【2019高考复习参考】高三数学理科配套黄金练习 7.7含答案

第四章 4.7第7课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则∠A ＝( ) A ．60° B ．45° C ．120° D ．30° 答案 C解析 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12，∴∠A ＝120°.2．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c 等于( )A ．1B ．2 C.3－1 D. 3 答案 B解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得3sin π3＝1sin B ，∴sin B ＝12，故∠B ＝30°或150°.由a >b ，得∠A >∠B ，∴∠B ＝30°.故∠C ＝90°，由勾股定理得c ＝2. 3．在△ABC 中，若sin A ·sin B <cos A ·cos B ，则此三角形的外心位于它的( ) A ．内部 B ．外部C ．一边上D ．以上都有可能 答案 B解析 sin A sin B <cos A cos B即cos A cos B －sin A sin B >0，∴cos(A ＋B )>0 ∴A ＋B 为锐角，∴C 为钝角∴△ABC 为钝角三角形，外心位于它的外部．4．在△ABC 中，三内角A 、B 、C 分别对三边a 、b 、c ，tan C ＝43，c ＝8，则△ABC 外接圆半径R 为( )A ．10B ．8C ．6D ．5 答案 D解析 本题考查解三角形．由题可知应用正弦定理，由tan C ＝43⇒sin C ＝45，则2R ＝c sin C ＝845＝10，故外接圆半径为5.5．△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，∠B ＝30°，△ABC 的面积为0.5，那么b 为( )A ．1＋ 3B ．3＋ 3 C.3＋33 D ．2＋ 3 答案 C解析 2b ＝a ＋c ，12ac ·12＝12⇒ac ＝2，a 2＋c 2＝4b 2－4，b 2＝a 2＋c 2－2ac ·32⇒b 2＝4＋233⇒b ＝3＋33. 6．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积为( )A.32B.34C.32或 3D.34或32 答案 D解析 如图，由正弦定理得 sin C ＝c ·sin B b ＝32，而c >b ， ∴C ＝60°或C ＝120°， ∴A ＝90°或A ＝30°，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝32或34.7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 答案 A解析 由sin C ＝23sin B 可得c ＝23b ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝32，于是A ＝30°，因此选A.8．在△ABC 中，若(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab 且sin C ＝2sin A cos B ，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形，但不是等边三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形，但不是等腰三角形答案 A解析 ∵(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ， 即a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝60°. 又sin C ＝2sin A cos B ，由sin C ＝2sin A ·cos B 得c ＝2a ·a 2＋c 2－b 22ac ， ∴a 2＝b 2，∴a ＝b .∴△ABC 为等边三角形． 二、填空题9．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C ，B ＝π3且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．答案 3解析 在△ABD 中，B ＝π3，BD ＝2，AB ＝1，则AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos π3＝3.所以AD ＝ 3.10．已知a ，b ，c 分别是ΔABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin A ＝________.答案 12解析 由A ＋C ＝2B ，且A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝60°，由正弦定理得3sin 60°＝1sin A ，∴sin A ＝12.11．在ΔABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．答案 π6解析 由sin B ＋cos B ＝2sin(B ＋π4)＝2得sin(B ＋π4)＝1，所以B ＝π4.由正弦定理a sin A ＝b sin B 得sin A ＝a sin B b ＝2·sin π42＝12，所以A ＝π6或5π6(舍去)．12．对于△ABC ，有如下命题：①若sin2A ＝sin2B ，则△ABC 为等腰三角形；②若sin A ＝cos B ，则△ABC 为直角三角形；③若sin 2A ＋sin 2B ＋cos 2C <1，则△ABC 为钝角三角形．其中正确命题的序号是________．(把你认为所有正确的都填上)答案 ③解析 ①sin2A ＝sin2B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧A ＝B ⇒△ABC 是等腰三角形，或2A ＋2B ＝π⇒A ＋B ＝π2，即△ABC 是直角三角形.故①不对．②sin A ＝cos B ，∴A －B ＝π2或A ＋B ＝π2. ∴△ABC 不一定是直角三角形． ③sin 2A ＋sin 2B <1－cos 2C ＝sin 2C ， ∴a 2＋b 2<c 2.∴△ABC 为钝角三角形．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin C sin B 等于________．答案 54解析 A 、C 恰好为椭圆的两焦点，∠A 、∠C 所对的边之和BC ＋AB ＝2a ＝10，∠B 所对边AC ＝2c ＝8，由sin A BC ＝sin B AC ＝sin C AB 得sin A ＋sin C sin B ＝BC ＋AB AC ＝54.三、解答题14．ΔABC 中，D 为边BC 上的一点，BD ＝33，sin B ＝513，cos ∠ADC ＝35，求AD .解析 由cos ∠ADC ＝35>0知B <π2.由已知得cos B ＝1213，sin ∠ADC ＝45.从而sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －B ) ＝45×1213－35×513＝3365.由正弦定理得AD sin B ＝BDsin ∠BAD.所以AD ＝BD ·sin Bsin ∠BAD＝33×5133365＝25.15．已知△ABC 中，∠B ＝45°，AC ＝10，cos C ＝255. (1)求BC 边的长；(2)记AB 的中点为D ，求中线CD 的长．解析 (1)由cos C ＝255得sin C ＝55， sin A ＝sin(180°－45°－C ) ＝22(cos C ＋sin C )＝31010. 由正弦定理知BC ＝AC sin B ·sin A ＝1022·31010＝3 2.(2)AB ＝AC sin B ·sin C ＝1022·55＝2.BD ＝12AB ＝1.由余弦定理知 CD ＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos B ＝1＋18－2·1·32·22＝13.讲评 解斜三角形的关键在于灵活地运用正弦定理和余弦定理，熟练掌握用正弦定理和余弦定理解决问题，要注意由正弦定理a sin A ＝bsin B 求B 时，应对解的个数进行讨论；已知a ，b ，A ，求c 时，除用正弦定理a sin A ＝csin C 外，也可用余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2ab cos A 求解．16．在△ABC 中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝(cos2B,2cos 2B2－1)，且m ∥n .(Ⅰ)求锐角B 的大小；(Ⅱ)如果b ＝2，求△ABC 的面积S △ABC 的最大值．解析 (Ⅰ)m ∥n ⇒2sin B (2cos 2B2－1)＝－3cos2B ⇒2sin B cos B ＝－3cos2B ⇒tan2B ＝－ 3.∵0<2B <π，∴2B ＝2π3，∴B ＝π3. (Ⅱ)已知b ＝2，由余弦定理，得：4＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac (当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)． ∵△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤3， ∴△ABC 的面积S △ABC 的最大值为 3.拓展练习·自助餐1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c .若∠C ＝120°，c ＝2a ，则( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定 答案 A解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°⇒a 2－b 2－ab ＝0⇒b ＝－a ＋5a5<a ，故选A.2．在ΔABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos 2C ＝－14. (1)求sin C 的值；(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，求b 及c 的长．解析 (1)因为cos 2C ＝1－2sin 2C ＝－14，及0<C <π，所以sin C ＝104.(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，由正弦定理a sin A ＝csin C ，得c ＝4.由cos 2C ＝2cos 2C －1＝－14，及0<C <π得 cos C ＝±64.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得 b 2±6b －12＝0， 解得b ＝6或26，所以⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝6，c ＝4.