第01章 解三角形-学易试题君之单元测试君2019学年高二数学人教版(必修5)(考试版)

章末综合检测(一)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知△ABC 中，a ＝2，b ＝3，B ＝60°，那么角A 等于( )A ．135°B ．90°C ．45°D ．30° 解析：选C.由正弦定理a sin A ＝b sin B ⇒2sin A ＝3sin B ，则sin A ＝23sin B ＝22.因为a <b ，所以A <B ，所以A ＝45°.2．在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75° 解析：选C.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1＋4－32×1×2＝12，因为0°<A <180°，所以A ＝60°，故选C.3．已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为( )A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°解析：选B.由△ABC 的面积为33，且BC ＝4，CA ＝3可知12BC ·CA sin C ＝33，所以sin C ＝32， 又△ABC 为锐角三角形，所以C ＝60°.4．在△ABC 中，若sin A a ＝cos B b，则B 的值为( ) A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选B.由已知及正弦定理知sin A sin A ＝cos B sin B， 所以tan B ＝1，又B 为△ABC 的内角，所以B ＝45°.5．在△ABC 中，若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B 等于( ) A.53 B.54 C.55 D.56解析：选B.由正弦定理得a b ＝sin A sin B ，所以a ＝52b 可化为sin A sin B ＝52. 又A ＝2B ，所以sin 2B sin B ＝52，所以cos B ＝54. 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若A ＋C ＝2B ，a ＝1，b ＝3，则S △ABC 等于( )A. 2B. 3C.32 D ．2解析：选C.由A ＋C ＝2B ，解得B ＝π3.由余弦定理得(3)2＝1＋c 2－2c cos π3，解得c ＝2或c ＝－1(舍去)．于是，S △ABC ＝12ac sin B ＝12×1×2sin π3＝32. 7．已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东40°B ．北偏西10°C ．南偏东10°D ．南偏西10°解析：选B.如图所示，∠ECA ＝40°，∠FCB ＝60°，∠ACB ＝180°－40°－60°＝80°，因为AC ＝BC ，所以∠A ＝∠ABC ＝180°－80°2＝50°. 所以∠ABG ＝180°－∠CBH －∠CBA ＝180°－120°－50°＝10°.故选B.8．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫152，＋∞B ．(10，＋∞)C ．(0，10)D.⎝⎛⎦⎤0，403 解析：选D.因为c sin C ＝a sin A ＝403，所以c ＝403sin C . 所以0<c ≤403. 9．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是( )A ．a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解B ．b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解C ．a ＝5，c ＝2，A ＝90°，无解D ．a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解解析：选D.A 中，因为a sin A ＝b sin B， 所以sin B ＝16×sin 30°8＝1， 所以B ＝90°，即只有一解；B 中，因为sinC ＝20sin 60°18＝539，且c >b ， 所以C >B ，故有两解；C 中，因为A ＝90°，a ＝5，c ＝2，所以b ＝a 2－c 2＝25－4＝21，即有解，故A 、B 、C 都不正确，用排除法应选D.10．在△ABC 中，若sin A ＝sin B ＋sin C cos B ＋cos C，则△ABC 为( ) A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰或直角三角形解析：选C.由已知得cos B ＋cos C ＝sin B ＋sin C sin A， 由正、余弦定理得a 2＋c 2－b 22ac ＋a 2＋b 2－c 22ab ＝b ＋c a， 即a 2(b ＋c )－(b ＋c )(b 2－bc ＋c 2)＝bc (b ＋c )⇒a 2＝b 2＋c 2，故△ABC 是直角三角形．11．在△ABC 中，若a ＝7，b ＝3，c ＝8，则其面积等于( )A ．12B.212 C ．28 D ．6 3解析：选D.由题意得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32＋82－722×3×8＝12，所以A ＝60°， 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×8×32＝6 3. 12．将村庄甲、乙、丙看成A 、B 、C 三点，正好构成△ABC ，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan C ＝37.若CB →·CA →＝52，且甲到丙的距离与乙到丙的距离之和为9，则甲、乙之间的距离为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选C.因为tan C ＝37，所以sin C cos C ＝37.又因为sin 2C ＋cos 2C ＝1，得cos C ＝±18.因为tan C ＞0，所以C 是锐角．所以cos C ＝18.因为CB →·CA →＝52，所以ab cos C ＝52， 所以ab ＝20.又因为a ＋b ＝9，所以a 2＋2ab ＋b 2＝81，所以a 2＋b 2＝41，所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝36，所以c ＝6，故选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．