2.7 第3课时 二次根式的混合运算

北师大初中数学八年级重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！北师大初中数学和你一起共同进步学业有成！第3课时　二次根式的混合运算1．熟练掌握二次根式的综合运算．(重点、难点) 一、情境导入已知一个直角三角形的两条直角边长分别为(3－)cm 、(3＋)cm ，求这个三22角形的面积和周长． 二、合作探究 探究点一：二次根式的混合运算计算： (1)(＋－ab)(a≥0，b ≥aba 3b ab 30)；(2)(2－)×(＋)； 321212823(3)(3＋)×(－4)． 248183解：(1)原式＝(a ＋b －ab)ab ab ab ＝a ×＋b ×－ab ＝a 2b ＋abab ab ab ab ab 2－ab ； ab (2)原式＝(－)(＋)＝×62226362＋×－×－×＝2＋2－1－66322222633＝1＋； 33533(3)原式＝(3＋4)(3－4)＝(32323)2－(4)2＝18－48＝－30. 23方法总结：二次根式的混合运算，一般先将二次根式转化为最简二次根式，再灵活运用乘法公式等知识来简化计算． 探究点二：二次根式的化简求值已知a ＝，b ＝，求15－215＋2的值．a 2＋b 2＋2解析：先化简已知条件，再利用乘法公式变形，即a 2＋b 2＝(a ＋b)2－2ab ，最后代入求解． 解：∵a＝＝15－2＝＋2，b ＝＝5＋2（5－2）（5＋2）515＋2＝－2，∴a ＋b ＝25－2（5＋2）（5－2）5，ab ＝ 1.∴＝5a 2＋b 2＋2＝＝（a ＋b ）2－2ab ＋2（25）2－2＋2＝2. 205方法总结：解此类问题时，直接代入求值很麻烦，要先化简已知条件，再用乘法公式变形代入即可求得．探究点三：运用二次根式的运算解决实际问题 教师节就要到了，李欣同学准备做两张大小不同的正方形贺卡送给老师以表示祝贺，其中一张面积为288平方厘米，另一张面积为338平方厘米，如果用彩带把贺卡镶边会更漂亮，她现在有1.5米的彩带，请你帮忙算一算她的彩带够不够用．(≈1.414) 2解析：可以通过两个正方形的面积分别计算出正方形的边长，进一步求出两个正方形的周长之和，与1.5米比较即可得出结论． 解：贺卡的周长为4×(＋)288338＝4×(12＋13)＝4×25≈141.4(厘222米)．∵1.5米＝150厘米，150>141.4，∴李欣的彩带够用． 方法总结：本题是利用二次根式的加法来解决实际生活中的问题，解答本题的关键在于理解题意并列出算式． 三、板书设计二次根式 {综合运算化简求值实际应用) 经历本节课的学习，进一步理解二次根式的概念，熟悉二次根式的化简，了解根号内含有字母的二次根式的化简，利用二次根式的化简解决简单的数学问题．学生通过独立思考，能选择合理的方法解决问题；在运算过程中巩固知识，与小组成员交流总结方法．相信自己，就能走向成功的第一步教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。

一、情境导入已知一个直角三角形的两条直角边长分别为(3－2)cm、(3＋2)cm，求这个三角形的面积和周长．二、合作探究探究点一：二次根式的混合运算计算：(1)ab(a3b＋ab3－ab)(a≥0，b≥0)；(2)(232－12)×(128＋23)；(3)(32＋48)×(18－43)．解：(1)原式＝ab(a ab＋b ab－ab)＝a ab×ab＋b ab×ab－ab ab＝a2b＋ab2－ab ab；(2)原式＝(6－22)(2＋63)＝6×2＋6×63－22×2－22×63＝23＋2－1－33＝1＋533；(3)原式＝(32＋43)(32－43)＝(32)2－(43)2＝18－48＝－30.方法总结：二次根式的混合运算，一般先将二次根式转化为最简二次根式，再灵活运用乘法公式等知识来简化计算．探究点二：二次根式的化简求值已知a＝15－2，b＝15＋2，求a2＋b2＋2的值．解析：先化简已知条件，再利用乘法公式变形，即a2＋b2＝(a＋b)2－2ab，最后代入求解．解：∵a＝15－2＝5＋2（5－2）（5＋2）＝5＋2，b＝15＋2＝5－2（5＋2）（5－2）＝5－2，∴a＋b＝25，ab＝1.∴a2＋b2＋2＝（a＋b）2－2ab＋2＝（25）2－2＋2＝20＝2 5.方法总结：解此类问题时，直接代入求值很麻烦，要先化简已知条件，再用乘法公式变形代入即可求得．探究点三：运用二次根式的运算解决实际问题教师节就要到了，李欣同学准备做两张大小不同的正方形贺卡送给老师以表示祝贺，其中一张面积为288平方厘米，另一张面积为338平方厘米，如果用彩带把贺卡镶边会更漂亮，她现在有1.5米的彩带，请你帮忙算一算她的彩带够不够用．(2≈1.414)解析：可以通过两个正方形的面积分别计算出正方形的边长，进一步求出两个正方形的周长之和，与1.5米比较即可得出结论．解：贺卡的周长为4×(288＋338)＝4×(122＋132)＝4×252≈141.4(厘米)．∵1.5米＝150厘米，150>141.4，∴李欣的彩带够用．方法总结：本题是利用二次根式的加法来解决实际生活中的问题，解答本题的关键在于理解题意并列出算式．三、板书设计1.（1）若x ＝10－3，求代数式x 2＋6x ＋11的值.（2）若x ＝3＋1，求代数式x 2－2x －3的值.2.下列何者是方程式（﹣1）x=12的解？（ ） A 、3B 、6C 、2﹣1D 、3+33.设12211=112S ++,22211=123S ++,32211=134S ++,…, 2211=1(1)n S n n +++ 设12...n S S S S =+++，则S ＝_________ (用含n 的代数式表示，其中n 为正整数)．4.已知a b 、为有理数，m n 、分别表示57-的整数部分和小数部分，且21amn bn +=，则2a b += .5..先化简再求值。