或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝26，c ＝4.3．在△ABC 中，A 、B 、C 所对的边的长分别为a 、b 、c ，设a 、b 、c 满足条件b 2＋c 2－bc ＝a 2和c b ＝12＋3，求A 和tan B .思路点拨 本题已知b 2＋c 2－bc ＝a 2，从该式的结构特点及所求结论可以看出，可直接运用余弦定理求A .再由正弦定理，实现边角转化，即将c b 化为sin Csin B ，再用A ＋B ＋C ＝π，得出C ＝π－A －B ，从而求出tan B 的值．解析 方法一 ∵b 2＋c 2－bc ＝a 2，∴b 2＋c 2－a 2＝bc . 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12. 又∵A 为三角形一内角，∴A ＝π3.在△ABC 中，C ＝π－(A ＋B )＝π－π3－B ＝2π3－B .由已知条件及正弦定理得12＋3＝c b ＝sin C sin B ＝sin (2π3－B )sin B＝sin 2π3cos B －cos 2π3sin Bsin B ＝32cot B ＋12.解得cot B ＝2，∴tan B ＝12.方法二 ∵b 2＋c 2－bc ＝a 2，∴b 2＋c 2－a 2＝bc . 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.又∵A 为三角形一内角，∴A ＝π3. 又∵b 2＋c 2－bc ＝a 2，∴1＋(c b )2－c b ＝(a b )2，即1＋(12＋3)2－(12＋3)＝(ab )2. ∴(a b )2＝154.∴a b ＝152. 由正弦定理得sin B ＝b a sin A ＝215×32＝15.又∵a >b ，∴A >B .∴B 为锐角．∴cos B ＝25. ∴tan B ＝sin B cos B ＝12.4．设函数f (x )＝cos(x ＋23π)＋2cos 2x2，x ∈R .(1)求f (x )的值域；(2)记ΔABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，若f (B )＝1，b ＝1，c ＝3，求a 的值．解析 (1)f (x )＝cos x cos 23π－sin x sin 23π＋cos x ＋1＝－12cos x －32sin x ＋cos x ＋1 ＝12cos x －32sin x ＋1＝sin(x ＋5π6)＋1，因此f (x )的值域为[0,2]．(2)由f (B )＝1得sin(B ＋5π6)＋1＝1，即sin(B ＋5π6)＝0，又因0<B <π，故B ＝π6.解法一：由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得a 2－3a ＋2＝0，解得a ＝1或2.解法二：由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得sin C ＝32，C ＝π3或2π3.当C ＝π3时，A ＝π2，从而a ＝b 2＋c 2＝2；当C ＝23π时，A ＝π6，又B ＝π6，从而a ＝b ＝1.故a 的值为1或2.教师备选题1．某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为113，111，15，则此人能( )A ．不能作出这样的三角形B ．作出一个锐角三角形C ．作出一个直角三角形D ．作出一个钝角三角形 答案 D解析 设三边分别为a ，b ，c ，利用面积相等可知 113a ＝111b ＝15c ，∴a ∶b ∶c ＝13∶11∶5由余弦定理得cos A ＝52＋112－1322×5×11<0，所以角A 为钝角．2． E ，F 是等腰直角ΔABC 斜边AB 上的三等分点，则tan ∠ECF ＝( ) A.1627 B.23C.33D.34 答案 D解析 设AC ＝1，则AE ＝EF ＝FB ＝13AB ＝23，由余弦定理得CE ＝CF ＝AE 2＋AC 2－2AC ·AE cos 45°＝53，所以cos ∠ECF ＝CE 2＋CF 2－EF 22CE ·CF ＝45，所以tan∠ECF ＝sin ∠ECF cos ∠ECF＝1－(45)245＝34.3．某班设计了一个八边形的班徽(如图)，它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为( )A ．2sin α－2cos α＋2B ．sin α－3cos α＋3C ．3sin α－3cos α＋1D ．2sin α－cos α＋1 答案 A解析 四个等腰三角形的面积之和为4×12×1×1×sin α＝2sin α.再由余弦定理可得正方形的边长为12＋12－2×1×1×cos α＝2－2cos α，故正方形的面积为2－2cos α，所以所求八边形的面积为2sin α－2cos α＋2.4．有一解三角形的题，因纸张破损有一个条件不清，具体如下：在△ABC 中，已知a ＝3，2cos 2A ＋C2＝(2－1)cos B ，________，求角A .经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示A ＝60°，试将条件补充完整，并写出详细的推导过程．分析 本题容易产生的错误是忽视验证结果而填写b ＝ 2.利用正余弦定理解题，注意利用三角形内角和定理与大边对大角定理进行验证结果是否正确．解析 将A ＝60°看作已知条件， 由2cos 2A ＋C2＝(2－1)cos B ，得cos B ＝22，∴B ＝45°.由a sin A ＝bsin B ，得b ＝ 2.又C ＝75°，得sin C ＝sin(30°＋45°)＝2＋64. 由a sin A ＝csin C ，得c ＝2＋62. 若已知条件为b ＝2， 且由已知得B ＝45°，则由a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝32， ∴A ＝60°或120°不合题意． 若已知条件为c ＝2＋62， 则b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴b ＝2，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12， ∴A ＝60°.综上所述，破损处的已知条件为c ＝2＋62.5．已知函数f (x )＝32sin2x －cos 2x －12，x ∈R .(1)求函数f(x)的最小值和最小正周期；(2)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c＝3，f(C)＝0，若向量m＝(1，sin A)与向量n＝(2，sin B)共线，求a，b的值．解(1)∵f(x)＝32sin2x－1＋cos2x2－12＝sin(2x－π6)－1，∴函数f(x)的最小值是－2，最小正周期是T＝2π2＝π.(2)由题意得f(C)＝sin(2C－π6)－1＝0，则sin(2C－π6)＝1，∵0<C<π，∴0<2C<2π，∴－π6<2C－π6<116π，∴2C－π6＝π2，C＝π3，∵向量m＝(1，sin A)与向量n＝(2，sin B)共线，∴12＝sin A sin B，由正弦定理得，ab ＝12，①由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2ab cosπ3，即3＝a2＋b2－ab，②由①②解得a＝1，b＝2.。

高考数学 黄金配套练习4-7 理一、选择题1．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则∠A ＝( )A ．60°B ．45°C ．120°D ．30° 答案 C解析 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12，∴∠A ＝120°.2．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c 等于( )A ．1B ．2 C.3－1 D. 3 答案 B解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得3sinπ3＝1sin B，∴sin B ＝12，故∠B ＝30°或150°.由a >b ，得∠A >∠B ，∴∠B ＝30°.故∠C ＝90°，由勾股定理得c ＝2.3．在△ABC 中，若sin A ·sin B <cos A ·cos B ，则此三角形的外心位于它的( ) A ．内部 B ．外部C ．一边上D ．以上都有可能 答案 B解析 sin A sin B <cos A cos B即cos A cos B －sin A sin B >0，∴cos(A ＋B )>0 ∴A ＋B 为锐角，∴C 为钝角∴△ABC 为钝角三角形，外心位于它的外部．4．在△ABC 中，三内角A 、B 、C 分别对三边a 、b 、c ，tan C ＝43，c ＝8，则△ABC 外接圆半径R 为( )A ．10B ．8C ．6D ．5 答案 D解析 本题考查解三角形．由题可知应用正弦定理，由tan C ＝43⇒sin C ＝45，则2R ＝c sin C ＝845＝10，故外接圆半径为5.5．△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，∠B ＝30°，△ABC 的面积为0.5，那么b 为( )A ．1＋3B ．3＋ 3 C.3＋33D ．2＋ 3答案 C解析 2b ＝a ＋c ，12ac ·12＝12⇒ac ＝2，a 2＋c 2＝4b 2－4，b 2＝a 2＋c 2－2ac ·32⇒b 2＝4＋233⇒b ＝3＋33. 6．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积为( )A.32B.34C.32或3D.34或32 答案 D解析 如图，由正弦定理得sin C ＝c ·sin B b ＝32，而c >b ，∴C ＝60°或C ＝120°， ∴A ＝90°或A ＝30°，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝32或34.7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30° B．60° C ．120° D．150° 答案 A解析 由sin C ＝23sin B 可得c ＝23b ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝32，于是A ＝30°，因此选A. 8．在△ABC 中，若(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab 且sin C ＝2sin A cos B ，则△ABC 是( ) A ．等边三角形B ．等腰三角形，但不是等边三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形，但不是等腰三角形 答案 A解析∵(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，即a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝60°.