条腿； 三 只青蛙，三张嘴 ，六只眼睛， 十二条腿；◆教学目标◆教学重难点◆教学过程4.中国体育代表团参加六届奥运会获得的金牌数依次排成一列数。

教师：以上四个问题中的数蕴涵着四列数。

学生：1：1、2、22、23 (263)2一列数：3：4：15，5，16，16，28，32如上几列数的共同特点是什么？教师：引导学生思考这四列数具有的共同特征，然后让学生抓住数列的特征，归纳得出等比数列概念。

学生：分组讨论，可能会有不同的答案：前数和后数的差符合一定规律；这些数都是按照一定顺序排列的…只要合理教师就要给予肯定。

教师引导归纳出：⒈数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列。

注意：（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项.3. 数列的一般形式：n a a a ,,,21 ，表示法{}n a4. 数列的表示方法（1）通项公式法如果数列{an}的第n 项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。

数列一、教学目标：1、知识与技能（1）、理解数列及其有关概念，了解数列与函数之间的关系（2）、了解数列的通项公式，并会用数列的通项公式写出数列的任意一项。

（3）、会根据数列的前几项写出它的一个通项公式2、过程与方法（1）、通过实例，引入数列的概念（2）、通过对一列数的观察、分析、归纳，写出符合条件的一个通项公式3、情感、态度与价值观（1）、培养学生的观察能力和抽象概括能力，逐步培养学生善于思考和解决问题的能力（2）、调动学生的积极情感，主动参与学习。

二、教学重点：数列的有关概念，通项公式及其应用三、教学难点：根据数列的前几项写出它的一个通项公式四、创造情景，引入新课有一种优良品种的兔子，每对小兔出生后第三个月开始有生殖能力，以后每月可再生一对小兔.从一对刚出生的小兔算起，到第6个月共有多少对兔子？(假定在不发生死亡的情况下)1，1，2，3，5，8，13，21，34，....数列概貌：数列是一种特殊的函数，是一种重要的数学模型，有广泛的实际应用.如:银行利率、人口增长等；同时数列起着承前启后的作用，是高中数学中的经典内容，本章主要学习数列的一些基础知识及其简单应用.数列还是培养我们思维能力的良好题材，通过对它的学习可以使不聪明的同学聪明起来，聪明的同学更聪明！猜一猜：例1：观察下面各列数的特点，用适当的数填空：1、 21-22 ，31-32 ，41-42（ ），…；2、 1，－1，1，－1, ( )，－1，…；3、 211-⨯ ， 321⨯ ，431-⨯ （ ），…； 4、 2，5，10，17，( )，37.数列定义：*按一定次序排列的一列数叫做数列 .如：1,3，5,7,9,11，...3,1,5,7,9,11，......,...,,,,,4321n a a a a a 简记{}n a ，其中n a 是数列的第n 项。

数列中的每一个数都叫做这个数列的项。

各项依次叫做第1项（首项），第2项，.....，第n 项辩一辩：1、{}n n a a 与的区别。

课题：数列的概念（1课时）1．教学目标（1）通过实例，引入数列概念，理解数列的有序性，感受数列是刻画自然规律的数学模型，了解数列的几种分类；（2）了解数列是一种特殊的函数。

体会数列之间的变量依赖关系，了解数列与函数之间的关系；（3）培养学生观察归纳，类比推理的能力。

2．学生学情分析高一学生已经具有一定的理性分析能力和概括能力，对数列的知识有了初步的接触和认识，有通过数列前几项求通项公式的基础，对数学公式的运用已具备一定的技能，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数、方程思想体会逐渐深刻。

思维正从属于经验性的逻辑思维向抽象思维发展，但仍需要依赖一定的具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系，同时思维的严密性还有待加强，对数列还错误的停留在“按规律”排列的表象认识，3教学重、难点教学重点：理解数列的概念，感受数列是刻画自然规律的数学模型及其广泛应用．初步感知整章所涉及的数列模型，激发学生学习兴趣教学难点：体会研究数列的方法．用函数的观点认识数列，了解函数与数列之间的联系和区别。

