高中数学人教版必修第一章解三角形单元测试卷(B)0

必修五 第一章解三角形测试(总分150)一、选择题(每题5分，共50分)1、在△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么B 等于（）A ． 30°B ．45°C ．60°D ．120°2、在△ABC 中，a ＝10，B=60°,C=45°,则c 等于 （ ）A ．310+B ．()1310-C ．13+D ．3103、在△ABC 中，a ＝32，b ＝22，B ＝45°，则A 等于（）A ．30°B ．60°C ．30°或120°D ． 30°或150°4、在△ABC 中，3=AB ,1=AC ,∠A ＝30°，则△ABC 面积为 （ ）A ．23 B ．43 C ．23或3 D ．43 或23 5、在△ABC 中，已知bc c b a ++=222，则角A 为（ ）A ．3πB ．6πC ．32πD ． 3π或32π6、在△ABC 中,面积22()Sa b c =--,则sin A 等于（）A ．1517B ．817C ．1315D ．13177、已知△ABC 中三个内角为A 、B 、C 所对的三边分别为a 、b 、c ，设向量(,)p a c b =+ ，(,)q b a c a =-- .若//p q，则角C 的大小为（）A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π8、已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的范围是（ ）A ．()10,8B ．()10,8C ．()10,8D ．()8,109、在△ABC 中，已知C B A sin cos sin 2=,那么△ABC 一定是 ( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形 10、在△ABC 中,3,4ABBC AC ===,则AC 上的高为（ ）A ．BC ．32D ．二、填空题（每小题5分，共20分）11、在△ABC 中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则=c b a :: 12、已知三角形两边长为11，则第三边长为13、若三角形两边长为1和3，第三边上的中线长为1，则三角形的外接圆半径为 14、在△ABC 中BC=1，3Bπ=，当△ABC tan C =三、解答题（本大题共小题6小题，共80分）15、（本小题14分）在△ABC 中，已知210=AB ，A ＝45°，在BC 边的长分别为20，3320，5的情况下，求相应角C 。

第一章 解三角形 专项训练试卷(名师精选试题+详细解答过程，值得下载打印练习)一、选择题1．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若A ＋C ＝2B ，有a ＝1，b ＝3，则S △ABC 等于( ) A.2 B.3 C.32D ．2答案 C解析 由A ＋C ＝2B ，解得B ＝π3.由余弦定理得(3)2＝1＋c 2－2c cos π3，解得c ＝2或c ＝－1(舍去)．于是，S △ABC ＝12ac sin B ＝12×1×2sin π3＝32.2．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫152，＋∞ B ．(10，＋∞) C．(0,10) D.⎝⎛⎦⎥⎤0，403答案 D解析 ∵c sin C ＝a sin A ＝403，∴c ＝403sin C ．∴0<c ≤403.3．在△ABC 中，若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B 等于( )A.53 B.54 C.55 D.56答案 B解析 由正弦定理得a b ＝sin Asin B ，∴a ＝52b 可化为sin A sin B ＝52.又A ＝2B ，∴sin 2B sin B ＝52，∴cos B ＝54.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c .若C ＝120°，c ＝2a ，则( )A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定答案 A解析 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，又C ＝120°，∴2a 2＝a 2＋b 2＋ab ，∴a 2＝b 2＋ab ＞b 2，∴a ＞b ，故选A.5．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k ，则k 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B．(－∞，0) C ．(－12，0) D ．(12，＋∞)答案 D解析 由正弦定理得：a ＝mk ，b ＝m (k ＋1)，c ＝2mk (m >0)，∵⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b >c a ＋c >b 即⎩⎪⎨⎪⎧m k ＋mk 3mk >m k ＋，∴k >12.6．△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为( )A.922 B.924 C.928D ．92答案 C解析 设另一条边为x ，则x 2＝22＋32－2×2×3×13， ∴x 2＝9，∴x ＝3.设cos θ＝13，则sin θ＝223.∴2R ＝3sin θ＝3223＝924，R ＝928.7．在△ABC 中，sin A ＝sin C ，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形答案 B解析 ∵sin A ＝sin C 且A 、C 是三角形内角， ∴A ＝C 或A ＋C ＝π(舍去)． ∴△ABC 是等腰三角形．8．在锐角△ABC 中，BC ＝1，∠B ＝2∠A ，则AC 的取值范围是( ) A ．[－2,2] B ．[0,2] C ．(0,2] D ．(2，3)答案 D解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧0＜π－3∠A ＜π2，0＜2∠A ＜π2⇒π6＜∠A ＜π4， 由正弦定理ACsin B ＝BCsin A得AC ＝2cos A .∵∠A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4，∴AC ∈(2，3)．9．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是( ) A ．a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解 B ．b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解 C ．a ＝5，c ＝2，A ＝90°，无解 D ．a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解答案 D解析 A 中，因a sin A ＝bsin B，所以sin B ＝16×sin 30°8＝1，∴B ＝90°，即只有一解；B 中，sinC ＝20sin 60°18＝539，且c >b ，∴C >B ，故有两解；C 中，∵A ＝90°，a ＝5，c ＝2，∴b ＝a 2－c 2＝25－4＝21，即有解；故A 、B 、C 都不正确．用排除法应选D.10．在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，M 是BC 的中点，AM ＝4，则BC 等于( ) A.21 B.106 C.69 D.154答案 B解析 设BC ＝a ，则BM ＝MC ＝a2.在△ABM 中，AB 2＝BM 2＋AM 2－2BM ·AM ·cos∠AMB ， 即72＝14a 2＋42－2×a2×4·cos∠AMB ① 在△ACM 中，AC 2＝AM 2＋CM 2－2AM ·CM ·cos∠AMC 即62＝42＋14a 2＋2×4×a2·cos∠AMB ②①＋②得：72＋62＝42＋42＋12a 2，∴a ＝106.二、填空题11．已知△ABC 中，3a 2－2ab ＋3b 2－3c 2＝0，则cos C 的大小是________． 答案 13解析 由3a 2－2ab ＋3b 2－3c 2＝0，得c 2＝a 2＋b 2－23ab .根据余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－a 2－b 2＋23ab2ab＝13，所以cos C ＝13. 12．在△ABC 中，若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________. 答案2π3解析 由已知3sin A ＝5sin B ，利用正弦定理可得3a ＝5b . 由3a ＝5b ，b ＋c ＝2a ，利用余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12.C ∈(0，π)，C ＝23π.13．在△ABC 中，已知cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c ＝________.答案145解析 在△ABC 中，∵cos A ＝35>0，∴sin A ＝45.∵cos B ＝513>0，∴sin B ＝1213.∴sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45×513＋35×1213＝5665.由正弦定理知b sin B ＝c sin C ，∴c ＝b sin Csin B ＝3×56651213＝145.14．太湖中有一小岛C ，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车在公路A 处测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km 到达B 处后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________ km. 答案36解析 如图，∠CAB ＝15°，∠CBA ＝180°－75°＝105°，∠ACB ＝180°－105°－15°＝60°，AB ＝1 (km)．由正弦定理得BC sin∠CAB ＝ABsin∠ACB ，∴BC ＝1sin 60°·sin 15°＝6－223 (km)．设C 到直线AB 的距离为d ， 则d ＝BC ·sin 75°＝6－223·6＋24＝36(km)． 三、解答题15．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos B ＝35.(1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值． 解 (1)∵cos B ＝35>0，且0<B <π，∴sin B ＝1－cos 2B ＝45. 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，sin A ＝a sin Bb ＝2×454＝25.(2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝4，∴12×2×c ×45＝4，∴c ＝5.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×35＝17，∴b ＝17.16.如图所示，我艇在A 处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B 处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的时间． 解 设我艇追上走私船所需时间为t 小时，则BC ＝10t ，AC ＝14t ，在△ABC 中，由∠ABC ＝180°＋45°－105°＝120°， 根据余弦定理知(14t )2＝(10t )2＋122－2·12·10t cos 120°， ∴t ＝2(t ＝－34舍去)．答 我艇追上走私船所需要的时间为2小时． 17．在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A .(1)求cos A 的值； (2)求c 的值．解 (1)因为a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ，所以在△ABC 中，由正弦定理得3sin A ＝26sin 2A.所以2sin A cos A sin A ＝263.故cos A ＝63.(2)由(1)知cos A ＝63，所以sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为∠B ＝2∠A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13.所以sin B ＝1－cos 2B ＝223.在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539.所以c ＝a sin C sin A＝5.18．已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．(1)证明 ∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B ， 即a ·a 2R ＝b ·b2R，其中R 是△ABC 外接圆半径，∴a ＝b . ∴△ABC 为等腰三角形． (2)解 由题意知m ·p ＝0， 即a (b －2)＋b (a －2)＝0. ∴a ＋b ＝ab .由余弦定理可知，4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ， 即(ab )2－3ab －4＝0. ∴ab ＝4(舍去ab ＝－1)， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×sin π3＝3.。

第一章章末测试题（B ）、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）1 •在△ ABC 中，已知a = .3 b = 1, A = 130°,则此三角形解的情况为 （ ）A. 无解 B .只有一解 C.有两解 D.解的个数不确定答案 B解析 因为a >b , A = 130°,所以 A >B,角B 为锐角.因此该三角形只有一解. 2 .在△ ABC 中，若 B= 120°,贝U a 2+ ac + c 2- b 2 的值（ ）A. 大于0B.小于0C.等于0D.不确定答案 C2 2 2 2 2 2即 a + c - b =- ac .故 a + ac + c - b = 0.3.已知△ ABC 中, si nA ： sin B ： si n C = 1 : 1 : ；'3，则此三角形的最大内角的度数是 （ A. 60° B. 90° C. 120° D. 135°答案 C解析 •••在△ ABC 中, si nA ： sin B: sin C = a : b : c ,••• a : b : c = 1 : 1 : .''3.设 a = b = k , c = ：3k ( k >0),小 k 2+ k 2- (5k 2 1 亠 o …则 cos C = 2x k x k=-勺故 * 120° 应选 G2 24.若△ ABC 的内角A , B, C 所对的边a , b , c 满足(a + b ) - c = 4,且c = 60°，贝U ab 的值为()A.3B. 8 - 4 3 2C.1D.3答案 A解析 由(a + b )2-c 2 = 4, 得 (a 2 + b 2-c 2) + 2ab = 4.①2 2 2T a + b - c = 2ab cos C,方程①可化为 2ab (1 + cos C ) = 4.24解析 根据余弦定理，得 cos120°=a 2+ c 2-b 2 2ac因此，ab= .又T C= 60°,. ab=?1 + cos C 3的方程（a 2 + bc ） x 2 + 2 _ b 2 + c 2x + 1 = 0 有两个相B. 90° D. 30°A = 4（ b 2+ c 2） — 4（ a 2+ bc ） = 0,二 b 2 +c 2— a 2 = b 2= ac, 2b = a + c ,则此三角形是（）B. 直角三角形 D.等边三角形 则x 的取值范围是（ ）b <a ,方法二T 要使三角形有两解，则b >a sin B,5•设a , b , c 为厶ABC 勺三边，且关于 等的实数根，则A 的度数是（ ）A . 120° C. 60° 答案 C解析 •••由题意可知题中方程的判别式 1 be ，cos A = 2*又••• 0°< A <180°,A A = 60°.6.若△ ABC 的三边分别为 a , b , e ,且满足 A .等腰三角形 C.等腰直角三角形 答案 D2 2解析■/ 2b = a + c ,「. 4b = （a + c ）. 又••• b 2= ac ,「.（a — c ）2 = 0. /• a = c . /. 2b = a + c = 2a . /. b = a ,即卩 a = b = c . 故此三角形为等边三角形. 7.已知在△ ABC 中, a = x, b = 2, B = 45° .若此三角形有两解, A . x >2 C. 2<x <2 2 答案 CB. x <2 D. 2<x <2 3解析方法一要使三角形有两解，则a >b ,且 sin A <1.•• •由正弦定理可得a bsin A sin B即 sin A =a sin B 空b 4x >2,2 x <1. 4••• 2<x <2 2.2<x , 即2>x s• 2<x <2 , 2.&某人站在山顶看见一列车队向山脚驶来, 他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车和第二辆车之间的距离d1与第二辆车和第三辆车之间的距离d2之间的关系为（）A. d i>d2B. d i = d2C. d i<d2答案C解析D.不能确定大小设山顶为点P,山高为PD第一、二、三辆车分别为A, B, C,俯角差为如右图，由题知/ CPB=Z BPA= a，由正弦定理，得d2sin aPB d isin / PCB sin aa，作出图像= PB=sin / PAB即PBs in a = d2sin / PCB= d i sin / PAB 又T sin / PAB sin / PCB 二d i <d2.9.已知锐角三角形的三边长分别为A. 1<a<5C. 7<a<5答案C解析由锐角三角形及余弦定理知：3,4 , a,贝U a的取值范围为（）B. 1<a<7只2 2 ,2 只 2 —3 + a -4 >0, a >7,32+ 42-a2>0, ? a2<25, ? 7<a<5.a>0 a>010. (2013 •新课标全国I )已知锐角厶ABC的内角A, B, C的对边分别为a, + cos2A= 0, a= 7, c = 6,贝U b=( )2 b, c, 23cos AA. 10B. 9C. 8答案DD. 52 2 1解析 由 23cos A + cos2A = 0,得 cos A^ —.5n1T A € (0 , —) , :. cos A = 5.13「••• b = 5或b = — w(舍)•故选D 项・5 511.轮的速度为( )A. 20( ：2+ ⑹ n mile/hB. 20( ：6— ：2) n mile/hC. 20( ：3+ '6) n mile/hD. 20( ,：6— ：3) n mile/h 答案 B解得 MN 10(—⑵(n mile).故所求货轮的速度为10—'：—2，即200.6 — 2)(n mile/h)212.在厶ABC 中，内角 A, B, C 所对的边分别是 a , b , c.已知8b _ 5c , C _2B ,则cos C _ ( )_7_ 25236 + b — 49 2X6 b如图，一货轮航行到 M 处，测得灯塔 S 在货轮的北偏东15°方向上，与灯塔 S 相距20 n mile ，随后货轮按北偏西30°的方向航行 30 min 后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货解析 在厶 MNS^, / SMN= 45°, / MN 9 105°, / MSN= 30°,是 MN _20疋 sin30 ° sin105 ° ，B.又••• 0°< C <180°,「. C = 120°.14.在厶 ABC 中，已知 D 为 BC 边上一点，BC =3BD AD={2,/ AD =135°,若 AC={2 AB 贝UBD= _____________ .答案 2+〔 5 解析如图，设 AB- k ,贝U AC = .2k . 再设 BD= x ,则 DC = 2x .C. 土7 25 24 D .25答案 解析在厶ABC 中，由正弦定理，得-卫B i Csin B sin CC c sin2 B 8 sin B —b ，…sin B — 5,sin 4 cos B =匸.527••• cos C = cos2B = 2cos B — 1 =亦.、填空题（本大题共 4个小题，每小题 5分，共20分，把答案填在题中的横线上 13.已知在厶ABC 中, 7 8 13sin A sin B sin C ，则C 的度数为答案 120° 解析b ____ 二 及 _______ _ 13 sin B sin C 及sin A sin B sin C ，13.设 a =7k , b = 8k , c =13k (k >0), 则有cosC=2 27k + 8k — 13k2X7 kX8k12.在厶ABD 中，由余弦定理，得k 2= x 2+ 2-2 • x • ：2 • ( — -2-) = x 2+ 2 + 2x .①在厶ADC 中，由余弦定理，得2k 2 = 4x 2 + 2 — 2・2x ・ ,''2 • #= 4x 2+ 2 — 4x ,2 2即 k = 2x + 1 — 2x .②由①②得x 2— 4x — 1 = 0，解得x = 2 + '5(负值舍去). 故 BD= 2 +，: 5.15.在△ ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c .若 a = ：2 b = 2, sin B + cos B= 羽，贝U A 的大小为 ________ .n答案召解析 ■/ sin B + cosB= ：2sin( — + E ) = ：2 ,n nsin( + B ) = 1.又T 0<B < n,「. B =—.44n又T a <b ,「. A <B A =—.616. 在△ ABC 中，已知(b + c ) : (c + a ) : (a + b ) = 4 : 5 : 6,给出下列结论: ① 由已知条件，这个三角形被唯一确定； ②、ABC-定是钝角三角形；③ sin A ： sin B ： sin C = 7 : 5 : 3; ④ 若b + c = 8，则△ ABC 的面积是 咯卫 其中正确结论的序号是 _________ 答案②③ 解析 由(b +c ) : (c + a ) : (a + b ) = 4 : 5 : 6，可设 a = 7k , b = 5k , c = 3k ( k >0), a , b ,c 随着k 的变化而变化，可知结论①错误.