三角形重心、垂心、外心、内心总结

三角形的外心内心垂心重心三角形的“四心所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心•当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心.一、外心【定义】三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心.\ABC的重心一般用字母0表示.【性质】1・外心到三顶点等距，即OA = OB = 0C・2 •外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即OD 丄BC,OEA.4C,OF丄/〃・3.ZJ = -ZBOC,ZB = L"OC,ZC = -ZAOB ・2 2 2二、内心【定义】三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心.MBC的内心一般用字母/表示.C【性质】1 •内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角.2•三角形的面积=三角形的周长x内切圆的半径.23. AE = AF. BF = BD, CD = CE ；AE + BF±CD =三角形的周长的一半.44一90。

+存,8“90。

+护,W9O +"C・三、垂心【定义】三角形三条高的交点叫重心.\ABC的重心一般用字母H表示.1 •顶点与垂心连线必垂直对边，即AH丄BC、BH丄AC,CH丄AB.2.A ABH的垂心为C, NBHC的A 垂心为/\ACH的垂心为3 •【定义】三角形三条中线的交点叫重心・AJBC 的重心一般用字母G 表示. 【性质】1 •顶点与重心G 的连线必平分对边.2•重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍.即 GA = 2GD, GB = 2GE, GC = 2GF3 .重心的坐标是三顶点坐标的平均值. 即总二邑逬竺，儿=2^匕严4•向量性质：(1) GA + GB + GC = O ；三角形“四心”的向量形式：结论1：若点O 为\ABC 所在的平面内一点，满足OAOB = OBOC = OCOA t则点。

