【金版学案】高中数学 3.4.2基本不等式的应用练习 苏教版必修5

2019-2020年高中数学 3.4.2 基本不等式的应用教案苏教版必修5教学目标：一、知识与技能1．能利用基本不等式解决最值问题；2．会利用基本不等式解决与三角有关问题．二、过程与方法1．通过实例体会基本不等式在最值问题中的应用；2．通过实例体会总结基本不等式在应用中需要注意的问题．三、情感、态度与价值观通过亲历解题的过程，体会基本不等式的应用价值，培养学生敢于思考的科学精神．教学重点：利用基本不等式解决最值问题．教学难点：利用基本不等式需要注意的问题．教学方法：从函数的最值问题入手,逐步提高难度,让学生在循序渐进的学习过程中,通过小组合作探究体会并掌握基本不等式在最值问题中的应用．教学过程：一、问题情景1．函数的最小值是什么?取得最小值时的值是什么？2．若都是正实数,且,则的最大值是什么？二、学生活动1．小组合作解决问题情境中的两道题目．2．总结解决问题所用的主要方法以及需要注意的事项．三、建构数学总结应用基本不等式求最值时需要注意的问题．（1），的取值必须为正；（2）或必须有一为定值；（3）当且仅当时等号成立．四、数学运用1．例题．例1 已知,求函数的最小值．解2222221161161101168111681x x x y x x x x x x x x x x x x y x x x +=++=+++>+∴+≥=+∴=+++，，，当且仅当=2时取等号．的最小值是． 例2 已知,且,求的最小值．解 ，11(1)(1)(1)(1)11(2)(2)522a b a b a b a ba ba b b a++∴++=++=++=+⋅+⋅． 又，，当且仅当a ＝b ＝时取等号．故的最小值是9．例3 在中,角所对的边是且．求面积的最大值．解 由可得222112cos 224ac a c b B ac ac +-===， 又为的内角,所以．故1sin 2ABC S ac B ∆==． 222142b ac ac =∴+-=，． 又，．解得．88833ABC S ac ∆∴=≤=， 当且仅当时, 有最大值．2．练习（1）已知求的最小值；（2）求周长为的直角三角形的面积的最大值；（3）在中,角所对的边是且,求面积的最大值．五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1．利用基本不等式解决最值问题；2．利用基本不等式解决与三角有关问题；3．利用基本不等式时需要注意的问题．2019-2020年高中数学 3.4.2 换底公式教案 北师大版必修1[教学目的]使学生理解对数换底公式的意义，掌握其推导方法，初步学会它在对数式恒等变形中的应用。

苏教版必修5第3章第四节基本不等式 2 基本不等式的应用（学案含答案）高中数学基本不等式的应用知识点课标要求题型说明基本不等式的应用1. 掌握基本不等式2baab+≤（a≥0，b≥0）；2. 能用基本不等式求解简单的最大（小）值问题（指只用一次基本不等式，即可解决的问题）；3. 能用基本不等式求解简单的最大（小）值问题。

选择题填空题基本不等式是高中数学的重点，也是近几年高考的热点。

注意应用均值不等式，求函数的最值三个条件缺一不可。

重点：对由基本不等式推导出的命题的理解，以及利用此命题求某些函数的最值。

突破重点的关键是对基本不等式的理解。

难点：理解利用基本不等式求最值时的三个条件“一正、二定、三相等”。

考点：利用基本不等式求最值1. 由两个重要不等式可推得下面结论：已知*,x y R∈，,x y S xy P+==，则①如果P是定值，那么当且仅当x y=时，S取② 常用构造定值条件的技巧变换Ⅰ. 加项变换；Ⅱ. 拆项变换；Ⅲ. 统一换元；Ⅳ. 平移后利用基本不等式。

③ 利用基本不等式求最值的实质是：有界并能达到。

2. 其他形式：（1）若a ∈R ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立；（2）若a >0，b >0，则ab ≤2)2(222b a b a +≤+，当且仅当a ＝b 时等号成立；（3）若a >0，b >0，则ab ≤2222b a ba +≤+，当且仅当a ＝b 时等号成立。