•••结论②正确.T sin A ： sin B ： sin C = a : b : c = 7 : 5 : 3,由正弦定理，得 sin A =a sin B•' cos A =2 25k+3k — 2X5k X3 k7k2-<0,4•••结论③正确.结论④不正确.三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤） 17. （10分）解答下列各题：⑴ 在厶ABC 中，已知C = 45°, A = 60°, b = 2,求此三角形最小边的长及 a 与B 的值;⑵ 在厶ABC 中，已知 A = 30°, B = 120°, b = 5,求C 及a 与c 的值.解析（1） T A = 60°, C = 45°,「. B= 180°— （A + C = 75°. • C <A <B • c <a <b ，即 c 边最小.综上可知，最小边 c 的长为2 3— 2, a = 3 2 —6, B = 75⑵••• A = 30°, B = 120°,「. C = 180°— (A + B ) = 30°.由 cos2 C = 2cos 1 2 3 4C — 1 =—一及 0<C < n,4 得 cos C =±118.（12分）仁ABC 中, 角 A B ，C 所对的边分别为a , b, c ,已知cos2C=--(1)求sin C 的值；⑵ 当a = 2,2sin A = sin C 时，求b 及c 的长.21解析 (1) T cos2C = 1 — 2sin C = ——, 0<C <n, 4 •- sin C =(2)当 a = 2,2sin A = sin C 时,1•' cos A = — 2,sin A = ~2，若 b + c = 8,不妨设 b = 5, c = 3, a = 7,贝U &AB =15 3 4由正弦定理可得b sin A 2sin60 sin B sin75b sin Cc == sin B2sin45 sin75=2 3 — 2.b sin A 5sin30 sin B sin1205 ;3 3综上可知， C = 30°, a = c =寧.3由正弦定理 a sin A c sinC得 c = 4. 由正弦定理可得19. （12分）已知△ ABC 的内角A , B ,C 的对边分别为 a , b , c , a sin A + c sin C — 2a sin C =b sin B.⑴求B ;⑵若 A = 75°, b = 2，求 a , c .解析 （1）由题意结合正弦定理，得由余弦定理，得 b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos B, a 2+ c 2— 2ac = b 2.故cos B =扌.又B 为三角形的内角，因此B = 45°(2)由于 sin A = sin(30 ° + 45°) =sin30 ° cos45°+ cos30° sin45 ° b sin A2 + 6 -故 a = = ■一 = 1+ 3,sin B ^[2 vb sin Csin60° c== 2x=.6.20. （12分）在锐角△ ABC 中,内角A , B, C 所对的边分别为 a , b ,c ,已知，3a = 2c sin A（1）求角C 的值;⑵若c = . 7, 且S\ABC = 2，求a + b 的值.a 2sin A sin A解析 (1)由｛3a = 2c si n A 及正弦疋理，得c = ^3 = C•/ sin A M 0,「. sinn又•••△ ABC 是锐角三角形，••• C =§.— n⑵方法一一 c = I 7, C = ~,由面积公式，得 ^ab sin 寸=^J^, 即卩ab = 6.①22n由余弦定理，得 a + b — 2ab cos — = 7,3 即 a 2 + b 2 — ab = 7.② 由②变形得(a + b ) = 3ab + 7.③由余弦定理 c 2= a 2 + b 2— 2ab cos C,得 b 2± 6b — 12= 0(b >0)，解得 b = 6或 b = 2 6.故 b= 6,或 b=2 6, c = 4 c = 4.将①代入③得（a + b ） = 25,故a + b = 5.方法二 前同方法一，联立①②得a +b - ab = 7,a +b = 13,? ab = 6ab = 6,4 2 消去b 并整理得a - 13a + 36= 0,解得a = 4或a = 9,a = 2,a = 3, 即 或 故a +b = 5.b = 3 b = 2.21. （12分）已知△ ABC 勺面积是30,其内角A, B, C 所对边长分别为 a , b , c ,且cos A 12(1)求AB- AC;⑵若c — b = 1，求a 的值.1又T ^bc sin A = 30,— bc = 156.⑵ a 2= b 2+ c 2— 2bc cos A = (c — b )2+ 2bc (1 — cos A ) = 1 + 2x 156x (1 — 又a >0,「. a = 5. 22. (12分)(2013 •山东)设厶ABC 的内角 A , B, C 所对的边分别为 a , b , c ,且a + c = 6,7b = 2, cos B = 9.(1)求a , c 的值；⑵求sin( A- E )的值.解析 (1)由余弦定理 b 2= a 2+ c 2— 2ac cos B, 得 b 2 = (a + c )2 — 2ac (1 + cos B ).所以 ac = 9,解得 a = 3, c = 3., 亠宀 + a sin B 2\f2由正弦疋理得sin A =〒=亏.因为a = c ,所以A 为锐角.解析12 由 cos A = --, 得 sin A = 13 12 2 13(1) AB • AC= bc cos A = 156 x 12 13 144. 12后)=25.⑵在厶ABC 中, sin B =#1 —cos 2B =4 .2- 1 所以cosA= 1 —sin 2A= 3.因此sin( A—B)=sin A cos B—cos A sinB=10.2 27。

（时间120分钟，满分150分）一、选择题：（每小题5分，共计60分）1. 在△ABC 中，a ＝10，B=60°,C=45°,则c 等于 （ ）A ．310+B ．()1310-C ．13+D ．3102. 在△ABC 中，3，c=3，B=300，则a 等于（ ）A 3．3 C 33．23. 不解三角形，下列判断中正确的是（ ）A ．a=7，b=14，A=300有两解B ．a=30，b=25，A=1500有一解C ．a=6，b=9，A=450有两解D ．a=9，c=10，B=600无解4. 已知△ABC 的周长为9，且4:2:3sin :sin :sin =C B A ，则cosC 的值为 （ ）A ．41-B ．41C ．32- D ．32 5. 在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则CB A c b a sin sin sin ++++等于( ) A ．33 B ．3392 C ．338 D ．239 6. 在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则BC AB ⋅的值为( )A ．79B ．69C ．5D ．-57.关于x 的方程02cos cos cos 22=-⋅⋅-C B A x x 有一个根为1，则△ABC 一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形8.已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的范围是（ ）A ．()10,8B ．()10,8C ． ()10,8D ．()8,10 9. △ABC 中，若c=ab b a ++22，则角C 的度数是( )A.60°B.120°C.60°或120°D.45°10. 在△ABC 中，若b=22,a=2，且三角形有解，则A 的取值范围是( )A.0°＜A ＜30°B.0°＜A ≤45°C.0°＜A ＜90°D.30°＜A ＜60°11.在△ABC 中，A B B A 22sin tan sin tan ⋅=⋅，那么△ABC 一定是 （ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形12. 已知△ABC 的三边长6,5,3===c b a ，则△ABC 的面积为 （ ）A ． 14B ．142C ．15D ．152二、填空题（每小题4分，满分16分） 13.在△ABC 中，有等式：①asinA=bsinB ；②asinB=bsinA ；③acosB=bcosA ；④sin sin sin a b c A B C +=+. 其中恒成立的等式序号为______________14. 在等腰三角形 ABC 中，已知sinA ∶sinB=1∶2，底边BC=10，则△ABC 的周长是 。

第一章 解三角形(B 卷 能力素养提升) (时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( ) A.π3 B.π4C.π6D. π12解析：选A 由正弦定理得2sin A sin B ＝3sin 角△ABC ，所以A ＝π3.2．在△ABC 中，角A ，B ，C C ＝3a sin ( ) A.π6 D.5π6c sin C ＝3a sin B ，由正弦定理可知a 2＋b 2－c20<C <π，所以C ＝π6.c ＝150，则△ABC 的形状是( )解析：选D 由正弦定理可得sin C ＝c sin B b ＝32.∵b <c ，∴C ＝60°或120°.从而A ＝90°或A ＝B ＝30°.4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若3a ＝2b ，则 2sin 2B －sin 2Asin 2A 的值为( )A.19B.13C ．1D.72解析：选D 由正弦定理可得2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sinB sin A 2－1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－1，因为3a ＝2b ，所以b a ＝32，所以2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－1＝72. 5．△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝45°，S △ABC ＝2，则△ABC 的外接圆的直径为( )A ．4 3B ．5C ．5 2D ．6 2解析：选C ∵S △ABC ＝12ac sin B ，∴c ＝4 2.由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝25，∴b ＝5.由正弦定理2R ＝bsin B＝52(R 为△ABC 外接圆的半径)．6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3＝a 2＋c 2－b 22ac，又因为(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，所以B ＝π3或2π3. a 2＝52ac ，则cos B 的值为( )D.14解析：选D 因为sin A ＝3，由正弦定理得c ＝3a ，又因为b 2－a 2＝52ac ，所以b 2＝172a 2，由余弦定理可知cos B ＝a 2＋c 2－b22ac＝a 2＋9a 2－172a 26a2＝14. 8．已知等腰三角形ABC 的面积为32，顶角A 的正弦值是底角B 正弦值的 3 倍，则该三角形一腰的长为( )A. 2B. 3 C ．2 D. 6解析：选A 依题意b ＝c ，sin A ＝3sin B . 由正弦定理a sin A ＝bsin B ，∴a ＝3b .∴三角形底边上的高h ＝ b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝12b .又三角形的面积为32，∴32＝12×3b ×b 2， ∴b ＝ 2.9．在锐角△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，其面积S △ABC ＝33，则BC ＝( ) A ．5 B.13或37 C.37 D.13解析：选D 因为S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin A ＝33，所以sin A ＝32，又因为△ABC 是锐角三角形，所以A ＝π3，在△ABC 中，由余弦定理可得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AB ·AC ·cos A ＝9＋16－2×3×4×12＝13，∴BC ＝13.10.如图所示为起重机装置示意图，支杆BC ＝10 m ，吊杆AC ＝15 m ，吊索AB ＝519 m ，起吊的货物与岸的距离AD 为( )A ．30 m B.1532m C ．15 3 mD ．45 m解析：选B 在△ABC 中，AC ＝15 m ，AB ＝519 m ，BC ＝10 m ，由余弦定理得cos ∠ACB ＝AC 2＋BC 2－AB 22×AC ×BC＝152＋102－1922×15×10＝－12.∴sin ∠ACB ＝32. 又∠ACB ＋∠ACD ＝180°. ∴sin ∠ACD ＝sin ∠ACB ＝32. 在Rt △ADC 中，AD ＝AC ·sin∠ACD ＝15×32＝1532m. 11．在△ABC 中，若3b ＝23a sin B ，且cos B ＝cos C ，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形解析：选A 由已知3b ＝23a sin B 可得bsin B＝a32，根据正弦定理 知sin A ＝32， ∴A ＝60°或120°.又cos B ＝cos C ，∴B ＝C . ∴A ＝B ＝C ＝60°或A ＝120°，B ＝C ＝30°， 所以选A 项．12.某班设计了一个八边形的班徽(如图)，它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为( )A ．2sin α－2cos α＋2B ．sin α－3cos α＋3C ．3sin α－3cos α＋1 α＝2sin α再由余弦定＝2－2cos α，故正方形的面积为2α＋2.分，把正确答案填在题中的横线上) ________．设BC 中点为D ，连结AD ， 则AD ⊥BC .在Rt △ABD 中， cos B ＝BD BA ＝12a 2a ＝14.设AB 中点为点E ，连结CE ， 则在△BEC 中，BE ＝BC ＝a ，由余弦定理CE 2＝CB 2＋BE 2－2CB ·BE ·c os B ＝a 2＋a 2－2a 2·14＝2a 2－12a 2＝32a 2，∴CE ＝62a . 答案：62a 14．在△ABC 中，a 比c 长4，b 比c 长2，且最大角的余弦值是－12，则△ABC 面积等于________．解析：由题意得：a ＝c ＋4，b ＝c ＋2，则A 为最大角，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝c ＋2＋c 2－c ＋2c ＋c＝c 2＋4c ＋4＋c 2－c 2－8c －162c c ＋＝c 2－4c －122c 2＋4c ＝－12，即c 2－4c －12＝－c 2－2c .即c 2－c －6＝0. 解得c ＝3，或c ＝－2(舍)．∴a ＝7，b ＝5，A ＝120°.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×5×3×32＝15 34.答案：15 3415．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，c ＝23，C ＝π3，则b ＝________.解析：由正弦定理a sin A ＝c sin C 得sin A ＝12，因为a <c ，所以A ＝π6，B ＝π2，则b ＝c 2＋a2＝4.答案：416．某人在C 点测得塔AB 在南偏西80°，对塔顶A 的仰角为45°，沿南偏东40°方向前进10 m 到O ，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为________．解析：画出示意图，如图所示，CO ＝10，∠OCD ＝40°， ∠BCD ＝80°，∠ACB ＝45°，∠AOB ＝30°，AB ⊥平面BCO .令AB ＝x ，则BC ＝x ，BO ＝3x .在△BCO 中，由余弦定理得(3x )2＝x 2＋100－2x ×10×cos(80°＋40°)，整理得x 2－5x －50＝0.解得x ＝10，或x ＝－5(舍去)．所以塔高为10 m. 答案：10 m三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c .已知4sin 2A －B2＋4sin A sin B ＝2＋ 2.(1)求角C 的大小；(2)已知 b ＝4, △ABC 的面积为6，求边长 c解：(1)由已知得2[1－cos(A －B )]＋4sin A 化简得－2cos A cos B ＋2sin A sin B ＝2， 故cos(A ＋B )＝－22. 所以A ＋B ＝3π4，从而C ＝π4.3 2.，得c ＝10.A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 且满足4a cos B .B 及正弦定理得 4sin A cos B －sin B cosC ＝sin C cos B ，∴4sin A cos B ＝sin(B ＋C )，即4sin A cos B ＝sin A ， ∵sin A ≠0，∴cos B ＝14.(2)∵ac ＝12，b ＝32及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得a 2＋c 2＝24，由a 2＋c 2＝24及ac ＝12解得a ＝c ＝2 3.19．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b 2＋c2＝a 2＋bc .(1)求角A 的大小； (2)如果cos B ＝63，b ＝2，求△ABC 的面积． 解：(1)因为b 2＋c 2＝a 2＋bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，又因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)因为cos B ＝63，B ∈(0，π)， 所以sin B ＝1－cos 2B ＝33. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a ＝b sin Asin B＝3.因为b 2＋c 2＝a 2＋bc ，所以c 2－2c －5＝0，解得c ＝1±6， 因为c >0，所以c ＝6＋1.故△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝32＋32.20．(本小题满分12分)在锐角△ABC 中， a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且 3a ＝2c sin A .(1)确定角C 的大小；(2)若c ＝3，求△ABC 周长的取值范围．解：(1)已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边， 由 3a ＝2c sin A ，得 3sin A ＝2sin C sin A ， 又sin A ≠0，则sin C ＝32， ∴C ＝π3或C ＝2π3，∵△ABC 为锐角三角形，∴C ＝2π3舍去，∴C ＝π3.(2)∵c ＝3，sin C ＝32，∴由正弦定理得：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝332＝2，即a ＝2sin A ，b ＝2sin B ，又A ＋B ＝π－C ＝2π3，即B ＝2π3－A ，∴a ＋b ＋c ＝2(sin A ＋sin B )＋ 3 ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－A ＋ 3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A ＋sin 2π3cos A －cos 2π3sin A ＋ 3 ＝3sin A ＋3cos A ＋ 3＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A cos π6＋cos A sin π6＋3＝23·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋3， ∵△ABC 是锐角三角形，∴π6＜A ＜π2， ∴32＜sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6≤1， 则△ABC 周长的取值范围是(321．(本小题满分12分)A ，B a ，b ，c .若mcos A ，sin A ，⎛cos A ，＝3，求b ＋c 的值．A ＝12，∴cos A ＝－2.又A ∈(0，π)，∴A ＝2π3.(2)S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12bc ·sin 2π3＝3，∴bc ＝4.又由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos2π3＝b 2＋c 2＋bc ， ∴16＝(b ＋c )2，故b ＋c ＝4.22．(本小题满分12分)如图所示，某海岛上一观察哨A 上午11时测得一轮船在海岛北偏东60°的C 处，12时20分时测得该轮船在海岛北偏西60°的B 处，12时40分该轮船到达位于海岛正西方且距海岛5千米的E 港口，如果轮船始终匀速直线航行，则船速是多少？(结果保留根号)解：轮船从点C 到点B 用时80分钟，从点B 到点E 用时20分钟，而船始终匀速航行， 由此可见，BC ＝4EB .设EB ＝x ，则BC ＝4x ，由已知得∠BAE ＝30°， 在△AEC 中，由正弦定理得EC sin ∠EAC ＝AEsin C ，即sin C ＝AE sin ∠EAC EC ＝5sin 150°5x ＝12x， 在△ABC 中，由正弦定理得BCsin ∠BAC ＝ABsin C ，即AB ＝BC sin C sin 120°＝4x ×12x sin 120°＝43＝433.在△ABE 中，由余弦定理得BE 2＝AE 2＋AB 2－2AE ·AB cos 30°＝25＋163－2×5×433×32＝313，所以BE ＝313(千米)． 故轮船的速度为v ＝313÷2060＝93(千米/时).。

5
（1）求 BC 边长； （2）求 AB 边上中线 CD 的长.