为MBC 的垂心.结论2：若点O 为AABC 所在的平面内一点，满足OA +~BC 2 =OB -}-CA =OC\7B~ f 则点 O 为\ABC 的垂心.结论3：若点G 满足GA + GB^GC = O f 则点G 为\ABC 的重心.结论4：若点G 为\ABC 所在的平面内一点，满足~OG = -(OA^OB + OC)t则点G 为\ABC 的重心.结论5：若点/为AJBC 所在的平面内一点，并且满足a H + b •用+ c •丘=6(其中a,b,c 为三角形的三边)，则点/为AABC 的内心.结论6：若点O 为MBC 所在的平面内一点，满足(^ + OB) BA = (dB + OC) CB = (dc + OA) AC ，则点 O 为 \ABC 的夕卜心.结论7：设/lw(0,+oo),则向量仲=久(«+ <£■),则动点P 的轨迹过的 \AB\ \AC\■ •I ■ • I •I •(2) PG = -(PA + PB + PC),5・ S^GC = S^CG/l =S“GBMB内心.向量和“心”一、重心”的向量风采【命题1】 已知G 是厶ABC 所在平面上的一点，若"G B -GG0，则G 是△ ABC 的重心.如图⑴.定通过△ ABC 的重心.边上的中线所在直线的向量，所以动点 ⑵. P 的轨迹一定通过 △ ABC 的重心，如图二、垂心”的向量风采【命题3】 P 是厶ABC 所在平面上一点，若 PA P^PB P^ PC PA ，则P 是 △ ABC 的垂心. 【解析】由 况，韋「P "B ,P ^得（祚 L F ） C0即卩P"B ，UfO ，所以【命题4】 已知O 是平面上一定点，A, B C 是平面上不共线的三个点，动点【解析】由题意 AP 「(AB AC),当’(0::时，由于■ (AB AC)表示 BC图⑵（是平面上不共线的三个点，动点CA 同理可证P C ± A ，PALB C 二P 是厶ABC 的垂心.如图⑶.图⑶A BP 满足 OP =0A ■ (AB AC) , ■ ( 0 BBP 满足O?=OA+扎 1 A ----- +------ |，九匸（0,+°°），贝U 动点 P 的轨迹 疋AB cosB AC cosC |通过△ ABC 的垂心.的轨迹一定通过△ ABC 的垂心，如图⑷. 三、内心”的向量风采 【命题5】 已知IABC 所在平面上的一点，且AB 二cAC 二bBC 二a .若T i TaIA bIB cIC =0，贝U I 是厶ABC 的内心.【解析】 AB c o BAC c Cs,由于= 'BC'—'CB|=0,所以AP 表示垂直于BC 的向量，即P 点在过点A 且垂直于BC 的直线上，所以动点P二 AI由题意AC cosCAB BC AC ■ BC即岡盂+冋盂AC ••• bAB cACbc a b c分别为AB 和AC 方向上的单位向量,••• AI与/ BAC平分线共线，即AI平分.BAC .同理可证：BI 平分.ABC , CI 平分.ACB .从而I 是△ ABC 的内心，如图⑸.【命题6】 已知0是平面上一定点，A , B （是平面上不共线的三个点，动点的内心.则O 是厶ABC 的外心，如图⑺.【命题7】 已知O 是平面上的一定点，A B C 是平面上不共线的三个点，动轨迹一定通过△ ABC 的外心.A C——C 表示垂直于BC 的向量，所以P 在BC 垂直平分线上, o sC，川（0 +叱）,则动点P 的轨迹一定通过 △ ABC，二当儿三（0 ■二时，AP 表示一 BAC 的平分线所在直线方向的向量，故动点 P 的轨迹一定通过△ ABC 的内心，如图⑹. 四、外心”的向量风采 【命题7】 已知0是△ ABC 所在平面上一点，若0V "0B =—0,则 o 是△ ABC 的外心.^^2 2 2【解析】 若O A = O B = 0,则 图⑻龙=用6=|二「. 0^=RB~0，C点P 满足OP 二(TT 3 IT ：AB +ACACCOBc CsJ【解析】由于°-B —°过C BC 的中点，2P 满足【解析】由题意得APAC■OB OC .2人乏（0 + °°）,则动点P 的A C动点P 的轨迹一定通过△ ABC 的外心，如图⑻练习:数.满足：AB • AC 二‘ AP ，则.的值为（） 3A . 2B .C . 3D . 622.若.ABC 的外接圆的圆心为 0，半径为1,OA ，OB ・OC=0，贝U OA OB =（）A . 1B . 0C . 12OA 2OB 2OC = 0，贝U ABC 面积与凹四边形 ABOC 面积之比是（ ）3 5A . 0B .C .— 2 40，若OH -OA OB OC ，贝U H 是 ABC 的（——2 ——2 ——■ 2 5.0是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，若OA BC = 0B■ - 2 j 2 ■ 2CA =OC AB ，则 O 是 ABC 的（ ）A .外心B .内心C .重心 6^ ABC 的外接圆的圆心为0,两条边上的高的交点为H, OH = m （OA OB OC ），则实数m = ______ 7. （06陕西）已知非零向量AB 与AC 满足+AC ） BC=0且•— =2 ,|Afe| |AC| |Afe| |AC| 2A .外心B .内心C .重心D .垂心 1■已知 ABC 三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P ，满足 PA PB PC3 .点O 在ABC 内部且满足 4. =ABC 的外接圆的圆心为 D .垂心则厶ABC为（）A.三边均不相等的三角形C.等腰非等边三角形B.直角三角形D .等边三角形——2 ——————■ 一■ ——一■8.已知ABC 三个顶点A、B、C，若AB -AB AC AB CB BC CA，则ABC 为（）A .等腰三角形C .直角三角形练习答案：C、D、C、D、D、B.等腰直角三角形D .既非等腰又非直角三角形1、D、C。