3. 恒等变形：为了利用基本不等式，有时对给定的代数式要进行适当变形，比如：（1）当x >2时，x ＋21-x ＝（x －2）＋21-x ＋2≥2＋2＝4。

（2）当0<x <38时，x （8－3x ）＝31（3x ）（8－3x ）≤312)2383(x x -+＝316。

【随堂练习】 已知正数a 、b 满足ab ＝a ＋b ＋3，求ab 的取值范围是____________。

2012高一数学 3.4.2基本不等式的应用学案学习目标：1． 能利用基本不等式解决最值问题；2． 会利用基本不等式解决与三角有关问题．学习过程：一、问题情景1． 函数2282y x x =+的最小值是什么?取得最小值时x 的值是什么？2．若,x y 都是正实数,且41x y +=,则xy 的最大值是什么？总结应用基本不等式2a b +≥求最值时需要注意的问题． （1）（2） ；（3）四、数学运用1．例题．例1 已知0x >,求函数21161x y x x x =+++的最小值．例2 已知0,0a b >>,且1a b +=,求11(1)(1)a b++的最小值．例3 在ABC ∆中,角A B C ，，所对的边是,,,a b c 且22212,2b a c b ac =+-=． 求ABC ∆面积的最大值．2．练习（1）已知lg lg 1,x y +=求52x y+的最小值；（21的直角三角形的面积的最大值；（3）在ABC ∆中,角A B C ，，所对的边是,,,a b c 且1cos ,3A a ==,求ABC ∆面积的最大值．五、要点归纳与方法小结课后作业：1.若x>0,y>0且281x y+=，则xy 的最小值是 ；2.若x 、y R +∈且x+3y=1，则Z =的最大值 ； 3.若实数a 、b 满足a+b=2，则3a +3b 的最小值是4.x>1,y>1且lgx+lgy=4则lgxlgy 最大值为 ；5.点（x ，y ）在直线x+3y-2=0上，则3273x y ++最小值为 ；6.若数列{n a }的通项公式是281n n a n =+则数列{n a }中最大项 ； 7.设a ，b R +∈，a+2b=3 ，则11a b+最小值是 ； 8.当x>1时，则y=x+21161x x x ++的最小值是 ； 9.已知不等式（x+y ）1()9a x y+≥对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为 10.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x= 吨.二、解答题：11.在△ABC 中，已知A=600，a=4，求△ABC 的面积的最大值.12.已知x ＞y ＞0，求24()x y x y +-的最小值及取最小值时的x 、y 的值。

教学设计与反思本节课的研究是起到了对学生以前所学知识与方法的复习、应用，进而构建他们更完善的知识网络数学建模能力的培养与锻炼是数学教学的一项长期而艰苦的任务，这一点，在本节课是真正得到了表达和落实根据本节课的教学内容，应用观察、阅读、归纳、逻辑分析、思考、合作交流、探究，对根本不等式展开实际应用，进行启发、探究式教学并使用投影仪辅助〔一〕知识目标：构建根本不等式解决函数的最值问题；〔二〕能力目标：让学生探究用根本不等式解决实际问题〔三〕情感、态度和价值观目标：通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行类比、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯；1采用探究法，按照观察、阅读、归纳、思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学；2教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；3设计较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣教学重点：1构建根本不等式解决函数的最值问题2让学生探究用根本不等式解决实际问题；教学难点：1让学生探究用根本不等式解决实际问题；2根本不等式应用时等号成立条件的考查；〔一〕导入新课〔二〕推进新课，假设ab为常数，那么ab的值如何变化？假设a＋b为常数，那么ab的值如何变化？老师用投影仪给出本节课的第一组问题1、函数的最小值为2、，那么的最小值为3、，那么函数的最小值为〔三〕例题精析【例1】当时，求的最大值；解：因为，所以，所以当且仅当即时，取等号所以的最大值为8【练习1】①、设，求函数的最大值。

②、假设，求的最大值；当且仅当a＝b时，a＋b 就有最小值为2当且仅当a＝b时，ab 就有最大值〔或ab有最大值〕学生完成留五分钟的时间让学生思考，合作交流〔找学生分析例题的求解思路，找学生到黑板板演相对应的练习，然后老师根据学生到黑板板演的完成情况再作点评〕学生思考、答复，分析出如何把未知量向所求量整体转化。

3.4.2基本不等式的应用【学习目标】会运用基本不等式解决一些实际应用问题，掌握建立数学模型解实际应用问题的基本方法．【课前预习】1．)00(2≥≥ +≤b a b a ab ，，当且仅当_________时，等号成立．其中2b a +和ab 分别称为正数b a ，的_______________和__________________．2．基本不等式的重要变形：≥+22b a _____________≤⇔∈ab R b a )(，_____________；≥+2b a _____________≤⇔∈+ab R b a )(，_____________． 注意：对于基本不等式中的正数b a ，，可以是具体的正实数，也可以是大于0的代数式．3．已知+∈R y x ，，则：（1）若S y x =+（和为定值），则当y x =时，积xy 取得最____值42S ； （2）若P y x =⋅（积为定值），则当y x =时，和y x +取得最____值P 2．【课堂研讨】例1.用长为a 4的铁丝围成一个矩形，怎样才能使所围矩形的面积最大？例2某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为34800m，深度为m3．如果池底每21m的造价为150元，池壁每21m的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？例3.过点)21( ，的直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于BA，两点，当ABC∆的面积最小时，求直线l的方程．例4.如图，一份印刷品的排版面积（矩形）为A，它的两边都留有宽为a的空白，顶部和底部都留有宽为b的空白，如何选择纸张的尺寸，才能使纸的用量最少？【学后反思】。