【来源】北京 101 中学 2018-2019 学年下学期高一年级期中考试数学试卷
【答案】（1） 3 2 ；（2） 13 .
33．ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a，b，c，已知 a 3, cos A 6 , B A ，
【答案】C
3．在 ABC 中，若 a b cb c a 3bc ，则 A （ ）
A． 90
B． 60
C．135
D．150
【来源】2015-2016 学年江西省金溪一中高一下期中数学试卷（带解析)
【答案】B
4．设在 ABC 中,角 A，B,C 所对的边分别为 a，b, c , 若 b cos C c cos B a sin A ,
【答案】C
21．设 ABC 的内角 A, B,C 所对边的长分别为 a, b, c ，若 b c 2a, 3sin A 5sin B ,
则角 C =（ ）
A．
3 3
C．
4
2
B．
3 5
D．
6
【来源】2013 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（安徽卷带解析)
【答案】B
22．在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 a2 b2 c2 tanB 3ac ，
A．3 6
B．9 6
C．3
D．6
【来源】福建省晋江市季延中学 2017-2018 学年高一下学期期末考试数学试题
【答案】A
2．已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且cc−−ba=sinCsi+nAsinB，则 B= (
)
A．π
6

第一章解三角形单元检测(A 卷)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分)1．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ＝2∶5，则边b ∶a 等于( )．A ．2∶5或4∶25 B．5∶2 C ．25∶4 D ．2∶52．在△ABC 中，sin 2A －sin 2C ＋sin 2B ＝sin A ·sin B ，则∠C 为( )．A ．60° B．45° C．120° D．30°3．在△ABC 中，已知a ＝4，b ＝6，∠C ＝120°，则sin A 的值为( )．A ．19B ．7C ．38D ．194．(辽宁高考，理4)△ABC 的三个内角∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sinB ＋b cos 2A ，则b a＝( )．A ．．5．根据下列条件，确定△ABC 有两解的是( )．A ．a ＝18，b ＝20，∠A ＝120°B ．a ＝60，c ＝48，∠B ＝60°C ．a ＝3，b ＝6，∠A ＝30°D ．a ＝14，b ＝16，∠A ＝45°6．在△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，那么三边之比a ∶b ∶c 等于( )．A ．1∶2∶3B ．3∶2∶1C D7．在△ABC 中，a ＝2，∠A ＝30°，∠C ＝45°，则S △ABC ＝( )．8．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，C ．若a 2－b 2，sin C ＝B ，则∠A ＝( )．A ．30° B．60° C．120° D．150°9．在△ABC 中，∠A ＝60°，AC ＝16，面积S =，则BC 的长为( )．A ．．75 C ．51 D ．4910．若△ABC 的三边为a ，b ，c ，f (x )＝b 2x 2＋(b 2＋c 2－a 2)x ＋c 2，则f (x )的图象( )．A ．与x 轴相切B ．在x 轴上方C ．在x 轴下方D ．与x 轴交于两点二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分)11．在△ABC 中，a =，1cos C =，ABC S ∆=b ＝________.12．在平行四边形ABCD 中，AB =AC =∠BAC ＝45°，则AD ＝________.13．(福建高考，理14)如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC =点D 在BC 边上，∠ADC ＝45°，则AD 的长度等于________．14．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为x ，b ，c ，若满足b ＝2，∠B ＝45°的三角形有两解，则x 的取值范围是________．三、解答题(本大题共5个小题，共54分)15．(10分)在△ABC 中，a ＝8，b ＝7，∠B ＝60°，求c 及S △ABC ．16．(10分)在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a 2－c 2＝2b ，且sin B ＝4cos A sin C ，求B ．17．(10分)在△ABC 中，已知(a 2＋b 2)sin(∠A －∠B )＝(a 2－b 2)sin(∠A ＋∠B )，试判断△ABC 的形状．18．(12分)(山东高考，理17)在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，C ．已知cos 2cos 2=cos A C c a B b--. (1)求sin sin C A的值； (2)若1cos 4B =，b ＝2，求△ABC 的面积S . 19．(12分)如图，a 是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a 上点A 处有一个水声监测点，另两个监测点B ，C 分别在A 的正东方20 km 处和54 km 处．某时刻，监测点B 收到发自静止目标P 的一个声波，8 s 后监测点A 、20 s 后监测点C 相继收到这一信号，在当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s.(1)设A 和P 的距离为x km ，用x 分别表示B ，C 到P 的距离，并求x 的值；(2)求静止目标P 到海防警戒线a 的距离(精确到0.01 km)．参考答案1. 答案：B2. 答案：A3. 答案：A解析：由余弦定理可求得c =sin A =4. 答案：D5. 答案：D 解析：16sin sin 45>sin 45sin sin 14a b B A B =⇒=︒︒，又b ＞a ， ∴∠B 有两解．故△ABC 有两解．6. 答案：C解析：易知∠A ＝π6，∠B ＝π3，∠C ＝π，∴a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ∶2.7. A B ． D ．12 答案：C解析：由sin sin a c A C=得c =B ＝105°，S △ABC ＝12ac sin B . 8. 答案：A解析：利用正弦定理，sin C ＝B 可化为c =．又∵22a b -=，∴2226a b b -=⨯=，即a2＝7b2，a=．在△ABC中，222cos2b c aAbc++===，∴∠A＝30°.9.答案：D解析：∵S＝12AC×AB×sin A＝12×16×AB×sin 60°＝=AB＝55，再由余弦定理得BC＝49.10.答案：B解析：∵b2＞0，Δ＝(b2＋c2－a2)2－4b2c2＝(2bc cos A)2－4b2c2＝4b2c2(cos2A－1)＜0.∴f(x)的图象在x轴的上方．11.答案：解析：∵1cos3C=，∴sin3C=，S△ABC＝12ab sin C＝12b⋅⋅=b=.12.答案：解析：BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝48，∴BC=AD BC==13.解析：在△ABC中，由余弦定理得222cos22AC BC ABCAC BC+-===⋅⋅，∴∠C＝30°.在△ADC中，由正弦定理，得sin sinAD ACC ADC=∠，∴122AD=.故AD=14.答案：解析：由正弦定理得2sin45sinxA=︒，又恰有两解，由sin A的取值范围可解得x∈．15.解：由余弦定理得82＋c2－2×8×c×cos 60°＝72，即c2－8c＋15＝0，∴c＝3或5.当c＝3时，1sin2ABCS ac B∆==当c＝5时，1sin2ABCS ac B∆==16.解：由余弦定理得a2－c2＝b2－2bc cos A，又a2－c2＝2b，b≠0，∴b＝2c·cos A ＋2.由正弦定理得sin=sinb Bc C，又由已知得sin=4cossinBAC，∴b＝4c·cos A，由=2cos2=4cosb c Ab c A+⎧⎨⎩，，可得b＝4.17.解：由已知有a2sin(∠A－∠B)＋b2sin(∠A－∠B)＝a2sin(∠A＋∠B)－b2sin(∠A＋∠B )，即2a 2cos A sin B －2b 2cos B sin A ＝0，∴a 2cos A sin B －b 2sin A cos B ＝0.由正弦定理，上式可化为sin 2A cos A sin B －sin 2B sin A cos B ＝0， 即sin A sin B (sin A cos A －sin B cos B )＝0，∵sin A ≠0，sin B ≠0，∴sin A cos A －sin B cos B ＝0，即sin 2A ＝sin 2B ，∴2∠A ＝2∠B 或2∠A ＋2∠B ＝π，∴∠A ＝∠B 或∠A ＋∠B ＝π2.故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．18. 解：(1)由正弦定理，设=sin sin sin abck A B C ==， 则22sin sin 2sin sin sin sin c a k C k A C Ab k B B ---==， 所以cos 2cos 2sin sin cos sin A C C AB B --=，即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ．化简可得sin(∠A ＋∠B )＝2sin(∠B ＋∠C )，又∠A ＋∠B ＋∠C ＝π，所以sin C ＝2sin A ． 因此sin 2sin CA =.(2)由sin 2sin CA =得c ＝2A ．由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及cos B ＝14，b ＝2，得4＝a 2＋4a 2－4a 2×14.解得a ＝1.从而c ＝2.又因为cos B ＝14，且0＜∠B ＜π，所以sin 4B =.因此11sin 1222S ac B ==⨯⨯=.19. 解：(1)依题意可知，PA －PB ＝1.5×8＝12(km)，PC －PB ＝1.5×20＝30(km)，∴PB ＝(x －12) km ，PC ＝(x ＋18) km.在△PAB 中，AB ＝20 km ，由余弦定理得222cos 2PA AB PB PAB PA AB +-∠=⋅22220123322205x x x x x +-(-)+==⋅.同理，cos∠PAC ＝723xx -.由于cos∠PAB ＝cos∠PAC ，即3327253x xx x +-=，解得1327x =(km)．(2)作PD ⊥a ，垂足为D ，∴∠APD ＝∠PAB ．在Rt△PDA 中，PD ＝PA cos∠APD ＝3325x x x +⋅≈17.71(km)．答：静止目标P 到海防警戒线a 的距离约为17.71 km.。

第一章 解三角形检测卷班级__________座号________学生__________一、 选择题1、某次测量中，A 处测得同一方向的B 点仰角为60o ，C 点俯角为70o ，则∠BAC 等于 ( )A. 10oB. 50oC. 120oD. 130o 2、 ABC 中，已知A ＝30°，且3a ＝3b ＝12，则c 的值为( ) A ．4 B ．8 C ．4或8D ．无解3、在高150米山顶上，测得山下一铁塔塔顶与塔底的俯角分别为30,60,o o 则铁塔高（ ）A . 100米B . 150米C . 200米D .300米4、三角形的两边长为3 cm 、5 cm ，其夹角的余弦是方程5x 2－7x －6＝0的根，则此三角形的面积是( )A ．6 cm 2 B.152cm 2 C ．8 cm 2D ．10 cm 25、△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝45°，S △ABC ＝2，则△ABC 的外接圆的直径为( ) A ．4 3B ．5C ．5 2D ．6 26、在△ABC 中，b ＝8，c ＝3，A ＝60°，则此三角形外接圆面积是( ) A.1963B.196π3C.493D.49π37、某人先向正东方向走了x km ，然后他向右转150°，向新的方向走了3 km ，结果他离出发点恰好为 3 km ，那么x 的值为( )A. 3 B ．2 3 C ．23或 3 D ．3 8、如图所示，在河岸AC 测量河的宽度BC ，图中所标的数据a ，b ，c ，α，β是可供测量的数据．下面给出的四组数据中，对测量河宽较适宜的是( )A ．c 和αB ．c 和bC ．c 和βD ．b 和α9、△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边边长分别为a ，b ，c ，若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B ＝( ) A.53B.54 C.55D.5610、△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则b a＝( ) A ．2 3B ．2 2 C. 3D. 211、△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为( )A.π6B.π3C.π2D.2π312、如图，某炮兵阵地位于A 点，两观察所分别位于C ，D 两点．已知△ACD 为正三角形，且DC ＝ 3 km ，当目标出现在B 点时，测得∠CDB ＝45°，∠BCD ＝75°，则炮兵阵地与目标的距离是( )A ．1.1 kmB ．2.2 kmC ．2.9 kmD ．3.5 km二、 填空题13、ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝________；a ＝________. 14、△ABC 为钝角三角形，且∠C 为钝角，则a 2＋b 2与c 2的大小关系为________． 15、在△ABC 中，S △ABC ＝14(a 2＋b 2－c 2)，b ＝1，a ＝ 2.则c ＝________.16、如图，一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这艘船航行的速度为____________．三、解答题17、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边长，已知b 2＝ac ，且a 2－c 2＝ac －bc .求：（1）角A 的大小； （2）b sin Bc的值．18、△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，并且a 2＝b (b ＋c )．（1）求证：A ＝2B ；（2）若a ＝3b ，判断△ABC 的形状．19、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －ab，（1）求sin Csin A的值；（2）若cos B ＝14，b ＝2，求△ABC 的面积S .20、如图所示，在地面上有旗杆OP ，为测得它的高度h ，在地面上取一基线AB ，AB=20 m,在A 处测得P 点的仰角∠OAP=30o ,在B 处测得P 点的仰角∠OBP=45o ,又测得∠AOB=300,求旗杆的高度.21、△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ,b ,c ，设向量m =(a ,b ), n =(sin B ,sin A )，p()2,2--=a b ．（1）若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形； （2）若m ⊥p , c =2,3π=C，求△ABC 的面积S ．解三角形检测卷1.D2.C3.A4.A5.C6.D7.C8.D9.B 10.D 11.B 12.C; 13.255 210,14.a 2＋b 2<c 2, 15.1,16.1762(海里/小时);17.解：(1)∵b 2＝ac ，且a 2－c 2＝ac －bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc .在△ABC 中，由余弦定理的推论，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∴A ＝60°.(2)在△ABC 中，由正弦定理得sin B ＝b sin A a .∵b 2＝ac ，A ＝60°，∴b sin B c ＝b 2sin 60°ac＝sin 60°＝32. 18.解：(1)因为a 2＝b (b ＋c )，即a 2＝b 2＋bc ，所以在△ABC 中，由余弦定理可得，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝c 2＋bc2ac＝b ＋c 2a ＝a 22ab ＝a 2b ＝sin A 2sin B，所以sin A ＝sin 2B ，故A ＝2B . (2) 因为a ＝3b ，所以a b＝3，由a 2＝b (b ＋c )可得c ＝2b ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3b 2＋4b 2－b 243b2＝32， 所以B ＝30°，A ＝2B ＝60°，C ＝90°.所以△ABC 为直角三角形．19.解：(1)法一：在△ABC 中，由cos A －2cos C cos B ＝2c －a b 及正弦定理可得cos A －2cos Ccos B ＝2sin C －sin Asin B，即cos A sin B －2cos C sin B ＝2sin C cos B －sin A cos B . 则cos A sin B ＋sin A cos B ＝2sin C cos B ＋2cos C sin B ， 即sin(A ＋B )＝2sin(C ＋B )，而A ＋B ＋C ＝π， 则sin C ＝2sin A ，即sin Csin A＝2.法二：在△ABC 中，由cos A －2cos C cos B ＝2c －ab可得b cos A －2b cos C ＝2c cos B －a cos B由余弦定理可得b 2＋c 2－a 22c －a 2＋b 2－c 2a ＝a 2＋c 2－b 2a －a 2＋c 2－b 22c， 整理可得c ＝2a ，由正弦定理可得sin C sin A ＝c a ＝2.法三：利用教材习题结论解题，在△ABC 中有结论a ＝b cos C ＋c cos B ，b ＝c cos A ＋a cos C ，c ＝a cos B ＋b cos A .由cos A －2cos C cos B ＝2c －ab可得b cos A －2b cos C ＝2c cos B －a cos B ，即b cos A ＋a cos B ＝2c cos B ＋2b cos C ，则c ＝2a ，由正弦定理可得sin C sin A ＝c a ＝2.(2)由c ＝2a 及cos B ＝14，b ＝2可得4＝c 2＋a 2－2ac cos B ＝4a 2＋a 2－a 2＝4a 2，则a ＝1，c ＝2. ∴S ＝12ac sin B ＝12×1×2×1－cos 2B ＝154.20.解：设旗杆的高度为x m 在AOP RT ∆中，x xAO 330tan 0==,BOP RT ∆中，x xBO ==045tan ,在AOB ∆中，022230cos 2⋅⋅-+=BO AO BO AO AB ,22233400x x x -+=解得20=x .答：旗杆的高度为20m.21、解：(1)证明：∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B ，即a ·a 2R ＝b ·b2R ，其中R 是△ABC 外接圆半径，∴a ＝b ，∴△ABC 为等腰三角形．(2)∵m ⊥p ，∴a (b －2)＋b (a －2)＝0.∴a ＋b ＝ab .由余弦定理可知，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝4，∴(ab )2－3ab－4＝0.∴ab ＝4或ab ＝－1(舍去)．∴S ＝12ab sin C ＝12×4×sin π3＝ 3.即△ABC 的面积为 3.。