在△ABC 中，cos A ＝513，sin B ＝35，a ＝20，则b 的值为________． 解析：由题意，得sin A ＝1213， 所以b ＝a sin A ·sin B ＝201213×35＝13. 答案：1314．(2016·黄冈高级中学检测)已知△ABC 为钝角三角形，且C 为钝角，则a 2＋b 2与c 2的大小关系为________．解析：因为cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，且C 为钝角， 所以cos C <0，所以a 2＋b 2－c 2<0.故a 2＋b 2<c 2.答案：a 2＋b 2<c 215．若△ABC 的面积为3，BC ＝1，C ＝60°，则边AB 的长度等于________．解析：在△ABC 中，由面积公式得S ＝12BC ·AC ·sin C ＝12×1×AC ×sin 60°＝34AC ＝3，所以AC ＝4.由余弦定理得：AB 2＝BC 2＋AC 2－2AC ·BC ·cos C＝12＋42－2×1×4×12＝13，所以AB ＝13. 答案：1316．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为5 6 m(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为50 s ，升旗手应以________ m/s 的速度匀速升旗．解析：在△BCD 中，∠BDC ＝45°，∠CBD ＝30°，CD ＝56，由正弦定理，得BC ＝CD sin 45°sin 30°＝103； 在Rt △ABC 中，AB ＝BC sin 60°＝103×32＝15(m)． 所以升旗速度v ＝AB t ＝1550＝0.3(m/s)． 答案：0.3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2016·广州检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝4，b ＝5，c ＝61.(1)求C 的大小；(2)求△ABC 的面积．解：(1)依题意，由余弦定理得cos C ＝42＋52－（61）22×4×5＝－12， 因为0°<C <180°，所以C ＝120°.(2)S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×5×sin 120°＝12×4×5×32＝5 3. 18．(本小题满分12分)在△ABC 中，已知c ＝10，cos A cos B ＝b a ＝43，求a 、b . 解：由正弦定理知sin B sin A ＝b a ，所以cos A cos B ＝sin B sin A. 即sin A cos A ＝sin B cos B ，所以sin 2A ＝sin 2B . 又因为a ≠b ，所以2A ＝π－2B ，即A ＋B ＝π2. 所以△ABC 是直角三角形，且C ＝90°， 由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝102，b a ＝43，得a ＝6，b ＝8. 19．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，b ＝4，且sin 2B ＝sin A sin C .(1)求ac 的值；(2)若△ABC 的周长为12，试判断△ABC 的形状．解：(1)由已知根据正弦定理得b 2＝ac ，所以ac ＝16.(2)因为△ABC 的周长为12，所以a ＋c ＝8，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝8，ac ＝16，解得a ＝4，c ＝4.因为a ＝b ＝c ，所以△ABC 为等边三角形．20．(本小题满分12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos B ＝35. (1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值．解：(1)因为cos B ＝35>0，且0<B <π. 所以sin B ＝1－cos 2B ＝45. 由正弦定理得a sin A ＝b sin B， sin A ＝a sin B b ＝2×454＝25. (2)因为S △ABC ＝12ac sin B ＝4， 所以12×2×c ×45＝4，所以c ＝5. 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×35＝17，所以b ＝17. 21．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且b cos C ＝(3a －c )cos B.(1)求cos B 的值；(2)若BA →·BC →＝2，且b ＝22，求a 和c 的值．解：(1)由正弦定理得，sin B cos C ＝3sin A cos B －sin C cos B ，所以sin(B ＋C )＝3sin A cos B ，可得sin A ＝3sin A cos B.又sin A ≠0，所以cos B＝13.→·BC→＝2，可得ac cos B＝2.(2)由BA，又cos B＝13所以ac＝6.由b2＝a2＋c2－2ac cos B及b＝22，可得a2＋c2＝12，所以(a－c)2＝0，即a＝c.所以a＝c＝ 6.22.(本小题满分12分)(2016·南通检测)如图，港口A在港口O的正东120海里处，小岛B在港口O的北偏东60°的方向，且在港口A北偏西30°的方向上，一艘科学考察船从港口O出发，沿北偏东30°的OD方向以20海里/小时的速度驶离港口O，一艘给养快艇从港口A以60海里/小时的速度驶向小岛B，在B岛转运补给物资后以相同的航速送往科考船，已知两船同时出发，补给装船时间为1小时．(1)求给养快艇从港口A到小岛B的航行时间；(2)给养快艇驶离港口A后，最少经过多少时间能和科考船相遇？解：(1)由题意知，在△OAB中，OA＝120，∠AOB＝30°，∠OAB＝60°.于是AB＝60，而快艇的速度为60海里/小时，所以给养快艇从港口A到小岛B的航行时间为1小时．(2)由(1)知，给养快艇从港口A驶离2小时后，从小岛B出发与科考船汇合．为使航行的时间最少，快艇从小岛B驶离后必须按直线方向航行，设t小时后恰与科考船在C处相遇，在△OAB中，OA＝120，∠AOB＝30°，∠OAB＝60°，所以OB＝603，而在△OCB中，BC＝60t，OC＝20(2＋t)，∠BOC＝30°，由余弦定理，得BC2＝OB2＋OC2－2OB·OC·cos∠BOC，，即8t2＋5t－13＝0，解得t＝1或t 即(60t)2＝(603)2＋[20(2＋t)]2－2×603×20(2＋t)×32＝－138(舍去)．故t＋2＝3，即给养快艇驶离港口A后，最少经过3小时能和科考船相遇．。

