分组分配问题(教学设计)

排列组合中分组分配问题的教学设计惠能中学 梁丽梅教学目的：知识目标：会应用分组公式、隔板法解决相关的分组分配问题 技能目标：研究典型例题，形成典型问题的思维模式，奠定解其他相关问题的思维依托。

情感目标：通过自主探索，培养学生自主探究的意识。

教学重点：分组公式和隔板法的应用 教学难点：分组公式与隔板法的探讨 教学过程：一、 复习旧知，导入新课排列、组合都是从n 各不同的元素中取出m 个，不同的是对于排列，取出的m 个元素还要按一定的顺序排成一列。

运用排列组合的知识来解决问题时我们关键要看两点：元素不同和要不要考虑顺序。

假如我们要从n 个不同的元素中取出m 作为一组，再取m 个作为另外一组，这时候应怎么做呢？如果元素相同时又怎么办呢？这一节课我们一起来探讨这样的分组分配问题。

自我点评：简单的导入目的是让学生了解这一节课我们要研究的问题是什么。

设疑时把重点放在元素的同异上，主要是让学生明确元素同或不同解决的方法就不一样。

通过这样设疑引入，有利于学生形成明确的学习目的，从而激发学生的学习兴趣和探讨解决方法的欲望。

相对于相同元素的分组分配问题，不同元素的处理比较容易也比较重要，在例题的安排中我先设计了不同元素的分组分配问题。

二、 新课讲解第一类：对不同元素进行分组分配例1：6本不同的书，按照以下要求分给三个人，各有多少种不同的分法：（1） 一人一本，一个两本，一人三本； （2） 两人各一本，一人三本 （3） 每人各两本分析题目特点：1、6本不同的书，说明要分组的元素不同；2、分给三个人，说明分配的对象互不相同，要考虑顺序。

3、三个小题共同的地方都是先按照不同的要求把不同的书分成3组，再分配给不同的三个人。

思考：元素不同，分组的要求、分配的对象也不同，该如何分？ 解：（1）第一步：把6本书分成三组，先从6本书中取出1本作为一组，再从剩下的5中取出2本作为一组，最后从剩下的3本中取出3本作为一组，共有60332516=C C C 中不同的分组方法。

教案名称：初中课前分组游戏教案课时：1课时年级：初中教材：《初中体育与健康》教学目标：1. 让学生在课前通过游戏活动，提高身体协调能力和团队合作意识。

2. 培养学生积极参与体育活动的兴趣，激发学习热情。

3. 增强学生的集体荣誉感，培养良好的团队精神。

教学内容：1. 分组游戏：水果接龙、快乐传递、集体拔河等。

2. 游戏规则及安全注意事项。

教学过程：一、课堂导入（5分钟）1. 教师与学生互动，询问学生对体育活动的看法，引导学生积极参与。

2. 宣布本节课的游戏内容，激发学生的兴趣。

二、分组游戏（15分钟）1. 水果接龙：学生分成若干小组，每组派一名代表抽取一个水果卡片，然后按照水果的顺序进行接龙，速度快的小组获胜。

2. 快乐传递：学生分成若干小组，每组围成一个圈，通过传递球的方式进行游戏，球在传递过程中不能掉落，掉落的小组淘汰，直至剩下一个小组获胜。

3. 集体拔河：学生分成两队，进行拔河比赛，比赛过程中要注意安全，避免受伤。

三、游戏总结（5分钟）1. 教师引导学生回顾游戏过程，总结游戏中的优点和不足。

2. 强调团队合作的重要性，鼓励学生在日常生活中多参与团队活动。

四、安全注意事项（5分钟）1. 教师向学生讲解游戏规则，强调游戏过程中的安全问题。

2. 提醒学生注意自我保护，避免发生意外事故。

教学评价：1. 学生对游戏的参与程度。

2. 学生在游戏中的表现，如团队合作、安全意识等。

3. 学生对体育活动的兴趣和热情。

教学反思：本节课通过分组游戏的方式，让学生在课前充分活动身体，提高身体协调能力和团队合作意识。

在游戏过程中，教师要关注学生的安全问题，避免发生意外事故。

同时，教师还要注重培养学生的集体荣誉感和团队精神，激发学生积极参与体育活动的兴趣。

在今后的教学中，可以尝试引入更多有趣的游戏，让学生在快乐中学习，提高体育课堂教学效果。

组合的综合应用备课人授课时间课题排列组合的综合应用-分组与分配问题课标要求掌握分组与分配问题教学目标知识技能理解并熟练掌握求排列组合的一般方法;掌握分组问题与分配问题的解决方法。

