高中数学 必修五 数列 全套教案(知识讲解+经典例题+巩固练习+答案)

高中人教版数学必修五教案教学目标：1. 理解数列和数列的定义；2. 掌握数列的通项公式和递推公式；3. 能够根据数列的性质进行问题求解；4. 掌握常数项数列、等差数列、等比数列的相关概念和性质。

教学重点：1. 数列的定义和概念理解；2. 数列的通项公式和递推公式的应用；3. 常数项数列、等差数列、等比数列的性质和求解方法。

教学难点：1. 能够灵活运用数列的公式解决具体问题；2. 掌握不同类型数列的特点和求解方法。

教学过程：第一课时：数列的定义和概念1. 引入数列的概念，让学生了解数列的定义；2. 通过具体案例，让学生理解数列的基本特点和规律；3. 练习一些简单的数列题目，让学生熟悉数列的表示方法。

第二课时：数列的通项公式和递推公式1. 讲解数列的通项公式和递推公式的概念；2. 通过实例演练，让学生掌握数列的通项公式和递推公式的求解方法；3. 练习一些相关题目，让学生熟练应用数列的公式。

第三课时：常数项数列、等差数列、等比数列1. 分别介绍常数项数列、等差数列、等比数列的概念和特点；2. 通过实例讲解，让学生掌握常数项数列、等差数列、等比数列的求解方法；3. 练习一些综合性题目，让学生灵活应用不同类型数列的求解方法。

课堂练习：1. 由前几项写出数列的通项公式：1, 4, 9, 16, ...2. 求解等差数列中第n项的公式，并计算第10项是多少：2, 5, 8, 11, ...3. 计算等比数列中的比值和首项，给出通项公式，并计算第5项是多少：3, 6, 12, 24, ... 教学反思：本节课主要围绕数列的基本概念展开，并以常数项数列、等差数列、等比数列为例，让学生了解不同数列的性质和求解方法。

在教学过程中，通过实例演练和课堂练习，让学生掌握数列的基本概念和相关公式的使用方法，提高他们的解题能力和应用能力。

同时，教师要引导学生积极思考，灵活运用数列的知识解决实际问题，提高他们的数学思维能力和创新能力。

高中数学必修5《数列的概念与简单表示法》教案教学准备
教学目标
理解数列的概念，掌握数列的运用
教学重难点
理解数列的概念，掌握数列的运用
教学过程
【知识点精讲】
1、数列：按照一定次序排列的一列数(与顺序有关)
2、通项公式：数列的第n项an与n之间的函数关系用一个公式来表示an=f(n)。

(通项公式不唯一)
3、数列的表示:
(1) 列举法:如1,3,5,7,9……;
(2) 图解法:由(n,an)点构成;
(3) 解析法:用通项公式表示,如an=2n+1
(4) 递推法:用前n项的值与它相邻的项之间的关系表示各项,如a1=1,an=1+2an-1
4、数列分类：有穷数列，无穷数列;递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列;有界数列，无界数列
5、任意数列{an}的前n项和的性质
[点评]数列问题转化为解方程和不等式问题，注意正整数解
例4、有一数列{an}，a1=a，由递推公式an+1=，写出这个数列的前4项，并根据前4项观察规律，写该数列的一个通项公式。

