第二十一章 二次根式3

第二十一章 二次根式知识点归纳1．定义：形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式。

2．二次根式a 有意的条件：3．性质：（1）双重非负性：即a ≥0且a ≥0（2）⎩⎨⎧<-≥==0,0,2a a a a a a（3）2)(a =a (a ≥0)4．同类二次根：被开方数相同的二次根式最简同类二次根式：⎩⎨⎧尽的因数或因式被开方数不含开方开得或分母不含根号被开方数不含分母）（5．把根号外面的因数或因式移到根号内：()()()⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=--=≥≥=0,00,0222b a b a b a b a b a b a b a 6．二次根式的大小比较：先把根号外的因数或因式全部移到根号内，再进行大小比较。

7．分母有理化： （1）()01>=∙=a a aa a a a（2）()()()0,0,01≠-≥≥-+=+-+=-b a b a ba ba ba ba ba b a（3）()()()0,0,01≠-≥≥--=-+-=+b a b a ba ba ba ba b a ba8．运算法则：（1）加减法则：将二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式（2）乘除法则：()()⎪⎩⎪⎨⎧<≥=≥≥=∙0,00,0b a b ab a b a ab b a （3）混合运算法则。

复习题1．已知a, b, c 满足04122212=+-+++-c c c b b a ，求)(c b a +-的值。

2．已知y=32552--+-x x ，求2xy 的值。

3．已知a （a －3）≤0，若b=2－a ，求b 的取值范围。

4．已知点P （x,y ）在函数x xy -+=21的图象上，那么点P 应在平面直角坐标系中的哪个像限？ 5．若()a a 21122-=-，求a 的取值范围。

6．已知实数a, b, c 满足32388++-+--=--+-+c b a c b a b a b a 请问：长度分别为a, b, c 的三条线段能否构成一个三角形？若能，求出该三角形的面积。

21．1 二次根式（1）一、学习目标:1.a≥0）的意义解答具体题目．2.要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数二、学习重难点：1a≥0）的式子叫做二次根式的概念；2．难点与关键：利用a≥0）”解决具体问题．三、学习过程（一）、复习引入1．2549的平方根是，算术平方根是；13的算术平方根是。