2.7《二次根式（3）》教学设计教学目标：1．学会二次根式的混合运算，熟练地进行二次根式的运算。

2．借助与已经学过的有关二次根式的化简、计算等知识，继续探索二次根式混合运算。

3．通过探索规律的过程，培养学生学习的主动性和创新能力。

教学重点：混合运算的法则，明确三级运算的顺序，运算律的合理使用。

教学难点：灵活运用公式或运算律以及约分等技巧，使计算简便。

教学过程：一、导入新课活动过程：复习巩固二次根式的化简，为下面学习混合运算做准备。

活动成果：熟练掌握二次根式的化简，将所给二次根式化为最简。

【设计意图】：通过复习巩固，设置二、探究新知活动一：活动过程：类比着实数的运算，对带有字母的二次根式进行化简活动成果：对带有字母的二次根式进行化简，体会数学的讨论思想。

【设计意图】：由数字过渡到字母，提升学生的解题能力。

活动二：活动过程：借助于实数的运算，解决面积问题活动成果：用不同的分割方法，解决实际问题。

【设计意图】：借助于实数的计算方法，在方格纸中求解图形面积，增强学生解体能力。

三、例题精讲讲解过程：运用实数的运算法则及最简根式的要求，对所给题目进行化简。

解题思路：运用实数的运算法则，对所给题目进行化简。

解题方法：演绎法答案：参见教材第46页四、课堂练习课本随堂练习五、课堂总结课时小结本节课继续二次根式的加减乘除运算，但运算的难度有提高，需要大家关注解决问题法方法的多样性，灵活运用法则解决问题。

你还有什么新的收获吗？六、课后作业课本课后习题习题2.11 1、2七、板书设计课题：2.7二次根式（3）1.二次根式运算法则：2.例题讲解：八、教学反思本节课，引导学生运用恰当的方法，使学生学会学习，在探索实数范围内的运算律、运算法则的过程中，使学生经历了类比、猜想、验证、归纳、总结以及由具体到抽象、由特殊到一般的过程，体会到研究问题、解决问题的方法。

个别学生计算时精确程度不够，需要强化训练。

二次根式的混合运算（第三课时）一、复习在前两课时中，我们学习了二次根式的基本概念和运算法则。

接下来，我们将继续深入学习二次根式的混合运算。

在进行二次根式的混合运算时，我们需要掌握以下几个关键点： - 熟练运用二次根式的基本运算法则； - 了解加法、减法和乘法运算的方法； - 掌握拆分与合并二次根式的技巧； - 注意运算过程中的约束条件。

