2015年高考理科数学山东卷-答案

2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. （1） 已知集合A=2{|430},{|24}x x x B x x -+<=<<，则A B =(A)(1,3) (B)(1，4) (C)(2，3) (D)(2，4)解析：2{|430}{|13},(2,3)A x x x x x A B =-+<=<<= ,答案选(C)(2) 若复数z 满足1zi i=-，其中i 是虚数单位，则z = (A)1i - (B) 1i + (C) 1i -- (D) 1i -+解析：2(1)1,1z i i i i i z i =-=-+=+=-，答案选(A) （3）要得到函数sin(4)3y x π=-的图象，只需将函数sin 4y x =的图像(A)向左平移12π个单位 (B) 向右平移12π个单位(C)向左平移3π个单位 (D) 向右平移3π个单位解析：sin 4()12y x π=-，只需将函数sin 4y x =的图像向右平移12π个单位答案选(B)(4)已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=，则BD CD ⋅=(A)232a - (B) 234a - (C)234a (D) 232a 解析：由菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=可知18060120BAD ∠=-=，2223()()cos1202BD CD AD AB AB AB AD AB a a a a ⋅=-⋅-=-⋅+=-⋅+= ，答案选(D)（5）不等式|1||5|2x x ---<的解集是(A)(,4)-∞ (B) (,1)-∞ (C) (1,4) (D) (1,5)解析：当1x <时，1(5)42x x ---=-<成立；当15x ≤<时，1(5)262x x x ---=-<，解得4x <，则14x ≤<；当5x ≥时，1(5)42x x ---=<不成立.综上4x <，答案选(A)（6）已知,x y 满足约束条件0,2,0.x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩若z ax y =+的最大值为4，则a =(A)3 (B) 2 (C) 2- (D) 3-解析：由z a x y =+得y ax z =-+，借助图形可知：当1a -≥，即1a ≤-时在0x y ==时有最大值0，不符合题意；当01a ≤-<，即10a -<≤时在1x y ==时有最大值14,3a a +==，不满足10a -<≤；当10a -<-≤，即01a <≤时在1x y ==时有最大值14,3a a +==，不满足01a <≤；当1a -<-，即1a >时在2,0x y ==时有最大值24,2a a ==，满足1a >；答案选(B) 7.在梯形ABCD 中，2ABC π∠=,//AD BC ,222BC AD AB ===.将梯形ABCD 绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(A)23π (B) 43π (C) 53π (D) 2π 解析：2215121133V πππ=⋅⋅-⋅⋅=，答案选(C)8.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布2(0,3)N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（附：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+=,(22)95.44%P μσξμσ-<<+=.）(A)4.56% (B) 13.59% (C) 27.18% (D) 31.74%解析：1(36)(95.44%68.26%)13.59%2P ξ<<=-=，答案选(B) （9）一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在的直线的斜率为(A)53-或35- (B) 32-或32- (C) 54-或45- (D) 43-或34- 解析：(2,3)--关于y 轴对称点的坐标为(2,3)-，设反射光线所在直线为3(2),y k x +=-即230kx y k ---=，则1,|55|d k ==+=解得43k =-或34-，答案选(D)（10）设函数31,1,()2, 1.xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩则满足()(())2f a f f a =的取值范围是 (A)2[,1]3(B) [0,1] (C) 2[,)3+∞ (D) [1,)+∞解析：由()(())2f a f f a =可知()1f a ≥，则121aa ≥⎧⎨≥⎩或1311a a <⎧⎨-≥⎩，解得23a ≥，答案选(C)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. （11）观察下列各式：0010113301225550123377774;4;4;4;C C C C C C C C C C =+=++=+++=照此规律，当*n ∈N 时，012121212121n n n n n C C C C -----++++= .解析：14n -.具体证明过程可以是：0121012121212121212121211(2222)2n n n n n n n n n n C C C C C C C C ----------++++=++++ 021122223121212121212121210121212112121212121211[()()()()]211()2422n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C C C C ----------------------=++++++++=+++++++=⋅= （12）若“[0,],tan 4x x m π∀∈≤”是真命题，则实数m 的最小值为 . 解析：“[0,],t a n 4xx mπ∀∈≤”是真命题，则tan14m π≥=，于是实数m 的最小值为1.（13）执行右边的程序框图，输出的T解析：11200111123T xdx x dx =++=++=⎰⎰（14）已知函数()xf x a b =+(0,a a >≠和值域都是[1,0]-，则a b += .解析：当1a >时101a b a b -⎧+=-⎨+=⎩，无解；当01a <<时1001a b a b -⎧+=⎨+=-⎩，解得2,b =-则13222a b +=-=-. (15)平面直角坐标系xOy 中，双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线22:2(0)C x py p =>交于点,,O A B ，若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为 . 解析：22122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线为by x a =±，则22222222(,),(,)pb pb pb pb A B a a a a-22:2(0)C x py p =>的焦点(0,)2p F ，则22222AF pb pa a k pb b a-==，即2222222593,,.442b c a b c e a a a a +===== 三、解答题：本大题共6小题，共75分.（16）（本小题满分12分）设2()sin cos cos ()4f x x x x π=-+（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,.a b c 若()0,1,2Af a ==求ABC ∆面积的最大值. 解：（Ⅰ）由111111()sin 2[1cos(2)]sin 2sin 2sin 22222222f x x x x x x π=-++=-+=- 由222,22k x k k Z ππππ-≤≤+∈得,44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，则()f x 的递增区间为[,],44k k k Z ππππ-+∈；由3222,22k x k k Z ππππ+≤≤+∈得3,44k x k k Z ππππ+≤≤+∈，则()f x 的递增区间为3[,],44k k k Z ππππ++∈. （Ⅱ）在锐角ABC ∆中，11()sin 0,sin 222A f A A =-==,6A π=,而1,a =由余弦定理可得2212cos2(26b c bc bc bc π=+-≥-=-，当且仅当b c =时等号成立，即2bc ≤=+1112sin sin 22644ABC S bc A bc bc π∆+===≤，故ABC ∆. （17）（本小题满分12分）如图，在三棱台DEF-2,,AB DE G H =分别为,AC BC 的中点.（Ⅰ）求证：//BD 平面FGH ；（Ⅱ）若CF ⊥平面ABC ,,,AB BC CF DE ⊥=∠求平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小. 解：（Ⅰ）证明：连接DG ，DC ，设DC 与GF 交于点T. 在三棱台DEF ABC -中，2,AB DE =则2AC DF =而G 是AC 的中点，DF//AC ，则//DF GC ,所以四边形DGCF是平行四边形,T是DC的中点，DG//FC. 又在BDC∆,H是BC的中点，则TH//DB，又BD⊄平面FGH，TH⊂平面FGH，故//BD（Ⅱ）由CF⊥平面ABC,可得DG⊥平面ABC而则GB AC⊥,于是,,GB GA GC两两垂直，以点G为坐标原点，,,GA GB GC所在的直线分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系，设2AB=,则1,DE CF AC AG====((B C F H则平面ACFD的一个法向量为1(0,1,0)n=，设平面FGH的法向量为2222(,,)n x y z=，则22n GHn GF⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即222222x yz-=⎪⎨⎪+=⎩，取21x=，则221,y z==2(1,1n=，121cos,2n n<>==，故平面FGH与平面ACFD所成角（锐角）的大小为60 .（18）（本小题满分12分）设数列{}na的前n项和为nS，已知23 3.nnS=+（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）若数列{}nb满足3logn n na b a=，求数列{}nb的前n项和nT.解：（Ⅰ）由233nnS=+可得111(33)32a S==+=，11111(33)(33)3(2)22n n nn n na S S n---=-=+-+=≥而11133a-=≠，则13,1,3, 1.n nnan-=⎧=⎨>⎩（Ⅱ）由3logn n na b a=及13,1,3, 1.n nnan-=⎧=⎨>⎩可得311,1,log31, 1.3nnnnnabnan-⎧=⎪⎪==⎨-⎪>⎪⎩2311123133333n n n T --=+++++ . 2234111123213333333n n n n n T ---=++++++ 2231223121111111333333331111111()33333331121213133193922331313211823n n n n n n n nnn n T n n n n ---=+-++++--=-+++++----=+-=+--⋅-+=-⋅ 113211243n n n T -+=-⋅19（本小题满分12分）若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”（如137,359,567等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得-1分；若能被10整除，得1分.（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX. 解：（Ⅰ）125,135,145,235,245,345； （Ⅱ）X 的所有取值为-1,0,1.32112844443339992111(0),(1),(1)31442C C C C C P X P X P X C C C ⋅+====-===== 甲得分X 的分布列为：0(1)13144221EX =⨯+⨯-+⨯=(20)(本小题满分13分)平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离12,F F ,以1F 为圆心，以3为半径的圆与以2F 为圆心，以1为半径的圆相交，交点在椭圆C 上. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆2222:144x y E a b+=，P 为椭圆C 上的任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于A,B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q. （ⅰ）求||||OQ OP 的值；（ⅱ）求ABQ ∆面积最大值. 解析：（Ⅰ）由椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为可知c e a ==，而222a b c =+则2,a b c ==，左、右焦点分别是12(,0),,0)F F ,圆1F：22()9,x y +=圆2F：22()1,x y +=由两圆相交可得24<<，即12<<，交点，在椭圆C 上，则224134b b =⋅， 整理得424510b b -+=，解得21,b =214b =（舍去） 故21,b =24,a =椭圆C 的方程为2214x y +=. （Ⅱ）（ⅰ）椭圆E 的方程为221164x y +=， 设点00(,)P x y ，满足220014x y +=，射线000:(0)y PO y x xx x =<， 代入221164x y +=可得点00(2,2)Q x y --，于是||2||OQ OP ==. （ⅱ）点00(2,2)Q x y --到直线AB 距离等于原点O 到直线AB 距离的3倍：d ==221164y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得224()16x kx m ++=，整理得222(14)84160k x kmx m +++-= 2222226416(41)(4)16(164)0k m k m k m ∆=-+-=+->||AB =2211||||||36221414m m S AB d k k∆==⋅⋅⋅=++ 22221646122(41)m k m k ++-≤⋅=+，当且仅当22||82m m k ==+等号成立. 而直线y kx m =+与椭圆C ：2214x y +=有交点P ，则 2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩有解，即222224()4,(14)8440x kx m k x kmx m ++=+++-=有解， 其判别式22222216416(14)(1)16(14)0k m k m k m ∆=-+-=+-≥，即2214k m +≥，则上述2282m k =+不成立，等号不成立，设(0,1]t =，则2||614m S k ∆==+(0,1]为增函数，于是当2214k m +=时max S ∆==ABQ ∆面积最大值为12. （21）（本小题满分14分）设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-，其中a R ∈. （Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若0x ∀>，()0f x ≥成立，求a 的取值范围. 解：（Ⅰ）2()ln(1)()f x x a x x =++-，定义域为(1,)-+∞21(21)(1)121()(21)111a x x ax ax a f x a x x x x -++++-'=+-==+++，设2()21g x ax ax a =++-， 当0a =时，1()1,()01g x f x x '==>+，函数()f x 在(1,)-+∞为增函数，无极值点. 当0a >时，228(1)98a a a a a ∆=--=-，若809a <≤时0∆≤，()0,()0g x f x '≥≥，函数()f x 在(1,)-+∞为增函数，无极值点. 若89a >时0∆>，设()0g x =的两个不相等的实数根12,x x ，且12x x <， 且1212x x +=-，而(1)10g -=>，则12114x x -<<-<，所以当1(1,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈->>单调递增；当12(,),()0,()0,()x x x g x f x f x '∈<<单调递减； 当2(,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈+∞>>单调递增. 因此此时函数()f x 有两个极值点；当0a <时0∆>，但(1)10g -=>，121x x <-<， 所以当2(1,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈->>单调递増； 当2(,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈+∞<<单调递减. 所以函数只有一个极值点。