过程方法帮助学生在已有旧知识的基础上探究学习新知识，在学习中总结新的结论，并通过新、旧知识之间的联系熟练掌握新知识。

情感态度价值观通过对排列组合实际问题的解决，提高学生学习数学的兴趣。

重点能够应用排列组合知识准确求解分组问题与分配问题难点理解平均分组问题是有顺序的教教学环节、内容师生互动学 过 程 及 方 法一、复习回顾1、分类加法计数原理和分步乘法计数原理；2、排列数和组合数公式： 排列数公式： 乘积式：阶乘式：组合数公式：乘积式：阶乘式：师：前面我们学习了排列组合相关知识，本节课我们将继续探究排列组合的综合应用中的高频考点-分组与分配问题。

师：先请同学们回答两个问题！ 1、学过哪些计数原理？生：（......） 2、排列数和组合数公式分别是什么？ 生：（......）教师课时教案教教学环节、内容师生互动)1()3)(2)(1(+-⋅⋅⋅---=m n n n n n A m n )!(!m n n A mn-!)1()3)(2)(1(m m n n n n n C mn +-⋅⋅⋅---=)!(!!m n m n C m n-=学过程及方法二、情境导入2022年我国成功举办了二十四届冬季奥林匹克运动会情境：将 5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶 4 个项目进行培训，每名志愿者只分配到 1 个项目，每个项目至少分配 1 名志愿者，则不同的分配方案共有多少种？三、探究新知（分组问题）问题1：若分六本不同的书，如果按照1, 2, 3分成三堆，问有多少种分法？（不同元素的完全非均匀分组问题）解：由题可得，共有种。

点拨：组与组完全不同，只需分组即可！问题2：若分六本不同的书，平均分成三堆，每堆两本，问有多少种分法？（不同元素的完全均匀分组问题）解：由题可得，共有种。

第三单元第06课时解决问题（合理分配）-【上好课】三年级数学上册人教版一、教学目标1. 知识与技能：使学生理解合理分配的含义，学会运用数学方法解决实际问题中的合理分配问题。

2. 过程与方法：通过实际问题的引入，让学生在解决实际问题的过程中，培养观察、分析、解决问题的能力。

3. 情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生合作、探究的学习态度。

二、教学内容1. 合理分配的含义2. 合理分配的方法3. 合理分配在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：理解合理分配的含义，掌握合理分配的方法。

2. 教学难点：运用合理分配的方法解决实际问题。

四、教学过程1. 导入新课利用多媒体展示一个实际问题，引导学生观察、分析，激发学生学习兴趣。

2. 探究新知（1）引导学生理解合理分配的含义，明确合理分配的目的是使资源得到最大程度的利用。

（2）通过实例，让学生掌握合理分配的方法，如按比例分配、按需求分配等。

（3）让学生运用所学方法解决实际问题，体会合理分配在实际生活中的应用。

3. 巩固练习设计一些具有代表性的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。

4. 总结提升引导学生总结本节课所学内容，强调合理分配在实际生活中的重要性。

五、作业布置1. 课后练习：完成课后练习题，巩固所学知识。

2. 拓展延伸：让学生在生活中寻找合理分配的例子，与同学分享。

六、板书设计1. 合理分配的含义2. 合理分配的方法3. 合理分配在实际问题中的应用七、课后反思1. 本节课的教学目标是否达到？2. 教学过程中是否存在需要改进的地方？3. 学生对合理分配的理解程度如何？4. 如何提高学生对合理分配在实际生活中应用的认识？八、教学评价1. 学生课堂参与度2. 学生练习题完成情况3. 学生课后作业质量4. 学生对合理分配的理解和应用水平通过本节课的教学，使学生理解合理分配的含义，学会运用数学方法解决实际问题中的合理分配问题。

同时，培养学生观察、分析、解决问题的能力，激发学生对数学学习的兴趣，培养学生合作、探究的学习态度。

分组分配问题营山二中数学组龚玉伦分组分配问题是组合中的典型问题，弄清分组分配问题的基本类型，并采取相应的处理方法是解决分组问题的关键。

在排列、组合中分组分配问题一般按照“先分组再分配”的原则，但不排除其他途径。

在分组时要区分是平均分组还是非平均分组或部分平均分组，在分配时要区分是定向分配还是非定向分配。

“分组”是指把若干个不同的元素分成几组，组与组之间除了元素数目外不加以区分；“分配”是指将元素配给到相应的对象，对象与对象之间是有区别的。

一、只分组不分配例：6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法(1)分成三份，一份一本，一份两本，一份三本；(2)平均分成三份；(3)分成三份，一份四本，另两份各一本。

