(完整版)高二数学分组与分配问题专题

分组与分配问题（整理他人所得）一、分组与分配的概念将n 个不同元素按照某些条件分成k 组，称为分组问题。

分组问题有完全均分、全非均分和部分均分三种情况。

将n 个不同元素按照某些条件分配给k 个不同的对象，称为分配问题。

分配问题有分为定向分配和不定向分配两种情况。

分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使两组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的。

对于后者必须先分组后排列。

二、分组问题例1、六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分组方法？(1)每组2本（均分三堆）；(2)一组1本，一组2本，一组3本；(3)一组4本，另外两组各1本；分析：(1) 每组2本（均分三堆）；分组与顺序无关，是组合问题。

可分三步，应是222642C C C ⨯⨯种方法，但是这里出现了重复。

不妨把6本不同的书标记为A ，B ，C ，D ，E ，F ，若第一步取了AB ，第二步取了CD ，第三步取了EF ，记这种分法为（AB ，CD ，EF ），那么222642C C C ⨯⨯种分法中包含着（AB ，EF ，CD ），（CD ，AB ，EF ），（CD ，EF ，AB ），（EF ，CD ，AB ），（EF ，AB ，CD ），共33A 种情况，而这33A 种情况仅是AB ，CD ，EF 的顺序不同，因此只能作为一种分法，应该除序，所以正确的分组数是：22264233C C C A ⨯⨯=15(种)。

(2) 一组1本，一组2本，一组3本；分组方法是123653C C C ⨯⨯，还要不要除以33A 呢？我们发现，由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有123653C C C ⨯⨯=60(种) 分法。

或231641C C C ⨯⨯或312632C C C ⨯⨯或321631C C C ⨯⨯或213643C C C ⨯⨯(3) 一组4本，另外两组各1本；分组方法是411621C C C ⨯⨯，有没有重复的分法？我们发现，其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，不可能重复。

2023年高考数学复习---排列组合分组问题、分配问题典型例题讲解分组问题【典型例题】例1．2021年春节期间电影《你好，李焕英》因“搞笑幽默不庸俗，真心实意不煽情”深受热棒，某电影院指派5名工作人员进行电影调查问卷，每个工作人员从编号为1，2，3，4的4个影厅选一个，可以多个工作人员进入同一个影厅，若所有5名工作人员的影厅编号之和恰为10，则不同的指派方法种数为（ ）A ．91B ．101C ．111D ．121【答案】B 【解析】（1）若编号为1222310++++=，则有25220C ⨯=种，（2）若编号为1123310++++=，则有215330C C ⨯=种，（3）若编号为1122410++++=，则有225330C C ⨯=种，（4）若编号为1113410++++=，则有315220C C ⨯=种，（5）若编号为2222210++++=，则有1种，所以不同的指派方法种数为203030201101++++=种．故选：B ．例2．已知有6本不同的书．（1）分成三堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？（2）分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？【解析】（1）6本书平均分成3堆，不同的分堆方法的种数为2226423315 C C C A =． （2）从6本书中，先取1本作为一堆，再从剩下的5本中取2本作为一堆，最后3本作为一堆，不同的分堆方法的种数为12365360.C C C =分配问题【典型例题】例1．（2022·浙江·模拟预测）杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙、丙、丁等4人报名参加了,,A B C 三个项目的志愿者工作，每个项目需1名或2名志愿者，若甲不能参加A 项目，乙不能参加B 、C 项目，那么共有______种不同的志愿者选拔方案．【答案】10【解析】由题意可得乙一定参加A 项目，若A 项目只有一个人时，即为乙，则先将甲、丙、丁分为两组，有23C 种， 再将两组分配到,B C 两个项目，有22A 种， 则有2232C A 6⋅=种不同的志愿者选拔方案，若A 项目有2人时，又甲不能参加A 项目，则只能从丙、丁中选1人和乙组队到A 项目，有12C 种，再将剩下的2人分配到,B C 两个项目，有22A 种， 则有1222C A 4⋅=种不同的志愿者选拔方案，综上，共有6410+=种不同的志愿者选拔方案．故答案为：10．例2．（2022·上海长宁·统考一模）有甲、乙、丙三项任务，其中甲需2人承担，乙、丙各需1人承担；现从6人中任选4人承担这三项任务，则共有___________种不同的选法【答案】180【解析】第一步，先从6人中任选2人承担任务甲，有26C 种选法，第二步，再从剩余4人中任选1人承担任务乙，有14C 种选法，第三步，再从3人中任选1人承担任务丙，有13C 种选法， 所以共有211643C C C 180=种选法．故答案为： 180．例3．（2022·四川南充·高三统考期中）随着高三学习时间的增加，很多高三同学心理压力加大．通过心理问卷调查发现，某校高三年级有5位学生心理问题凸显，需要心理老师干预．已知该校高三年级有3位心理老师，每位心理老师至少安排1位学生，至多安排3位学生，则共有______种心理辅导安排方法．【答案】150【解析】根据题意，分2步进行分析：①将5位学生分为3组，若有两组2人，一组1人，有225322C C 15A =种分组方法， 若两组1人，一组3人，有35C 10=种分组方法，则有15＋10＝25种分组方法，②将分好的3组安排给3个老师进行心理辅导，有33A 6=种情况，则有25×6＝150种安排方法，故答案为：150．。