高中数学必修五第一章单元测试题《解三角形》一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC中，下列等式不成立的是()A．c＝a2＋b2－2ab cos CB.asin A＝bsin BC．a sin C＝c sin AD．cos B＝a2＋c2－b22abc2．已知锐角△ABC的面积为33，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为()A．75°B．60°C．45°D．30°3．已知△ABC中，c＝6，a＝4，B＝120°，则b等于()A．76 B．219C．27 D．274．已知△ABC中，a＝4，b＝43，A＝30°，则B等于()A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°5．已知三角形的三边长分别为a，b，a2＋ab＋b2，则三角形的最大内角是()A．135°B．120°C．60°D．90°6．△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为()A.π6 B.π3C.π2 D.2π37．在△ABC 中，已知a ＝2b cos C ，那么△ABC 的内角B 、C 之间的关系是( )A ．B >CB ．B ＝C C ．B <CD ．关系不确定8．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则这个三角形是( )A ．不等边三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形9．在△ABC 中，cos A cos B >sin A sin B ，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形10．△ABC 中，已知sin B ＝1，b ＝3，则此三角形( )A ．无解B ．只有一解C ．有两解D ．解的个数不确定11．在△ABC 中，若A <B <C ，b ＝10，且a ＋c ＝2b ，C ＝2A ，则a 与c 的值分别为( )A ．8,10B ．10,10C ．8,12D ．12,812．已知平面上有四点O ，A ，B ，C ，满足OA →＋OB →＋OC →＝0，OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →＝－1，则△ABC 的周长是( )A ．3B ．6C ．3 6D ．9 6二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．在△ABC 中，A ＝30°，C ＝105°，b ＝8，则a ＝________.14．在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则AC ＝________.15．在△ABC 中，已知CB ＝8，CA ＝5，△ABC 的面积为12，则cos2C ＝________.16．甲、乙两楼相距20 m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲楼高为______m ，乙楼高为________m.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，且其对边分别为a ，b ，c ，若cos B cos C－sin B sin C ＝12.(1)求A ；(2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．18．(12分)在△ABC 中，C －A ＝π2，sin B ＝13.(1)求sin A 的值；(2)设AC ＝6，求△ABC 的面积．19．(12分)如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝1，cos C＝3 4.(1)求AB的值；(2)求sin(2A＋C)的值．20．(12分)已知△ABC顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、C(c,0)．(1)若c＝5，求sin A的值；(2)若∠A是钝角，求c的取值范围．21．(12分)如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60 °，AC＝0.1 km.试探究图中B，D间距离与另外两点间距离哪个相等，然后求B，D的距离(计算结果精确到0.01 km，2＝1.414，6≈2.449)．22．(12分)设函数f(x)＝cos(2x＋π3)＋sin2x.(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；(2)设A，B，C为△ABC的三个内角，若cos B＝13，f(C2)＝－14，且C为锐角，求sin A.高中数学必修五第一章单元测试题《解三角形》参考答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC中，下列等式不成立的是()A．c＝a2＋b2－2ab cos CB.asin A＝bsin BC．a sin C＝c sin AD．cos B＝a2＋c2－b22abc答案 D解析很明显A，B，C成立；由余弦定理，得cos B＝a2＋c2－b22ac，所以D不成立．2．已知锐角△ABC的面积为33，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为() A．75°B．60°C．45°D．30°答案 B解析由S△ABC＝33＝12×3×4sin C，得sin C＝32，又角C为锐角，故C＝60°.3．已知△ABC中，c＝6，a＝4，B＝120°，则b等于() A．76 B．219C．27 D．27答案 B解析由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝76，所以b＝219. 4．已知△ABC中，a＝4，b＝43，A＝30°，则B等于() A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°答案 D解析由正弦定理，得asin A＝bsin B.所以sin B＝ba sin A＝434sin30°＝32.又a<b，则A<B，所以B＝60°或120°.5．已知三角形的三边长分别为a，b，a2＋ab＋b2，则三角形的最大内角是()A．135°B．120°C．60°D．90°答案 B解析a2＋ab＋b2>a，a2＋ab＋b2>b，则长为a2＋ab＋b2的边所对的角最大．由余弦定理，得cosα＝a2＋b2－(a2＋b2＋ab)2ab＝－12，所以三角形的最大内角是120°.6．△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为()A.π6 B.π3C.π2 D.2π3答案 B解析由p∥q，得(a＋c)(c－a)＝b(b－a)，则b2＋a2－c2＝ab.由余弦定理，得cos C＝a2＋b2－c22ab＝12，所以C＝π3.7．在△ABC中，已知a＝2b cos C，那么△ABC的内角B、C之间的关系是() A．B>C B．B＝CC．B<C D．关系不确定答案 B8．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则这个三角形是()A．不等边三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．直角三角形答案 B9．在△ABC中，cos A cos B>sin A sin B，则△ABC是()A．锐角三角形B．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形答案 C 10．△ABC 中，已知sin B ＝1，b ＝3，则此三角形( )A ．无解B ．只有一解C ．有两解D ．解的个数不确定答案 D11．在△ABC 中，若A <B <C ，b ＝10，且a ＋c ＝2b ，C ＝2A ，则a 与c 的值分别为( )A ．8,10B ．10,10C ．8,12D ．12,8 答案 C解析 ∵C ＝2A ，∴sin C ＝sin2A ＝2sin A ·cos A .由正弦定理，余弦定理可得c ＝2a ·100＋c 2－a 22×10c， 将a ＝20－c 代入上式整理，得c 2－22c ＋120＝0，解得∴c ＝10(舍去)或c ＝12.∴a ＝8.12．已知平面上有四点O ，A ，B ，C ，满足OA →＋OB →＋OC →＝0，OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →＝－1，则△ABC 的周长是( )A ．3B ．6C ．3 6D ．9 6 答案 C解析 由已知得O 是△ABC 的重心，由OA →·OB →＝OB →·OC →，得OB →·(OA →－OC →)＝0.∴OB →·CA →＝0.∴OB ⊥CA .同理，OA ⊥BC ，OC ⊥AB .∴△ABC 为等边三角形．故∠AOB ＝∠BOC ＝∠COA ＝2π3，|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝ 2.在△AOB 中，由余弦定理，得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB cos 2π3＝6.∴AB＝6，故△ABC的周长是3 6.讲评本题是以向量的数量积给出条件，通过计算得出三角形中的一些量，再利用余弦定理可解．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．在△ABC中，A＝30°，C＝105°，b＝8，则a＝________.答案4 2解析B＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理，得a＝sin Asin B b＝sin30°sin45°×8＝4 2.14．在△ABC中，若∠A＝120°，AB＝5，BC＝7，则AC＝________. 答案 3解析在△ABC中，由余弦定理，得cos A＝cos120°＝AB2＋AC2－BC22×AB×AC，即25＋AC2－492×5×AC＝－12.解得AC＝－8(舍去)或AC＝3.15．在△ABC中，已知CB＝8，CA＝5，△ABC的面积为12，则cos2C＝________.答案725解析由题意，得S＝12CA×CB sin C，则12＝12×5×8sin C.所以sin C＝35.则cos2C＝1－2sin2C＝725.16．甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲楼高为______m，乙楼高为________m.答案203403 3解析如下图所示，甲楼高为AB，乙楼高为CD，AC＝20 m.则在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AC ＝20(m)，所以AB ＝AC tan60°＝203(m)，在△BCD 中，BC ＝40(m)，∠BCD ＝90°－60°＝30°，∠CBD ＝90°－30°－30°＝30°，则∠BDC ＝180°－30°－30°＝120°.由正弦定理，得BC sin ∠BDC ＝CDsin ∠CBD ，所以CD ＝sin ∠CBD sin ∠BDC BC ＝4033. 三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，且其对边分别为a ，b ，c ，若cos B cos C－sin B sin C ＝12.(1)求A ； (2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．思路分析 (1)转化为求cos A ；(2)求出bc 的值即可．解析 (1)∵cos B cos C －sin B sin C ＝12，∴cos(B ＋C )＝12.∵A ＋B ＋C ＝π，∴cos(π－A )＝12.∴cos A ＝－12.又∵0<A <π，∴A ＝2π3.(2)由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A .则(23)2＝(b ＋c )2－2bc －2bc ·cos 2π3.∴12＝16－2bc －2bc ·(－12)．∴bc ＝4.∴S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12×4×32＝ 3.18．(12分)在△ABC 中，C －A ＝π2，sin B ＝13.(1)求sin A 的值；(2)设AC ＝6，求△ABC 的面积．解析 (1)由C －A ＝π2和A ＋B ＋C ＝π，得2A ＝π2－B,0<A <π4.故cos2A ＝sin B ，即1－2sin 2A ＝13，sin A ＝33.(2)由(1)得cos A ＝63.又由正弦定理，得BC sin A ＝AC sin B ，BC ＝sin A sin B AC ＝3 2.所以S △ABC ＝12AC ·BC ·sin C ＝12AC ·BC ·cos A ＝3 2.19．(12分)如图，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝1，cos C ＝34.(1)求AB 的值；(2)求sin(2A ＋C )的值．解析 (1)由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C＝4＋1－2×2×1×34＝2.∴AB ＝ 2.(2)由cos C ＝34且0<C <π，得sin C ＝1－cos 2C ＝74.由正弦定理，得AB sin C ＝BC sin A ，解得sin A ＝BC sin C AB ＝148.所以cos A ＝528.由倍角公式，得sin2A ＝2sin A cos A ＝5716，且cos2A ＝1－2sin 2A ＝916.故sin(2A ＋C )＝sin2A cos C ＋cos2A sin C ＝378.20．(12分)已知△ABC 顶点的直角坐标分别为A (3,4)、B (0,0)、C (c,0)．(1)若c ＝5，求sin A 的值；(2)若∠A 是钝角，求c 的取值范围．解析 (1)方法一 ∵A (3,4)、B (0,0)，∴|AB |＝5，sin B ＝45.当c ＝5时，|BC |＝5，|AC |＝(5－3)2＋(0－4)2＝2 5.根据正弦定理，得|BC |sin A ＝|AC |sin B ⇒sin A ＝|BC ||AC |sin B ＝255.方法二 ∵A (3,4)、B (0,0)，∴|AB |＝5.当c ＝5时，|BC |＝5，|AC |＝(5－3)2＋(0－4)2＝2 5. 根据余弦定理，得cos A ＝|AB |2＋|AC |2－|BC |22|AB ||AC |＝55.sin A ＝1－cos 2A ＝255.(2)已知△ABC顶点坐标为A(3,4)、B(0,0)、C(c,0)，根据余弦定理，得cos A＝|AB|2＋|AC|2－|BC|22|AB||AC|.若∠A是钝角，则cos A<0⇒|AB|2＋|AC|2－|BC|2<0，即52＋[(c－3)2＋42]－c2＝50－6c<0，解得c>25 3.21．(12分)如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60 °，AC＝0.1 km.试探究图中B，D间距离与另外两点间距离哪个相等，然后求B，D的距离(计算结果精确到0.01 km，2＝1.414，6≈2.449)．解析在△ABC中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1.又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA.在△ABC中，ABsin∠BCA＝ACsin∠ABC，即AB＝AC sin60°sin15°＝32＋620，因此，BD＝32＋620≈0.33 km.故B、D的距离约为0.33 km22．(12分)设函数f(x)＝cos(2x＋π3)＋sin2x.(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；(2)设A，B，C为△ABC的三个内角，若cos B＝13，f(C2)＝－14，且C为锐角，求sin A.解析(1)f(x)＝cos2x cos π3－sin2x sin π3＋1－cos2x2＝12cos2x－32sin2x＋12－12cos2x＝12－32sin2x.所以当2x＝－π2＋2kπ，即x＝－π4＋kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，f(x)最大值＝1＋32，f(x)的最小正周期T＝2π2＝π，故函数f(x)的最大值为1＋32，最小正周期为π.(2)由f(C2)＝－14，即12－32sin C＝－14，解得sin C＝32，又C为锐角，所以C＝π3.由cos B＝13，求得sin B＝223.由此sin A＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C＝223×12＋13×32＝22＋36.。

第一章 解三角形 单元测试卷（B ）时间：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)1．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3，c ＝1，则最小角为( )A ．π12 B ．π6 C ．π4 D ．π32．△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为( ) A ．π6 B ．π3 C ．π2 D ．2π33．在△ABC 中，已知||＝4，|AC →|＝1，S △ABC ＝3，则AB →·AC →等于( )A ．－2B ．2C ．±4D ．±2 4．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A ． 6B ．2C ． 3D ． 25．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin Bsin C 的值为( )A ．85 B ．58 C ．53 D ．356．已知锐角三角形的边长分别为2,4，x ，则x 的取值范围是( )A ．1<x < 5B ．5<x <13C ．1<x <2 5D ．23<x <2 5 7．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B 等于( ) A ．－223 B ．223 C ．－63 D ．63 8．下列判断中正确的是( ) A ．△ABC 中，a ＝7，b ＝14，A ＝30°，有两解 B ．△ABC 中，a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解 C ．△ABC 中，a ＝6，b ＝9，A ＝45°，有两解 D ．△ABC 中，b ＝9，c ＝10，B ＝60°，无解 9．在△ABC 中，B ＝30°，AB ＝3，AC ＝1，则△ABC 的面积是( ) A ．34 B ．32 C ．3或32 D ．32或34 10．在△ABC 中，BC ＝2，B ＝π3，若△ABC 的面积为32，则tan C 为( ) A ． 3 B ．1 C ．33 D ．32 11．在△ABC 中，如果sin A sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ＋cos A cos B ＝2，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．直角三角形 12．△ABC 中，若a 4＋b 4＋c 4＝2c 2(a 2＋b 2)，则角C 的度数是( ) A ．60° B ．45°或135° C ．120° D ．30° 第Ⅱ卷(非选择题，共90分) 二、填空题(每小题5分，共20分) 13．在△ABC 中，若sin A a ＝cos B b ，则B ＝________.14．在△ABC中，A＝60°，AB＝5，BC＝7，则△ABC的面积为________．15．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔64海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为________海里/小时．