又sin C ＝2sin A cos B ，由sin C ＝2sin A ·cos B 得c ＝2a ·a 2＋c 2－b 22ac，∴a 2＝b 2，∴a ＝b .∴△ABC 为等边三角形．二、填空题9．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C ，B ＝π3且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．答案 3解析 在△ABD 中，B ＝π3，BD ＝2，AB ＝1，则AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos π3＝3.所以AD ＝ 3.10．已知a ，b ，c 分别是ΔABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin A ＝________.答案 12解析 由A ＋C ＝2B ，且A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝60°，由正弦定理得3sin 60°＝1sin A，∴sin A ＝12.11．在ΔABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．答案π6解析 由sin B ＋cos B ＝2sin(B ＋π4)＝2得sin(B ＋π4)＝1，所以B ＝π4.由正弦定理a sin A ＝bsin B 得sin A ＝a sin Bb＝2·sinπ42＝12，所以A ＝π6或5π6(舍去)．12．对于△ABC ，有如下命题：①若sin2A ＝sin2B ，则△ABC 为等腰三角形；②若sin A＝cos B ，则△ABC 为直角三角形；③若sin 2A ＋sin 2B ＋cos 2C <1，则△ABC 为钝角三角形．其中正确命题的序号是________．(把你认为所有正确的都填上)答案 ③解析①sin2A ＝sin2B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧A ＝B ⇒△ABC 是等腰三角形，或2A ＋2B ＝π⇒A ＋B ＝π2，即△ABC 是直角三角形.故①不对．②sin A ＝cos B ，∴A －B ＝π2或A ＋B ＝π2.∴△ABC 不一定是直角三角形．③sin 2A ＋sin 2B <1－cos 2C ＝sin 2C ，∴a 2＋b 2<c 2.∴△ABC 为钝角三角形．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin C sin B等于________． 答案 54解析 A 、C 恰好为椭圆的两焦点，∠A 、∠C 所对的边之和BC ＋AB ＝2a ＝10，∠B 所对边AC ＝2c ＝8，由sin A BC ＝sin B AC ＝sin C AB 得sin A ＋sin C sin B ＝BC ＋AB AC ＝54.三、解答题14．ΔABC 中，D 为边BC 上的一点，BD ＝33，sin B ＝513，cos ∠ADC ＝35，求AD .解析 由cos ∠ADC ＝35>0知B <π2.由已知得cos B ＝1213，sin ∠ADC ＝45.从而sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －B ) ＝45×1213－35×513＝3365. 由正弦定理得AD sin B ＝BDsin ∠BAD.所以AD ＝BD ·sin Bsin ∠BAD ＝33×5133365＝25.15．已知△ABC 中，∠B ＝45°，AC ＝10，cos C ＝255.(1)求BC 边的长；(2)记AB 的中点为D ，求中线CD 的长．解析 (1)由cos C ＝255得sin C ＝55，sin A ＝sin(180°－45°－C )＝22(cos C ＋sin C )＝31010. 由正弦定理知BC ＝AC sin B ·sin A ＝1022·31010＝3 2.(2)AB ＝AC sin B·sin C ＝1022·55＝2. BD ＝12AB ＝1.由余弦定理知 CD ＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos B＝1＋18－2·1·32·22＝13. 讲评 解斜三角形的关键在于灵活地运用正弦定理和余弦定理，熟练掌握用正弦定理和余弦定理解决问题，要注意由正弦定理a sin A ＝bsin B求B 时，应对解的个数进行讨论；已知a ，b ，A ，求c 时，除用正弦定理asin A ＝csin C外，也可用余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2ab cos A 求解．16．在△ABC 中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝(cos2B,2cos 2B2－1)，且m ∥n .(Ⅰ)求锐角B 的大小；(Ⅱ)如果b ＝2，求△ABC 的面积S △ABC 的最大值．解析 (Ⅰ)m ∥n ⇒2sin B (2cos 2B2－1)＝－3cos2B ⇒2sin B cos B ＝－3cos2B ⇒tan2B ＝－3.∵0<2B <π，∴2B ＝2π3，∴B ＝π3.(Ⅱ)已知b ＝2，由余弦定理，得：4＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac (当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)．∵△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤3，∴△ABC 的面积S △ABC 的最大值为 3.拓展练习·自助餐1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c .若∠C ＝120°，c ＝2a ，则( ) A ．a >b B ．a <b C ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定 答案 A解析c 2＝a 2＋b 2－2ab co s 120°⇒a 2－b 2－ab ＝0⇒b ＝－a ＋5a 5<a ，故选A.2．在ΔABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos 2C ＝－14.(1)求sin C 的值；(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，求b 及c 的长．解析 (1)因为cos 2C ＝1－2sin 2C ＝－14，及0<C <π，所以sin C ＝104.(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，由正弦定理a sin A ＝csin C，得c ＝4.由cos 2C ＝2cos 2C －1＝－14，及0<C <π得cos C ＝±64. 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得 b 2±6b －12＝0， 解得b ＝6或26， 所以⎩⎨⎧b ＝6，c ＝4.或⎩⎨⎧b ＝26，c ＝4.3．在△ABC 中，A 、B 、C 所对的边的长分别为a 、b 、c ，设a 、b 、c 满足条件b 2＋c 2－bc＝a 2和c b ＝12＋3，求A 和tan B .思路点拨 本题已知b 2＋c 2－bc ＝a 2，从该式的结构特点及所求结论可以看出，可直接运用余弦定理求A .再由正弦定理，实现边角转化，即将c b 化为sin Csin B，再用A ＋B ＋C ＝π，得出C＝π－A －B ，从而求出tan B 的值．解析 方法一 ∵b 2＋c 2－bc ＝a 2，∴b 2＋c 2－a 2＝bc . 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.又∵A 为三角形一内角，∴A ＝π3.在△ABC 中，C ＝π－(A ＋B )＝π－π3－B ＝2π3－B .由已知条件及正弦定理得12＋3＝c b ＝sin Csin B ＝sin 2π3－Bsin B＝sin 2π3cos B －cos 2π3sin Bsin B ＝32cot B ＋12.解得cot B ＝2，∴tan B ＝12.方法二 ∵b 2＋c 2－bc ＝a 2，∴b 2＋c 2－a 2＝bc .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.又∵A 为三角形一内角，∴A ＝π3.又∵b 2＋c 2－bc ＝a 2， ∴1＋(c b)2－c b ＝(a b)2，即1＋(12＋3)2－(12＋3)＝(a b)2.∴(a b )2＝154.∴a b ＝152. 由正弦定理得sin B ＝b a sin A ＝215×32＝15.又∵a >b ，∴A >B .∴B 为锐角．∴cos B ＝25.∴tan B ＝sin B cos B ＝12.4．设函数f (x )＝cos(x ＋23π)＋2cos 2x 2，x ∈R . (1)求f (x )的值域；(2)记ΔABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，若f (B )＝1，b ＝1，c ＝3，求a 的值．解析 (1)f (x )＝cos x cos 23π－sin x sin 23π＋cos x ＋1＝－12cos x －32sin x ＋cos x ＋1＝12cos x －32sin x ＋1 ＝sin(x ＋5π6)＋1，因此f (x )的值域为[0,2]．(2)由f (B )＝1得sin(B ＋5π6)＋1＝1，即sin(B ＋5π6)＝0，又因0<B <π，故B ＝π6.解法一：由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得a 2－3a ＋2＝0，解得a ＝1或2.解法二：由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得sin C ＝32，C ＝π3或2π3.当C ＝π3时，A ＝π2，从而a ＝b 2＋c 2＝2；当C ＝23π时，A ＝π6，又B ＝π6，从而a ＝b ＝1.故a 的值为1或2.教师备选题1．某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为113，111，15，则此人能( )A ．不能作出这样的三角形B ．作出一个锐角三角形C ．作出一个直角三角形D ．作出一个钝角三角形 答案 D解析 设三边分别为a ，b ，c ，利用面积相等可知 113a ＝111b ＝15c ，∴a ∶b ∶c ＝13∶11∶5 由余弦定理得cos A ＝52＋112－1322×5×11<0，所以角A 为钝角．