K1.09 卷积定理

卷积是信号处理和图像处理中常用的一种运算法则。

在离散情况下，卷积可以被定义为两个离散序列的线性组合。

以下是卷积的运算法则：
1. 线性性质：卷积具有线性性质，即对于输入序列的线性组合，卷积的结果等于每个输入序列与相应权重进行卷积后再相加。

2. 交换律：卷积运算满足交换律，即输入序列的卷积可以交换顺序，不影响最终结果。

3. 结合律：卷积运算满足结合律，即多个输入序列的卷积可以按照不同的分组方式进行计算，最终结果保持一致。

4. 分配律：卷积运算满足分配律，即输入序列与一个常数的乘积先进行卷积运算，等于将输入序列进行卷积后再与该常数相乘。

这些运算法则使得卷积在信号处理和图像处理中非常有用。

通过卷积运算，可以实现信号的平滑、滤波、特征提取等操作。

在深度学习中，卷积神经网络（Convolutional Neural Network, CNN）利用卷积运算对图像进行特征提取和模式识
别，取得了很大的成功。

卷积公式定义卷积公式是信号处理领域中非常重要的基本工具之一，它被广泛应用于图像处理、语音识别、自然语言处理等领域。

本文将详细介绍卷积公式的定义及其在不同领域中的应用。

首先，让我们来了解一下什么是信号。

在信号处理中，信号是指随时间变化的物理量。

信号可以是连续的（类似于波形）或者是离散的（数字化的）。

在信号处理中，我们经常使用数学函数来表示信号，比如声音信号就可以用声波的振幅随时间变化的函数来表示。

在信号处理中，卷积是一种数学操作，用于描述两个信号之间的关系。

卷积运算可以理解为将两个信号进行加权求和的过程。

具体地说，卷积公式可以表示为：\[ (f * g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)g(t-\tau)d\tau \]其中，\(f(t)\)和\(g(t)\)是两个函数，\(f * g\)表示卷积结果，\(t\)表示时间，\(\tau\)表示积分变量。

对于离散信号，上述卷积公式可以简化为：\[ (f * g)[n] = \sum_{m=-\infty}^{\infty} f[m]g[n-m] \]其中，\(f[n]\)和\(g[n]\)是两个离散函数，\(f * g\)表示卷积结果，\(n\)表示离散时间。

卷积公式的本质是描述了在给定时间点，输出信号的值是输入信号及其滞后版本的加权求和。

对于连续信号，我们使用积分来计算加权求和；对于离散信号，我们使用求和来计算加权求和。

卷积运算在信号处理中有着广泛的应用。

首先，卷积可以用于滤波操作。

滤波是信号处理中常见的操作，用于去除噪声或者增强感兴趣的信号。

卷积公式可以将输入信号与滤波器进行卷积运算，得到输出信号。

滤波器可以是低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器等，用于实现不同的频率特性。

其次，卷积在图像处理中也有着重要的应用。

图像可以看作是离散的二维信号，卷积公式可以用于实现图像的平滑、锐化、边缘检测等操作。

例如，边缘检测就可以通过将图像与卷积核进行卷积运算来实现。

常用卷积公式总结卷积是数字信号处理和图像处理中常用的一种运算方式，广泛应用于图像滤波、特征提取等领域。

本文将总结常用的卷积公式，便于读者在实践中快速掌握卷积运算的要点和技巧。

1. 一维离散卷积公式一维离散卷积是卷积的最基本形式，适用于处理一维序列。

给定两个长度为N和M的离散序列f和g，卷积结果序列h的长度为N+M-1。

卷积公式如下：h[i] = sum(f[j]*g[i-j], j=0 to min(i, M-1))其中，h[i]表示卷积结果的第i个元素。

2. 二维离散卷积公式二维离散卷积常用于图像处理中，用于实现图像的滤波、边缘检测等操作。

给定两个大小分别为N1×N2和M1×M2的二维矩阵F和G，卷积结果矩阵H的大小为(N1+M1-1)×(N2+M2-1)。

卷积公式如下：H[i, j] = sum(sum(F[p, q]*G[i-p, j-q], p=0 to M1-1), q=0 to M2-1)其中，H[i, j]表示卷积结果的第(i, j)个元素。