16．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若(3b－c)cos A＝a cos C，则cos A＝________.三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)如图，H、G、B三点在同一条直线上，在G、H两点用测角仪器测得A的仰角分别为α，β，CD＝a，测角仪器的高是h，用a，h，α，β表示建筑物高度AB. 18．(12分)设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a＝2b sinA.(1)求B的大小．(2)若a＝33，c＝5，求b.19．(12分)如图所示，已知⊙O的半径是1，点C在直径AB的延长线上，BC＝1，点P是⊙O上半圆上的一个动点，以PC为边作等边三角形PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧．(1)若∠POB＝θ，试将四边形OPDC的面积y表示为关于θ的函数；(2)求四边形OPDC面积的最大值．20．(12分)在△ABC 中，内角A 、B 、C 对边的边长分别是a 、b 、c .已知c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b . (2)若sin B ＝2sin A ，求△ABC 的面积．21．(12分) 如图所示，扇形AOB ，圆心角AOB 等于60°，半径为2，在弧AB 上有一动点P ，过P 引平行于OB 的直线和OA 交于点C ，设∠AOP ＝θ，求△POC 面积的最大值及此时θ的值．．(12分)为了测量两山顶M 、N 间的距离，飞机沿水平方向在A 、B 两点进行测量，A 、B 、M 、N 在同一个铅垂平面内(如示意图)．飞机能够测量的数据有俯角和A ，B 间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M 、N 间的距离的步骤．第一章 解三角形 单元测试卷（B ） 答案第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．B [∵a >b >c ，∴C 最小．∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝＋(3)2－122×2×3＝32，又∵0<C <π，∴C ＝π6.]2．B [∵p ∥q ，∴(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0.∴c 2＝a 2＋b 2－ab ，∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴cos C ＝12，又∵0<C <π，∴C ＝π3.]∴||·|AC →|·sin A＝12×4×1×sin A ＝ 3.∴sin A ＝32.又∵0°<A <180°，∴A ＝60°或120°.AB ·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A＝4×1×cos A ＝±2.]4．D [由正弦定理得b sin B ＝csin C ，∴sin C ＝c ·sin B b ＝2sin 120°6＝12，∵c <b ，∴C 为锐角．∴C ＝30°，∴A ＝180°－120°－30°＝30°.∴a ＝c ＝ 2.] 5．D [由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ， 即72＝52＋AC 2－10AC ·cos 120°， ∴AC ＝3.由正弦定理得sin B sin C ＝AC AB ＝35.] 6．D [由题意，x 应满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ ＋42－x 2>0＋x 2－42>0 解得：23<x <2 5.] 7．D [由正弦定理得15sin 60°＝10sin B . ∴sin B ＝10·sin 60°15＝33. ∵a >b ，A ＝60°，∴B <60°. ∴cos B ＝1－sin 2B ＝1－(33)2＝63.] 8．B [A ：a ＝b sin A ，有一解； B ：A >90°，a >b ，有一解； C ：a <b sin A ，无解； D ：c >b >c sin B ，有两解．] 9．D [由余弦定理AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ， ∴12＝(3)2＋BC 2－2×3×BC ×32. 整理得：BC 2－3BC ＋2＝0. ∴BC ＝1或2. 当BC ＝1时，S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×3×1×12＝34. 当BC ＝2时，S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×3×2×12＝32.]10．C [由S △ABC ＝12BC ·BA sin B ＝32得BA ＝1，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，∴AC ＝3，∴△ABC 为直角三角形，其中A 为直角，∴tan C ＝AB AC ＝33.]11．C [由已知，得cos(A －B )＋sin(A ＋B )＝2，又|cos(A －B )|≤1，|sin(A ＋B )|≤1，故cos(A －B )＝1且sin(A ＋B )＝1，即A ＝B 且A ＋B ＝90°，故选C.]12．B [由a 4＋b 4＋c 4＝2c 2a 2＋2b 2c 2，得cos 2C ＝(a 2＋b 2－c 2)2(2ab )2＝a 4＋b 4＋c 4＋2a 2b 2－2c 2a 2－2b 2c 24a 2b 2＝12⇒cos C ＝±22.∴角C 为45°或135°.]第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．45°解析 由正弦定理，sin A a ＝sin Bb .∴sin B b ＝cos Bb .∴sin B ＝cos B .∴B ＝45°.14．10 3解析 设AC ＝x ，则由余弦定理得： BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ， ∴49＝25＋x 2－5x ，∴x 2－5x －24＝0. ∴x ＝8或x ＝－3(舍去)． ∴S △ABC ＝12×5×8×sin 60°＝10 3. 15．8 6 解析 如图所示， 在△PMN 中，PM sin 45°＝MN sin 120°， ∴MN ＝64×32＝326， ∴v ＝MN 4＝86(海里/小时)． 16.33 解析 由(3b －c )cos A ＝a cos C ，得(3b －c )·b 2＋c 2－a 22bc ＝a ·a 2＋b 2－c 22ab ，即b 2＋c 2－a 22bc ＝33， 由余弦定理得cos A ＝33. 三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分) 17．解 在△ACD 中，∠DAC ＝α－β， 由正弦定理，得AC sin β＝DC sin (α－β)， ∴AC ＝a sin βsin (α－β)∴AB ＝AE ＋EB ＝AC sin α＋h ＝a sin βsin αsin (α－β)＋h .18．解 (1)∵a ＝2b sin A ，∴sin A ＝2sin B ·sin A ，∴sin B ＝12.∵0<B <π2，∴B ＝30°.(2)∵a ＝33，c ＝5，B ＝30°.由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(33)2＋52－2×33×5×cos 30°＝7.∴b ＝7.19．解 (1)在△POC 中，由余弦定理，得PC 2＝OP 2＋OC 2－2OP ·OC ·cos θ＝5－4cos θ，所以y ＝S △OPC ＋S △PCD＝12×1×2sin θ＋34×(5－4cos θ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＋534.(2)当θ－π3＝π2，即θ＝5π6时，y max ＝2＋534.答 四边形OPDC 面积的最大值为2＋534.20．解 ①需要测量的数据有：A 点到M 、N 点的俯角α1、β1；B 点到M 、N 点的俯角α2、β2；A 、B 的距离d (如图所示)．②第一步：计算AM ，由正弦定理AM ＝d sin α2sin (α1＋α2)；第二步：计算AN .由正弦定理AN ＝d sin β2sin (β2－β1)； 第三步：计算MN ，由余弦定理 MN ＝AM 2＋AN 2－2AM ×AN cos (α1－β1). 21．解 (1)由余弦定理及已知条件得 a 2＋b 2－ab ＝4. 又因为△ABC 的面积等于3， 所以12ab sin C ＝3，由此得ab ＝4. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝2. (2)由正弦定理及已知条件得b ＝2a . 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得⎩⎨⎧ a ＝233，b ＝433. 所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝233. ．解 ∵CP ∥OB ，∴∠CPO ＝∠POB ＝60°－θ， ∠OCP ＝120°. 在△POC 中，由正弦定理得OP sin ∠PCO ＝CP sin θ， ∴2sin 120°＝CP sin θ，∴CP ＝43sin θ. 又OC sin (60°－θ)＝2sin 120°，∴OC ＝43sin(60°－θ)．因此△POC 的面积为 S (θ)＝12CP ·OC sin 120°＝12·43sin θ·43sin(60°－θ)×32＝43sin θsin(60°－θ)＝43sin θ⎝⎛⎭⎪⎫32cos θ－12sin θ＝2sin θ·cos θ－23sin2θ＝sin 2θ＋33cos 2θ－33＝233sin⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π6－33∴θ＝π6时，S(θ)取得最大值为33.。

高中数学必修五第一章《解三角形》单元测试卷及答案（2套）单元测试题一一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中） 1．在ABC △中，::1:2:3A B C =，则::a b c 等于（ ）A ．1:2:3B ．3:2:1C ．2D ．22．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且A >B ，则一定有（ ） A ．cos A >cos BB ．sin A >sin BC ．tan A >tan BD ．sin A <sin B3．△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，2sin sin cos a A B b A +，则ba =（ ）A ．B ．C D4．在△ABC 中，∠A ＝60°，a =，b ＝4．满足条件的△ABC （ ） A ．无解B ．有一解C ．有两解D ．不能确定5．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222a b c =-， 则角B 的大小是（ ） A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°6．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若22a b -，sin C B =，则A ＝（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°7．在△ABC 中，∠A ＝60°，b ＝1，△ABC sin aA为（ ）A B C D ．8．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是（ ）A ．0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．,6π⎡⎫π⎪⎢⎣⎭C ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．,3π⎡⎫π⎪⎢⎣⎭9．在△ABC 中，已知B ＝45°，c =，b =A 的值是（ ） A ．15°B ．75°C ．105°D ．75°或15°10．在锐角三角形ABC 中，b ＝1，c ＝2，则a 的取值范围是（ ）A ．1<a <3B ．1a <<C a <D ．不确定11．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2cos 22A b cc+=，则 △ABC 的形状为（ ） A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等边三角形12．如图所示，在△ABC 中，已知∠A ∶∠B ＝1∶2，角C 的平分线CD 把三角形面积分为3∶2两部分，则cos A 等于（ ）A ．13B ．12C ．34D ．0二、填空题（本大题共4个小题，每空5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．等腰三角形的底边长为6，腰长为12，其外接圆的半径为________． 14．在△ABC 中，若a 2＋b 2<c 2，且3sin C ，则∠C ＝________． 15．在△ABC 中，a ＝3，26b =B ＝2∠A ，则cos A ＝________．16．某人在C 点测得塔AB 在南偏西80°，仰角为45°，沿南偏东40°方向前进10 m 到O ，测得塔A 仰角为30°，则塔高为________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．已知()cos cos 3sin cos 0C A A B +=．（1）求角B 的大小；（2）若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．18．(12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．（1）若sin 2cos 6A A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求A 的值；（2）若1cos 3A =，b ＝3c ，求sin C 的值．19．(12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别是a 、b 、c ，已知cos2A －3cos(B ＋C )＝1．（1）求角A 的大小；（2）若△ABC 的面积S =b ＝5，求sin B sin C 的值．20．(12分)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且222a b c +=． （1）求C ；（2）设cos cos A B =，()()2cos cos cos A B ααα++，求tan α的值．21．(12分)在△ABC 中，2C A π-=，1sin 3B =． （1）求sin A 的值；（2）设6AC =，求△ABC 的面积．22．(12分)如图，已知扇形AOB ，O 为顶点，圆心角AOB 等于60°，半径为2，在弧AB 上有一动点P ，过P 引平行于OB 的直线和OA 相交于点C ，设∠AOP ＝θ，求△POC 面积的最大值及此时θ的值．答 案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中） 1．【答案】C 【解析】6A π=，3B π=，2C π=，132::sin :sin :sin 3222a b c A B C ===，故选C ． 2．【答案】B【解析】∵A B >，∴a b >，由正弦定理，得sin sin A B >，故选B ．3．【答案】D【解析】本小题考查内容为正弦定理的应用．∵2sin sin cos a A B b A +=，∴22sin sin sin cos A B B A A +=，sin B A =，∴b =，∴ba．故选D ． 4．【答案】A【解析】4sin 60⨯︒=<a <b sin A ，∴△ABC 不存在． 故选A ． 5．【答案】A【解析】∵222a b c =-，∴222a c b +-=，由余弦定理，得222cos 2a c b B ac +-===0°<B <180°，所以B ＝45°． 故选A ． 6．【答案】A【解析】由sin C B =及正弦定理，得c =，∴2226a b b -=， 即a 2＝7b 2．由余弦定理，2222222cos2b c a A bc +-===，又∵0°<A <180°，∴A ＝30°．故选A ． 7．【答案】B【解析】由1sin 2bc A =c ＝4．由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝13，故a =sin a A ==B ． 8．【答案】C【解析】本题主要考查正余弦定理，∵sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ， ∴由正弦定理得：a 2≤b 2＋c 2－bc ，即b 2＋c 2－a 2≥bc ，由余弦定理得：2221cos 222b c a bc A bc bc +-==≥=，∴03A π<≤，故选C ．9．【答案】D 【解析】∵sin sin b cB C =，∴sin sin c B C b ==． ∵0°＜C ＜180°．∴C ＝60°或120°，∴A ＝75°或15°．故选D ． 10．【答案】C【解析】∵b <c ，△ABC 为锐角三角形，∴边c 与边a 所对的角的余弦值大于0，即b 2＋a 2－c 2>0且b 2＋c 2－a 2>0，∴22140140a a ⎧+->⎪⎨+->⎪⎩．∴3<a 2<5，∴35a <<． 故选C ． 11．【答案】A【解析】由21cos cos 222A A b c c ++==，整理得cos bA c=．又222cos 2b c a A bc +-=， 联立以上两式整理得c 2＝a 2＋b 2，∴C ＝90°．故△ABC 为直角三角形．故选A ． 12．【答案】C【解析】在△ABC 中，设∠ACD ＝∠BCD ＝β，∠CAB ＝α，由∠A ∶∠B ＝1∶2，得∠ABC ＝2α．∵∠A <∠B ，∴AC >BC ，∴S △ACD >S △BCD ，∴S △ACD ∶S △BCD ＝3∶2，∴1sin 3212sin 2AC DC BC DC ββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，∴32AC BC =．由正弦定理得sin sin AC BC B A =，sin 2sin 2sin cos sin AC BC AC BCααααα=⇒=， ∴133cos 2224AC BC α==⨯=，即3cos 4A =．故选C ．二、填空题（本大题共4个小题，每空5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．815【解析】设△ABC 中，AB ＝AC ＝12，BC ＝6，由余弦定理222222121267cos 2212128AB AC BC A AB AC +-+-===⋅⨯⨯．∵()0,A ∈π，∴15sin A =，∴外接圆半径8152sin BC r A == 14．【答案】23π【解析】∵a 2＋b 2<c 2，∴a 2＋b 2－c 2<0，即cos C <0．又3sin C ，∴23C π∠=． 15．6【解析】∵a ＝3，26b =，∠B ＝2∠A ，由正弦定理326sin sin 2A A=， ∴2sin cos 26sin 3A A A =，∴6cos 3A =． 16．【答案】10 m【解析】画出示意图，如图所示，CO ＝10，∠OCD ＝40°，∠BCD ＝80°，∠ACB ＝45°， ∠AOB ＝30°，AB ⊥平面BCO ，令AB ＝x ，则BC ＝x ，3BO x ，在△BCO 中，由余弦定理得)()223100210cos 8040xx x =+-⨯⨯︒+︒，整理得25500x x -=-，解得10x =，5x =-(舍去)，故塔高为10 m ．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．【答案】（1）3B π=；（2）112b ≤<． 