高二周末测试〔一〕第一卷〔选择题共60分〕一选择题：〔本大题共12小题，每题5分，共60分。

在每题的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1.△ABC中，A30o，C105o，b8，那么等于〔〕A4B42C43D 4 52.△ABC中，B45o，C60o，c1，那么最短边的边长等于〔〕6613 3B2C2D23 .长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为()A90°B 120°C135°D150°a b c4.△ABC中，cosAcosBcosC，那么△ABC一定是〔〕A直角三角形B钝角三角形C等腰三角形D等边三角形5.△ABC中，B60o，b2ac，那么△ABC一定是〔〕A 锐角三角形B钝角三角形C等腰三角形D等边三角形6.△ABC中，∠A=60°,a=6,b=4,那么满足条件的△ABC()A 有一个解B有两个解C无解D不能确定7 .△ABC中，b8，c83，S VABC163，那么A等于〔〕A30o B60o C30o或150o D60o或120obc8.△ABC中，假设A60o，a3，那么sinAsinB sinC等于〔〕1A2B23D29 .△ABC中，A:B1:2，C的平分线CD把三角形面积分成3:2两局部，那么cosA〔〕A1B13D032410.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，那么这个新的三角形的形状为〔〕A 锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D由增加的长度决定11在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，那么塔高为〔〕12 A.米 B. 米米米13海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，那么B、C间的距离是()海里海里C.56 海里 3 海里第二卷〔非选择题共90分〕二、填空题：〔本大题共4小题，每题5分，共20分〕13.在△ABC中，如果sinA:sinB:sinC2:3:4，那么cosC等于。