高中数学基本不等式的应用（答题时间： 40 分钟）**1.若一个直角三角形的周长为定值l （ l ＞0），求该三角形面积的最大值。

*2.已知x＞1，则函数y＝x＋9x的值域为________。

x 13.已知 a， b＞ 0 且 2a＋ b＝4，则 ab 的最大值为 ________。

**4. 已知在△ ABC 中，∠ ACB＝ 90°， BC＝ 3， AC＝ 4，P 是 AB 上的点，则点P到AC，BC 的距离的乘积的最大值是 ________。

***5.若 a＞ b＞ 0，则代数式 a2＋1的最小值为 ________。

ba b***6.已知 M 是△ ABC 内的一点，且AB AC 2 3 ，∠BAC＝30°，若△MBC，△MCA，△ MAB 的面积分别为114的最小值为 ________。

， x， y，则2x y**7.已知 x＞ 0， y＞0，且 x＋ y＝ 1，（1）求8 2的最小值；x y（ 2）求2x1 2 y 1 的最大值。

*8.求函数 y＝x28x （ x＞ 1）的最小值。

1**9.经过长久观察获得：在交通忙碌的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆 /小时）与汽车的均匀速度v（千米 /小时）之间的函数关系为：y＝920v3v （ v＞ 0）。

v21600（1）在该时段内，当汽车的均匀速度 v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精准到 0.1 千辆 /小时）（2）若要求在该时段内车流量超出10 千辆 /小时，则汽车的均匀速度应在什么范围内？1.3 22 l 2分析：设直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，则 a ＋ b ＋a 2b 2 ＝4l ，∵ a ＋ b ≥2 ab ， a 2＋ b 2≥2ab ，∴ l ＝ a ＋ b ＋ a 2 b 2 ≥2 ab ＋ 2ab ，当且仅当 a ＝ b时等号建立，∴ ab ≤2l , S1ab 1 (2l) 23 22l 2, S max3 22l 2 ，此时222 244三角形为等腰直角三角形。

（二）教学手段
根据本节知识特点，为突出重点，突破难点，增加教学容量，利用计算机和实物投影辅导教学．
教学过程
一、课题引入
【2021江苏10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x的值是_
设计意图：
1、用高考题引入课题更能激发学生的兴趣和重视度；
2、学生上黑板板书过程，提前让学生进入上课状态；
讲解完例1和例2后，让学生自己感受高考题其实
设计意图：通过了解考纲让学生明确基本不等式在高考中的地位和作用，明确本节的学习目标。

三、考点梳理（阅读必修五课本P96~98自己梳理考点框架图）
设计意图：
1通过让梳理考点框架图让学生回归课本，现在学生一轮复习时普遍把课本扔下了，对辅助材料过于依赖。