三角形五心定理（三角形的重心, 外心, 垂心, 内心和旁心称之为三角形的五心）三角形五心定理是指三角形重心定理, 外心定理, 垂心定理, 内心定理, 旁心定理的总称.之马矢奏春创作一、二、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点.该点叫做三角形的重心.三中线交于一点可用燕尾定理证明, 十分简单.（重心原是一个物理概念, 对等厚度的质量均匀的三角形薄片, 其重心恰为此三角形三条中线的交点, 重心因而得名）重心的性质：1、重心到极点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1.2、重心和三角形3个极点组成的3个三角形面积相等.即重心到三条边的距离与三条边的长成反比.3、重心到三角形3个极点距离的平方和最小.4、在平面直角坐标系中, 重心的坐标是极点坐标的算术平均, 即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3, （Y1+Y2+Y3)/3.二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心, 叫做三角形的外心.外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点, 该点即为该三角形外心.2、若O是△ABC的外心, 则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）.3、当三角形为锐角三角形时, 外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时, 外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时, 外心在斜边上, 与斜边的中点重合.4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1, d2, d3分别是三角形三个极点连向另外两个极点向量的点乘.c1=d2d3,c2=d1d3, c3=d1d2；c=c1+c2+c3.重心坐标：( (c2+c3)/2c,(c1+c3)/2c, (c1+c2)/2c ).5、外心到三极点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点, 该点叫做三角形的垂心.垂心的性质：1、三角形三个极点, 三个垂足, 垂心这7个点可以获得6个四点圆.2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线, 且OG∶GH=1∶2.（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一极点距离为此三角形外心到此极点对边距离的2倍.4、垂心分每条高线的两部份乘积相等.定理证明已知：ΔABC中, AD、BE是两条高, AD、BE交于点O, 连接CO 并延长交AB于点F , 求证：CF⊥AB证明：连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度∴A、B、D、E四点共圆∴∠ADE=∠ABE∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 又∵∠ABE+∠BAC=90度∴∠ACF+∠BAC=90度∴CF⊥AB因此, 垂心定理成立！四、三角形内心定理三角形内切圆的圆心, 叫做三角形的内心.内心的性质：1、三角形的三条内角平分线交于一点.该点即为三角形的内心.2、直角三角形的内心到边的距离即是两直角边的和减去斜边的差的二分之一.3、P为ΔABC所在平面上任意一点, 点I是ΔABC内心的充要条件是：向量PI=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c).4、O为三角形的内心, A、B、C分别为三角形的三个极点, 延长AO交BC边于N, 则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC五、三角形旁心定理三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心, 叫做三角形的旁心.旁心的性质：1、三角形一内角平分线和另外两极点处的外角平分线交于一点, 该点即为三角形的旁心.2、每个三角形都有三个旁心.3、旁心到三边的距离相等.如图, 点M就是△ABC的一个旁心.三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点.一个三角形有三个旁心, 而且一定在三角形外.附：三角形的中心：只有正三角形才有中心, 这时重心, 内心, 外心, 垂心, 四心合一.有关三角形五心的诗歌三角形五心歌（重外垂内旁）三角形有五颗心, 重外垂内和旁心, 五心性质很重要, 认真掌握莫记混．重心三条中线定相交, 交点位置真奇巧, 交点命名为“重心”, 重心性质要明了,重心分割中线段, 数段之比听分晓；长短之比二比一, 灵活运用掌握好．外心三角形有六元素, 三个内角有三边．作三边的中垂线, 三线相交共一点．此点界说为外心, 用它可作外接圆．内心外心莫记混, 内切外接是关键．垂心三角形上作三高, 三高必于垂心交．高线分割三角形, 呈现直角三对整,直角三角形有十二, 构成六对相似形, 四点共圆图中有, 细心分析可找清.内心三角对应三极点, 角角都有平分线, 三线相交定共点, 叫做“内心”有根源；点至三边均等距, 可作三角形内切圆, 此圆圆心称“内心”, 如此界说理固然．。

三角形五心定理（三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心）三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。

之巴公井开创作一、二、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。

该点叫做三角形的重心。

三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。

（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。

二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。

2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。

3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。

c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。

重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。

5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG∶GH=1∶2。

（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理)[参照]
三角形的重心：是指三角形内任意一点，它到三条边上三个顶点连线的质心，即三角形的外心和所有顶点的重心。

外心：指三角形的外接圆心，也就是三条边的质心，即三角形的重心。

垂心：指三角形的垂心，也就是三角形所有内角的质心，即三角形的重心。

内心：指三角形内角平分线的交点，也就是三角形各内角的质心，即三角形的重心。

旁心：指三角形的垂直平分线的交点，也就是三角形各边的质心，即三角形的重心。

三角形五心定理（三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心）三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。

之二胡藕藤创作一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。

该点叫做三角形的重心。

三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。

（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。

二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。

2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。

3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。

c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。

重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。

5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG∶GH=1∶2。

（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

内心、外心、重心、垂心定义及性质总结1.内心：（1）三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。