第一章 解三角形检测卷班级__________座号________学生__________一、 选择题1、某次测量中，A 处测得同一方向的B 点仰角为60o ，C 点俯角为70o ，则∠BAC 等于 ( )A. 10oB. 50oC. 120oD. 130o 2、 ABC 中，已知A ＝30°，且3a ＝3b ＝12，则c 的值为( ) A ．4 B ．8 C ．4或8D ．无解3、在高150米山顶上，测得山下一铁塔塔顶与塔底的俯角分别为30,60,o o 则铁塔高（ ）A . 100米B . 150米C . 200米D .300米4、三角形的两边长为3 cm 、5 cm ，其夹角的余弦是方程5x 2－7x －6＝0的根，则此三角形的面积是( )A ．6 cm 2 B.152cm 2 C ．8 cm 2D ．10 cm 25、△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝45°，S △ABC ＝2，则△ABC 的外接圆的直径为( ) A ．4 3B ．5C ．5 2D ．6 26、在△ABC 中，b ＝8，c ＝3，A ＝60°，则此三角形外接圆面积是( ) A.1963B.196π3C.493D.49π37、某人先向正东方向走了x km ，然后他向右转150°，向新的方向走了3 km ，结果他离出发点恰好为 3 km ，那么x 的值为( )A. 3 B ．2 3 C ．23或 3 D ．3 8、如图所示，在河岸AC 测量河的宽度BC ，图中所标的数据a ，b ，c ，α，β是可供测量的数据．下面给出的四组数据中，对测量河宽较适宜的是( )A ．c 和αB ．c 和bC ．c 和βD ．b 和α9、△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边边长分别为a ，b ，c ，若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B ＝( ) A.53B.54 C.55D.5610、△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则b a＝( ) A ．2 3B ．2 2 C. 3D. 211、△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为( )A.π6B.π3C.π2D.2π312、如图，某炮兵阵地位于A 点，两观察所分别位于C ，D 两点．已知△ACD 为正三角形，且DC ＝ 3 km ，当目标出现在B 点时，测得∠CDB ＝45°，∠BCD ＝75°，则炮兵阵地与目标的距离是( )A ．1.1 kmB ．2.2 kmC ．2.9 kmD ．3.5 km二、 填空题13、ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝________；a ＝________. 14、△ABC 为钝角三角形，且∠C 为钝角，则a 2＋b 2与c 2的大小关系为________． 15、在△ABC 中，S △ABC ＝14(a 2＋b 2－c 2)，b ＝1，a ＝ 2.则c ＝________.16、如图，一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这艘船航行的速度为____________．三、解答题17、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边长，已知b 2＝ac ，且a 2－c 2＝ac －bc .求：（1）角A 的大小； （2）b sin Bc的值．18、△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，并且a 2＝b (b ＋c )．（1）求证：A ＝2B ；（2）若a ＝3b ，判断△ABC 的形状．19、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －ab，（1）求sin Csin A的值；（2）若cos B ＝14，b ＝2，求△ABC 的面积S .20、如图所示，在地面上有旗杆OP ，为测得它的高度h ，在地面上取一基线AB ，AB=20 m,在A 处测得P 点的仰角∠OAP=30o ,在B 处测得P 点的仰角∠OBP=45o ,又测得∠AOB=300,求旗杆的高度.21、△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ,b ,c ，设向量m =(a ,b ), n =(sin B ,sin A )，p()2,2--=a b ．