教学过程1．情景引入，理解数列引言：今天我们将进入新一章的学习，今天的第一站让我们从一段密码开始：播放《达芬奇密码》电影探长破译斐波拉契数列密码片段，提出了这样的问题：问题1：“电影达芬奇密码中有这样一段情节：卢浮宫馆长索尼埃被杀时留下了一段密码和信息，你能从短片中看出探长破译后的明文和原来的密码之间有什么关联吗？问题2：探长发现索尼埃留下的密码其实就是打乱了顺序的斐波拉契数列，从而得到启示将下面的英文字母重新进行组合找到了谜底。

以上过程反映了既便是相同的数字按照不同的先后顺序排列也会有不同的意义，这正是我们本章要研究的主题：数列【设计意图】此环节这样设计的直接作用是激发了学生的学习兴趣，同时结合章引言中出现的斐波拉契数列引出了本章要研究的主题——数列，但更深层次的用意是让学生认识到数字不同排列顺序产生不同信息，这是我们研究数列的本质原因。

北师大版高中数学必修5第一章《数列》全部教案第一课时 1.1.1数列的概念一、教学目标1、知识与技能：（1）理解数列及其有关概念；（2）了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；（3）对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式。

2、过程与方法：（1）采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学；（2）发挥学生的主体作用，作好探究性学习；（3）理论联系实际，激发学生的学习积极性。