2． E ，F 是等腰直角ΔABC 斜边AB 上的三等分点，则tan ∠ECF ＝( ) A.1627B.23C.33D.34 答案 D 解析 设AC ＝1，则AE ＝EF ＝FB ＝13AB ＝23，由余弦定理得CE ＝CF ＝AE 2＋AC 2－2AC ·AE cos 45°＝53，所以cos ∠ECF ＝CE 2＋CF 2－EF 22CE ·CF ＝45，所以tan ∠ECF ＝sin ∠ECFcos ∠ECF＝1－45245＝34. 3．某班设计了一个八边形的班徽(如图)，它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为( )A ．2sin α－2cos α＋2B ．sin α－3cos α＋3C ．3sin α－3cos α＋1D ．2sin α－cos α＋1 答案 A解析 四个等腰三角形的面积之和为4×12×1×1×sin α＝2sin α.再由余弦定理可得正方形的边长为12＋12－2×1×1×cos α＝2－2cos α，故正方形的面积为2－2cos α，所以所求八边形的面积为2sin α－2cos α＋2.4．有一解三角形的题，因纸张破损有一个条件不清，具体如下：在△ABC 中，已知a ＝3，2cos 2A ＋C 2＝(2－1)cos B ，________，求角A . 经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示A ＝60°，试将条件补充完整，并写出详细的推导过程．分析 本题容易产生的错误是忽视验证结果而填写b ＝ 2.利用正余弦定理解题，注意利用三角形内角和定理与大边对大角定理进行验证结果是否正确．解析 将A ＝60°看作已知条件，由2cos 2A ＋C 2＝(2－1)cos B ， 得cos B ＝22，∴B ＝45°. 由a sin A ＝bsin B，得b ＝ 2. 又C ＝75°，得sin C ＝sin(30°＋45°)＝2＋64. 由a sin A ＝csin C，得c ＝2＋62. 若已知条件为b ＝2， 且由已知得B ＝45°，则由a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝32，∴A ＝60°或120°不合题意．若已知条件为c ＝2＋62， 则b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴b ＝2，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°. 综上所述，破损处的已知条件为c ＝2＋62. 5．已知函数f (x )＝32sin2x －cos 2x －12，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小值和最小正周期；(2)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且c ＝3，f (C )＝0，若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，求a ，b 的值．解 (1)∵f (x )＝32sin2x －1＋cos2x 2－12＝sin(2x －π6)－1，∴函数f (x )的最小值是－2，最小正周期是T ＝2π2＝π.(2)由题意得f (C )＝sin(2C －π6)－1＝0，则sin(2C －π6)＝1，∵0<C <π，∴0<2C <2π，∴－π6<2C －π6<116π，∴2C －π6＝π2，C ＝π3，∵向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，∴12＝sin Asin B，由正弦定理得，a b ＝12，①由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即3＝a 2＋b 2－ab ，②由①②解得a ＝1，b ＝2.。

2019届海南省高三考前高考模拟七理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知集合，，则（） A． _________ B．C． _________ D．2. 设复数在复平面内的点关于实轴对称，，则（）A．___________ B．___________ C．___________ D．3. 已知在平面直角坐标系中，角的终边在直线位于第一象限的部分，则（）A．____________________ B．______________ C．______________ D．4. 命题“经过圆外一点与圆相切的直线至少有一条”的否定是（）A．经过圆外一点与圆相切的直线至多有两条B．经过圆外一点与圆相切的直线有两条C．经过圆外一点与圆相切的直线不存在D．经过圆外一点与圆相切的直线至多有一条5. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中半圆半径为，则该几何体的体积是（）A．______________ B．______________ C．____________________________ D．6. 曲线与及坐标轴围成的封闭区域为，不等式组表示的平面区域为 .在区域内随机取一点，则该点是取自于区域的概率是（）A． B． C．D．7. 某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则正整数的值是（）A． B． C．______________________________________ D．8. 在平面直角坐标系中，已知点，直线，点是圆上的动点，垂足分别为，则线段的最大值是（）A． B． C．___________________________________ D．9. 已知函数在定义域上是偶函数，在上单调递增，并且，则的取值范围是（）A．________ B．________ C．D．10. 已知函数的图象如下，则的图象是（）11. 在平面直角坐标系中有不共线三点，， .实数满足，则以为起点的向量的终点连线一定过点（）A． B．C． D．12. 已知公差不为零的等差数列的最大项为正数.若将数列中的项重新排列得到公比为的等比数列 .则下列说法正确的是（）A．时，数列中的项都是正数___________________________________ B．数列中一定存在的为负数的项C．数列中至少有三项是正数 D．以上说法都不对二、填空题13. 已知，则的最小值是_______.14. 已知，则 _______.15. 使得成立的的范围是_______.16. 已知方程的一非零实根是，的一非零实根是 .函数在有且仅有一个极值点，则的取值范围是______.三、解答题17. 已知函数 .（1）求函数的最小正周期和单调增区间；（2）已知分别是三个内角的对边，且，求面积的最大值.18. 如图，棱柱的底面是菱形.侧棱长为，平面平面，，，点是的重心，且 .（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值.19. 有三位环保专家从四个城市中每人随机选取一个城市完成一项雾霾天气调查报告，三位专家选取的城市可以相同，也可以不同.（1）求三位环保专家选取的城市各不相同的概率；（2）设选取某一城市的环保专家有人，求的分布列及数学期望.20. 如图，已知椭圆，椭圆的长轴长为，离心率为 .（1）求椭圆方程；（2）椭圆内接四边形的对角线交于原点，且，求四边形周长的最大值与最小值.21. 已知函数 .（1）讨论函数的单调性；（2）若函数的图象与直线交于两点，记两点的横坐标分别为，且，证明： .22. 如图，已知圆内接四边形中，，的延长线与的延长线交于点 .（1）求证：；（2）求证： .23. 已知曲线的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（t为参数）.（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）若直线与曲线交于两点，求的值.24. 已知实数满足 .（1）若，求实数的取值范围；（2）求的最小值.参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】。

(2)直线Z,的参数方程为X 厂(?为参数),7.坐标系与参数方程fx=A/3cos a,1.在平面直角坐标系xQy 中，已知曲线C ： \(a 为参数)，在以原点。

为极点，[y=sin aX 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线I 的极坐标方程为#ocos (0+¥)= —1.(1) 求曲线C 的普通方程和直线/的直角坐标方程；(2) 过点M(-l, 0)且与直线/平行的直线"交C 于A, B 两点,求点M 到A, 8两点的距离 之积. 解(1)曲线C 化为普通方程为f+/=l,由*9Cos (0+*)= — l,得pcos 0—psin 0=~2,所以直线I 的直角坐标方程为x —y+2=0. 代入号+y2= 1化简得，2广一寸去一2=0,设A, 3两点所对应的参数分别为"，如则位2= —1,所以|MA|・|MB| = | 仕|=1. \x=4—t,2.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线Ci ： 1 (t 是参数)，以坐标原点为极点，X ly=r-l 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线G ： P=8sin e.(1) 求G 的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2) 判断直线G 与曲线0的位置关系，若相交，求出弦长. 工=4一 t, '(，是参数)消去r 得x+y —3 = 0, y=t~l所以直线Ci 的普通方程为x+y —3=0.把p = 8sin 0的两边同时乘p,得p 2=8psin 0,因为 J+y2=〃2, y=〃sin d,所以 x 2-\~y 2=Sy,即 x 2+(y —4)2=16,所以曲线G 的直角坐标方程为J + 3—4尸=16.⑵由⑴知，曲线。

2： J+(y —4)2=16是圆心坐标为(0, 4),半径为4的圆，所以圆心(0, 4)到直线x+y —3=0的距离d=归言且=乎<4,所以直线G 与曲线G 相交，其弦长为2寸2_皆卜庇3. (2018-河北省武邑中学期中)在平面直角坐标系xOy 中，曲线G 的参数方程为 fx —- 22cos ｛\ (/为参数)，以坐标原点为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使[y=2sin t得它与直角坐标系有相同的长度单位，曲线C2的极坐标方程为p=2sin6»,曲线C3的极坐标方程为0=制>0).(1)求曲线Ci的极坐标方程和C3的直角坐标方程；(2)设G分别交G，于点F, Q,求WPQ的面积.解(1)曲线G的普通方程为(x—2)2+y2=4,即x2-^-y2—4x=0,所以G的极坐标方程为p2—4pcos 0=0,即p=4cos Q.曲线C3的直角坐标方程为》=林(工>0).(2)依题意,设点F, Q的坐标分别为饥，泰,费,将。