（2）性质：到三边距离相等。

2外心：（1）三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。

（2）性质：到三个顶点距离相等。

3重心：（1）三条中线的交点。

（2）性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2 倍。

4垂心：三条高所在直线的交点。

5重心：三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为“重心”，重心性质要明了，重心分割中线段，数段之比听分晓；长短之比二比一，灵活运用掌握好.6垂心：三角形上作三高，三高必于垂心交.高线分割三角形，出现直角三对整，直角三角形有十二，构成六对相似形，四点共圆图中有，细心分析可找清.7内心：三角对应三顶点，角角都有平分线，三线相交定共点，叫做“内心”有根源；点至三边均等距，可作三角形内切圆，此圆圆心称“内心”如此定义理当然.8外心：三角形有六元素，三个内角有三边.作三边的中垂线，三线相交共一点.此点定义为“外心”，用它可作外接圆.“内心” “外心”莫记混，“内切” “外接”是关键.保安员服装管理规定一、目的为加强保安队伍的职业化、正规化建设，规范公司保安制服的领用、发放和管理，特制定以下规定:二、范围本规定明确了公司保安制服领用、发放范围，收费及折旧办法等。

三、职责1.财务部负责公司制服的采购。

2.管理部内勤负责公司制服的保管、发放及制服发放名单的统计核实工作。

3.管理部负责员工着装的检查工作。

四、管理内容与要求1.保安制服分类：共分夏装、春秋装、冬装三种，其中含附件有：帽子1顶,腰带1条，领带1条；配饰有：硬肩章、软肩章、胸号、胸徽、帽徽及领带夹等。

1）夏装包括：短袖衬衣、夏裤。

2）春秋装包括：长袖衬衣、春秋套装。

3）冬装包括：棉衣。

2.特勤服分类：共分夏装、春秋装、冬装三种，其中含附件有：帽子1顶；配饰有：肩章、背章、胸号、胸徽、腰带、帽徽等八件套。

1）夏装包括：短袖衬衣、夏裤。

内⼼、外⼼、重⼼、垂⼼定义及性质总结-外⼼的定义内⼼、外⼼、重⼼、垂⼼定义及性质总结
1.内⼼：
（1）三条⾓平分线的交点，也是三⾓形内切圆的圆⼼。

（2）性质：到三边距离相等。

2外⼼：
（1）三条中垂线的交点，也是三⾓形外接圆的圆⼼。

（2）性质：到三个顶点距离相等。

3 重⼼：
（1）三条中线的交点。

（2）性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。

4 垂⼼：三条⾼所在直线的交点。

5 重⼼: 三条中线定相交，交点位置真奇巧，
交点命名为“重⼼”，重⼼性质要明了，
重⼼分割中线段，数段之⽐听分晓；
长短之⽐⼆⽐⼀，灵活运⽤掌握好．
6 垂⼼: 三⾓形上作三⾼，三⾼必于垂⼼交．
⾼线分割三⾓形，出现直⾓三对整，
直⾓三⾓形有⼗⼆，构成六对相似形，四点共圆图中有，细⼼分析可找清.
7内⼼: 三⾓对应三顶点，⾓⾓都有平分线，
三线相交定共点，叫做“内⼼”有根源；
点⾄三边均等距，可作三⾓形内切圆，
此圆圆⼼称“内⼼”如此定义理当然．
8外⼼: 三⾓形有六元素，三个内⾓有三边．
作三边的中垂线，三线相交共⼀点．
此点定义为“外⼼”，⽤它可作外接圆．
“内⼼”“外⼼”莫记混，“内切”“外接”是关键．如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。

最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word文本 --------------------- 方便更改三角形五心定理（三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心）三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。

一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。

该点叫做三角形的重心。

三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。

（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。

二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。

2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。

3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。

c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。

重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。

5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

三角形四心及其性质总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
三角形四心
一、重心：三条边的中线交于一点
性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，
即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3）/3)。

二、外心：三条边的垂直平分线交于一点。

该三角形外接圆的圆心，
性质：
1、外心到三角形三个顶点的距离相等
2、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心与斜边中点重合。