2、对即将用到的知识点有个清楚的认识，进一步强化“基本不等式”的使用条件。

3.4.2 基本不等式的应用1．掌握基本不等式及变形的应用．2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 3．能应用基本不等式解决生活中的应用问题．[基础·初探]教材整理 基本不等式与最值 阅读教材P 99～P 101，完成下列问题．已知a ≥0，b ≥0，在运用基本不等式时，要注意： (1)和a ＋b 一定时，积ab 有最大值； (2)积ab 一定时，和a ＋b 有最小值； (3)取等号的条件⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b 时，ab ＝a ＋b 2. 1．设x ，y 满足x ＋y ＝40，且x ，y 都是正数，则xy 的最大值为________． 【解析】 ∵x ，y ∈(0，＋∞)， ∴xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝400，当且仅当x ＝y ＝20时等号成立． 【答案】 4002．把总长为16 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2. 【解析】 设一边长为x m ，则另一边长为(8－x )m ，则面积S ＝x (8－x )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8－x 22＝16，当且仅当x ＝8－x ，即x ＝4时等号成立． 【答案】 16[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________[小组合作型]利用基本不等式求条件最值(1)已知x >0，y >0，且x ＋y＝1，则x ＋y 的最小值是________．(2)若x ＋2y ＝1，且x >0，y >0，则8x ＋1y的最小值为________.【导学号：】【精彩点拨】 注意条件“1x ＋9y＝1”及“x ＋2y ＝1”的作用．【自主解答】 (1)∵1x ＋9y＝1，x >0，y >0，∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝10＋y x ＋9x y≥10＋29 ＝16. 当且仅当y x ＝9xy，即x ＝4，y ＝12时等号成立． (2)∵x ＋2y ＝1，x >0，y >0， ∴8x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋1y (x ＋2y )＝8＋2＋16y x＋xy≥10＋216 ＝18.当且仅当16y x ＝x y ，即x ＝23，y ＝16时等号成立．【答案】 (1)16 (2)18解决含有两个变量的代数式的最值时，常用“变量”替换，“1”的替换，构造不等式求解．[再练一题]1．(1)已知正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________． (2)已知点M (a ，b )在直线x ＋y ＝1上，则a 2＋b 2的最小值为________． 【解析】 (1)法一 由ab ＝a ＋b ＋3，得b ＝a ＋3a －1. 由b >0，得a ＋3a －1>0.∵a >0，∴a >1. ∴ab ＝a ·a ＋3a －1＝a 2＋3aa －1＝[a －1＋1]2＋3[a －1＋1]a －1＝(a －1)＋4a －1＋5≥2a －1·4a －1＋5＝9.当且仅当a －1＝4a －1，即a ＝3时，取等号，此时b ＝3. ∴ab 的取值范围是[9，＋∞)．法二 由于a ，b 为正数，∴a ＋b ≥2ab ，∴ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，即(ab )2－2ab －3≥0，∴ab ≥3，故ab ≥9，当且仅当a ＝b ＝3时，取等号．∴ab 的取值范围是[9，＋∞)．(2)因为点M (a ，b )在直线x ＋y ＝1上，所以a ＋b ＝1，因为a 2＋b 2≥a ＋b22＝12， 当且仅当a ＝b ＝12时等号成立，所以a 2＋b 2≥12＝22， 所以a 2＋b 2的最小值为22. 【答案】 (1)[9，＋∞) (2)22利用基本不等式解实际应用题10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)【精彩点拨】 根据题目列函数关系式，利用基本不等式求最值并确定取得最值的条件，得出结论．【自主解答】 设将楼房建为x 层，则每平方米的平均购地费用为2 160×1042 000x ＝10 800x .∴每平方米的平均综合费用y ＝560＋48x ＋10 800x＝560＋48⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋225x .当x ＋225x取最小值时，y 有最小值．∵x >0，∴x ＋225x≥2x ·225x＝30，当且仅当x ＝225x，即x ＝15时，上式等号成立．所以当x ＝15时，y 有最小值2 000元．因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少． 在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下的思路和方法： (1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)根据实际背景写出答案． [再练一题]2．某汽车公司购买了4辆大客车，每辆200万元，用于长途客运，预计每辆车每年收入约100万元，每辆车第一年各种费用约为16万元．且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16万元．(1)写出4辆车运营的总利润y (万元)与运营年数x (x ∈N *)的函数关系式； (2)这4辆车运营多少年，可使年平均运营利润最大？ 【解】 (1)依题意，每辆车x 年总收入为100x 万元， 总支出为200＋16×(1＋2＋…＋x ) ＝200＋12x (x ＋1)·16(万元)．∴y ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤100x －200－12x x ＋1·16＝16(－2x 2＋23x －50)． (2)年平均利润为 y x ＝16⎝⎛⎭⎪⎫23－2x －50x ＝16⎣⎢⎡⎦⎥⎤23－2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋25x .又x ∈N *， ∴x ＋25x≥2x ·25x＝10，当且仅当x ＝5时，等号成立， 此时y x≤16×(23－20)＝48.∴运营5年可使年平均运营利润最大，最大利润为48万元．[探究共研型]形如y ＝x ＋p x的最值问题探究 可以用基本不等式求函数y ＝x ＋x(x ≥4)的最小值吗？为什么？【提示】 ∵x ≥4， ∴y ＝x ＋4x≥2x ·4x＝4， 当且仅当x ＝4x，即x ＝2时等号成立，又x ≥4，故不可以用基本不等式求其最小值． 由于y ＝x ＋4x在[4，＋∞)上单调递增，故当x ＝4时，y min ＝4＋44＝5.已知a >0，求函数y ＝x 2＋a ＋1x 2＋a的最小值．【精彩点拨】 分“a >1”和“0<a ≤1”两类分别求函数的最值．【自主解答】 ∵y ＝x 2＋a ＋1x 2＋a ＝x 2＋a ＋1x 2＋a.