3、情感态度与价值观：（1）.通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验.理论联系实际，激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的辩证唯物主义观点；（2）.通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣.二、教学重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用.教学难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式.三、教学方法：探究、交流、实验、观察、分析四、教学过程（一）、揭示课题:今天开始我们研究一个新课题．先举一个生活中的例子：场地上堆放了一些圆钢，最底下的一层有100根，在其上一层（称作第二层）码放了99根，第三层码放了98根，依此类推，问：最多可放多少层？第57层有多少根？从第1层到第57层一共有多少根？我们不能满足于一层层的去数，而是要但求如何去研究，找出一般规律．实际上我们要研究的是这样的一列数象这样排好队的数就是我们的研究对象——数列．（二）、推进新课［合作探究］折纸问题师请同学们想一想，一张纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一张纸试试(学生们兴趣一定很浓).生一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了.师你知道这是为什么吗？我们设纸原来的厚度为1长度单位，面积为1面积单位，随依次折的次数，它的厚度和每层纸的面积依次怎样？生 随着对折数厚度依次为:2，4，8，16，…，256，…；① 随着对折数面积依次为21,41 ,81 ,161 ,…,2561 ,…. 生 对折8次以后，纸的厚度为原来的256倍，其面积为原来的分 1[]256式，再折下去太困难了.师 说得很好，随数学水平的提高，我们的思维会更加理性化.请同学们观察上面我们列出的这一列一列的数，看它们有何共同特点？生 均是一列数.生 还有一定次序.师 它们的共同特点：都是有一定次序的一列数. ［教师精讲］ 1.数列的定义：按一定顺序排列着的一列数叫做数列.注意：（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，…，第n 项，….同学们能举例说明吗？生 例如，上述例子均是数列，其中①中，“2”是这个数列的第1项(或首项)，“16”是这个数列中的第4项.为表述方便给出几个名称：项--------数列中的每一个数叫做这个数列的项. 首项-------其中数列的第一项也称首项.通项-------数列的第n 项叫数列的通项．以上述两个数列为例，让学生练习指出某一个数列的首项是多少，第二项是多少，指出某一个数列的一些项的项数．由此可以看出，给定一个数列，应能够指明第一项是多少，第二项是多少，……，每一项都是确定的，即指明项数，对应的项就确定．所以数列中的每一项与其项数有着对应关系，这与我们学过的函数有密切关系． 3.数列的分类：1)根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列.无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列.2)根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列.递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列.常数数列：各项相等的数列.摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.请同学们观察：课本的六组数列，哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列？ 生 这六组数列分别是(1)递增数列，(2)递增数列，(3)常数数列，(4)递减数列，(5)摆动数列，(6)1.递增数列，2.递减数列.4、通项公式法:如数列的通项公式为 ；的通项公式为 ； 的通项公式为 ；数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．例如，数列 的通项公式 ，则 ． 值得注意的是，正如一个函数未必能用解析式表示一样，不是所有的数列都有通项公式，即便有通项公式，通项公式也未必唯一． ［知识拓展］师 你能说出上述数列①中的256是这数列的第多少项？能否写出它的第n 项？ 生 256是这数列的第8项，我能写出它的第n 项，应为a n =2n . ［例题剖析］例1.根据下面数列{a n }的通项公式，写出前5项：(1)a n =1 n n ;(2)a n =(-1)n ·n . 师 由通项公式定义可知，只要将通项公式中n 依次取1，2，3，4，5，即可得到数列的前5项.生 解：(1)n =1,2,3,4,5.a 1=21;a 2=32;a 3=43;a 4=54;a 5=65. (2)n =1,2,3,4,5.a 1=-1;a 2=2;a 3=-3;a 4=4;a 5=-5.师 好！就这样解.例2.根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)3，5，7，9，11，…；(2)32，154，356，638，9910，…； (3)0，1，0，1，0，1，…；(4)1，3，3，5，5，7，7，9，9，…；(5)2，-6，12，-20，30，-42，….师 这里只给出数列的前几项的值，哪位同学能写出这些数列的一个通项公式？(给学生一定的思考时间)生老师，我写好了！解：(1)a n ＝2n ＋1；(2)a n ＝)12)(12(2+-n n n ；(3)a n ＝2)1(1n -+； (4)将数列变形为1＋0，2＋1，3＋0，4＋1，5＋0，6＋1，7＋0，8＋1，…，∴a n ＝n ＋2)1(1n-+；(5)将数列变形为1×2，-2×3，3×4，-4×5，5×6，…，∴a n ＝(-1)n +1n (n ＋1). 师 完全正确！这是由“数”给出数列的“式”的例子，解决的关键是要找出这列数呈现出的规律性的东西，然后再通过归纳写出这个数列的通项公式.（三）、学生课堂练习：课本本节练习1、2、3、4补充题：已知数列{a n }的通项公式是a n =2n 2-n ，那么( ) A .30是数列{a n }的一项B .44是数列{a n }的一项 C.66是数列{a n }的一项 D .90是数列{a n }的一项分析：注意到30，44，66，90均比较小，可以写出这个数列的前几项，如果这前几项中出现了这四个数中的某一个，则问题就可以解决了.若出现的数比较大，还可以用解方程求正整数解的方法加以解决.答案：C点评：看一个数A 是不是数列{a n }中的某一项，实质上就是看能不能找出一个非零自然数n ，使得a n =A .（四）、课堂小结：对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n 项求一些简单数列的通项公式。

第三章数列一、知识网络：二、高考考纲要求：(1)理解函数的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．(2)掌握等差数列与等比数列的概念、通项公式、前n项和公式，并能够运用这些知识解决一些问题．(3)有些应用问题可以转化为数列问题来解决，应掌握解决数列应用问题的方法．数列与函数、数列与不等式在应用题和综合题中常常出现，通过综合题的训练，提高等价转化能力及思维的灵活性，深刻领会化归及函数和方程的思想．三、2008年高考命题展望：在试验教材中，近10年高考试题内容，数列部分约占8％．命题总的趋势是“稳中有变〞．等差、等比数列的定义、通项公式以及等差、等比数列的性质一直是考查的重点．这方面的考题多以选择题、填空题出现，突出“小、巧、活〞的特点．解答题中以中等难度的综合题为主，涉及函数、方程、不等式等重要内容．试题表达了函数与方程、等价转化、分类讨论等重要的数学思想及待定系数法、配方法、换元法、消元法等基本的数学方法．可以预测在今后的高考中，仍将以等差数列、等比数列的基本问题为主，突出重要思想方法的考查．为了考查学生的创新能力，主观题应是以考查数列与函数、数列与方程、数列与不等式、数列(点列)与解析几何等知识的综合，通过类似题目，更有效地测试考生对数学思想方法和理解深度，尤其是通过探索性的问题，测试考生的潜能和创新意识．测试考生应用数学知识和方法去解决实际问题的能力．数列的概念上课时间：教学目标：理解数列的概念，能用函数的观点认识数列；了解数列的通项公式和递推公式的意义，会根据数列的通项公式写出数列的任意一项；知道递推公式是给出数.专业..专业.列的一种重要方法，会根据数列的递推公式写出数列的前几项．教学重点：数列的概念及数列的通项公式。