三、垂心：三角形的三条高（所在直线）交于一点。

性质：
1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。

（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））
3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。

四、内心：三条内角平分线交于一点。

即三角形内切圆的圆心。

性质：
1、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。

2、双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。

三角形五心定理（三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心）三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。

一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。

该点叫做三角形的重心。

三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。

（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3 ）。

二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。

2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。

3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。

c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。

重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。

5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG∶GH=1∶2。

（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

三角形的垂心、重心、内心与外心三角形是我们初中数学学习中的重要内容之一，它的性质和特点十分丰富有趣。

本文将介绍三角形的垂心、重心、内心和外心，探讨它们在三角形中的重要地位和作用。

一、三角形的垂心垂心是指三角形三条边上的垂线交于一点的点，它通常用H表示。

垂心与三角形的性质密切相关，具有以下几个重要特点：1.1 垂心与三角形的垂线垂心H到三角形三边的连线分别称为三角形的垂线，分别记为AH、BH和CH。

垂心到三角形三边的垂线具有以下性质：（1）垂心H到三角形三边的垂线长度相等；（2）垂心H到三角形三边的垂线互相垂直。

1.2 垂心与三角形的重要性质垂心H具有以下重要性质：（1）垂心H到三角形三个顶点的距离之和最小；（2）垂心H是三角形内心I和外心O的连线中点；（3）垂心H是三角形外接圆和九点圆（即三角形的三个中线的中点连成的圆）的圆心。

二、三角形的重心重心是指三角形三条中线交于一点的点，它通常用G表示。

重心与三角形的性质密切相关，具有以下几个重要特点：2.1 重心与三角形的中线重心G到三角形的三个顶点分别连接线段，则这三条连线称为三角形的中线，分别记为AD、BE和CF。

重心到三角形的三条中线具有以下性质：（1）重心G到三角形三条中线的长度成比例关系，即AG：GD = BG：GE = CG：GF = 2：1；（2）重心G到三角形三条中线的交点是重心G本身。

2.2 重心与三角形的重要性质重心G具有以下重要性质：（1）重心G到三角形三个顶点的距离之和最小；（2）重心G是三角形垂心H和外心O的连线中点；（3）重心G是三条中线的交点，同时也是三角形的质心（三个顶点的重心）。

三、三角形的内心内心是指三角形的三条角平分线交于一点的点，它通常用I表示。

内心与三角形的性质密切相关，具有以下几个重要特点：3.1 内心与三角形的角平分线内心I到三角形的三个顶点分别连接线段，则这三条连线称为三角形的角平分线，分别记为AI、BI和CI。

三角形的四心定义及其性质总结
三角形是几何图形中最常见的形状，许多几何中的问题都与它有关。

三角形的形态也极其复杂，可以根据它的内部特征和外部特征来分类。

其中，四心定义及其性质决定了三角形的结构特征，在几何图形学中非常重要，下面就四心定义及其性质进行总结。

四心定义是指重心、内心、外心和垂心四种中心，它们对三角形的特征有着重要的影响，如重心是三角形内任何两点连线的重点，内心是三角形内角平分线交点；外心是三角形外接圆的圆心；垂心是三角形内角垂线的交点。

四心定义的性质也极其复杂，其中最重要的性质有：
1、重心的性质：重心是三角形内任何两点连线的重点，同时也
是三角形三条边的重点，所有三角形的重心都在三角形内部，而且重心到三角形内角的距离都相等，构成了三角形的等腰三角形。

2、内心的性质：内心是三角形内角平分线的交点，由内心和三
角形的三个顶点构成的三条线段相等，所以又称之为等边三角形；内心到三角形三个顶点的距离都相等，也构成了三角形的等腰三角形。

3、外心的性质：外心是三角形外接圆的圆心，同时也是三角形
三条外边中点的重点，所有三角形的外心都在三角形外部。

4、垂心的性质：垂心是三角形内角垂线的交点， three medians of a triangle are concurrent at the orthocenter，以又称之为
正切点，垂心到三角形三个顶点的距离都不相等。