(1)当0<a ≤1时，y ＝x 2＋a ＋1x 2＋a≥2，当且仅当x 2＋a ＝1x 2＋a，即x 2＋a ＝1，x ＝±1－a 时取等号y min ＝2. (2)当a >1时，令x 2＋a ＝t ，则t ≥a ，∴y ＝f (t )＝t ＋1t，利用单调性可知f (t )在[a ，＋∞)上是增函数，∴y ≥f (a )＝a ＋1a， 当且仅当t ＝a ，即x ＝0时等号成立． ∴y min ＝a ＋1a. 综上所述，当0<a ≤1时， y min ＝2； 当a >1时，y min ＝a ＋1a. 1．利用基本不等式求最值的前提条件是：一正、二定、三相等． 2．在等号不成立时，常借助函数的单调性求其最值． [再练一题]3．已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，求z ＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝⎛⎭⎪⎫y ＋1y 的最小值．【解】 由x ＋y ＝1知x 2＋y 2＋2xy ＝1， ∴x 2＋y 2＝1－2xy .从而有z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1y ＝1xy(x 2y 2＋x 2＋y 2＋1)＝1xy(2＋x 2y 2－2xy )，令xy ＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<t ≤14，且t ＝14时，x ＝y ＝12， 则z ＝2t＋t －2，再令f (t )＝2t ＋t ，可以证明f (t )＝2t ＋t 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14上单调递减， 故当t ＝14时，f (t )＝2t ＋t 取最小值334，∴当x ＝y ＝12时，z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1y 取最小值254. 1．已知x ，y 都是正数，(1)如果xy ＝15，则x ＋y 的最小值是________； (2)如果x ＋y ＝15，则xy 的最大值是________．【解析】 (1)x ＋y ≥2xy ＝215，即x ＋y 的最小值是215，当且仅当x ＝y ＝15时取最小值．(2)xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1522＝2254， 即xy 的最大值是2254.当且仅当x ＝y ＝152时，xy 取最大值．【答案】 (1)215 (2)22542．已知x >0，则2－x －4x的最大值是________．【解析】 ∵x >0，∴x ＋4x≥4，∴2－x －4x＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ≤2－4＝－2，当且仅当x ＝4x，即x ＝2时取等号．∴2－x －4x的最大值为－2.【答案】 －23．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b的取值范围是________.【导学号：】【解析】 ∵a ＋b ＝1，a >0，b >0， ∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ·ab＝4.当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时等号成立．【答案】 44．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．【解析】 设水池的造价为y 元，长方形底的一边长为x m ， 由于底面积为4 m 2，所以另一边长为4xm.那么y ＝120·4＋2·80·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2·4x＝480＋320⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4x≥480＋320·2x ·4x＝1 760(元)．当x ＝2，即底为边长为2 m 的正方形时，水池的造价最低，为1 760元． 【答案】 1 7605．设x ，y ＞0，且x ＋y ＝4，若不等式1x ＋4y≥m 恒成立，求实数m 的最大值．【解】 1x ＋4y ＝14(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝14⎝⎛⎭⎪⎫5＋4x y ＋y x ≥14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋24x y ·y x ＝14(5＋4)＝94.当且仅当4x y ＝y x ，且x ＋y ＝4，即x ＝43，y ＝83时，上式取“＝”．故⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y min ＝94.∵1x ＋4y ≥m 恒成立，∴m ≤94， ∴m max ＝94.我还有这些不足：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________学业分层测评(二十) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．设0<x <32，则函数y ＝x (3－2x )的最大值是________．【解析】 ∵0<x <32，∴32－x >0，∴y ＝x (3－2x )＝2·x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ≤2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋32－x 22＝98，当且仅当x ＝32－x ，即x ＝34时，取“＝”， ∴函数y ＝x (3－2x )的最大值为98.【答案】 982．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________.【导学号：】【解析】 ∵x 2＋y 2＋xy ＝1， ∴(x ＋y )2＝1－xy ≤1－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，∴(x ＋y )2≤43，∴x ＋y ≤233.【答案】2333．设x ，y 满足x ＋4y ＝40，且x ，y ∈(0，＋∞)，则lg x ＋lg y 的最大值是________．【解析】 ∵x ＋4y ＝40，且x ，y ∈(0，＋∞)， ∴4xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4y 22＝(20)2＝400，当且仅当x ＝4y 时等号成立．∴lg x ＋lg y ＝lg(xy )＝lg 14(x ·4y )≤lg 4004＝2.【答案】 24．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4的最小值为________．【解析】 f (x )＝x 2－4x ＋52x －4＝x －22＋12x －2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －2＋1x －2≥1. 当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时等号成立． 【答案】 15．已知点P (x ，y )在经过A (3,0)，B (1,1)两点的直线上，则2x ＋4y的最小值为________． 【解析】 ∵点P (x ，y )在直线AB 上， ∴x ＋2y ＝3，∴2x＋4y≥22x·4y＝22x ＋2y＝4 2. 