2．正方形的面积是10，其边长是；3．已知反比例函数y=3x，那么它的图象在第一象限横、•纵坐标相等的点的坐标是多少？（二）、探索新知1．二次根式定义；都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式，形如叫做二次根式，称为二次根号．例11xx>0）-1x y+x≥0，y•≥0）．2．练习：1．下列式子中，一定是二次根式的是（）A．BCD．x2．下列式子中，不是二次根式的是（）ABCD．1x3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）A．5 BC．15D．以上皆不对4.（1）形如的式子叫做二次根式；（2）面积为a的正方形的边长为________；（3）负数________平方根．例2．当x在实数范围内有意义？例3．当x11x+在实数范围内有意义？例4(1)已知y=，求xy的值；(2)=0，求a2010+b2010的值．拓展提高1x有（）个．A．0 B．1 C．2 D．无数2．3．当x是多少时，x+x2在实数范围内有意义？4．已知a、b=b+4，求a、b的值．21．1 二次根式（2）一、学习目标:1．a ≥02=a （a ≥0），并利用它们进行计算和化简． 2a ≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导2=a （a ≥0）；反之:a =2（a ≥0）， 最后运用结论严谨解题． 二、学习重难点；1a ≥0）是一个非负数；2=a （a ≥0）及其运用． 2．难点、关键：用分a ≥0）是一个非负数；•2=a （a ≥0）． 三、学习过程 （一）、复习引入1．什么叫二次根式？ 2．当a ≥0a <0（二）、探究新知 议一议：a ≥0）是一个什么数呢？你能解决吗？ ⑴=0，求x y = ． ⑵ 已知：232510a c c -+=，求,,a b c 的值？做一做： 根据算术平方根的意义填空：2=_______；2=_______；2=______；2=_______；2=______；2=_______；2=_______． 44的非负数，因2=4．所以反之（三）、学以致用 例1 计算： ⑴2 ⑵（2⑶2 ⑷）2例2 计算：（1）2（x ≥0）； （2） 2 （3）2 ；例3 在实数范围内分解下列因式:（1）x 2-3 （2）x 4-4(3) 2x 2-3⑷23x -+（四）、巩固练习：1.（ ）． A ．4 B ．3 C ．2 D ．12.数a 没有算术平方根，则a 的取值范围是（ ）．A ．a >0B ．a ≥0C ．a <0 D ．a =03. ⑴（2=________． （2x 是一个_______数． 4．计算（1）2 （2）-2（3）（122 （4）（ 2(5)5．在实数范围内分解下列因式:（1）x 2-2 （2）x 4-9 ⑶ 3x 2-521．1 二次根式（3）一、学习目标：1.a（a≥0）并利用它进行计算和化简；2.a（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．二、学习重难点：1a（a≥0）．2．难点：探究结论．三、学习过程（一）、复习引入1．形如叫做二次根式；2a≥0）是一个；3．2＝．那么，我们猜想当a≥0a是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．（二）、探究新知根据算术平方根的意义填空：=___=___=___=___；=___．因此，（三）、学以致用例1 化简（1（2（3（4例2 填空：当a≥0；当a<0，•并根据这一性质回答下列问题．（1）a，则a可以是什么数？（2）a，则a可以是什么数？（3a，则a可以是什么数？因此例3当x>2（四）、巩固练习：1.）．A．0 B．23C．423D．以上都不对2.当a≥0）．ABCD．3. ⑴；（2）则正整数m的最小值是________．4.先化简再求值：当a=9时，求a甲的解答为：原式=a=a+（1-a）=1；乙的解答为：原式=a=a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．（五）、拓展提高1. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2. 与的异同点21．2 二次根式的乘除（1）一、学习目标：1a≥0，b≥0）a≥0，b≥0），2.a≥0，b≥0）并运用它进行计算；•利用逆（a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．二、学习重难点；1.a≥0，b≥0）a≥0，b≥0）及它们的运用．2.a≥0，b≥0）．3.a<0,b<0），三、学习过程（一）、复习引入：1．计算并观察：（1=______；（2．（3．由此可得……（二）、探索新知一般地，对二次根式的乘法规定为：＝反过来:=（三）、学以致用例1．计算：（1（2（3（4例2 化简：（1（2（3（4例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1=（2（四）、巩固练习：1.计算⑵2. 化简:⑵⑶3.化简）．ABC．D．4=）A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-15.下列各等式成立的是（）．A．B．C．D．6.自由落体的公式为S=12gt2（g为重力加速度，它的值为10m/s2），若物体下落的高度为720m，则下落的时间是_________．7.一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，•现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？21．2 二次根式的乘除（2）一、学习目标：1.a≥0，b>0a≥0，b>0）及利用它们进行运算；2.理解分母有理化的概念，并运用它把二次根式化简．二、学习过程（一）、复习引入：1．二次根式的乘法规定及逆向等式；2．填空（1；（2=________；（3；（4=________．（二）、探索新知知识点一：二次根式的除法一般地，对二次根式的除法规定a≥0，b>0），a≥0，b>0）（三）、学以致用例1．计算：（1= （2= （3= （4例2．化简：（1（2（3= （4=例3 计算（1（2（3(4)【注意】分母有理化：某些二次根式的除法运算中，通常是采用化去分母中的根号的方法来进行的。