总之，四心定义及其性质是了解三角形结构特征不可或缺的知识，
在几何图形学中发挥着重要作用。

例如它可以帮助我们判断一个三角形是等腰三角形还是等边三角形，也可以用来求取一个三角形的边长、面积等其他参数。

内心、外心、重心、垂心1、内心（1）定义：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)。

（2）三角形的内心的性质①三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心②三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r③s=(r是内切圆半径)④在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．⑤∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90+∠C/2 ∠AOC = 90+∠B/22、外心（1）定义：三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。

（2）三角形的外心的性质①三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。

③锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合④OA=OB=OC=R⑤∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA⑥S△ABC=abc/4R3、重心（1）三角形的三条边的中线交于一点。

该点叫做三角形的重心。

（2）三角形的重心的性质①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

③重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

④在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3⑤重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。

⑥重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

4、垂心（1）定义：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。

（2）三角形的垂心的性质①锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外②三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心③垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上④△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO·OD=BO·OE=CO·OF⑤H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。

内心、外心、重心、垂心1、内心（1）定义：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)。

（2）三角形的内心的性质①三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心②三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r③s=(r是内切圆半径)④在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．⑤∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90+∠C/2 ∠AOC = 90+∠B/22、外心（1）定义：三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。

（2）三角形的外心的性质①三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。

③锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合④OA=OB=OC=R⑤∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA⑥S△ABC=abc/4R3、重心（1）三角形的三条边的中线交于一点。

该点叫做三角形的重心。

（2）三角形的重心的性质①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

③重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

④在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3⑤重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。

⑥重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

4、垂心（1）定义：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。

（2）三角形的垂心的性质①锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外②三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心③垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上④△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO·OD=BO·OE=CO·OF⑤H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。

三角形四心
一、重心：三条边的中线交于一点
性质：
1 、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰ 1 。

2 、重心和三角形
3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3 、重心到三角形 3 个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，
即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3）/3)。

二、外心：三条边的垂直平分线交于一点。

该三角形外接圆的圆心，
性质：
1、外心到三角形三个顶点的距离相等
2、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形
外部；当三角形为直角三角形时，外心与斜边中点重合。

三、垂心：三角形的三条高（所在直线）交于一点。

性质：
1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7 个点可以得到 6 个四点圆。

2、三角形外心 O、重心 G 和垂心H 三点共线，且 OG ︰ GH=1 ︰ 2 。

（此直线称为三角形的欧拉线（ Euler line））
3 、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的 2 倍。

4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。

四、内心：三条内角平分线交于一点。

即三角形内切圆的圆心。

性质：
1、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。

2、双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。

重心垂心内心外心的向量结论
在平面几何中，重心、垂心、内心和外心是四个十分重要的概念，它们是我们研究三角形的必备元素。

今天我们就来谈谈重心、垂心、
内心和外心的一些向量结论。

首先，我们来说一下重心。

重心是指三角形三条中线的交点，也
是三角形内所有点到三角形三个顶点距离之和最小的点。

通过向量的
知识，我们可以得知，重心到三角形三个顶点的向量和为零向量。

换
句话说，三角形顶点的向量和就是重心的向量。

这条结论对于求解重
心问题非常有用。

接下来，我们来谈一下垂心。

垂心是指三角形三个顶点到对边垂
线的交点。

我们可以得知，垂心到三角形三个顶点的向量互相垂直。

这条结论也非常有用，可以用来方便地计算垂心的坐标。

再来说一下内心。

内心是指三角形三条角平分线的交点，是三角
形内切圆的圆心。

我们可以得知，内心到三角形三个顶点的向量之和
等于零。

这条结论同样也非常有用，可以用来方便地计算内心的坐标。

最后，我们来说一下外心。

外心是指三角形三个垂直平分线的交点，是三角形外接圆的圆心。

我们可以得知，外心到三角形三个顶点
的向量互相垂直且长度相等。

这条结论同样非常有用，可以用来方便
地计算外心的坐标。

综上所述，重心、垂心、内心和外心都有其特定的向量结论。

这些结论不仅在求解相关问题时非常有用，而且对于我们加深对向量的理解也有很大帮助。

因此，我们需要加强对这些结论的学习和掌握，进一步提高数学思维水平。