教学难点：根据数列的前几项写出数列的一个通项公式和根据递推关系求通项公式。

教学方法：讲练结合 [自主梳理] 1． 数列的概念（1） 定义 （2） {}n a 与an关系（3） 项与项数的关系 〔4〕通项公式：2． 数列的分类：ⅠⅡ3．数列的表示方法： 、 、 、[点击双基]1．对于数列{}n a ，有以下五个结论：①它是一个集合；②它不能有相等的项；③它的图象是一列孤立的点；④它有唯一的通项公式；⑤当n =1时n n S a =，当n ≥2时，1--=n n n S S a 其中正确的结论的序号是 .2． 2，2，6，…的一个通项公式是，从而26是它的第 项． 3．数列{}n a 的通项公式为)3()1(+-=n a n n ,那么这个数列的前5项是 ，－24是这个数列的第 项4．在数列{}n a 中，2832--=n n a n ，画出这个数列的图象。

《数列的概念》教案12（北师大版必修5）第二课时典例剖析题型一由数列的递推关系，求数列的项例1、设数列满足写出这个数列的前五项。

题型二由数列的递推关系，求数列通项公式【例2】已知数列｛an｝的递推公式是an＋2＝3an＋1－2an，且a1＝1，a2＝3，求数列的前5项，并推测数列｛an｝的通项公式.备选题【例3】设，其中为数列的前项和，已知数列的前项和，求该数列的通项公式。

点击双基1．已知an+1=an+3，则数列{an}是（）A.递增数列B.递减数列C.常数列D.摆动数列2．已知数列{an}满足a1=，且an+1=an,则数列（）A. B.C. D.3．数列1，3，6，10，15，......的递推公式是（）A.B.C.D.4．设凸n边形的对角线条数为f(n)，则f(n+1)=______(用f(n)表示).5．根据数列＝3, ＝2－1 (n∈N).的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式课外作业一选择题1．已知，则数列是（）A．递增数列B．递减数列C．常数列D．不能确定2．数列中，，，，则为（）A．－3B．－11C．－5D．193．正偶数数列 2，4，6，8，10...的递推公式是（）A．B．C．D．4．已知数列{an}的首项，a1=1,且an=2an－1+1(n≥2),则a5为（）A.7B.15C.30D.315．若数列{an}满足a1=, an=1－,n≥2，n∈N*,则a2010等于（）A. B.－1 C.2D.16．已知中，，则等于（）A．B．C．D．7、在数列中，等于（）ABCD8、以下四个数中,是数列{n(n+1)}中的一项的是( )A.23B.32C.39D.380二填空题9、数列{an}的前n项和Sn=n2+2n+5,则a6+a7+a8=______________________.10、已知数列{an}的递推公式为n∈N*,那么数列{an}的通项公式为______.11、已知数列｛an｝的递推公式是an＋2＝3an＋1－2an，且a1＝1，a2＝3，则a5=三、解答12、已知数列的前n项和为，求数列的通项公式。

第二课时 数列的概念——热点考点题型探析一、复习目标：1、理解数列的概念和几种简单表示方法；掌握数列的通项公式的求法；2、应用数列的有关概念和函数的性质.判断单调性、求数列通项的最值等。