（1）若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形； （2）若m ⊥p , c =2,3π=C，求△ABC 的面积S ．解三角形检测卷1.D2.C3.A4.A5.C6.D7.C8.D9.B 10.D 11.B 12.C; 13.255 210,14.a 2＋b 2<c 2, 15.1,16.1762(海里/小时);17.解：(1)∵b 2＝ac ，且a 2－c 2＝ac －bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc .在△ABC 中，由余弦定理的推论，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∴A ＝60°.(2)在△ABC 中，由正弦定理得sin B ＝b sin A a .∵b 2＝ac ，A ＝60°，∴b sin B c ＝b 2sin 60°ac＝sin 60°＝32. 18.解：(1)因为a 2＝b (b ＋c )，即a 2＝b 2＋bc ，所以在△ABC 中，由余弦定理可得，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝c 2＋bc2ac＝b ＋c 2a ＝a 22ab ＝a 2b ＝sin A 2sin B，所以sin A ＝sin 2B ，故A ＝2B . (2) 因为a ＝3b ，所以a b＝3，由a 2＝b (b ＋c )可得c ＝2b ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3b 2＋4b 2－b 243b2＝32， 所以B ＝30°，A ＝2B ＝60°，C ＝90°.所以△ABC 为直角三角形．19.解：(1)法一：在△ABC 中，由cos A －2cos C cos B ＝2c －a b 及正弦定理可得cos A －2cos Ccos B ＝2sin C －sin Asin B，即cos A sin B －2cos C sin B ＝2sin C cos B －sin A cos B . 则cos A sin B ＋sin A cos B ＝2sin C cos B ＋2cos C sin B ， 即sin(A ＋B )＝2sin(C ＋B )，而A ＋B ＋C ＝π， 则sin C ＝2sin A ，即sin Csin A＝2.法二：在△ABC 中，由cos A －2cos C cos B ＝2c －ab可得b cos A －2b cos C ＝2c cos B －a cos B由余弦定理可得b 2＋c 2－a 22c －a 2＋b 2－c 2a ＝a 2＋c 2－b 2a －a 2＋c 2－b 22c， 整理可得c ＝2a ，由正弦定理可得sin C sin A ＝c a ＝2.法三：利用教材习题结论解题，在△ABC 中有结论a ＝b cos C ＋c cos B ，b ＝c cos A ＋a cos C ，c ＝a cos B ＋b cos A .由cos A －2cos C cos B ＝2c －ab可得b cos A －2b cos C ＝2c cos B －a cos B ，即b cos A ＋a cos B ＝2c cos B ＋2b cos C ，则c ＝2a ，由正弦定理可得sin C sin A ＝c a ＝2.(2)由c ＝2a 及cos B ＝14，b ＝2可得4＝c 2＋a 2－2ac cos B ＝4a 2＋a 2－a 2＝4a 2，则a ＝1，c ＝2. ∴S ＝12ac sin B ＝12×1×2×1－cos 2B ＝154.20.解：设旗杆的高度为x m 在AOP RT ∆中，x xAO 330tan 0==,BOP RT ∆中，x xBO ==045tan ,在AOB ∆中，022230cos 2⋅⋅-+=BO AO BO AO AB ,22233400x x x -+=解得20=x .答：旗杆的高度为20m.21、解：(1)证明：∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B ，即a ·a 2R ＝b ·b2R ，其中R 是△ABC 外接圆半径，∴a ＝b ，∴△ABC 为等腰三角形．(2)∵m ⊥p ，∴a (b －2)＋b (a －2)＝0.∴a ＋b ＝ab .由余弦定理可知，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝4，∴(ab )2－3ab－4＝0.∴ab ＝4或ab ＝－1(舍去)．∴S ＝12ab sin C ＝12×4×sin π3＝ 3.即△ABC 的面积为 3.。