[重点保分 两级优选练]A 级一、选择题1．已知点A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，则向量AB →与AC →的夹角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案 C解析 由已知得AB →＝(0,3,3)，AC →＝(－1,1,0)， ∴cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝332×2＝12.∴向量AB →与AC →的夹角为60°.故选C.2．(2018·伊宁期末)三棱锥A －BCD 中，平面ABD 与平面BCD 的法向量分别为n 1，n 2，若〈n 1，n 2〉＝π3，则二面角A －BD －C 的大小为( )A.π3B.2π3C.π3或2π3D.π6或π3 答案 C解析 ∵二面角的范围是[0，π]，且〈n 1，n 2〉＝π3，∴二面角A －BD －C 的大小为π3或2π3.故选C.3．(2017·太原期中)已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为正方形，AA 1＝2AB ，E 为AA 1的中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为( )A.1010B.15C.31010D.35答案 C解析 如图，以D 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系． 设AA 1＝2AB ＝2，则B (1,1,0)，E (1,0,1)，C (0,1,0)，D 1(0,0,2)． ∴BE →＝(0，－1,1)，CD 1→＝(0，－1,2)． ∴cos 〈BE →，CD 1→〉＝1＋22·5＝31010.故选C.4．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在A 1D ，AC 上，且A 1E ＝23A 1D ，AF ＝13AC ，则( )A ．EF 至多与A 1D ，AC 之一垂直B ．EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC C ．EF 与BD 1相交 D ．EF 与BD 1异面 答案 B解析 以D 点为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．设正方体棱长为1，则A 1(1,0,1)，D (0,0,0)，A (1,0,0)，C (0,1,0)，E ⎝⎛⎭⎪⎫13，0，13，F ⎝⎛⎭⎪⎫23，13，0，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，A 1D →＝(－1，0，－1)，AC →＝(－1,1,0)，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，－13，BD 1→＝(－1，－1,1)，EF →＝－13BD 1→，A 1D →·EF →＝AC →·EF →＝0，从而EF ∥BD 1，EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC .故选B.5．(2018·河南模拟)如图所示，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长为3，底面边长A 1C 1＝B 1C 1＝1，且∠A 1C 1B 1＝90°，D 点在棱AA 1上且AD ＝2DA 1，P 点在棱C 1C 上，则PD →·PB 1→的最小值为()A.52 B ．－14 C.14 D ．－52答案 B解析 建立如图所示的直角坐标系，则D (1,0,2)，B 1(0,1,3)， 设P (0,0，z )(0≤z ≤3)，则PD →＝(1,0,2－z )，PB 1→＝(0,1,3－z )， ∴PD →·PB 1→＝0＋0＋(2－z )(3－z )＝⎝⎛⎭⎪⎫z －522－14，故当z ＝52时，PD →·PB 1→取得最小值为－14.故选B.6．(2018·沧州模拟)如图所示，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，棱长为1，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且BE ＝CF ＝a (0<a <1)，则D ′E 与B ′F 的位置关系是()A ．平行B ．垂直C ．相交D ．与a 值有关答案B解析 建立如图所示空间直角坐标系．则D ′(0,0,1)，E (1－a,1,0)，B ′(1,1,1)，F (0,1－a,0)， ∴D ′E →＝(1－a,1，－1)，B ′F →＝(－1，－a ，－1)．∴D ′E →·B ′F →＝(1－a )×(－1)＋1×(－a )＋(－1)×(－1)＝a －1－a ＋1＝0.∴D ′E →⊥B ′F →，即D ′E ⊥B ′F .故选B.7．(2017·聊城期中)在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，D ，E ，F 分别是棱AB ，BC ，CP 的中点，AB ＝AC ＝1，P A ＝2，则直线P A 与平面DEF 所成角的正弦值为( )A.15B.255C.55D.25答案 C解析 以A 为原点，AB ，AC ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由AB ＝AC ＝1，P A ＝2，得A (0，0,0)，B (1，0,0)，C (0,1,0)，P (0,0,2)，D ⎝⎛12，0,0 )，E ( 12，12，0 )，F ⎝⎛⎭⎪⎫0，12，1，∴P A →＝(0,0，－2)，DE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，12，0，DF →＝⎝⎛⎭⎪⎫－12，12，1.设平面DEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎨⎧n ·DE →＝0，n ·DF →＝0，得⎩⎨⎧y ＝0，－x ＋y ＋2z ＝0，取z ＝1，则n ＝(2,0,1)，设P A 与平面DEF 所成的角为θ，则sin θ＝|P A →·n ||P A →||n |＝55，∴P A 与平面DEF 所成角的正弦值为55.故选C.8．(2018·江西红色七校模拟)已知二面角α－l －β等于120°，A ，B 是棱l 上两点，AC ，BD 分别在半平面α，β内，AC ⊥l ，BD ⊥l ，且AB ＝AC ＝BD ＝1，则CD 的长等于( )A. 2B. 3 C ．2 D. 5答案 C解析 解法一：依题意可知二面角α－l －β的大小等于AC →与BD →所成的角，因为CD →＝CA →＋AB →＋BD →，所以CD →2＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2CA →·AB →＋2CA →·BD →＋2AB →·BD →，因为AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AB ＝AC ＝BD＝1，所以CD →2＝1＋1＋1＋2CA →·BD →＝3＋2|CA →||BD →|·cos 〈CA →，BD →〉＝3＋2cos 〈CA →，BD →〉，因为〈AC →，BD →〉＝120°，所以〈CA →，BD →〉＝60°， 因此CD →2＝3＋2×12＝4，所以|CD →|＝2，故选C.解法二：在β内作AE 綊BD .连接CE 、DE ，易知∠CAE ＝120°，CE ⊥DE ，∴CE 2＝AC 2＋AE 2－2×AC ×AE cos120°＝3. 在Rt △CED 中，CD 2＝CE 2＋ED 2＝4，∴CD ＝2. 故选C.9．(2017·南阳期中)若正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则直线AD 与平面B 1DC 所成角的正弦值为( )A.35B.45C.34D.55答案 B解析如图，取AC 的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系． 设各棱长为2，则有A (0，－1,0)，D (0,0,2)，C (0,1,0)，B 1(3，0,2)． 所以C D →＝(0，－1,2)，CB 1→＝(3，－1，2)，A D →＝(0,1,2)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面B 1CD 的法向量，则有⎩⎨⎧n ·CD →＝0，n ·CB 1→＝0⇒⎩⎨⎧－y ＋2z ＝0，3x －y ＋2z ＝0⇒n ＝(0,2,1)．∴cos 〈AD →，n 〉＝AD →·n |AD →||n |＝45，即直线AD 与平面B 1DC 所成角的正弦值．故选B.10．(2018·福建龙岩模拟)如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为4，点E ，F 分别是线段AB ，C 1D 1上的动点，点P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一动点，且满足点P 到点F的距离等于点P 到平面ABB 1A 1的距离，则PE 的最小值是( )A ．5B ．4C ．4 5D ．2 5答案 D解析 以D 为原点，直线DA 为x 轴，直线DC 为y 轴，直线DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设AE ＝a ，D 1F ＝b ，0≤a ≤4,0≤b ≤4，P (x ，y,4)，0≤x ≤4,0≤y ≤4，则F (0，b,4)，E (4，a,0)，PF →＝(－x ，b －y,0)，∵点P 到点F 的距离等于点P 到平面ABB 1A 1的距离，∴当E ，F 分别是AB ，C 1D 1的中点，P 为正方形A 1B 1C 1D 1的中心时，PE 取最小值，此时P (2,2,4)，E (4,2,0)，∴|PE |min ＝(2－4)2＋(2－2)2＋(4－0)2＝2 5.故选D.二、填空题11．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E ，F 分别是CC 1，AD 的中点，则异面直线OE 和FD 1所成的角的余弦值等于________．答案155解析 以D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，∴F (1,0,0)，D 1(0,0,2)，O (1,1,0)，E (0,2,1)． ∴FD 1→＝(－1,0,2)， OE →＝(－1,1,1)．∴cos 〈FD 1→，OE →〉＝1＋25·3＝155.12．(2018·曲阜模拟)如图，在正方形ABCD 中，EF ∥AB ，若沿EF 将正方形折成一个二面角后，AE ∶ED ∶AD ＝1∶1∶2，则AF 与CE 所成角的余弦值为________．答案 45解析 ∵AE ∶ED ∶AD ＝1∶1∶2，∴AE ⊥ED ，即AE ，DE ，EF 两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝EF ＝CD ＝2，则E (0,0,0)，A (1,0,0)，F (0,2,0)，C (0，2,1)，∴AF →＝(－1,2,0)，EC →＝(0,2,1)，∴cos 〈AF →，EC →〉＝AF →·EC →|AF →||EC →|＝45×5＝45，∴AF 与CE 所成角的余弦值为45.13．