二、加法和减法运算1. 同类项在进行二次根式的加法和减法运算时，我们必须注意同类项的处理。

同类项是指二次根式中根号内的值相同，而根号外的系数可以不同的项。

例如，$\\sqrt{2}$ 和 $3\\sqrt{2}$ 就是同类项，因为它们的根号内的值都是2。

2. 加法运算规则当二次根式具有相同的根号内的值时，我们可以将它们的系数相加，并保持根号的不变。

例如，$\\sqrt{2}$ 和 $3\\sqrt{2}$ 可以相加得到 $4\\sqrt{2}$。

3. 减法运算规则减法运算与加法运算的规则相似，只是在相减时需要注意符号的变化。

例如，$5\\sqrt{3}$ 减去 $\\sqrt{3}$ 可以得到 $4\\sqrt{3}$。

4. 示例下面是一些例子来帮助我们理解加法和减法运算规则：•$\\sqrt{5} + 2\\sqrt{5} = 3\\sqrt{5}$•$3\\sqrt{7} - \\sqrt{7} = 2\\sqrt{7}$•$2\\sqrt{3} + 5\\sqrt{2} - 3\\sqrt{3} = -\\sqrt{3} + 5\\sqrt{2}$•$4\\sqrt{10} + 2\\sqrt{7} - \\sqrt{10}= 3\\sqrt{10} + 2\\sqrt{7}$三、乘法运算1. 乘法运算规则乘法运算时，我们需要运用乘法分配律。

即，将根号外的系数相乘，并将根号内的值相乘。

例如，$3\\sqrt{2} \\cdot 2\\sqrt{3} = 6\\sqrt{6}$。

第二章 实数2. 7 二次根式第 3 课时二次根式（第3课时）是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级上册第二章《实数》第7节内容.本节内容分为3个课时，本课时是第3课时.继续巩固二次根式的概念，熟练二次根式的化简，进而完善实数的运算.二次根式化简掌握以后，初中阶段实数的运算基本完成，本节课就是进一步完善二次根式的运算.若能够在含字母的二次根式的化简方面再深化一下，那么在今后的学习中，实数的计算问题基本解决了.经历本节课的学习，学生对实数的运算，就有了较全面的了解.1. 进一步理解二次根式的概念，进一步熟练二次根式的化简.了解根号内含有字母的二次根式的化简.2. 利用二次根式的化简解决简单的数学问题. 通过独立思考，能选择合理的方法解决问题.3. 在运算过程中巩固知识，通过与人交流总结方法.【教学重点】 继续巩固二次根式的概念，熟练二次根式的化简，进而完善实数的运算.【教学难点】根号内含字母的二次根式的化简.学生每人准备好草稿纸、铅笔；教师准备课件.◆教材分析◆教学目标◆教学重难点 ◆◆课前准备◆一、提出问题，思考引入如果梯形的上、下底长分别为2√2 cm , 4√3 cm ，高为√6 cm ，那么它的面积是多少？二、合作交流，探究新知（一）二次根式的混合运算（1）3223-；（2）81818+-；（3）3)6124(÷-；25(4)9918.2+- 解：（1）3223-＝33322223⨯⨯-⨯⨯＝631621-＝6)3121(-＝661； （2）81818+-＝162222322+⨯-⨯＝2412223+-＝245； （3）3) 6124(÷-＝ 361324÷-÷＝ 361324÷-÷ ＝ 3618⨯-＝ 66224⨯-⨯＝ 26122-＝ 2611； 25(4)9918.2+- =252999222⨯+-⨯⨯5299322=+-12992=-+。

二次根式的混合运算1. 引言在数学中，二次根式是一种形如√a的数，其中a为非负实数。

二次根式可以进行加减乘除等基本运算，也可以与整数、有理数等进行混合运算。

本文将介绍如何进行二次根式的混合运算，包括加减、乘法以及除法。

2. 二次根式的加减运算2.1 加法运算对于两个二次根式的加法运算，我们只需要将它们的根号内的数相加，并保持根号不变。

例如：√a + √b = √(a + b)2.2 减法运算对于两个二次根式的减法运算，我们也只需要将它们的根号内的数相减，并保持根号不变。

例如：√a - √b = √(a - b)3. 二次根式的乘法运算二次根式的乘法运算稍微复杂一些，需要使用到一条性质，即：两个二次根式的乘积等于根号内两个数的乘积。

例如：√a * √b = √(a * b)4. 二次根式的除法运算二次根式的除法运算同样需要使用到一条性质，即：两个二次根式的除法等于根号内两个数的除法。

例如：√a / √b = √(a / b)5. 混合运算的例子为了更好地理解二次根式的混合运算，举个例子：假设有以下的运算：√8 + √2 - √18 * √3 / √4首先，我们可以将各个二次根式的根号内的数进行化简：√8 = √(4 * 2) = 2√2 √18 = √(9 * 2) = 3√2 √4 = 2然后，将化简后的结果带入原表达式中：2√2 + √2 - 3√2 * √3 / 2继续进行混合运算：2√2 + √2 - 3√6 / 2最后，将所有的二次根式及有理数进行合并得到最终结果：2√2 + √2 - (3 / 2)√66. 结论本文介绍了二次根式的混合运算，包括加减、乘法以及除法。

通过理解和应用这些运算规则，我们可以更方便地处理涉及二次根式的数学问题。

希望本文的内容能够帮助读者在学习和应用二次根式时更加得心应手。