详见优化设计P37典例剖析之例2，解答过程略。

(理科班学生可要求通项公式的推导：倒数法)
变式：在数列{an}，a1=1，an+1=，求an。

详见优化设计P37典例剖析之例1，解答过程略。

[点评]对递推公式，要求写出前几项，并猜想其通项公式，此外了解常用的处理办法，如：迭加、迭代、迭乘及变形后结合等差(比)数列公式，也很必要。

m n a a d n a a d d n a a d m n a a d n a a d a a mnn n m n n n n --=--=--=-+=-+==-+1;)1()()1(1111变式：推广：通项公式：递推关系：必修5 数列二、等差数列 知识要点1．数列的通项n a 与前n 项和n S 的关系∑==++++=ni i n n a a a a a S 1321 ⎩⎨⎧≥-==-2111n S S n S a n n n 2．递推关系与通项公式()1(),(),,n n a dn a d a f n kn b k b =+-==+特征：即：为常数(),,n a kn b k b =+为常数⇔数列{}n a 成等差数列．3．等差中项：若c b a ,,成等差数列，则b 叫做c a 与的等差中项，且2ca b +=；c b a ,,是等差数列⇔c a b +=2． 4．前n 项和公式：2)(1n a a S n n +=； 2)1(1dn n na S n -+= 221(),()22n n d dS n a n S f n An Bn =+-==+特征：即2,(,)n S An Bn A B =+为常数⇔数列{}n a 成等差数列．5．等差数列{}n a 的基本性质),,,(*∈N q p n m 其中⑴q p n m a a a a q p n m +=++=+，则若，反之不成立； ⑵d m n a a m n )(-=-； ⑶m n m n n a a a +-+=2；⑷n n n n n S S S S S 232,,--仍成等差数列． 6．判断或证明一个数列是等差数列的方法： ①定义法：()()1n n a a d n N*+-=∈常数 ⇒{}na 是等差数列②中项法：()122n n n a a a n N *++=+∈⇒{}na 是等差数列③通项公式法：(),n a kn bk b =+为常数⇒{}na 是等差数列④前n 项和公式法：()2,n S An BnA B =+为常数⇒{}na 是等差数列【应用一】1．若a ≠ b ，数列a ，x 1，x 2，b 和数列a ，y 1，y 2，y 3，b 都是等差数列，则 =--1212y y x x ( )A ．32B ．43C ．1D ．342. 等差数列{a n }中，若a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=450 ，则前9项和S 9= ( ) A.1620 B.810 C.900 D.6753. 在－1和8之间插入两个数a ，b ，使这四个数成等差数列，则 ( )A. a =2，b =5B. a =－2，b =5C. a =2，b =－5D. a =－2，b =－54. 首项为24-的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d 的取值范围是 ( ) A.d ＞83 B.d ＞3 C.83≤d ＜3 D.83＜d ≤3 5．等差数列}{n a 共有n 2项，其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且3312-=-a a n ，则该数列的公差为 ( )A ．3B ．－3C ．－2D ．－16. 等差数列{a n }中，a 1=－5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下的10项的平均值是4，则抽取的是 ( ) A.a 11B.a 10C.a 9D.a 87. 设函数f (x )满足f (n +1)=2)(2n n f +(n ∈N *)且f (1)=2，则f (20)为 ( ) A. 95B. 97C. 105D. 1928．已知无穷等差数列{a n }，前n 项和S n 中，S 6 <S 7 ，且S 7 >S 8 ，则 ( ) A ．在数列{a n }中a 7 最大B ．在数列{a n }中，a 3 或a 4 最大C ．前三项之和S 3 必与前11项之和S 11 相等D ．当n ≥8时，a n <0 9. 集合{}*6,,且60M m m n n N m ==∈<中所有元素的和等于_________.10、在等差数列{}n a 中，37104118,14.a a a a a +-=-=- 记123n n S a a a a =++++，则13S =_____．11、已知等差数列{}n a 中，79416,1a a a +==，则16a 的值是 ． 12. (1)在等差数列{}n a 中，71,83d a =-=，求n a 和n S ； (2)等差数列{}n a 中，4a =14，前10项和18510=S ．求n a ；13. 一个首项为正数的等差数列{a n }，如果它的前三项之和与前11项之和相等，那么该数列的前多少项和最大?14. 数列{a n }中，18a =，42a =，且满足2120n n n a a a ++-+=， (1)求数列的通项公式；(2)设12||||||n n S a a a =+++，求n S ．15. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n +2S n ·S n －1=0(n ≥2)，a 1=21. (1)求证：{nS 1}是等差数列；(2)求a n 的表达式； (3)若b n =2(1－n )a n (n ≥2)，求证：b 22+b 32+…+b n 2<1.【应用二】1．等差数列{}n a 中，()46810129111120,3a a a a a a a ++++=-则的值为A ．14B ．15C ．16D ．172．等差数列{}n a 中，12910S S a =>，，则前 项的和最大．3．已知等差数列{}n a 的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为 ． 4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知001213123<>=S S a ，，．①求出公差d 的范围；②指出1221S S S ，，， 中哪一个值最大，并说明理由．5、已知等差数列{}n a 中，79412161a a a a +==，，则等于( )A ．15B ．30C ．31D ．646、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，971043014S S S S ，则，=-== ．7、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若=+++=118521221a a a a S ，则 ．8．甲、乙两物体分别从相距70m 的两处同时相向运动，甲第一分钟走2m ，以后每分钟比前一分钟多走1m ，乙每分钟走5m ，①甲、乙开始运动后几分钟相遇? ②如果甲、乙到对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前一分钟多走1m ，乙继续每分钟走5m ，那么，开始运动几分钟后第二次相遇?9．已知数列{}n a 中，，31=a 前n 项和1)1)(1(21-++=n n a n S ． ①求证：数列{}n a 是等差数列； ②求数列{}n a 的通项公式；③设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前n 项和为n T ，是否存在实数M ，使得M T n ≤对一切正整数n 都成立?若存在，求M 的最小值，若不存在，试说明理由．三、等比数列 知识要点1. 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为()0q q ≠，．2. 递推关系与通项公式mn m n n n n n q a a q a a qa a --+⋅=⋅==推广：通项公式：递推关系：111 3. 等比中项：若三个数c b a ,,成等比数列，则称b 为a 与c的等比中项，且b =2b ac =注：是c b a ,,成等比数列的必要不充分条件．4. 前n 项和公式)1(11)1()1(111≠⎪⎩⎪⎨⎧--=--==q q qa a q q a q na S n n n5. 等比数列的基本性质，),,,(*∈N q p n m 其中①q p n m a a a a q p n m ⋅=⋅+=+，则若，反之不成立！ ②)(2*+--∈⋅==N n a a a a a qm n m n n mn mn ， ③{}n a 为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列． ④若项数为()*2n n N∈，则S q S=偶奇．⑤nn m n m S S q S +=+⋅．⑥ ，，，时，n n n n n S S S S S q 2321---≠仍成等比数列． 6. 等差数列与等比数列的转化①{}n a 是等差数列⇔{})10(≠>c c cna ，是等比数列；②{}n a 是正项等比数列⇔{})10(log ≠>c c a n c ，是等差数列；③{}n a 既是等差数列又是等比数列⇔{}n a 是各项不为零的常数列． 7. 等比数列的判定法 ①定义法：()1n na q a +=⇒常数{}n a 为等比数列； ②中项法：()2120n n n n a a a a ++=⋅≠⇒{}n a 为等比数列；③通项公式法：(),nn a k qk q =⋅⇒为常数{}na 为等比数列；④前n 项和法：()()1,nn S k q k q =-⇒为常数{}na 为等比数列．【性质运用】1．4710310()22222n f n +=+++++设 ()()()n N f n *∈，则等于1342222(81)(81)(81)(81)7777n n n n A B C D +++----．．．．2．已知数列{}n a 是等比数列，且===m m m S S S 323010，则， ． 3．在等比数列{}n a 中，143613233+>==+n n a a a a a a ，，． ①求n a ，②若n n n T a a a T 求,lg lg lg 21+++= ．4．{a n }是等比数列，下面四个命题中真命题的个数为 ( )①{a n 2}也是等比数列；②{ca n }(c ≠0)也是等比数列；③{na 1}也是等比数列；④{ln a n }也是等比数列． A ．4 B ．3 C ．2D ．15．等比数列{a n }中，已知a 9 =－2，则此数列前17项之积为 ( ) A ．216B ．－216C ．217D ．－2176．在等比数列{a n }中，如果a 6=6，a 9=9，那么a 3等于 ( )A ．4B ．23 C ．916 D ．27．若两数的等差中项为6，等比中项为5，则以这两数为两根的一元二次方程为 ( )A ．x 2－6x ＋25=0B ．x 2＋12x ＋25=0 C ．x 2＋6x －25=0 D ．x 2－12x ＋25=08．某工厂去年总产a ，计划今后5年内每一年比上一年增长10%，这5年的最后一年该厂的总产值是 ( )A ．1.1 4a B ．1.1 5a C ．1.1 6a D ．(1＋1.1 5)a9．已知各项为正的等比数列的前5项之和为3，前15项之和为39，则该数列的前10项之和为( )A ．32B ．313C ．12D ．1510．某厂2001年12月份产值计划为当年1月份产值的n 倍，则该厂2001年度产值的月平均增长率为 ( )A ．11nB ．11nC ．112-nD ．111-n11．等比数列的前n 项和S n =k ·3n＋1，则k 的值为 ( )A ．全体实数B ．－1C ．1D ．312．在等比数列{a n }中，已知a 1=23，a 4=12，则q =_____ ____，a n =____ ____． 13．在等比数列{a n }中，a n ＞0，且a n ＋2=a n ＋a n ＋1，则该数列的公比q = ___． 14．已知数列满足a 1=1，a n ＋1=2a n ＋1 (n ∈N *)．(1)求证数列{a n ＋1}是等比数列；(2)求{a n }的通项公式．15．在等比数列｛a n｝中，已知对n∈N*，a1＋a2＋…＋a n＝2n－1，求a12＋a22＋…＋a n2．16．在等比数列｛a n｝中，已知S n＝48，S2n＝60，求S3n．17．求和：S n＝1＋3x＋5x2＋7x3＋…＋(2n－1)x n－1 (x≠0)．18．在等比数列｛a n｝中，a1＋a n=66，a2·a n－1=128，且前n项和S n=126，求n及公比q．。

高中数学必修5教案教案：高中数学必修5教案一：数列课时安排：1课时教学目标：1. 认识数列的概念，了解等差数列和等比数列的特点；2. 学习数列的通项公式和求和公式；3. 能够通过已知的前几项求解数列的通项公式和求和公式。

教学内容：1. 数列的概念和表示法；2. 等差数列和等比数列的特点；3. 数列的通项公式和求和公式。

教学步骤：1. 引入数列的概念，说明数列的表示方法；2. 介绍等差数列和等比数列的特点，并通过例题引导学生发现其中的规律；3. 讲解等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，并通过例题演示应用；4. 练习题。

教学方法：1. 通过引入具体的例子和问题，激发学生对数列的兴趣和好奇心；2. 通过示意图和计算过程，详细讲解数列的通项公式和求和公式，加深学生对公式的理解和掌握。

教学资源：1. 教学课件，包含数列的概念、特点、通项公式和求和公式的说明；2. 练习题集，包含了不同难度的练习题。

教学评估：1. 在课堂中给予学生相关概念和公式的解释和运用问题；2. 布置作业，要求学生独立完成一些练习题，检查他们对数列的理解和应用能力。

教案二：三角函数课时安排：2课时教学目标：1. 认识三角函数的概念和基本性质；2. 学习正弦函数和余弦函数的图像及其性质；3. 掌握三角函数的周期性和变换规律；4. 能够解决简单的三角函数方程和不等式问题。

教学内容：1. 三角函数的定义和基本性质；2. 正弦函数和余弦函数的图像及其性质；3. 三角函数的周期性和变换规律；4. 三角函数方程和不等式的解法。

教学步骤：1. 介绍三角函数的概念和定义；2. 讲解正弦函数和余弦函数的图像和性质，引导学生观察和总结规律；3. 教授三角函数的周期性和变换规律，并通过图像演示详细说明；4. 教授三角函数方程和不等式的解法，并通过实例演示应用。

教学方法：1. 通过实际生活中的例子和问题，引入三角函数的概念和定义，提高学生对三角函数的兴趣和理解；2. 通过示意图和计算过程，详细讲解三角函数的图像和性质，加深学生对函数的理解和掌握。

基本练习用四道小题，回忆等差（比）数列的基本公式，概括基本方法。

1、公差为d等差数列{an}中,如果a5=10 ,S3=3,则( )(A) a1= -2,d=3 (B) a1= 2,d= -3(C) a1= -3,d=2 (D) a1= 3,d= -22、已知等比数列的公比为2，且前四项和为1，那么前八项和为（）（A）15 （B）17 （C）19 （D）213、在等差数列{an}中,a3+ a4+a5+a6+a7=45,则, 则它的前9项和S9=( )(A) 36 (B) 45 (C)63 (D)81学生先解答前两道题，老师巡视；个别指导。