数学试卷 第1页（共21页）数学试卷 第2页（共21页）数学试卷 第3页（共21页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟. 参考公式：如果事件A ,B 互斥，那么P （A +B ）=P （A ）+P （B ）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合2430{|}A x x x =-+<，24{|}B x x =<<，则AB = （ ）A ．1,3（）B ．1,4（）C ．2,3（）D ．2,4（）2．若复数z 满足z1i-=i ，其中i 为虚数单位，则z=（ ）A ．1i -B ．1i +C ．1i --D ．1i -+3．要得到函数πsin(4)3y x =-的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ）A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位4．已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=︒，则BD CD =（ ）A ．232a -B ．234a -C ．234aD ．232a5．不等式|||52|1x x ---<的解集是 （ ）A ．(,4)-∞B ．(,1)-∞C ．(1,4)D ．(1,5)6．已知x ，y 满足约束条件0,2,0.x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤≥若z ax y =+的最大值为4，则a =（ ）A ．3B ．2C ．2-D ．3-7．在梯形ABCD 中，π2ABC ∠=，AD ∥BC ，BC =2AD =2AB =2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）A ．2π3B ．4π3C ．5π3D ．2π8．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N (0，23)，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为 （ ）（附：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则(P μσ-<ξ)68.26%μσ<+=，(2P μσ-<ξ2)95.44%μσ<+=）A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%9．一条光线从点（2-，3-）射出，经y 轴反射后与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为 （ ）A ．53-或35-B ．32-或23-C ．54-或45-D ．43-或34-10．设函数31,1,()2, 1,x x x f x x -⎧=⎨⎩＜≥则满足()(())2f a f f a =的a 取值范围是（ ）A ．2[,1]3B ．[0,1]C ．2[,)3+∞D ．[1,)+∞第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中的横线上.11．观察下列各式：001011330122555012337777C =4C +C =4C +C +C =4C +C +C +C =4；；；；……照此规律，当n ∈*N 时，012n-12n-12n-12n-12n-1C + C + C ++ C ⋯=_______. 12．若“∀x ∈[0，4π]，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为_______. 13．执行如图所示的程序框图，输出的T 的值为_______.14．已知函数()(0,1)xf x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[1,0]-，则a b +=_______.15．平面直角坐标系xOy 中，双曲线222211 0,0x C a b y a b>->=：（）的渐近线与抛物线222C x py =：0p >（）交于点O ，A ，B .若OAB △的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为_______.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________?数学试卷 第4页（共21页）数学试卷 第5页（共21页）数学试卷 第6页（共21页）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）设2π()sin cos cos ()4f x x x x =-+.（Ⅰ）求f x （）的单调区间； （Ⅱ）在锐角ABC △中，角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c .若2f A （）=0，a =1，求ABC △面积的最大值.17．（本小题满分12分）如图，在三棱台DEF ABC -中，AB =2DE ，G ，H 分别为AC ，BC 的中点. （Ⅰ）求证：BD ∥平面FGH ；（Ⅱ）若CF ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，CF =DE ，∠BAC =45︒，求平面FGH 与平面ACFD 所成的角（锐角）的大小.18．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233nn S =+.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T .19．（本小题满分12分）若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”（如137，359，567等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得1-分；若能被10整除，得1分.（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX . 20．（本小题满分13分）平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，左、右焦点分别是1F ，2F ，以点1F 为圆心，以3为半径的圆与以点2F 为圆心，以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆2222144 x y E a b +=：，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .（i ）求||||OQ OP 的值；（ii ）求ABQ △面积的最大值.21．（本小题满分14分）设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-，其中a ∈R .（Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若0x ∀>，()0f x ≥成立，求a 的取值范围.数学试卷 第7页（共21页）数学试卷 第8页（共21页）数学试卷 第9页（共21页）2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】C【解析】2{|4+3<0}{|13}A x x x x x =-=<<，()2,3A B =I ，答案选C ．【提示】求出集合A ，然后求出两个集合的交集． 【考点】解一元二次不等式，集合间的运算． 2.【答案】A【解析】2(1i)i i +i 1+i z =-=-=，1i z =-，答案选A ．【提示】直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可． 【考点】复数代数形式的四则运算． 3.【答案】B【解析】πsin 412y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，需将函数sin 4y x =的图象向右平移π12个单位，答案选B ．【提示】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可． 【考点】三角函数的图象及其变换． 4.【答案】D【解析】由菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=︒可知18060120BAD ∠=︒-︒=︒，2223()()+cos120+2BD CD AD AB AB AB AD AB a a a a =--=-=-︒=uu u r uu u r uuu r uu u r uu u r uu u r uuu r uu u r g g g g ，答案选D ．【提示】根据2()()+BD CD AD AB AB AB AD AB =--=-uu u r uu u r uuu r uu u r uu u r uu u r uuu r uu u r g g g 代入可求．【考点】向量的运算． 5.【答案】A【解析】1x <时，1(5)42x x ---=-<成立 当15x ≤<时，1(5)262x x x ---=-<解得4x <；当5x ≥，1(5)42x x ---=<不成立，综上4x <，答案选A ．【提示】运用零点分区间，求出零点为1，5，讨论①当1x <，②当15x ≤<，③当5x ≥，分别去掉绝对值，解不等式，最后求并集即可． 【考点】绝对值符号和分类讨论的思想． 6.【答案】B【解析】由+z ax y =得+y ax z =-，借助图形可知：当1a -≥，即1a ≤-时在0x y ==时有最大值0，不符合题意；当01a ≤-<，即10a -<≤时有最大值+14a =，3a =，不满足10a -<≤；当10a -≤-<，即01a <≤时在1x y ==时有最大值+14a =，3a =，不满足01a <≤；当1a -<-时，即1a >时在2x =，0y =时有最大值24a =，2a =，满足1a >，答案选B ．第6题图【提示】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值．【考点】线性规划的问题． 7.【答案】C【解析】2215ππ12π1133V =-=gg g g ，答案选C ． 【提示】画出几何体的直观图，利用已知条件，求解几何体的体积即可． 【考点】空间几何体体积的计算． 8.【答案】B【解析】0000001(36)(95.4468.26)13.592P ξ<<=-=，答案选B ． 【提示】由题意(33)68.26%P ξ-<<=，(66)95.44%P ξ-<<=， 可得0000001(36)(95.4468.26)13.592P ξ<<=-=，即可得出结论． 【考点】正态分布．9.【答案】D【解析】(2,3)--关于y 轴的对称点的坐标(2,3)-，设反射光线所在的直线为+3(2)y k x =-，即230kx y k ---=，则1d ==，|5+5|k =解得43k =-或34-，答案选D ．【提示】点(2,3)--关于y 轴的对称点为(2,3)-，可设反射光线所在直线的方程为：+3(2)y k x =-，利用直线与圆相切的性质即可得出．【考点】直线与圆的位置关系． 10.【答案】C【解析】由()(())2f a f f a =可知()1f a ≥，则121aa ≥⎧⎨≥⎩或1311a a <⎧⎨-≥⎩，解得23a ≥，答案选C ． 【提示】讨论()1f a ≥时，以及1a <，1a ≥，由分段函数的解析式，解不等式即可得到所求范围．【考点】函数的定义域．第Ⅱ卷二、填空题 11.【答案】14n - 【解析】具体证明过程可以是：012101212121212121211C +C+C ++C (2C +2C2n n n n n n n n n n ----------= 021122223121212121212121211=(C +C )+(C +C )+(C +C )++(C +C )2n n n n nn n n n n n n n ------------⎡⎤⎣⎦01212121121212121212111=(C +C +C ++C +C ++C )2422n n n n n n n n n n n ----------==【提示】仔细观察已知条件，找出规律，即可得到结果．【考点】排列组合的运算． 12.【答案】1【解析】“0,4x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，tan x m ≤”是真命题，则πtan 14m ≥=，于是m 的最小值是1.【提示】求出正切函数的最大值，即可得到m 的范围． 【考点】三角函数的运算和命题真假．数学试卷 第10页（共21页）数学试卷 第11页（共21页） 数学试卷 第12页（共21页）13.【答案】116【解析】112011111++1++236T xdx x dx ===⎰⎰．【提示】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n ，T 的值，当3n =时不满足条件3n <，退出循环，输出T 的值为116．【考点】程序框图． 14.【答案】32-【解析】当1a >时，10+1+0a b a b -⎧=-⎪⎨=⎪⎩，无解；当01a <<时10+0+1a b a b -⎧=⎪⎨=-⎪⎩，解得2b =-，12a =，则13+222a b =-=-【提示】对a 进行分类讨论，分别题意和指数函数的单调性列出方程组 【考点】指数函数的定义域和值域的应用． 15.【答案】32【解析】1C ：22221x y a b -=(0,0)a b >>的渐近线为b y x a =±则点2222,pb pb A a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2222,pb pb B a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，22:2(0)C x py p =>的焦点0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则22222pb p a pb aa kb -==，即2254b a =，22222+94c a b a a ==，32c e a ==． 【提示】求出A 的坐标，可得22244AC b a k ab-=，利用OAB 的垂心为C 2的焦点，可得22414b a b ab a -⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，由此可求C 1的离心率． 【考点】双曲线的离心率． 三、解答题16.【答案】（Ⅰ）()f x 的增区间为πππ,π+44k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，k ∈Z()f x 的减区间为π3ππ+,π+44k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．【解析】（Ⅰ）由11π()sin 21+cos 2+222f x x x ⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦111sin 2+sin 2222x x =- 1sin 22x =-由ππ2π22π+22k x k -≤≤，k ∈Z ，得ππππ+44k x k -≤≤，k ∈Z ，则()f x 的增区间为πππ,π+44k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ； 由π3π2π+22π+22k x k ≤≤，k ∈Z ，得π3ππ+π+44k x k ≤≤，k ∈Z ，则()f x 的减区间为π3ππ+,π+44k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ． （Ⅱ）在锐角ABC △中，1sin 022A f A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，1sin 2A =，π,6A =而1a =，由余弦定理可得22π12cos 2(26b c bc bc bc =+-≥=，当且仅当b c =时等号成立．即bc =11π1sin sin2644ABC S bc A bc bc ===≤△，故ABC △ 【提示】（Ⅰ）由三角函数恒等变换化简解析式可得1()sin 22f x x =-，由ππ2π22π+22k x k -≤≤，k ∈Z 可解得()f x 的单调递增区间，由π3π2π+22π+22k x k ≤≤，k ∈Z 可解得单调递减区间．（Ⅱ）由1s i n 022A f A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，可得sinA ，cos A ，由余弦定理可得：bc ≤且当b c =时等号成立，从而可求1sin 2bc A ≤【考点】三角函数单调区间，三角形的面积公式． 17.【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）60︒【解析】（Ⅰ）证明：如图1，连接DG ，DC ，设DC 与GF 交于点O ．在三棱台DEF ABC -中，2AB DE =，则2AC DF =， 而G 是AC 的中点，DF AC ∥，则DF GC ∥， 所以四边形DGCF 是平行四边形，O 是DC 的中点，DG FC ∥．又在BDC △中，H 是BC 的中点，则OH DB ∥，又BD FGH ⊄平面，OH FGH ⊂平面， 故BD FGH ∥平面．第17题图1（Ⅱ）由,C F A B C ⊥平面可得DG ABC ⊥平面而AB BC ⊥，45BAC ∠=︒，则,GB AC ⊥ 于是GD ，GB ，GC 两两垂直，以点为G 坐标原点，GA，GB GD 所在的直线分别为,x ,y z 轴建立空间直角坐标系，如图2，2AB =，1DE CF ==，AC =，AG =B，(C ，(F ，22H ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭则平面ACFD 的一个法向量为1(0,1,0)n =u r ， 设平面FGH 的法向量为2222(,,)n x y z =u u r则2200n GH n GF ⎧=⎪⎨=⎪⎩u ur uuu r g u u r uuu r g 即22220,22+0,yx z -=⎪⎨⎪=⎩取21x =，则21y =，2z =2n =u u r121cos ,2n n 〈〉==u r u u r ，故平面FGH 与平面ACFD 所成的角（锐角）的大小为60︒．数学试卷 第13页（共21页）数学试卷 第14页（共21页） 数学试卷 第15页（共21页）第17题图2【提示】（Ⅰ）根据2AB DE =便可得到2BC EF =，从而可以得出四边形EFHB 为平行四边形，从而得到BE HF ∥，便有BE FGH ∥平面，再证明DE FGH ∥平面，从而得到BDE FGH 平面∥平面，从而BD FGH ∥平面；（Ⅱ）连接HE ，根据条件能够说明HC ，HG ，HE 三直线两两垂直，从而分别以这三直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，然后求出一些点的坐标．连接BG ，可说明1n BG=u r uuu r为平面ACFD 的一条法向量，设平面FGH 的法向量为2222(,,)n x y z =u u r ，根据2200n GH n GF ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u r uuu r g u u r uuu r g 即可求出法向量2n u u r ，设平面FGH 与平面ACFD 所成的角为θ，根据12cos cos ,n n θ=〈〉u r u u r即可求出平面FGH 与平面ACFD 所成的角的大小． 【考点】线面的位置关系，两平面所夹的角 18.【答案】（Ⅰ）13,1,3,1n n n a n -=⎧=⎨>⎩，n *∈N（Ⅱ）1132+11243n n n T -=-g ，n *∈N 【解析】（Ⅰ）由23+3nn S =得111(3+3)32a S === 11111(3+3)(3+3)3(2)22n n n n n n a S S n ---=-=-=≥，而11133a -=≠，则13,1,3, 1.n n n a n -=⎧=⎨>⎩n *∈N ．（Ⅱ）由3log n n n a b a =及13,1,3, 1.n n n a n -=⎧=⎨>⎩可得311,1,log 31, 1.3n n nn n a b n a n -⎧=⎪⎪==⎨-⎪>⎪⎩.n *∈N 23111231+++++33333n n n T --=L ①223411112321++++++3333333n n n n n T ---=L ② 由①－②得，223121111111+++++33333333n n n n T --=--L223111111113333333n n n --⎛⎫=-+++++- ⎪⎝⎭L 113313212131+91392233n n n n n n ---=+-=---g 132+11823nn =-g 1132+11243n n n T -=-g ，n *∈N ． 【提示】（Ⅰ）利用23+3n n S =，可求得13a =；当1n >时，1123+3n n S --=，两式相减1222n n n a S S -=-，可求得13n n a -=，从而可得{}n a 的通项公式；（Ⅱ）依题意，3log n n n a b a =，可得113b =，当1n >时，31113log 313n n n n b n ---==-g ，于是可求得1113T b ==；当1n >时，121121++++13+23++(1)3)3n n n T b b b n ---=⋯⨯⨯⋯-⨯=（，利用错位相减法可求得{}n b 的前n 项和n T ．【考点】等比数列的通项公式，数列前n 项和的问题． 19.【答案】（Ⅰ）125，135，145，235，245，3450+(1)+1=3144221EX =⨯⨯-⨯【解析】（Ⅰ）125，135，145，235，245，345.（Ⅱ）由题意知，全部“三位递增数”的个数为3984C =，随机变量X 的取值为：0，1-，1，当0X =时，可以选择除去5以外的剩下8个数字中选择3个进行组合，即38C ； 当1X =-时，首先选择5，由于不能被10整除，因此不能选择数字2，4，6，8，可以从1，3，5，7中选择两个数字和5进行组合，即24C ；当1X =时，有两种组合方式，第一种方案：首先选5，然后从2，4，6，8中选择2个数字和5进行组合，即24C ；第二种方案：首先选5，然后从2，4，6，8中选择1个数字，再从1，3，7，9中选择1个数字，最后把3个数字进行组合，即1144C C ． 则3839C 2(0)C 3P X ===，2439C 1(1)C 14P X =-==，1124443C C +C 11(1)C 42P X ===g ，0+(1)+1=3144221EX =⨯⨯-⨯．【提示】（Ⅰ）根据“三位递增数”的定义，即可写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）随机变量X 的取值为：0，1-，1分别求出对应的概率，即可求出分布列和期望． 【考点】排列与组合的有关问题．20.【答案】（Ⅰ）22+14x y =（Ⅱ）（ⅰ）2（ⅱ）【解析】（Ⅰ）由椭圆C ：2222+1(0)x y a b a b =>>的离心率为，可知c e a ==，而222+a b c =，则2a b =，c =，左，右焦点分别是1(,)F 0，2,0)F ，圆1:F 22()+9x y =，圆2:F 22()+1x y =，有两圆相交可得24<<，即12<<，交点⎛，在椭圆C 上，则224134b b =g ，整理得4245+10b b -=，解得21b =，214b =（舍去）． 故21b =，24a =，椭圆C 的方程22+14x y =．数学试卷 第16页（共21页）数学试卷 第17页（共21页）数学试卷 第18页（共21页）（Ⅱ）（ⅰ）椭圆E 的方程为22+1164x y =，设点P 00(,)x y 满足22+14x y =，射线PO ：000(0)y y x xx x =<代入22+1164x y =可得点00(2,2),Q x y --于是||2||OQ OP ==．（ⅱ）点00(2,2),Q x y --到直线AB 距离等于圆点O 到直线AB 距离的3倍d == 22+,+1164y kx m x y =⎧⎪⎨=⎪⎩得22+4(+)16x kx m =整理得222(1+4)+8+4160k x kmx m -= 2222226416(4+1)(4)16(16+4)0k m k m k m ∆=--=->||AB =2222211||+16+4=||3612221+42(4+1)ABQ m m k m S AB d k k -=≤=g g g g △当且仅当||m =228+2m k =等号成立．而直线+y kx m =与椭圆C ：222+14xy =有交点P ，则222++14y kx m x y =⎧⎪⎨=⎪⎩有解，即224|+|4x kx m +=，222(14)+8+440k x kmx m +-=有解， 其判别式22222216416(4+1)(1)16(4+1)0k m k m k m ∆=--=-≥，即221+4k m ≥，则上述228+2m k =不成立，等号不成立，设(]0,1t ，则ABQ S =△(]0,1为增函数， 于是当221+4k m =时max S ==△ 故ABQ △面积的最大值为【提示】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和a ，b ，c 的关系，计算即可得到b ，进而得到椭圆C 的方程；（Ⅱ）求得椭圆E 的方程，（ⅰ）设P 00(,)x y ，||||OQ OP λ=，求得Q 的坐标，分别代入椭圆C ，E 的方程，化简整理，即可得到所求值；（ⅱ）将直线+y kx m =代入椭圆E 的方程，运用韦达定理，三角形的面积公式，将直线+y kx m =代入椭圆C 的方程，由判别式大于0，可得t 的范围，结合二次函数的最值，又ABQ △的面积为3S ，即可得到所求的最大值．【考点】椭圆的标准方程，圆交点连线所形成三角形的有关问题 21.【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）01a ≤≤【解析】（1）2()ln(+1)+()f x x a x x =-，定义域为(1,+)-∞21(21)(+1)+12++1()+(21)+1+1+1a x x ax ax af x a x x x x --'=-==设2()2++1g x ax ax a =-当0a =时，()1g x =，1'()01f x x =>+函数()f x 在(1,+)-∞为增函数，无极值点． 当0a >时，228(1)98a a a a a ∆=--=-，若809a ≥>时，0∆≤，()0g x ≥，'()0f x ≥函数()f x 在(1,+)-∞为增函数，无极值点． 若89a >时，0∆>，设()0g x =的两个不相等的实数根12,x x ，且12,x x <且121+2x x =-，而(1)10g -=>，则12114x x -<<-<，所以当1(1,)x x ∈-，()0g x >，()0f x '>()f x 单调递增； 当12(,)x x x ∈，()0g x <，()0f x '<，()f x 单调递减； 当2(,+)x x ∈∞，()0g x >，()0f x '>，()f x 单调递增； 因此此时函数()f x 有两个极值点；若0a <时，0∆>，但(1)10g -=>，121x x <-<， 所以当1(1,)x x ∈-，()0g x >，()0f x '>，()f x 单调递增； 当2(,+)x x ∈∞，()0g x <，()0f x '<，()f x 单调递减； 所以函数()f x 只有一个极值点．综上所述：当809a ≥≥时()f x 无极值点；当0a <时()f x 只有一个极值点；当89a >时()f x 有两个极值点． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当809a ≥≥时，()f x 在(0,+)∞单调递增，而(0)0f =，则当(0,+)x ∈∞时，()0f x >，符合题意； 当819a ≥≥时，(0)0g ≥，20x ≤，()f x 在(0,+)∞单调递增，而(0)0f =，则当(0,+)x ∈∞时，()0f x >符合题意；当1a >时，(0)0g <，20x >所以函数()f x 在2(0,)x 单调递减，而(0)0f =，则当2(0,)x x ∈时，()0f x <，不符合题意；当0a <时，设()ln(1)h x x x =-+，当(0,+)x ∈∞时，1'()101+1+xh x x x=-=>，()h x 在(0,+)∞单调递增，因此当(0,+)x ∈∞时，()(0)h x h >=，ln(+1)0x <于是22()+()+(1)f x x a x x ax a x <-=-，当11x a>-时，2+(1)0ax a x -<此时()0f x <不符合题意．综上所述：a 的取值范围是01a ≤≤【提示】（Ⅰ）函数2()ln(+1)+()f x x a x x =-，其中a ∈R ，(1)x ∈-+∞，．212++1()+(21)+1+1ax ax a f x a x x x -'=-=．令2()2++1g x ax ax a =-.对a 与△分类讨论可得：（1）当0a =时，此时()0f x '>，即可得出函数的单调性与极值的情况． （2）当0a >时，(98)a a =-△．①当809a ≥>时，0≤△，②当89a >时，0>△，即可得出函数的单调性与极值的情况．（3）当0a <时，0>△.即可得出函数的单调性与极值的情况． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知：（1）当809a ≥≥时，可得函数()f x 在(0,+)∞上单调性，即可判断出． （2）当819a ≥>1时，由(0)0g ≥，可得20x ≤，函数()f x 在(0,+)∞上单调性，即可判断出．（3）当1a <时，由(0)0g <，可得20x >，利用2(0,)x x ∈时函数()f x 单调性，即可判断出；（4）当0a <时，设()ln(+1)h x x x =-，(0,+)x ∈∞，研究其单调性，即可判断出【考点】函数的极值，函数恒成立求未知数的取值范围数学试卷第19页（共21页）数学试卷第20页（共21页）数学试卷第21页（共21页）。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（理科）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2015 年山东，理1】已知集合 2{ x |x4x 3 0} ，B {x|2 x 4} ，则 A B （）（A）1,3 （B）1,4 （C）2,3 （D）2,4z（2）【2015 年山东，理2】若复数z满足i1 i，其中i 是虚数单位，则z （）（A）1 i （B）1 i （C） 1 i （D） 1 i（3）【2015 年山东，理3】要得到函数y sin(4x ) 的图象，只需将函数y sin 4x的图像（）3（A）向左平移个单位（B）向右平移个单位（C）向左平移个单位（D）向右平移个单位12 12 3 3（4）【2015 年山东，理4】已知菱形ABCD 的边长为 a ，ABC 60 ，则????·???=?（）3 3 3 32 2 2 2a （B） a （C） a （D） a（A）2 4 4 2（5）【2015 年山东，理5】不等式| x 1| | x 5|2的解集是（）（A）( ,4) （B）( ,1)（C）(1,4)（D）(1,5)x y 0（6）【2015 年山东，理6】已知x,y 满足约束条件x y 2 若z ax y 的最大值为4，则 a （）y 0（A）3 （B）2 （C）-2 （D）-3（7）【2015 年山东，理7】在梯形ABCD中，A BC ，AD / / B C ，BC 2AD 2AB 2．将梯形ABCD2绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）（A）23 （B）43（C）53（D）2（8）【2015 年山东，理8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布 2N (0,3 ) ，从中随机取一件，其长度误差落在区间3,6 内的概率为（）（附：若随机变量服从正态分布 2N(, ) ，则P( ) 6 8. 2 6，%P( 2 2 ) 95.44%）（A）4.56%（B）13.59%（C）27.18%（D）31.74%（9）【2015 年山东，理9】一条光线从点( 2, 3)射出，经y轴反射与圆 2 2(x3) (y2) 1相切，则反射光线所在的直线的斜率为（）（A）53 或35（B）32或23（C）54或45（D）43或34（10）【2015 年山东，理10】设函数f ( x)3x1,x1,x2 ,x 1.则满足f (a)f ( f (a)) 2 的取值范围是（）（A）2[ ,1]3（B）[0,1]（C）2[ , )3（D）[1, )第II卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分（11）【2015 年山东，理11】观察下列各式：100C4;1011C C4;330122C C C4;55501233 C C C C4;7777照此规律，当n N*时，012n1C C C C．2n12n12n12n1（12）【2015年山东，理12】若“x[0,],tan x m”是真命题，则实数m的最小值为．4（13）【2015年山东，理13】执行右边的程序框图，输出的T的值为．x（14）【2015年山东，理14】已知函数f(x)a b(a0,a1)的定义域和值域都是[1,0]，则a b．22x y（15）【2015年山东，理15】平面直角坐标系xOy中，双曲线C1:221(a0,b0)a b2C x py p交于点O,A,B，若OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为．2:2(0)C x py p交于点O,A,B，若OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为．三、解答题：本大题共6题，共75分．的渐近线与抛物线（16）【2015年山东，理16】（本小题满分12分）设（Ⅰ）求f(x)的单调区间；2f(x)sin xcosx cos(x)．4A（Ⅱ）在锐角ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若f()0,a1，求ABC面积．2（17）【2015年山东，理17】（本小题满分12分）如图，在三棱台DEF ABC中，AB2DE,G,H分别为AC,BC的中点．（Ⅰ）求证：BD//平面FGH；（Ⅱ）若CF平面ABC，AB BC,CF DE,BAC45，求平面FGH与平面ACFD所成角（锐角）的大小．2na的前n项和为S n，已知2S33．（18）【2015年山东，理18】（本小题满分12分）设数列{}n n（Ⅰ）求数列{a}的通项公式；n（Ⅱ）若数列{b}满足a n b n log3a n，求数列{b n}的前n项和T n．n（19）【2015年山东，理19】（本小题满分12分）若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得-1分；若能被10整除，得1分．（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX．3（20）【2015年山东，理20】（本小题满分13分）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22x yC:1(a b0)22a b的离心率为32，左、右焦点分别是F1,F2,以F1为圆心，以3为半径的圆与以F2为圆心，以1为半径的圆相交，交点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；22x y，P为椭圆C上的任意一点，过点P的直线y kx m交椭圆E于A,B两点，（Ⅱ）设椭圆E:1224a4b射线PO交椭圆E于点Q．（i）求|OQ||OP|的值；（ii）求ABQ面积最大值．4（21）【2015年山东，理21】（本题满分14分）设函数（Ⅰ）讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由；2f(x)ln(x1)a(x x)，其中a R．（Ⅱ）若x0，f(x)0成立，求a的取值范围．52015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（理科）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2015 年山东，理1】已知集合{ x |x2 4x 3 0} ，B {x|2 x 4} ，则 A B （）（A）1,3 （B）1,4 （C）2,3 （D）2,4【答案】 C【解析】 2A { x | x 4x 3 0} { x |1 x 3} ，AB (2,3) ，故选C．z（2）【2015 年山东，理2】若复数z满足i1 i（）1 i 1 i 1 i 1i A B C D（）（）（）【答案】 A，其中i 是虚数单位，则z （）【解析】 2z (1 i)i i i 1 i ，z 1 i ，故选 A ．（3）【2015 年山东，理3】要得到函数y sin(4x ) 的图象，只需将函数y sin 4x的图像（）3（A）向左平移个单位（B）向右平移个单位（C）向左平移个单位（D）向右平移个单位12 12 3 3【答案】 B【解析】y sin4( x ) ，只需将函数y sin4x的图像向右平移12 12个单位，故选B．（4）【2015 年山东，理4】已知菱形ABCD 的边长为 a ，ABC 60 ，则????·???=?（）（A）322a （B）342a （C）342a （D）322a【答案】 D【解析】由菱形ABCD 的边长为 a ，ABC 60 可知BAD 180 60 120 ，2 23 2BD CD ( AD AB) ( A B) AB AD AB a a cos120 a a ，故选D．2（5）【2015 年山东，理5】不等式| x 1| | x 5| 2的解集是（）（A）( ,4) （B）( ,1)（C）(1,4)（D）(1,5)【答案】 A【解析】当x 1时，1 x (5 x) 4 2成立；当 1 x 5 时，x 1 (5 x) 2x 6 2，解得x 4 ，则1 x 4 ；当x 5 时，x 1 ( x 5) 42 不成立．综上x 4 ，故选A．x y 0（6）【2015 年山东，理6】已知x, y满足约束条件若z ax y 的最大值为4，则a （）x y 2y 0（A）3（B）2 （C）-2（D）-3【答案】 B【解析】由z ax y 得y ax z ，借助图形可知：当 a 1，即a 1 时在x y 0时有最大值0，不符合题意；当0 a 1 ，即 1 a 0时在x y 1 时有最大值 a 1 4,a 3 ，不满足 1 a 0 ；当 1 a 0 ，即0 a 1 时在x y 1 时有最大值 a 1 4,a 3，不满足0 a 1；当 a 1，即a 1时在x 2,y 0 时有最大值2a 4,a 2 ，满足a 1，故选B．（7）【2015 年山东，理7】在梯形ABCD中，A BC ，AD / / B C ，BC 2AD 2AB 2．将梯形ABCD2绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）6（A）23 （B）43（C）53（D）2【答案】 C【解析】 2 1 2 5V 1 2 1 1 ，故选C．3 3（8）【2015 年山东，理8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N (0,32 ) ，从中随机取一件，其长度误差落在区间3,6 内的概率为（）（附：若随机变量服从正态分布 2N(, ) ，则P( ) 6 8. 2 6，%P( 2 2 ) 95.44%）（A）4.56%（B）13.59%（C）27.18%（D）31.74%【答案】 D【解析】1P(3 6) (95.44% 68.26%) 13.59%，故选D．2（9）【2015 年山东，理9】一条光线从点( 2, 3)射出，经y轴反射与圆 2 2(x3) (y2) 1相切，则反射光线所在的直线的斜率为（）（A）53或35（B）32或23（C）54或45（D）43或34【答案】 D【解析】( 2, 3)关于y 轴对称点的坐标为(2, 3) ，设反射光线所在直线为y 3 k(x 2),即kx y 2k 3 0，则| 3k 2 2k 3 |2d 1,| 5k 5| k 12k 1，解得4k 或334，故选D．（10）【2015 年山东，理10】设函数 f (x) 3x 1,x 1,x2 , x 1.则满足 f ( a )f ( f ( a)) 2 的取值范围是（）（A）2[ ,1]3（B）[0,1] （C）2[ , )3（D）[1, )【答案】 C【解析】由 f ( a )f f a 可知 f (a) 1 ，则( ( )) 2 a 1a2 1或a 13a 1 1，解得 2a ，故选C．3第II卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分（11）【2015 年山东，理11】观察下列各式：0 0C 4 ;10 1 1C C 4 ;3 30 1 2 2C C C 4 ;5 5 50 1 2 3 3C C C C 4 ;7 7 7 7 照此规律，当n N* 时，0 1 2 n 1C C C C ．2n 1 2 n 1 2n 1 2n 1n 1 【答案】 4【解析】10 1 2 n 1 0 1 2 n 1C C C C (2C 2C 2C 2C )2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1210 2n 1 1 2n 2 2 2n 3 n 1 n[(C C ) (C C ) (C C ) (C C )] 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2 n 1 2n 1 2n 1 2 n 121 10 1 2 n 1 n 2n 1 2n 1 n 1(C C C C C C ) 2 42n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 12 2（12）【2015 年山东，理12】若“x [0, ],tan x m”是真命题，则实数m 的最小值为．4【答案】 1【解析】“x [0, ],tan x m ”是真命题，则m tan 1，于是实数m 的最小值为1．4 4（13）【2015 年山东，理13】执行右边的程序框图，输出的T 的值为．7【答案】1161 121111【解析】T1xdx x dx1．00236x（14）【2015年山东，理14】已知函数f(x)a b(a0,a1)的定义域和值域都是[1,0]，则a b．【答案】32【解析】当a1时1a ba b1，无解；当a1时1abab1，解得1b2,a，则213a b2．22（15）【2015年山东，理15】平面直角坐标系xOy中，双曲线22x yC aba b1:221(0,0)的渐近线与抛物线2C x py p交于点O,A,B，若OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为．2:2(0)【答案】32【解析】22x yC1:221(a0,b0)a b的渐近线为byxa，则222pb2pb2pb2pbA(,),B(,)22a a a ap2C2:x2py(p0)的焦点F(0,)，则2kAF22pbp2aa22apbb，即2b2a54，222cab22aa94，eca32．三、解答题：本大题共6题，共75分．（16）【2015年山东，理16】（本小题满分12分）设（Ⅰ）求f(x)的单调区间；2f(x)sin xcosx cos(x)．4A（Ⅱ）在锐角ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若f()0,a1，求ABC面积．2解：（Ⅰ）由111111f(x)sin2x[1cos(2x)]sin2x sin2x sin2x，2222222由2k2x2k,k Z得k x k,k Z，2244则f(x)的递增区间为[,],k k k Z；44由32k2x2k,k Z得223k x k,k Z，44则f(x)的递增区间为[,3],k k k Z．44（Ⅱ）在锐角ABC中，()sin10,sin1Af A A，222A，而a1，6由余弦定理可得221b c2bccos2bc3bc(23)bc，当且仅当b c时等号成立，6即1bc23，2311123S bc sin A bc s in bc故ABC面积的最大值为ABC22644234．（17）【2015年山东，理17】（本小题满分12分）如图，在三棱台DEF ABC中，AB2DE,G,H分别为AC,BC的中点．（Ⅰ）求证：BD//平面FGH；（Ⅱ）若CF平面ABC，AB BC,C F DE,BAC45，求平面FGH与平面ACFD所成角（锐角）的大小．解：（Ⅰ）证明：连接DG，DC，设DC与GF交于点T，8在三棱台DEF ABC 中，AB 2DE ，则AC 2DF ，而G 是AC 的中点，DF AC ，则DF / /GC ，所以四边形DGCF 是平行四边形，T是DC 的中点，DG FC ．又在BDC ，是BC 的中点，则TH DB ，又BD 平面FGH ，TH 平面FGH ，故BD / / 平面FGH ．（Ⅱ）由CF 平面ABC ，可得DG 平面ABC 而，AB BC ，BAC 45 ，则GB AC ，于是GB, G A, G C 两两垂直，以点G 为坐标原点，GA,GB, GC 所在的直线，分别为x, y,z轴建立空间直角坐标系，设AB 2,则DE CF 1, AC 2 2, AG 2 ,2 2B(0, 2,0), C(2,0,0), F ( 2,0,1), H ( , ,0) ，2 2则平面ACFD 的一个法向量为n，设平面FGH 的法向量为1 (0,1,0)n2 (x2 , y2 , z2 ) ，则n GH2n GF2，即2 2x y2 22 22x z 02 2，取x2 1，则y2 1, z2 2 ，n2 (1,1, 2) ，1 1cos ,n n ，故平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小为60 ．1 221 1 2n （18）【2015 年山东，理18】（本小题满分12 分）设数列{a } 的前n 项和为S n ，已知2S 3 3．n n （Ⅰ）求数列{a } 的通项公式；n（Ⅱ）若数列{b } 满足n a b log a ，求数列{b } 的前n 项和n n 3 n nT ．n1n解：（Ⅰ）由2S 3 3可得a1 S1 (3 3) 3，n21 1n n 1 n 1a S S (3 3) (3 3) 3 (n 2) ，n n n 12 2而3, n 11 1a1 3 3 ，则 1an n3 ,n 1．（Ⅱ）由3, n 1a b a 及 1log a，可得n n 3 n n n3 ,n 1bn1n 1log a 33 na n1nn 1n131 123 n 1T ，n 2 3 n 13 3 3 3 3 1 1 1 2 3 n 2 n 1 T ，n 2 2 34 n 1 n3 3 3 3 3 3 32 1 1 1 1 1 1 n 1 1 1 1 1 1 1 n 1 T ( )n 2 2 3 n 1 n 2 2 3 n 1 n3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 31 1n2 3 3 n 1 2 1 3 n 1 13 2n 1n n n n19 1 3 9 2 2 3 3 18 2 3313 2n 1Tn n112 4 3（19）【2015 年山东，理19】（本小题满分12 分）若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137，359，567 等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被 5 整除，参加者得0 分；若能被 5 整除，但不能被10 整除，得-1 分；若能被10 整除，得 1 分．（Ⅰ）写出所有个位数字是 5 的“三位递增数”；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX ．解：（Ⅰ）125，135，145，235，245，345；9（Ⅱ）X 的所有取值为-1，0，1．甲得分X 的分布列为：3 2 1 1 2C 2 C 1 C C C 118 4 4 4 4P( X 0) , P( X 1) ,P(X 1)3 3 3C 3 C 14 C 429 9 9X 0 -1 1P 2311411422 1 11 4 EX 0 ( 1) 1 ．3 14 42 21（20）【2015 年山东，理20】（本小题满分13 分）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2 2x yC : 1(a b 0)2 2a b的离心率为32，左、右焦点分别是F1,F2 ,以F1 为圆心，以 3 为半径的圆与以F2 为圆心，以 1 为半径的圆相交，交点在椭圆 C 上．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）设椭圆 E2 2x y: 12 24a 4b，P 为椭圆 C 上的任意一点，过点P 的直线y kx m 交椭圆 E 于A,B 两点，射线PO 交椭圆 E 于点Q ．（i）求| OQ|| OP|的值；（ii）求ABQ面积最大值．解：（Ⅰ）由椭圆22xyC :1(ab0)22ab的离心率为32可知 eca右焦点分别是F1 ( 3b ,0), F2 ( 3b ,0) ,圆F1：(x 3b)2 y2 9,圆F2 ：22(x 3b) y 1,由两圆相交可得 2 2 3b 4 ，即1 3b2，交点2 22 ( , 1( ) )3b 3b在椭圆C 上，则21 ( 3b)4 3b2 2 23b 4b b21，整理得 4 24b 5b 10，解得2 1b ，2 1b （舍去），4故 2 1b ，2 4a ，椭圆 C 的方程为2x42 1y ．（Ⅱ）（i）椭圆E的方程为2 2x y16 41，设点P(x0,y0 ) ，满足2x42y0 1，射线yPO : y x( x0)x代入2 2x y16 41可得点Q( 2x0,2y0 ) ，于是22( 2x )( 2y )| OQ || OP | x y2 20 02．（ii ）点Q( 2x , 2y ) 到直线AB距离等于原点O 到直线AB距离的 3 倍：0 0d | 2kx 2 y m | | m |0 032 21 k 1 ky kx m，x2 y2 ，得116 42 4( )216x kxm ，整理得 2 2 2(1 4k )x8kmx 4m16 0 ．2 2 2 2 2 264k m 16(4 k 1)(m 4) 16(16k 4 m ) 0 ，21 k22 | AB | 16(16k 4 m )21 4k221 1 | m | |m|16k4 m2 2S | AB | d 3 4 16k 4 m 6222 2 1 4k 14k2 2 2m 16k 4 m61222(4k 1)，当且仅当 2 2 2 2|m| 16k 4 m ,m8k 2等号成立．而直线y kx m 与椭圆2xC y 有交点P，则: 124y kx m2 4 2 4x y有解，10即24()24,(142)284240 x kx m k x kmx m有解，其判别式222222164k m16(14k)(m1)16(14k m)0，即22 14k m，则上述2822m k不成立，等号不成立，设 t|m|214k(0,1]，则22|m|16k4mS66(4t)t214k在(0,1]为增函数，于是当2214k m时S max6(41)163，故ABQ面积最大值为12．（21）【2015年山东，理21】（本题满分14分）设函数f(x)ln(x1)a(x2x)，其中a R．（Ⅰ）讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由；（Ⅱ）若x0，f(x)0成立，求a的取值范围．解：（Ⅰ）2f(x)ln(x1)a(x x)，定义域为(1,)，21a(2x1)(x1)12ax ax1a f(x)a(2x1)x1x1x1，设2g(x)2ax ax1a，当a0时，()1,()10g x f xx1，函数f(x)在(1,)为增函数，无极值点．当a0时，a28a(1a)9a28a，若08a时0，g(x)0,f(x)0，函数f(x)在(1,)为增函数，无极值点．9若8a时0，设g(x)0的两个不相等的实数根x1,x2，且x1x2，91x x，而g(1)10，则且12211x x，所以当x(1,x1),g(x)0,f(x)0,f(x)单调124递增；当x(x,x),g(x)0,f(x)0,f(x)单调递减；当x(x2,),g(x)0,f(x)0,f(x)单调递增．12因此此时函数f(x)有两个极值点；当a0时0，但g(1)10，x11x2，所以当x(1,x),g(x)0,f(x)0,f(x)单调2递増；当x(x2,),g(x)0,f(x)0,f(x)单调递减，所以函数只有一个极值点．综上可知当08a时f(x)的无极值点；当a0时f(x)有一个极值点；当98a时，f(x)的有两个9极值点．8（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当0a时f(x)在(0,)单调递增，而f(0)0，9则当x(0,)时，f(x)0，符合题意；当81a时，g(0)0,x20，f(x)在(0,)单调递增，而f(0)0，9则当x(0,)时，f(x)0，符合题意；当a1时，g(0)0,x0，所以函数f(x)在(0,x2)单调递减，而f(0)0，2则当x(0,x)时，f(x)0，不符合题意；2当a0时，设h(x)x ln(x1)，当x(0,)时()110xh xx11x h(x)在(0,)单调递增，因此当x(0,)时h(x)h(0)0,ln(x1)0，，于是22f(x)x a(x x)ax(1a)x，当x11a时2(1)0ax a x，此时f(x)0，不符合题意．综上所述，a的取值范围是0a1．另解：（Ⅰ）2f(x)ln(x1)a(x x)，定义域为(1,)，21a(2x1)(x1)12ax ax1a f(x)a(2x1)x1x1x111当a0时，1f(x)0，函数f(x)在(1,)为增函数，无极值点．x1设222g(x)2ax ax1a,g(1)1,a8a(1a)9a8a，当a0时，根据二次函数的图像和性质可知g(x)0的根的个数就是函数f(x)极值点的个数．若a(9a8)0，即08a时，g(x)0，f(x)0函数在(1,)为增函数，无极值点．9若a(9a8)0，即8a或a0，而当a0时g(1)09此时方程g(x)0在(1,)只有一个实数根，此时函数f(x)只有一个极值点；当8a时方程g(x)0在(1,)都有两个不相等的实数根，此时函数f(x)有两个极值点；9综上可知当8a时f(x)的极值点个数为0；当a0时f(x)的极值点个数为1；当98a时，9f(x)的极值点个数为2．（Ⅱ）设函数2f(x)ln(x1)a(x x)，x0，都有f(x)0成立，即2ln(x1)a(x x)0当x1时，ln20恒成立；ln(x1)20当x1时，x x，a2x xln(x1)20当0x1时，x x，2x x 0；a0；由x0均有ln(x1)x成立．故当x1时，，l n(x1)12x x x1(0,)，则只需a0；当0x1时，l n(x1)12x x x1(,1)，则需1a0，即a1．综上可知对于x0，都有f(x)0成立，只需0a1即可，故所求a的取值范围是0a1．另解：（Ⅱ）设函数2f(x)ln(x1)a(x x)，f(0)0，要使x0，都有f(x)0成立，只需函数函数f(x)在(0,)上单调递增即可，于是只需x0，1f(x)a(2x1)0x1成立，当1x时2a1(x1)(2x1)，令2x1t0，2g(t)(,0)t(t3)，则a0；当1x时212f()0；当231x，2a1(x1)(2x1)，令2x1t(1,0)，g(t)2t(t3)关于t(1,0)单调递增，则2g(t)g(1)1，则a1，于是0a1．1(13)又当a1时，g(0)0,x0，所以函数f(x)在(0,x2)单调递减，而f(0)0，2则当x(0,x2)时，f(x)0，不符合题意；当a0时，设h(x)x ln(x1)，当x(0,)时1xh(x)10x11x，h(x)在(0,)单调递增，因此当x(0,)时h(x)h(0)0,ln(x1)0，于是22f(x)x a(x x)ax(1a)x，当x11a时2(1)0ax a x，此时f(x)0，不符合题意．综上所述，a的取值范围是0a1．【评析】求解此类问题往往从三个角度求解：一是直接求解，通过对参数a的讨论来研究函数的单调性，进一步确定参数的取值范围；二是分离参数法，求相应函数的最值或取值范围以达到解决问题的目的；三是凭借函数单调性确定参数的取值范围，然后对参数取值范围以外的部分进行分析验证其不符合题意，即可12确定所求．13。