【答案】 4 26．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两次费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．【解析】 设仓库距离车站为x 千米，则y 1＝k 1x，y 2＝k 2x .由题意可知， 2＝k 110，8＝k 2·10， ∴k 1＝20，k 2＝45，∴y ＝20x ＋45x .∵20x ＋45x ≥220x ·45x ＝8， 当且仅当20x ＝45x ，即x ＝5时取等号．∴x ＝5千米时，y 取得最小值． 【答案】 5 7．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________.【导学号：】【解析】 因为x >0，所以x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1时取等号，所以有x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12＋3＝15，即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15.【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞8．汽车在行驶过程中，汽油平均消耗率g (即每小时的汽油消耗量，单位：L/h)与汽车行驶的平均速度v (单位：km/h)之间有函数关系：g ＝12 500(v －50)2＋5(0<v <150)．当v ＝________(km/h)时，汽油的使用效率最高(即每千米汽油平均消耗量最小，单位：L/km)．【解析】 设每千米汽油平均消耗量为y ，则y ＝g ·1v ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 500v －502＋51v＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 500v 2－125v ＋61v＝12 500v ＋6v －125≥212 500v ·6v －125＝6－125(当且仅当12 500v ＝6v，即v ＝506时，取“＝”)．∴当v ＝50 6 km/h 时，汽油的使用效率最高． 【答案】 50 6 二、解答题9．设a ＋b ＝2，b >0，求12|a |＋|a |b的最小值． 【解】 因为12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ≥a4|a |＋2b 4|a |·|a |b ＝a 4|a |＋1≥－14＋1＝34，当且仅当b 4|a |＝|a |b ，a <0，即a ＝－2，b ＝4时取等号，故12|a |＋|a |b 的最小值是34.10．某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图3­4­1所示的一个矩形综合性休闲广场，其总面积为 3 000平方米，其中场地四周(阴影部分)为通道，通道宽度均为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同)，塑胶运动场地占地面积为S 平方米．图3­4­1(1)分别写出用x 表示y 和S 的函数关系式(写出函数定义域)； (2)怎样设计能使S 取得最大值，最大值为多少？【解】 (1)由已知xy ＝3 000,2a ＋6＝y ，则y ＝3 000x(6≤x ≤500)，S ＝(x －4)a ＋(x －6)a ＝(2x －10)a ＝(2x －10)·y －62＝(x －5)(y －6)＝3 030－6x －15 000x(6≤x ≤500)．(2)S ＝3 030－6x －15 000x≤3 030－26x ·15 000x＝3 030－2×300＝2 430，当且仅当6x ＝15 000x，即x ＝50时，“＝”成立，此时x ＝50，y ＝60，S max ＝2 430.即设计x ＝50米，y ＝60米时，运动场地面积最大，最大值为2 430平方米．[能力提升]1．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为________．【解析】 由x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，得z ＝x 2－3xy ＋4y 2. 所以xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx－3≤12x y ·4y x－3＝1，当且仅当x y＝4yx，即x ＝2y 时取等号，此时z ＝2y 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫xy z max ＝1. 2x ＋1y －2z ＝22y ＋1y －22y 2＝－1y 2＋2y＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y－12＋1≤1，当y ＝1时，取等号．【答案】 12．若a ＞b ＞0，则代数式a 2＋1ba －b的最小值为________． 【解析】 依题意得a －b ＞0，所以代数式a 2＋1b a －b ≥a 2＋1⎣⎢⎡⎦⎥⎤b ＋a －b 22＝a 2＋4a2≥2a 2·4a 2＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a －b ＞0，a 2＝4a 2，即a ＝2，b ＝22时取等号，因此a 2＋1ba －b的最小值是4. 【答案】 4 3．设a >b >c ，且1a －b ＋1b －c ≥m a －c恒成立，则m 的取值范围是________. 【导学号：】【解析】 由a >b >c ，知a －b >0，a －c >0，b －c >0， ∴原不等式等价于a －c a －b ＋a －cb －c≥m . 要使原不等式恒成立，只需a －c a －b ＋a －cb －c的最小值不小于m 即可． a －c a －b ＋a －c b －c ＝a －b ＋b －c a －b ＋a －b ＋b －cb －c＝2＋b －c a －b ＋a －bb －c ≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4. 当且仅当b －c a －b ＝a －bb －c，即2b ＝a ＋c 时，等号成立． ∴m ≤4，即m ∈(－∞，4]． 【答案】 (－∞，4]图3­4­24．为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，三角形支架如图3­4­2所示，要求∠ACB ＝60°，BC 长度大于1，且AC 比AB 长0.5米，为了广告牌稳固，要求AC 的长度越短越好，求AC 最短为多少米？且当AC 最短时，BC 长度为多少米？【解】 设BC ＝a (a >1)，AC ＝b ， 则AB ＝b －0.5，∵(b －0.5)2＝b 2＋a 2－2ab cos 60°， ∴－b ＋0.25＝a 2－ab ，整理得b ＝a 2－0.25a －1.令a －1＝t (t >0)， ∴a ＝t ＋1， ∴b ＝t ＋12－0.25t ＝t 2＋2t ＋0.75t ＝t ＋34t＋2≥2＋234＝2＋ 3⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当t ＝34t ，即t ＝32时取等号.综上，当BC ＝1＋32米时AC 最短，为2＋3米．。