3分钟后，老师提问学生不同的解法，强调用基本量解题的普适性。

第3小题，要求学生在1分钟内得出结论，老师提问，点评。

让学生感悟灵活运用公式、性质解题的优势，激发他们深入探究的兴趣。

1、培养学生用基本量解题的意识。

2、简便方法，让学生感悟公式变用之妙，激发学生进一步探究的兴趣。

3、落实等差（比）数列的简单性质。

1、等差数列)rkqp,Nr,k,q,p(aaaarkqp+=+∈+=++2、等比数列)rkqp,Nr,k,q,p(aaaarkqp+=+∈⋅=⋅+12分钟左右深入探究两道例题分别体现等差、等比的综合应用和对公式的深入理解。

例1设{}n a是公差不为0的等差数列，12a=且136,,a a a成等比数列，求{}n a的前n项和nS例2等差数列{}na和{}nb的前n项和分别为nS和nT，且231nnS nT n=+，（1）求55ba的值（2）设)Nn(cbannn+∈=，试求nc的最小值.例1学生在老师引导下分析解题思路，构造出关于公差d方程，计算由学生完成，老师给出答案。

例2老师可以引导学生从n=1,2,3…,寻找规律，进而给出一般性推证。

对于数列单调性的探究方法，可借助例2（2）进行一般性总结。

例1主要引导学生从所求出发分析所需，再根据已知构造方程，求出需要的量。

人教版高中数学必修五数列的应用教案一、数列的基本概念和表示方法数列是数学中重要的概念之一，它在各个领域都有广泛的应用。

本节主要介绍数列的基本概念和表示方法。

1. 数列的定义数列是按一定顺序排列的一列数，可以用通项公式或递推公式来表示。

2. 数列的表示方法数列可以用集合形式、函数形式、数号形式和图形形式等多种方式来表示。

其中，集合形式和函数形式是最常见的表示方法。

二、等差数列的应用等差数列是数列中最简单的一种形式，其特点是每个数与它的前一个数之差都相等。

在实际应用中，等差数列有着广泛的应用。

1. 等差数列的通项公式等差数列的通项公式为：an = a1 + (n - 1)d，其中，an表示数列的第n项，a1表示首项，d表示公差。

2. 等差数列求和公式等差数列的前n项和公式为：Sn = (a1 + an) * n / 2。

3. 等差数列应用举例（1）利用等差数列的概念和公式，解决生活中的实际问题，如求和、平均数等。

（2）在几何图形中，利用等差数列的性质，可以推导出一些重要结论。

三、等比数列的应用等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的一种特殊数列。

在生活和科学研究中，等比数列有着广泛的应用。

1. 等比数列的通项公式等比数列的通项公式为：an = a1 * q^(n-1)，其中，an表示数列的第n项，a1表示首项，q表示公比。

2. 等比数列求和公式等比数列的前n项和公式为：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)。

3. 等比数列应用举例（1）金融领域中的复利计算问题可以用等比数列求解。

（2）在生活中，等比数列常用于解决与倍数关系相关的问题，如考试分数的计算等。

四、斐波那契数列的应用斐波那契数列是指数列中，每个数都是其前两个数之和的一种数列。

在自然界和人文领域中，斐波那契数列都有着广泛的应用。

1. 斐波那契数列的递推公式斐波那契数列的递推公式为：Fn = Fn-1 + Fn-2，其中，F0 = 0，F1 = 1。

高中数学数列教案及答案
教学目标：
1. 了解数列的定义和性质；
2. 掌握数列的通项公式和求和公式的应用；
3. 能够解决数列相关的问题。

教学内容：
1. 数列的定义和分类；
2. 等差数列和等比数列的性质；
3. 数列的通项公式和求和公式。

教学步骤：
1. 引入数列的概念，让学生了解数列是一组按照一定规律排列的数的集合；
2. 讲解等差数列和等比数列的定义和性质；
3. 教授数列的通项公式和求和公式，让学生掌握其应用方法；
4. 练习相关的题目，加深对数列的理解。

教学评估：
1. 布置相关的练习题，考察学生对数列的掌握情况；
2. 进行课堂讨论，提出问题让学生展示解题思路；
3. 采用小测验的方式，检验学生对数列知识的掌握程度。

教学答案范本
1. 求等差数列$1, 4, 7, \ldots$的第$n$项公式。

答：这是一个公差为3的等差数列，通项公式为$a_n = 1 + 3(n-1)$。

2. 求等比数列$2, 6, 18, \ldots$的第$n$项公式。

答：这是一个公比为3的等比数列，通项公式为$a_n = 2 \times 3^{n-1}$。

3. 求等差数列$3, 6, 9, \ldots$前100项的和。

答：首项$a_1 = 3$，末项$a_{100} = 3 + 99 \times 3 = 300$，项数$n = 100$，和为$S_{100} = \frac{n(a_1 + a_{100})}{2} = \frac{100(3+300)}{2} = 15150$。

高中数学必修5数列教案
教学内容：数列
教学目标：
1. 了解数列的概念和性质；
2. 能够求解数列的通项公式和前n项和；
3. 能够应用数列的知识解决实际问题。

教学重点：
1. 数列的定义和常见性质；
2. 求解数列的通项公式和前n项和；
3. 应用数列解决实际问题。

教学难点：
1. 应用数列的知识解决实际问题；
2. 思维拓展，提高问题解决能力。

教学方法：讲述、举例、练习
教学过程：
一、引入：
通过一道生活中的问题引入数列的概念，让学生了解数列在实际生活中的应用。

二、概念讲解：
1. 数列的定义：数列是按照一定规律排列成的一组数字的集合。

2. 数列的常见性质：等差数列、等比数列等。

三、求解数列的通项公式和前n项和：
1. 求解等差数列的通项公式和前n项和；
2. 求解等比数列的通项公式和前n项和。

四、应用实例：
通过一些实际问题，让学生应用数列的知识解决问题，培养他们的思维能力和解决问题的能力。

五、课堂练习：
让学生进行相关题目的练习，巩固所学知识。

六、作业布置：
布置相关的作业，让学生在家里进行巩固和复习。

七、小结：
总结本节课的内容，强调数列在数学中的重要性和应用价值。

教学反思：
本节课主要介绍了数列的概念和性质，以及如何求解数列的通项公式和前n项和。

通过实际例题的讲解和练习，帮助学生掌握数列的相关知识，并能够应用到实际问题中去解决。

同时也需要引导学生在学习数列的过程中，培养他们的思维能力和解决问题的能力。

必修五数学高中数列教案【教学目标】1.了解数列的概念和性质；2.掌握数列的基本性质和方法；3.能够应用数列解决实际问题；4.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

【教学重点】1.数列的定义和性质；2.常见数列的概念和特点；3.数列的求和公式及应用；4.数列的递推关系和通项公式。

【教学内容】1.数列的定义和性质2.等差数列、等比数列、斐波那契数列等常见数列的概念和特点3.数列的求和公式及应用4.数列的递推关系和通项公式【教学步骤】一、导入：通过一个生活中的例子引入数列的概念，让学生了解数列的定义和性质。

二、讲解：介绍等差数列、等比数列、斐波那契数列等常见数列的概念和特点，引导学生理解数列的基本性质。

三、练习：让学生通过练习掌握数列的求和公式及应用，培养学生解决数列问题的能力。

四、讨论：通过讨论数列的递推关系和通项公式，引导学生探讨数列的规律及应用。

五、总结：对数列的概念和性质进行总结，巩固学生对数列的理解和掌握。

【课堂作业】1.求下列等差数列的前n项和：1, 3, 5, 7, ...2.求下列等比数列的前n项和：2, 6, 18, 54, ...3.求斐波那契数列的通项公式及前n项和。

【教学反馈】1.检查学生上交的课堂作业；2.答疑解惑，巩固学生对数列的理解；3.鼓励学生思考数列问题的方法和策略。

【拓展延伸】1.让学生自主探究其他类型的数列及其性质；2.通过实际问题引导学生应用数列解决实际问题；3.组织数学活动，培养学生的数学兴趣和创新能力。

【教学反思】1.对本节课的教学效果进行评估；2.总结教学经验，优化教学方法；3.为下一节课的教学做好准备。

【板书设计】数列- 定义和性质- 等差数列、等比数列、斐波那契数列- 求和公式及应用- 递推关系和通项公式【教学参考】1.高中数学必修5 人教版2.《数列》教学教学实践教程3.高中数学学习指南【习题集】。