2015年普通高等学校招生全国统一考试山东理科数学参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ).第Ⅰ卷(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ＝{x|x 2﹣4x ＋3<0}，B ＝{x|2<x<4}，则A ∩B ＝( ) A ．(1，3) B ．(1，4) C ．(2，3) D ．(2，4) 答案：C 解析：A ＝{x|x 2﹣4x ＋3<0}＝{x|1<x<3}，B ＝{x|2<x<4}，结合数轴，知A ∩B ＝{x|2<x<3}. 2.若复数z 满足z 1−i＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )A ．1﹣iB ．1＋iC ．﹣1﹣iD ．﹣1＋i答案：A解析：∵z1−i ＝i ，∴z ＝i(1﹣i)＝i ﹣i 2＝1＋i .∴z ＝1﹣i .3.要得到函数y ＝sin (4x −π3)的图象，只需将函数y ＝sin4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位 B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位答案：B解析：∵y ＝sin (4x −π3)＝sin [4(x −π12)]，∴只需将函数y ＝sin4x 的图象向右平移π12个单位即可.4.已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝( ) A ．﹣32a 2 B ．﹣34a 2 C ．34a 2 D ．32a 2答案：D解析：如图设BA⃗⃗⃗⃗⃗ ＝a ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝B ．则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(a ＋b)·a ＝a 2＋a·b ＝a 2＋a ·a ·cos60°＝a 2＋12a 2＝32a 2.5.不等式|x ﹣1|﹣|x ﹣5|<2的解集是( )A ．(﹣∞，4)B ．(﹣∞，1)C ．(1，4)D ．(1，5) 答案：A解析：当x ≤1时，不等式可化为(1﹣x )﹣(5﹣x )<2，即﹣4<2，满足题意；当1<x<5时，不等式可化为(x ﹣1)﹣(5﹣x )<2，即2x ﹣6<2，解得1<x<4； 当x ≥5时，不等式可化为(x ﹣1)﹣(x ﹣5)<2，即4<2，不成立. 故原不等式的解集为(﹣∞，4). 6.已知x ，y 满足约束条件{x −y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0.若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( )A ．3B ．2C ．﹣2D ．﹣3答案：B解析：由约束条件画出可行域，如图阴影部分所示.线性目标函数z ＝ax ＋y ，即y ＝﹣ax ＋z. 设直线l 0：ax ＋y ＝0.当﹣a ≥1，即a ≤﹣1时，l 0过O (0，0)时，z 取得最大值，z max ＝0＋0＝0，不合题意；当0≤﹣a<1，即﹣1<a ≤0时，l 0过B (1，1)时，z 取得最大值，z max ＝a ＋1＝4，∴a ＝3(舍去)； 当﹣1<﹣a<0时，即0<a<1时，l 0过B (1，1)时，z 取得最大值，z max ＝2a ＋1＝4，∴a ＝32(舍去)；当﹣a ≤﹣1，即a ≥1时，l 0过A (2，0)时，z 取得最大值，z max ＝2a ＋0＝4，∴a ＝2. 综上，a ＝2符合题意.7.在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A ．2π3B ．4π3C ．5π3D ．2π答案：C解析：由题意可得旋转体为一个圆柱挖掉一个圆锥.V 圆柱＝π×12×2＝2π，V 圆锥＝13×π×12×1＝π3.∴V 几何体＝V 圆柱﹣V 圆锥＝2π﹣π3＝5π3.8.已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ﹣σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P (μ﹣2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%.)A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%答案：B解析：由正态分布N (0，32)可知，ξ落在(3，6)内的概率为P(μ−2σ<ξ<μ＋2σ)−P(μ−σ<ξ<μ＋σ)2＝95.44%−68.26%2＝13.59%.9.一条光线从点(﹣2，﹣3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y ﹣2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( ) A ．﹣53或﹣35 B ．﹣32或﹣23 C ．﹣54或﹣45D ．﹣43或﹣34答案：D解析：如图，作出点P (﹣2，﹣3)关于y 轴的对称点P 0(2，﹣3).由题意知反射光线与圆相切，其反向延长线过点P 0.故设反射光线为y ＝k (x ﹣2)﹣3，即kx ﹣y ﹣2k ﹣3＝0.∴圆心到直线的距离d ＝√1＋k 2＝1，解得k ＝﹣43或k ＝﹣34.10.设函数f (x )＝{3x −1，x <1，2x ，x ≥1.则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A ．[23，1] B ．[0，1] C ．[23，＋∞)D ．[1，＋∞)答案：C解析：当a ＝2时，f (2)＝4，f (f (2))＝f (4)＝24，显然f (f (2))＝2f (2)，故排除A ，B ．当a ＝23时，f (23)＝3×23﹣1＝1，f (f (23))＝f (1)＝21＝2. 显然f (f (23))＝2f(23).故排除D ． 综上，选C ．第Ⅱ卷(共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.观察下列各式：C 10＝40；C 30＋C 31＝41； C 50＋C 51＋C 52＝42； C 70＋C 71＋C 72＋C 73＝43； ……照此规律，当n ∈N *时，C 2n−10＋C 2n−11＋C 2n−12＋…＋C 2n−1n−1＝__________.答案：4n ﹣1解析：观察各式有如下规律：等号左侧第n 个式子有n 项，且上标分别为0，1，2，…，n ﹣1，第n 行每项的下标均为2n ﹣1.等号右侧指数规律为0，1，2，…，n ﹣1.所以第n 个式子为C 2n−10＋C 2n−11＋C 2n−12＋…＋C 2n−1n−1＝4n ﹣1.12.若“∀x ∈[0，π4]，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为__________. 答案：1解析：由题意知m ≥(tan x )max .∵x ∈[0，π4]，∴tan x ∈[0，1]， ∴m ≥1.故m 的最小值为1.13.执行下边的程序框图，输出的T 的值为__________.答案：116解析：初始n ＝1，T ＝1.又∫1x n d x ＝1n ＋1x n ＋1|01＝1n ＋1，∵n ＝1<3，∴T ＝1＋11＋1＝32，n ＝1＋1＝2； ∵n ＝2<3，∴T ＝32＋12＋1＝116，n ＝2＋1＝3；∵n ＝3，不满足“n<3”，执行“否”，∴输出T ＝116.14.已知函数f (x )＝a x ＋b (a>0，a ≠1)的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a ＋b ＝__________. 答案：﹣32解析：f (x )＝a x ＋b 是单调函数，当a>1时，f (x )是增函数，∴{a −1＋b ＝−1，a 0＋b ＝0，无解.当0<a<1时，f (x )是减函数，∴{a −1＋b ＝0，a 0＋b ＝−1，∴{a ＝12，b ＝−2. 综上，a ＋b ＝12＋(﹣2)＝﹣32.15.平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a −y 2b ＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p>0)交于点O ，A ，B ．若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为__________. 答案：32解析：双曲线的渐近线为y ＝±ba x.由{y ＝ba x ，x 2＝2py ，得A (2bp a ，2b 2p a ).由{y ＝−ba x ，x 2＝2py ，得B (−2bp a ，2b 2p a 2). ∵F (0，p2)为△OAB 的垂心，∴k AF ·k OB ＝﹣1.即2b 2p a 2−p22bpa−0·(−ba )＝﹣1，解得b 2a 2＝54，∴c 2a 2＝94，即可得e ＝32.三、解答题：本大题共6小题，共75分.16.(本小题满分12分)设f (x )＝sin x cos x ﹣cos 2(x ＋π4). (1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，C ．若f (A2)＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值. 解：(1)由题意知f (x )＝sin2x 2−1＋cos(2x ＋π2)2＝sin2x 2−1−sin2x2＝sin2x ﹣12.由﹣π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z ，可得﹣π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ；由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间是[−π4＋kπ，π4＋kπ](k ∈Z)；单调递减区间是[π4＋kπ，3π4＋kπ](k ∈Z).(2)由f (A2)＝sin A ﹣12＝0，得sin A ＝12，由题意知A 为锐角，所以cos A ＝√32. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2﹣2bc cos A ， 可得1＋√3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤2＋√3，且当b ＝c 时等号成立. 因此12bc sin A ≤2＋√34.所以△ABC 面积的最大值为2＋√34.17.(本小题满分12分)如图，在三棱台DEF ﹣ABC 中，AB ＝2DE ，G ，H 分别为AC ，BC 的中点. (1)求证：BD ∥平面FGH ；(2)若CF ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，CF ＝DE ，∠BAC ＝45°，求平面FGH 与平面ACFD 所成的角(锐角)的大小.(1)证法一：连接DG ，CD ，设CD ∩GF ＝O ，连接OH.在三棱台DEF ﹣ABC 中，AB ＝2DE ，G 为AC 的中点，可得DF ∥GC ，DF ＝GC ，所以四边形DFCG 为平行四边形.则O 为CD 的中点，又H 为BC 的中点，所以OH ∥BD ，又OH ⊂平面FGH ，BD ⊄平面FGH ，所以BD ∥平面FGH.证法二：在三棱台DEF ﹣ABC 中，由BC ＝2EF ，H 为BC 的中点，可得BH ∥EF ，BH ＝EF ，所以四边形BHFE 为平行四边形.可得BE ∥HF .在△ABC 中，G 为AC 的中点，H 为BC 的中点，所以GH ∥AB ． 又GH ∩HF ＝H ，所以平面FGH ∥平面ABED ． 因为BD ⊂平面ABED ， 所以BD ∥平面FGH.(2)解法一：设AB ＝2，则CF ＝1.在三棱台DEF ﹣ABC 中，G 为AC 的中点，由DF ＝12AC ＝GC ，可得四边形DGCF 为平行四边形，因此DG ∥FC ．又FC ⊥平面ABC ， 所以DG ⊥平面ABC ．在△ABC 中，由AB ⊥BC ，∠BAC ＝45°，G 是AC 中点，所以AB ＝BC ，GB ⊥GC ，因此GB ，GC ，GD 两两垂直.以G 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系G ﹣xyz. 所以G (0，0，0)，B (√2，0，0)，C (0，√2，0)，D (0，0，1). 可得H (√22，√22，0)，F (0，√2，1)， 故GH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(√22，√22，0)，GF ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0，√2，1). 设n ＝(x ，y ，z )是平面FGH 的一个法向量， 则由{n ·GH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，n ·GF ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，可得{x ＋y ＝0，√2y ＋z ＝0.可得平面FGH 的一个法向量n ＝(1，﹣1，√2). 因为GB ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面ACFD 的一个法向量，GB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(√2，0，0)， 所以cos <GB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n >＝GB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n |GB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|n|√22√212. 所以平面FGH 与平面ACFD 所成角(锐角)的大小为60°.解法二：作HM ⊥AC 于点M ，作MN ⊥GF 于点N ，连接NH. 由FC ⊥平面ABC ，得HM ⊥FC ， 又FC ∩AC ＝C ，所以HM ⊥平面ACFD ． 因此GF ⊥NH ，所以∠MNH 即为所求的角.在△BGC 中，MH ∥BG ，MH ＝12BG ＝√22， 由△GNM ∽△GCF ，可得MNFC ＝GMGF ，从而MN ＝√66.由HM ⊥平面ACFD ，MN ⊂平面ACFD ，得HM ⊥MN ，因此tan ∠MNH ＝HM MN＝√3，所以∠MNH ＝60°.所以平面FGH 与平面ACFD 所成角(锐角)的大小为60°.18.(本小题满分12分)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知2S n ＝3n ＋3. (1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n b n ＝log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n . 解：(1)因为2S n ＝3n ＋3，所以2a 1＝3＋3，故a 1＝3，当n>1时，2S n ﹣1＝3n ﹣1＋3，此时2a n ＝2S n ﹣2S n ﹣1＝3n ﹣3n ﹣1＝2×3n ﹣1，即a n ＝3n ﹣1，所以a n ＝{3，n ＝1，3n−1，n >1.(2)因为a n b n ＝log 3a n ，所以b 1＝13，当n>1时，b n ＝31﹣n log 33n ﹣1＝(n ﹣1)·31﹣n . 所以T 1＝b 1＝13；当n>1时，T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝13＋(1×3﹣1＋2×3﹣2＋…＋(n ﹣1)×31﹣n )，所以3T n ＝1＋(1×30＋2×3﹣1＋…＋(n ﹣1)×32﹣n )，两式相减，得2T n ＝23＋(30＋3﹣1＋3﹣2＋ (32)n )﹣(n ﹣1)×31﹣n ＝23＋1−31−n 1−3−1﹣(n ﹣1)×31﹣n ＝136−6n ＋32×3n，所以T n ＝1312−6n ＋34×3n.经检验，n ＝1时也适合. 综上可得T n ＝1312−6n ＋34×3n.19.(本小题满分12分)若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”(如137，359，567等).在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得﹣1分；若能被10整除，得1分. (1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；(2)若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX.解：(1)个位数是5的“三位递增数”有125，135，145，235，245，345；(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C 93＝84，随机变量X 的取值为：0，﹣1，1，因此P (X ＝0)＝C 83C 93＝23，P (X ＝﹣1)＝C 42C 93＝114，P (X ＝1)＝1﹣114−23＝1142.所以X 的分布列为则EX ＝0×23＋(﹣1)×114＋1×1142＝421.20.(本小题满分13分)平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为√32，左、右焦点分别是F 1，F 2.以F 1为圆心以3为半径的圆与以F 2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上. (1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点.过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q.①求|OQ||OP|的值；②求△ABQ 面积的最大值.解：(1)由题意知2a ＝4，则a ＝2.又ca ＝√32，a 2﹣c 2＝b 2，可得b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)知椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1.①设P (x 0，y 0)，|OQ||OP|＝λ，由题意知Q (﹣λx 0，﹣λy 0).因为x 024＋y 02＝1，又(−λx 0)216＋(−λy 0)24＝1，即λ24(x 024＋y 02)＝1，所以λ＝2，即|OQ||OP|＝2. ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程， 可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2﹣16＝0， 由Δ>0，可得m 2<4＋16k 2.①则有x 1＋x 2＝﹣8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2−161＋4k 2.所以|x 1﹣x 2|＝4√16k 2＋4−m 21＋4k 2.因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )， 所以△OAB 的面积S ＝12|m||x 1﹣x 2|＝2√16k 2＋4−m 2|m|1＋4k 2＝2√(16k 2＋4−m 2)m 21＋4k 2＝2√(4−m 21＋4k2)m 21＋4k 2.设m 21＋4k 2＝t.将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2﹣4＝0， 由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2. ②由①②可知0<t ≤1，因此S ＝2√(4−t)t ＝2√−t 2＋4t .故S ≤2√3，当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值2√3. 由①知，△ABQ 面积为3S ，所以△ABQ 面积的最大值为6√3.21.(本小题满分14分)设函数f (x )＝ln(x ＋1)＋a (x 2﹣x )，其中a ∈R . (1)讨论函数f (x )极值点的个数，并说明理由； (2)若∀x>0，f (x )≥0成立，求a 的取值范围.解：(1)由题意知函数f (x )的定义域为(﹣1，＋∞)，f'(x )＝1x ＋1＋a (2x ﹣1)＝2ax 2＋ax−a ＋1x ＋1.令g (x )＝2ax 2＋ax ﹣a ＋1，x ∈(﹣1，＋∞).当a ＝0时，g (x )＝1，此时f'(x )>0，函数f (x )在(﹣1，＋∞)单调递增，无极值点； 当a>0时，Δ＝a 2﹣8a (1﹣a )＝a (9a ﹣8).①当0<a ≤89时，Δ≤0，g (x )≥0，f'(x )≥0，函数f (x )在(﹣1，＋∞)单调递增，无极值点；②当a>89时，Δ>0，设方程2ax 2＋ax ﹣a ＋1＝0的两根为x 1，x 2(x 1<x 2)，因为x 1＋x 2＝﹣12，所以x 1<﹣14，x 2>﹣14.由g (﹣1)＝1>0，可得﹣1<x 1<﹣14.所以当x ∈(﹣1，x 1)时，g (x )>0，f'(x )>0，函数f (x )单调递增， 当x ∈(x 1，x 2)时，g (x )<0，f'(x )<0，函数f (x )单调递减， 当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )>0，f'(x )>0，函数f (x )单调递增. 因此函数有两个极值点. 当a<0时，Δ>0，由g (﹣1)＝1>0，可得x 1<﹣1.当x ∈(﹣1，x 2)时，g (x )>0，f'(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )<0，f'(x )<0，函数f (x )单调递减； 所以函数有一个极值点.综上所述，当a<0时，函数f (x )有一个极值点； 当0≤a ≤89时，函数f (x )无极值点；当a>89时，函数f (x )有两个极值点.(2)由(1)知，①当0≤a ≤89时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，因为f (0)＝0，所以x ∈(0，＋∞)时，f (x )>0，符合题意；②当89<a ≤1时，由g (0)≥0，得x 2≤0，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增.又f (0)＝0，所以x ∈(0，＋∞)时，f (x )>0，符合题意； ③当a>1时，由g (0)<0，可得x 2>0. 所以x ∈(0，x 2)时，函数f (x )单调递减；因为f (0)＝0，所以x ∈(0，x 2)时，f (x )<0，不合题意； ④当a<0时，设h (x )＝x ﹣ln(x ＋1). 因为x ∈(0，＋∞)时，h'(x )＝1﹣1x ＋1＝xx ＋1>0，所以h (x )在(0，＋∞)上单调递增.因此当x ∈(0，＋∞)时，h (x )>h (0)＝0， 即ln(x ＋1)<x.可得f (x )<x ＋a (x 2﹣x )＝ax 2＋(1﹣a )x ， 当x>1﹣1a 时，ax 2＋(1﹣a )x<0， 此时f (x )<0，不合题意.综上所述，a 的取值范围是[0，1].。