第3章 不等式3.4基本不等式ab ≤a ＋b2(a ≥0，b ≥0)3.4.2 基本不等式的应用A 级 基础巩固一、选择题1．若x ＞4，则函数y ＝x ＋1x －4( )A ．有最大值－6B ．有最小值6C ．有最大值2D ．没有最小值解析：y ＝x －4＋1x －4＋4≥2（x －4）·1x －4＋4＝6.当且仅当x －4＝1x －4时，即x ＝5时取得最小值6. 答案：B2．设x ，y ∈R ，且x ＋y ＝5，则3x ＋3y 的最小值是( ) A ．10 B ．63 C ．46 D ．18 3 解析：3x ＋3y ≥23x ＋y ＝235＝183，当且仅当3x ＝3y ，即x ＝y ＝52时取等号． 答案：D3．已知a ＋b ＝t (a >0，b >0)，t 为常数，且ab 的最大值为2，则t 等于( )A ．2B ．4C ．2 2D ．2 5解析：当a >0，b >0时，ab ≤（a ＋b ）24＝t 24，当且仅当a ＝b ＝t2时取等号．因为ab 的最大值为2，所以t 24＝2，t 2＝8，所以t ＝8＝2 2.故选C.答案：C4．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a ＜b )，其全程的平均时速为v ，则( )A ．a ＜v ＜abB ．v ＝ab C.ab ＜v ＜a ＋b2D ．v ＝a ＋b2解析：设甲地到乙地距离为s ，则v ＝2s s a ＋s b＝2aba ＋b，因为a ＜b ，所以ab ＜a ＋b 2⇒2ab a ＋b ＞2ab 2b ＝a ，2aba ＋b＜ab .答案：A5．若xy 是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2的最小值是( ) A ．3 B.72 C ．4 D.92解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2＝x 2＋y 2＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1y 2＋x y ＋y x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y 2＋14y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥1＋1＋2＝4.当且仅当x ＝y ＝22或x ＝y ＝－22时取等号．答案：C二、填空题6．已知函数f(x)＝x＋ax－2(x>2)的图象过点A(3，7)，则此函数的最小值是________．解析：把A(3，7)代入函数关系式可得a＝4，因为x>2，所以x－2>0.故f(x)＝x－2＋4x－2＋2≥6，当x＝4时，取“＝”．答案：67．函数y＝x2＋5x2＋1的最小值是________．解析：令t＝x2＋1≥1，则y＝x2＋5x2＋1＝t＋4t≥4，当t＝2，即x＝±3时，y min＝4.答案：48．已知三个函数y＝2x，y＝x2，y＝8x的图象都过点A，且点A在直线xm＋y2n＝1(m>0，n>0)上，则log2m＋log2n的最小值为________．解析：由题易得点A的坐标为(2，4)，因为点A在直线xm＋y2n＝1(m>0，n>0)上，所以1＝2m＋2n≥24mn.所以mn≥16.所以log2m＋log2n＝log2(mn)≥4.故log2m＋log2n的最小值为4.答案：4三、解答题9．已知x ≥52，求f (x )＝x 2－4x ＋5x －2的最小值．解：因为x ≥52，所以x －2＞0.所以f (x )＝x 2－4x ＋5x －2＝（x －2）2＋1x －2＝(x －2)＋1x －2≥2.当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，等号成立． 故当x ＝3时，f (x )min ＝2.10．过点P (1，2)的直线l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，当△ABO 的面积最小时，求直线l 的方程．解：设A (a ，0)，B (0，b )，则a ＞0，b ＞0， 则l 的方程为x a ＋yb＝1.又因为l 过P 点，所以1a ＋2b ＝1，三角形的面积S ＝12ab .由1a ＋2b＝1⇒ab ＝b ＋2a ≥22ab ⇒ab ≥8，当且仅当b ＝2a ，即a ＝2，b ＝4时，S min ＝4.所以l 的方程为x 2＋y4＝1，即2x ＋y －4＝0.B 级 能力提升一、选择题11．已知向量a ＝(x －1，2)，b ＝(4，y )．若a ⊥b ，则9x ＋3y 的最小值为( )A ．2 3B ．12C ．6D ．3 2解析：因为a ⊥b ，所以a·b ＝0，即4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2，所以9x ＋3y ≥29x ·3y ＝232x ＋y ＝6.当且仅当2x ＝y ＝1时取等号，所以最小值为6.答案：C12．已知M 是定值，下列各条件中，ab 没有最大值的条件是( ) A ．a 2＋b 2＝MB ．a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝MC ．a ＜0，b ＜0，且a ＋b ＝MD ．a ·b ＜0，a ＋b ＝M解析：由ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22及ab ≤a 2＋b 22对任何实数a ，b 都成立，且a ＝b 时，等号成立，可知A 、B 、C 三项均有最大值．但D 项中不存在等号成立的条件，故D 项没有最大值．答案：D13．已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋ax y ＋y x ＋a ≥1＋2a ＋a ＝(1＋a )2.由(1＋a )2＝9，解得a ＝4.答案：B 二、填空题14．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是________．解析：因为x ＋2y ＋2xy ＝8，所以y ＝8－x2x ＋2>0.所以0<x <8.所以x ＋2y ＝x ＋2×8－x 2x ＋2＝(x ＋1)＋9x ＋1－2≥2（x＋1）·9x＋1－2＝4.当且仅当x＋1＝9x＋1，即x＝2时，取“＝”号，此时x＝2，y＝1.答案：415．(2014·江苏卷)若△ABC的内角满足sin A＋2sin B＝2sin C，则cos C的最小值是________．解析：由正弦定理可得a＋2b＝2c.又cos C＝a2＋b2－c22ab＝a2＋b2－14（a＋2b）22ab＝3a2＋2b2－22ab8ab≥26ab－22ab8ab＝6－24，当且仅当3a＝2b时取等号，所以cos C的最小值为6－2 4.答案：6－2 4三、解答题16．(2014·江苏卷)已知函数f(x)＝e x＋e－x，其中e是自然对数的底数．若关于x的不等式mf(x)≤e－x＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围．解：由条件知m(e x＋e－x－1)≤e－x－1在(0，＋∞)上恒成立．令t＝e x(x>0)，则t>1，所以m≤－t－1t2－t＋1＝－1t－1＋1t－1＋1对任意t>1成立．因为t>1，所以t－1>0.所以t －1＋1t －1＋1≥2（t －1）·1t －1＋1＝3.所以－1t －1＋1t －1＋1≥－13. 当且仅当t －1＝1t －1，即t ＝2，即x ＝ln 2时等号成立． 所以实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－13.。