（数学5必修）第一章：解三角形[基础训练A 组]一、选择题1．在△ABC 中，若030,6,90===B a C ，则b c -等于（ ） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32-2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ） A ．A sin B ．A cos C ．A tan D ．Atan 13．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长为（ ） A ．2 B ．23C ．3D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ）A ．006030或B ．006045或C ．0060120或D ．0015030或 6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A ．090 B ．0120 C ．0135 D ．0150二、填空题1．在Rt △ABC 中，090C =，则B A sin sin 的最大值是_______________。

2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_________。

3．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,20_________。

4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则C =_____________。

5．在△ABC 中，,26-=AB 030C =，则AC BC +的最大值是________。

三、解答题1． 在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么？2．在△ABC 中，求证：)cos cos (aA bB c a b b a -=-3．在锐角△ABC 中，求证：C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++。

解三角形一、选择题：（每小题5分，共计60分）1. △ABC 中，sin 2A =sin 2B +sin 2C ，则△ABC 为( ) A B C 等边三角形 D 等腰三角形2. 在△ABC 中，c=3，B=300，则a 等于（ ）A B ． C D ．23. 不解三角形，下列判断中正确的是（ ）A ．a=7，b=14，A=300有两解B ．a=30，b=25，A=1500有一解C ．a=6，b=9，A=450有两解D ．a=9，c=10，B=600无解4. 已知△ABC 的周长为9，且4:2:3sin :sin :sin =C B A ，则cosC 的值为（ ） A ．41- B ．41 C ．32- D ．32 5. 在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则C B A c b a sin sin sin ++++等于( ) A ．33B ．3392C ．338D ．239 6. 在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则⋅的值为( )A ．79B ．69C ．5D ．-5 7.关于x 的方程02cos cos cos 22=-⋅⋅-C B A x x 有一个根为1，则△ABC 一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形8. 设m 、m+1、m+2是钝角三角形的三边长，则实数m 的取值范围是( )A.0＜m ＜3B.1＜m ＜3C.3＜m ＜4D.4＜m ＜69. △ABC 中，若c=ab b a ++22，则角C 的度数是( )A.60°B.120°C.60°或120°D.45°10. 在△ABC 中，若b=22,a=2，且三角形有解，则A 的取值范围是( )A.0°＜A ＜30°B.0°＜A ≤45°C.0°＜A ＜90°D.30°＜A ＜60° 11.在△ABC 中，A B B A 22sin tan sin tan ⋅=⋅，那么△ABC 一定是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形12. 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（ ）(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 由增加的长度决定二、填空题（每小题4分，满分16分）13.在△ABC 中，有等式：①asinA=bsinB ；②asinB=bsinA ；③acosB=bcosA ；④sin sin sin a b c A B C+=+. 其中恒成立的等式序号为______________14. 在等腰三角形 ABC 中，已知sinA ∶sinB=1∶2，底边BC=10，则△ABC 的周长是 。

高二数学必修5第一章解三角形单元检测（A卷）一.选择题：（每小题分，共分）。

1. A ABC 中，a=l,b =的，ZA=30° ,则ZB 等于（）A. 60°B. 60°或120°C. 30°或150°D・ 120°2.在ZXABC 中.已知b=4近,c=2V3 , ZA = 120° ,则“等于（）A. 2y[2A B・6 C・2血或6 D・2、/15 + 6語3.已知△ABC 中.AB=6, ZA = 30° , ZB=120°,则AABC的而积为（）A・ 9 B・ 18 C・ 9、/J D・ 18^34.在ZkABC 中，A ： B ： C = 1 ： 2 ： 3,则a ： b : c 等于（）A・ 1 ： 2 ：B・ 3 ： 2 ： 1 C・ 1 ：y[3 : 2 D・ 2 ： V3 ： 15. AABC中，ZA. ZB的对边分别为心b, a=5，b = 4,且ZA=60° ,那么满足条件的ZkABC （）A・有一个解B・有两个解C・无解D・不能确定6.边长为5, 7, 8的三角形的最大角与最小角之和为（）A. 90°B. 120°C.1350D. 150°二.填空题：请把答案填在题中横线上（每小题5分，共20分）.7.在AABC中，若d=9,b = 10,c = 12,则AABC的形状是—____三角形。

8. ____________________________________________________________ 在△遊中，B=135°, 015°, a = 5,则此三角形的最大边长为_____________________________9.在△磁中•若Z5=30°, AB=2y/3 9 AC=2,则△磁的而积是一.10.一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60 ,行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15 ,这时船与灯塔的距离为______________ km.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共50分）.11.（16 分）已知a=3y[3 t c=2, B=150。