高中数学必修五数列初步教学案例教学案例：高中数学必修五数列初步一、教学目标1. 理解数列的概念，掌握数列的通项公式和前n项和公式。

2. 能够运用数列的通项公式和前n项和公式解决实际问题。

3. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

二、教学内容1. 数列的概念：数列是一种特殊的函数，它按照一定的顺序排列，形成一个有序的数列。

2. 数列的通项公式：对于任意一个正整数n，数列的第n项an可以表示为an = f(n)，其中f(n)是一个函数。

3. 数列的前n项和公式：数列的前n项和Sn可以表示为Sn = a1 + a2 + ... + an，其中a1是数列的第一项，an是数列的第n项。

三、教学方法1. 讲解法：通过讲解数列的概念、通项公式和前n项和公式，使学生对数列有一个基本的认识。

2. 案例分析法：通过分析一些实际的案例，让学生了解数列在现实生活中的应用。

3. 练习法：通过大量的练习，让学生熟练掌握数列的通项公式和前n项和公式。

四、教学过程1. 导入新课：通过一些生活中的例子，引导学生思考数列的概念和作用。

2. 讲解新课：讲解数列的概念、通项公式和前n项和公式，并给出一些例题让学生理解。

3. 案例分析：通过分析一些实际的案例，让学生了解数列在现实生活中的应用。

4. 练习巩固：通过大量的练习，让学生熟练掌握数列的通项公式和前n项和公式。

5. 总结回顾：对本节课的知识点进行总结回顾，帮助学生巩固所学知识。

五、教学评价1. 通过课堂提问、小组讨论等方式，了解学生对数列概念、通项公式和前n项和公式的掌握情况。

2. 通过课后作业的完成情况，了解学生对数列知识的应用能力。

3. 通过考试成绩，评价学生对数列知识的掌握程度和应用能力。

高中数学数列大题讲解教案
教学目标：
1. 理解数列的概念和性质；
2. 掌握等差数列和等比数列的概念和求解方法；
3. 能够应用数列的性质解决实际问题。

教学重点：
1. 理解等差数列和等比数列的定义；
2. 掌握等差数列和等比数列的求和公式；
3. 运用数列的性质解决实际问题。

教学难点：
1. 运用数列的性质解决复杂的实际问题；
2. 理解等比数列的通项公式的推导过程；
教学过程：
一、导入（5分钟）
教师通过举例引入数列的概念，让学生了解数列的基本特点和规律。

二、教学（30分钟）
1. 学习等差数列和等比数列的定义；
2. 学习等差数列和等比数列的通项公式；
3. 学习等差数列和等比数列的求和公式；
4. 练习相关题目，巩固学习成果。