3.4.2 基本不等式的应用教学目标：一、知识与技能1．能利用基本不等式解决最值问题；2．会利用基本不等式解决与三角有关问题．二、过程与方法1．通过实例体会基本不等式在最值问题中的应用；2．通过实例体会总结基本不等式在应用中需要注意的问题．三、情感、态度与价值观通过亲历解题的过程，体会基本不等式的应用价值，培养学生敢于思考的科学精神．教学重点：利用基本不等式解决最值问题．教学难点：利用基本不等式需要注意的问题．教学方法：教学过程：一、问题情景1．函数的最小值是什么?取得最小值时的值是什么？2．若都是正实数,且,则的最大值是什么？二、学生活动1．小组合作解决问题情境中的两道题目．2．总结解决问题所用的主要方法以及需要注意的事项．三、建构数学总结应用基本不等式求最值时需要注意的问题．（1），的取值必须为正；（2）或必须有一为定值；（3）当且仅当时等号成立．四、数学运用1．例题．例1 已知,求函数的最小值．解例2 已知,且,求的最小值．解，又，，当且仅当a＝b＝时取等号．故的最小值是9．例3 在中,角所对的边是且．求面积的最大值．解由可得，又为的内角,所以．故．又，．解得．，当且仅当时,有最大值．2．练习（1）已知求的最小值；（2）求周长为的直角三角形的面积的最大值；（3）在中,角所对的边是且,求面积的最大值．五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1．利用基本不等式解决最值问题；2．利用基本不等式解决与三角有关问题；3．利用基本不等式时需要注意的问题．。