5.9 已知三角函数值求角

通过已知三角函数值求解角度的方法通过已知三角函数值求解角度的方法引言：在三角学中，已知一个三角函数值时，我们经常需要求解对应的角度。

这是一个常见的问题，尤其在解三角方程、计算三角函数值的反函数和解实际应用问题时非常重要。

在本文中，我们将探讨一些常见的方法和技巧，通过已知三角函数值求解角度。

一、正弦函数值的反函数求解正弦函数是三角学中最常见的函数之一。

已知sinθ的值，我们可以通过反正弦函数来求解θ的值。

反正弦函数通常记作arcsin或sin^(-1)。

1. 使用计算器：现代科学计算器通常都内置了反正弦函数的计算功能。

我们可以直接输入sin^(-1)函数，然后输入已知的sinθ的值来获得θ的近似解。

然而，需要注意的是，计算器通常只提供[-π/2, π/2]范围内的反正弦值，因此我们需要根据具体情况来确定角度的范围。

2. 使用正弦函数与逆三角函数的关系：通过观察正弦函数的图像和反正弦函数的定义，我们可以发现它们之间有着特殊的关系。

正弦函数的值域是[-1, 1]，而反正弦函数的定义域是[-π/2, π/2]。

因此，当sinθ的值在[-1, 1]范围内时，我们可以通过反正弦函数来求解θ的值。

例如，如果我们已知sinθ = 0.5，那么θ可以是30°或π/6。

在这种情况下，我们需要考虑θ的所有可能解。

二、余弦函数值的反函数求解余弦函数也是三角学中一个重要的函数。

已知cosθ的值时，我们可以通过反余弦函数来求解θ的值。

反余弦函数通常记作arccos或cos^(-1)。

1. 使用计算器：类似于反正弦函数的求解方法，我们可以通过现代科学计算器的反余弦函数功能来求解θ的近似解。

同样需要注意计算器提供的角度范围。

2. 使用余弦函数与逆三角函数的关系：与正弦函数类似，余弦函数的值域也是[-1, 1]，而反余弦函数的定义域是[0, π]。

当cosθ的值在[-1, 1]范围内时，我们可以通过反余弦函数来求解θ的值。

《已知三角函数值求角》说课稿尊敬的各位评委老师：大家好！今天我说课的题目是《已知三角函数值求角》。

下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程、板书设计这几个方面来展开我的说课。

一、教材分析《已知三角函数值求角》是高中数学必修 4 三角函数这一章节的重要内容。

在此之前，学生已经学习了任意角的三角函数的定义、诱导公式以及特殊角的三角函数值等知识，为本节课的学习奠定了基础。

本节课既是对前面所学知识的深化和应用，也为后续学习解三角形等内容做好了铺垫，具有承上启下的作用。

本节课主要介绍了已知三角函数值求角的基本方法和步骤，通过实例让学生体会数学知识在实际问题中的应用，培养学生的数学思维和解决问题的能力。

二、学情分析授课对象是高一年级的学生，他们已经具备了一定的逻辑思维能力和抽象概括能力，但对于较为复杂的数学问题，还需要进一步的引导和训练。

在学习本节课之前，学生已经掌握了三角函数的基本概念和性质，但对于如何根据已知的三角函数值求出角的大小，可能会感到困惑和迷茫。

因此，在教学过程中，要注重引导学生从特殊到一般、从具体到抽象，逐步掌握解题的方法和技巧。

三、教学目标1、知识与技能目标（1）理解已知三角函数值求角的概念。

（2）掌握已知正弦、余弦、正切函数值求角的方法和步骤。

（3）能够运用所学知识解决简单的实际问题。

2、过程与方法目标（1）通过观察、分析、类比、归纳等方法，培养学生的数学思维能力和创新能力。

（2）让学生经历自主探究、合作交流的学习过程，提高学生的学习能力和团队协作能力。

3、情感态度与价值观目标（1）激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。

（2）让学生体会数学知识与实际生活的紧密联系，增强学生的应用意识和数学素养。

四、教学重难点1、教学重点（1）已知正弦、余弦、正切函数值求角的方法和步骤。

（2）根据三角函数值的范围确定角的范围。

2、教学难点（1）如何根据三角函数值的符号确定角所在的象限。

已知三角函数值求角教案一、教学目标1.掌握如何根据已知的三角函数值求出对应的角度。

2.理解三角函数的概念和计算方法。

3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

二、教学内容1.三角函数的定义和性质。

2.如何根据已知的三角函数值求出对应的角度。

三、教学步骤和方法1.导入新课（5分钟）教师通过提问的方式复习一下已学过的三角函数的基本概念和性质。

a. 请问sin60°的值是多少？b. 请问tan45°的值是多少？2.引入新知（10分钟）教师出示一道题目：“已知sin(x) = 1/2，求x的值。

”并引导学生进行思考，然后进行讨论。

3.指导学习（20分钟）教师向学生详细讲解如何根据已知的三角函数值求出对应的角度，并举例说明。