高中数学必修五解三角形单元测试（含答案）一、选择题1．为了测量B，C之间的距离，在河岸A，C处测量，如图1-2-9，测得下面四组数据，较合理的是()图1-2-9A．c与αB．c与bC．b，c与βD．b，α与γ【解析】因为测量者在A，C处测量，所以较合理的应该是b，α与γ.【答案】 D2．轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h，15 n mile/h，则14时两船之间的距离是() A．50 n mile B．70 n mileC．90 n mile D．110 n mile【解析】到14时，轮船A和轮船B分别走了50 n mile，30 n mile，由余弦定理得两船之间的距离为l＝502＋302－2×50×30×cos 120°＝70 (n mile)．【答案】 B3．如图1-2-10，要测量河对岸A，B两点间的距离，今沿河岸选取相距40米的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，AD＝20(3＋1)，则A，B 间距离是()图1-2-10A．202米B．203米C．206米D．402米【解析】可得DB＝DC＝40，AD＝20(3＋1)，∠ADB＝60°，所以在△ADB中，由余弦定理得AB＝206(米)．【答案】 C4．在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20 m，则建筑物高度为()A．20 m B．30 mC．40 m D．60 m【解析】如图，设O为顶端在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20，BD＝40，OD＝203，在Rt△AOD中，OA＝OD·tan 60°＝60，∴AB＝OA－OB＝40(m)．【答案】 C5．如图1-2-11所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60 m，则建筑物的高度为()图1-2-11A．15 6 m B．20 6 mC．25 6 m D．30 6 m【解析】设建筑物的高度为h，由题图知，P A＝2h，PB＝2h，PC＝233h，∴在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理，得cos∠PBA ＝602＋2h2－4h22×60×2h，①cos∠PBC＝602＋2h2－43h22×60×2h. ②∵∠PBA＋∠PBC＝180°，∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0. ③由①②③，解得h＝306或h＝－306(舍去)，即建筑物的高度为30 6 m.【答案】 D二、填空题6．有一个长为1千米的斜坡，它的倾斜角为75°，现要将其倾斜角改为30°，则坡底要伸长千米．【解析】如图，∠BAO＝75°，C＝30°，AB＝1，∴∠ABC＝∠BAO－∠BCA＝75°－30°＝45°.在△ABC中，ABsin C＝ACsin ∠ABC，∴AC＝AB·sin ∠ABCsin C＝1×2212＝2(千米)．【答案】 27．如图1-2-12，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度是m.图1-2-12【解析】tan 30°＝CDAD，tan 75°＝CDDB，又AD＋DB＝120，∴AD ·tan 30°＝(120－AD )·tan 75°， ∴AD ＝603，故CD ＝60. 【答案】 608．一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由点A 开始做匀速直线运动，到达点B 时，发现足球在点D 处正以2倍于自己的速度向点A 做匀速直线滚动，如图1-2-13所示，已知AB ＝4 2 dm ，AD ＝17 dm ，∠BAC ＝45°，若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在距A 点 dm 的C 处截住足球.图1-2-13【解析】 设机器人最快可在点C 处截住足球，点C 在线段AD 上，设BC ＝x dm ，由题意知CD ＝2x dm ，AC ＝AD －CD ＝(17－2x )dm. 在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ， 即x 2＝(42)2＋(17－2x )2－82(17－2x )cos 45°，解得x 1＝5，x 2＝373. ∴AC ＝17－2x ＝7(dm)，或AC ＝－233(dm)(舍去)．∴该机器人最快可在线段AD 上距A 点7 dm 的点C 处截住足球． 【答案】 7 三、解答题 9．在△ABC 中，(1)a ＝3，b ＝4，c ＝37，求最大角． (2)b ＝6，c ＝2，B ＝60°，求a . 【解】 (1)显然角C 最大，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32＋42－372×3×4＝－12，∴C ＝120°.(2)法一 由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得sin C ＝c sin B b ＝2sin 60°6＝36＝22，∴C ＝45°或C ＝135°.∵b >c ，∴B >C ，又∵B ＝60°，∴C ＝45°.∵A ＋B ＋C ＝180°，∴A ＝180°－(60°＋45°)＝75°，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝6＋4－46×cos 75°＝10－46×6－24＝4＋23，∴a ＝4＋23＝3＋1. 法二 ∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴6＝a 2＋4－4a cos 60°＝a 2＋4－2a . ∴a 2－2a －2＝0.解得a ＝1＋3或a ＝1－3(不合题意，舍去)， ∴a ＝1＋ 3.10．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos (A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数； (2)求AB 的长．【解】 (1)∵cos C ＝cos [π－(A ＋B )]＝－cos (A ＋B )＝－12，且C ∈(0，π)， ∴C ＝2π3.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根， ∴⎩⎨⎧a ＋b ＝23，ab ＝2， ∴AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝10， ∴AB ＝10.[能力提升]1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2A sin 2A 的值为( )A.19B.13 C ．1 D ．72 【解析】 ∵a sin A ＝b sin B ，∴sin B sin A ＝ba . ∵3a ＝2b ，∴b a ＝32. ∴sin B sin A ＝32.∴2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin B sin A 2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－1 ＝92－1＝72. 【答案】 D2．在△ABC 中，下列关系中一定成立的是( ) A ．a >b sin A B ．a ＝b sin A C ．a <b sin AD ．a ≥b sin A【解析】 由正弦定理a sin A ＝bsin B ，∴a sin B ＝b sin A ，在△ABC 中，0<sin B ≤1，故a sin B ≤a ，∴a ≥b sin A ．故选D.【答案】 D3．有一道解三角形的题目，因纸张破损有一个条件模糊不清，具体如下：“在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，B ＝π4，________，求角A .”经推断，破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示A ＝π6.(试在横线上将条件补充完整)【解析】 分两种情况：(1)若破损处的条件为边b 的长度，则由a sin A ＝b sin B ，得b ＝a sin Bsin A ＝3sin π4sin π6＝6；(2)若破损处的条件为边c 的长度，由A ＋B ＋C ＝π，B ＝π4，A ＝π6，知C ＝7π12，再运用正弦定理，得c ＝32＋62. 【答案】 b ＝6或c ＝32＋624．已知方程x 2－b cos Ax ＋a cos B ＝0的两根之积等于两根之和，且a ，b 为△ABC 的两边，∠A 、∠B 为a 、b 的对角，试判断△ABC 的形状．【解】 设方程的两根为x 1，x 2，由根与系数关系得x 1＋x 2＝b cos A ，x 1x 2＝a cos B ，由题意得b cos A ＝a cos B .由正弦定理得2R sin B cos A ＝2R sin A cos B . ∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0. 在△ABC 中，0<∠A <π，0<∠B <π，－π<∠A －∠B <π.∴∠A－∠B＝0即∠A＝∠B，∴△ABC为等腰三角形.。