三、实践（15分钟）
学生通过实际问题练习，掌握如何应用数列的性质解决实际问题。

四、总结（5分钟）
教师总结本节课的重点内容，让学生掌握数列的基本性质，并强调数列在实际生活中的应用。

五、作业布置
布置相关作业，巩固学生的学习成果，并鼓励学生在解题过程中灵活应用数列的性质。

教学反思：
通过本节课的教学，学生能够正确理解等差数列和等比数列的概念和性质，掌握相关公式和方法，并能够熟练运用数列的性质解决实际问题。

同时，教师也要注重引导学生在解题过程中动脑思考，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

高中数学必修五数列教案
主题：数列的概念和性质
目标：通过本课的学习，学生能够掌握数列的定义、常见数列的性质和求解方法，提高数学思维和解题能力。

一、引入
1. 引导学生回顾数列的定义和简单性质，如等差数列、等比数列等。

2. 提出问题：在日常生活中，你认为还有哪些是数列的例子呢？
二、展示
1. 介绍数列的定义：数列是按照一定规律排列的数的集合。

2. 介绍常见的数列及其性质：等差数列、等比数列、斐波那契数列等。

3. 分别讲解等差数列和等比数列的概念、通项公式、前n项和的公式等。

三、练习
1. 练习一：已知等差数列的前项和为50，公差为2，求该数列的第10个项。

2. 练习二：已知等比数列的前三项分别是2，6，18，求该数列的通项公式。

3. 练习三：给出一个数列，让学生判断其是等差数列还是等比数列，并求出其通项公式。

四、拓展
1. 拓展讨论：引导学生思考其他更为复杂的数列形式，如递推数列、调和数列等。

2. 拓展练习：设计一些应用题，让学生巩固对数列的理解和应用能力。

五、总结
1. 总结本课的重点内容和知识点，强调数列的重要性和应用价值。

2. 鼓励学生多进行数列相关练习和思考，提高数学解题能力和建模能力。

六、作业
1. 完成课堂练习题和拓展练习题。

2. 撰写一篇总结本课学习内容的感想。

以上为数列教案范本，希望能够对您的教学工作有所帮助。

《数列》全章复习巩固： ：【学习目标】1．系统掌握数列的有关概念和公式；2．掌握等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式与前n 项和公式，并运用这些知识解决问题； 3．了解数列的通项公式n a 与前n 项和公式n S 的关系，能通过前n 项和公式n S 求出数列的通项公式n a ；4．掌握常见的几种数列求和方法. 【知识网络】【要点梳理】要点一：数列的通项公式 数列的通项公式一个数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 之间的函数关系，如果可以用一个公式()n a f n =来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式.要点诠释：①不是每个数列都能写出它的通项公式.如数列1，2，3，―1，4，―2，就写不出通项公式； ②有的数列虽然有通项公式，但在形式上又不一定是唯一的.如：数列―1，1，―1，1，…的通项公式可以写成(1)nn a =-，也可以写成cos n a n π=；③仅仅知道一个数列的前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的. 通项n a 与前n 项和n S 的关系：任意数列{}n a 的前n 项和12n n S a a a =+++；11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧⎪=⎨-≥⎪⎩要点诠释：由前n 项和n S 求数列通项时，要分三步进行： （1）求11a S =，（2）求出当n≥2时的n a ，（3）如果令n≥2时得出的n a 中的n=1时有11a S =成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，否则就只能写成分段的形式.数列的递推式：如果已知数列的第一项或前若干项，且任一项n a 与它的前一项1n a -或前若干项间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，简称递推式.要点诠释：利用递推关系表示数列时，需要有相应个数的初始值，可用凑配法、换元法等. 要点二：等差数列判定一个数列为等差数列的常用方法①定义法：1n n a a d +-=（常数）⇔{}n a 是等差数列； ②中项公式法：122(*){}n n n n a a a n N a ++=+∈⇔是等差数列； ③通项公式法：n a pn q =+（p ，q 为常数）⇔{}n a 是等差数列；④前n 项和公式法：2n S An Bn =+（A ，B 为常数）⇔{}n a 是等差数列.要点诠释：对于探索性较强的问题，则应注意从特例入手，归纳猜想一般特性. 等差数列的有关性质：（1）通项公式的推广：+(n m n m a a =－）d（2）若*()m n p q m n p q N +=+∈、、、，则m n p q a a a a +=+；特别，若2m n p +=，则2m n p a a a +=（3）等差数列{}n a 中，若*m n p m n p N ∈、、（、、）成等差数列，则m n p a a a 、、成等差数列.（4）公差为d 的等差数列中，连续k 项和232,,k k k k k S S S S S --，… 组成新的等差数列. （5）等差数列{}n a ，前n 项和为n S①当n 为奇数时，12n n S n a +=⋅；12n S S a +-=奇偶；11S n S n +=-奇偶； ②当n 为偶数时，122()2n nn a a S n ++=⋅；12S S dn -=偶奇；212nn a S S a +=奇偶.（6）等差数列{}n a ，前n 项和为n S ，则m n m nS S S m n m n+-=-+（m 、n ∈N*，且m≠n ）. （7）等差数列{}n a 中，若m+n=p+q （m 、n 、p 、q ∈N*，且m≠n ，p≠q ），则p qm n S S S S m n p q--=--.（8）等差数列{}n a 中，公差d ，依次每k 项和：k S ，2k k S S -，32k k S S -成等差数列，新公差2'd k d =.等差数列前n 项和n S 的最值问题： 等差数列{}n a 中① 若a 1＞0，d ＜0，n S 有最大值，可由不等式组10n n a a +≥⎧⎨≤⎩来确定n ；② 若a 1＜0，d ＞0，n S 有最小值，可由不等式组100n n a a +≤⎧⎨≥⎩来确定n ，也可由前n 项和公式21()22n d dS n a n =+-来确定n. 要点诠释：等差数列的求和中的函数思想是解决最值问题的基本方法. 要点三 ：等比数列判定一个数列是等比数列的常用方法 （1）定义法：1n na q a +=（q 是不为0的常数，n ∈N*）{}n a ⇔是等比数列； （2）通项公式法：nn a cq =（c 、q 均是不为0的常数n ∈N*）{}n a ⇔是等比数列； （3）中项公式法：212n n n a a a ++=⋅（120n n n a a a ++⋅⋅≠，*n N ∈）{}n a ⇔是等比数列.等比数列的主要性质：（1）通项公式的推广：n mn m a a q -=（2）若*()m n p q m n p q N +=+∈、、、，则m n p q a a a a ⋅=⋅.特别，若2m n p +=，则2m n p a a a ⋅=（4）等比数列{}n a 中，若*m n p m n p N ∈、、（、、）成等差数列，则m n p a a a 、、成等比数列. （5）公比为q 的等比数列中，连续k 项和232,,k k k k k S S S S S --，… 组成新的等比数列. （6）等比数列{}n a ，前n 项和为n S ，当n 为偶数时，S S q =偶奇.（7）等比数列{}n a 中，公比为q ，依次每k 项和：k S ，2k k S S -，32k k S S -…成公比为q k 的等比数列.（8）若{}n a 为正项等比数列，则{log }a n a （a ＞0且a≠1）为等差数列；反之，若{}n a 为等差数列，则{}n aa （a ＞0且a≠1）为等比数列.（9）等比数列{}n a 前n 项积为n V ，则(1)21(*)n n nn V a q n N -=∈等比数列的通项公式与函数：11n n a a q -=①方程观点：知二求一； ②函数观点：111n nn a a a qq q-==⋅ 01q q >≠且时，是关于n 的指数型函数；1q = 时，是常数函数；要点诠释：当1q >时，若10a >，等比数列{}n a 是递增数列；若10a <，等比数列{}n a 是递减数列； 当01q <<时，若10a >，等比数列{}n a 是递减数列；若10a <，等比数列{}n a 是递增数列； 当0q <时，等比数列{}n a 是摆动数列； 当1q =时，等比数列{}n a 是非零常数列. 要点四：常见的数列求和方法 公式法：如果一个数列是等差数列或者等比数列，直接用其前n 项和公式求和.分组求和法：将通项拆开成等差数列和等比数列相加或相减的形式，然后分别对等差数列和等比数列求和.如：a n =2n+3n .裂项相消求和法：把数列的通项拆成两项之差，正负相消，剩下首尾若干项的方法.一般通项的分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式.若1()()n a An B An C =++，分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式,则)11(1))((1C An B An B C C An B An a n +-+-=++=，如a n = 1(1)n n +111n n =-+ 错位相减求和法：通项为非常数列的等差数列与等比数列的对应项的积的形式：n n n c b a ⋅=, 其中 {}n b 是公差d≠0等差数列，{}n c 是公比q≠1等比数列，如a n =(2n-1)2n .一般步骤：n n n n n c b c b c b c b S ++⋯++=--112211，则 1211n n n n n qS b c b c b c -+=+⋯⋯++所以有13211)()1(+-⋯⋯+++=-n n n n c b d c c c c b S q要点诠释：求和中观察数列的类型，选择合适的变形手段，注意错位相减中变形的要点. 要点五：数列应用问题数列应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容,解答数学应用问题的核心是建立数学模型,有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.建立数学模型的一般方法步骤.①认真审题，准确理解题意，达到如下要求： ⑴明确问题属于哪类应用问题； ⑵弄清题目中的主要已知事项； ⑶明确所求的结论是什么.②抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达.③将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，据题意列出满足题意的数学关系式（如函数关系、方程、不等式）.要点诠释：数列的建模过程是解决数列应用题的重点，要正确理解题意，恰当设出数列的基本量. 【典型例题】类型一：数列的概念与通项 例1．写出数列：15-，103，517-，267，……的一个通项公式. 【思路点拨】从各项符号看，负正相间，可用符号(1)n-表示；数列各项的分子：1，3，5，7，……是个奇数列，可用21n -表示；数列各项的分母：5，10，17，26，……恰是221+,231+, 241+,251+,…可用2(1)1n ++表示；【解析】通项公式为：221(1)(1)1nn n a n -=-++. 【总结升华】①求数列的通项公式就是求数列中第n 项与项数n 之间的数学关系式.如果把数列的第1，2，3，…项分别记作(1)f ，(2)f ，(3)f ，…，那么求数列的通项公式就是求以正整数n (项数)为自变量的函数()f n 的表达式；②通项公式若不要求写多种形式，一般只写出一个常见的公式即可；③给出数列的构造为分式时，可从各项的符号、分子、分母三方面去分析归纳，还可联想常见数列的通项公式，以此参照进行比较.举一反三：【变式】根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想其通项公式： （1）113,21+==+n n a a a ； (2)111,2+==-n na a a a ； 【答案】（1）12343,7,15,31a a a a ====， 猜想得121n n a +=-； (2)a 1=a,a 2=a -21,a 3=a a 232--,a 4=a a 3423--， 猜想得a n =an n an n )1()2()1(-----；类型二：等差、等比数列概念及其性质例2.已知等差数列{}n a ，公差0d ≠，{}n a 中部分项组成的数列1k a ，2k a ，3k a ，…，n k a ，…恰为等比数列，且知11k =,25k =,317k =.（1）求n k ；（2）证明: 12...31nn k k k n +++=--.【解析】依题意:11k a a =，2514k a a a d ==+，317116k a a a d ==+.∵1k a ，2k a ，3k a 为等比数列，∴2111(4)(16)a d a a d +=+，解得12a d =.∴等比数列{}n k a 的首项112k a a d ==，公比511143a a d q a a +===， ∴11123n n n k k a a qd --=⋅=⋅又n k a 在等差数列{}n a 中是第n k 项， ∴1(1)(1)n k n n a a k d k d =+-=+ ∴1(1)23n n k n a k d d -=+=⋅（0d ≠）， 解得1231n n k -=⋅-.（2）12...n k k k +++11211(231)(231)...(231)n ---=⋅-+⋅-++⋅-0112(33...3)31n nn n -=+++-=--【总结升华】题目中已经给出了是等差数列和等比数列，所以应用等差等比数列的定义来求解即可.举一反三：【数列综合381084 例1】【变式1】已知两个等比数列{}n a ，{}n b ，满足1(0)a a a =>，111b a -=，222b a -=，333b a -=.（1）若1a =，求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n a 唯一，求a 的值.【答案】（1）1(2n n a -=或1(2n n a -=-（2）13a =例3． 如果一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32：27，求公差.【解析】设等差数列首项为1a ，公差为d ，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=-=+⇒=⋅⨯⨯+⋅⨯⨯++=⋅⨯⨯+520253546612273225621625621)(635411122112111111d a d a d a da d d a d a 【总结升华】1. 恰当地选择设未知数，列方程（组）求解.方程思想在数列中很重要.2. 等差（比）数列的首项和公差（比）是关键. 举一反三：【数列综合381084 例2】【变式】在数列{}n a 中，121,2a a ==，11(1)n n n a q a qa +-=+-(2,0)n q ≥≠（1）设*1()n n n b a a n N +=-∈，证明{}n b 是等比数列.(2) 求数列{}n a 的通项公式.(3) 若3a 是6a 与9a 的等差中项，求q 的值；并证明：对任意的*n N ∈，n a 是3n a +与6n a +的等差中项.【答案】（1）利用定义证明1n n b qb -=（2）1,111,11n n nq a q q q -=⎧⎪=-⎨+≠⎪-⎩（3）证明1q =时，n a n =不合题意1q ≠时，111,1n n q a q--=+- 由3a 是6a 与9a 的等差中项可求32q =- 又2521361122211221111n n n n n n q q q q a a q q q q+++-++--+-+=+++=+=+----112(1)21n n q a q--=+=-即n a 是3n a +与6n a +的等差中项. 类型三：n a 与n S 的关系式的综合运用例4. 在数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若a 1＝1，a n ＋1＝13S n (n ≥1)，则a n ＝________.【思路点拨】n a 与n S 的关系式的综合运用，如果已知条件是关于n a 、n S 的关系式(,)0n n f a S =，可利用n ≥2时1n n n a S S -=-，将条件转化为仅含n a 或n S 的关系式。