3. 常见卷积核形状在实际应用中，常见的卷积核形状有以下几种：•方形卷积核：使用方形的矩阵作为卷积核，可以实现简单的模糊、锐化、边缘检测等操作。

•高斯卷积核：采用高斯函数生成的卷积核，可以实现图像的平滑与去噪。

•锐化卷积核：用于增强图像的边缘、细节等特征。

•Sobel卷积核：用于边缘检测，可以检测图像中的水平和垂直边缘。

•Laplace卷积核：用于图像锐化和边缘检测，可以实现对图像的细节增强。

4. 卷积的性质卷积具有一些重要的性质，可以帮助我们简化卷积运算。

•交换性质：f g = g f，表示两个序列的卷积结果是相同的。

•结合性质：(f g)h = f(g h)，表示多个序列进行卷积的顺序不影响最终结果。

•分配性质：f(g+h) = f g + f*h，表示卷积运算对于序列的加法操作分配。

5. 快速卷积算法常规的卷积运算需要计算大量的乘法和加法，计算复杂度较高。

常用卷积公式(二)常用卷积公式1. 一维离散卷积公式：卷积是信号处理中一种常见的运算方法，用于将两个信号合并成一个新的信号。

一维离散卷积公式如下：y[n] = x[n] * h[n] = ∑(k=-∞到∞) x[k] * h[n-k]其中，x[n]表示输入信号，h[n]表示卷积核，y[n]表示输出信号，∑表示求和运算。

例子：假设有两个一维信号x[n] = {1, 2, 3, 4, 5}和h[n] = {1, 1, 1}, 根据卷积公式计算得到输出信号y[n]如下：y[0] = 1*1 = 1y[1] = 1*2 + 1*1 = 3y[2] = 1*3 + 1*2 + 1*1 = 6y[3] = 1*4 + 1*3 + 1*2 + 1*1 = 10y[4] = 1*5 + 1*4 + 1*3 + 1*2 = 14所以，输出信号y[n] = {1, 3, 6, 10, 14}。

2. 二维离散卷积公式：在图像处理领域，经常使用二维卷积来处理图像。

二维离散卷积公式如下：Y[i, j] = ∑(m=-∞到∞)∑(n=-∞到∞) X[i-m, j-n] * H[m, n]其中，X[i, j]表示输入图像的像素，H[m, n]表示卷积核的值，Y[i, j]表示输出图像的像素，∑表示求和运算。

例子：假设有一个3x3的输入图像X和一个2x2的卷积核H，如下：X = | 1 2 3 || 4 5 6 || 7 8 9 |H = | 1 1 || 1 1 |根据卷积公式计算得到输出图像Y如下：Y[0, 0] = 1*1 + 2*1 + 4*1 + 5*1 = 12Y[0, 1] = 1*2 + 2*1 + 3*1 + 4*1 = 12Y[0, 2] = 2*2 + 3*1 + 5*1 + 6*1 = 21Y[1, 0] = 4*1 + 5*1 + 7*1 + 8*1 = 27Y[1, 1] = 4*2 + 5*2 + 6*1 + 7*1 + 8*1 + 9*1 = 45Y[1, 2] = 5*2 + 6*2 + 8*1 + 9*1 = 46Y[2, 0] = 7*1 + 8*1 + 7*1 + 8*1 = 30Y[2, 1] = 7*2 + 8*2 + 9*1 + 7*1 + 8*1 + 9*1 = 57Y[2, 2] = 8*2 + 9*2 + 8*1 + 9*1 = 59所以，输出图像Y为：Y = | 12 12 21 || 27 45 46 || 30 57 59 |3. 一维连续卷积公式：一维连续卷积公式可以用于信号的模拟处理。