数学试卷 第1页（共42页）数学试卷 第2页（共42页）数学试卷 第3页（共42页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟. 参考公式：如果事件A ,B 互斥，那么P （A +B ）=P （A ）+P （B ）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合2430{|}A x x x =-+<，24{|}B x x =<<，则AB = （ ）A ．1,3（）B ．1,4（）C ．2,3（）D ．2,4（）2．若复数z 满足z1i-=i ，其中i 为虚数单位，则z=（ ）A ．1i -B ．1i +C ．1i --D ．1i -+3．要得到函数πsin(4)3y x =-的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ）A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位4．已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=︒，则BD CD =（ ）A ．232a -B ．234a -C ．234aD ．232a5．不等式|||52|1x x ---<的解集是 （ ）A ．(,4)-∞B ．(,1)-∞C ．(1,4)D ．(1,5)6．已知x ，y 满足约束条件0,2,0.x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤≥若z ax y =+的最大值为4，则a =（ ）A ．3B ．2C ．2-D ．3-7．在梯形ABCD 中，π2ABC ∠=，AD ∥BC ，BC =2AD =2AB =2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）A ．2π3B ．4π3C ．5π3D ．2π8．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N (0，23)，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为 （ ）（附：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则(P μσ-<ξ)68.26%μσ<+=，(2P μσ-<ξ2)95.44%μσ<+=）A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%9．一条光线从点（2-，3-）射出，经y 轴反射后与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）A ．53-或35-B ．32-或23-C ．54-或45-D ．43-或34-10．设函数31,1,()2, 1,x x x f x x -⎧=⎨⎩＜≥则满足()(())2f a f f a =的a 取值范围是（ ）A ．2[,1]3B ．[0,1]C ．2[,)3+∞D ．[1,)+∞第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中的横线上.11．观察下列各式：001011330122555012337777C =4C +C =4C +C +C =4C +C +C +C =4；；；；……照此规律，当n ∈*N 时，012n-12n-12n-12n-12n-1C + C + C ++ C ⋯=_______. 12．若“∀x ∈[0，4π]，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为_______. 13．执行如图所示的程序框图，输出的T 的值为_______.14．已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[1,0]-，则a b +=_______.15．平面直角坐标系xOy 中，双曲线222211 0,0x C a b y a b>->=：（）的渐近线与抛物线222C x py =：0p >（）交于点O ，A ，B .若OAB △的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为_______.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________?数学试卷 第4页（共42页）数学试卷 第5页（共42页） 数学试卷 第6页（共42页）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）设2π()sin cos cos ()4f x x x x =-+.（Ⅰ）求f x （）的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC △中，角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c .若2f A（）=0，a =1，求ABC △面积的最大值.17．（本小题满分12分）如图，在三棱台DEF ABC -中，AB =2DE ，G ，H 分别为AC ，BC 的中点. （Ⅰ）求证：BD ∥平面FGH ；（Ⅱ）若CF ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，CF =DE ，∠BAC =45︒，求平面FGH 与平面ACFD 所成的角（锐角）的大小.18．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233n n S =+. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T .19．（本小题满分12分）若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”（如137，359，567等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得1-分；若能被10整除，得1分.（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX .20．（本小题满分13分）平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，左、右焦点分别是1F ，2F ，以点1F 为圆心，以3为半径的圆与以点2F 为圆心，以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆2222144 x y E a b +=：，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .（i ）求||||OQ OP 的值；（ii ）求ABQ △面积的最大值.21．（本小题满分14分）设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-，其中a ∈R . （Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若0x ∀>，()0f x ≥成立，求a 的取值范围.3 / 14数学试卷 第10页（共42页） 数学试卷 第11页（共42页）数学试卷 第12页（共42页）最大值24a =，2a =，满足1a >，答案选B ．5 / 141012121212121211++C (2C +2C +2C ++2C )2n n n n n n n -------=121)++(C +C n n --1212112121211++C +C ++C )242n n n n n n n n -------== 【提示】仔细观察已知条件，找出规律，即可得到结果．利用OAB的垂心为数学试卷第16页（共42页）数学试卷第17页（共42页）数学试卷第18页（共42页）∥平面．故BD FGH7 / 14数学试卷 第22页（共42页） 数学试卷 第23页（共42页）数学试卷 第24页（共42页）21+1+29 / 14数学试卷第28页（共42页）数学试卷第29页（共42页）数学试卷第30页（共42页）11 / 14数学试卷第34页（共42页）数学试卷第35页（共42页）数学试卷第36页（共42页）13 / 14数学试卷第40页（共42页）数学试卷第41页（共42页）数学试卷第42页（共42页）。

2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学(理科)第I 卷(共50 分)(7)【2015年山东，理 7】在梯形 ABCD 中，ABC - , AD//BC , BC 2AD 2AB 2 .将梯形 ABCD(9)【2015年山东，理9】一条光线从点(2, 3)射出,经y 轴反射与圆(x3)2 (y 2)2 1相切，则反射光线所在的直线的斜率为 ( )/八5亠 33亠 254 4亠 3(A )一或一(B ) -或(C )—或一(D )—或3 5234 53 4(10)【2015年山东，理 10】设函数 f(x)3x 1,x 2 ,x 1 !,则满足 1. f(f(a))2f(a)的取值范围是()、选择题：本大题共 【2015年山东，理(A ) 1,3 (1) 10小题，每小题5分，在(C ) 2,3((D )) 2,4(2) 【2015年山东，理 2】若复数z 满足 —i ，其中i 是虚数单位，则1 i(3) (4) (5) (6) (A) 1 i (B) 1 i (C ) 1 i (D)【2015年山东，理 3】要得到函数y(A )向左平移个单位(B )12【2015年山东，理 3 2(A) 尹【2015年山东，理 (A) ( ,4)【2015年山东，理 (A) 34】5】6】已知菱形 (B)Sin (4X3)的图象，只sin 4x 的图像 向右平移 个单位(C )向左平移一个单位(D )向右平移12 3ABCD 的边长为 a , ABC 60°，则????????( 3 2 a 4 个单位3(C ) 不等式|x 1| |x 5| (B ) ( ,1)已知x,y 满足约束条件 (B) 22的解集是3 2a 4)(1,4))3 2(D ) -a (C ) 02若z ax y 的最大值为 (C ) -2(D ) (1,5) 4,则(D) -3(A )—4(B )(C ) 5333(8)【2015年山东，理8】已知某批零件的长度误差(单位: 毫米) 服从正态分布(D) 2N(0,32)，从中随机取一件, 服从正态分布N (2)，则P()68.26%, P( 2 2 ) 95.44%)(A) 4.56% (B) 13.59% (C ) 27.18% (D) 31.74%绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) 其长度误差落在区间3,6内的概率为( )(附：若随机变量第II卷(共100 分) :■、填空题：本大题共5小题，每小题5分(11)【2015年山东，理11】观察下列各式：照此规律，当n N*时，C 20n 1c 2n 1c ；n43；(14) __________________________________________________________________________________________【2015年山东，理14】已知函数f(x) a x b (a 0,a 1)的定义域和值域都是[1,0]，则a b _________________________2 2(15) 【2015年山东，理15】平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 G :笃 爲1(a 0,b 0)的渐近线与抛物线a bC2：x 2py(p 0)交于点O,A,B ，若 OAB 的垂心为G 的焦点，贝U G 的离心率为 _______________ .三、解答题：本大题共 6题，共75分.(16)【2015年山东，理16】(本小题满分12分)设f (x) sin xcosx cos (x ).4(I)求f(x)的单调区间；A(n)在锐角ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,若f( ) 0,a 1，求 ABC 面积.2(17) 【2015年山东，理17】(本小题满分12分)如图，在三棱台 DEF ABC 中，AB 2DE,G,H 分别为AC, BC 的中点.(I)求证：BD//平面FGH ;2 3 74 C•‘2 52 7 14 c CO4';1G1G1GO1O 3 O 50 7 L c c c c L(12) 【2015年山东，理 (13) 【2015年山东，理12】右 “ x [0, _],tan x413】执行右边的程序框图,m ”是真命题，则实数m 的最小值为 ________n 1C 2n 1(n)若CF 平面ABC, AB BC,CF DE, BAC 45o，求平面FGH 与平面ACFD所成角(锐角)的大小.(18) 【2015年山东，理18】(本小题满分12分)设数列｛a.｝的前n项和为S n，已知3n 3 .(I)求数列｛a n｝的通项公式；(H)若数列｛b n｝满足a n b n log3耳，求数列也｝的前n项和「.(19) 【2015年山东，理19】(本小题满分12分)若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为三位递增数”(如137, 359, 567等).在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数” 的三个数字之积不能被5 整除,参加者得0 分；若能被 5 整除,但不能被10 整除,得-1 分；若能被10 整除,得 1 分.(I)写出所有个位数字是5的三位递增数”；(H)若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX .2 2(20) 【2015年山东，理20】(本小题满分13分)平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:笃厶1(a b 0)的a b离心率为_!，左、右焦点分别是F I,F2,以F l为圆心，以3为半径的圆与以F2为圆心，以1为半径的圆相2交，交点在椭圆C 上.(I)求椭圆C的方程；2 2(n)设椭圆E：二笃1, P为椭圆C上的任意一点，过点P的直线y kx m交椭圆E于A,B两点，4 a2 4b2射线PO交椭圆E于点Q •⑴求|OQ-I的值；(ii)求ABQ面积最大值.|OP|(21)【2015年山东，理21】(本题满分14分)设函数f(x) ln(x 1) a(x2x)，其中a R .(I)讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由；(H)若x 0，f(x) 0成立，求a的取值范围.2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学(理科)第I 卷(共50 分)【答案】Bx y 0(4)【2015年山东，理 4】已知菱形 ABC D 的边长为a ,ABC 60'，则？？??•？??？()3 2 (A ) ^a (B ) 3 2 a 43 2 (C ) — a43 2(D)〒【答案】D【解析】由菱形ABCD 的边长为a ,AB C 60o 可知 BAD 18C f 60o 120o ,uu uiur uur BD CD (AD uuu uu iuu u A uiu r AD uur 2 AB a acos12C °2 a -a 2，故选D . 2 (5)【2015年山东，理 5】不等式|x 1| |x 5| 2的解集是( )(A ) ( ,4) (B )( ,1)(C ) (1,4)(D ) (1,5) 【答案】A【解析】当x 1时，1x (5 x)4 2成立； 当1 x5 时，x 1 (5x) 2x 62，解得 x 4，则【解析】y sin4(x —)，只需将函数y sin4x 的图像向右平移一个单位，故选 B .12 121 x 4 ;当 x 5 时，x 1(x 5) 4 2不成立.综上x4，故选A .」、选择题：本大题共 (1)【2015年山东，， (A ) 1,3 【答案】C 【解析】A {x|x 2 4x (2)【2015年山东,(A ) 1 i 【答案】A 【解析】z (1 i)i(3)【2015年山东, (A )向左平移10小题，每小题5分，在4x 30} , B{x|2 x( (D)) 2,43 0} {x|1 x 3} , AI B (2,3)，故选 C .2】 i 2 i理3】 若复数z 满足zi ，其中 1 ii 是虚数单位，则 (B) 1(C )1 i(D)要得到函数i ,故选A .Sin(4x3)的图象，只需将函数sin 4x 的图像个单位(B )向右平移—个单位(C )向左平移—个单位(D )向右平移1212—个单位3x y 2若z ax y 的最大值为4,则a y 0即0 a 1时在x y 1时有最大值a 1 4,a 3，不满足0 a 1 ;当a时有最大值2a 4,a2，满足a 1,故选B .(7)【2015 年山东，理 7】在梯形 ABCD 中， ABC - , AD//BC , BC 2AD 2AB 2 2绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )(6)【2015年山东，理6】已知x,y 满足约束条件 (A ) 3 ( B ) 2【答案】B【解析】由z ax y 得y ax z ，借助图形可知：当(C ) -2(D) -3a 1，即 a1时在x y 0时有最大值0,不符合题y 1时有最大值a1 4,a 3，不满足 1 a 0；当 1 1,即a 1时在x 2,y 0将梯形ABCDa 1，即1 a 0时在x(12)【2015年山东，理12】若“ x [0,—],tanx m ”是真命题，贝U 实数m 的最小值为 _________4【答案】1【解析】“ x [0,-],ta nx m "是真命题，则 m tan 1，于是实数m 的最小值为1.2(A ) 3 (B) 43 (C )5【答案】C1 【解析】V 12 2 -12 1 5 ，故选 C .3 3(8)【2015年山东，理 8】已知某批零件的长度误差(单位: 毫米) 服从正态分布 其长度误差落在区间3,6内的概率为() (附： 若随机变量P()68.26%, P( 22 )95.44%)(A ) 4.56%(B ) 13.59%(C ) 27.18%(D) 21【解析】P(36) -(95.44% 68.26%) 13.59%，故选 D .(9)【2015年山东，理9】一条光线从点(2, 3)射出，经y 轴反射与圆(x 3)2 (y 2)2 1相切，则反射光线 所在的直线的斜率为( )(A )5十3一或 一 (B )2 54 (C )-或 4(D )-或-3 5234 53 4【答案】D【解析】( 2, 3)关于 y 轴对称点的坐标为 (2, 3), 设反射光线所在直线为 y 3 k(x 2),即 kx y 2k 3 0 ,则 d1 3k2 仝 3|1,|5k 5|k 2 1 , 解得k4或- 故选D ..k 2 13 4(10)【2015年山东, 理10】设函数f(x)3x x 1,x 1 1则满足 f(f(a)) 2心) 的取值范围是()2 ,x 1.(A ) [|,1] (B ) [0,1](C ) 12 ) ■3,)(D ) [1,) 【答案】C【解析】由f(f(a))2f(a)可知f (a) 1，则aa1或 a 1 ，解得a 2 故选C .2 13a 1 13第II 卷(共100 分):■、填空题：本大题共 5小题，每小题5分 (11)【2015年山东，理11】观察下列各式：2 3 7 4 0・ 5 52 7 4CC o4';1G1a1G o 1O 30 50 7 CCCC照此规律，当n N*时，C 2『 34 ；C 2n 1 C 2n 1—n 1L C 2n 1【解析】C 2n 1 C 2n 1 CL L1 02 (2C 2n 12[(C2n 1 Cj ；) (C2n 1 C 2n 2)C2n 1 丿1厂0 1 —2 亠n 1 (C 2n 1 C2n 1 C2n 1 LC2n 1 2(C 2n 1。