高二数学第1页（共6页）高二数学第2页（共6页）高二数学第3页（共6页）学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！一、选择题（每小题5分，共60分）1 [A] [B] [C] [D]2 [A] [B] [C] [D]3 [A] [B] [C] [D]4 [A] [B] [C] [D]5 [A] [B] [C] [D]6 [A] [B] [C] [D]7 [A] [B] [C] [D]8 [A] [B] [C] [D]9 [A] [B] [C] [D]10 [A] [B] [C] [D]11 [A] [B] [C] [D]12 [A] [B] [C] [D]二、填空题（每小题5分，共20分）13．____________________14．____________________15．____________________ 16．____________________三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！18．（12分）19．（12分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！贴条形码区此栏考生禁填缺考标记1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。

2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。

1 8月31日 解三角形的综合问题
高考频度：★★★★☆ 难易程度：★★★★☆
在ABC △中，()(sin sin )()sin .a c A C a b B -+=-
（1）求C ；
（2）若ABC △的外接圆半径为2，试求该三角形面积的最大值．
【参考答案】（1）60︒；（2）33．
【试题解析】（1）由()(sin sin )()sin ,a c A C a b B -+=- 得()()()a c a c a b b -+=-，
所以222a c ab b -=-，所以222
,a b c ab +-=所以2221cos .22a b c C ab +-== 因为0180,C <<o o
所以60C =o ．
故该三角形面积的最大值为33．
【解题必备】在解三角形时，常用正弦定理或余弦定理“化边为角”或“化角为边”，从而发现三角形中各元素之间的关系．在实际应用中，也常建立数学模型将实际问题转化为数学问题来解决．因此要理解并领悟转化与化归的数学思想，以便应用到要解决的问题中去．。