a. 已知sin(x) = 1/2，如何求x的值？根据sin的定义可知，sin(x) = 1/2，表示x的对边长度等于斜边长度的一半。

在单位圆上，对应的角度为30°或150°。

因此，x的值可以是30°或150°。

b. 已知cos(x) = -1/2，如何求x的值？根据cos的定义可知，cos(x) = -1/2，表示x的邻边长度等于斜边长度的一半。

在单位圆上，对应的角度为120°或240°。

因此，x的值可以是120°或240°。

c. 已知tan(x) = √3，如何求x的值？根据tan的定义可知，tan(x) = √3，表示x的对边长度等于邻边长度的√3倍。

在单位圆上，对应的角度为60°或240°。

因此，x的值可以是60°或240°。

4.训练与巩固（15分钟）教师出示几道练习题，让学生分组进行计算，然后进行互评和讨论。

如：a. 已知sin(x) = 3/4，求x的值。

b. 已知cos(x) = -√2/2，求x的值。

c. 已知tan(x) = -2，求x的值。

【学习目标】1、掌握已知三角函数值求角的解题步骤；2、要求学生初步（了解）理解反正弦，反余弦，反正切函数的意义，会由已知角的正弦值、余弦值、正切值求出[]π2,0范围内的角，并能用反正弦，反余弦，反正切的符号表示角或角的集合【要点梳理】要点一：反正弦，反余弦，反正切函数的定义（1）一般地，对于正弦函数sin y x =，如果已知函数值[](1,1)y y ∈-，那么在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有唯一的x 值和它对应，记为arcsin x y =（其中11,22y x ππ-≤≤-≤≤）．即arcsin y （||1y ≤）表示,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上正弦等于y的那个角．（2）在区间[]0,π上符合条件cos (11)x y y =-≤≤的角x ，记为arccos x y =．（3）一般地，如果tan ()x y y R =∈，且,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，那么对每一个正切值y ，在开区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内，有且只有一个角x ，使tan x y =．符合上述条件的角x ，记为arctan ,(,)22x y x ππ=∈-．要点二：已知正弦值、余弦值和正切值，求角 已知角x 的一个三角函数值求角x ，所得的角不一定只有一个，角的个数要根据角的取值范围来确定，这个范围应该在题目中给定，如果在这个范围内有已知三角函数值的角不止一个，解法可以分为以下几步：第一步，决定角可能是第几象限角.第二步，如果函数值为正数，则先求出对应的锐角1x ；如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角1x .第三步，如果函数值为负数，则可根据x 可能是第几象限角，得出(0，2π)内对应的角；如果它是第二象限角，那么可表示为－1x ＋π；如果它是第三或第四象限角，那么可表示为1x ＋π或－1x ＋2π. 第四步，如果要求(0，2π)以外对应的角，则可利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律写出结果.【典型例题】类型一：已知正弦值、余弦值，求角例1．已知sin x =，（1）x ∈[]0,2π，（2）x R ∈，求角x . 【思路点拨】因为所给的正弦值是负数，所以先求出其绝对值对应的锐角，然后在求出其他象限的角． 【解析】（1）由sin x =知x 的正弦值是个负值，所以x 是第三象限或第四象限的角．因为sin 4π=，所以第三象限的那个角是544πππ+=，第四象限的角是7244πππ-=． （2）在R 上符合条件的角是所有与54π终边相同的角和所有与74π终边相同的角．因此x 的取值集合为57|2()|2()44x x k k z x x k k z ππππ⎧⎫⎧⎫=+∈=+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭． 【总结升华】（1）定象限，根据三角函数值的符号确定角是第几象限角．(2)找锐角；如果三角函数值为正，则可直接求出对应的锐角1x ，如果三角函数值为负，则求出与其绝对值对应的锐角1x ． (3)写形式．根据 ±，2 - 的诱导公式写出结果．第二象限角：1x π-；第三象限角：1x π+第四象限角：12x π- ．如果要求出[ 0 ，2 ]范围以外的角则可利用终边相同的角的三角函数值相等写出所有结果．例2．（1）已知cos x ＝－0．7660，且x ∈［0，π］，求x ； （2）已知cos x ＝－，且x ∈［0，2π］，求x 的取值集合.【思路点拨】因为所给的余弦值是负数，所以先求出其绝对值对应的锐角，然后再求出其他象限的角． 