章复习第21章二次根式一、二次根式1、二次根式的概念一般地，把形如______的式子叫做二次根式，“______”叫做二次根号，______叫做被开方数.注：被开方数a可以是数，也可以是代数式（整式、分式），但a必须____________.2、二次根式的意义与性质⑴意义：二次根式实际上就是指非负数a的____________．a≥是一个______数；②____________；③____________．(0)注：①2(0)=≥可逆用平方根定义得出；②注意0a aa<时，a-．二、二次根式的乘除1、二次根式的乘法规定：__________________即：____________________________________．注：①此规定可推广到多个二次根式的情况；②此规定是积的算术平方根的性质____________的逆用；③公式中的a，b既可以是数，也可以是代数式，但都必须是______数，因为负数____________.2、二次根式的除法规定：__________________即：______________________________.注：①一般地，两个二次根式相除，如果被开方数不能恰好整除时，应将分母有理化.分母有理化的依据是分式的基本性质和2(0)=≥；②商的算术平方根的性质的限制条a a件“(00)，”与积的算术平方根的性质的限制条件类似，但也有区别，因为分母不能为零，a b≥>所以被除式a必须是非负数，除式b必须是正数，否则性质不成立.3、最简二次根式满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：①被开方数不含______；②被开方数中不含____________的因数或因式.注：①判断最简二次根式，应紧紧抓住最简二次根式的定义；②如果被开方数是多项式时，应先因式分解，再来判断；③被开方数中每一个因式的指数都小于根指数2，即每个因式的指数都为1．三、二次根式的化简化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：①如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分数或分式的形式，然后利用分母有理化进行化简；②如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来．四、二次根式的加减1、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．注：①几个根式是否是同类二次根式，只与被开方数和根指数有关，而与根号前面的“系数”无关；②判断几个二次根式是否是同类二次根式，应先化成最简二次根式，再进行判断．2、二次根式的加减二次根式的加减，就是合并同类二次根式，二次根式加减运算的一般步骤：①将每一个二次根式化为最简二次根式；②找出其中的同类二次根式，合并同类二次根式．注：合并同类二次根式的方法是，把根号外面的因式相加，根指数和被开方数不变，其理论依据是逆用乘法对加法的分配律． 如：.3473)412(34132=-=- 五、重难专攻 综合方法专攻1 二次根式的化简在二次根式的运算中，二次根式的化简是必不可少的步骤．化二次根式为最简二次根式的方法：(1)如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用00)a b =≥>，把它写成分数或分式的形式，然后利用分母有理化进行化简．(2)如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把能开得尽的因数或因式开出来．专攻2 二次根式的运算技巧(1)巧移因式，避繁就简【例1】计算：⋅-+)3418)(4823( 解：原式=)3418)(4823(22⨯-+⨯)4818)(4818(-+=304818-=-=(2)巧换元，干净利索【例2】计算：n n n n n n n n n (424242422222-++--++--+-++>2)． 【解】设42,4222--+=-++=n n y n n x ，则原式=(3)巧用因式分解，手到擒来【例3】化简：622633++++【解】原式=⋅==++++2623)312(2)213(3另外，还有配方、整体代入、拆项等方法，进行二次根式运算时，要灵活应用这些方法，以达到事半功倍的目的．六、中考能力提升重要例题分类解析题例1 二次根式【例1】【解】3．【点拨】考查二次根式运算，同时考查平方与开方的互逆关系．【例2】 （上海中考）计算：【例3】 （广东中考）化简：【分析【分析【解题蜘2二次根式的乘除.171-.3)3(2=J .177777777-=-=- =-777 =2)3(题刨±∝=R 、3的加R【例4】 （重庆中考）计算^／8=∞-/2A ．6B ．厢C ．2D ．厄【解】D ．简再计算，【分析】.33312,3212-=-∴=【解】一万．【点拨中考最新动析置击1化简探讨题【例1】 （镇江中考）若为( )．A ．o 万B ．口 ~-b-b a C -.b a D --.P 、1．（襄樊中考）与怕是A.~/8B.√27C. 2√S212.-A2.±B2.C4.DrH r*.(3Λ 中考．2009）下面计算正确的是( )．3333.=+A3327.=÷B532.=⋅C 24.±=D的取值范围是( )．3.-≥x A 3.->x B 3.-≤x C 3.-<x D )%(5Lhs Φ=⋅ 下列计算正确的是( )．A ．√822=- 14931227.=-=-B1)52)(52(=+-⋅C 23226.=-D、-填空6．（上海中考）函数≡⨯-=R hR x y 、27．（芜湖中考）式子≡-=≡+hhL N TKRL r a 128．（曲靖中考）9．（湘西10．（温州【分析ab b a b a ab ∴><∴><,0,0,0,012 .b a -=【解】C ．【点拨】渎探究题【例观察下列各式：=+=+=+513,413412,312311.,514请你将发现自然数n(n≥1)的等式【分析】比较等式的左边及右边， ⋅++=++21)1(21n n n n 【解】⋅++=++21)1(21n n n n 【点拨】11.（内江中考）化简：.45sin 2321+- 12.（江西中考）已知：以0凡是整数， 数n 为( )．A ．2B ．3C ．4D ．5 且、-F 放j 宋ji 毯z .(/13阳+-=++-=++-=+3431,32321,21211 ,20022001200220011,,4.+-=+.20032002200320021+-=+ +++++++++200220011431321211( ⋅+⨯+)20031()200320021题14．（内江中考）实数上的位置如图kk ,110-=-+-22)2()1(P P110-ru k ML L *、)(15*≡≡-Φ-⋅⋅先化n JN x J x x x ∏≡⋅-=Φ±---~22/,.,,2007,91:)96 学做题时把“,,2007-=x 错抄成了“≡=HTk x 1,,,2007的计算结果也是正确的，。