【解析】（1）由已知得()cos cos cos 3cos 0A B A B A B -++-=， 即有sin sin 3sin cos 0A B A B =． 因为sin A ≠0，所以sin 30B B =． 又cos B ≠0，所以tan 3B =．又0<B <π，所以3B π=． （2）由余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ． 因为a ＋c ＝1，1cos 2B =，有2211324b a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．又0<a <1，于是有2114b ≤<，即有112b ≤<． 18．【答案】（1）3A π=；（2）1sin 3C =． 【解析】（1）由题设知sin cos cos sin 2cos 66A A A ππ+=．从而sin 3A A ，所以cos A ≠0，tan A =．因为0<A <π，所以3A π=． （2）由1cos 3A =，b ＝3c 及a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝b 2－c 2， 故△ABC 是直角三角形，且2B π=．所以1sin cos 3C A ==． 19．【答案】（1）3A π=；（2）5sin sin 7B C =． 【解析】（1）由cos2A －3cos(B ＋C )＝1，得2cos 2A ＋3cos A －2＝0， 即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得1cos 2A =或cos A ＝－2(舍去)． 因为0<A <π，所以3A π=．（2）由11sin sin 223S bc A bc π====bc ＝20，又b ＝5，知c ＝4．由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋16－20＝21，故a =． 又由正弦定理得222035sin sin sin sin sin 2147b c bc B C A A A a a a =⋅==⨯=．20．【答案】（1）34C π=；（2）tan α＝1或tan α＝4．【解析】（1）因为222a b c +=，由余弦定理有222cos 2a b c C ab +-===34C π=． （2）由题意得()()2sin sin cos cos sin sin cos cos cos A A B B ααααα--，因此()()tan sin cos tan sin cos A A B B αα--=，()2tan sin sin tan sin cos cos sin cos cos A B A B A B A B αα-++=，()2tan sin sin tan sin cos cos A B A B A B αα-++=因为34C π=，4A B π+=，所以()sin A B +=因为cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ，即sin sin 52A B -=，解得sin sin 5210A B =-=．由①得tan 2α－5tan α＋4＝0，解得tan α＝1或tan α＝4． 21．【答案】（1）sin A ；（2）ABC S =△． 【解析】（1）由2C A π-=和A ＋B ＋C ＝π，得22A B π=-，04A π<<． ∴cos2A ＝sinB ，即2112sin 3A -=，∴sin A =．（2）由（1）得cos A sin sin BC AC A B =，∴sin 31sin 3AC ABC B===∵2C A π-=，∴2C A π=+，∴sin sin cos 2C A A π⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，∴11sin 22ABC S AC BC C =⋅⋅==△． 22．【答案】当θ＝30°时，S (θ)． 【解析】∵CP ∥OB ，∴∠CPO ＝∠POB ＝60°－θ，∠OCP ＝120°． 在△OCP 中，由正弦定理，得sin sin OP CP OCP θ=∠，即2sin120sin CPθ=︒，∴CP θ．又()2sin 60sin120CO θ=︒-︒，∴()60OC θ=︒-．故△POC 的面积是()1sin1202S CP CO θ=⋅⋅︒()()160sin si 2n 60θθθθ=︒-︒-()1sin sin 21cos 2602θθθθ⎫⎤=-︒=-⎪-⎥⎪⎝⎦⎭，()0,60θ∈︒︒， ∴当θ＝30°时，S (θ)单元测试题二一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．在ABC △中，若90C =︒，6a =，30B =︒，则c b -等于（ ）A ．1B ．1-C ．D ．-2．在ABC △中，3AB =，2AC =，BC =BA ·AC 等于（ ）A ．32-B ．23-C ．23D ．323．在△ABC 中，已知a =，b =A ＝30°，则c 等于（ ）A ．BC ．D ．以上都不对4．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ） A ．a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解 B ．b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解 C ．a ＝5，c ＝2，A ＝90°，无解 D ．a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解5．△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为（ ）A B C D ．6．在△ABC 中，2cos 22A b cc+⋅=(a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边)，则△ABC 的形状为（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．正三角形7．已知△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．若a c =A ＝75°，则b 等于（ ）A ．2B -C ．4-D ．4+8．在△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2＝0，a =7cos 8A =，则△ABC 的面积S 为（ ）A B C D ．9．在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，M 是BC 的中点，AM ＝4，则BC 等于（ ）A B C D10．若sin cos cos A B Ca b c==，则△ABC 是（ ） A ．等边三角形 B ．有一内角是30°的直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．有一内角是30°的等腰三角形11．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()222tan 3a c b B ac +-=，则角B 的值为（ ） A ．6π B ．3π C ．6π或56π D ．3π或23π12．△ABC 中，3A π=，BC ＝3，则△ABC 的周长为（ ） A ．43sin 33B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭B ．43sin 36B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭C ．6sin 33B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭D ．6sin 36B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．在△ABC 中，2sin sin sin a b cA B C--=________． 14．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2223a c b ac +-=， 则角B 的值为________．15．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．若a ＝1，3b =， A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________．16．钝角三角形的三边为a ，a ＋1，a ＋2，其最大角不超过120°，则a 的取值范围是________．三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(10分)如图所示，我艇在A 处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B 处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/小时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的时间．18．(12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别是a 、b 、c ，且4cos 5A =． （1）求2sin cos22B CA ++的值； （2）若b ＝2，△ABC 的面积S ＝3，求a ．19．(12分)如图所示，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 交AC 于E ，AB ＝2． （1）求cos ∠CBE 的值； （2）求AE ．20．(12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，3cos 5B =． （1）若b ＝4，求sin A 的值；（2）若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值．21．(12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ． （1）求A 的大小；（2）若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．22．(12分)已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量(),a b m =， ()sin ,sin B A =n ，()2,2b a --p =．（1）若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形； （2）若m ⊥p ，边长c ＝2，角3C π=，求△ABC 的面积．答 案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1．【答案】C【解析】tan 30ba=︒，tan30b a =︒=2c b ==，c b -= 故选C ． 2．【答案】A【解析】由余弦定理得22294101cos 2124AB AC BC A AB AC +-+-===⋅．∴13cos 3242AB AC AB AC A ⋅=⋅⋅=⨯⨯=．∴32BA AC AB AC ⋅=-⋅=-．故选A ．3．【答案】C【解析】∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴2515c c =+-． 化简得：2100c -+=，即(0c c -=，∴c =c = 故选C ． 4．【答案】D 【解析】A 中，因sin sin a b A B =，所以16sin30sin 18B ⨯︒==，∴90B =︒，即只有一解；B 中，20sin 60sin 18C ︒==c b >，∴C B >，故有两解； C 中，∵A ＝90°，a ＝5，c ＝2，∴b = 故A 、B 、C 都不正确．故选D ． 5．【答案】C【解析】设另一条边为x ，则2221232233x =+-⨯⨯⨯，∴29x =，∴3x =．设1cos 3θ=，则sin θ=．∴32sinR θ==，R =C ． 6．【答案】A【解析】由2cos cos 22A b c b A c c+⋅=⇒⋅=，又222cos 2b c a A bc +-⋅=， ∴b 2＋c 2－a 2＝2b 2⇒a 2＋b 2＝c 2，故选A ． 7．【答案】A【解析】()sin sin 75sin 3045A =︒=︒+︒， 由a ＝c 知，C ＝75°，B ＝30°．1sin 2B =．由正弦定理：4sin sin b aB A===．∴b ＝4sin B ＝2．故选A ．8．【答案】A【解析】由b 2－bc －2c 2＝0可得(b ＋c )(b －2c )＝0． ∴b ＝2c ，在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即22276448c c c =+-⋅．∴c ＝2，从而b ＝4．∴11sin 4222ABCS bc A ==⨯⨯△A ． 9．【答案】B【解析】设BC ＝a ，则2aBM MC ==． 在△ABM 中，AB 2＝BM 2＋AM 2－2BM ·AM ·cos ∠AMB ，即22217424cos 42aa AMB =+-⨯⨯⋅∠ ①在△ACM 中，AC 2＝AM 2＋CM 2－2AM ·CM ·cos ∠AMC即22216424cos 42aa AMB =++⨯⨯⋅∠ ②①＋②得：22222176442a +=++，∴a =B ．10．【答案】C 【解析】∵sin cos A Ba b=，∴a cos B ＝b sin A ， ∴2R sin A cos B ＝2R sin B sin A,2R sin A ≠0．∴cos B ＝sin B ，∴B ＝45°．同理C ＝45°，故A ＝90°．故C 选项正确． 11．【答案】D【解析】∵()222tan a c b B +-，∴222tan 2a c b B ac +-⋅=，即cos tan sin B B B ⋅=0<B <π，∴角B 的值为3π或23π．故选D ． 12．【答案】D 【解析】3A π=，BC ＝3，设周长为x ，由正弦定理知2sin sin sin BC AC ABR A B C ===， 由合分比定理知sin sin sin sin BC AB BC ACA ABC ++=++，=，∴()sin sin B A B x ⎤+++=⎥⎦，即3sin sin 3sin sin cos cos sin 333x B B B B B π⎤ππ⎛⎫⎫=+++=+++ ⎪⎪⎥⎝⎭⎭⎦133sin sin 3sin 22B B B B B ⎫⎫=+++=++⎪⎪⎪⎪⎭⎭136cos 36sin 26B B B ⎫π⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．故选D ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．【答案】0 14．【答案】6π【解析】∵222a cb +-=，∴222cos 2a c b B ac +-==6B π=． 15．【答案】1【解析】在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，A ＋C ＝2B ．∴3B π=． 由正弦定理知，sin 1sin 2a B A b ==．又a <b ．∴6A π=，2C π=．∴sin 1C =． 16．【答案】332a ≤< 【解析】由()()()()()()22222212120121212a a a a a a a a a a a ⎧⎪++>+⎪⎪++-+<⎨⎪++-+⎪≥-⎪+⎩，解得332a ≤<．三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．【答案】2小时．【解析】设我艇追上走私船所需时间为t 小时， 则BC ＝10t ，AC ＝14t ，在△ABC 中， 由∠ABC ＝180°＋45°－105°＝120°，根据余弦定理知：(14t )2＝(10t )2＋122－2·12·10t cos 120°，∴2t =． 答：我艇追上走私船所需的时间为2小时． 18．【答案】（1）5950；（2）a = 【解析】（1）()221cos 1cos 59sin cos2cos22cos 122250B C B C A A A A -++++=+=+-=． （2）∵4cos 5A =，∴3sin 5A =．由1sin 2ABC S bc A =△，得133225c =⨯⨯，解得c ＝5．由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得24425225135a =+-⨯⨯⨯=，∴a = 19．【答案】（1；（2）AE=．【解析】（1）∵∠BCD ＝90°＋60°＝150°，CB ＝AC ＝CD ， ∴∠CBE ＝15°．∴()cos cos 4530CBE ∠=︒-︒= （2）在△ABE 中，AB ＝2，由正弦定理得sin sin AE ABABE AEB=∠∠， 即()()2sin 4515sin 9015AE =︒-︒︒+︒，故122sin 30cos15AE ⨯︒===︒20．【答案】（1）2sin 5A =；（2）b =5c =． 【解析】（1）∵3cos 05B =>，且0<B <π，∴4sin 5B ==． 由正弦定理得sin sin a bA B=，42sin 25sin 45a B Ab ⨯===． （2）∵1sin 42ABC S ac B ==△，∴142425c ⨯⨯⨯=，∴5c =．由余弦定理得2222232cos 25225175b a c ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，∴b =21．【答案】（1）120A =︒；（2）△ABC 为等腰钝角三角形． 【解析】（1）由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ， 即a 2＝b 2＋c 2＋bc ．由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故1cos 2A =-，120A =︒．（2）方法一 由（1）得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ， 又A ＝120°，∴223sin sin sin sin 4B C B C ++=， ∵sin B ＋sin C ＝1，∴sin C ＝1－sin B ． ∴()()223sin 1sin sin 1sin 4B B B B +-+-=， 即21sin sin 04B B -+=．解得1sin 2B =．故1sin 2C =．∴B ＝C ＝30°． 所以，△ABC 是等腰的钝角三角形．方法二 由（1）A ＝120°，∴B ＋C ＝60°，则C ＝60°－B ， ∴sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin(60°－B) 11sin sin sin 22B B B B B =-=＝sin(B ＋60°)＝1， ∴B ＝30°，C ＝30°．∴△ABC 是等腰的钝角三角形．22．【答案】（1）见解析；（2）ABC S =△ 【解析】（1）证明 ∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B ，即22a ba b R R⋅=⋅， 其中R 是△ABC 外接圆半径，∴a ＝b ．∴△ABC 为等腰三角形． （2）解 由题意知m ·p ＝0，即a (b －2)＋b (a －2)＝0．∴a ＋b ＝ab ．由余弦定理可知，4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ， 即(ab )2－3ab －4＝0．∴ab ＝4(舍去ab ＝－1)，∴11sin 4sin 223ABC S ab C π==⨯⨯=△．。