(2017·青海质检)等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C －AB －D 的余弦值为33，M ，N 分别是AC ，BC 的中点，则EM ，AN所成角的余弦值等于________．答案 16解析 过C 点作CO ⊥平面ABDE ，垂足为O ，取AB 中点F ，连接CF ，OF ，则∠CFO 为二面角C －AB －D 的平面角，设AB ＝1，则CF ＝32，OF ＝CF ·cos ∠CFO ＝12，OC ＝22， 则O 为正方形ABDE 的中心， 如图所示建立直角坐标系Oxyz ，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－22，0，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫24，0，24，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，0， N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，24，24，EM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫24，22，24，AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，24，24，cos 〈EM →，AN →〉＝EM →·AN →|EM →||AN →|＝16.14．(2018·临沂期末)如图，在四棱锥P －ABCD 中，侧面P AD 为正三角形，底面ABCD 为正方形，侧面P AD ⊥底面ABCD ，M 为底面ABCD 内的一个动点，且满足MP ＝MC ，则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为________．(填序号)答案 ①解析 以D 为原点，DA ，DC 所在直线分别为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系如图．设M (x ，y,0)，设正方形边长为a ，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，32a ，C (0，a,0)，则MC ＝x 2＋(y －a )2，MP ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋y 2＋⎝⎛⎭⎪⎫－32a 2.由MP ＝MC ，得x ＝2y ，所以点M 在正方形ABCD 内的轨迹为直线y ＝12x 的一部分．B 级三、解答题15．(2018·广东五校诊断)如图，菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥平面ABCD ，CF ∥AE ，AB ＝AE ＝2.(1)求证：BD ⊥平面ACFE ；(2)当直线FO 与平面BED 所成的角为45°时，求异面直线OF 与BE 所成的角的余弦值大小．解 (1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC . ∵AE ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥AE .∵AC ∩AE ＝A ，∴BD ⊥平面ACFE .(2)以O 为原点，OA →，OB →的方向为x ，y 轴正方向，过O 且平行于CF 的直线为z 轴(向上为正方向)，建立空间直角坐标系，则B (0，3，0)，D (0，－3，0)，E (1,0,2)，F (－1,0，a )(a >0)，OF →＝(－1,0，a )．设平面EBD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎨⎧n ·OB →＝0，n ·OE →＝0，即⎩⎨⎧3y ＝0，x ＋2z ＝0，令z ＝1，则n ＝(－2,0,1)，由题意得sin45°＝|cos 〈OF →，n 〉|＝|OF →·n ||OF →||n |＝|2＋a |a 2＋1·5＝22，解得a ＝3或－13.由a >0，得a ＝3，OF →＝(－1,0,3)，BE →＝(1，－3，2)， cos 〈OF →，BE →〉＝－1＋610×8＝54，故异面直线OF 与BE 所成的角的余弦值为54.16．(2014·全国卷Ⅱ)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．(1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设二面角D －AE －C 为60°，AP ＝1，AD ＝3，求三棱锥E －ACD 的体积．解 (1)证明：连接BD 交AC 于点O ，连接EO . 因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点． 又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB .又EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以PB ∥平面AEC . (2)因为P A ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，所以AB ，AD ，AP 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB →的方向为x 轴的正方向，|AP →|为单位长度，建立空间直角坐标系Axyz ，则D (0，3，0)，E ⎝⎛⎭⎪⎫0，32，12，AE→＝⎝⎛⎭⎪⎫0，32，12.设B (m,0,0)(m >0)，则C (m ，3，0)，AC →＝(m ，3，0)． 设n 1＝(x ，y ，z )为平面ACE 的法向量，则⎩⎨⎧n 1·AC →＝0，n 1·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋3y ＝0，32y ＋12z ＝0，可取n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3m ，－1，3.又n 2＝(1,0,0)为平面DAE 的法向量， 由题设得|cos 〈n 1，n 2〉|＝12，即 33＋4m 2＝12， 解得m ＝32.因为E 为PD 的中点，所以三棱锥E －ACD 的高为12. 三棱锥E －ACD 的体积V ＝13×12×3×32×12＝38.17．(2017·河北衡水中学调研)如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC ＝1，AD ＝2，E 是线段AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到△A 1BE 的位置，如图2所示．(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(2)若平面A 1BE ⊥平面BCDE ，求直线BD 与平面A 1BC 所成角的正弦值．解 (1)证明：在题图1中，连接CE ， 因为AB ＝BC ＝1，AD ＝2，E 是AD 的中点，∠BAD ＝π2，所以四边形ABCE 为正方形，四边形BCDE 为平行四边形，所以BE ⊥AC .在题图2中，BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ， 又OA 1∩OC ＝O ， 从而BE ⊥平面A 1OC .又CD ∥BE ，所以CD ⊥平面A 1OC . (2)由(1)知BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ，所以∠A 1OC 为二面角A 1－BE －C 的平面角，又平面A 1BE ⊥平面BCDE ，所以∠A 1OC ＝π2，所以OB ，OC ，OA 1两两垂直．如图，以O 为原点，OB ，OC ，OA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0，0， A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，22，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，0，得BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，0，A 1C →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，－22，由CD →＝BE →＝(－2，0,0)，得D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，22，0.所以BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322，22，0. 设平面A 1BC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 直线BD 与平面A 1BC 所成的角为θ，则⎩⎨⎧n ·BC →＝0，n ·A 1C →＝0，得⎩⎨⎧－x ＋y ＝0，y －z ＝0，取x ＝1，得n ＝(1,1,1)．从而sin θ＝|cos 〈BD →，n 〉|＝25×3＝3015， 即直线BD 与平面A 1BC 所成角的正弦值为3015.18.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P －ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝CD ，过棱PC 的中点E ，作EF ⊥PB 交PB 于点F ，连接DE ，DF ，BD ，BE .(1)证明：PB ⊥平面DEF .试判断四面体DBEF 是否为鳖臑？若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由；(2)若平面DEF 与平面ABCD 所成二面角的大小为π3，求DC BC 的值．解 (1)证明：如图，以D 为原点，射线DA ，DC ，DP 分别为x ，y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系．设PD ＝DC ＝1，BC ＝λ，则D (0,0,0)，P (0,0,1)，B (λ，1,0)，C (0,1,0)，PB →＝(λ，1，－1)，点E 是PC 的中点，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12， 于是PB →·DE →＝0，即PB ⊥DE .又已知EF ⊥PB ，而DE ∩EF ＝E ，所以PB ⊥平面DEF . 因PC →＝(0,1，－1)，DE →·PC →＝0，则DE ⊥PC ，所以DE ⊥平面PBC . 由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB ，∠DEF ，∠EFB ，∠DFB .(2)由PD ⊥平面ABCD ，所以DP →＝(0,0,1)是平面ABCD 的一个法向量；由(1)知PB ⊥平面DEF ，所以BP →＝(－λ，－1,1)是平面DEF 的一个法向量．若平面DEF 与平面ABCD 所成二面角的大小为π3，则cos π3＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BP →·DP →|BP →||DP →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1λ2＋2＝12，解得λ＝ 2. 所以DC BC ＝1λ＝22. 故当平面DEF 与平面ABCD 所成二面角的大小为π3时，DC BC ＝22.。