高中数学必修5免费教案
教学内容：数列
教学目标：
1. 理解数列的概念和特性；
2. 能够识别各类数列，并能推导出数列的通项公式；
3. 能够求解数列的前n项和。

教学重点：
1. 数列的定义和性质；
2. 等差数列和等比数列的特点；
3. 求解数列的通项公式和前n项和。

教学难点：
1. 等比数列的通项公式的推导；
2. 高阶数列的求解。

教学步骤：
一、引入：通过生活中的案例引出数列的概念，引发学生的兴趣。

二、概念讲解：介绍数列的定义和性质，包括通项公式、差分法、求和等内容。

三、基础练习：让学生做一些简单的数列题目，巩固基础知识。

四、拓展训练：介绍等差数列和等比数列的特点，让学生通过推导求解数列的通项公式。

五、强化练习：将学生分组，让他们在小组内解答一些难题，提高解题能力。

六、总结归纳：让学生总结今天的学习内容，加深对数列的理解。

七、作业布置：布置一定量的作业，让学生在家继续巩固所学知识。

教学辅助手段：黑板、彩色粉笔、实物模型、教学PPT等。

教学反馈：根据学生的表现，及时总结教学经验，调整教学方法，以提高教学效果。

教学延伸：可引入更多数列的概念和应用，激发学生的学习兴趣，提高学习效果。

教学评价：通过课堂表现、作业成绩等方面对学生进行评价，及时发现问题并加以解决。

【巩固练习及参考答案解析】 一、选择题1.已知数列{}n a 的通项公式为cos 2n n a π=,则该数列的首项1a 和第四项4a 分别为 A.0,0 B.0,1 C.-1,0 D.-1,12.一个正整数数表如下(表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍):则第9行中的第4个数是( A.132 B.255 C.259D.2603.已知等差数列共有10项,其中奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差是( )A.5B.4C.3D.24.(2016 衡水模拟)等差数列{a n }中的两项a 2、a 2016恰好是关于x 的函数f(x)=2x 2+8x+a(a ∈R)的两个零点,且a 1009+a 1010＞0,则使{a n }的前n 项和S n 取得最小值的n 为( )A.1009B.1010C.1009,1010D.20165.设等差数列{}n a 的公差d 不为0,19a d =.若k a 是1a 与2k a 的等比中项,则k =( ) Ａ.2Ｂ.4Ｃ.6Ｄ.86.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若39S =,636S =,则789a a a ++=( ) A.63B.45C.36D.27二、填空题7.设S n 表示等差数列{a n }的前n 项的和,且S 9＝18,S n ＝240,若a n －4＝30(n >9),则n ＝________. 8.我市民间刺绣有着悠久的历史,下图(1)、(2)、(3)、(4)为我市民间刺绣最简单的四个图案, 这些图案都是由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n 个图形包含f (n )个小正方形,则f (n )的表达式为f (n )＝________(n ∈N *).9.在各项均为正数的等比数列{a n }中,若a 2＝1,a 8＝a 6＋2a 4,则a 6的值是 . 10.设数列{a n }的通项为a n ＝2n －7,则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________. 三、解答题11.已知函数f(x)=a 1x+a 2x 2+…+a n x n (n ∈N *),且a 1,a 2,a 3,…,a n 构成数列{a n },又f(1)=n 2. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)求证:1)31(<f .12.已知{}n a 是公差为d 的等差数列,它的前n 项和为n S ,4224S S =+,1nn na b a +=. (1)求公差d 的值;(2)若152a =-,求数列{}nb 中的最大项和最小项的值.13.设{a n }是等差数列,{b n }是各项都为正数的等比数列,且a 1=b 1=1,a 3+b 5=21,a 5+b 3=13 (1)求{a n },{b n }的通项公式; (2)求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 的前n 项和S n. 14.(2015 新课标Ⅰ)S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n ＞0,a n 2+2a n =4S n +3(Ⅰ)求{a n }的通项公式: (Ⅱ)设11n n n b a a +=,求数列{b n }的前n 项和. 15.(2015 山东) 设数列{a n }的前n 项和为S n .已知2S n =3n +3. (I)求{a n }的通项公式;(II)若数列{b n }满足a n b n =log 3n a ,求{b n }的前n 项和T n .16.(2016 静安区一模)李克强总理在很多重大场合都提出“大众创业,万众创新”。