2015年山东省高考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）已知集合A={x |x 2﹣4x +3＜0}，B={x |2＜x ＜4}，则A ∩B=（ ） A ．（1，3） B ．（1，4） C ．（2，3） D ．（2，4） 2．（5分）若复数z 满足z1−i=i ，其中i 为虚数单位，则z=（ ）A ．1﹣iB ．1+iC ．﹣1﹣iD ．﹣1+i3．（5分）要得到函数y=sin （4x ﹣π3）的图象，只需要将函数y=sin4x 的图象（ ）个单位．A ．向左平移π12B ．向右平移π12C ．向左平移π3D ．向右平移π34．（5分）已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC=60°，则BD →⋅CD →=（ ）A ．﹣32a 2B ．﹣34a 2C ．34a 2D ．32a 25．（5分）不等式|x ﹣1|﹣|x ﹣5|＜2的解集是（ ） A ．（﹣∞，4） B ．（﹣∞，1） C ．（1，4） D ．（1，5）6．（5分）已知x ，y 满足约束条件{x −y ≥0x +y ≤2y ≥0，若z=ax +y 的最大值为4，则a=（ ）A ．3B ．2C ．﹣2D ．﹣37．（5分）在梯形ABCD 中，∠ABC=π2，AD ∥BC ，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） A ．2π3B ．4π3C ．5π3D ．2π8．（5分）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N （0，32），从中随机抽取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（ ）（附：若随机变量ξ服从正态分布N （μ，σ2），则P （μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P （μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%）A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%9．（5分）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y 轴反射后与圆（x +3）2+（y ﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）A ．﹣53或﹣35B ．﹣32或﹣23C ．﹣54或﹣45D ．﹣43或﹣3410．（5分）设函数f （x ）={3x −1，x ＜12x ，x ≥1，则满足f （f （a ））=2f （a ）的a 的取值范围是（ ）A ．[23，1]B ．[0，1]C ．[23，+∞） D ．[1，+∞）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．（5分）观察下列各式： C 10=40； C 30+C 31=41； C 50+C 51+C 52=42； C 70+C71+C72+C73=43；…照此规律，当n ∈N *时， C2n−10+C2n−11+C2n−12+…+C2n−1n−1=．12．（5分）若“∀x ∈[0，π4]，tanx ≤m”是真命题，则实数m 的最小值为 ．13．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 ．14．（5分）已知函数f （x ）=a x +b （a ＞0，a ≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a +b= ．15．（5分）平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2﹣y 2b2=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线与抛物线C 2：x 2=2py（p ＞0）交于点O ，A ，B ，若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为 ．三、解答题16．（12分）设f （x ）=sinxcosx ﹣cos 2（x +π4）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A2）=0，a=1，求△ABC面积的最大值．17．（12分）如图，在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．（Ⅰ）求证：BD∥平面FGH；（Ⅱ）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE，∠BAC=45°，求平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小．18．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n=3n+3．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}，满足a n b n=log3a n，求{b n}的前n项和T n．19．（12分）若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分，若能被5整除，但不能被10整除，得﹣1分，若能被10整除，得1分．（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX ．20．（13分）平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，左、右焦点分别是F 1，F 2，以F 1为圆心以3为半径的圆与以F 2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆E ：x 24a 2+y 24b2=1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y=kx +m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q ． （i ）求|OQ OP|的值；（ii ）求△ABQ 面积的最大值．21．（14分）设函数f （x ）=ln （x +1）+a （x 2﹣x ），其中a ∈R ， （Ⅰ）讨论函数f （x ）极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若∀x ＞0，f （x ）≥0成立，求a 的取值范围．2015年山东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）已知集合A={x |x 2﹣4x +3＜0}，B={x |2＜x ＜4}，则A ∩B=（ ） A ．（1，3） B ．（1，4） C ．（2，3） D ．（2，4）【解答】解：集合A={x |x 2﹣4x +3＜0}={x |1＜x ＜3}，B={x |2＜x ＜4}， 则A ∩B={x |2＜x ＜3}=（2，3）． 故选：C ．2．（5分）若复数z 满足z1−i=i ，其中i 为虚数单位，则z=（ ）A ．1﹣iB ．1+iC ．﹣1﹣iD ．﹣1+i【解答】解：z1−i=i ，则z =i （1﹣i ）=1+i ，可得z=1﹣i ．故选：A ．3．（5分）要得到函数y=sin （4x ﹣π3）的图象，只需要将函数y=sin4x 的图象（ ）个单位．A ．向左平移π12B ．向右平移π12C ．向左平移π3D ．向右平移π3【解答】解：因为函数y=sin （4x ﹣π3）=sin [4（x ﹣π12）]，要得到函数y=sin （4x ﹣π3）的图象，只需将函数y=sin4x 的图象向右平移π12单位．故选：B ．4．（5分）已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC=60°，则BD →⋅CD →=（ ）A ．﹣32a 2B ．﹣34a 2C ．34a 2D ．32a 2【解答】解：∵菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC=60°， ∴BA→2=a 2，BA →⋅BC →=a ×a ×cos60°=12a 2，则BD →⋅CD →=（BA →+BC →）•BA →=BA →2+BA →⋅BC →=3a 22故选：D5．（5分）不等式|x ﹣1|﹣|x ﹣5|＜2的解集是（ ） A ．（﹣∞，4） B ．（﹣∞，1） C ．（1，4） D ．（1，5）【解答】解：①当x ＜1，不等式即为﹣x +1+x ﹣5＜2，即﹣4＜2成立，故x ＜1； ②当1≤x ≤5，不等式即为x ﹣1+x ﹣5＜2，得x ＜4，故1≤x ＜4； ③当x ＞5，x ﹣1﹣x +5＜2，即4＜2不成立，故x ∈∅． 综上知解集为（﹣∞，4）． 故选A ．6．（5分）已知x ，y 满足约束条件{x −y ≥0x +y ≤2y ≥0，若z=ax +y 的最大值为4，则a=（ ）A ．3B ．2C ．﹣2D ．﹣3【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 则A （2，0），B （1，1），若z=ax +y 过A 时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2， 此时，目标函数为z=2x +y ， 即y=﹣2x +z ，平移直线y=﹣2x +z ，当直线经过A （2，0）时，截距最大，此时z 最大为4，满足条件， 若z=ax +y 过B 时取得最大值为4，则a +1=4，解得a=3， 此时，目标函数为z=3x +y ， 即y=﹣3x +z ，平移直线y=﹣3x +z ，当直线经过A （2，0）时，截距最大，此时z 最大为6，不满足条件， 故a=2， 故选：B7．（5分）在梯形ABCD 中，∠ABC=π2，AD ∥BC ，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） A ．2π3B ．4π3C ．5π3D ．2π【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：旋转体是底面半径为1，高为2的圆柱，挖去一个相同底面高为1的倒圆锥，几何体的体积为：12π⋅2−13×12π×1=5π3．故选：C ．8．（5分）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N （0，32），从中随机抽取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（ ）（附：若随机变量ξ服从正态分布N （μ，σ2），则P （μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P （μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%）A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%【解答】解：由题意P （﹣3＜ξ＜3）=68.26%，P （﹣6＜ξ＜6）=95.44%，所以P （3＜ξ＜6）=12（95.44%﹣68.26%）=13.59%．故选：B ．9．（5分）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y 轴反射后与圆（x +3）2+（y ﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）A ．﹣53或﹣35B ．﹣32或﹣23C ．﹣54或﹣45D ．﹣43或﹣34【解答】解：点A （﹣2，﹣3）关于y 轴的对称点为A′（2，﹣3），故可设反射光线所在直线的方程为：y +3=k （x ﹣2），化为kx ﹣y ﹣2k ﹣3=0． ∵反射光线与圆（x +3）2+（y ﹣2）2=1相切，∴圆心（﹣3，2）到直线的距离d=√2=1，化为24k 2+50k +24=0，∴k=−43或﹣34．故选：D ．10．（5分）设函数f （x ）={3x −1，x ＜12x ，x ≥1，则满足f （f （a ））=2f （a ）的a 的取值范围是（ ）A ．[23，1]B ．[0，1]C ．[23，+∞） D ．[1，+∞）【解答】解：令f （a ）=t ， 则f （t ）=2t ，当t ＜1时，3t ﹣1=2t ，由g （t ）=3t ﹣1﹣2t 的导数为g′（t ）=3﹣2t ln2， 在t ＜1时，g′（t ）＞0，g （t ）在（﹣∞，1）递增， 即有g （t ）＜g （1）=0， 则方程3t ﹣1=2t 无解； 当t ≥1时，2t =2t 成立，由f （a ）≥1，即3a ﹣1≥1，解得a ≥23，且a ＜1；或a ≥1，2a ≥1解得a ≥0，即为a ≥1．综上可得a 的范围是a ≥23．故选C ．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．（5分）观察下列各式： C 10=40； C 30+C 31=41； C 50+C 51+C 52=42； C 70+C71+C72+C73=43；…照此规律，当n ∈N *时， C2n−10+C2n−11+C2n−12+…+C 2n−1n−1=4n ﹣1 ．【解答】解：因为C 10=40；C 30+C 31=41； C50+C51+C52=42；C 70+C 71+C 72+C 73=43；…照此规律，可以看出等式左侧最后一项，组合数的上标与等式右侧的幂指数相同， 可得：当n ∈N *时，C 2n−10+C2n−11+C2n−12+…+C2n−1n−1=4n ﹣1； 故答案为：4n ﹣1．12．（5分）若“∀x ∈[0，π4]，tanx ≤m”是真命题，则实数m 的最小值为 1 ．【解答】解：“∀x ∈[0，π4]，tanx ≤m”是真命题，可得tanx ≤1，所以，m ≥1， 实数m 的最小值为：1． 故答案为：1．13．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 10 ．【解答】解：由已知可得该程序的功能是计算并输出 S=﹣12+22﹣32+42的值 ∵S=﹣12+22﹣32+42=10 故答案为：1014．（5分）已知函数f （x ）=a x +b （a ＞0，a ≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a +b= −32 ．【解答】解：当a ＞1时，函数f （x ）=a x +b 在定义域上是增函数，所以{1+b =0a −1+b =−1， 解得b=﹣1，1a=0不符合题意舍去；当0＜a ＜1时，函数f （x ）=a x +b 在定义域上是减函数， 所以 {1+b =−1a −1+b =0，解得b=﹣2，a=12，综上a +b=−32，故答案为：−3215．（5分）平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2﹣y 2b2=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线与抛物线C 2：x 2=2py（p ＞0）交于点O ，A ，B ，若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为 32．【解答】解：双曲线C 1：x 2a ﹣y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的渐近线方程为y=±bax ，与抛物线C 2：x 2=2py 联立，可得x=0或x=±2pb a， 取A （2pb a ，2pb 2a 2），设垂心H （0，p 2），则k AH =2pb 2a 2−p22pb a=4b 2−a 24ab，∵△OAB 的垂心为C 2的焦点， ∴4b 2−a 24ab ×（﹣ba ）=﹣1， ∴5a 2=4b 2， ∴5a 2=4（c 2﹣a 2）∴e=c a =32．故答案为：32．三、解答题16．（12分）设f （x ）=sinxcosx ﹣cos 2（x +π4）．（Ⅰ）求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f （A2）=0，a=1，求△ABC 面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，f （x ）=12sin2x ﹣1+cos(2x+π2)2=12sin2x ﹣1−sin2x2=sin2x ﹣12由2k π−π2≤2x ≤2k π+π2，k ∈Z 可解得：k π−π4≤x ≤k π+π4，k ∈Z ； 由2k π+π2≤2x ≤2k π+3π2，k ∈Z 可解得：k π+π4≤x ≤k π+3π4，k ∈Z ；所以f （x ）的单调递增区间是[k π−π4，k π+π4]，（k ∈Z ）；单调递减区间是：[k π+π4，k π+3π4]，（k∈Z ）；（Ⅱ）由f （A 2）=sinA ﹣12=0，可得sinA=12，由题意知A 为锐角，所以cosA=√32，由余弦定理a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ，可得：1+√3bc=b 2+c 2≥2bc ，即bc ≤2+√3，且当b=c 时等号成立．因此S=12bcsinA ≤2+√34，所以△ABC 面积的最大值为2+√34．17．（12分）如图，在三棱台DEF ﹣ABC 中，AB=2DE ，G ，H 分别为AC ，BC 的中点． （Ⅰ）求证：BD ∥平面FGH ；（Ⅱ）若CF ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，CF=DE ，∠BAC=45°，求平面FGH 与平面ACFD 所成的角（锐角）的大小．【解答】解：（Ⅰ）证明：根据已知条件，DF ∥AC ，EF ∥BC ，DE ∥AB ； △DEF ∽△ABC ，又AB=2DE ， ∴BC=2EF=2BH ，∴四边形EFHB 为平行四边形；∴BE ∥HF ，HF ⊂平面FGH ，BE ⊄平面FGH ； ∴BE ∥平面FGH ；同样，因为GH 为△ABC 中位线，∴GH ∥AB ； 又DE ∥AB ； ∴DE ∥GH ；∴DE ∥平面FGH ，DE ∩BE=E ；∴平面BDE ∥平面FGH ，BD ⊂平面BDE ； ∴BD ∥平面FGH ；（Ⅱ）连接HE ，则HE ∥CF ； ∵CF ⊥平面ABC ；∴HE ⊥平面ABC ，并且HG ⊥HC ；∴HC ，HG ，HE 三直线两两垂直，分别以这三直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设HC=1，则：H （0，0，0），G （0，1，0），F （1，0，1），B （﹣1，0，0）； 连接BG ，根据已知条件BA=BC ，G 为AC 中点； ∴BG ⊥AC ；又CF ⊥平面ABC ，BG ⊂平面ABC ； ∴BG ⊥CF ，AC ∩CF=C ； ∴BG ⊥平面ACFD ；∴向量BG →=(1，1，0)为平面ACFD 的法向量； 设平面FGH 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则：{n →⋅HF →=x +z =0n →⋅HG →=y =0，取z=1，则：n →=(−1，0，1)；设平面FGH 和平面ACFD 所成的锐二面角为θ，则：cosθ=|cos ＜BG →，n →＞|=√2⋅√2=12；∴平面FGH 与平面ACFD 所成的角为60°．18．（12分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2S n =3n +3． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n }，满足a n b n =log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n ． 【解答】解：（Ⅰ）因为2S n =3n +3，所以2a 1=31+3=6，故a 1=3， 当n ＞1时，2S n ﹣1=3n ﹣1+3，此时，2a n =2S n ﹣2S n ﹣1=3n ﹣3n ﹣1=2×3n ﹣1，即a n =3n ﹣1， 所以a n ={3，n =13n−1，n ＞1.．（Ⅱ）因为a n b n =log 3a n ，所以b 1=13，当n ＞1时，b n =31﹣n •log 33n ﹣1=（n ﹣1）×31﹣n ，所以T 1=b 1=13；当n ＞1时，T n =b 1+b 2+…+b n =13+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n ﹣1）×31﹣n ），所以3T n =1+（1×30+2×3﹣1+3×3﹣2+…+（n ﹣1）×32﹣n ），两式相减得：2T n =23+（30+3﹣1+3﹣2+…+32﹣n ﹣（n ﹣1）×31﹣n ）=23+1−31−n 1−3−1﹣（n ﹣1）×31﹣n =136﹣6n+32×3n，所以T n =1312﹣6n+34×3n，经检验，n=1时也适合，综上可得T n =1312﹣6n+34×3n．19．（12分）若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分，若能被5整除，但不能被10整除，得﹣1分，若能被10整除，得1分．（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX ．【解答】解：（Ⅰ）根据定义个位数字是5的“三位递增数”有：125，135，145，235，245，345； （Ⅱ）由题意知，全部“三位递增数”的个数为C 93=84， 随机变量X 的取值为：0，﹣1，1，当X=0时，可以选择除去5以外的剩下8个数字中选择3个进行组合，即C 83；当X=﹣1时，首先选择5，由于不能被10整除，因此不能选择数字2，4，6，8，可以从1，3，7，9中选择两个数字和5进行组合，即C 42；当X=1时，有两种组合方式，第一种方案：首先选5，然后从2，4，6，8中选择2个数字和5进行组合，即C 42；第二种方案：首先选5，然后从2，4，6，8中选择1个数字，再从1，3，7，9中选择1个数字，最后把3个数字进行组合，即C 41C 41．则P （X=0）=C 83C 93=23，P （X=﹣1）=C 42C 93=114，P （X=1）=C 41C 41+C 42C 93=1142， X 0 ﹣1 1P23 114 1142EX=0×23+（﹣1）×114+1×1142=421．20．（13分）平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，左、右焦点分别是F 1，F 2，以F 1为圆心以3为半径的圆与以F 2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆E ：x 24a 2+y 24b2=1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y=kx +m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q ． （i ）求|OQ OP|的值；（ii ）求△ABQ 面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，PF 1+PF 2=2a=4，可得a=2，又c a =√32，a 2﹣c 2=b 2， 可得b=1，即有椭圆C 的方程为x 24+y 2=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆E 的方程为x 216+y 24=1，（i ）设P （x 0，y 0），|OQOP|=λ，由题意可知，Q （﹣λx 0，﹣λy 0），由于x 024+y 02=1，又(−λx 0)216+(−λy 0)24=1，即λ24（x 024+y 02）=1，所以λ=2，即|OQOP|=2；（ii ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），将直线y=kx +m 代入椭圆E 的方程，可得 （1+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣16=0，由△＞0，可得m 2＜4+16k 2，①则有x1+x2=﹣8km1+4k2，x1x2=4m2−161+4k2，所以|x1﹣x2|=4√16k2+4−m21+4k2，由直线y=kx+m与y轴交于（0，m），则△AOB的面积为S=12|m|•|x1﹣x2|=12|m|•4√16k2+4−m21+4k2=2√(4−m21+4k2)⋅m21+4k2，设m21+4k=t，则S=2√t(4−t)，将直线y=kx+m代入椭圆C的方程，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由△≥0可得m2≤1+4k2，②由①②可得0＜t≤1，则S=2√−(t−2)2+4在（0，1]递增，即有t=1取得最大值，即有S≤2√3，即m2=1+4k2，取得最大值2√3，由（i）知，△ABQ的面积为3S，即△ABQ面积的最大值为6√3．21．（14分）设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，（Ⅰ）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；（Ⅱ）若∀x＞0，f（x）≥0成立，求a的取值范围．【解答】解：（I）函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，x∈（﹣1，+∞）．f′(x)=1x+1+2ax−a=2ax2+ax−a+1x+1．令g（x）=2ax2+ax﹣a+1．（1）当a=0时，g（x）=1，此时f′（x）＞0，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，无极值点．（2）当a＞0时，△=a2﹣8a（1﹣a）=a（9a﹣8）．①当0＜a≤89时，△≤0，g（x）≥0，f′（x）≥0，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，无极值点．②当a＞89时，△＞0，设方程2ax2+ax﹣a+1=0的两个实数根分别为x1，x2，x1＜x2．∵x1+x2=−1 2，∴x1＜−14，x2＞−14．由g（﹣1）＞0，可得﹣1＜x1＜−1 4．∴当x∈（﹣1，x1）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x∈（x1，x2）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x∈（x2，+∞）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．因此函数f（x）有两个极值点．（3）当a＜0时，△＞0．由g（﹣1）=1＞0，可得x1＜﹣1＜x2．∴当x∈（﹣1，x2）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x∈（x2，+∞）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．因此函数f（x）有一个极值点．综上所述：当a＜0时，函数f（x）有一个极值点；当0≤a≤89时，函数f（x）无极值点；当a＞89时，函数f（x）有两个极值点．（II）由（I）可知：（1）当0≤a≤89时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．∵f（0）=0，∴x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，符合题意．（2）当89＜a≤1时，由g（0）≥0，可得x2≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．又f（0）=0，∴x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，符合题意．（3）当1＜a时，由g（0）＜0，可得x2＞0，∴x∈（0，x2）时，函数f（x）单调递减．又f（0）=0，∴x∈（0，x2）时，f（x）＜0，不符合题意，舍去；（4）当a＜0时，设h（x）=x﹣ln（x+1），x∈（0，+∞），h′（x）=xx+1＞0．∴h（x）在（0，+∞）上单调递增．因此x∈（0，+∞）时，h（x）＞h（0）=0，即ln（x+1）＜x，可得：f（x）＜x+a（x2﹣x）=ax2+（1﹣a）x，当x＞1−1a时，ax2+（1﹣a）x＜0，此时f（x）＜0，不合题意，舍去．综上所述，a的取值范围为[0，1]．。

绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项： 1. 答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。

答案写在试卷上无效。

3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4. 填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

参考公式： 如果事件A , B 互斥，那么P A B P A P B ()()()+=+。

第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{}A x x x 2430=-+<，{}B x x 24=<<，则AB =（A ）()1,3 （B ）()1,4 （C ）()2,3 （D ）()2,4 （2）若复数z 满足zi i1=-，其中i 为虚数为单位，则z = （A ）i 1- （B ）i 1+ （C ）i 1-- （D ）i 1-+ （3）要得到函数y x sin(4)3π=-的图像，只需要将函数y x sin4=的图像 （A ）向左平移12π个单位 （B ）向右平移12π个单位 （C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3π个单位（4）已知菱形ABCD 的边长为a ，ABC 60∠= ，则BD CD ⋅=（A ）a -232 （B ）a -234 （C ）a 234 （D ）a 232（5）不等式x x 152---<的解集是（A ）(),4-∞ （B ）(),1-∞ （C ）()1,4 （D ）()1,5（6）已知x y ,满足约束条件x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩20，若z a x y =+的最大值为4，则a =（A ）3 （B ）2 （C ）2- （D ）3-（7）在梯形ABCD 中，ABC 2π∠=，AD BC ，BC AD AB 222===。

2015年山东省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1.( 5 分)(2015?山东)已知集合A={x|x2-4x+3 V 0}, B={x|2 V x v 4}，则A A B=( ) A . (1 , 3) B. (1, 4) C. (2, 3) D. (2, 4)考点：交集及其运算.专题：集合.分析：求出集合A，然后求出两个集合的交集.解答：解：集合A={x|x 2- 4x+3 v 0}={x|1 v x v 3}, B={x|2 v x v 4},则 A QB={x|2 v x v 3}= (2, 3).故选：C.点评：本题考查集合的交集的求法，考查计算能力.2. ( 5分)(2015?山东)若复数z满足=i,其中i为虚数单位，则z=( )1^1A . 1 - i B. 1+i C. - 1 - i D. - 1+i考点：复数代数形式的乘除运算.专题：数系的扩充和复数.分析：直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可.解答：解：'=i,则=i (1 - i) =1+i,_ i可得z=1 - i .故选：A .点评：本题考查复数的基本运算，基本知识的考查.|713. ( 5分)(2015?山东)要得到函数y=sin (4x——)的图象，只需将函数y=sin4x的图象( )A.向左平移I TT单位12B.向右平移TT单位12C.向左平移I TT单位D.向右平移TT单位33考点：函数y=Asin ( w x+ $)的图象变换.专题：三角函数的图像与性质.分析：直接利用三角函数的平移原则推出结果即可.解答：兀讥:解：因为函数y=sin (4x-=) =sin[4 (x -—)],J _L要得到函数y=sin (4x -卫)的图象，只需将函数y=sin4x的图象向右平移巴单位.3 12点评：本题考查三角函数的图象的平移，值域平移变换中4.（ 5分）（2015?山东）已知菱形 ABCD 的边长为a , / ABC=60 °则BD*CD =（ ）考点：平面向量数量积的运算. 专题：计算题；平面向量及应用. 分析：_ - -由已知可求^-BC ,根据CD = （BA + BC ） 極=期 +BABC 代入可求解答：解：•.•菱形ABCD 的边长为a , / ABC=60 °故选：D 点评：本题主要考查了平面向量数量积的定义的简单运算，属于基础试题5. ( 5分)(2015?山东)不等式|x - 1| - |x - 5|v 2的解集是()A . (-a, 4)B . (-a, 1)C . (1 , 4)D . (1, 5)考点：绝对值不等式的解法. 专题：不等式的解法及应用.分析：运用零点分区间，求出零点为 1, 5,讨论①当x V 1，②当1$韦，③当x >5,分 别去掉绝对值，解不等式，最后求并集即可.解答：解：①当x v 1,不等式即为-x+1+x - 5 V 2，即-4 V 2成立，故x v 1;② 当1夯（W5,不等式即为 x - 1+x - 5 V 2,得x V 4,故1$ V 4;③ 当 x > 5, x - 1 - x+5 V 2，即 4 V 2 不成立，故 x €?. 综上知解集为（-a, 4）. 故选A .点评：本题考查绝对值不等式的解法，主要考查运用零点分区间的方法，考查运算能力，属 于中档题.6. （ 5分）（2015?山东）已知x , y 满足约束条件* K+y<2 ，若z=ax+y 的最大值为4,则a=( )A . 3考点：简单线性规划. 专题：不等式的解法及应用.x 的系数是易错点.A . -r a 2B .-活C . :; 2—a2 44D .3 a 2••m 2,则二：i=BA ■ BC=a 冶 >Cos60电 仪2， (I I '：')分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定 大值. 解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影部分).则 A (2, 0), B (1, 1),若z=ax+y 过A 时取得最大值为 4,则2a=4,解得a=2, 此时，目标函数为 z=2x+y , 即 y= - 2x+z ,平移直线y= - 2x+z ，当直线经过 A (2, 0)时，截距最大，此时 z 最大为4,满足条 件 若z=ax+y 过B 时取得最大值为 4,贝U a+仁4,解得a=3, 此时，目标函数为 z=3x+y , 即 y= - 3x+z ,平移直线y= - 3x+z ，当直线经过 A (2, 0)时，截距最大，此时 z 最大为-6,不满足条件， 故 a=2, 故选：B点评：本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想 是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键.梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()z 的最7. ( 5 分)(2015?山东)在梯形 ABCD 中，/ ABC=,AD // BC , BC=2AD=2AB=2 ，将考点：棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题：空间位置关系与距离. 分析：画出几何体的直观图，利用已知条件，求解几何体的体积即可. 解答：解：由题意可知几何体的直观图如图：旋转体是底面半径为1高为2的圆锥，挖去一个相同底面高为1的倒圆锥， 几何体的体积为：严兀吃-丄兀小.3 3点评：本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力.画出几何体的直观 图是解题的关键.2& （ 5分）（2015?山东）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布 N （ 0, 3 ）,从中随机抽取一件，其长度误差落在区间（3, 6）内的概率为（）（附：若随机变量 胡服从正态分布 N （卩，/）,则P （厂 X M 旷o ） =68.26%, P （厂2 dV M 旷2 0 =95.44%）A . 4.56%B . 13.59%C . 27.18%D . 31.74%考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 专题：计算题；概率与统计.分析： ■由题意 P （- 3V V 3） =68.26% , P （- 6V V 6）=95.44%，可得 P （ 3V V 6）=（ 95.44%2-68.26%）,即可得出结论.解答：解：由题意 P （- 3 V V 3） =68.26% , P （- 6v V 6） =95.44%,所以 P （3V V 6） — （95.44% - 68.26%） =13.59% .2故选：B .点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量□和o 的应用，考查曲线的对称性，属于基础题.9. （ 5分）（2015?山东）一条光线从点（- 2,- 3）射出，经y 轴反射后与圆（x+3） -2） 2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）A .B .C .-—或-—-—或-———或-—352 3 4 5考点：圆的切线方程；直线的斜率.(yD .专题：计算题；直线与圆.分析：点A (- 2, - 3)关于y 轴的对称点为A'(2, - 3),可设反射光线所在直线的方程 为：y+3=k (x- 2),利用直线与圆相切的性质即可得出.解答：解：点A (- 2, - 3)关于y 轴的对称点为A ' (2,- 3),故可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k (x - 2),化为kx - y - 2k - 3=0. 2 2•••反射光线与圆(x+3) + (y - 2)=1相切，I -魂■ 2 ■九■ £ |•••圆心(-3, 2)到直线的距离 d= …〜=1 ,Vk 2H |化为 24k 2+50k+24=0 , k= -里或-丄.3 4故选：D .点评：本题考查了反射光线的性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、点斜式、 对称点，考查了计算能力，属于中档题.考点：分段函数的应用.专题：创新题型；函数的性质及应用；不等式的解法及应用.分析：令f (a ) =t ，则f (t ) =2\讨论t v 1，运用导数判断单调性，进而得到方程无解，讨 论t 》时，以及a v 1, a 》，由分段函数的解析式，解不等式即可得到所求范围.解答：解：令f (a ) =t ,则 f (t ) =2t ,当 t v 1 时,3t - 1=2上,由 g (t ) =3t - 1- 2f 的导数为 g' (t ) =3 - 2、n2, 在 t v 1 时，g ' (t )> 0, g (t )在(-©, 1)递增， 即有 g (t ) v g (1) =0, 则方程3t - 1=2七无解; 当t 》时，2f =2f 成立，由f (a )》，即3a - 1》，解得a 》，且a v 1； 或a 》,2》解得a 》)，即为a 》. 综上可得a 的范围是a 》. 3故选C .点评：本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用分类讨论的思想方法 是解题的关键.10. ( 5分)(2015?山东)设函数f (x )= 的取值范围是( A .-，1])B . [0, 1]Z<1，则满足 f (f ( a)) =2f (a)的 aD . [1, +©、填空题（本大题共 5小题，每小题5分，共25分） 11. （5分）（2015?山东）观察下列各式:照此规律，当n €N *时,考点：归纳推理；组合及组合数公式. 专题：推理和证明.分析：仔细观察已知条件，找出规律，即可得到结果. 解答：解：因为C |=4°;+C照此规律，可以看出等式左侧最后一项，组合数的上标与等式右侧的幕指数相同,故答案为：4n _1点评：本题考查归纳推理的应用，找出规律是解题的关键.12. （5分）（2015?山东）若？x€[0, p], tanx 呦”是真命题，则实数 m 的最小值为—考点：命题的真假判断与应用. 专题：函数的性质及应用；三角函数的图像与性质. 分析：求出正切函数的最大值，即可得到 m 的范围.解答：解：？x €[0, ―-], tanx 呦"是真命题，| 4|可得tanx <1,所以，m 》， 实数m 的最小值为：1. 故答案为：1.、0 +C 1 +C 2 +・・1 '2n- -1 2t;- 1 2n- 12n- 1=4厂； 可得：当n €N *时, C+CC+C=4 ； +C 討42；+C?+c =43；0 2n-l+C 1 2n- 1 +C| 22n-l 2n- 1"4n 124 =2 5•4 C 一一+1 3 15C _4°C +C3 6 =43点评：本题考查函数的最值的应用，命题的真假的应用，考查计算能力.13. （ 5分）（2015?山东）执行如图程序框图，输出的考点：程序框图.专题：图表型；算法和程序框图.分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 n , T 的值，当n=3时不满足条件 退出循环，输出T 的值为丄.Pe解答：解：模拟执行程序框图，可得n=1 , T=1满足条件 n v 3, T=1+ f 】xdx , n=2JI 〕满足条件 n v 3, T=1+ j ]xdx+『]x 2dx=1+—, n=3八〕J o 2打6 不满足条件n v 3,退出循环，输出 T 的值为丄.6故答案为：良6点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，考查了定积分的应用，属于基本知识的考查.则a+b =—匚 考点：函数的值域. 专题：函数的性质及应用.分析：对a 进行分类讨论，分别题意和指数函数的单调性列出方程组, 解答：解：当a > 1时，函数f （x ） =a x +b在定义域上是增函数，n v 3,14. （ 5分）（2015?山东）已知函数f （x ） =a x +b （a >0, a 力）的定义域和值域都是 1, 0],所以0=l+ba - L-bb- - 1，解得b= - 1,丄=0不符合题意舍去;a当O v a v 1时，函数f (x) =a x+b在定义域上是减函数,所以l+b=-综上a+b=--1故答案为；-解得b= - 2, a==2 2点评：本题考查指数函数的单调性的应用，以及分类讨论思想，属于基础题15. (5分)(2015?山东)平面直角坐标系xOy中，双曲线( a> 0, b > 0) C i:的渐近线与抛物线C2：x2=2py ( p> 0)交于点O, A , B, 若△ OAB 的垂心为C2的焦点, 则C1的离心率为丄考点：双曲线的简单性质.专题：计算题；创新题型；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：求出A的坐标，可得^ab，利用△ OAB的垂心为C2的焦点，可得解答: 一 2 24abX(——)=-1，由此可求aC1的离心率.2解：双曲线C1：七a =1 (a> 0, b> 0)的渐近线方程为y= ±x，与抛物线C2: x2=2py联立，可得x=0或* 2 24ab •/ △ OAB的垂心为C2的焦点,2 2娶- /4ab2 2••• 5a =4b ,2 9• 5a =4 (c -a2)e =J=3 32故答案为：上.2点评：本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，确定 A 的坐标是关键.三、解答题2 兀16. (12 分)(2015?山东)设 f (x ) =sinxcosx - cos (x+ ). 4(I )求f (x )的单调区间；(n )在锐角△ ABC 中，角A , B , C 的对边分别为 a , b , c,若f (丄)=0, a=1，求△ ABC 13面积的最大值.(n )由 f (£) =si nA -—t =0，可得 si nA , cosA ，由余弦定理可得： ，且=sin2x -A 11(n )由 f (三)=sinA -—=0，可得 sinA=「, 由题意知A 为锐角，所以cosA=:;, 2|由余弦定理 a 2=b 2+c 2 - 2bccosA ,考点： 专题：正弦函数的单调性；两角和与差的正弦函数；余弦定理.三角函数的图像与性质；解三角形.(I )由三角函数恒等变换化简解析式可得f (x ) =sin2x -二，由2兀(x )的单调递增区间，由,k C Z 可解得f 当b=c 时等号成立，从而可求严inA 善，从而得解.解答:解：(I )由题意可知，f (x ) 丄sin2x -21+GOS)~1s in2x -21 - sin2s2~由2k 一— _ TE所以f(X )的单调递增区间是[k ,k f4电x 电k 二 2k TT<2k 丁,k 包可解得单调递减区间.k ①可解得: <2x<2k 下由2k 丁电k i •—,,k €Z ； k ①可解得:,k €Z ；,(k€Z );单调递减区间是:[k Ik 」,(k€Z )；可得：1+二bc=b2+c2支be，即be .:，且当b=c时等号成立. 因此丄bcsinA w ' > 二所以△ ABC面积的最大值为—二4点评：本题主要考查了正弦函数的图象和性质，余弦定理，基本不等式的应用，属于基本知识的考查.17. （12分）（2015?山东）如图，在三棱台DEF - ABC中，AB=2DE , G, H分别为AC , BC的中点.（I ）求证：BD //平面FGH ;（n ）若CF丄平面ABC , AB丄BC, CF=DE , / BAC=45 ° 求平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小.考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定. 专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用.分析：（I ）根据AB=2DE便可得到BC=2EF，从而可以得出四边形EFHB为平行四边形，从而得到BE // HF，便有BE //平面FGH，再证明DE //平面FGH，从而得到平面BDE // 平面FGH，从而BD //平面FGH ;（n ）连接HE，根据条件能够说明HC, HG , HE三直线两两垂直，从而分别以这三直线为x, y, z轴，建立空间直角坐标系，然后求出一些点的坐标.连接BG,可说明瓦为平面ACFD的一条法向量，设平面FGH的法向量为二二（直，益2），根据厂T 8门命HF二n f•____ 即可求出法向量U,设平面FGH与平面ACFD所成的角为0,根据石蒔0cos0=二二：■-即可求出平面FGH与平面ACFD所成的角的大小. 解答：解：（I ）证明：根据已知条件，BC=2EF , H为BC中点，EF / BC;••• EF // BH，且EF=BH ;•••四边形EFHB为平行四边形；•BE // HF , HF?平面FGH , BE?平面FGH ；•BE // 平面FGH ；同样，因为GH ABC中位线，• GH // AB ；又DE // AB ；•DE // GH ；• DE // 平面FGH , DE A BE=E ；•••平面BDE // 平面FGH , BD?平面BDE ;••• BD // 平面FGH ;(n )连接HE,贝y HE // CF;•/ CF丄平面ABC ;•HE //平面ABC，并且HG丄HC;•HC, HG , HE三直线两两垂直，分别以这三直线为x, y, z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设HC=1，则：H (0, 0, 0), G (0, 1, 0), F ( 1, 0, 1) , B (- 1 , 0 , 0); 连接BG,根据已知条件BA=BC , G为AC中点；•BG 丄AC ;又CF丄平面ABC , BG?平面ABC ;•BG 丄CF , AC A CF=C ;•BG丄平面ACFD ;•向量BG= (1, 1, 0)为平面ACFD的法向量；设平面FGH的法向量为二(壯2),则:f n HF=x+z=0 廿〜-一，取I则：一…—;设平面FGH和平面ACFD所成的锐二面角为0,则: cos B=|cos n 「1= 了丄：,-,;•平面FGH与平面ACFD所成的角为60°点评：考查棱台的定义，平行四边形的定义，线面平行的判定定理，面面平行的判定定理及其性质，线面垂直的性质及线面垂直的判定定理，以及建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的方法，平面法向量的概念及求法，向量垂直的充要条件，向量夹角余弦的坐标公式，平面和平面所成角的定义.18. (12分)(2015?山东)设数列｛a n｝的前n项和为S n,已知29=3“+3.(I )求｛a n｝的通项公式；(n )若数列｛b n｝，满足a n b n=log3a n，求｛b n｝的前n项和T n.考点：数列的求和. 专题：等差数列与等比数列.分析：(I )利用2S n=3 +3，可求得a1=3;当n> 1 时，2S n-1=3 +3,两式相减2a n=2S nn — 1-2S n - 1,可求得a n =3 ，从而可得｛a n ｝的通项公式；(n )依题意，a n b n =log 3a n ，可得 b 仁-，当 n > 1 时，b n =31 n ?log 33n 1= (n - 1) X 31 ■3-n,于是可求得 T 仁 b 仁一;当 n > 1 时，T n =b 1+b 2+ ••+bn—+(1X 3-1+2 xf 2+・・+ (n - 1)3 3X 31-n ),利用错位相减法可求得｛b n ｝的前n 项和T n .解答：解：(I )因为 2S n =3n +3，所以 2a 仁31+3=6，故 a 1=3,当 n > 1 时，2S n -1=3n -1+3,此时，2a n =2S n - 2S n -1=3n - 3n -1=2 X” 1，即 a n =3n 「1 ,f3, n=l所以a n =,.n>l.(n )因为 a n b n =log 3a n ,所以 b 1=73当 n > 1 时，b n =31-n ?log 33n -1= (n - 1) X 31 -n , 所以T 1=b 1 =3当 n > 1 时，T n =b 1+b 2+ --+b n = + (1X 3-1+2 X -2+・・+ (n - 1) X 31-n ),3所以 3T n =1+ (1X 30+2 X 3-1+3 X _2+・・+ ( n - 1) X 32-n ),两式相减得：2口=匸+ (30+3-1+3-2+ ••+32-n - (n - 1) X 31-n )二+「''33 1-3一1点评：本题考查数列的求和，着重考查数列递推关系的应用，突出考查错位相减法”求和,考查分析、运算能力，属于中档题.19. （12分）（2015?山东）若n 是一个三位正整数，且 n 的个位数字大于十位数字，十位数 字大于百位数字，则称 n 为 三位递增数”（如137, 359, 567等）.在某次数学趣味活动中， 每位参加者需从所有的三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的 三位递增数”的三个数字之积不能被 5整除，参加者得0分，若能被5整除，但不 能被10整除，得-1分，若能被10整除，得1分. （I ）写出所有个位数字是 5的三位递增数”；（n ）若甲参加活动，求甲得分 X 的分布列和数学期望 EX .考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列. 专题：概率与统计.综上可得 T n =13 12-1) X 31-n )所以T n =匚12 号广2n=1时也适合,分析：(I)根据三位递增数”的定义，即可写出所有个位数字是5的三位递增数”；(n)随机变量X的取值为：0,- 1, 1分别求出对应的概率，即可求出分布列和期望. 解答：解：(I)根据定义个位数字是5的三位递增数”有：125, 135, 145, 235, 245, 345;(n )由题意知，全部三位递增数”的个数为凉二84 ,y随机变量X的取值为：0，- 1,1,当X=0时，可以选择除去5以外的剩下8个数字中选择3个进行组合，即于A , B两点，射线PO交椭圆E于点Q.⑴求|斗的值；(ii)求厶ABQ面积的最大值.考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；曲线与方程.:;点评: 当X= - 1时，首先选择5,由于不能被10整除，因此不能选择数字必；5，然后从2,以从1, 3, 5, 7中选择两个数字和5进行组合，即当X=1时，有两种组合方式，第一种方案：首先选个数字和5进行组合，即个数字，再从1, 3, 7,则P (X=0 )=_丄r3 3 023;第二种方案：首先选9中选择1个数字，最后把5,然后从2,2, 4, 6, 8,可4, 6,4, 6,8中选择28中选择1亠，P (X=1 )14c 扛42，-1111114一一.本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算,关键.EX=0 *+(-1)-+1求出对应的概率是解决本题的20.( 13分)(2015?山东)平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:—七=1 (a> b > 0)的离心率为「左、右焦点分别是F1, F2,以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆(I )求椭圆C的方程；C 上.x2-L 2 y14b2P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m 交椭圆E3个数字进行组合，即42(X= - 1)(n)设椭圆E:专题：创新题型；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：（I ）运用椭圆的离心率公式和 a , b , c 的关系，计算即可得到 b ,进而得到椭圆 C 的方程；圆C , E 的方程，化简整理，即可得到所求值;（ii ）设A （x i , y i ） , B （ x 2 , y 2）,将直线y=kx+m 代入椭圆E 的方程，运用韦达定 理，三角形的面积公式，将直线 y=kx+m 代入椭圆C 的方程，由判别式大于0 ,可得t 的范围，结合二次函数的最值,又 △ ABQ 的面积为3S ,即可得到所求的最大值.解答：解：（I ）由题意可知，2a=4,可得a=2,又一 =■', a 2- c 2=b 2,a 2可得b=1，即有椭圆C 的方程为丁 +y 2=i ；厂+162_=1 ,即丄_4所以十2 ,即J|=2;(ii )设 A (x 1 , y 1), B2 2 2(1+4k ) x +8kmx+4m由直线y=kx+m 与y 轴交于（0, m ）,则厶AOB 的面积为S 」|m|?|x 1 — x 2|于|m|?=2将直线y=kx+m 代入椭圆C 的方程，可得（1+4k 2） x 2+8kmx+4m 2 — 4=0 , 由△为可得m 2w +4k 2 ,② :.::-，在（o , 1］递增，即有t=1取得最大值,）由（I ）知椭圆E 的方程为(i )设 P (x o , y o ),由题意可知,K0 Q (—瓜0, — ?y 0),由于—— 4+y o 2=1,贝U 有 X 1+x 2= —l+4k 2 ,x 1x 2= l+4k 2 ，所以 |x 1 — x 2|=- ID 2l+4k 2（n ）求得椭圆E 的方程, (i )设 P (x o , y o ), 辭入,求得Q 的坐标，分别代入椭+y 02) =1,(x 2 , y 2),将直线 —16=0,由△ > 0 , y=kx+m 代入椭圆E 的方程，可得可得 m 2v 4+16k 2 ,①l+4k 2由①②可得0 v t W,则S=2 =t ，则 S=2 ),m 2l+4k 2即有SU 「，即m 2=l+4k 2,取得最大值2_ 由(i )知，△ ABQ 的面积为3S ,即△ ABQ 面积的最大值为 6点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，同 时考查三角形的面积公式和二次函数的最值，属于中档题.21. (14 分)(2015?山东)设函数 f (x ) =ln (x+1 ) +a (x 2 - x ),其中 a€R , (I )讨论函数f (x )极值点的个数，并说明理由；(n )若？x > 0, f (x )为成立，求a 的取值范围. 与△分类讨论可得：(1 )当a=0时，此时f'( x )> 0，即可得出函数的单调性与极值 的情况. ⑺当a > 0时，△ =a ( 9a -8).①当时，△乜，②当「V 时，"0, 即可得出函数的单调性与极值的情况.(3)当a v 0时，△> 0•即可得出函数的单调性与极值的情况. 可判断出.f fx) =4-Sax - a _ x+1令 g (x ) =2ax 2+ax - a+1.(1) 当a=0时，g (x ) =1,此时f'(x ) > 0,函数f (x )在(-1, +m)上单调递 增，无极值点. (2) 当 a > 0 时，△ =a 2- 8a (1 - a ) =a (9a - 8). ①当时，△切，g (x )为，f ' (x ) ◎函数f (x )在(-1, + m)上单调J递增，无极值点.专题：创新题型；导数的综合应用.(1)函数 f (x ) =ln (x+1) +a (x 2 - x ),其中 a €R , x € ( — 1,+ m)x+12.令 g (x ) =2ax +ax - a+1 .M a(II )由(I )可知：(1 )当0它，可得函数f ( x )在(0 , + m)上单调性，即(2) 当丄v a <1时，由g (0)为，可得X 2切，函数f (乂)在(0, 可判断出.(3) 当1v a 时，由 即可判断出； (4) 当a v 0时，设 出解答：解：(I )函数f (x )+ m)上单调性，即g ( 0 )v 0，可得X 2> 0,利用x € ( 0, x 2)时函数f (x )单调性, h (x ) =x - In (x+1 ), x € (0, +m),研究其单调性，即可判断 =ln (x+1 ) +a (x 2 - x ),其中 a€R , x € (- 1, + m)□+ax - a+1 x+1考点：利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题. 9■: -=2△ > 0,设方程2ax +ax - a+1=0的两个实数根分别为-丄，砂>_丄「4由 g (- 1)> 0,可得—1< X 1< -丄.4•••当 X € (- 1, X 1)时，g ( X )> 0, f ' ( X )> 0,函数 f ( X )单调递增; 当 x € (X 1, x 2)时，g (x )< 0, f (x ) < 0,函数 f (x )单调递减； 当 x € (X 2, +8)时，g (X ) > 0, f ' (x )> 0,函数 f (x )单调递增. 因此函数f (x )有两个极值点.(3) 当 a < 0 时，△> 0.由 g (- 1) =1 > 0,可得-1 < X 1V - 丄.4•••当 x € (- 1, X 2)时，g ( x )> 0, f (x )> 0,函数 f ( x )单调递增; 当 x € (X 2, +8)时，g (X ) < 0, f ' (x )< 0,函数 f (X )单调递减. 因此函数f ( X )有一个极值点. 综上所述：当a < 0时，函数f ( x )有一个极值点；当a 0时，函数f (x )有两个极值点.X 1 , X 2, x 1<X 2.(II )由 (I )可知: (1)当 ，函数f ( 乂)在(0 , +8)上单调递增.X 1+X 2=函数f (x )无极值点;0<a=0,,+8)时，f (X )> 0，符合题意.(2)当卫<a <1时，由g (0)为，可得X 2切，函数f (x )在(0,9又 f (0) =0,• x € (0, +8)时，f (X )> 0，符合题意.(3) 当 1< a 时，由 g (0)< 0,可得 X 2>0,• x € (0, X 2)时，函数f (x )单调递减. 又 f (0) =0,• x € (0, X 2)时，f (x )< 0,不符合题意，舍去；(4) 当 a < 0 时，设 h (x ) =x - In (x+1 ), x € (0, +8), h ' (x ) =_— > 0.x+1• h (x )在(0, + 8)上单调递增.因此 x € (0, + 8)时，h (x )> h ( 0) =0，即 In (x+1) < x ,22可得：f (X ) < x+a (X - X ) =ax + (1 - a ) x ，当 x > 一二时， dax 2+ (1 - a ) x < 0,此时f (x )< 0,不合题意，舍去.点评：本题考查了导数的运算法则、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题.••• f (0): • x € (0, + 8)上单调递增.。

绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项： 1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。

答案卸载试卷上无效。

3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式： 如果事件A,B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).第Ⅰ卷（共50分）一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的（1） 已知集合A={X|X ²-4X+3<0}，B={X|2<X<4},则A B=（A ）（1，3） （B ）（1，4） （C ）（2，3） （D ）（2，4） （2）若复数Z 满足1Zi i=-，其中i 为虚数为单位，则Z= （A ）1-i （B ）1+i （C ）-1-i （D ）-1+i （3）要得到函数y=sin （4x-3π）的图像，只需要将函数y=sin4x 的图像（） （A ）向左平移12π个单位 （B ）向右平移12π个单位 （C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3π个单位 （4）已知ABCD 的边长为a ，∠ABC=60o ,则.＝（A ）- （B ）- （C ） （D ）（5）不等式|X-1|-|X-5|<2的解集是（A）（-，4）（B）（-，1）（C）（1，4）（D）（1，5）（6）已知x,y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（A）3 （B）2 （C）-2 （D）-3（7）在梯形ABCD中，∠ABC=，AD//BC，BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（A）（B）（C）（D）2（8）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，3），从中随机取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ²）），则P（μ-σ<ξ<μ+σ）=68.26%，P（μ-2σ<ξ<μ+2σ）=95.44%.）（A）4.56% （B）13.59% （C）27.18% （D）31.74%（9）一条光纤从点（-2，-3）射出，经y轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（）（A）或（B或（C）或（D）或（10）设函数f(x)=,则满足f(f(a))=的a取值范围是（）（A）[，1] （B）[0，1]（C）[（D）[1，+第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

2015年山东省高考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（）A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）2．（5分）若复数z满足=i，其中i为虚数单位，则z=（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i3．（5分）要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象（）A．向左平移单位B．向右平移单位C．向左平移单位D．向右平移单位4．（5分）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则=（）A．﹣a2B．﹣a2C．a2 D．a25．（5分）不等式|x﹣1|﹣|x﹣5|＜2的解集是（）A．（﹣∞，4）B．（﹣∞，1）C．（1，4） D．（1，5）6．（5分）已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（）A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣37．（5分）在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD 绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A． B． C． D．2π8．（5分）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，32），从中随机抽取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%）A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%9．（5分）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．﹣或﹣B．﹣或﹣C．﹣或﹣D．﹣或﹣10．（5分）设函数f（x）=，则满足f（f（a））=2f（a）的a的取值范围是（）A．[，1]B．[0，1]C．[，+∞）D．[1，+∞）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）观察下列各式：C=40；C+C=41；C+C+C=42；C+C+C+C=43；…照此规律，当n∈N*时，C+C+C+…+C=．12．（5分）若“∀x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为．13．（5分）执行如图程序框图，输出的T的值为．14．（5分）已知函数f（x）=a x+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a+b=．15．（5分）平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线C2：x2=2py（p＞0）交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为．三、解答题16．（12分）设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求△ABC面积的最大值．17．（12分）如图，在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．（Ⅰ）求证：BD∥平面FGH；（Ⅱ）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE，∠BAC=45°，求平面FGH与平面ACFD 所成的角（锐角）的大小．18．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n=3n+3．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}，满足a n b n=log3a n，求{b n}的前n项和T n．19．（12分）若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分，若能被5整除，但不能被10整除，得﹣1分，若能被10整除，得1分．（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX．20．（13分）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2，以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆E：+=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m 交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q．（i）求||的值；（ii）求△ABQ面积的最大值．21．（14分）设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，（Ⅰ）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；（Ⅱ）若∀x＞0，f（x）≥0成立，求a的取值范围．2015年山东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）（2015•山东）已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（）A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）【分析】求出集合A，然后求出两个集合的交集．【解答】解：集合A={x|x2﹣4x+3＜0}={x|1＜x＜3}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B={x|2＜x＜3}=（2，3）．故选：C．2．（5分）（2015•山东）若复数z满足=i，其中i为虚数单位，则z=（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i【分析】直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可．【解答】解：=i，则=i（1﹣i）=1+i，可得z=1﹣i．故选：A．3．（5分）（2015•山东）要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x 的图象（）A．向左平移单位B．向右平移单位C．向左平移单位D．向右平移单位【分析】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可．【解答】解：因为函数y=sin（4x﹣）=sin[4（x﹣）]，要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象向右平移单位．故选：B．4．（5分）（2015•山东）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则=（）A．﹣a2B．﹣a2C．a2 D．a2【分析】由已知可求，，根据=（）•=代入可求【解答】解：∵菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，∴=a2，=a×a×cos60°=，则=（）•==故选：D5．（5分）（2015•山东）不等式|x﹣1|﹣|x﹣5|＜2的解集是（）A．（﹣∞，4）B．（﹣∞，1）C．（1，4） D．（1，5）【分析】运用零点分区间，求出零点为1，5，讨论①当x＜1，②当1≤x≤5，③当x＞5，分别去掉绝对值，解不等式，最后求并集即可．【解答】解：①当x＜1，不等式即为﹣x+1+x﹣5＜2，即﹣4＜2成立，故x＜1；②当1≤x≤5，不等式即为x﹣1+x﹣5＜2，得x＜4，故1≤x＜4；③当x＞5，x﹣1﹣x+5＜2，即4＜2不成立，故x∈∅．综上知解集为（﹣∞，4）．故选A．6．（5分）（2015•山东）已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（）A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．则A（2，0），B（1，1），若z=ax+y过A时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2，此时，目标函数为z=2x+y，即y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为4，满足条件，若z=ax+y过B时取得最大值为4，则a+1=4，解得a=3，此时，目标函数为z=3x+y，即y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为6，不满足条件，故a=2，故选：B7．（5分）（2015•山东）在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A． B． C． D．2π【分析】画出几何体的直观图，利用已知条件，求解几何体的体积即可．【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：旋转体是底面半径为1，高为2的圆柱，挖去一个相同底面高为1的倒圆锥，几何体的体积为：=．故选：C．8．（5分）（2015•山东）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，32），从中随机抽取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%）A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%【分析】由题意P（﹣3＜ξ＜3）=68.26%，P（﹣6＜ξ＜6）=95.44%，可得P（3＜ξ＜6）=（95.44%﹣68.26%），即可得出结论．【解答】解：由题意P（﹣3＜ξ＜3）=68.26%，P（﹣6＜ξ＜6）=95.44%，所以P（3＜ξ＜6）=（95.44%﹣68.26%）=13.59%．故选：B．9．（5分）（2015•山东）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．﹣或﹣B．﹣或﹣C．﹣或﹣D．﹣或﹣【分析】点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），利用直线与圆相切的性质即可得出．【解答】解：点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），故可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），化为kx﹣y﹣2k﹣3=0．∵反射光线与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，∴圆心（﹣3，2）到直线的距离d==1，化为24k2+50k+24=0，∴k=或﹣．故选：D．10．（5分）（2015•山东）设函数f（x）=，则满足f（f（a））=2f （a）的a的取值范围是（）A．[，1]B．[0，1]C．[，+∞）D．[1，+∞）【分析】令f（a）=t，则f（t）=2t，讨论t＜1，运用导数判断单调性，进而得到方程无解，讨论t≥1时，以及a＜1，a≥1，由分段函数的解析式，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：令f（a）=t，则f（t）=2t，当t＜1时，3t﹣1=2t，由g（t）=3t﹣1﹣2t的导数为g′（t）=3﹣2t ln2，在t＜1时，g′（t）＞0，g（t）在（﹣∞，1）递增，即有g（t）＜g（1）=0，则方程3t﹣1=2t无解；当t≥1时，2t=2t成立，由f（a）≥1，即3a﹣1≥1，解得a≥，且a＜1；或a≥1，2a≥1解得a≥0，即为a≥1．综上可得a的范围是a≥．故选C．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）（2015•山东）观察下列各式：C=40；C+C=41；C+C+C=42；C+C+C+C=43；…照此规律，当n∈N*时，C+C+C+…+C=4n﹣1．【分析】仔细观察已知条件，找出规律，即可得到结果．【解答】解：因为C=40；C+C=41；C+C+C=42；C+C+C+C=43；…照此规律，可以看出等式左侧最后一项，组合数的上标与等式右侧的幂指数相同，可得：当n∈N*时，C+C+C+…+C=4n﹣1；故答案为：4n﹣1．12．（5分）（2015•山东）若“∀x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为1．【分析】求出正切函数的最大值，即可得到m的范围．【解答】解：“∀x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，可得tanx≤1，所以，m≥1，实数m的最小值为：1．故答案为：1．13．（5分）（2015•山东）执行如图程序框图，输出的T的值为．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，T的值，当n=3时不满足条件n＜3，退出循环，输出T的值为．【解答】解：模拟执行程序框图，可得n=1，T=1满足条件n＜3，T=1+xdx，n=2满足条件n＜3，T=1+xdx+x2dx=1+=，n=3不满足条件n＜3，退出循环，输出T的值为．故答案为：14．（5分）（2015•山东）已知函数f（x）=a x+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a+b=．【分析】对a进行分类讨论，分别题意和指数函数的单调性列出方程组，解得答案．【解答】解：当a＞1时，函数f（x）=a x+b在定义域上是增函数，所以，解得b=﹣1，=0不符合题意舍去；当0＜a＜1时，函数f（x）=a x+b在定义域上是减函数，所以，解得b=﹣2，a=，综上a+b=，故答案为：15．（5分）（2015•山东）平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线C2：x2=2py（p＞0）交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为．【分析】求出A的坐标，可得=，利用△OAB的垂心为C 2的焦点，可得×（﹣）=﹣1，由此可求C1的离心率．【解答】解：双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，与抛物线C2：x2=2py联立，可得x=0或x=±，取A（，），设垂心H（0，），则k AH==，∵△OAB的垂心为C2的焦点，∴×（﹣）=﹣1，∴5a2=4b2，∴5a2=4（c2﹣a2）∴e==．故答案为：．三、解答题16．（12分）（2015•山东）设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求△ABC面积的最大值．【分析】（Ⅰ）由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）=sin2x﹣，由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得f（x）的单调递增区间，由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得单调递减区间．（Ⅱ）由f（）=sinA﹣=0，可得sinA，cosA，由余弦定理可得：bc，且当b=c时等号成立，从而可求bcsinA≤，从而得解．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，f（x）=sin2x﹣=sin2x﹣=sin2x﹣由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；所以f（x）的单调递增区间是[k，k]，（k∈Z）；单调递减区间是：[k，k]，（k∈Z）；（Ⅱ）由f（）=sinA﹣=0，可得sinA=，由题意知A为锐角，所以cosA=，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：1+bc=b2+c2≥2bc，即bc，且当b=c时等号成立．因此S=bcsinA≤，所以△ABC面积的最大值为．17．（12分）（2015•山东）如图，在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．（Ⅰ）求证：BD∥平面FGH；（Ⅱ）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE，∠BAC=45°，求平面FGH与平面ACFD 所成的角（锐角）的大小．【分析】（Ⅰ）根据AB=2DE便可得到BC=2EF，从而可以得出四边形EFHB为平行四边形，从而得到BE∥HF，便有BE∥平面FGH，再证明DE∥平面FGH，从而得到平面BDE∥平面FGH，从而BD∥平面FGH；（Ⅱ）连接HE，根据条件能够说明HC，HG，HE三直线两两垂直，从而分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，然后求出一些点的坐标．连接BG，可说明为平面ACFD的一条法向量，设平面FGH的法向量为，根据即可求出法向量，设平面FGH与平面ACFD所成的角为θ，根据cosθ=即可求出平面FGH与平面ACFD所成的角的大小．【解答】解：（Ⅰ）证明：根据已知条件，DF∥AC，EF∥BC，DE∥AB；△DEF∽△ABC，又AB=2DE，∴BC=2EF=2BH，∴四边形EFHB为平行四边形；∴BE∥HF，HF⊂平面FGH，BE⊄平面FGH；∴BE∥平面FGH；同样，因为GH为△ABC中位线，∴GH∥AB；又DE∥AB；∴DE∥GH；∴DE∥平面FGH，DE∩BE=E；∴平面BDE∥平面FGH，BD⊂平面BDE；∴BD∥平面FGH；（Ⅱ）连接HE，则HE∥CF；∵CF⊥平面ABC；∴HE⊥平面ABC，并且HG⊥HC；∴HC，HG，HE三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设HC=1，则：H（0，0，0），G（0，1，0），F（1，0，1），B（﹣1，0，0）；连接BG，根据已知条件BA=BC，G为AC中点；∴BG⊥AC；又CF⊥平面ABC，BG⊂平面ABC；∴BG⊥CF，AC∩CF=C；∴BG⊥平面ACFD；∴向量为平面ACFD的法向量；设平面FGH的法向量为，则：，取z=1，则：；设平面FGH和平面ACFD所成的锐二面角为θ，则：cosθ=|cos|=；∴平面FGH与平面ACFD所成的角为60°．18．（12分）（2015•山东）设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n=3n+3．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}，满足a n b n=log3a n，求{b n}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）利用2S n=3n+3，可求得a1=3；当n＞1时，2S n﹣1=3n﹣1+3，两式相减2a n=2S n﹣2S n﹣1，可求得a n=3n﹣1，从而可得{a n}的通项公式；（Ⅱ）依题意，a n b n=log3a n，可得b1=，当n＞1时，b n=31﹣n•log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n，于是可求得T1=b1=；当n＞1时，T n=b1+b2+…+b n=+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），利用错位相减法可求得{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）因为2S n=3n+3，所以2a1=31+3=6，故a1=3，=3n﹣1+3，当n＞1时，2S n﹣1此时，2a n=2S n﹣2S n﹣1=3n﹣3n﹣1=2×3n﹣1，即a n=3n﹣1，所以a n=．（Ⅱ）因为a n b n=log3a n，所以b1=，当n＞1时，b n=31﹣n•log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n，所以T1=b1=；当n＞1时，T n=b1+b2+…+b n=+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），所以3T n=1+（1×30+2×3﹣1+3×3﹣2+…+（n﹣1）×32﹣n），两式相减得：2T n=+（30+3﹣1+3﹣2+…+32﹣n﹣（n﹣1）×31﹣n）=+﹣（n ﹣1）×31﹣n=﹣，所以T n=﹣，经检验，n=1时也适合，综上可得T n=﹣．19．（12分）（2015•山东）若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分，若能被5整除，但不能被10整除，得﹣1分，若能被10整除，得1分．（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX．【分析】（Ⅰ）根据“三位递增数”的定义，即可写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）随机变量X的取值为：0，﹣1，1分别求出对应的概率，即可求出分布列和期望．【解答】解：（Ⅰ）根据定义个位数字是5的“三位递增数”有：125，135，145，235，245，345；（Ⅱ）由题意知，全部“三位递增数”的个数为，随机变量X的取值为：0，﹣1，1，当X=0时，可以选择除去5以外的剩下8个数字中选择3个进行组合，即；当X=﹣1时，首先选择5，由于不能被10整除，因此不能选择数字2，4，6，8，可以从1，3，7，9中选择两个数字和5进行组合，即；当X=1时，有两种组合方式，第一种方案：首先选5，然后从2，4，6，8中选择2个数字和5进行组合，即；第二种方案：首先选5，然后从2，4，6，8中选择1个数字，再从1，3，7，9中选择1个数字，最后把3个数字进行组合，即．则P（X=0）==，P（X=﹣1）==，P（X=1）==，X0﹣11PEX=0×+（﹣1）×+1×=．20．（13分）（2015•山东）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a ＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2，以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆E：+=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m 交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q．（i）求||的值；（ii）求△ABQ面积的最大值．【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，计算即可得到b，进而得到椭圆C的方程；（Ⅱ）求得椭圆E的方程，（i）设P（x0，y0），||=λ，求得Q的坐标，分别代入椭圆C，E的方程，化简整理，即可得到所求值；（ii）设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=kx+m代入椭圆E的方程，运用韦达定理，三角形的面积公式，将直线y=kx+m代入椭圆C的方程，由判别式大于0，可得t的范围，结合二次函数的最值，又△ABQ的面积为3S，即可得到所求的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，PF1+PF2=2a=4，可得a=2，又=，a2﹣c2=b2，可得b=1，即有椭圆C的方程为+y2=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆E的方程为+=1，（i）设P（x0，y0），||=λ，由题意可知，Q（﹣λx0，﹣λy0），由于+y02=1，又+=1，即（+y02）=1，所以λ=2，即||=2；（ii）设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=kx+m代入椭圆E的方程，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16=0，由△＞0，可得m2＜4+16k2，①则有x1+x2=﹣，x1x2=，所以|x1﹣x2|=，由直线y=kx+m与y轴交于（0，m），则△AOB的面积为S=|m|•|x1﹣x2|=|m|•=2，设=t，则S=2，将直线y=kx+m代入椭圆C的方程，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由△＞0可得m2＜1+4k2，②由①②可得0＜t＜1，则S=2在（0，1）递增，即有t=1取得最大值，即有S，即m2=1+4k2，取得最大值2，由（i）知，△ABQ的面积为3S，即△ABQ面积的最大值为6．21．（14分）（2015•山东）设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，（Ⅰ）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；（Ⅱ）若∀x＞0，f（x）≥0成立，求a的取值范围．【分析】（I）函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，x∈（﹣1，+∞）．=．令g（x）=2ax2+ax﹣a+1．对a与△分类讨论可得：（1）当a=0时，此时f′（x）＞0，即可得出函数的单调性与极值的情况．（2）当a＞0时，△=a（9a﹣8）．①当时，△≤0，②当a时，△＞0，即可得出函数的单调性与极值的情况．（3）当a＜0时，△＞0．即可得出函数的单调性与极值的情况．（II）由（I）可知：（1）当0≤a时，可得函数f（x）在（0，+∞）上单调性，即可判断出．（2）当＜a≤1时，由g（0）≥0，可得x2≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调性，即可判断出．（3）当1＜a时，由g（0）＜0，可得x2＞0，利用x∈（0，x2）时函数f（x）单调性，即可判断出；（4）当a＜0时，设h（x）=x﹣ln（x+1），x∈（0，+∞），研究其单调性，即可判断出【解答】解：（I）函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，x∈（﹣1，+∞）．=．令g（x）=2ax2+ax﹣a+1．（1）当a=0时，g（x）=1，此时f′（x）＞0，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，无极值点．（2）当a＞0时，△=a2﹣8a（1﹣a）=a（9a﹣8）．①当时，△≤0，g（x）≥0，f′（x）≥0，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，无极值点．②当a时，△＞0，设方程2ax2+ax﹣a+1=0的两个实数根分别为x1，x2，x1＜x2．∵x1+x2=，∴，．由g（﹣1）＞0，可得﹣1＜x1．∴当x∈（﹣1，x1）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x∈（x1，x2）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x∈（x2，+∞）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．因此函数f（x）有两个极值点．（3）当a＜0时，△＞0．由g（﹣1）=1＞0，可得x1＜﹣1＜x2．∴当x∈（﹣1，x2）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x∈（x2，+∞）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．因此函数f（x）有一个极值点．综上所述：当a＜0时，函数f（x）有一个极值点；当0≤a时，函数f（x）无极值点；当a时，函数f（x）有两个极值点．（II）由（I）可知：（1）当0≤a时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．∵f（0）=0，∴x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，符合题意．（2）当＜a≤1时，由g（0）≥0，可得x2≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．又f（0）=0，∴x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，符合题意．（3）当1＜a时，由g（0）＜0，可得x2＞0，∴x∈（0，x2）时，函数f（x）单调递减．又f（0）=0，∴x∈（0，x2）时，f（x）＜0，不符合题意，舍去；（4）当a＜0时，设h（x）=x﹣ln（x+1），x∈（0，+∞），h′（x）=＞0．∴h（x）在（0，+∞）上单调递增．因此x∈（0，+∞）时，h（x）＞h（0）=0，即ln（x+1）＜x，可得：f（x）＜x+a（x2﹣x）=ax2+（1﹣a）x，当x＞时，ax2+（1﹣a）x＜0，此时f（x）＜0，不合题意，舍去．综上所述，a的取值范围为[0，1]．。