解：（1）属“非平均分组”,各组间数目不同，直接依次选取元素，方法数为12365360C C C=(2)属“平均分组”,各组间数目完全相同，组与组之间实际是无区别的，分步产生每一组会造成重复,应消去步骤造成的重复计数，方法数为2226423315 C C CA=（3）属“部分平均分组”，对其中的“均匀”部分应消去平均分组时步骤上造成的重复计数，方法数为4116212215 C C CA=二、既分组又分配1、配给对象或配给数目确定当配给对象与相应的配给数目确定时，简单的方法是“依次选取”例：6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法（1）分给甲、乙、丙三个人，甲得一本，乙得两本，丙得三本；（2）分给甲、乙、丙三个人，甲得四本，乙、丙各得一本；（3）平均分给甲、乙、丙三个人；解：（1）属“非平均定向分配”，等同于“非平均分组”，方法数为12365360C C C=（2）属“部分非平均定向分配”，均匀部分要分配：411262122230C C CAA=，也可理解为甲、乙、丙依次选择: 41162130C C C=（3）属“平均分配”，分组后再分配：222364233390C C CAA=，也可理解为甲、乙、丙依次选择: 22264290C C C=2、配给对象或配给数目不确定问题处理的方法主要有两种：一是先分组再分配，即先根据需要对元素进行分组，再用排列的方法进行分配；二是边选对象边分配。

排列组合中的分组分配问题分组分配问题是排列组合教学中的一个重点和难点。

某些排列组合问题看似非分配问题，实际上可运用分配问题的方法来解决。

一、提出分组与分配问题，澄清模糊概念n个不同元素按照某些条件分配给k个不同得对象，称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题。

分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。

分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。

二、基本的分组问题【例题1】六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？(1)每组两本.(2)一组一本，一组二本，一组三本.(3)一组四本，另外两组各一本.结论1：一般地，n个不同的元素分成p组，各组内元素数目分别为m1，m2，…，mp，其中k组内元素数目相等，那么分组方法数是321112ppmmmmn n m n m m mkkC C C CA---⋯。

三、基本的分配的问题(一)定向分配问题【例题1】六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？（1）甲两本、乙两本、丙两本.（2）甲一本、乙两本、丙三本.（3）甲四本、乙一本、丙一本.(二)不定向分配问题【例题2】六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？（1）每人两本.（2）一人一本、一人两本、一人三本.（3）一人四本、一人一本、一人一本.结论 2.一般地，如果把不同的元素分配给几个不同对象，并且每个不同对象可接受的元素个数没有限制，那么实际上是先分组后排列的问题，即分组方案数乘以不同对象数的全排列数。

通过以上分析不难得出解不定向分配题的一般原则：先分组后排列。

【例题3】六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种分法？四、分配问题的变形问题【例题1】四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多少种？【例题2】有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法有多少种？【例题3】设集合A={1，2，3，4}，B={6，7，8}，A为定义域，B为值域，则从集合A到集合B的不同的函数有多少个？总之，掌握上述两个结论，就能顺利解决任何分配问题。

分组与分配问题（整理他人所得）一、分组与分配的概念将n 个不同元素按照某些条件分成k 组，称为分组问题。

分组问题有完全均分、全非均分和部分均分三种情况。

将n 个不同元素按照某些条件分配给k 个不同的对象，称为分配问题。

分配问题有分为定向分配和不定向分配两种情况。

分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使两组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的。

对于后者必须先分组后排列。

二、分组问题例1、六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分组方法？(1)每组2本（均分三堆）；(2)一组1本，一组2本，一组3本；(3)一组4本，另外两组各1本；分析：(1) 每组2本（均分三堆）；分组与顺序无关，是组合问题。

可分三步，应是222642C C C ⨯⨯种方法，但是这里出现了重复。

不妨把6本不同的书标记为A ，B ，C ，D ，E ，F ，若第一步取了AB ，第二步取了CD ，第三步取了EF ，记这种分法为（AB ，CD ，EF ），那么222642C C C ⨯⨯种分法中包含着（AB ，EF ，CD ），（CD ，AB ，EF ），（CD ，EF ，AB ），（EF ，CD ，AB ），（EF ，AB ，CD ），共33A 种情况，而这33A 种情况仅是AB ，CD ，EF 的顺序不同，因此只能作为一种分法，应该除序，所以正确的分组数是：22264233C C C A ⨯⨯=15(种)。

(2) 一组1本，一组2本，一组3本；分组方法是123653C C C ⨯⨯，还要不要除以33A 呢？我们发现，由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有123653C C C ⨯⨯=60(种) 分法。

或231641C C C ⨯⨯或312632C C C ⨯⨯或321631C C C ⨯⨯或213643C C C ⨯⨯(3) 一组4本，另外两组各1本；分组方法是411621C C C ⨯⨯，有没有重复的分法？我们发现，其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，不可能重复。