数列【学习目标】1. 掌握数列的概念与简单表示方法，能处理简单的数列问题；2. 掌握数列及通项公式的概念，理解数列的表示方法与函数表示方法之间的关系；3. 了解数列的通项公式的意义并能根据通项公式写出数列的任一项；4. 理解数列的顺序性、感受数列是刻画自然规律的数学模型，体会数列之间的变量依赖关系.【要点梳理】 要点一、数列的概念一般地，按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项. 数列的一般形式可以写成：123n a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，，，，，简记为{}n a ，其中数列的第1项1a ，也称首项；数列的第n 项n a ，也叫数列的通项. 要点诠释：（1）{}n a 与n a 的含义完全不同：{}n a 表示一个数列，n a 表示数列的第n 项.（2） 数列的项与项数是两个不同的概念：数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号.（3） 数列中的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；（4）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.要点二、数列的通项公式与前n 项和 1. 数列的通项公式如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的函数关系可以用一个公式表示成()n a f n =，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.如数列：0,1,2,3,的通项公式为1n a n =-；1111--，，，，的通项公式为()-11n n a =-；1111,,,,234的通项公式为1n a n=．要点诠释：（1）并不是所有数列都能写出其通项公式． （2）一个数列的通项公式有时是不唯一的．如数列：1，0，1，0，1，0，⎧通项公式可以是11(1)2n n a ++-=，也可以是1|cos |2n n a π+=.（3）数列通项公式的作用：① 求数列中任意一项；② 检验某数是否是该数列中的一项．（4）数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第n 项，又是这个数列中所有各项的一般表示．2. 数列{}n a 的前n 项和数列{}n a 的前n 项和：指数列{}n a 的前n 项逐个相加之和，通常用n S 表示，即12....n n S a a a =+++3. n a 与n S 的关系()()1*1,1,2.n n n S n a S S n n -⎧=⎪=⎨-≥∈⎪⎩N ；且要点三、数列的分类 1. 根据数列项数的多少分有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3和2，4，8都是有穷数列； 无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列. 2. 根据数列项的函数特性分递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项，即+1> n n a a 的数列； 递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项，即+1< n n a a 的数列； 常数数列：各项都相等，即+1= n n a a 的数列；摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.3. 根据数列项的大小分有界数列：如果数列的任一项的绝对值都小于某个正数；无界数列：不存在某个正数，使得数列任一项的绝对值都小于这个正数.要点四、数列的表示方法 1. 通项公式法（解析式法）：数列通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系. 给了数列的通项公式，代入项数就可求出数列的每一项．反之，根据通项公式，可以判定一个数是否为数列中的项. 2. 列表法相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用1a 表示第一项，用2a 表示第二项，…，用n a 表示第n 项，…，依次写出得数列{}n a ．项数 12… n… 项1a2a…n a…3. 图象法：数列是一种特殊的函数，可以用函数图象的画法画数列的图形．具体方法：以项数n 为横坐标，相应的项n a 为纵坐标，即以(,)n n a 为坐标在平面直角坐标系中做出点. 所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在y 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势． 4.递推公式法递推公式：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式也是给出数列的一种方法. 如：数列：-3，1，5，9，13，⎧，可用递推公式：113,4(2)n n a a a n -=-=+≥表示；数列：3，5，8，13，21，34，55，89，⎧，可用递推公式：12123,5,(3)n n n a a a a a n --===+≥表示.要点五、数列与函数数列可以看成以正整数集*N （或它的有限子集{1,2,3,,}n ）为定义域的函数()n a f n =，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.反过来，对于函数()y f x =，如果()f i （1,2,3,,,i n =）有意义，那么我们可以得到一个数列(1)f ，(2)f ，(3)f ，⎧，()f n ，⎧ . 要点诠释：1. 数列是离散函数的重要模型之一数列是一个特殊的函数，它的定义域是正整数或正整数集的子集. 数列是离散函数的一种（离散函数是相对于定义在实数集或者实数集的某个区间上的函数而言的），它在数学中有重要的地位.2. 数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式就是相应函数的解析式. 数列的通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系. 给了数列的通项公式，代入项数就可求出数列的每一项．反之，根据通项公式，可以判定一个数是否为数列中的项. 3. 数列的图象是落在y 轴右侧的一群孤立的点数列()n a f n =的图象是以项数n 为横坐标，相应的项n a 为纵坐标的一系列孤立的点(,)n n a ，这些点都落在函数()y f x =的图象上. 因为横坐标为正整数，所以这些点都在y 轴的右侧，而点的有限或无限取决于数列是有穷数列还是无穷数列，我们从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．4. 跟不是所有的函数都有解析式一样，不是所有的数列都有通项公式.【典型例题】类型一：根据数列的前几项写出数列的一个通项公式 例1．写出下列各数列的一个通项公式，使其前四项分别是：(1) 0，32，83，154，⎧ ； (2) 1， 34-，59，716-，⎧；(3) 9，99，999， 9999，⎧；(4) 6， 1，6，1，⎧ .【思路点拨】观察法求数列的通项公式，需注意一下两点：纵向分析：观察各项与对应的项数n 之间的关系；横向比较：观察各项之间的变化规律，能否用统一的式子表示. 【解析】 (1) 将数列改写为021⨯，132⨯，243⨯，354⨯，⎧故()()()2*1+1-1=n n n n a n n n-=∈N ，. (2) 此数列奇数项为正，偶数项为负，可用1(1)n +-来表示；其绝对值中分子为奇数数列，分母是自然数的平方数列， 故()1*221(1)n n n a n n+-=-⋅∈N ，. (3) 将数列改写为1101-， 2101-， 3101-， 4101-，⎧故()*101n n a n =-∈N ，. (4) 设()-1+nn a p q =，则12=-+=6=+=6.a p q a p q ⎧⎨⎩；解得57=-=.22p q ， 故()1*57(1).22n n a n +=-⋅+∈N ，该数列还可写为()*57cos(1).22n a n n π=++∈N ， 【总结升华】写通项时注意以下常用思路：① 归纳猜想的关键是从特殊中去寻找一般规律，很多情况下是将已写出的项进行适当的变形，使规律明朗化；② 若数列中的项均为分数，则先观察分母的规律再观察分子的规律，如(1)；特别注意有时分数是约分后的结果，要根据观察还原分数；③ 由两个数交替出现构成的摆动数列，它的通项公式通常可以写成：()-1+nn a p q =； ④ 熟练掌握一些基本数列的通项公式，例如： 数列-1，1，-1，1，⎧的通项公式为(1)n n a =-；数列1，2，3，4，⎧的通项公式为n a n =； 数列1，3，5，7，⎧的通项公式为21n a n =-； 数列2，4，6，8，⎧的通项公式为2n a n =； 数列1，4，9，16，⎧的通项公式为2n a n =； 数列2，6，12，20，⎧的通项公式为()+1n a n n =. 举一反三：【高清课堂：数列的概念与简单表示法379271 数列知识的讲解及配套练习】 【变式】根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1) 1， 1， 1，1，⎧； (2) -1， 1， -1， 1，⎧； (3) 1， -1， 1，-1，⎧； (4)1111--234，，，， …； (5) 2，0，2，0，…. 【解析】(1)1n a =； (2)2(1)n n a +=- ； (3)1(1)n n a +=-； (4)11(1)n n a n+=- ； (5)11(1)n n a +=+-； 类型二：通项公式的应用例2．已知数列{}n a 的通项公式32n a n =-， 试问下列各数是否为数列{}n a 的项，若是，是第几项？(1) 94； (2) 71.【思路点拨】本题考查同学们对项与项数的理解，在通项公式32n a n =-中，已知项数n a ，求正自然数n ，带入解方程即可.【解析】（1）设9432n =-， 解得32n =.故94是数列{}n a 的第32项. （2）设7132n =-，解得*1243n =∉N .故71不是数列{}n a 的项.【总结升华】方程思想是解决数列中未知量的主要方法，1,,,,n n n a d S a 中知三求二，就是采用了方程的思想. 举一反三：【变式1】数列{}n a 的通项公式为1(21n n a n n n =-⎧⎪⎨⎪⎩是奇数）（是偶数）它的前8项依次为 .【答案】1111371115357，，，，，，，【变式2】已知数列{}n a 的通项公式(1)(2)n a n n =++，（1）若9900n a =，试问n a 是第几项？ （2）56和28是否为数列{}n a 的项？ 【答案】（1）98项；（2）56是，28不是.类型三：递推公式的应用【高清课堂：数列的概念与简单表示法379271 例2】 例3. 设数列{}n a 满足：11a =，111n n a a -=+(2)n ≥，写出这个数列的前五项. 【思路点拨】题中已给出{}n a 的首项11a =和递推公式：111n n a a -=+，故可以依次写出前五项. 【答案】1，2，32，53，85【解析】据题意可知：11a =，21112a a =+=， 321312a a =+=， 431513a a =+=， 54181=5a a =+， 故数列的前5项为:1，2，32，53，85.【总结升华】递推公式也是给出数列的一种方法，根据数列的递推公式，可以逐次写出数列的所有项. 