第一章检测(B )(时间:90分钟 满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知腰长为定值的等腰三角形的最大面积为2,则等腰三角形的腰长为( ).A .12B.1 C.2D.3解析:设该等腰三角形的腰长为a ,顶角为θ,则该等腰三角形的面积为12a2sin θ,易知当θ=90°时,该等腰三角形的面积取得最大值12a2=2,则a=2,故腰长为2.答案:C2在△ABC 中,b =√3,c =3,B =30°,则a 的值为( ). A .√3B.2√3 C .√3或2√3D.2 解析:∵sin C =sinBb ·c =√32,∴C=60°或C=120°.∴A=90°或A=30°.当A=30°时,a=b =√3;当A=90°时,a =√b 2+c 2=2√3. 答案:C3在△ABC 中,∠ABC =π4,AB =√2,BC =3,则sin ∠BAC=( ).A .√1010B.√105C .3√1010 D.√55解析:在△ABC 中,由余弦定理得AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BC cos ∠ABC=2+9-2×√2×3×√22=5,即得AC =√5.由正弦定理AC sin∠ABC =BC sin∠BAC ,√5√22=3sin∠BAC ,所以sin ∠BAC =3√1010. 答案:C4在△ABC 中,A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a>b>c ,a 2<b 2+c 2,则A 的取值范围是( ).A .(π2,π)B.(π4,π2)C .(π3,π2)D.(0,π2)解析:cos A =b 2+c 2-a 22bc>0,∴A <π2.又a>b>c ,∴A>B>C.∴A >π3,故选C .答案:C5在△ABC 中,sin A =34,a =10,则边长c 的取值范围是( ).A .(152,+∞)B.(10,+∞)C.(0,10)D .(0,403]解析:由正弦定理得,asinA =csinC ,c =asinA ·sin C =1034sin C =403sin C ≤403.又c>0,故0<c ≤403.答案:D6路边一树干被台风吹断后,树尖与地面成45°角,树干也倾斜为与地面成75°角,树干底部与树尖着地处相距20 m,则折断点与树干底部的距离是( ).A .20√63mB.10√6 m C .10√63 mD.20√2 m解析:如图,设树干底部为O ,树尖着地处为B ,折断点为A ,则∠ABO=45°,∠AOB=75°,∴∠OAB=60°.由正弦定理知,AOsin45°=20sin60°,∴AO =20sin45°sin60°=20√63(m).答案:A7在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c.已知b=c ,a 2=2b 2(1-sin A ),则A=( ).A .3π4B.π3 C .π4D.π6解析:由余弦定理可得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,又因为b=c ,所以a 2=b 2+b 2-2b×b cos A=2b 2(1-cos A ). 由已知a 2=2b 2(1-sin A ), 所以sin A=cos A , 因为A ∈(0,π),所以A =π4. 答案:C8在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若tan A=7tan B ,a 2-b2c=3,则c 等于( ).A.4B.3C.7D.6解析:由tan A=7tan B ,得sinAcosA =7sinBcosB ,即sin A cos B=7sin B cos A ,所以sin A cos B+sin B cos A=8sin B cos A , 即sin(A+B )=sin C=8sin B cos A.由正、余弦定理可得c=8b ·b 2+c 2-a 22bc ,即c 2=4b 2+4c 2-4a 2.又a 2-b 2c=3,所以c 2=4c ,即c=4.答案:A9在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S,且2S=(a+b)2-c2,则tan C等于().A.34B.43C.−34D.−43解析:由2S=(a+b)2-c2,得2S=a2+b2+2ab-c2,即2×12absin C=a2+b2+2ab-c2,所以ab sin C-2ab=a2+b2-c2.由余弦定理可知cos C=a 2+b2-c22ab=absinC-2ab2ab=sinC2−1,所以cos C+1=sinC2,即2cos2C2=sin C2cos C2,所以ta n C2=2.所以tan C=2tan C21-tan2C2=2×21-22=−43.答案:D10甲船在B岛的正南方10 km处,且甲船以4 km/h的速度向正北方向航行,同时乙船自B岛出发以6 km/h的速度向北偏东60°的方向行驶,当甲、乙两船相距最近时它们航行的时间是().A.1507 minB.157hC.21.5 minD.2.15 h解析:如图,设经过x h 后甲船处于点P 处,乙船处于点Q 处,两船的距离为s ,则在△BPQ 中,BP=10-4x ,BQ=6x ,∠PBQ=120°,由余弦定理可知s 2=PQ 2=BP 2+BQ 2-2BP ·BQ ·cos ∠PBQ , 即s 2=(10-4x )2+(6x )2-2(10-4x )·6x ·cos120°=28x 2-20x+100.当x=−-202×28=514时s 最小, 此时x =514(h)=1507(min). 答案:A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.若b+c=2a ,3sin A=5sin B ,则角C= . 解析:∵3sin A=5sin B ,∴3a=5b.① 又∵b+c=2a ,②∴由①②可得,a =53b,c =73b,∴cos C =b2+a 2-c 22ab=b 2+(53b )2-(73b )22×53b×b =−12,∴C =2π3. 答案:2π312已知△ABC 的面积为S ,且|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |2=CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2S,则B = .解析:设AB=c ,BC=a ,AC=b ,则∵|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |2=CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2S, ∴a 2=ab cos C+ab sin C ,即a=b sin C+b cos C.由正弦定理得sin A=sin B sin C+sin B cos C. 又sin A=sin(B+C )=sin B cos C+cos B sin C ,∴sin B=cos B ,即tan B=1,B =π4. 答案:π413在△ABC 中,BC=1,B =π3,当△ABC 的面积等于√3时,sin C = . 解析:设AB=c ,AC=b ,BC=a ,则△ABC 的面积S =12acsin B =√3,解得c=4, 所以b =√a 2+c 2-2accosB =√13.所以cos C =a 2+b 2-c 22ab=−√1313.所以sin C =2√3913. 答案:2√391314在△ABC 中,已知b=1,sin C =35,bcos C +ccos B =2,则AC⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = . 解析:由余弦定理的推论知cos C =a 2+b 2-c 22ab,cos B =a 2+c 2-b22ac .∵b cos C+c cos B=2,∴a2+b2-c22a+a2+c2-b22a=2.∴a=2,即|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |=2.又b=1,∴|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=1.∵sin C=35,0°<C<180°,∴cos C=45或cos C=−45.∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ =85或AC⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ =−85.答案:85或−8515在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若1+tanAtanB =2cb,则A=.解析:由正弦定理,得2cb =2sinCsinB.又因为1+tanAtanB =tanB+tanAtanB=sinBcosA+cosBsinAsinBcosA=sin(A+B)sinBcosA=sinCsinBcosA,所以sinCsinBcosA =2sinCsinB.则cos A=12.又因为0°<A<180°,所以A=60°.答案:60°三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)在△ABC 中,已知AB=2,AC=3,A=60°. (1)求BC 的长; (2)求sin 2C 的值.解(1)由余弦定理知,BC 2=AB 2+AC 2-2AB ·AC ·cos A=4+9-2×2×3×12=7,所以BC =√7.(2)由正弦定理知,AB sinC =BCsinA ,所以sin C =ABBC ·sin A =√7=√217.因为AB<BC ,所以C 为锐角,则cos C =√1-sin 2C =√1-37=2√77. 因此sin2C=2sin C ·cos C=2×√217×2√77=4√37. 17(8分)在△ABC 中,∠A =3π4,AB =6,AC =3√2,点D 在BC 边上,AD =BD,求AD 的长. 解设△ABC 的内角A ,B ,C 所对边的长分别是a ,b ,c.由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos ∠BAC=(3√2)2+62−2×3√2×6×cos 3π4=18+36−(−36)=90,所以a=3√10.又由正弦定理得sin B =bsin∠BACa=3√10=√1010,由题设知0<B <π4,所以cos B =√1-sin 2B =√1-110=3√1010.在△ABD 中,由正弦定理得AD =AB ·sinB sin (π-2B )=6sinB 2sinBcosB=3cosB=√10.18(9分)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a>c.已知BA⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2,cos B =13,b =3,求: (1)a 和c 的值; (2)cos(B-C )的值.解(1)由BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2得c ·a cos B=2.又cos B =13,所以ac=6.由余弦定理,得a 2+c 2=b 2+2ac cos B. 又b=3,所以a 2+c 2=9+2×2=13.解{ac =6,a 2+c 2=13,得a=2,c=3或a=3,c=2.因为a>c ,所以a=3,c=2. (2)在△ABC 中,sin B =√1-cos 2B=√1-(13)2=2√23,由正弦定理,得sin C =cb sin B =23×2√23=4√29. 因为a=b>c ,所以C 为锐角,因此cos C =√1-sin 2C =√1-(4√29)2=79.于是cos(B-C )=cos B cos C+sin B sin C=13×79+2√23×4√29=2327.19(10分)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.已知a-c =√66b,sin B =√6sin C. (1)求cos A 的值;(2)求co s (2A -π6)的值.解(1)在△ABC 中,由b sinB =c sinC ,及sin B =√6sin C ,可得b =√6c.又由a-c =√66b,有a=2c.所以cos A =b 2+c 2-a 22bc =2222√6c 2=√64. (2)在△ABC 中,由cos A =√64,可得sin A =√104.于是cos2A=2cos 2A-1=−14,sin 2A=2sin A ·cos A =√154.所以co s (2A -π6)=cos 2A ·co s π6+sin 2A ·si n π6=√15-√38.20(10分)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.已知a=3,cos A =√63,B =A +π2. (1)求b 的值;(2)求△ABC 的面积.解(1)在△ABC 中,由题意知sin A =√1-cos 2A =√33,又因为B=A +π2,所以sin B=si n (A +π2)=cos A =√63.由正弦定理可得b=asinBsinA=3×√63√33=3√2.(2)由B=A+π2,得cos B=co s(A+π2)=−sin A=−√33.由A+B+C=π,得C=π-(A+B),所以sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B) =sin A cos B+cos A sin B=√33×(-√33)+√63×√63=13.因此△ABC的面积S=12absin C=12×3×3√2×13=3√22.。

第一章 解三角形测评(B 卷)(总分：120分 时间：90分钟)第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．在△ABC 中，角A 、B 的对边分别为a 、b ，且A ＝60°，a ＝6，b ＝4，那么满足条件的△ABCA ．有一个解B ．有两个解C ．无解D ．不能确定答案：C 根据正弦定理，sinB ＝bsinA a ＝4sin60°6＝2>1，此时角B 不存在．2. 如图，斜坡上有一铁塔AB ，在塔底B 处测得坡底C 的俯角为30°，已知塔高AB=6m ，斜坡BC=10m ，则塔顶A 与坡底C 的距离为A ．12mB ．13mC ．14mD ．132m 答案：C 在△ABC 中，∠ABC ＝30°＋90°＝120°.根据余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB·BCcos ∠ABC ＝36＋100－2×6×10cos120°＝196，所以AC ＝14 m.3．在△ABC 中，已知角A 、B 、C 的对边的长分别为a 、b 、c ，且a ＝2，b ＝3，C ＝120°，则sinA 的值为A.5719B.217C.338D.173答案：A 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝4＋9－2×2×3×(－12)＝19，∴c ＝19.根据正弦定理，得sinA ＝asinC c ＝2sin120°19＝5719.4．在△ABC 中，三内角分别是A 、B 、C ，若sinC ＝2cosAsinB ，则此△ABC 一定是 A ．直角三角形 B ．正三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形 答案：C 方法一：由已知得c2R ＝2·b 2＋c 2－a 22bc ·b 2R， 整理得a 2＝b 2，∴a ＝b.∴△ABC 为等腰三角形． 方法二：sinC ＝sin[π－(A ＋B)]＝sin(A ＋B) ＝sinAcosB ＋cosAsinB ＝2cosAsinB ， ∴sinAcosB －cosAsinB ＝0，即sin(A －B)＝0.而A －B ∈(－π，π)， ∴A ＝B.∴△ABC 为等腰三角形． 5．在△ABC 中，角A ＝15°、B ＝30°，角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，且b ＝1，则△ABC 的面积为A.3＋12 B.3－12 C.3－14 D.3＋14答案：C 由1sin30°＝csin135°，得c ＝2，又sin15°＝sin(45°－30°)＝6－24，所以S △ABC ＝12bcsinA ＝12×1×2×6－24＝3－14.6．在△ABC 中，若(a ＋b ＋c)(b ＋c －a)＝3bc ，并且有sinA ＝2sinBcosC ，那么△ABC 为 A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形答案：B 由(a ＋b ＋c)(b ＋c －a)＝3bc ，整理得b 2＋c 2－a 2＝bc.∴cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.∴A ＝60°.又∵sinA ＝2sinBcosC ， ∴sin(B ＋C)＝2sinBcosC ，即cosBsinC ＝sinBcosC ，即sin(B －C)＝0. 又∵B 、C 为三角形内角，∴B ＝C. 故三角形为正三角形．7．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．如果2b ＝a ＋c ，B ＝30°，△ABC的面积为32，那么b 等于A. 3 B ．1＋ 3 C ．2＋ 3 D ．2＋3 3答案：B ∵S △ABC ＝12acsinB ＝12acsin30°＝32，∴ac ＝6.①又∵B ＝30°，∴cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32.∴a 2＋c 2－b 2＝6 3.②将方程①②与2b ＝a ＋c 联立方程组，解得b ＝1＋ 3.8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,4sin 2A ＋B 2－cos2C ＝72，a ＋b ＝5，c ＝7，则△ABC 的面积为A.332B ．2C ．33D ．4答案：A 由4sin 2A ＋B 2－cos2C ＝72，得4cos 2C 2－cos2C ＝72.∴41＋cosC 2－(2cos 2C －1)＝72.整理得4cos 2C －4cosC ＋1＝0，解得cosC ＝12，∴C ＝60°.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ， 即7＝a 2＋b 2－ab.①又a ＋b ＝5，∴a 2＋b 2＋2ab ＝25.② 由①②联立，解得ab ＝6.∴S △ABC ＝12absinC ＝12×6×32＝332.9．甲船在岛B 的正南方A 处，AB ＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是A.1507分钟B.157分钟 C ．21.5分钟 D ．2.15分钟答案：A 设t 小时后，甲、乙两船相距l 千米，此时甲离B 岛(10－4t)千米，乙离B 岛6t 千米．根据余弦定理，l 2＝(10－4t)2＋(6t)2－2(10－4t)×6tcos120°＝28t 2－20t ＋100.当t ＝202×28＝514小时＝1507分钟时，甲、乙两船相距最近．10．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 所对应的边，∠C ＝90°，则a ＋bc的取值范围是A ．(1,2)B ．(1，2)C ．(1，2]D ．[1，2] 答案：C 由正弦定理，可知 a ＋b c ＝sinA ＋sinB sinC ＝sinA ＋sinB ＝sinA ＋cosA ＝2sin(A ＋π4)．∵0<A<π2， ∴A ＋π4∈(π4，3π4)，sin(A ＋π4)∈(22，1]．∴2sin(A ＋π4)∈(1，2]，即a ＋b c∈(1，2]．第Ⅱ卷(非选择题 共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案需填在题中横线上)11. 如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A 、B ，灯塔B 位于灯塔A 的正南方向，海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A 的北偏西75°方向，与A 相距3 海里的D 处；乙船位于灯塔B 的北偏西60°方向，与B 相距5海里的C 处，则两艘船之间的距离为 海里．答案：13 连接AC ，易得△ABC 为等边三角形．在△ACD 中，AC=5，AD=32，∠CAD=180°－75°－60°=45°. 由余弦定理得CD 2＝52＋(32)2－2×5×32cos45°＝13，∴CD ＝13(海里)． 12．