2019年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷理科数学（七）本试题卷共6页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集{}1,2,3,4U =，若{}1,3A =，{}3B =，则()()U UA B 痧等于（ ）A ．{}1,2B ．{}1,4C ．{}2,3D ．{}2,42．已知复数z 满足()34i 34i z +=-，z 的共轭复数，则z =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．如果数据1x ，2x ，…，n x 的平均数为x ，方差为28，则152x +，252x +，…，52n x +的平均数和方差分别为（ ）A ．2,8xB ．252,8x +C D 4．《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日共织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第十日所织尺数为（ ） A ．9B ．10C ．11D ．125．已知0.41.9a =，0.4log 1.9b =， 1.90.4c =，则（ ） A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．c a b >>6．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 区域中，M ，N 分别为OA ，OB 的中点，在M ，N 两点处各有一个通信基站，其信号的覆盖范围分别为以OA ，OB 为直径的圆，在扇形OAB 内随机取一点，则能够同时收到两个基站信号的概率是（ ）A B C D 7．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）A ．23B ．1C ．43 D ．838．已知函数()20172017log x f x =+)20173x x -+-+，则关于x 的不等式()()126f x f x -+>的解集为（ ） A ．(),1-∞B ．()1,+∞C ．()1,2D ．()1,49．在如图所示的程序框图中，若输入的2s =，输出的2018s >，则判断框内可以填入的条件是（ ）开始输入x结束是否输出s 2s s =1i =1i i =+A ．9i >B ．10i ≤C ．10i ≥D ．11i ≥10．已知关于x 的方区间[)0,2π上有两个根12,x x ，且m 的取值范围是（） A ．()B ．(⎤⎦C ．⎡⎣D ．[)0,111．已知()f x '是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有()()()e 23x f x x f x '=++（e 是自然对数的底数），()01f =，若不等式()0f x k-<的解集中恰有两个整数，则实数k 的取值范围是（ ）ABC D 12．已知椭圆2215y x +=与抛物线2x ay =有相同的焦点F，O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，点A 在抛物线上，且4AF =，则PA PO +的最小值为（ ） A．B ．C ．D ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2019年新课标高考理科数学仿真模拟试卷七1．设全集，集合，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】2．若复数满足，则的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．1【答案】D【解析】，，则z的共轭复数的虚部为1．故选：D．3．命题“，”的否定是（）A．不存在，B．，C．，D．，【答案】C【解析】由全称命题的否定是特称命题可得命题的否定是“”选C4．设Sn为等差数列{a n}的前n项和，且4＋a5＝a6＋a4，则S9＝( )A．72 B．36 C．18 D．9【答案】B【解析】由于数列是等差数列，故，所以，故选B.5．已知直线l和两个不同的平面α，β，则下列结论正确的是( )A．若l//α，l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βC．若l//α，l//β，则α// βD．若α⊥β，l//α，则l⊥β【答案】A【解析】对于A选项，一条直线和一个平面垂直，即是这个平面的法向量，这条直线和另一个平面平行，也即和另一个平面的法向量垂直，故两个平面垂直，A选项是真命题.对于B选项，直线可能在平面内，故B选项是假命题.对于C选项，两个平面可能相交，故C选项是假命题.对于D选项，直线可能在平面内，故D 选项是假命题.综上所述，本小题选A.6．在某项测量中，测得变量.若在内取值的概率为0.8，则在内取值的概率为（）A．0.2 B．0.1 C．0.8 D．0.4【答案】D【解析】因为符合正态分布，所以曲线的对称轴是，因为在内取值的概率为0.8，所以在内取值的概率为0.4。

7．某几何体的三视图如图所示，该几何体表面上的点与点在正视图与侧视图上的对应点分别为，，则在该几何体表面上，从点到点的路径中，最短路径的长度为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题，几何体如图所示（1）前面和右面组成一面此时PQ=（2）前面和上面再一个平面此时PQ=故选C8．设是公差不为零的等差数列，若，则前项的和为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为是公差不为零的等差数列，得整理的因为，故前6项和故选B9．将函数图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），则所得图象对应的函数解析式为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】先将函数图象上所有的点向左平行移动个单位长度得再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得故选A10．设，都是不等于的正数，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若，当a、b都大于1，此时得出当a、b都大于0小于1时，此时得出所以综上可得“”是“”的充分不必要条件故选A11．已知函数，，且在，上单调，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以函数，的一条对称轴为，又，即函数的一个对称中心为所以又因为在，单调，所以所以周期又因为故选B.12．已知定义域为的函数的图象是连续不断的曲线，且，当时，，则下列判断正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】构造函数，因为当时，，所以可得在时，是单调递增的；因为，化简得即可得图像关于x=1对称，则，因为化简可得，故选C13．若满足约束条件，则的最大值为____．【答案】5【解析】x，y满足约束条件的可行域如图：由解得A（1，2）．由可行域可知：目标函数经过可行域A时，z＝x+2y取得最大值：5．故答案为：5．14．设，则的值为__________．【答案】1【解析】由条件，令x=0,则有=0，再令x=-1,则有-1=，∴，故答案为1.15．在平面直角坐标系中,已知过点的直线与圆相切,且与直线垂直,则实数__________．【答案】【解析】因为在圆上，所以圆心与切点的连线与切线垂直，又知与直线与直线垂直，所以圆心与切点的连线与直线斜率相等，，所以，故填：．16．已知函数，过点作与轴平行的直线交函数的图像于点，过点作图像的切线交轴于点，则面积的最小值为____．【答案】【解析】函数f（x）＝的导数为f′（x），由题意可令x＝a，解得y，可得P（a，），即有切线的斜率为k，切线的方程为y﹣（x），令y＝0，可得x＝a﹣1，即B（a﹣1，0），在直角三角形P AB中，|AB|＝1，|AP|，则△ABP面积为S（a）|AB|•|AP|•，a＞0，导数S′（a）•，当a＞1时，S′＞0，S（a）递增；当0＜a＜1时，S′＜0，S（a）递减．即有a＝1处S取得极小值，且为最小值e．故答案为：e．17．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知的面积. （Ⅰ）求；（Ⅱ）作角的平分线交边于点，记和的面积分别为，，求的取值范围. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】解：（Ⅰ）.因此，又，所以.（Ⅱ），由正弦定理，知.因为，所以.18．某兴趣小组在科学馆的帕斯卡三角仪器前进行探究实验.如图所示，每次使一个实心小球从帕斯卡三角仪器的顶部入口落下，当它在依次碰到每层的菱形挡板时，会等可能地向左或者向右落下，在最底层的7个出口处各放置一个容器接住小球，该小组连续进行200次试验，并统计容器中的小球个数得到柱状图：（Ⅰ）用该实验来估测小球落入4号容器的概率，若估测结果的误差小于，则称该实验是成功的.试问：该兴趣小组进行的实验是否成功？（误差）（Ⅱ）再取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球个数为，求的分布列与数学期望.（计算时采用概率的理论值）【答案】（Ⅰ）是成功的；（Ⅱ）详见解析.【解析】解：（Ⅰ）小球落入4号容器的概率的理论值为.小球落入4号容器的概率的估测值为.误差为，故该实验是成功的.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，每个小球落入4号容器的概率为，未落入4号容器的概率为.，，，，.的分布列为由于，所以.19．如图所示的三棱柱中，平面，，，的中点为，若线段上存在点使得平面.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求二面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】解：（Ⅰ）方法一：设的长为，依题意可知，，两两垂直，分别以，，的方向为，，轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示.则，，，，，，因此，，.设，易求得点的坐标为，所以.因为平面，所以.解之得，所以的长为.方法二：如图，在平面内过点作的垂线分别交和于，，连接，在平面内过点作的垂线交于，连接.依题意易得，五点共面.因为平面，所以.①在中，，，因此为线段靠近的三等分点.