二、重难点：正确理解数列的概念，掌握数列通项公式的一般求法。

三、教学方法：讲练结合，探析归纳，强化运用。

四、教学过程：（一）、热点考点题型探析 考点1 数列的通项公式题型1 已知数列的前几项，求通项公式 【例1】求下列数列的一个通项公式：⑴,,33,17,9,5,3⑵,,0,71,0,51,0,31,0,1 --⑶,,9910,638,356,154,32⑷,,21,15,10,6,3,1【解题思路】写出数列的通项公式，应注意观察数列中n a 和n 的联系与变化情况，应特别注意：自然数列、正奇数列、正偶数列，n )1(-和相关数列，等差、等比数列，以及由它们组成的数列，从中找出规律性，并分别写出通项公式.【解析】⑴联想数列,,32,16,8,4,2 即数列{}n 2，可得数列的通项公式12+=n n a ；⑵将原数列改写为,,80,71,60,51,40,31,20,11 --分母分别为,,5,4,3,2,1 分子分别为,,1,0,1,0,1 呈周期性变化，可以用2sin πn ，或2)1(cos π-n ，或21)1(1+--n 表示.nn a n 2sin π=（或nn a n π21cos-=，或na n n 21)1(1+-=-）⑶分子为正偶数列，分母为,,119,97,75,53,31 ⨯⨯⨯⨯⨯得)12)(12(2+-=n n na n⑷观察数列可知：,,4321,321,21,14321 +++=++=+==a a a a 本题也可以利用关系式n a a n n =--1求解.【反思归纳】⑴联想和转换是由已知认识未知的两种有效的思维方法.⑵求数列的通项公式，应运用观察、分析、归纳、验证的方法.易错之处在于每个数列由前几项找规律不准确，以及观察、分析、归纳、验证这四个环节做的不够多，应注意对每一数列认真找出规律和验证.题型2 已知数列的前n 项和，求通项公式【例2】已知下列数列{}n a 的前n 项和n S ，分别求它们的通项公式n a .⑴n n S n 322+=； ⑵13+=n n S .【解题思路】利用⎩⎨⎧≥-==-)2()111n S S n S a n nn （，这是求数列通项的一个重要公式.【解析】⑴当1=n 时，51312211=⨯+⨯==S a ，当2≥n 时，[])1(3)1(2)32(221-+--+=-=-n n n n S S a n n n 14+=n . 当1=n 时，15114a ==+⨯，14+=∴n a n .⑵当1=n 时，41311=+==S a ，当2≥n 时，11132)13()13(---⨯=+-+=-=n n n n n n S S a . 当1=n 时，111232a ≠=⨯-，⎩⎨⎧≥⨯==∴-)2(32)1(41n n a n n . 【反思归纳】任何一个数列，它的前n 项和n S 与通项n a 都存在关系：⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n 若1a 适合n a ，则把它们统一起来，否则就用分段函数表示.题型3 已知数列的递推式，求通项公式 【例3】数列{}n a 中，)2(22,1111≥+==--n a a a a n n n ，求5432,,,a a a a ，并归纳出n a .【解题思路】已知{}n a 的递推公式)(1-=n n a f a 求前几项，可逐步计算. 【解析】 )2(22,1111≥+==--n a a a a n n n ，∴3222112=+=a a a ，4222223=+=a a a ，5222334=+=a a a ，6222445=+=a a a ，由 ,62,52,42,32,22，可以归纳出12+=n a n . 【反思归纳】由递推公式求通项，可以考虑“归纳—猜想—证明”的方法，也可以构造新数列.考点2 与数列的通项公式有关的综合问题题型1 已知数列通项公式，求项数及最大（最小）项【例4】数列{}n a 中，452+-=n n a n .⑴18是数列中的第几项？⑵n 为何值时，n a 有最小值？并求最小值.【解题思路】数列的通项n a 与n 之间构成二次函数，可结合二次函数知识去探求.【解析】⑴由0145184522=--⇒=+-n n n n ，解得7=n ，∴18是数列中的第7项. ⑵49)25(4522--=+-=n n n a n ，+∈N n ∴2=n 或3=n 时，25242)(2min -=+⨯-=n a .【反思归纳】利用二次函数知识解决数列问题时，必须注意其定义域n 为正整数.题型2 已知数列通项公式，判断数列单调性及有界性 【例5】数列{}n a 中，122+=n n a n .⑴求数列{}n a 的最小项；⑵判断数列{}n a 是否有界，并说明理由.【解题思路】⑴转化为判断数列的单调性，即证1+<n n a a ，或1+>n n a a ；⑵从“数列的有界性”定义入手.【解析】⑴ 11)1()1(22221+-+++=-+n n n n a a n n∴1+<n n a a ，∴数列{}n a 是递增数列，数列{}n a 的最小项为211=a . ⑵ 1111222<+-=+=n n n a n ，∴数列{}n a 有界. 【反思归纳】数列是特殊的函数，判断函数的单调性、有界性的方法同样适用于数列.（二）、强化巩固练习：1、数列{}n a 中，12832+-=n n a n ，求n a 取最小值时n 的值.【解析】31933143128322-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=n n n a n ，∴5=n 时，n a 取最小值. 2、数列{}n a 中，22+-=n n a n ，求数列{}n a 的最大项和最小项.【解析】12)1(1222)(122221<++++++=+-++-+=+n n n n n n n n a a n n ， 又 022<+-=n n a n ，∴1+<n n a a ，数列{}n a 是递增数列∴数列{}n a 的最小项为311-=a ，没有最大项.3、数列{}n a 中，12,111+==+n n a a a ，求5432,,,a a a a ，并归纳出n a . 【解析】 12,111+==+n n a a a∴31212=+=a a ，71223=+=a a ，151234=+=a a ，311245=+=a a由 ,1231,1215,127,123,12154321-=-=-=-=-=，可以归纳出12+=n a n 4、设数列{}n a 的第n 项n a 是二次函数，35,15,5321===a a a ，求4a .【解析】设c bn an a n ++=2，由5,5,5353915245=-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++c b a c b a c b a c b a∴5552+-=n n a n ，655454524=+⨯-⨯=a .（三）、小结：本课主要探析了两个考点，五种题型，学生自我反思，教师引导抓住重点题目，回顾总结方法，进一步深化理解。