2015山东高考文科数学第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1. 已知集合A={x|2<x<4}，B={x|（x-1）（x-3）<0}，则A B=( ) （A ）（1,3） （B ）（1,4） （C ）（2,3） （D ）（2,4） 【答案】C2. 若复数Z 满足=i ，其中i 为虚数单位，则Z=( ) （A ）1-i （B ）1+i （C ）-1-i （D ）-1+i 【答案】C3. 设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) （A ）a ＜b ＜c （B ）a ＜c ＜b （C ）b ＜a ＜c （D ）b ＜c ＜a 【答案】C4.要得到函数y=sin （4x-）的图象，只需要将函数y=sin4x 的图象（） （A ）．向左平移个单位 （B ）向右平移个单位 （C ）.向左平移个单位 （D ）向右平移个单位 5. 设,命题“若m>0,则方程有实根”的逆否命题是( )A. 若方程有实根，则>0B.若方程有实根，则.若方程没有实根，则>0.若方程没有实根，则6. 为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论：⋂1zi-3π12π12π3π3πm R ∈20x x m +-=20x x m +-=20x x m +-=20x x m +-=20x x m +-=①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温； ②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的平均气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差； ④甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差. 其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为( ) （A ）①③ (B) ①④ (C) ②③ (D) ②④ 【答案】B7. 在区间[0,2]上随机地取一个数x,则事件“”发生的概率为( ) （A ）（B ） （C ） （D ） 【答案】A8. 若函数是奇函数，则使f （x ）>3成立的x 的取值范围为( )（A ）( ) (B)() （C ）（0,1） （D ）（1，+）【答案】C9. 已知等腰直角三角形的直角边的长为 ，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) （ ）（ ）（） （）【答案】B121-1log 2x ≤+≤（）13423131421()2x x f x a+=-22π42π10. 设函数，若，则b=( ) （A ）1 （B ）（C ） (D) 【答案】D 试题分析：由题意，由得，或，解得，故选D. 考点：1.分段函数；2.函数与方程.第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11. 执行右边的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的y 的值是 . 【答案】12. 若x,y 满足约束条件则的最大值为 . 【答案】 【解析】试题分析：画出可行域及直线，平移直线，当其经过点时，直线的纵截距最大，所以最大为. 考点：简单线性规划. 13. 过点P （1，）作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则= .3,1()2,1xx b x f x x -<⎧=⎨≥⎩5(())46f f =783412555()3,662f b b =⨯-=-5(())46f f =51253()42b b b ⎧-<⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩5251224bb -⎧-≥⎪⎨⎪=⎩12b =1313,1y x x y y -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩3z x y =+730x y +=30x y +=(1,2)A 3z x y =+1327z =+⨯=【答案】14. 定义运算“”：（）.当时，的最小值是 .15. 过双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交于点.若点的横坐标为,则的离心率为 . 【答案】三、解答题：本大题共6小题，共75分 16. （本小题满分12分）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）（1） 从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率； （2）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A 1，A 2，A 3，A 4，A 5,3名女同学B 1，B 2，B 3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A 1被选中且B 1未被选中的概率.【答案】(1)；(2). 【解析】试题分析：（1）由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有人，故至少参加上述一个社团的共有人，所以从该班级随机选名同学，利用公式计算即得.(2)从这名男同学和名女同学中各随机选人，其一切可能的结果组成的基本事件有：32⊗22x y x y xy-⊗=,0x y R xy ∈≠，00x y >>，(2)x y y x ⊗+⊗C ：22221x y a a-=0,0a b >>（）CP P 2a C 21321530453015-=1531111213212223313233{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},A B A B A B A B A B A B A B A B A B，共个.根据题意，这些基本事件的出现是等可能的.事件“被选中且未被选中”所包含的基本事件有：，共个. 应用公式计算即得.试题解析：（1）由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有人，故至少参加上述一个社团的共有人，所以从该班级随机选名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为 (2)从这名男同学和名女同学中各随机选人，其一切可能的结果组成的基本事件有：，共个.根据题意，这些基本事件的出现是等可能的.事件“被选中且未被选中”所包含的基本事件有：，共个. 因此被选中且未被选中的概率为. 考点：1.古典概型；2.随机事件的概率. 17. (本小题满分12分)中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c.已知求和的值. 【答案】由正弦定理可得，结合即得. 试题解析：在中，由，得. 因为，所以， 414243515253{,},{,},{,},{,},{,},{,}A B A B A B A B A B A B 151A 1B 1213{,},{,}A B A B 230453015-=1151.453P ==531111213212223313233{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},A B A B A B A B A B A B A B A B A B 414243515253{,},{,},{,},{,},{,},{,}A B A B A B A B A B A B 151A 1B 1213{,},{,}A B A B 21A 1B 215P =ABC∆cos ()B A B ac =+==sin Ac3a=ac =ABC∆cos 3B=sin 3B =A BC π++=sin sin()C A B =+=因为，所以，为锐角，因此. 由可得，又，所以. 考点：1.两角和差的三角函数；2.正弦定理.18. 如图，三棱台中，分别为的中点.（I ）求证：平面；（II ）若求证：平面平面.【答案】证明见解析思路二：在三棱台中，由为的中点， 可得为平行四边形， 在中，分别为的中点， 得到又，得到平面平面.(II)证明：连接.根据分别为的中点，得到由得，又为的中点，得到四边形是平行四边形，从而 又，得到.试题解析：（I ）证法一：连接设,连接，在三棱台中，分别为的中点，可得，所以四边形是sin sin CB <C B<C cos C =sin sin()sin cos cos sin A BC B C B C =+=+=+=,sin sin a c A C =sin sin c Aa C ===ac =1c =DEF ABC -2AB DE G H =，，AC BC ，//BD FGH CF BC AB BC ⊥⊥，，BCD ⊥EGH DEF ABC -2,BC EF H =BC HBEF //.BE HF ABC ∆G H ，AC BC ，//,GH AB GH HF H ⋂=//FGH ABED HE G H ，AC BC ，//,GH AB ,AB BC ⊥GH BC ⊥H BC EFCH //.CF HE CF BC ⊥HE BC ⊥,.DG CD CD GF M ⋂=MH DEF ABC -2AB DE G =，AC //,DF GC DF GC =DFCG平行四边形，则为的中点，又是的中点，所以, 又平面，平面，所以平面.证法二：在三棱台中，由为的中点，可得所以为平行四边形，可得在中，分别为的中点， 所以又，所以平面平面， 因为平面， 所以平面.(II)证明：连接.因为分别为的中点，所以由得，又为的中点，所以因此四边形是平行四边形，所以又，所以.又平面，，所以平面， 又平面，所以平面平面 考点：1.平行关系；2.垂直关系. 19. （本小题满分12分）已知数列是首项为正数的等差数列，数列的前项和为. （I ）求数列的通项公式；（II ）设，求数列的前项和.M CD H BC //HM BD HM ⊂FGH BD ⊄FGH //BD FGH DEF ABC -2,BC EF H =BC //,,BH EF BH EF =HBEF //.BE HF ABC ∆G H ，AC BC ，//,GH AB GH HF H ⋂=//FGH ABED BD ⊂ABED //BD FGH HE G H ，AC BC ，//,GH AB ,AB BC ⊥GH BC ⊥H BC //,,EF HC EF HC =EFCH //.CF HE CF BC ⊥HE BC ⊥,HE GH ⊂EGH HE GH H ⋂=BC ⊥EGH BC ⊂BCD BCD ⊥.EGH {}n a 11n n a a +⎧⎫⎨⎬∙⎩⎭n 21n n +{}n a ()12n an n b a =+⋅{}n b n n T【答案】（I ） (II) 【解析】试题分析：（I ）设数列的公差为， 令得，得到. 令得，得到. 解得即得解. （II ）由（I ）知得到从而利用“错位相减法”求和.试题解析：（I ）设数列的公差为， 令得，所以. 令得，所以. 解得，所以 （II ）由（I ）知所以所以两式相减，得所以 考点：1.等差数列的通项公式；2.数列的求和、“错位相减法”. 20. (本小题满分13分)2 1.n a n =-14(31)4.9n n n T ++-⋅={}n a d 1,n =12113a a =123a a =2,n =12231125a a a a +=2315a a =11,2a d ==24224,n n n b n n -=⋅=⋅121424......4,n n T n =⋅+⋅++⋅23141424......(1)44,nn n T n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅{}n a d 1,n =12113a a =123a a =2,n =12231125a a a a +=2315a a =11,2a d ==2 1.n a n =-24224,n n n b n n -=⋅=⋅121424......4,n n T n =⋅+⋅++⋅23141424......(1)44,nn n T n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅121344 (44)nn n T n +-=+++-⋅114(14)13444,1433n n n n n ++--=-⋅=⨯--113144(31)44.999n n n n n T ++-+-⋅=⨯+=设函数. 已知曲线在点处的切线与直线平行.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）是否存在自然数k ，使得方程在内存在唯一的根？如果存在，求出k ；如果不存在，请说明理由；（Ⅲ）设函数（min{p ，q}表示，p ，q 中的较小值），求m(x)的最大值.【答案】（I ） ；(II) ；(III). 【解析】试题分析：（I ）由题意知，，根据即可求得. （II ）时，方程在内存在唯一的根.设通过研究时，.又 得知存在，使.应用导数研究函数的单调性，当时，单调递增. 作出结论：时，方程在内存在唯一的根.（III ）由（II ）知，方程在内存在唯一的根，且时，，时，，得到.当时，研究得到(1,(1))f ()()f x g x =(,1)k k +()min{(),()}m x f x g x =1a =1k =24e '(1)2f ='()ln 1,af x x x=++1k =()()f x g x =(1,2)2()()()(1)ln ,x x h x f x g x x x e=-=+-(0,1]x ∈()0h x <2244(2)3ln 2ln 8110,h e e=-=->-=0(1,2)x ∈0()0h x =()h x (1,)x ∈+∞()h x 1k =()()f x g x =(,1)k k +()()f x g x =(1,2)0x 0(0,)x x ∈()()f x g x <0(,)x x ∈+∞()()f x g x >020(1)ln ,(0,](),(,)xx x x x m x x x x e +∈⎧⎪=⎨∈+∞⎪⎩0(0,)x x ∈0()().m x m x ≤当时，应用导数研究得到且. 综上可得函数的最大值为. 试题解析：（I ）由题意知，曲线在点处的切线斜率为，所以， 又所以. （II ）时，方程在内存在唯一的根.设当时，.又 所以存在，使. 因为所以当时，，当时，，所以当时，单调递增.所以时，方程在内存在唯一的根.（III ）由（II ）知，方程在内存在唯一的根，且时，，时，，所以.当时，若 若由可知故 0(,)x x ∈+∞24()(2),m x m e≤=0()(2)m x m <()m x 24e (1,(1))f 2'(1)2f ='()ln 1,af x x x=++1a =1k =()()f x g x =(1,2)2()()()(1)ln ,x x h x f x g x x x e=-=+-(0,1]x ∈()0h x <2244(2)3ln 2ln 8110,h e e =-=->-=0(1,2)x ∈0()0h x =1(2)'()ln 1,x x x h x x x e -=+++(1,2)x ∈1'()10h x e>->(2,)x ∈+∞'()0h x >(1,)x ∈+∞()h x 1k =()()f x g x =(,1)k k +()()f x g x =(1,2)0x 0(0,)x x ∈()()f x g x <0(,)x x ∈+∞()()f x g x >020(1)ln ,(0,](),(,)x x x x x m x x x x e +∈⎧⎪=⎨∈+∞⎪⎩0(0,)x x ∈(0,1],()0;x m x ∈≤0(1,),x x ∈1'()ln 10,m x x x=++>00()();m x m x <≤0()().m x m x ≤当时，由可得时，单调递增；时，单调递减；可知且. 综上可得函数的最大值为. 考点：1.导数的几何意义；2.应用导数研究函数的单调性、最值.21. (本小题满分14分)平面直角坐标系中，已知椭圆C ：的离心率为，且点）在椭圆C 上. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆E ：，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q.（i ）求的值； (ii)求面积的最大值.【答案】（I ）；（II ）（i ）；（ii ） 【解析】试题分析：（I ）由题意知又，解得. （II ）由（I ）知椭圆E的方程为. （i ）设由题意知. 0(,)x x ∈+∞(2)'(),x x x m x e-=0(,2)x x ∈'()0,()m x m x >(2,)x ∈+∞'()0,()m x m x <24()(2),m x m e ≤=0()(2)m x m <()m x 24e xOy 2222+=1(>>0)x y b bαα2122222+=144x y a b=+y kx m ||||OQ OP ABQ ∆2214x y +=||2||OQ OP =22311,4a b +=2a =224,1ab ==221164x y +=00||(,),,||OQ P x y OP λ=00(,)Q x y λλ--根据及，知. （ii ）设将代入椭圆E 的方程，可得，由可得……………………①应用韦达定理计算及的面积 设将直线代入椭圆C 的方程，可得，由可得……………………②由①②可知当且仅当，即时取得最大值由（i ）知，的面积为即得面积的最大值为试题解析：（I ）由题意知又，解得， 所以椭圆C 的方程为 （II ）由（I ）知椭圆E 的方程为. （ii ） 设由题意知. 因为又，即 所以，即 2200 1.4x y +=2200()()1164x y λλ--+=2λ=1122(,),(,),A x y B x y y kx m =+222(14)84160k x kmx m +++-=0,∆>22416m k <+122||14x x k-=+OAB∆121||||2S m x x =-===22.14m t k=+y kx m =+222(14)8440k x kmx m +++-=0,∆≥2214m k ≤+01,t S <≤==1t =2214m k =+ABQ ∆3S ABQ∆22311,4a b +=2a =224,1ab ==22 1.4x y +=221164x y +=00||(,),,||OQ P x y OP λ=00(,)Q x y λλ--2200 1.4x y +=2200()()1164x y λλ--+=22200() 1.44x y λ+=2λ=|| 2.||OQ OP =（ii ）设将代入椭圆E 的方程，可得，由可得……………………①则有所以因为直线与轴交点的坐标为，所以的面积设将直线代入椭圆C 的方程，可得，由可得……………………②由①②可知故当且仅当，即时取得最大值由（i ）知，的面积为，所以面积的最大值为考点：1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.距离与三角形面积；4.转化与化归思想.1122(,),(,),A x y B x y y kx m =+222(14)84160k x kmx m +++-=0,∆>22416m k <+21212228416,.1414km m x x x x k k -+=-=++122||14x x k -=+y kx m =+y (0,)m OAB ∆121||||2S m x x =-===22.14m t k=+y kx m =+222(14)8440k x kmx m +++-=0,∆≥2214m k ≤+01,t S <≤==S ≤1t =2214m k =+ABQ ∆3S ABQ ∆。