比如说你的老板命令你干活，你却到楼下打台球去了，后来被老板发现，他非常气愤，扇了你一巴掌（注意，这就是输入信号，脉冲），于是你的脸上会渐渐地（贱贱地）鼓起来一个包，你的脸就是一个系统，而鼓起来的包就是你的脸对巴掌的响应，好，这样就和信号系统建立起来意义对应的联系。

下面还需要一些假设来保证论证的严谨：假定你的脸是线性时不变系统，也就是说，无论什么时候老板打你一巴掌，打在你脸的同一位置（这似乎要求你的脸足够光滑，如果你说你长了很多青春痘，甚至整个脸皮处处连续处处不可导，那难度太大了，我就无话可说了哈哈），你的脸上总是会在相同的时间间隔内鼓起来一个相同高度的包来，并且假定以鼓起来的包的大小作为系统输出。

好了，那么，下面可以进入核心内容——卷积了！如果你每天都到地下去打台球，那么老板每天都要扇你一巴掌，不过当老板打你一巴掌后，你5分钟就消肿了，所以时间长了，你甚至就适应这种生活了……如果有一天，老板忍无可忍，以0.5秒的间隔开始不间断的扇你的过程，这样问题就来了，第一次扇你鼓起来的包还没消肿，第二个巴掌就来了，你脸上的包就可能鼓起来两倍高，老板不断扇你，脉冲不断作用在你脸上，效果不断叠加了，这样这些效果就可以求和了，结果就是你脸上的包的高度随时间变化的一个函数了（注意理解）；如果老板再狠一点，频率越来越高，以至于你都辨别不清时间间隔了，那么，求和就变成积分了。

可以这样理解，在这个过程中的某一固定的时刻，你的脸上的包的鼓起程度和什么有关呢？和之前每次打你都有关！但是各次的贡献是不一样的，越早打的巴掌，贡献越小，所以这就是说，某一时刻的输出是之前很多次输入乘以各自的衰减系数之后的叠加而形成某一点的输出，然后再把不同时刻的输出点放在一起，形成一个函数，这就是卷积，卷积之后的函数就是你脸上的包的大小随时间变化的函数。

本来你的包几分钟就可以消肿，可是如果连续打，几个小时也消不了肿了，这难道不是一种平滑过程么？反映到剑桥大学的公式上，f(a)就是第a个巴掌，g(x-a)就是第a个巴掌在x时刻的作用程度，乘起来再叠加就ok了，大家说是不是这个道理呢？我想这个例子已经非常形象了，你对卷积有了更加具体深刻的了解了吗？在泛函分析中，卷积、旋积或摺积(英语：Convolution)是通过两个函数f 和g 生成第三个函数的一种数学算子，表征函数f 与g经过翻转和平移的重叠部分的面积。

数字信号卷积常用关系数字信号处理中，卷积是一种非常重要的操作，它可以用于信号滤波、信号匹配、信号特征提取等很多方面。

而在实际应用中，有很多常用的卷积关系，下面我们来介绍其中一些。

1. 时域卷积与频域卷积的关系时域卷积和频域卷积是两种不同的卷积方式。

时域卷积是将两个信号在时域上进行卷积，得到一个新的信号，而频域卷积则是将两个信号在频域上进行卷积，得到一个新的频域信号。

它们之间的关系可以用傅里叶变换来表示：时域卷积：y(n) = x(n) * h(n)频域卷积：Y(ω) = X(ω)H(ω)其中，*表示时域卷积，而H(ω)和X(ω)分别表示h(n)和x(n)的傅里叶变换。