【解析】（1）由余弦曲线可知y ＝cos x 在［0，π］上是减函数 又由已知cos x ＝－＜0 得x 是一个钝角又由cos(π－x )＝－cos x ＝0．7660利用计算器求得π－x ＝29π∴79x π=∴符合条件的有且只有一个角79π.（2）∵cos x ＝－0．7660＜0，所以x 是第二或第三象限角，由y ＝cos x 在［0，π］上是减函数 y ＝cos x 在［π，2π］上是增函数 因为cos(π＋29π)＝cos(π－29π)= －.可知：符合条件的角有且只有两个，即第二象限角79π或第三象限角119π．∴所求角x 的集合是｛79π，119π｝.举一反三：【变式1】已知sinX= - ,且X ∈[ 0 ，2π] ，求角X 的取值集合． 【答案】arcsin0.3332π+或2arcsin0.3332π- 【变式2】根据下列条件，求△ABC 的内角A（1）23cos -=A （2）3sin 5A =【思路点拨】因为∠A 为△ABC 的内角，所以0＜A ＜π.根据余弦函数在),0(π内是单调递减的，故符合条件的∠A 只有一个，而根据正弦函数的单调性，在),0(π中符合条件的有两个. 【解析】（1）∠A 为△ABC 的内角 ∴0＜A ＜π∵余弦函数在区间),0(π中为减函数，所以符合条件23cos -=A 的角A 只有一个 ∵236cos=π∴2365cos -=π ∴π65=∠A（2）∵0＜A ＜π，根据正弦函数的单调性，在),0(π内符合条件3sin 5A =的角A 有两个 ∵53sin )sin(==-A A π ∴53arcsin 53arcsin -=∠=∠πA A 或类型二：已知正切值，求角例3．已知.,)3( ]2,0[)2( )2,2()1(.2tan ααπαππαα求角若R ∈∈-∈-= 【思路点拨】由正切函数的单调性可知，在开区间)2,2(ππ-内，符合条件2tan -=α的角只有一个，而在]2,0[πα∈内，符合条件2tan -=α的就有两个.再根据正切函数的周期性可知，第（3）题中符合条件的角α就有无穷多个了.【解析】（1）由正切函数在开区间)2,2(ππ-上是增函数可知；符合2tan -=α的角只有一个，即arctan(2)α=-（2）∵,02tan <-=α∴α是第二或第四象限角，又∵]2,0[πα∈，由正切函数在区间),2(ππ、]2,23(ππ上是增函数知，符合2tan -=α的角有两个. ∵,2tan )2tan()tan(-==+=+ααπαπ且)0,2()2arctan(π-∈-∴)2arctan(2)2arctan(-+=-+=παπα或（3）∵正切函数的最小正周期为π∴只需在长为一个周期的区间上求出满足条件的α，再加上πk 即可 在（1）中，)2arctan( )2,2(-=-∈αππα ∴Z R ∈-+=∈k k ),2arctan(,παα 举一反三：【变式1】(1)已知tan x ＝31，x ∈(－2π，2π)，求x . (2)已知tan x ＝31，且x ∈［0，2π］，求x 的取值集合. 【思路点拨】(1)由正切曲线可知y ＝tan x 在(－2π，2π)上是增函数；可知符合条件的角有且只有一个，利用计算器可求得x ＝10π=18°26′ (2)由正切函数的周期性，可知当x ＝10π＋π时，tan x ＝31 且10π＋π＝1011π∈［0，2π］ ∴所求x 的集合是｛10π，1011π｝类型三：反三函数的综合应用例4．已知θθπθcos sin ],2,0[和∈分别是方程012=++-k kx x 的两个根，求θ. 【思路点拨】利用一元二次方程的根与系数的关系和同角三角函数关系式1cos sin 22=+αα求k ，然后利用θθcos sin 和的值求θ.【解析】∵θθcos sin 和是方程012=++-k kx x 两个根∴⎩⎨⎧+=⋅=+1cos sin cos sin k k θθθθ①2–②×2，得：)1(2cos sin 222+-=+k k θθ整理得：0322=--k k 解得：31=-=k k 或又∵0)1(42≥--k k ∴2222-≤+≥k k 或 ∵22322+<<- ∴k =3应舍去，k = –1当k =–1时，原方程为02=+x x ∴⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧-==1sin 0cos 1cos 0sin θθθθ或 ∵)2,0[πθ∈ ∴πθπθ23==或 例5．求证arctan1+arctan2+arctan3=π【思路点拨】由于等式右边的三个角都在开区间)2,0(π内，故三个角的和在开区间（0，π23）内，若解求得这三角和的正切为0，那么证明就算完成了.证明：令,3arctan ,2arctan ,1arctan ===γβα则α、β、)2,0(πγ∈∴3tan 2tan 4===γβπα① ②∵tan tan 23tan()11tan tan 123βγβγβγ+++===---⨯而),0(πγβ∈+ ∴πγβ43=+ ∴πππγβα=+=++434 即arctan1+arctan2+arctan3=π。