由对称性知，为线段靠近的三等分点，因此，.代入①，得.（Ⅱ）由（Ⅰ）方法一可知，是平面的一个法向量且，. 设平面的法向量为，则可以为..因为二面角为锐角，故所求二面角的余弦值为.20．椭圆的离心率为且四个顶点构成面积为的菱形.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，记中点为，坐标原点为，直线交椭圆于，两点，当四边形的面积为时，求直线的方程.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或.【解析】解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为，则，又，所以.因为，所以，，故所求椭圆的标准方程为.（Ⅱ）设点，的坐标分别为，，直线的方程为，与椭圆方程联立，得.设点坐标为，则有，，因此.所以直线的方程为，与椭圆方程联立，得. 所以弦长.不妨设点在直线：上方，则点在直线：下方.点到直线的距离为，点到直线的距离为.所以.所以面积.因此直线的方程为或.21．已知函数.（Ⅰ）当时，求的最小值.（Ⅱ）若在区间上有两个极值点，（i）求实数的取值范围；（ii）求证：.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）；（ii）详见解析.【解析】解：（Ⅰ）当时，，，令，得.的单调性如下表：易知.（Ⅱ）（i）.令，则.令，得.的单调性如下表：在区间上有两个极值点，即在区间上有两个零点，结合的单调性可知，且，即且.所以，即的取值范围是.（ii）由（i）知，所以.又，，，结合的单调性可知，.令，则.当时，，，，所以在上单调递增，而，，因此.22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程，并说明它为何种曲线；（Ⅱ）设点的坐标为，直线交曲线于，两点，求的取值范围.【答案】（Ⅰ），曲线是一个以为圆心，2为半径的圆；（Ⅱ）.【解析】解：（Ⅰ）将代入中得，即，曲线是一个以为圆心，2为半径的圆.（Ⅱ）由直线的参数方程，知其过定点，由于直线与曲线相交，由图象知其倾斜角为锐角.联立与，整理得到关于的二次方程.由知，或（舍）.又由于点，均在点的下方，由参数的几何意义，知（其中）.23．已知函数.（Ⅰ）当时，求的解集；（Ⅱ）记的最小值为，求在时的最大值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）2.【解析】解：（Ⅰ）当时，原不等式变为.①当时，，得，所以；②当时，，得，所以；③当时，恒成立，所以. 综上，得.故的解集为.（Ⅱ），所以.①当时，，最大值为；②当时，，最大值为.综上，得在时的最大值为2.。

第七章 7.1第1课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．对于实数a，b，c，“a>b”是“ac2>bc2”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案B解析由ac2>bc2⇒a>b，但由a>b推不出ac2>bc2，故选B.2. 设a>b>0，下列各数小于1的是( )A．2a－b B．(a b )12C．(ab)a－b D．(ba)a－b答案D解析y＝a x(a>0且a≠1)．当a>1，x>0时，y>1，当0<a<1，x>0时，0<y<1.∵a>b>0，∴a－b>0，ab>1,0<ba<1由指数函数性质知，D成立．3．若a、b∈R，下列命题中①若|a|＞b，则a2＞b2；②若a2＞b2，则|a|＞b；③若a＞|b|，则a2＞b2；④若a2＞b2，则a＞|b|正确的是( )A．①和③ B．①和④C．②和③ D．②和④答案C解析条件|a|＞b，不能保证b是正数条件a＞|b|可保证a是正数故①不正确，③正确a2＞b2⇒|a|＞|b|≥b，故②正确④不正确4．若a>1,0<b<1，则下列不等式中正确的是( ) A．a b<1 B．b a>1C．log a b<0 D．log b a>0答案C解析特殊值法：令a＝2，b＝12，则只有C成立．5．已知0<a<b，且a＋b＝1，下列不等式成立的是( ) A．log2a>0 B．2a－b>1C．2ab>2 D．log2(ab)<－2答案D解析由已知，0<a<1,0<b<1，a－b<0,0<ab<14，log2(ab)<－2，故选D.6．若a>b>c，a＋2b＋3c＝0，则( ) A．ab>ac B．ac>bc C．ab>bc D．a|b|>c|b|答案A7．设0<b<a<1，则下列不等式成立的是( )A．ab<b2<1 B．log12b<log12a<0C．2b<2a<2 D．a2<ab<1答案C解析解法一特值法．取b＝14，a＝12.解法二0<b<a⇒b2<ab，A不对；y＝log12x在(0，＋∞)上为减函数，∴log12b>log12a，B不对；a>b>0⇒a2>ab，D不对，故选C.二、填空题8．若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值范围是______．答案(－3,3)解析－4<β<2⇒－4<－|β|≤0，－3<α－|β|<3.9．已知a＋b>0，则ab2＋ba2与1a＋1b的大小关系是________．答案ab2＋ba2≥1a＋1b解析ab2＋ba2－⎝⎛⎭⎪⎫1a＋1b＝a－bb2＋b－aa2＝(a－b)⎝⎛⎭⎪⎫1b2－1a2＝（a＋b）（a－b2）a2b2.∵a＋b>0，(a－b)2≥0，∴（a＋b）（a－b2）a2b2≥0，∴ab2＋ba2≥1a＋1b.10．若log a(a2＋1)< log a2a<0，则a的取值范围是______．答案12<a<1解析∵a2＋1>2a，log a(a2＋1)<log a2a ∴0<a<1∵log a(2a)<log a1∴2a>1 ∴a>12，∴12<a<111．下列命题为真的是____________．①若a>b，则a lg12>b lg12②若a >b >0，c >d >0，则a 2－d >b 2－c③若a >b, 且a 、b ∈R ，则(13)a <(13)b④若a ∈[－π，2π3]，则1－sin α>0答案 ②③解析 lg 12<0，①是错误的，a >b >0，a 2>b 2，c >d >0，c >d >0，－c <－d ，a 2－d >b 2－c .②正确．y ＝(13)x 是减函数，a >b ，则(13)a <(13)b.③正确．④中α＝π2时1－sin α＝0，不正确．12．一个棱长为2的正方体的上底面有一点A ，下底面有一点B ，则A 、B 两点间的距离d 满足的不等式为________．答案 2≤d ≤2313．(2010·上海春季高考改编)若a >1，b <1，则下列两式的大小关系为ab ＋1____a ＋b .答案 <解析 (ab ＋1)－(a ＋b )＝1－a －b ＋ab ＝(1－a )(1－b ) ∵a >1，b <1，∴1－a <0,1－b >0 ∴(1－a )(1－b )<0，∴ab ＋1<a ＋b 三、解答题14．已知a >0且a ≠1，比较log a (a 3＋1)和log a (a 2＋1)的大小． 解析 当a >1时，a 3>a 2，a 3＋1>a 2＋1. 又log a x 为增函数，所以 log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)；当0<a <1时，a 3<a 2，a 3＋1<a 2＋1 又log a x 为减函数所以log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)综上，对a >0且a ≠1，总有log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)15．已知m ∈R ，a >b >1，f (x )＝mx x －1，试比较f (a )与f (b )的大小．解析 f (x )＝mx x －1＝m (1＋1x －1)，所以f (a )＝m (1＋1a －1)，f (b )＝m (1＋1b －1)． 由a >b >1，知a －1>b －1>0，所以1＋1a －1<1＋1b －1.①当m >0时，m (1＋1a －1)<m (1＋1b －1)，即f (a )<f (b )；②当m ＝0时，m (1＋1a －1)＝m (1＋1b －1)，即f (a )＝f (b )；③当m<0时，m(1＋1a－1)>m(1＋1b－1)，即f(a)>f(b)．16．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，函数F(x)＝f(x)－x的两个零点为m，n (m <n )．若a >0，且0<x <m <n <1a，比较f (x )与m 的大小．解析 由题意知，F (x )＝a (x －m )(x －n ) ∴f (x )＝a (x －m )(x －n )＋x∴f (x )－m ＝a (x －m ) (x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)， ∵a >0，且0<x <m <n <1a，∴x －m <0,1－an ＋ax >0. ∴f (x )－m <0，即f (x )<m .教师备选题1．设x ，y 为实数，满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，则x 3y4的最大值是________．答案 27解析 由题设知，实数x ，y 均为正实数，则条件可化为lg3≤lg x ＋2lg y ≤lg8，lg4≤2lg x －lg y ≤lg9，令lg x ＝a ，lg y ＝b ，则有⎩⎨⎧lg3≤a ＋2b ≤3lg22lg2≤2a －b ≤2lg3，又设t ＝x 3y4，则lg t ＝3lg x －4lg y ＝3a －4b ，令3a －4b＝m (a ＋2b )＋n (2a －b )，解得m ＝－1，n ＝2，即lg t ＝－(a ＋2b )＋2(2a －b )≤－lg3＋4lg3＝lg27，∴x 3y 4的最大值是27.另解：将4≤x 2y ≤9两边分别平方得，16≤x 4y2≤81，①又由3≤xy 2≤8可得，18≤1xy 2≤13，②由①×②得，2≤x 3y 4≤27，即x 3y4的最大值是27.2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≥10，S 5≤15，则a 4的最大值为________．答案 4解析 解法一 设等差数列{a n }的公差为d ，依题意有4a 1＋4×32d ≥10，即2a 1＋3d ≥5；5a 1＋5×42d ≤15，即a 1＋2d ≤3，注意到a 4＝a 1＋3d ＝－(2a 1＋3d )＋3(a 1＋2d )≤－5＋3×3＝4，因此a 4的最大值为4.解法二 由⎩⎪⎨⎪⎧S 4≥10S 5≤15得⎩⎨⎧4a 1＋6d ≥105a 1＋10d ≤15，即⎩⎨⎧2a 1＋3d ≥5a 1＋2d ≤3求a 4＝a 1＋3d 最值．属于线性规划问题，平面区域为⎩⎨⎧2x ＋3y ≥5x ＋2y ≤3求目标函数z ＝x ＋3y 最大值．目标函数z 是一组斜率为－1的平行线，直线越向上z值越大，直线离开平面区域的最后一个点的坐标为3(1,1)，所以z max＝1＋3＝4.希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！。