第二十一章二次根式【知识要点1.二次根式：式子a（a≥0）叫做二次根式。

2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。

3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

4.二次根式的性质：（1）（a）2=a（a≥0）；（2）5.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就能够用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也能够将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．a≥0，b≥0）；=b≥0，a>0）．（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．【典型例题】1、概念与性质例1下列各式1其中是二次根式的是_________（填序号）．a（a＞0）==aa2a-（a＜0）0 （a=0）；例2、求下列二次根式中字母的取值范围（1）x x --+315；（2）22)-(x 例3、 在根式1) 222;2);3);4)275x a b x xy abc +-，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4)例4、已知：的值。

求代数式22,211881-+-+++-+-=x y y x x y y x x x y例5、 （2009龙岩）已知数a ，b ，若2()a b -=b －a ，则 ( )A. a>bB. a<bC. a≥bD. a≤b2、二次根式的化简与计算例1. 将根号外的a 移到根号内，得 ( )A. ；B. －；C. －；D.例2. 把（a －b ）－1a －b 化成最简二次根式例3、计算：例4、先化简，再求值：11()b a b b a a b ++++，其中a=512+，b=512-． 例5、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简 ：222()a b a b ---3、在实数范围内分解因式例. 在实数范围内分解因式。

第二十一章“二次根式”简介第二十一章“二次根式”简介二次根式是数学中的一个重要概念，它是指形如√a（a≥0）的式子，其中“√”称为二次根号。

二次根式是一种表达数量关系的方式，它可以用来表示长度、面积、体积等几何量和代数式的平方根、算术平方根等。

一、二次根式的定义二次根式是一种特殊的代数式，它由一个被开方数（也称为“被开方数”）和一个根号（也称为“二次根号”）组成。

被开方数可以是任何非负数，可以是实数，也可以是代数式。

根号是一个表示数量关系的符号，它表示对被开方数求平方根。

例如，√4、√9、√a、√(ab)等都是二次根式，其中4、9、a、ab等被开方数可以是任何非负数或代数式。

二、二次根式的性质1.非负性：任何一个非负数的平方根都是非负的，即√a≥0（a≥0）。

2.唯一性：当a>0时，√a是唯一的正数平方根；当a=0时，√0也是唯一的平方根，但它是0而不是正数。

3.无限性：当a<0时，√a没有实数平方根，但是可以表示为复数形式。

4.互逆性：对于任何实数a，都有两个平方根，它们互为相反数，即√a和-√a。

5.性质的变化：当二次根式的被开方数或指数发生变化时，其性质也会发生变化。

例如，当√a^2=|a|时，需要考虑a的符号；当√(a^2)=|a|时，需要考虑a的符号和绝对值。

三、二次根式的运算1.加减法：同类二次根式可以合并或相减。

例如，√2+√2=2√2，√2-√2=0。

2.乘除法：同类二次根式可以相乘或相除。

例如，√2×√2=2，√2÷√2=1。

3.开方运算：对一个非负数进行开方运算时，可以得到它的平方根。

例如，（√2）²=2，（√a）²=a（a≥0）。

4.与实数的运算：二次根式可以与实数进行加、减、乘、除等运算。

例如，（2+√3）+（4-√3）=6，（2+√3）×（4-√3）=5+2√3。

5.与复数的运算：二次根式也可以与复数进行运算。

第二■—章二次根式教材内容1.本单元教学的主要内容：二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式.2.本单元在教材中的地位和作用：二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础.教学目标1.知识与技能(1)理解二次根式的概念.(2)理解石(aNO)是一个非负数，(石)2=a(aNO),=a(aNO).(3)掌握石•\[b=-fab(aNO,bNO),\[ab=y/a,4b；Ja[a,*、[a Ja,、、——(aNO,b>0),.—=—；=(aNO,b>0).4b\b\b(4)了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减.2.