2. 卷积定理卷积定理是信号处理中的一条基本定理，它指出：如果两个信号的傅里叶变换相乘，然后进行反变换，得到的结果就是两个信号在时域上进行卷积的结果。

即：反变换{X(ω)H(ω)} = x(n)*h(n)3. 线性卷积与循环卷积的关系线性卷积是指两个信号在时域上进行卷积，得到的结果长度是两个信号长度之和减一。

而循环卷积则是指两个信号在时域上进行卷积，得到的结果长度是两个信号长度中较短的那个。

线性卷积与循环卷积之间的关系可以用循环移位的思想来表示。

具体地，将较短的信号按照循环移位的方式扩展到与较长的信号长度相同，然后再进行线性卷积，得到的结果就是循环卷积的结果。

4. 卷积与相关的关系卷积和相关都是两个信号之间的运算，它们之间的关系非常密切。

具体来说，卷积可以看作是两个信号的乘积在时域上的积分，而相关则是两个信号的乘积在时域上的互相关函数。

卷积和相关都可以用傅里叶变换来表示，它们之间的关系可以表示为：相关：Rxy(τ) = F-1{X(ω)Y*(ω)}(τ)卷积：Cxy(τ) = F-1{X(ω)Y(ω)}(τ)其中，*表示复共轭，F-1表示傅里叶反变换。

以上就是数字信号处理中一些常用的卷积关系。

在实际应用中，根据不同的需求和场景，可以选择合适的卷积方式来对信号进行处理，以得到更好的结果。

卷积的介绍先看到卷积运算，知道了卷积就是把模版与图像对应点相乘再相加，把最后的结果代替模版中⼼点的值的⼀种运算。

但是，近来⼜看到了积分图像的定义，⽴马晕菜，于是整理⼀番，追根溯源⼀下吧。

1 卷积图像1.1 源头⾸先找到了⼀篇讲解特别好的博⽂，原⽂为：贴过正⽂来看：---------------------------------------------------------------------------------------------------------------信号处理中的⼀个重要运算是卷积.初学卷积的时候,往往是在连续的情形, 两个函数f(x),g(x)的卷积,是∫f(u)g(x-u)du 当然，证明卷积的⼀些性质并不困难，⽐如交换，结合等等，但是对于卷积运算的来处，初学者就不甚了了。

其实，从离散的情形看卷积，或许更加清楚， 对于两个序列f[n],g[n],⼀般可以将其卷积定义为s[x]= ∑f[k]g[x-k] 卷积的⼀个典型例⼦,其实就是初中就学过的多项式相乘的运算, ⽐如(x*x+3*x+2)(2*x+5) ⼀般计算顺序是这样, (x*x+3*x+2)(2*x+5) = (x*x+3*x+2)*2*x+(x*x+3*x+2)*5 = 2*x*x*x+3*2*x*x+2*2*x+ 5*x*x+3*5*x+10 然后合并同类项的系数, 2 x*x*x 3*2+1*5 x*x 2*2+3*5 x 2*5 ---------- 2*x*x*x+11*x*x+19*x+10 实际上,从线性代数可以知道,多项式构成⼀个向量空间,其基底可选为 {1,x,x*x,x*x*x,...} 如此,则任何多项式均可与⽆穷维空间中的⼀个坐标向量相对应, 如,(x*x+3*x+2)对应于 (1 3 2), (2*x+5)对应于 (2,5). 线性空间中没有定义两个向量间的卷积运算,⽽只有加法,数乘两种运算,⽽实际上,多项式的乘法,就⽆法在线性空间中说明.可见线性空间的理论多么局限了. 但如果按照我们上⾯对向量卷积的定义来处理坐标向量, (1 3 2)*(2 5) 则有 2 3 1 _ _ 2 5 -------- 2 2 3 1 _ 2 5 ----- 6+5=11 2 3 1 2 5 ----- 4+15 =19 _ 2 3 1 2 5 ------- 10 或者说, (1 3 2)*(2 5)=(2 11 19 10) 回到多项式的表⽰上来, (x*x+3*x+2)(2*x+5)= 2*x*x*x+11*x*x+19*x+10 似乎很神奇,结果跟我们⽤传统办法得到的是完全⼀样的. 换句话,多项式相乘,相当于系数向量的卷积. 其实,琢磨⼀下,道理也很简单, 卷积运算实际上是分别求 x*x*x ,x*x,x,1的系数，也就是说，他把加法和求和杂合在⼀起做了。