讲义13 数列的概念一、基本知识体系：1、 数列：是特殊的函数，是建立在N*或N*的子集上的函数，所以，处理数列问题时，要注意运用函数的有关性质。

2、 数列的通项公式：数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的一个函数关系表达式。

3、 求数列的通项公式： ①、Sn 与a n 之间的相互转化：a n =1(1)(2)n S n S n =⎧⎨≥⎩当时当时要特别注意讨论n=1的情况。

②、由数列的递推关系式去求通项公式：〔1〕、形如a n+1= a n +ƒ〔n)时⇒常用累加法去解决：例如在数列{a n }中，a 1=1； a n+1= a n +2n ； 〔答案为a n =2n-1);〔2〕、形如a n+1=ƒ〔n)·a n 时⇒常用累乘法去解决：例如在数列{a n }中，a 1=4； a n+1=n+2na n ；〔答案为 a n =2n(n+1)；〔3〕、形如a n+1= c· a n +d 〔c 、d 为常数时〕⇒常构造转化为一个等比数列去解决：如在数列{a n }中，a 1=3；a n+1=2a n +1； 〔答案为a n =2n+1-1);〔4〕、形如a n+1= p·a n r(p 、r 为常数时〕⇒常用两边取对数的方法去解决：例如在数列{a n }中，a 1=3； a n+1=3a n 2； 〔答案为a n =231n-);二、典例剖析：★[题1]数列}{n a 满足)(133,0*11N n a a a a n n n ∈+-==+，那么20a =〔〕A ．0B ．3-C ．3D ．23●[解析]:由a 1=0,).(1331++∈+-=N n a a a n n n 得a 2=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅==,0,3,343a a 由此可知: 数列{a n }是周期变化的,且三个一循环,所以可得:a 20=a 2=-.3应选B.★[题2]在数列{}n a 中，假设11a =，12(1)n n a a n +=+≥，那么该数列的通项n a = 2n-1 。