过程与方法(1)先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念.•再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简.(2)用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘(除)法规定，•并运用规定进行计算.(3)利用逆向思维，•得出二次根式的乘(除)法规定的逆向等式并运用它进行化简.(4)通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，•给出最简二次根式的概念.利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的.3.情感、态度与价值观通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力.教学重点1.二次根式石(aNO)的内涵.4a(aNO)是一个非负数；(4a)2=a(a^0)；J/=a (aNO)•及其运用.2.二次根式乘除法的规定及其运用.3.最简二次根式的概念.4.二次根式的加减运算.教学难点1.对西(aNO)是一个非负数的理解；对等式(E)2=a (aNO)及妒=a(aNO)的理解及应用.2.二次根式的乘法、除法的条件限制.3.利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式.教学关键1.潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点.2.培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，•培养学生一丝不苟的科学精神.单元课时划分本单元教学时间约需11课时，具体分配如下：21.1二次根式3课时21.2二次根式的乘法3课时21.3二次根式的加减3课时教学活动、习题课、小结2课时21.1二次根式第一课时教学内容二次根式的概念及其运用教学目标理解二次根式的概念，并利用石（a>0）的意义解答具体题目.提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题.教学重难点关键1.重点：形如、似（aNO）的式子叫做二次根式的概念；2.难点与关键：利用“石（aNO）”解决具体问题.教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：3问题1：已知反比例函数y=一,那么它的图象在第一象限横、•纵坐标相等的点的坐标是•问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3,BC=1,ZC=90°,那么AB边的长是问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8,那么甲这次射击的方差是S2,那么S=.老师点评：问题1：横、纵坐标相等，即x=y,所以x-3.因为点在第一象限，所以x=如,所以所求点的坐标（右，也）.问题2：由勾股定理得AB=JI^问题3：由方差的概念得$=二、探索新知很明显后、面、R,都是一些正数的算术平方根.像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式.因此，一般地，我们把形如石（aNO）•的式子叫做二次根式，“丁”称为二次根号.（学生活动）议一议：1.-1有算术平方根吗？2.0的算术平方根是多少？3.当a<0,有意义吗？老师点评：（略）例1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：后裁、G（x>0）、a/04/2>-皿、—-—、Jx+y（xNO,y・NO）.x+y'分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“、厂”；第二，被开方数是正数或0.解：二次根式有：、/^、Vx（x>0）、而、-、万、Jx+y（xNO,yNO）；不是二次根式的有：也、->扼、」一.x x+y例2.当x是多少时，J3x-1在实数范围内有意义?分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0,所以3x-lN0,•J3x-1才能有意义.解：由3x-l》0,得：xN—3当x^-时，J3x-1在实数范围内有意义.3三、巩固练习教材P练习1、2、3.四、应用拓展例3.当x是多少时，V2x+3+—在实数范围内有意义？X+1分析：要使a/2x+3+—在实数范围内有意义，必须同时满足j2x+3中的NO和x+11〜心----中的x+1/O.X+12x+3>0解：依题意，得工+1/03由①得：X^--2由②得：xN-13_____]当xN-—且x尹-1时，j2x+3+----在实数范围内有意义.2x+1例4（1）已知y=j2-x+Jx-2+5,求三的值.（答案:2）y⑵若后I+序日=0,求/。