已知三角函数值求角1. 使学生会由三角函数值求角．2. 能根据角的范围的不同，由三角函数值求出满足条件的角．3. 事物是辨证的，都有正反两方面．➢ 教学重点：已知三角函数值求角．➢ 教学难点：1．根据[0，2π]范围确定有已知三角函数值的角．2．对反正弦、反余弦、反正切这三个概念及其符号的正确认识．3．用符号arcsinx 、arccosx 、arctanx 表示所求的角．➢ 教学方法：探究式教学．➢ 教学过程：一、问题引入问题：已知条件p ：4π=x ，q ：22sin =x ，则p 是q 的什么条件？ 显然，p 是q 的充分条件（即p →q ）；这就是已知一个角求它的三角函数值的问题，这类问题到目前为止已经得到了比较圆满的解决．比如你给我一个求任意角的三角函数问题，我总可以利用五套诱导公式将其转化求锐角的三角函数值问题，如果这个角是特殊角，我们直接可以计算；若是半特殊的角（150，750），我们可以利用两角和与差的三角函数来解决；若是非特殊角，我们还有一个杀手锏：查表或用计算器．好，同学们有没有去考虑一下这种问题的反问题：已知三角函数值求角．二、新课讲授（一）已知正弦函数值求角实例及反正弦概念1． 解答问题让我们回到这个还未解决的问题上来．p 是q 的充分条件，那它是不是也是q 的必要条件呢？换句话说，q 能推出p 吗？（不能）为什么？（不一定就是4π=x ）谁能一个字不说就让大家明白？（图象）是什么原因导致一个三角函数值对应这无数个角？（正弦函数的周期性）上述问题的结论应该是：p 是q 充分非必要条件。

（这个结果不太舒服）2． 问题的引申1）能不能将上述问题中的条件p 改一下，使p 成为q 的充要条件？答：ππk x 24+=或Z k k x ∈+=,243ππ 2）能不能将上述问题中的条件q 改一下，使p 成为q 的充要条件？说明：这时要给角x 限定一个区间，那么取什么样的区间比较好呢？这里所谓的好，是不是要满足这几个条件：1、在这个区间内满足22sin =x 的x 只有一个4π=x ； 2、在这个区间内正弦函数y=sinx 值域中的每一个值都能取到；3、最好这个区间比较对称，长度适中．答：将q 改为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=2,2,22sin ππx x （满足上述3个条件。

高考数学知识点：已知三角函数值求角（1）反正弦：在闭区间上符合条件sinx=a（-1≤a≤1）的角x，叫做实数a的反正弦，记作arcsina，即x=arcsina，其中x∈，且a=sinx；注意arcsina表示一个角，这个角的正弦值为a，且这个角在内（-1≤a≤1）。

（2）反余弦：在闭区间上，符合条件cosx=a（-1≤a≤1）的角x,高考英语，叫做实数a的反余弦，记作arccosa，即x=arccosa，其中x∈[0，π]，且a=cosx。

（3）反正切：在开区间内，符合条件tanx=a（a为实数）的角x，叫做实数a的反正切，记做arctana，即x=arctana，其中x∈，且a=tanx。

反三角函数的性质：（1）sin（arcsina）=a（-1≤a≤1），cos（arccosa）=a （-1≤a≤1），tan（arctana）=a；（2）arcsin（-a）=-arcsina，arccos（-a）=π-arccosa，arctan（-a）=-arctana；（3）arcsina+arccosa=；（4）arcsin（sinx）=x，只有当x在内成立；同理arccos （cosx）=x只有当x在闭区间[0，π]上成立。

已知三角函数值求角的步骤：（1）由已知三角函数值的符号确定角的终边所在的象限（或终边在哪条坐标轴上）；（2）若函数值为正数，先求出对应锐角α1，若函数值为负数，先求出与其绝对值对应的锐角α1；（3）根据角所在象限，由诱导公式得出0~2π间的角，如果适合条件的角在第二象限，则它是π-α1；如果适合条件的角在第三象限，则它是π+α1；在第四象限，则它是2π-α1；如果是-2π到0的角，在第四象限时为-α1，在第三象限为-π＋α1，在第二象限为-π-α1；（4）如果要求适合条件的所有角，则利用终边相同的角的表达式来写出。