三角形的三条边长分别为t 2＋t ＋1，t 2－1,2t ＋1，则三角形的最大内角为__________．答案：120° 由边长为正数知t ＞1，易知t 2＋t ＋1为最大数，且 t 2＋t ＋1＜t 2＋2t ＝(t 2－1)＋(2t ＋1)，故以t 2＋t ＋1、t 2－1、2t ＋1为边可作三角形，若A 是最大角，则cosA ＝(t 2－1)2＋(2t ＋1)2－(t 2＋t ＋1)22(t 2－1)(2t ＋1)＝－12，所以A ＝120°.13．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且acosB －bcosA ＝35c ，则tanAtanB的值为__________.答案：4 由正弦定理得sinAcosB －sinBcosA ＝35sinC ，即sinAcosB －sinBcosA ＝35sin(A＋B)，∴sinAcosB －sinBcosA ＝35sinAcosB ＋35sinBcosA ，∴25sinAcosB ＝85sinBcosA. 则tanA tanB ＝sinA·cosB cosA·sinB＝4. 14．已知圆内接四边形ABCD 的边长AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，则四边形ABCD 的面积为__________．答案：83如图，连接BD ，则四边形ABCD 的面积S=S △ABD +S △CBD =21AB ·ADsinA+21BC ·CDsinC. ∵A+C=π，sinA=sinC ， ∴S=21(AB ·AD+BC ·CD)sinA=16sinA. 由余弦定理，在△ABD 中，BD 2=20－16cosA. 在△CBD 中，BD 2=52－48cosC ，∴20－16cosA=52－48cosC. 又cosA=－cosC ， ∴cosA=－21，A=32 .则S=16sinA=83.三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答应写出必要的文字说明、解题步骤或证明过程)15. (本小题满分10分)(2009海南、宁夏高考，理17)为了测量两山顶M ，N 间的距离，飞机沿水平方向在A ，B 两点进行测量．A ，B ，M ，N 在同一个铅垂平面内(如示意图)．飞机能够测量的数据有俯角和A ，B 间的距离．请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M ，N 间的距离的步骤．答案：解法一：①需要测量的数据有：A 点到M ，N 点的俯角α1，β1；B 点到M ，N 的俯角α2，β2；A ，B 的距离为d(如图所示)．②第一步：计算AM.由正弦定理AM ＝dsinα2sin(α1＋α2)；第二步：计算AN.由正弦定理AN ＝dsinβ2sin(β2－β1)；第三步：计算MN.由余弦定理MN ＝AM 2＋AN 2－2AM ×ANcos(α1－β1). 解法二：①需要测量的数据有：A 点到M ，N 点的俯角α1，β1；B 点到M ，N 点的俯角α2，β2；A ，B 的距离d(如图所示)．②第一步：计算BM.由正弦定理BM ＝dsinα1sin(α1＋α2)；第二步：计算BN.由正弦定理BN ＝dsinβ1sin(β2－β1)；第三步：计算MN.由余弦定理MN ＝BM 2＋BN 2＋2BM ×BNcos(β2＋α2).16．(本小题满分10分)(2009湖北高考，文16)在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且3a ＝2csinA.(1)确定角C 的大小；(2)若c ＝7，且△ABC 的面积为332，求a ＋b 的值．答案：(1)解：由3a ＝2csinA 及正弦定理得 a c ＝2sinA 3＝sinA sinC . ∵sinA ≠0，∴sinC ＝32. ∵△ABC 是锐角三角形，∴C ＝π3.(2)解法一：∵c ＝7，C ＝π3，由面积公式得12absin π3＝332，即ab ＝6.①由余弦定理得a 2＋b 2－2abcos π3＝7，即a 2＋b 2－ab ＝7.②由②变形得(a ＋b)2＝3ab ＋7.③将①代入③得(a ＋b)2＝25，故a ＋b ＝5. 解法二：前面同解法一，联立①②得 ⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－ab ＝7ab ＝6⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝13，ab ＝6，消去b 并整理得a 4－13a 2＋36＝0， 解得a 2＝4或a 2＝9.所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2.故a ＋b ＝5.17．(本小题满分10分)在△ABC 中，已知A ＞B ＞C ，且A ＝2C ，b ＝4，a ＋c ＝8，求a 、c 的长．答案：解：由正弦定理，得a sinA ＝csinC.∵A ＝2C ，∴a sin2C ＝csinC.∴a ＝2ccosC.又a ＋c ＝8，∴cosC ＝8－c2c.①又由余弦定理及a ＋c ＝8，得cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋42－c 28a ＝(8－c)2＋42－c 28(8－c)＝10－2c 8－c .②由①②知8－c 2c ＝10－2c8－c ，整理得5c 2－36c ＋64＝0.∴c ＝165或c ＝4(舍)．∴a ＝8－c ＝245.故a ＝245，c ＝165.18．(本小题满分12分) 如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里．问乙船每小时航行多少海里？答案：解：如图，连接A 1B 2，因为A 2B 2＝102，A 1A 2＝2060×302＝102，∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°，所以△A 1A 2B 2是等边三角形，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°.在△A 1B 2B 1中，由余弦定理，得B 1B 22＝A 1B 12＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2cos45°＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200， B 1B 2＝10 2.因此乙船的速度的大小为10220×60＝302，即乙船每小时航行302海里．19．(本小题满分12分)已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，关于x 的方程ax 2－2c 2－b 2x －b ＝0(a>c>b)的两根之差的平方等于4，△ABC 的面积S ＝103，c ＝7.(1)求角C ；(2)求a 、b 的值．答案：解：(1)设x 1，x 2为方程ax 2－2c 2－b 2x －b ＝0的两根，则x 1＋x 2＝2c 2－b 2a，x 1·x 2＝－b a.∴(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4(c 2－b 2)a 2＋4b a＝4.∴a 2＋b 2－c 2＝ab.又cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab，∴cosC ＝12.∴C ＝60°.(2)由S ＝12absinC ＝103，∴ab ＝40.①由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ， 得c 2＝(a ＋b)2－2ab(1＋cos60°)，∴72＝(a ＋b)2－2×40×(1＋12)．∴a ＋b ＝13.②由①②，得a ＝8，b ＝5.。

第一章 解三角形测评(B 卷)(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分)1．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，∠A＝π3，a ＝3，b ＝1，则c 等于A ．1B ．2 C.3－1 D. 3 答案：B 由题意，得3sin60°＝1sinB ，∴sinB ＝12.∵a>b ，∴∠A>∠B. ∴∠A ＝π6.∴∠C ＝π－π6－π3＝π2.由c sinC ＝b sinB，得c ＝2b ＝2. 2．在锐角△ABC 中，设x ＝sinA·sinB，y ＝cosA·cosB，则x ，y 的大小关系为 A ．x≤y B ．x<y C ．x>y D ．x≥y答案：C y －x ＝－sinA·sinB＋cosA·cosB＝cos(A ＋B)，由题意可知A ＋B>90°， ∴cos(A ＋B)<0， ∴y<x.3．设A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，且tanA ，tanB 是方程3x2－5x ＋1＝0的两个实数根，则△ABC 是A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定答案：A 由已知可得tanA ＋tanB ＝35，tanA·tanB＝13，∴tanC ＝－tan(A ＋B)＝－tanA ＋tanB 1－tanA·tanB ＝－910<0.∴∠C 为钝角．∴△ABC 为钝角三角形．4．在△ABC 中，∠A＝60°，AC ＝16，面积为2203，那么BC 的长度为 A ．25 B ．51 C ．49 3 D ．49答案：D ∵S △ABC ＝12AB·AC·sin60°＝43·AB＝2203，∴AB ＝55.再由余弦定理得BC2＝162＋552－2×16×55×cos60°＝2 401. ∴BC ＝49.5．△ABC 的周长为20，面积为103，∠A＝60°，则BC 的长为 A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 答案：C 设AB 的对边为c ，BC 的对边为a ，AC 的对边为b.由题意，得12bc·sinA＝103，∴bc ＝40.又a ＋b ＋c ＝20，∴b ＋c ＝20－a.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos60°＝(b ＋c)2－3bc ＝(20－a)2－3×40，即a2＝(20－a)2－120，解得a ＝7.6．在△ABC 中，已知b2－bc －2c2＝0且a ＝7，cosA ＝79，则三角形的面积是A.28217 B ．28 2 C ．4 D ．5答案：A 由b2－bc －2c2＝0，可得(b －2c)(b ＋c)＝0，可得b ＝2c ，又因为a2＝b2＋c2－2bccosA ，则可得7＝4c2＋c2－2×2c ×c ×79，解之，得c ＝3717.所以b ＝6717，S △ABC ＝12×3717×6717×1－(79)2＝28217.7．在△ABC 中，cos2B 2＝a ＋c2c (a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边)，则△ABC 的形状为A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形 答案：B ∵cos2B 2＝a ＋c2c，∴1＋cosB 2＝a ＋c2c ，整理可得a ＝ccosB ，由正弦定理可得sinA ＝sinC·cosB，∴sin(B ＋C)＝sinC·cosB.∴cosB·sinC＝0，解之得cosB ＝0或sinC ＝0(舍去)．∴∠B ＝π2.∴△ABC 为直角三角形．8．在△ABC 中，A B ·B C ＝3，△ABC 的面积S∈[32，32]，则A B 与B C 夹角的范围是 A ．[π4，π3] B ．[π6，π4] C ．[π6，π3] D ．[π3，π2]答案：B 设〈A B ，B C 〉＝α，∵A B ·B C ＝|A B |·|B C |·cos α＝3⇒|A B |·|B C |＝3cos α，又S ＝12·|A B |·|B C |·sin(π－α)＝12·3cos α·sin(π－α)＝32tan α，而32≤S ≤32⇒32≤32tan α≤32⇒33≤tan α≤1⇒π6≤α≤π4. 9．在△ABC 中，已知∠A＝60°，b ＝43，为使此三角形只有一个，a 满足的条件是 A ．0<a<4 3 B ．a ＝6 C ．a≥43或a ＝6 D ．0<a≤43或a ＝6答案：C 三角形有唯一解时，即由a ，b ，∠A 只能确定唯一的一个三角形，∴a ＝bsinA 或a ≥b ，即a ＝b 或a ≥4 3.10．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的三边分别为a 、b 、c ，若△ABC 的面积S ＝c2－(a －b)2，则tan C2等于A.12B.14C.18D ．1 答案：B 由题意可知S ＝c2－(a －b)2＝c2－a2－b2＋2ab ＝2ab －2abcosC ＝12absinC ，∴sinC ＋4cosC ＝4，即2sin C 2·cos C 2＋4[2cos2C2－1]＝4，即2sin C 2·cos C 2＋8cos2C 2sin2C 2＋cos2C 2＝8，得2tan C 2＋8tan2C 2＋1＝8，得tan C 2＝14.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分)11．如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D.测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD ＝30米，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB ＝__________.答案：15 6 由已知可得∠DBC ＝135°，在△ABC 中，由正弦定理，可得BC sin30°＝DCsin135°，∴BC ＝DC ·sin30°sin135°＝30·sin30°sin135°＝15 2.∴AB ＝BC·tan60°＝152×3＝156.12．飞机沿水平方向飞行，在A 处测得正前方地面目标C 的俯角为30°，向前飞行10 000 m ，到达B 点，此时测得目标C 的俯角为75°，这时飞机与地面目标的距离为__________． 答案：5 000 2 m 如图，AB ＝10 000，∠A ＝30°，∠ABC ＝180°－75°＝105°，∠ACB＝45°，则BC ＝10 000·sin30°sin45°＝5 000 2.13．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，且AB ＝1，BC ＝4，则BC 边上的中线AD的长为__________．答案： 3 ∵∠A 、∠B 、∠C 成等差数列， ∴2∠B ＝∠A ＋∠C.又∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°， ∴∠B ＝60°. 在△ABD 中，AD ＝AB2＋BD2－2AB·BD·cosB＝1＋4－2×1×2×12＝ 3.14．对于△ABC，有如下命题：①若sin2A ＝sin2B ，则△ABC 为等腰三角形；②若sinA ＝cosB ，则△ABC 为直角三角形；③若sin2A ＋sin2B ＋cos2C<1，则△ABC 为钝角三角形．其中正确命题的序号是__________．(把你认为所有正确的都填上)答案：③ 对①，由sin2A ＝sin2B 可得∠A ＝∠B 或2∠A ＝π－2∠B ， 即∠A ＝∠B 或∠A ＋∠B ＝π2，∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形，故①不对； 对②，由sinA ＝cosB 得∠A －∠B ＝π2或∠A ＋∠B ＝π2，∴△ABC 不一定是直角三角形；对③，由sin2A ＋sin2B<1－cos2C ＝sin2C ，得a2＋b2<c2，∴△ABC 为钝角三角形．三、解答题(本大题共5个小题，共54分)15．(10分)(全国高考卷Ⅱ，文18)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，cos(A －C)＋cosB ＝32，b2＝ac ，求B.答案：解：由cos(A －C)＋cosB ＝32及∠B ＝π－(∠A ＋∠C)，得cos(A －C)－cos(A ＋C)＝32.cosAcosC ＋sinAsinC －(cosAcosC －sinAsinC) ＝32，sinAsinC ＝34. 又由b2＝ac 及正弦定理得sin2B ＝sinAsinC ，故sin2B ＝34，sinB ＝32或sinB ＝－32(舍去)，于是，∠B ＝π3或∠B ＝2π3.又由b2＝ac 知b ≤a 或b ≤c ，所以∠B ＝π3.16．(10分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边长，S 为△ABC 的面积，且4sinBsin2(π4＋B2)＋cos2B ＝1＋ 3. (1)求∠B 的度数；(2)若a ＝4，S ＝53，求b 的值．答案：解：(1)由已知得2sinB[1－cos(π2＋B)]＋(1－2sin2B)＝1＋3，即2sinB(1＋sinB)＋1－2sin2B ＝1＋3，sinB ＝32，又0°<∠B<180°， ∴∠B ＝60°或120°.(2)由S ＝12acsinB ＝53，得c ＝5，当∠B ＝60°时，b2＝a2＋c2－2accosB ＝21， ∴b ＝21；当∠B ＝120°时，b2＝a2＋c2－2accosB ＝61， ∴b ＝61.综上，b ＝21或61.17.(10分)(江西高考，文19)在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A ＝π6，(1＋3)c ＝2b. (1)求角C ；(2)若CB ·CA ＝1＋3，求a ，b ，c.答案：解：(1)由(1＋3)c ＝2b ，得b c ＝12＋32＝sinBsinC ，则有sin(π－π6－C)sinC ＝sin 5π6cosC －cos 5π6sinCsinC＝12cotC ＋32＝12＋32， 得cotC ＝1，即∠C ＝π4.(2)由CB ·CA ＝1＋3，推出abcosC ＝1＋3； 而∠C ＝π4，即得22ab ＝1＋3，则有⎩⎪⎨⎪⎧22ab ＝1＋3，(1＋3)c ＝2b ，a sinA ＝c sinC .解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1＋3，c ＝2.18．(12分)如图，在△ABC 中，AC ＝b ，BC ＝a ，a ＜b ，D 是△ABC 内一点，且AD ＝a ，∠ADB ＋∠C＝180°，问∠C 为何值时，凹四边形ADBC 的面积最大？并求出最大值． 答案：解：设BD ＝x ，在△ABC 和△ABD 中， 根据余弦定理，得AB2＝a2＋b2－2abcosC ，AB2＝a2＋x2－2axcos ∠ADB ＝x2＋a2＋2axcosC ， ∴a2＋b2－2abcosC ＝x2＋a2＋2axcosC ， 即x2＋2axcosC ＋(2acosC －b)b ＝0. 解得x ＝b －2acosC 或x ＝－b(舍去)． 于是四边形ADBC 的面积 S ＝S △ABC －S △ABD ＝12absinC －12axsin ∠ADB ＝12absinC －12a(b －2acosC)sinC ＝12a2sin2C ， ∴当∠C ＝45°时，四边形ADBC 的面积最大，最大值为12a2，此时BD ＝b －2a.19．(12分)某人沿着电视发射塔P 一侧的直路散步，开始时他在A 处遥望电视塔在东北方向，行走1 km 后到达B 处，此时遥望电视塔在正东方向，随后又行走1 km 后到达C 处，此时遥望电视发射塔在南偏东60°方向，求塔与直路的距离．答案：解：如图，在△APB 、△BPC 中，AB ＝BC ，sin ∠CBP ＝sin ∠PBA. 根据正弦定理可得PC sin ∠CBP ＝BC sin ∠CPB ，PA sin ∠PBA ＝BAsin ∠BPA，所以==sin45°sin30°＝ 2.所以PC ＝2PA.在△PAC 中，由余弦定理得AC2＝PA2＋PC2－2PA·PC·cos75°， 即22＝PA2＋2PA2－22PA2·6－24，解之，得PA2＝4(4＋3)13.过P 作PD ⊥AC ，垂足为D ，则线段PD 的长为塔到直线的距离． 在△PAC 中，根据面积相等，可得12AC·PD＝12PA·PC·sin75°，PD ＝PA·PC·sin75°AC ＝2PA2·sin75°2＝22×4(4＋3)13×6＋24＝7＋5313.。