举一反三：【变式】已知数列{}n a 满足：12a =，12n n a a +=，写出前5项，并猜想n a ． 【答案】法一：12a =，22222a =⨯=，233222a =⨯=，观察可得2n n a =法二：由12n n a a +=，∴12n n a a -=即12nn a a -= ∴112212312n n n n n n n a a a a a a a a ------⨯⨯⨯⨯= ∴1122n n n a a -=⋅=【高清课堂：数列的概念与简单表示法379271 例3】例4.（1）已知数列{}n a 满足111,1(2),n n a a a n -==+≥写出这个数列的通项公式.（2）已知数列{}n a 满足111,(2),1n n a n a n a n -==≥+写出这个数列的通项公式. 【思路点拨】观察递推式，（1）符合累加法的条件；（2）符合累乘法的条件. 【解析】（1）由递推式可得，1213211,1,1,1,n n a a a a a a a -=-=-=-=…把以上n 个式子相加得 n a n =，显然n=1，也适用， ∴数列的通项为.n a n = （2）由递推式可得12132431=12,33,44,51n n a a a a a a a a na n -====+，…把以上n 个式子相乘得21n a n =+，显然11a =也适用. ∴数列的通项为21n a n =+ 【总结升华】一般递推关系为1()n n a f n a +=⋅时，可用累乘法求通项公式；递推关系为1()n n a f n a +=+时可考虑累加法，有时需要将递推关系化简，再灵活求通项. 举一反三：【变式1】由a 1＝1，131nn n a a a +=+，可知数列{a n }的第34项是( ) A ．34103 B ．100 C ．1100D ．1104【答案】C【变式2】已知数列{}n a 满足：1+11=2=+ ln 1+n n a a a n⎛⎫⎪⎝⎭，，求数列{}n a 的通项公式.【解析】由+11=+ ln 1+n n a a n⎛⎫⎪⎝⎭得()+1=+ ln +1ln n n a a n n -，故当n ⇓2时，()()()()()()[]-1-1-2211= ++++ =ln ln -1+ln -1ln -1++ln 2ln 1+2 =2+ln n n n n n a a a a a a a a n n n n n------⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦当n =1时，1=2=2+ln1a .所以数列{}n a 的通项公式为()=2+ln .n a n n *∈N ，类型四：前n 项和公式n S 与通项n a 的关系 例5．已知数列{}n a 的前n 项和公式n S ，求通项n a .（1）221n S n n =-+， (2)2log (1)n S n =+.【思路点拨】先由2n ≥时，1n n n a S S -=-，求出n a ；再由当1n =时，11a S =，求出1a ，并验证1a 是否符合所求出的n a . 【解析】(1) 当2n ≥时，221(21)[2(1)(1)1]43n n n a S S n n n n n -=-=-+----+=-，当1n =时，21121112413a S ==⨯-+=≠⨯-，∴*2,(1)43,(2)n n a n n n =⎧=⎨-≥∈⎩N 且 (2)当2n ≥时，12221log (1)log log n n n n a S S n n n-+=-=+-=， 当1n =时，112211log (11)1log 1a S +==+==， ∴21log n n a n+=(*n N ∈)为所求. 【总结升华】已知n S 求出n a 依据的是n S 的定义：12...n n S a a a =+++，分段求解，然后检验结果能否统一形式，能．就写成一个，否则．．只能写成分段函数的形式. 举一反三：【变式1】已知数列{}n a 的前n 项和23n n S =-，求通项n a . 【答案】当2n ≥时，11111(23)(23)222(21)2n n n n n n n n n a S S -----=-=---=-=-=，当1n =时，1111123121a S -==-=-≠=， ∴1*1,(1)2,(2)n n n a n --=⎧=⎨≥∈⎩且nN .【变式2】已知数列{}n a 的前n 项积2n S n =+，求通项n a 【答案】当2n ≥时，121n n n n a S S n -+=÷=+， 当1n =时，111212311a S +==+=≠+，∴*3,(1)2,(2)1n n a n n n n =⎧⎪=+⎨≥∈⎪+⎩Ν且.类型五：数列与函数例6. 已知函数()22,x x f x -=-数列{}n a 满足2(log )2.n f a n =-（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明数列{}n a 是递减数列.【思路点拨】证明一个数列{}n a 是递减数列，或者证10n n a a +->或者证11n na a +>. 【解析】（1）222log log 2()22,(log )21222,2,210,0,n n x x n a a n nn n n n n f x f a n n a n a a na a n a a n--=-=-∴-=--=-∴+-==-±>∴=解得(2)证明：1n n a a +==11,n n a a +=< 又10,,n n n a a a +>∴<∴数列{}n a 是递减数列.【总结升华】数列是一个特殊的函数，数列的通项公式就是相应的函数解析式，即()n a f n = 举一反三：【变式】数列{}n a 中：11a =，122nn n a a a +=+（*n ∈N ） （1）写出它的前五项，并归纳出通项公式； （2）判断它的单调性. 【答案】（1）11a =，223a =，31224a ==， 425a =， 51236a ==，∴ 21n a n =+； （2）方法一：∵1222021(2)(1)n n a a n n n n +-=-=-<++++， ∴ 数列{}n a 是递减数列. 方法二：∵函数2()1f x x =+在[1,)x ∈+∞上单调递减， ∴数列{}n a 是递减数列. 类型六：求数列前n 项和的最值例7. 已知数列{n a }的前n 项和()2=+24n S n n n *-∈N ．(1)求{n a }的通项公式；(2)当n 为何值时，n S 达到最大？最大值是多少？【思路点拨】第（1）问采用公式()()1*1,1,2.n n n S n a S S n n -⎧=⎪=⎨-≥∈⎪⎩N ；且注意验证第一项；在第（2）问中，要使n S 达到最大，可通过通项分析（此时，n 满足+100.n n a a ≥⎧⎨≤⎩；），也可以通过前n项和公式分析（利用函数的单调性）. 【解析】（1）当n =1时，11==10a S ，当n ⇓2时，()()()-122= =+241+241 =252n n n a S S n n n n n-⎡⎤-----⎣⎦- 而1=23a 满足上式，所以()*=25-2.n a n n ∈Ν， （2）法一：考察函数()2=- +24f x x x ，它的图象是一条抛物线，如图在抛物线的对称轴x =12处该函数取得最大值144. 所以当n =12时，S n ＝－n 2＋24n 取得最大值144.法二：=25-2n a n 可以看作分布在直线()g =25-2x x 上的一系列孤立的点，而()g x 的图象是一条单调递减的直线. 所以要使S n 达到最大值，只需+100.n n a a ≥⎧⎨≤⎩；即可， 解得2325.22n ≤≤ 由*n ∈Ν得，n =12.当n =12时S n 取得最大值，此时，()12=23+21+19+17+15+13+11+9+7+5+3+1 =623+1 =144.S ⨯【总结升华】求解数列的最值问题时，可转化为相应的函数，再通过函数的最值求得结果. 这个过程用到了转化与化归思想、数形结合思想，综合性较强. 举一反三：【变式1】已知数列{n a }的前n 项和()2=2+22n S n n n *-∈N ，当n =______时，n S 取得最大值. 【答案】5或6【变式2】当数列{}3-20n 的前n 项和取得最小值时，项数n 的值为________. 【答案】6【巩固练习】 一、选择题1．已知数列{}n a 中，2=+n a n n ，那么( ) A ．0是数列中的项 B ．20是数列中的项 C ．3是数列中的项D ．930不是数列中的项2．已知数列的通项公式：31()22()n n n a n n +=-⎧⎨⎩为奇数为偶数 则23a a ⋅等于( )A ．70B ．28C ．20D ．83…则( ) A ．第6项 B ．第7项 C ．第8项 D ．第9项4．数列-1，43，95-，167，⎧的一个通项公式是( ) A ．2(1)21nn n a n =--B ．(1)(1)21nn n n a n +=-- C ．2(1)21n n n a n =-+D ．32(1)21nn n na n -=--5. 若数列的通项公式2n na n =+，则n a 与1n a +的大小关系是（ ） A.1n n a a +> B. 1n n a a +< C. 1n n a a += D. 不能确定 二、填空题6. 已知数列{}n a 的前n 项和=3+2n n S ，则n a =__________.7. 已知数列{}n a 前n 项和2=5n S n n -， 则678910++++=a a a a a _________. 8. 已知数列{}n a 中，11a =, 1422n n a a +=-+. 那么数列{}n a 的前5项依次为______________. 9. 在数列21121,0,,,,98n n --…，…中，0.08是它的第______项． 10．写出下列各数列的通项公式，使其前4项分别是： (1) 12, -45,910, -1617,……； (2)23, 415, 635, 863,……; (3) 5，55，555， 5555，⎧； (4) 3，5，3，5，⎧11.下图中的三角形称为希尔宾斯三角形，在下图的四个三角型中，着色三角形的个数构成数列{}n b 的前四项，依次着色方案继续对三角形着色，则着色三角形的个数的通项公式为_________.三、解答题12．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足关系式()lg 1=n S n -， 求n a .13．已知数列{}n a 的通项公式为2=+n a n n λ， 若数列{}n a 为递增数列，试求最小的整数λ.14．若数列{}n a 满足： ()1-121=1= +241n n a a a n n n *≥∈-N ，，且，求{}n a 的通项公式.15．已知数列{}n a 的通项公式为2= 5+4n a n n -.(1)数列中有多少项是负数？(2) n 为何值时，n a 有最小值？并求出最小值．16. 已知数列{}n a 中，1a ＝1，2a ＝2，()-1-2=+>2n n n a a a n ．通过公式1n n na b a +=构造一个新数列{n b }，试写出数列{n b }的前5项，你能说出这个数列的特点吗？【答案与解析】 1.【答案】 B【解析】 令n 2＋n ＝0，得n ＝0或n ＝－1，∵n ∉N *，故A 错． 令n 2＋n ＝20，即n 2＋n －20＝0，∴n ＝4或n ＝－5(舍)， ∴a 4＝20. 故B 正确． 令n 2＋n ＝3，即n 2＋n －3＝0.∴Δ＝1－4×(－3)＝13，故无有理根，C 错． 令n 2＋n ＝930，即(n ＋31)(n －30)＝0，∴n ＝30或n ＝－31(舍)，∴a 30＝930，故D 错． 2.【答案】 C【解析】 a 2＝2×2－2＝2。